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P. Halmos (1991)
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ESTRATEGIAS
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• Conocimiento proporcional
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• Propiedades básicas de los triángulos
• Relación entre las fracciones, números decimales y números racionales
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• Conocimiento de algunas propiedades numéricas
• Una cierta visión espacial
• Elementos básicos de matemática discreta
• Manejar algún software ( Geogebra, Mathematica,…)
¿Qué conocimientos necesitamos?
DEGUSTACIÓN DE
ALGUNOS PROBLEMAS
Una docena de….
F. Gauss (1777-1855)
La suma de los 100 primeros
números naturales
1+2+3+4+…….+97+98+99+100
101
101x 50 = 5050
Cuando tenía 10 años,….
1+ 2+··········+99+100
100+99+··········+2 + 1
101 101 x 100/2 = 5050
1+2+3+4 =
110
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55
1+2+3+4 = (4 X 5 ) / 2
1+2+3+····+(n-1)+n= n·(n+1) / 2
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4
4
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Zona azul = 10-8 = 2 unidades cuadradas
Analogía
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SALUDOS
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3
4
5
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NO
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Representación
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pueden formar?
Una docena de problemas matemáticos
23 -1
Adrian y Berta están en plena partida de un juego donde se tienen
que conseguir 6 puntos para ganar, y en el que cada uno de los
jugadores tiene las mismas oportunidades para vencer en una ronda
y llevarse un punto. Adrián está ganando por 5 a 3, cuando de
repente se interrumpe la partida. Si cada uno aportó 32 doblones.
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[problema propuesto por Fibonacci (1180-1250 en su Liber Abaci , mal
resuelto por Luca Pacioli (1445-1514), que sostenía que la repartición
debería ser de 5 a 3, cuando, realmente, debe ser de 7 a 1]
El problema del reparto
5, 3
6, 3
5, 4
6, 45, 5
5,6
6, 5
Gana el
1º
Gana el
2º
El reparto justo
Diagrama
Gana el
1º
Gana el
2º
8
4
4
El reparto justo
2
Gana el
1º
Gana el
2º
2
4
4
El reparto justo
SIMULACIÓN
1
2
1
Gana el
1º
Gana el
2º
2
4
De las 8 bolas, 7 gana el primero
y 1 el segundo.
El reparto justo
Analizar los datos, ser Crítico
Un taxi se ve envuelto en accidente nocturno, en una ciudad en la que
hay un 15% taxis azules y un 85 % taxis verdes
- Una persona dice que es azul
- Le hacen una prueba de visión y el 80% de las veces contesta bien
¿ cuál es la probabilidad de que el taxi sea azul?
15
azules
12 3
85
verdes
17 68
29 71
Azul Verde
P(azul) dado que el testigo decía azul = 12 / 29 = 0,41
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pintada y con dos caras y con tres…?
8
12.8
6.8.8
8.8.8
TOTAL=1000
ORGANIZACIÓN, TABLA, CONJETURA
En una academia de idiomas hay matriculados 145
alumnos, de los cuales 78 estudian inglés y 45
francés. Mientras que 20 estudiantes están
matriculados en ambos idiomas.
¿Cuántos hay que no estudian ni francés ni inglés?
2025 58
REPRESENTACION, ANALISIS DATOS, LÓGICA
22
Tenemos un saco con 50 canicas rojas y en otro 50 canicas
blancas. Tomamos 10 canicas del primer saco y las metemos en
el segundo. Posteriormente mezclamos bien las canicas en el
segundo saco y tomamos 10 canicas al azar y las llevamos al
primer saco.
Si comparamos las canicas blancas que hay en el primer saco
con las canicas rojas que hay en el segundo
¿ cuál de las dos tiene más ?
Primer saco
Primer saco
a) Pasa una bola roja y una blanca
b) Pasan las dos bolas rojas
c) Pasan dos bolas blancas Opciones Segundo
saco
Primer
saco
a) 1R, 49 B 1B, 49 R
b) 50 B 50R
c) 2R, 48B 2B, 48 R
CONJETURA
EL MISMO NÚMERO !!!
TRES SOMBREROS NEGROS Y DOS SOMBRERO BLANCO
Tres personas , se les coloca un sombrero en su cabeza del que
desconocen su color.
A continuación, empezando por el último de la fila, se les pregunta si
pueden adivinar el color del sombrero que llevan puesto. La respuesta
fue la siguiente:
– El tercero, y último, que ve a las dos personas que se encuentran
delante, dijo: “No lo sé”
– El segundo, situado en el centro, y que solo ve al de delante, dijo
también: “No lo sé”, y
– El 3º, en primera fila, y que no ve a ninguno de los otros dos, contestó:
sí yo lo sé ¿ cuál era su color?
TRES SOMBREROS NEGROS Y DOS SOMBRERO BLANCO
– El tercero, y último, que ve a las dos personas que se encuentran
delante, dijo: “No lo sé”
NECESARIAMENTE ALGUNO HA DE SER NEGRO
– El segundo, situado en el centro, y que solo ve al de delante, dijo
también: “No lo sé”,
SI YO VIERA UNO BLANCO EN EL PRIMERO DIRIA QUE EL MIO ES
NEGRO, PERO NO LO DIGO
– El 3º, en primera fila, y que no ve a ninguno de los otros dos, contestó:
sí yo lo sé ¿ cuál era su color?
EL MIO ES NEGRO
cbxaxy ++= 2 ¿cómo influyen los coeficientes?
Anímate a ensayar
No te olvides de dibujar
Ni tampoco de escribir
Cuenta y recuenta
Pero sé ordenado
Si no puedes con todo trocea
Busca y rebusca
Pero sé organizado.
Sé osado, Conjetura !!
Seguro que algo encontrarás.
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Pero,… en ocasiones hay que ir un poco más allá
Elige el camino más sencillo
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Una docena de problemas matemáticos
Descansa y deja volar
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RESOLVER PROBLEMAS, no consiste en saber muchos
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EDUCAR
Educar es lo mismo
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irá muy lejos por el agua.
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Gabriel Celaya
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Una docena de problemas matemáticos

  • 1. Santiago Fernández Asesor de Matemáticas del Berritzegune Nagusia Asociación de Profesores de Matemáticas de Euskadi “Una docena de Problemas” Julio, 2015
  • 2. A mi amigo “ Coque”
  • 4. Mi primera escuela: Escuela Unitaria El profesor: D. Luis Bretón
  • 6. 1967, REVALIDA 4º Cuál es el área de la corona circular? 4 m R r
  • 9. 1970, Gran IMPACTO INTELECTUAL- PREU ( Prof. Fermín Delmás) El Conjunto de los NÚMEROS PRIMOS ES INFINITO Me abre un mundo Insospechado : Teoremas, Historia, Matemáticos griegos
  • 10. Estudio de Ciencias Exactas: Caminata por el desierto,…
  • 12. ¿Hasta cuándo los pobres jóvenes estarán obligados a escuchar o repetir todo el día? ¿Cuándo se les dejará tiempo para meditar sobre el cúmulo de conocimientos, para coordinar esta locura de proposiciones sin fin, de cálculos sin relación? Evariste Galois, Gazette des Ecoles,1831
  • 13. 1978 Encuentro casual en una librería de Bilbao Heurística, patrones, razonamientos plausibles, conjeturas,…..
  • 14. Método de POLYA I. Comprender el problema II. Concebir un plan . III. Ejecución del plan IV. Examinar la solución obtenida
  • 15. ¿ Qué es un problema? Problema es una situación que representa una dificultad, no hay un camino automático para resolverla y se requiere deliberación e investigación de tipo conceptual o empírica para poder resolverla. Mario Bunge(1919-)
  • 16. MASON, BURTON y STACEY Pensar matemáticamente POLYA Cómo plantear y resolver un problema BRANSFORD, STEIN, y BARRY Solución I.D.E.A.L. M. De GUZMÁN Para pensar mejor Cuatro modelos para resolver problemas
  • 17. • El saber hacer, en matemáticas, tiene mucho que ver con la habilidad de resolver problemas. • Hay que tener presente que el único camino para aprender a resolver problemas, y ser competente en este campo es enfrentarse a múltiples y diversas situaciones y tratar de resolverlas. • Sin embargo, esto no es suficiente ALGUNAS REFLEXIONES
  • 18. “Lo que se puede enseñar es la actitud correcta ante los problemas, y enseñar a resolver problemas es el camino para resolverlos (...). El mejor método no es contarles cosas a los alumnos, sino preguntárselas y, mejor todavía, instarles a que se pregunten ellos mismos". P. Halmos (1991)
  • 19. 1. Prepararse adecuadamente. 2. Resolver algunos problemas en “voz aIta” . 3. Presentar problemas interesantes 4. Profundizar en las estrategias básicas y los contenidos más relevantes. 5. Analizar el problema desde muchos puntos de vista ¿Qué podemos hacer para mejorar la capacidad de nuestros alumnos en la R.P?
  • 20. Primer nivel: De rango bajo y medio • Ensayo-error • Empezar por lo fácil, resolver un problema semejante más sencillo • Manipular y experimentar manualmente • Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar) • Resolver problemas análogos (analogía) • Hacer recuento (conteo) • Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación) • Experimentar y extraer pautas (inducir) • Seguir un método (organización) • Utilizar una expresión adecuada (codificar, expresión, comunicación). • Deducir y sacar conclusiones (razonar) ESTRATEGIAS
  • 21. De alto rango • Estrategias relacionadas con la demostración: inducción, etc. • Métodos deductivos • Sacar partido de la simetría • Realizar conjeturas y probarlas o refutarlas. • Principio del palomar (Dirichlet) • Analizar los casos límite, • Teoría del color • Reformular el problema • Suponer que no (reducción al absurdo) • Empezar por el final (dar el problema por resuelto) • Conocer técnicas específicas de: números, azar, geometría, etc. • Aplicar Teoremas,…
  • 22. • Teorema de Pitágoras • Teorema de Thales, semejanza • Conocimiento proporcional • Suma de términos de una progresión aritmética • Propiedades elementales de la circunferencia • Propiedades básicas de los triángulos • Relación entre las fracciones, números decimales y números racionales • Una cierta destreza en el manejo del lenguaje algebraico • Conocimiento de algunas propiedades numéricas • Una cierta visión espacial • Elementos básicos de matemática discreta • Manejar algún software ( Geogebra, Mathematica,…) ¿Qué conocimientos necesitamos?
  • 25. F. Gauss (1777-1855) La suma de los 100 primeros números naturales
  • 26. 1+2+3+4+…….+97+98+99+100 101 101x 50 = 5050 Cuando tenía 10 años,….
  • 30. 1+2+3+4 = (4 X 5 ) / 2 1+2+3+····+(n-1)+n= n·(n+1) / 2
  • 31. 1+2+3+4= (4.4)/2 = 8 4 4 FALSO Zona azul = 10-8 = 2 unidades cuadradas Analogía
  • 34. 1 2 3 4 5 (5.4) / 2 = 10 SALUDOS Saludos con 5 personas Caso particular Generalizar N(N-1)/2
  • 35. NO NO NO NO NO 1 542 3 5 equipos, partidos a doble vuelta. Cuántos? 4 1 2 3 5 TOTAL= (5 . 5)- 5 = 5.( 5-1) Representación Particularizar Generalizar TOTAL= N ( N-1)
  • 36. Disponemos de estas cinco monedas. ¿ Cuántas cantidades distintas se pueden formar?
  • 38. 23 -1
  • 39. Adrian y Berta están en plena partida de un juego donde se tienen que conseguir 6 puntos para ganar, y en el que cada uno de los jugadores tiene las mismas oportunidades para vencer en una ronda y llevarse un punto. Adrián está ganando por 5 a 3, cuando de repente se interrumpe la partida. Si cada uno aportó 32 doblones. ¿Cómo deberán repartirse las apuestas depositadas? [problema propuesto por Fibonacci (1180-1250 en su Liber Abaci , mal resuelto por Luca Pacioli (1445-1514), que sostenía que la repartición debería ser de 5 a 3, cuando, realmente, debe ser de 7 a 1] El problema del reparto
  • 40. 5, 3 6, 3 5, 4 6, 45, 5 5,6 6, 5 Gana el 1º Gana el 2º El reparto justo Diagrama
  • 42. 2 Gana el 1º Gana el 2º 2 4 4 El reparto justo SIMULACIÓN
  • 43. 1 2 1 Gana el 1º Gana el 2º 2 4 De las 8 bolas, 7 gana el primero y 1 el segundo. El reparto justo
  • 44. Analizar los datos, ser Crítico Un taxi se ve envuelto en accidente nocturno, en una ciudad en la que hay un 15% taxis azules y un 85 % taxis verdes - Una persona dice que es azul - Le hacen una prueba de visión y el 80% de las veces contesta bien ¿ cuál es la probabilidad de que el taxi sea azul? 15 azules 12 3 85 verdes 17 68 29 71 Azul Verde P(azul) dado que el testigo decía azul = 12 / 29 = 0,41
  • 45. ¿ Cuántos cubitos con una cara pintada y con dos caras y con tres…? 8 12.8 6.8.8 8.8.8 TOTAL=1000 ORGANIZACIÓN, TABLA, CONJETURA
  • 46. En una academia de idiomas hay matriculados 145 alumnos, de los cuales 78 estudian inglés y 45 francés. Mientras que 20 estudiantes están matriculados en ambos idiomas. ¿Cuántos hay que no estudian ni francés ni inglés? 2025 58 REPRESENTACION, ANALISIS DATOS, LÓGICA 22
  • 47. Tenemos un saco con 50 canicas rojas y en otro 50 canicas blancas. Tomamos 10 canicas del primer saco y las metemos en el segundo. Posteriormente mezclamos bien las canicas en el segundo saco y tomamos 10 canicas al azar y las llevamos al primer saco. Si comparamos las canicas blancas que hay en el primer saco con las canicas rojas que hay en el segundo ¿ cuál de las dos tiene más ? Primer saco
  • 48. Primer saco a) Pasa una bola roja y una blanca b) Pasan las dos bolas rojas c) Pasan dos bolas blancas Opciones Segundo saco Primer saco a) 1R, 49 B 1B, 49 R b) 50 B 50R c) 2R, 48B 2B, 48 R CONJETURA EL MISMO NÚMERO !!!
  • 49. TRES SOMBREROS NEGROS Y DOS SOMBRERO BLANCO Tres personas , se les coloca un sombrero en su cabeza del que desconocen su color. A continuación, empezando por el último de la fila, se les pregunta si pueden adivinar el color del sombrero que llevan puesto. La respuesta fue la siguiente: – El tercero, y último, que ve a las dos personas que se encuentran delante, dijo: “No lo sé” – El segundo, situado en el centro, y que solo ve al de delante, dijo también: “No lo sé”, y – El 3º, en primera fila, y que no ve a ninguno de los otros dos, contestó: sí yo lo sé ¿ cuál era su color?
  • 50. TRES SOMBREROS NEGROS Y DOS SOMBRERO BLANCO – El tercero, y último, que ve a las dos personas que se encuentran delante, dijo: “No lo sé” NECESARIAMENTE ALGUNO HA DE SER NEGRO – El segundo, situado en el centro, y que solo ve al de delante, dijo también: “No lo sé”, SI YO VIERA UNO BLANCO EN EL PRIMERO DIRIA QUE EL MIO ES NEGRO, PERO NO LO DIGO – El 3º, en primera fila, y que no ve a ninguno de los otros dos, contestó: sí yo lo sé ¿ cuál era su color? EL MIO ES NEGRO
  • 51. cbxaxy ++= 2 ¿cómo influyen los coeficientes?
  • 52. Anímate a ensayar No te olvides de dibujar Ni tampoco de escribir Cuenta y recuenta Pero sé ordenado Si no puedes con todo trocea Busca y rebusca Pero sé organizado. Sé osado, Conjetura !! Seguro que algo encontrarás. Reflexiona Pero,… en ocasiones hay que ir un poco más allá
  • 53. Elige el camino más sencillo
  • 54. Trata de resolver un caso más difícil
  • 58. Descansa y deja volar tu imaginación
  • 59. No tengas miedo, se osado
  • 60. Disfruta de la belleza
  • 61. RESOLVER PROBLEMAS, no consiste en saber muchos resultados y conocer muchas fórmulas, sino, más bien, en obtener provecho de nuestros conocimientos y saber organizarnos. Es una actitud mental positiva, abierta y creativa
  • 62. P. Halmos No predique hechos estimule acciones
  • 63. EDUCAR Educar es lo mismo que poner un motor a una barca... Hay que medir, pensar, equilibrar... y poner todo en marcha. Pero para eso, uno tiene que llevar en el alma un poco de marino... un poco de pirata... un poco de poeta... y un kilo y medio de paciencia concentrada. Pero es consolador soñar, mientras uno trabaja, que ese barco, ese niño, irá muy lejos por el agua. Soñar que ese navío llevará nuestra carga de palabras hacia puertos distantes, hacia islas lejan Soñar que, cuando un día esté durmiendo nuestra propia barca, en barcos nuevos seguirá nuestra bandera enarbolada. Gabriel Celaya