SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 12
Cálculo
Diferencial
ACF-0901
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
Ing. Rodolfo Alcántara Rosales
MONOGRAFÍA DE:
“CÁLCULO DIFERENCIAL ”
CARRERA: TODAS LAS INGENIERÍAS
FECHA: 6 DE JULIO DE 2015
CONTENIDO
No.
UNIDAD
NOMBRE DE LA UNIDAD
1
NÚMEROS REALES
1.1 La recta numérica.
1.2 Los números reales.
1.3 Propiedades de los números reales.
1.3.1 Tricotomía.
1.3.2 Transitividad.
1.3.3 Densidad.
1.3.4 Axioma del supremo.
1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.
1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de
desigualdades cuadráticas con una incógnita.
1.6 Valor absoluto y sus propiedades.
1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.
2 FUNCIONES
2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una
función.
2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva
2.3 Función real de variable real y su
representación gráfica.
2.4 Funciones algebraicas: función polinomial,
racional e irracional.
2.5 Funciones trascendentes: funciones
trigonométricas y funciones exponenciales.
2.6 Función definida por más de una regla de
correspondencia. función valor absoluto.
2.7 Operaciones con funciones: adición,
multiplicación, composición.
2.8 Función inversa. Función logarítmica.
Funciones trigonométricas inversas.
2.9 Funciones con dominio en los números
1
Cálculo
Diferencial
ACF-0901
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
Ing. Rodolfo Alcántara Rosales
naturales y recorrido en los números
reales: las sucesiones infinitas.
2.10 Función implícita.
3
LÍMITES Y CONTINUIDAD
3.1 Límite de una sucesión.
3.2 Límite de una función de variable real.
3.3 Cálculo de límites.
3.4 Propiedades de los límites.
3.5 Límites laterales.
3.6 Límites infinitos y límites al infinito.
3.7 Asíntotas.
3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.
3.9 Tipos de discontinuidades.
4
DERIVADAS
4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una
función.
4.2 La interpretación geométrica de la derivada.
4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales.
4.4 Propiedades de la derivada.
4.5 Regla de la cadena.
4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación.
4.7 Derivadas de orden superior y regla L´Hôpital.
4.8 Derivada de funciones implícitas.
5
APLICACIONES DE LA DERIVADA
5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas
ortogonales.
5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del
cálculo diferencial.
5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función.
Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.Concavidades y
puntos de inflexión.Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.
5.4 Análisis de la variación de funciones
5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.
5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas.
UNIDAD 1
2
Cálculo
Diferencial
ACF-0901
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
Ing. Rodolfo Alcántara Rosales
1.1 RECTA NUMÉRICA
1.2 Los números reales
Los números reales son el conjunto de números naturales, cardinales, enteros
racionales e irracionales.
o Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar.
1, 2, 3,…
o Los números cardinales son el conjunto de números naturales y el cero.
0, 1, 2, 3, 4, 5…
o Los números enteros consisten de los números naturales, sus opuestos y el
cero.
…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
Número entero positivo es todo entero positivo mayor de cero.
1, 2, 3, 5,347, 1, 702,445...
Número entero negativo es todo entero negativo menor que cero.
-1, 000,345, -57, -3,- 4,- 2,- 1,
El cero representa el lugar de partida en alguna dirección. No es positivo ni
negativo.
Los números racionales representan partes de un todo, un cociente que ha sido
dividido en partes iguales.
⅛, 7.4, -2.35, 8, -25
Los números irracionales son números que no pueden ser expresados como
cociente de dos números enteros.
3
Cálculo
Diferencial
ACF-0901
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
Ing. Rodolfo Alcántara Rosales
0.789, 3.1456, p
Figura 1. Esquema que muestra la composición de los números reales
1.3Propiedades de los números reales.
1.3.1 Tricotomía.
Dados a y b e R se cumple exactamente una de las siguientes a_rmaciones:
a = b:
a > b:
a < b:
1.3.2 Transitividad.
Dados a; b; c e R si
4
Cálculo
Diferencial
ACF-0901
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
Ing. Rodolfo Alcántara Rosales
a < b
y
b < c
entonces
a < c
1.3.3 Densidad.
Dados a; b e R si a > b entonces existen un elemento x e R tal que a > x y x > b:
La propiedad de la densidad es consecuencia directa de la definición de
NÚMERO REAL, el cual fue creado pensando en la necesidad de tener números
suficientes para explicar el mundo real.
1.3.4 Axioma del supremo.
Sea A _ R tal que existe k e R con la propiedad de que k > a para toda a e R:
Entonces existe un elemento s e R tal que cumple la propiedad anterior y además
si k’ es otro número que cumple la propiedad entonces s < k’:
ACTIVIDAD 1.
En las siguientes parejas de reales suponga que a > b; determine el orden y
coloquelo en la columna de la derecha:
5
Cálculo
Diferencial
ACF-0901
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
Ing. Rodolfo Alcántara Rosales
A) za;zb si z <0
B) 1/a, 1/b
C) a, -b
D) –a, b
E) a, (a+b)/2
F) b, (a+b)/2
ACTIVIDAD 2
Si a > b > 0; entonces la(s) afirmacion(es) verdadera(s) es (son) (anóte en la
columna de la derecha F o V)
A) ab >b
B) a
2
+ b
2
>2ab
C) a -b <b
D) a + b >a
E) (a/b) + (b/a) >2
F) a
2
-b
2
>0
G) (a + b)(a
2
- ab + b
2
) >0
1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.
Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales
que la hace verdadera. En contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución,
consta de un número o conjunto finito de números, el conjunto solución de u
nadesigualdad consta de un intervalo completo de números, o en su caso, la unión
de esos intervalos.
Intervalo
6
Cálculo
Diferencial
ACF-0901
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
Ing. Rodolfo Alcántara Rosales
Dados dos números a y b en R con a < b el intervalo definido por a y b es el
conjunto de números x en R que están entre a y b.
Los puntos a y b pueden o no pertenecer al intervalo, por lo que se tienen los
siguientes casos:
La noción de intervalo se puede extender para los casos que denotan el conjunto
de las x que pertenecen a los reales y que son más grandes o mas chicas que un
número dado, tal como se ilustra a continuación:
7
Cálculo
Diferencial
ACF-0901
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
Ing. Rodolfo Alcántara Rosales
ACTIVIDAD 3
En la siguiente tabla, coloque en la columna central el símbolo de desigualdad que
corresponda y en la columna de la derecha, grafique el intervalo indicado:
1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de
desigualdades cuadráticas con una incógnita.
Resolver una desigualdad (o inecuación) es encontrar los valores de la variable
para los cules puede ser válida o no.
Ejemplo: Sea la desigualdad 2 + x < 9x + 6
8
Cálculo
Diferencial
ACF-0901
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
Ing. Rodolfo Alcántara Rosales
Para el caso de desigualdades de según orden, la solución se puede obtener de
dos formas:
1. Factorizando.
2. Utilizando la fórmula general.
x2
– 4x + 3 £ 0
Factorizando (x-3)(x-1)
Números críticos x = 1, x = 3
Posibles soluciones
La solución está dada
por los intervalos que
cumplan que
0)1()3( ≤−− xx ,
(signo negativo en la
quinta columna).
9
Cálculo
Diferencial
ACF-0901
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
Ing. Rodolfo Alcántara Rosales
Solución: [1, 3]
Ejemplo: x2
– x – 1 £ 0
Como no se
puede factorizar,
es decir, tiene
raíces
irracionales,
entonces
utilizamos la
fórmula general
para ecuaciones
cuadráticas
Números
críticos
Posibles
soluciones
La solución es:
)
2
51
,
2
51
(
+−
10
Cálculo
Diferencial
ACF-0901
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
Ing. Rodolfo Alcántara Rosales
1.5 Valor absoluto y sus propiedades.
El valor absoluto de un número real x se denota por | x | y se define como:
Las propiedas del valor absoluto son:
1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.
Ejemplo: sea la desigualdad 972 <−x
Por propiedad: babba <<−⇔<
11
Cálculo
Diferencial
ACF-0901
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
Ing. Rodolfo Alcántara Rosales
1
8x
x-22x
162x2x2-
792x2x79-
97-2x7-2x9-
casoSegundocasoPrimer
9729
2
2
2
16
−>
<−>
<>
<<
+<<+
<<
<−<−
x
x
x
Solución: (-1, 8)
12
-1
( )
8

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Derive 3 (comandos c-diferencial)
Derive 3 (comandos c-diferencial)Derive 3 (comandos c-diferencial)
Derive 3 (comandos c-diferencial)
jalidf
 
Ecuaciones diferenciales de grado superior
Ecuaciones diferenciales de grado superiorEcuaciones diferenciales de grado superior
Ecuaciones diferenciales de grado superior
Dani
 
Inecuaciones lineales
Inecuaciones linealesInecuaciones lineales
Inecuaciones lineales
franmorav
 
Procedimiento-Método Símplex
Procedimiento-Método SímplexProcedimiento-Método Símplex
Procedimiento-Método Símplex
guest99c498
 

La actualidad más candente (19)

Formulario de Álgebra
Formulario de Álgebra Formulario de Álgebra
Formulario de Álgebra
 
Derive 3 (comandos c-diferencial)
Derive 3 (comandos c-diferencial)Derive 3 (comandos c-diferencial)
Derive 3 (comandos c-diferencial)
 
Método simplex
Método simplexMétodo simplex
Método simplex
 
Método Simplex Mercadotecnia Análisis de Decisiones Equipo 2
Método Simplex Mercadotecnia Análisis de Decisiones Equipo 2 Método Simplex Mercadotecnia Análisis de Decisiones Equipo 2
Método Simplex Mercadotecnia Análisis de Decisiones Equipo 2
 
Definici+¦n de antiderivada radhames canigiani
Definici+¦n de antiderivada radhames canigianiDefinici+¦n de antiderivada radhames canigiani
Definici+¦n de antiderivada radhames canigiani
 
Ecuaciones diferenciales de grado superior
Ecuaciones diferenciales de grado superiorEcuaciones diferenciales de grado superior
Ecuaciones diferenciales de grado superior
 
Actividad3.5 equipo4completa
Actividad3.5 equipo4completaActividad3.5 equipo4completa
Actividad3.5 equipo4completa
 
Inecuaciones lineales
Inecuaciones linealesInecuaciones lineales
Inecuaciones lineales
 
Educ@vo2 no te mates con las mates
Educ@vo2 no te mates con las matesEduc@vo2 no te mates con las mates
Educ@vo2 no te mates con las mates
 
Ejercicio resuelto: Desigualdades algebraicas
Ejercicio resuelto: Desigualdades algebraicasEjercicio resuelto: Desigualdades algebraicas
Ejercicio resuelto: Desigualdades algebraicas
 
Método simplex1
Método simplex1Método simplex1
Método simplex1
 
Metodo Simplex
Metodo SimplexMetodo Simplex
Metodo Simplex
 
Procedimiento-Método Símplex
Procedimiento-Método SímplexProcedimiento-Método Símplex
Procedimiento-Método Símplex
 
Desigualdades Lineales Simples
Desigualdades Lineales SimplesDesigualdades Lineales Simples
Desigualdades Lineales Simples
 
Pasos metodo simplex
Pasos metodo simplexPasos metodo simplex
Pasos metodo simplex
 
Unidad3 metodo simplex
Unidad3 metodo simplexUnidad3 metodo simplex
Unidad3 metodo simplex
 
Metodo simplex
Metodo simplexMetodo simplex
Metodo simplex
 
Inecuaciones
InecuacionesInecuaciones
Inecuaciones
 
Un ejemplo práctico en clase
Un ejemplo práctico en claseUn ejemplo práctico en clase
Un ejemplo práctico en clase
 

Similar a Unidad 1

Digitalizacion MAT-110
Digitalizacion MAT-110Digitalizacion MAT-110
Digitalizacion MAT-110
dobbisito
 
Conjuntos Numéricos - Resumen Matemática
Conjuntos Numéricos - Resumen MatemáticaConjuntos Numéricos - Resumen Matemática
Conjuntos Numéricos - Resumen Matemática
FabianaRamrez3
 
tutorial y Guia de fundamentos drscheme
tutorial y Guia de fundamentos drschemetutorial y Guia de fundamentos drscheme
tutorial y Guia de fundamentos drscheme
Hospital de Yumbo
 
Digitalización MAT-00
Digitalización MAT-00Digitalización MAT-00
Digitalización MAT-00
dobbisito
 
Matematica Racionalizacion
Matematica RacionalizacionMatematica Racionalizacion
Matematica Racionalizacion
PROD LARD
 

Similar a Unidad 1 (20)

Calsificacion de los numeros
Calsificacion de los numerosCalsificacion de los numeros
Calsificacion de los numeros
 
Algebra (I Bimestre)
Algebra (I Bimestre)Algebra (I Bimestre)
Algebra (I Bimestre)
 
Ece 4 to secundaria
Ece 4 to secundariaEce 4 to secundaria
Ece 4 to secundaria
 
Numeros Reales
Numeros RealesNumeros Reales
Numeros Reales
 
Matematica apuntes
Matematica apuntesMatematica apuntes
Matematica apuntes
 
Digitalizacion MAT-110
Digitalizacion MAT-110Digitalizacion MAT-110
Digitalizacion MAT-110
 
1.2 exponentes y radicales
1.2 exponentes y radicales1.2 exponentes y radicales
1.2 exponentes y radicales
 
Conjuntos Numéricos - Resumen Matemática
Conjuntos Numéricos - Resumen MatemáticaConjuntos Numéricos - Resumen Matemática
Conjuntos Numéricos - Resumen Matemática
 
tutorial y Guia de fundamentos drscheme
tutorial y Guia de fundamentos drschemetutorial y Guia de fundamentos drscheme
tutorial y Guia de fundamentos drscheme
 
tutorial de drscheme
tutorial de drscheme tutorial de drscheme
tutorial de drscheme
 
INFORME DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.docx
INFORME DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.docxINFORME DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.docx
INFORME DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.docx
 
INFORME DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.docx
INFORME DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.docxINFORME DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.docx
INFORME DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.docx
 
1XX.pdf
1XX.pdf1XX.pdf
1XX.pdf
 
Guia numeros racionales
Guia numeros racionalesGuia numeros racionales
Guia numeros racionales
 
Tema3 circuitos puertas_lógicas_y_álgebra_de_boole
Tema3 circuitos puertas_lógicas_y_álgebra_de_booleTema3 circuitos puertas_lógicas_y_álgebra_de_boole
Tema3 circuitos puertas_lógicas_y_álgebra_de_boole
 
Digitalización MAT-00
Digitalización MAT-00Digitalización MAT-00
Digitalización MAT-00
 
Formulario_de_matemáticas_para_bachillerato
Formulario_de_matemáticas_para_bachilleratoFormulario_de_matemáticas_para_bachillerato
Formulario_de_matemáticas_para_bachillerato
 
Formulario matematicas bachillerato
Formulario matematicas bachilleratoFormulario matematicas bachillerato
Formulario matematicas bachillerato
 
Mat 110 - 31 / Grupo N° 7
Mat 110 - 31 / Grupo N° 7 Mat 110 - 31 / Grupo N° 7
Mat 110 - 31 / Grupo N° 7
 
Matematica Racionalizacion
Matematica RacionalizacionMatematica Racionalizacion
Matematica Racionalizacion
 

Más de Rodolfo Alcantara Rosales

Más de Rodolfo Alcantara Rosales (20)

Capacitores
CapacitoresCapacitores
Capacitores
 
Instrumentaciony control ae039
Instrumentaciony control ae039Instrumentaciony control ae039
Instrumentaciony control ae039
 
Ac001 calculo diferencial
Ac001 calculo diferencialAc001 calculo diferencial
Ac001 calculo diferencial
 
O isic 2010-224 fisica general
O isic 2010-224 fisica generalO isic 2010-224 fisica general
O isic 2010-224 fisica general
 
Curso propedeutico 2016
Curso propedeutico 2016Curso propedeutico 2016
Curso propedeutico 2016
 
Practica5 integral doble area de funciones vectoriales
Practica5 integral doble area de funciones vectorialesPractica5 integral doble area de funciones vectoriales
Practica5 integral doble area de funciones vectoriales
 
Practica4 graficas de funciones reales de varias variables
Practica4 graficas de funciones reales de varias variablesPractica4 graficas de funciones reales de varias variables
Practica4 graficas de funciones reales de varias variables
 
Practica 4 gradiente
Practica 4 gradientePractica 4 gradiente
Practica 4 gradiente
 
Practica4 longitud de arco de funciones parametrizadas
Practica4 longitud de arco de funciones parametrizadasPractica4 longitud de arco de funciones parametrizadas
Practica4 longitud de arco de funciones parametrizadas
 
Optrica
OptricaOptrica
Optrica
 
Leyes de newton
Leyes de newtonLeyes de newton
Leyes de newton
 
Programa zacatacas
Programa zacatacasPrograma zacatacas
Programa zacatacas
 
Teorema de varignon
Teorema de varignonTeorema de varignon
Teorema de varignon
 
Practica 1 estatica
Practica 1 estaticaPractica 1 estatica
Practica 1 estatica
 
Convocatoria 2015
Convocatoria 2015Convocatoria 2015
Convocatoria 2015
 
Plan de trabajo cb 2015 2
Plan de trabajo cb 2015 2Plan de trabajo cb 2015 2
Plan de trabajo cb 2015 2
 
Tabla derivadas
Tabla derivadasTabla derivadas
Tabla derivadas
 
Evaluacion 2 funciones
Evaluacion 2 funcionesEvaluacion 2 funciones
Evaluacion 2 funciones
 
Fo tesji-54 manual de practicas limites
Fo tesji-54 manual de practicas limitesFo tesji-54 manual de practicas limites
Fo tesji-54 manual de practicas limites
 
Limites y continuidad
Limites y continuidadLimites y continuidad
Limites y continuidad
 

Unidad 1

  • 1. Cálculo Diferencial ACF-0901 UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Ing. Rodolfo Alcántara Rosales MONOGRAFÍA DE: “CÁLCULO DIFERENCIAL ” CARRERA: TODAS LAS INGENIERÍAS FECHA: 6 DE JULIO DE 2015 CONTENIDO No. UNIDAD NOMBRE DE LA UNIDAD 1 NÚMEROS REALES 1.1 La recta numérica. 1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.3.1 Tricotomía. 1.3.2 Transitividad. 1.3.3 Densidad. 1.3.4 Axioma del supremo. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita. 1.6 Valor absoluto y sus propiedades. 1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto. 2 FUNCIONES 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. 2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva 2.3 Función real de variable real y su representación gráfica. 2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional. 2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales. 2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia. función valor absoluto. 2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición. 2.8 Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversas. 2.9 Funciones con dominio en los números 1
  • 2. Cálculo Diferencial ACF-0901 UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Ing. Rodolfo Alcántara Rosales naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas. 2.10 Función implícita. 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD 3.1 Límite de una sucesión. 3.2 Límite de una función de variable real. 3.3 Cálculo de límites. 3.4 Propiedades de los límites. 3.5 Límites laterales. 3.6 Límites infinitos y límites al infinito. 3.7 Asíntotas. 3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo. 3.9 Tipos de discontinuidades. 4 DERIVADAS 4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función. 4.2 La interpretación geométrica de la derivada. 4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales. 4.4 Propiedades de la derivada. 4.5 Regla de la cadena. 4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación. 4.7 Derivadas de orden superior y regla L´Hôpital. 4.8 Derivada de funciones implícitas. 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. 5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial. 5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.Concavidades y puntos de inflexión.Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos. 5.4 Análisis de la variación de funciones 5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial. 5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas. UNIDAD 1 2
  • 3. Cálculo Diferencial ACF-0901 UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Ing. Rodolfo Alcántara Rosales 1.1 RECTA NUMÉRICA 1.2 Los números reales Los números reales son el conjunto de números naturales, cardinales, enteros racionales e irracionales. o Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar. 1, 2, 3,… o Los números cardinales son el conjunto de números naturales y el cero. 0, 1, 2, 3, 4, 5… o Los números enteros consisten de los números naturales, sus opuestos y el cero. …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,… Número entero positivo es todo entero positivo mayor de cero. 1, 2, 3, 5,347, 1, 702,445... Número entero negativo es todo entero negativo menor que cero. -1, 000,345, -57, -3,- 4,- 2,- 1, El cero representa el lugar de partida en alguna dirección. No es positivo ni negativo. Los números racionales representan partes de un todo, un cociente que ha sido dividido en partes iguales. ⅛, 7.4, -2.35, 8, -25 Los números irracionales son números que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. 3
  • 4. Cálculo Diferencial ACF-0901 UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Ing. Rodolfo Alcántara Rosales 0.789, 3.1456, p Figura 1. Esquema que muestra la composición de los números reales 1.3Propiedades de los números reales. 1.3.1 Tricotomía. Dados a y b e R se cumple exactamente una de las siguientes a_rmaciones: a = b: a > b: a < b: 1.3.2 Transitividad. Dados a; b; c e R si 4
  • 5. Cálculo Diferencial ACF-0901 UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Ing. Rodolfo Alcántara Rosales a < b y b < c entonces a < c 1.3.3 Densidad. Dados a; b e R si a > b entonces existen un elemento x e R tal que a > x y x > b: La propiedad de la densidad es consecuencia directa de la definición de NÚMERO REAL, el cual fue creado pensando en la necesidad de tener números suficientes para explicar el mundo real. 1.3.4 Axioma del supremo. Sea A _ R tal que existe k e R con la propiedad de que k > a para toda a e R: Entonces existe un elemento s e R tal que cumple la propiedad anterior y además si k’ es otro número que cumple la propiedad entonces s < k’: ACTIVIDAD 1. En las siguientes parejas de reales suponga que a > b; determine el orden y coloquelo en la columna de la derecha: 5
  • 6. Cálculo Diferencial ACF-0901 UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Ing. Rodolfo Alcántara Rosales A) za;zb si z <0 B) 1/a, 1/b C) a, -b D) –a, b E) a, (a+b)/2 F) b, (a+b)/2 ACTIVIDAD 2 Si a > b > 0; entonces la(s) afirmacion(es) verdadera(s) es (son) (anóte en la columna de la derecha F o V) A) ab >b B) a 2 + b 2 >2ab C) a -b <b D) a + b >a E) (a/b) + (b/a) >2 F) a 2 -b 2 >0 G) (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) >0 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hace verdadera. En contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución, consta de un número o conjunto finito de números, el conjunto solución de u nadesigualdad consta de un intervalo completo de números, o en su caso, la unión de esos intervalos. Intervalo 6
  • 7. Cálculo Diferencial ACF-0901 UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Ing. Rodolfo Alcántara Rosales Dados dos números a y b en R con a < b el intervalo definido por a y b es el conjunto de números x en R que están entre a y b. Los puntos a y b pueden o no pertenecer al intervalo, por lo que se tienen los siguientes casos: La noción de intervalo se puede extender para los casos que denotan el conjunto de las x que pertenecen a los reales y que son más grandes o mas chicas que un número dado, tal como se ilustra a continuación: 7
  • 8. Cálculo Diferencial ACF-0901 UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Ing. Rodolfo Alcántara Rosales ACTIVIDAD 3 En la siguiente tabla, coloque en la columna central el símbolo de desigualdad que corresponda y en la columna de la derecha, grafique el intervalo indicado: 1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita. Resolver una desigualdad (o inecuación) es encontrar los valores de la variable para los cules puede ser válida o no. Ejemplo: Sea la desigualdad 2 + x < 9x + 6 8
  • 9. Cálculo Diferencial ACF-0901 UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Ing. Rodolfo Alcántara Rosales Para el caso de desigualdades de según orden, la solución se puede obtener de dos formas: 1. Factorizando. 2. Utilizando la fórmula general. x2 – 4x + 3 £ 0 Factorizando (x-3)(x-1) Números críticos x = 1, x = 3 Posibles soluciones La solución está dada por los intervalos que cumplan que 0)1()3( ≤−− xx , (signo negativo en la quinta columna). 9
  • 10. Cálculo Diferencial ACF-0901 UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Ing. Rodolfo Alcántara Rosales Solución: [1, 3] Ejemplo: x2 – x – 1 £ 0 Como no se puede factorizar, es decir, tiene raíces irracionales, entonces utilizamos la fórmula general para ecuaciones cuadráticas Números críticos Posibles soluciones La solución es: ) 2 51 , 2 51 ( +− 10
  • 11. Cálculo Diferencial ACF-0901 UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Ing. Rodolfo Alcántara Rosales 1.5 Valor absoluto y sus propiedades. El valor absoluto de un número real x se denota por | x | y se define como: Las propiedas del valor absoluto son: 1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto. Ejemplo: sea la desigualdad 972 <−x Por propiedad: babba <<−⇔< 11
  • 12. Cálculo Diferencial ACF-0901 UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Ing. Rodolfo Alcántara Rosales 1 8x x-22x 162x2x2- 792x2x79- 97-2x7-2x9- casoSegundocasoPrimer 9729 2 2 2 16 −> <−> <> << +<<+ << <−<− x x x Solución: (-1, 8) 12 -1 ( ) 8