SlideShare una empresa de Scribd logo
UNIDAD 2:
Función cuadrática
ÁLGEBRA Y
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
Las funciones cuadráticas
son utilizadas en diversas
disciplinas.
Són útiles para describir y
predecir ganancias y
costos de empresas,y
obtener así información,
sin necesidad de recurrir
a la experimentación.
FUNCIÓN CUADRÁTICA:
Se llama función cuadrática a la función polinómica de segundo grado.
Es decir, una función cuadrática es una función:
𝒇: 𝑹 → Τ
𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙𝟐 + 𝒃 𝒙 + 𝒄
𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑹 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎
Los términos de la función reciben los siguientes nombres:
 𝒂 𝒙𝟐: Término cuadrático
 𝒃 𝒙 ∶ Término lineal
 𝒄 ∶ Término independiente
• La gráfica de la función
cuadrática es una parábola.
• Sus ramas son simétricas
respecto a una recta, que es el
eje de simetría (puede ser el
eje “y” o un eje paralelo a él).
• El punto de intersección de la
parábola con el eje de simetría
se llama vértice.
FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
• Si b=c=0 → la fórmula de la función es de la forma 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐
FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
Tiene el vértice en
el origen de
coordenadas y es
simétrica respecto
al eje “y”
FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
• Si la gráfica de una función
cuadrática se abre hacia arriba
(a>0) el vértice, de coordenadas
(h;k), es el punto más bajo
(MÍNIMO VALOR QUE PUEDE
TOMAR LA FUNCIÓN).
• Si la gráfica de la función cuadrática
se abre hacia abajo (a<0) el vértice
, de coordenadas (h;k), es el punto
más alto. (MÁXIMO VALOR QUE
PUEDE TOMAR LA FUNCIÓN).
• La recta x=h es el eje de simetría, o
simplemente eje de la parábola.
Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”
FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
Para realizar la representación gráfica de
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente
hacerlo a partir de estos puntos:
Coordenadas vértice:
𝒙𝒗 = −
𝒃
𝟐𝒂
𝒚𝒗 = 𝒇(𝒙𝒗)
FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
Para realizar la representación gráfica de
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente
hacerlo a partir de estos puntos:
Puntos de corte con el eje x (y=0)
(raíces o ceros de la función):
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Si 𝑏2
− 4𝑎𝑐>0 ⇒ la parábola corta al eje x en los puntos:
𝒙𝟏 =
−𝒃 + 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
𝒙𝟐 =
−𝒃 − 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
Para realizar la representación gráfica de
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente
hacerlo a partir de estos puntos:
Puntos de corte con el eje x (y=0)
(raíces o ceros de la función):
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 ⇒ la parábola corta al eje x en UN punto
𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 =
−𝒃
𝟐𝒂
RAÍZ DOBLE
FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
Para realizar la representación gráfica de
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente
hacerlo a partir de estos puntos:
Puntos de corte con el eje x (y=0)
(raíces o ceros de la función):
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Si 𝑏2
− 4𝑎𝑐 < 0 ⇒ la parábola NO corta al eje x
NO TIENE RAÍCES REALES
FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
Para realizar la representación gráfica de
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente
hacerlo a partir de estos puntos:
Ordenada al origen:
𝑷𝟎 = (𝟎; 𝒄)
Intersección recta y parábola
ቊ
𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Significa resolver un sistema del tipo:
Objetivo: encontrar los
puntos que satisfacen ambas
ecuaciones, o sea, los puntos
que tienen en común ambas
funciones.
P1
P2
Intersección recta y parábola
ቊ
𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Significa resolver un sistema del tipo:
1) Aplicar el método de igualación (o
cualquiera) para resolver el sistema:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑚𝑥 + 𝑏
2) Esto dará por resultado una
ecuación de segundo grado⇒ aplicar
fórmula resolvente
𝑎𝑥2 + 𝑏 − 𝑚 𝑥 + 𝑐 − 𝑏 = 0
P1
P2
Intersección recta y parábola
Al aplicar fórmula resolvente puede suceder:
𝒃𝟐
− 𝟒𝒂𝒄>0 ⇒ recta y parábola secantes (tienen en común DOS puntos)
Intersección recta y parábola
Al aplicar fórmula resolvente puede suceder:
𝒃𝟐
− 𝟒𝒂𝒄 =0 ⇒ recta y parábola tangentes (tienen en común UN punto)
Intersección recta y parábola
Al aplicar fórmula resolvente puede suceder:
𝒃𝟐
− 𝟒𝒂𝒄>0 ⇒ recta y parábola exteriores (NO tienen puntos en común)
Dominio e imagen de una función cuadrática.
Clasificación
𝒇: 𝑹 → Τ
𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙𝟐 + 𝒃 𝒙 + 𝒄
𝑉(𝑥𝑣; 𝑦𝑣)
Dm=
Im= ሾ𝑦𝑣; )
∞
𝑹
Inyectiva?
Suryectiva?
NO INYECTIVA
NO SURYECTIVA
x
y
Dominio e imagen de una función cuadrática.
Clasificación
𝒇: 𝑹 → Τ
𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙𝟐 + 𝒃 𝒙 + 𝒄
𝑉(𝑥𝑣; 𝑦𝑣)
Dm=
Im= (−∞; ሿ
𝑦𝑣
𝑹
Inyectiva?
Suryectiva?
NO INYECTIVA
NO SURYECTIVA
x
y
Función cúbica
Se llama función cúbica a la función polinómica de grado tres.
Es decir, una función cúbica tendrá una fórmula:
𝒇: 𝑹 → Τ
𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅
𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ 𝑹 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎
• La gráfica de la función
cúbica es una parábola
cúbica.
FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica
FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica
Si a>0 Si a<0
• Si b=c=d=0 → la fórmula de la función es de la forma 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑
PASA POR EL ORIGEN
FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica
• Si 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑
± 𝒃 ⇒corta al eje y en ±𝒃
FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica
𝒇: 𝑹 → Τ
𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄𝒙 + 𝒅
Dependiendo de los valores de a, b, c y d
puede tomar diversas formas, pero siempre
teniendo las siguientes características:
1) Una función cúbica puede tener tres,
dos o una raíz.
FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica
𝒇: 𝑹 → Τ
𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄𝒙 + 𝒅
Dependiendo de los valores de a, b, c y d
puede tomar diversas formas, pero siempre
teniendo las siguientes características:
2) Dm=
Im=
R
R
FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica
𝒇: 𝑹 → Τ
𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄𝒙 + 𝒅
Dependiendo de los valores de a, b, c y d
puede tomar diversas formas, pero siempre
teniendo las siguientes características:
3) Cortan al eje y en el punto P(0;d)
Clasificación de funciones
Funciones polinómicas
Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”
Funciones racionales
→sus fórmulas están determinadas por el cociente de dos
polinomios 𝒇 𝒙 =
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son funciones polinómicas
El dominio de esta función son todos los números reales, excepto
aquellos en los cuales 𝑄(𝑥) sea cero.
Una función racional especial:
Función homográfica
f(x) =
𝒂 𝒙 + 𝒃
𝒄 𝒙 + 𝒅
La gráfica es una hipérbola
Numerador y denominador son polinomios de primer grado
donde 𝒄 ≠ 𝟎 pues de no ser así la función se
convierte en lineal.
𝑐𝑥 + 𝑑 ≠ 0 ⟹ 𝑥 ≠
−𝑑
𝑐
𝑫𝒎𝒇 = 𝑹 −
−𝒅
𝒄
a, b, c y d reales
Dominio →el único valor real que no pertenece al
dominio es la raíz del denominador
Función homográfica: Características
f(x) =
𝒂 𝒙 + 𝒃
𝒄 𝒙 + 𝒅
La gráfica es una hipérbola
Asíntota
vertical
Asíntota
horizontal
Asíntota: rectas que, prolongadas
indefinidamente, se acercan
progresivamente a la curva de la
función sin llegar nunca a
encontrarla.
⇒ Asíntota vertical → 𝑥 =
−𝑑
𝑐
Asíntota
vertical
Asíntota
horizontal
Función homográfica: Características
Asíntota vertical
Se encuentra ubicada en el valor de x que hace cero el
denominador y no el numerador.
f(x) =
𝒂 𝒙 + 𝒃
𝒄 𝒙 + 𝒅
Cuando 𝑥 →
−𝑑
𝑐
−
⇒ 𝑦 → −∞
Cuando 𝑥 →
−𝑑
𝑐
+
⇒ 𝑦 → ∞
Asíntota
vertical
Asíntota
horizontal
Función homográfica: Características
Asíntota horizontal
f(x) =
𝒂 𝒙 + 𝒃
𝒄 𝒙 + 𝒅
Se encuentra ubicada en el valor de y que hacen 𝑥 → ∞
𝑦 =
𝒂 𝒙 + 𝒃
𝒄 𝒙 + 𝒅
𝑦 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑦𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑦𝑐𝑥 − 𝑎𝑥 = 𝑏 − 𝑦𝑑
𝑥(𝑦𝑐 − 𝑎) = 𝑏 − 𝑦𝑑
𝑥 =
𝑏 − 𝑦𝑑
𝑦𝑐 − 𝑎
𝑥 → ∞ si 𝑦𝑐 − 𝑎 → 0 ⇒ y =
𝑎
𝑐
es asíntota horizontal
Función homográfica 𝒚 =
𝒂 𝒙 + 𝒃
𝒄 𝒙 + 𝒅
Asíntota
vertical
Asíntota
horizontal
⇒ Asíntota vertical → 𝑥 =
−𝑑
𝑐
Asíntota horizontal → y =
𝑎
𝑐
Dm=𝑅 − −
𝑑
𝑐
Raíz de la función→ igualar a cero toda la función
Ordenada→ calcular f(0)
Dm=𝑅 −
−𝑑
𝑐
Im= 𝑅 −
𝑎
𝑐
Función homográfica
La función exponencial con base a esta definida para
todos los números reales x por:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
donde 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1
Funciones trascendentes: Función exponencial
Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”
Funciones trascendentes: función exponencial
• Como 𝑎0
= 1, el punto de intersección
con el eje y de la función es 1.
• El eje x es una asíntota horizontal de
la función 𝑦 = 𝑎𝑥
porque 𝑎𝑥
→ ∞
cuando 𝑥 → 0
• La función crece más rápido
cuando mayor es la base.
Funciones trascendentes: función exponencial
Dominio funciones exponenciales:
Dm=R
Im=𝑅+
Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”
∀𝑥𝜖𝑅: 𝑓(𝑥) > 0
Funciones trascendentes: función exponencial
Características:
• El dominio de la función es el conjunto de los números reales, esto es,
−∞; ∞ .
• La imagen de la función es el conjunto de los números reales positivos,
esto es, 0; ∞ .
• La intersección de la función con el eje x está en 0; 1 . La gráfica de la
función no tiene intersección con el eje x.
• La función es creciente para 𝑏 > 1 y decreciente para 0 < 𝑏 < 1.
• El eje x, esto es, y = 0, es asíntota horizontal de la gráfica de f.
Sea a un número positivo con 𝑎 ≠ 1.
La función logarítmica con base a, denotada por
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒂𝒚 = 𝒙
Por lo tanto log𝑎 𝑥 es el exponente al cual la base a debe ser elevado para obtener x.
En símbolos: log ba = c  bc = a
b es la base del logaritmo y debe ser un número real positivo y distinto de 1.
a es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo.
Ejemplo:
log2 16 = 4
log 216 = 4  24 = 16
Funciones trascendentes: Función logarítmica
Sea a un número positivo con 𝑎 ≠ 1.
La función logarítmica con base a, denotada por
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒂𝒚 = 𝒙
Por lo tanto log𝑎 𝑥 es el exponente al cual la base a debe ser elevado para obtener x.
En símbolos: log ba = c  bc = a
b es la base del logaritmo y debe ser un número real positivo y distinto de 1.
a es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo.
Funciones trascendentes: Función logarítmica
Ejemplo:
log3 27 = 3
log 3 27 = 3  33 = 27
Sea a un número positivo con 𝑎 ≠ 1.
La función logarítmica con base a, denotada por
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒂𝒚 = 𝒙
Por lo tanto log𝑎 𝑥 es el exponente al cual la base a debe ser elevado para obtener x.
En símbolos: log ba = c  bc = a
b es la base del logaritmo y debe ser un número real positivo y distinto de 1.
a es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo.
Funciones trascendentes: Función logarítmica
Ejemplo:
log2
1
4
= -2
log𝟐
𝟏
𝟒
= -2  2-2 =
𝟏
𝟒
Sea a un número positivo con 𝑎 ≠ 1.
La función logarítmica con base a, denotada por
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒂𝒚 = 𝒙
Por lo tanto log𝑎 𝑥 es el exponente al cual la base a debe ser elevado para obtener x.
En símbolos: log ba = c  bc = a
b es la base del logaritmo y debe ser un número real positivo y distinto de 1.
a es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo.
Funciones trascendentes: Función logarítmica
Ejemplo:
log2
3
2 =
𝟏
𝟑
log𝟐
𝟑
𝟐 =
𝟏
𝟑
 𝟐
𝟏
𝟑 =
𝟑
𝟐
IMPORTANTE : Cuando escribimos “log x” sin especificar la base , sobreentendemos que esta es diez
Función logarítmica:
La función logaritmo es la función
inversa de la función exponencial
Funciones exponenciales:
Dm=R
Im=𝑅+
Funciones logarítmicas:
Dm= 𝑅+
Im=𝑅
Funciones trascendentes: Función logarítmica
Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”
Función logarítmica:
Dm= 𝑅+
Im=R
• Como log𝑎 1 = 0, el punto de
intersección con el eje x de la
función es 1.
• El eje y es una asíntota vertical de
la función 𝑦 = log𝑎 𝑥 porque
log𝑎 𝑥 → −∞ cuando 𝑥 → 0
Funciones trascendentes: Función logarítmica
Función logarítmica:
Familia de funciones logarítmicas
La función crece más rápido
cuando menor es la base del
logaritmo
Funciones trascendentes: Función logarítmica
Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”
Funciones trascendentes: Función logarítmica
Características:
• El dominio de la función es el conjunto de los números reales positivos,
esto es, 0; ∞
• La imagen de la función es el conjunto de los números reales, esto es,
−∞; ∞
• La intersección de la función con el eje x está en 1; 0 . La gráfica de la
función no tiene intersección con el eje y.
• La función es creciente para 𝑏 > 1 y decreciente para 0 < 𝑏 < 1.
• El eje y, esto es, 𝑥 = 0, es asíntota vertical de la gráfica de f.
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙
BIBLIOGRAFÍA
- Larson, Ron y otros. .”Cálculo esencial”. Ed. Cengage.. 2010. México.
- STEWART, James. “Precalculo. Matmática para el cálculo”. Ed. Cengage. 2012. Mexico.

Más contenido relacionado

Similar a Unidad 2- funcion cuadrática (1).pdf

Funciones racionales
Funciones racionalesFunciones racionales
Funciones racionales
Rosa E Padilla
 
PPT
PPTPPT
áLgebra(I Bim)
áLgebra(I Bim)áLgebra(I Bim)
áLgebra(I Bim)
Videoconferencias UTPL
 
Tipos de funciones.pdf 08
Tipos de funciones.pdf   08Tipos de funciones.pdf   08
Tipos de funciones.pdf 08
Andres Fernando Quispe Avalos
 
Ejercicios de representación Gráfica de funciones
Ejercicios de representación Gráfica de funcionesEjercicios de representación Gráfica de funciones
Ejercicios de representación Gráfica de funciones
Javier Dancausa Vicent
 
Gráficas de exámenes 1415
Gráficas de exámenes 1415Gráficas de exámenes 1415
Gráficas de exámenes 1415
Javier Dancausa Vicent
 
Funciones racionales
Funciones racionalesFunciones racionales
Funciones racionales
Rosa E Padilla
 
2da evaluacion de matematica, presentacion
2da evaluacion de matematica, presentacion2da evaluacion de matematica, presentacion
2da evaluacion de matematica, presentacion
fabiana733179
 
Introducción a las Funciones Elementales ccesa007
Introducción a las Funciones Elementales   ccesa007Introducción a las Funciones Elementales   ccesa007
Introducción a las Funciones Elementales ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
Funciones trascendentes
Funciones trascendentes Funciones trascendentes
Funciones trascendentes
Maria Jose Abello
 
Calculo 2
Calculo 2Calculo 2
Calculo 2
Kamila Morales
 
Funciones
FuncionesFunciones
Funciones
figuerajc
 
Funcionestrascendentesmatematica 160522004625
Funcionestrascendentesmatematica 160522004625Funcionestrascendentesmatematica 160522004625
Funcionestrascendentesmatematica 160522004625
beto7500
 
Representación gráfica de funciones (Bachillerato)
Representación gráfica de funciones (Bachillerato)Representación gráfica de funciones (Bachillerato)
Representación gráfica de funciones (Bachillerato)
Bartoluco
 
Presentación semana 11.pptx
Presentación semana 11.pptxPresentación semana 11.pptx
Presentación semana 11.pptx
CesarVarasBeltran
 
4quincena9
4quincena94quincena9
4quincena9
Rosario Huaman
 
Funciones
FuncionesFunciones
Funciones
sedcaldas
 
Unidad 4 - Apuntes y ejercicios.pdf
Unidad 4 - Apuntes y ejercicios.pdfUnidad 4 - Apuntes y ejercicios.pdf
Unidad 4 - Apuntes y ejercicios.pdf
oaura
 
Funciones parte i
Funciones parte iFunciones parte i
Funciones parte i
angiegutierrez11
 
graficas_trig.ppt
graficas_trig.pptgraficas_trig.ppt
graficas_trig.ppt
CesarVarasBeltran
 

Similar a Unidad 2- funcion cuadrática (1).pdf (20)

Funciones racionales
Funciones racionalesFunciones racionales
Funciones racionales
 
PPT
PPTPPT
PPT
 
áLgebra(I Bim)
áLgebra(I Bim)áLgebra(I Bim)
áLgebra(I Bim)
 
Tipos de funciones.pdf 08
Tipos de funciones.pdf   08Tipos de funciones.pdf   08
Tipos de funciones.pdf 08
 
Ejercicios de representación Gráfica de funciones
Ejercicios de representación Gráfica de funcionesEjercicios de representación Gráfica de funciones
Ejercicios de representación Gráfica de funciones
 
Gráficas de exámenes 1415
Gráficas de exámenes 1415Gráficas de exámenes 1415
Gráficas de exámenes 1415
 
Funciones racionales
Funciones racionalesFunciones racionales
Funciones racionales
 
2da evaluacion de matematica, presentacion
2da evaluacion de matematica, presentacion2da evaluacion de matematica, presentacion
2da evaluacion de matematica, presentacion
 
Introducción a las Funciones Elementales ccesa007
Introducción a las Funciones Elementales   ccesa007Introducción a las Funciones Elementales   ccesa007
Introducción a las Funciones Elementales ccesa007
 
Funciones trascendentes
Funciones trascendentes Funciones trascendentes
Funciones trascendentes
 
Calculo 2
Calculo 2Calculo 2
Calculo 2
 
Funciones
FuncionesFunciones
Funciones
 
Funcionestrascendentesmatematica 160522004625
Funcionestrascendentesmatematica 160522004625Funcionestrascendentesmatematica 160522004625
Funcionestrascendentesmatematica 160522004625
 
Representación gráfica de funciones (Bachillerato)
Representación gráfica de funciones (Bachillerato)Representación gráfica de funciones (Bachillerato)
Representación gráfica de funciones (Bachillerato)
 
Presentación semana 11.pptx
Presentación semana 11.pptxPresentación semana 11.pptx
Presentación semana 11.pptx
 
4quincena9
4quincena94quincena9
4quincena9
 
Funciones
FuncionesFunciones
Funciones
 
Unidad 4 - Apuntes y ejercicios.pdf
Unidad 4 - Apuntes y ejercicios.pdfUnidad 4 - Apuntes y ejercicios.pdf
Unidad 4 - Apuntes y ejercicios.pdf
 
Funciones parte i
Funciones parte iFunciones parte i
Funciones parte i
 
graficas_trig.ppt
graficas_trig.pptgraficas_trig.ppt
graficas_trig.ppt
 

Último

Cartografia social universidad de córdoba.pptx
Cartografia social universidad de córdoba.pptxCartografia social universidad de córdoba.pptx
Cartografia social universidad de córdoba.pptx
ballesterohussein
 
El sistema inmunológico y formas de acción
El sistema inmunológico y formas de acciónEl sistema inmunológico y formas de acción
El sistema inmunológico y formas de acción
alexandraninazunta
 
PRESENTACION COMITE IDU 5 rev INT 16 04 24.pptx
PRESENTACION COMITE IDU 5 rev INT 16 04 24.pptxPRESENTACION COMITE IDU 5 rev INT 16 04 24.pptx
PRESENTACION COMITE IDU 5 rev INT 16 04 24.pptx
social1760ic
 
1892 – El 17 de junio Nicholay (o Nikolai) Petersen, que vivía en México, rec...
1892 – El 17 de junio Nicholay (o Nikolai) Petersen, que vivía en México, rec...1892 – El 17 de junio Nicholay (o Nikolai) Petersen, que vivía en México, rec...
1892 – El 17 de junio Nicholay (o Nikolai) Petersen, que vivía en México, rec...
Champs Elysee Roldan
 
Reanimacion cardiopulmonar RCP basico rcp basico
Reanimacion cardiopulmonar RCP basico rcp basicoReanimacion cardiopulmonar RCP basico rcp basico
Reanimacion cardiopulmonar RCP basico rcp basico
DaljaMendoza
 
Calor, tema de termodinamica en fisica para preparatoria
Calor, tema de termodinamica en fisica para preparatoriaCalor, tema de termodinamica en fisica para preparatoria
Calor, tema de termodinamica en fisica para preparatoria
rubentzompaangeles
 
Microscopia Explorando el Mundo Microscopico
Microscopia Explorando el Mundo MicroscopicoMicroscopia Explorando el Mundo Microscopico
Microscopia Explorando el Mundo Microscopico
danielasocasi1906
 
´presentacion sobre el asma ciencias de la salud
´presentacion sobre el asma ciencias de la salud´presentacion sobre el asma ciencias de la salud
´presentacion sobre el asma ciencias de la salud
ErwinOrtiz12
 
Ácidos y bases, modelo de arrhenius y de bronsted lowry
Ácidos y bases, modelo de arrhenius y de bronsted lowryÁcidos y bases, modelo de arrhenius y de bronsted lowry
Ácidos y bases, modelo de arrhenius y de bronsted lowry
MarianaRodriguezGaon
 
Los. Ácidos Nucleicos y Nucleótidos.pptx
Los. Ácidos Nucleicos y Nucleótidos.pptxLos. Ácidos Nucleicos y Nucleótidos.pptx
Los. Ácidos Nucleicos y Nucleótidos.pptx
DayanaQuispe28
 
Priones, definiciones y la enfermedad de las vacas locas
Priones, definiciones y la enfermedad de las vacas locasPriones, definiciones y la enfermedad de las vacas locas
Priones, definiciones y la enfermedad de las vacas locas
alexandrajunchaya3
 
Virus de la Inmunodeficiencia humana (VIH).pdf
Virus de la Inmunodeficiencia humana (VIH).pdfVirus de la Inmunodeficiencia humana (VIH).pdf
Virus de la Inmunodeficiencia humana (VIH).pdf
melaniepalomino1502
 
Rodríguez, Y. - Por un pedazo de tierra. La nueva geopolítica basada en las c...
Rodríguez, Y. - Por un pedazo de tierra. La nueva geopolítica basada en las c...Rodríguez, Y. - Por un pedazo de tierra. La nueva geopolítica basada en las c...
Rodríguez, Y. - Por un pedazo de tierra. La nueva geopolítica basada en las c...
frank0071
 
Atlas de la biodiversidad en Colombia América del sur
Atlas de la biodiversidad en Colombia América del surAtlas de la biodiversidad en Colombia América del sur
Atlas de la biodiversidad en Colombia América del sur
ssuser101841
 
Trastorno de la ansiedad en la sociedad1
Trastorno de la ansiedad en la sociedad1Trastorno de la ansiedad en la sociedad1
Trastorno de la ansiedad en la sociedad1
giulianna123xd
 
coproparasitología de heces en laboratorio
coproparasitología de heces en laboratoriocoproparasitología de heces en laboratorio
coproparasitología de heces en laboratorio
LuzAngelaParedesGuar1
 
Caso clínico Quilotórax en mujer sin antecedentes
Caso clínico Quilotórax en mujer sin antecedentesCaso clínico Quilotórax en mujer sin antecedentes
Caso clínico Quilotórax en mujer sin antecedentes
DanielZurita51
 
Kerbo, H. R. - Estratificación social y desigualdad (El conflicto de clase en...
Kerbo, H. R. - Estratificación social y desigualdad (El conflicto de clase en...Kerbo, H. R. - Estratificación social y desigualdad (El conflicto de clase en...
Kerbo, H. R. - Estratificación social y desigualdad (El conflicto de clase en...
frank0071
 
Reacciones Químicas en el cuerpo humano.pptx
Reacciones Químicas en el cuerpo humano.pptxReacciones Químicas en el cuerpo humano.pptx
Reacciones Químicas en el cuerpo humano.pptx
PamelaKim10
 
FICHA 7- crecimiento económico desarrollo de la sociedad
FICHA  7- crecimiento económico desarrollo de la sociedadFICHA  7- crecimiento económico desarrollo de la sociedad
FICHA 7- crecimiento económico desarrollo de la sociedad
maldonadoretamozoc
 

Último (20)

Cartografia social universidad de córdoba.pptx
Cartografia social universidad de córdoba.pptxCartografia social universidad de córdoba.pptx
Cartografia social universidad de córdoba.pptx
 
El sistema inmunológico y formas de acción
El sistema inmunológico y formas de acciónEl sistema inmunológico y formas de acción
El sistema inmunológico y formas de acción
 
PRESENTACION COMITE IDU 5 rev INT 16 04 24.pptx
PRESENTACION COMITE IDU 5 rev INT 16 04 24.pptxPRESENTACION COMITE IDU 5 rev INT 16 04 24.pptx
PRESENTACION COMITE IDU 5 rev INT 16 04 24.pptx
 
1892 – El 17 de junio Nicholay (o Nikolai) Petersen, que vivía en México, rec...
1892 – El 17 de junio Nicholay (o Nikolai) Petersen, que vivía en México, rec...1892 – El 17 de junio Nicholay (o Nikolai) Petersen, que vivía en México, rec...
1892 – El 17 de junio Nicholay (o Nikolai) Petersen, que vivía en México, rec...
 
Reanimacion cardiopulmonar RCP basico rcp basico
Reanimacion cardiopulmonar RCP basico rcp basicoReanimacion cardiopulmonar RCP basico rcp basico
Reanimacion cardiopulmonar RCP basico rcp basico
 
Calor, tema de termodinamica en fisica para preparatoria
Calor, tema de termodinamica en fisica para preparatoriaCalor, tema de termodinamica en fisica para preparatoria
Calor, tema de termodinamica en fisica para preparatoria
 
Microscopia Explorando el Mundo Microscopico
Microscopia Explorando el Mundo MicroscopicoMicroscopia Explorando el Mundo Microscopico
Microscopia Explorando el Mundo Microscopico
 
´presentacion sobre el asma ciencias de la salud
´presentacion sobre el asma ciencias de la salud´presentacion sobre el asma ciencias de la salud
´presentacion sobre el asma ciencias de la salud
 
Ácidos y bases, modelo de arrhenius y de bronsted lowry
Ácidos y bases, modelo de arrhenius y de bronsted lowryÁcidos y bases, modelo de arrhenius y de bronsted lowry
Ácidos y bases, modelo de arrhenius y de bronsted lowry
 
Los. Ácidos Nucleicos y Nucleótidos.pptx
Los. Ácidos Nucleicos y Nucleótidos.pptxLos. Ácidos Nucleicos y Nucleótidos.pptx
Los. Ácidos Nucleicos y Nucleótidos.pptx
 
Priones, definiciones y la enfermedad de las vacas locas
Priones, definiciones y la enfermedad de las vacas locasPriones, definiciones y la enfermedad de las vacas locas
Priones, definiciones y la enfermedad de las vacas locas
 
Virus de la Inmunodeficiencia humana (VIH).pdf
Virus de la Inmunodeficiencia humana (VIH).pdfVirus de la Inmunodeficiencia humana (VIH).pdf
Virus de la Inmunodeficiencia humana (VIH).pdf
 
Rodríguez, Y. - Por un pedazo de tierra. La nueva geopolítica basada en las c...
Rodríguez, Y. - Por un pedazo de tierra. La nueva geopolítica basada en las c...Rodríguez, Y. - Por un pedazo de tierra. La nueva geopolítica basada en las c...
Rodríguez, Y. - Por un pedazo de tierra. La nueva geopolítica basada en las c...
 
Atlas de la biodiversidad en Colombia América del sur
Atlas de la biodiversidad en Colombia América del surAtlas de la biodiversidad en Colombia América del sur
Atlas de la biodiversidad en Colombia América del sur
 
Trastorno de la ansiedad en la sociedad1
Trastorno de la ansiedad en la sociedad1Trastorno de la ansiedad en la sociedad1
Trastorno de la ansiedad en la sociedad1
 
coproparasitología de heces en laboratorio
coproparasitología de heces en laboratoriocoproparasitología de heces en laboratorio
coproparasitología de heces en laboratorio
 
Caso clínico Quilotórax en mujer sin antecedentes
Caso clínico Quilotórax en mujer sin antecedentesCaso clínico Quilotórax en mujer sin antecedentes
Caso clínico Quilotórax en mujer sin antecedentes
 
Kerbo, H. R. - Estratificación social y desigualdad (El conflicto de clase en...
Kerbo, H. R. - Estratificación social y desigualdad (El conflicto de clase en...Kerbo, H. R. - Estratificación social y desigualdad (El conflicto de clase en...
Kerbo, H. R. - Estratificación social y desigualdad (El conflicto de clase en...
 
Reacciones Químicas en el cuerpo humano.pptx
Reacciones Químicas en el cuerpo humano.pptxReacciones Químicas en el cuerpo humano.pptx
Reacciones Químicas en el cuerpo humano.pptx
 
FICHA 7- crecimiento económico desarrollo de la sociedad
FICHA  7- crecimiento económico desarrollo de la sociedadFICHA  7- crecimiento económico desarrollo de la sociedad
FICHA 7- crecimiento económico desarrollo de la sociedad
 

Unidad 2- funcion cuadrática (1).pdf

  • 1. UNIDAD 2: Función cuadrática ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
  • 2. Las funciones cuadráticas son utilizadas en diversas disciplinas. Són útiles para describir y predecir ganancias y costos de empresas,y obtener así información, sin necesidad de recurrir a la experimentación.
  • 3. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Se llama función cuadrática a la función polinómica de segundo grado. Es decir, una función cuadrática es una función: 𝒇: 𝑹 → Τ 𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙𝟐 + 𝒃 𝒙 + 𝒄 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑹 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎 Los términos de la función reciben los siguientes nombres:  𝒂 𝒙𝟐: Término cuadrático  𝒃 𝒙 ∶ Término lineal  𝒄 ∶ Término independiente
  • 4. • La gráfica de la función cuadrática es una parábola. • Sus ramas son simétricas respecto a una recta, que es el eje de simetría (puede ser el eje “y” o un eje paralelo a él). • El punto de intersección de la parábola con el eje de simetría se llama vértice. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
  • 5. • Si b=c=0 → la fórmula de la función es de la forma 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica Tiene el vértice en el origen de coordenadas y es simétrica respecto al eje “y”
  • 6. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica • Si la gráfica de una función cuadrática se abre hacia arriba (a>0) el vértice, de coordenadas (h;k), es el punto más bajo (MÍNIMO VALOR QUE PUEDE TOMAR LA FUNCIÓN). • Si la gráfica de la función cuadrática se abre hacia abajo (a<0) el vértice , de coordenadas (h;k), es el punto más alto. (MÁXIMO VALOR QUE PUEDE TOMAR LA FUNCIÓN). • La recta x=h es el eje de simetría, o simplemente eje de la parábola. Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”
  • 7. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica Para realizar la representación gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente hacerlo a partir de estos puntos: Coordenadas vértice: 𝒙𝒗 = − 𝒃 𝟐𝒂 𝒚𝒗 = 𝒇(𝒙𝒗)
  • 8. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica Para realizar la representación gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente hacerlo a partir de estos puntos: Puntos de corte con el eje x (y=0) (raíces o ceros de la función): 𝒙𝟏,𝟐 = −𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐>0 ⇒ la parábola corta al eje x en los puntos: 𝒙𝟏 = −𝒃 + 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 𝒙𝟐 = −𝒃 − 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂
  • 9. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica Para realizar la representación gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente hacerlo a partir de estos puntos: Puntos de corte con el eje x (y=0) (raíces o ceros de la función): 𝒙𝟏,𝟐 = −𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 ⇒ la parábola corta al eje x en UN punto 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = −𝒃 𝟐𝒂 RAÍZ DOBLE
  • 10. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica Para realizar la representación gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente hacerlo a partir de estos puntos: Puntos de corte con el eje x (y=0) (raíces o ceros de la función): 𝒙𝟏,𝟐 = −𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 ⇒ la parábola NO corta al eje x NO TIENE RAÍCES REALES
  • 11. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica Para realizar la representación gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente hacerlo a partir de estos puntos: Ordenada al origen: 𝑷𝟎 = (𝟎; 𝒄)
  • 12. Intersección recta y parábola ቊ 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Significa resolver un sistema del tipo: Objetivo: encontrar los puntos que satisfacen ambas ecuaciones, o sea, los puntos que tienen en común ambas funciones. P1 P2
  • 13. Intersección recta y parábola ቊ 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Significa resolver un sistema del tipo: 1) Aplicar el método de igualación (o cualquiera) para resolver el sistema: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑚𝑥 + 𝑏 2) Esto dará por resultado una ecuación de segundo grado⇒ aplicar fórmula resolvente 𝑎𝑥2 + 𝑏 − 𝑚 𝑥 + 𝑐 − 𝑏 = 0 P1 P2
  • 14. Intersección recta y parábola Al aplicar fórmula resolvente puede suceder: 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄>0 ⇒ recta y parábola secantes (tienen en común DOS puntos)
  • 15. Intersección recta y parábola Al aplicar fórmula resolvente puede suceder: 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 =0 ⇒ recta y parábola tangentes (tienen en común UN punto)
  • 16. Intersección recta y parábola Al aplicar fórmula resolvente puede suceder: 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄>0 ⇒ recta y parábola exteriores (NO tienen puntos en común)
  • 17. Dominio e imagen de una función cuadrática. Clasificación 𝒇: 𝑹 → Τ 𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙𝟐 + 𝒃 𝒙 + 𝒄 𝑉(𝑥𝑣; 𝑦𝑣) Dm= Im= ሾ𝑦𝑣; ) ∞ 𝑹 Inyectiva? Suryectiva? NO INYECTIVA NO SURYECTIVA x y
  • 18. Dominio e imagen de una función cuadrática. Clasificación 𝒇: 𝑹 → Τ 𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙𝟐 + 𝒃 𝒙 + 𝒄 𝑉(𝑥𝑣; 𝑦𝑣) Dm= Im= (−∞; ሿ 𝑦𝑣 𝑹 Inyectiva? Suryectiva? NO INYECTIVA NO SURYECTIVA x y
  • 19. Función cúbica Se llama función cúbica a la función polinómica de grado tres. Es decir, una función cúbica tendrá una fórmula: 𝒇: 𝑹 → Τ 𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ 𝑹 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎
  • 20. • La gráfica de la función cúbica es una parábola cúbica. FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica
  • 21. FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica Si a>0 Si a<0 • Si b=c=d=0 → la fórmula de la función es de la forma 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑 PASA POR EL ORIGEN
  • 22. FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica • Si 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑 ± 𝒃 ⇒corta al eje y en ±𝒃
  • 23. FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica 𝒇: 𝑹 → Τ 𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅 Dependiendo de los valores de a, b, c y d puede tomar diversas formas, pero siempre teniendo las siguientes características: 1) Una función cúbica puede tener tres, dos o una raíz.
  • 24. FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica 𝒇: 𝑹 → Τ 𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅 Dependiendo de los valores de a, b, c y d puede tomar diversas formas, pero siempre teniendo las siguientes características: 2) Dm= Im= R R
  • 25. FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica 𝒇: 𝑹 → Τ 𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅 Dependiendo de los valores de a, b, c y d puede tomar diversas formas, pero siempre teniendo las siguientes características: 3) Cortan al eje y en el punto P(0;d)
  • 26. Clasificación de funciones Funciones polinómicas Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”
  • 27. Funciones racionales →sus fórmulas están determinadas por el cociente de dos polinomios 𝒇 𝒙 = 𝑷(𝒙) 𝑸(𝒙) 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son funciones polinómicas El dominio de esta función son todos los números reales, excepto aquellos en los cuales 𝑄(𝑥) sea cero.
  • 28. Una función racional especial: Función homográfica f(x) = 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝒄 𝒙 + 𝒅 La gráfica es una hipérbola Numerador y denominador son polinomios de primer grado donde 𝒄 ≠ 𝟎 pues de no ser así la función se convierte en lineal. 𝑐𝑥 + 𝑑 ≠ 0 ⟹ 𝑥 ≠ −𝑑 𝑐 𝑫𝒎𝒇 = 𝑹 − −𝒅 𝒄 a, b, c y d reales Dominio →el único valor real que no pertenece al dominio es la raíz del denominador
  • 29. Función homográfica: Características f(x) = 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝒄 𝒙 + 𝒅 La gráfica es una hipérbola Asíntota vertical Asíntota horizontal Asíntota: rectas que, prolongadas indefinidamente, se acercan progresivamente a la curva de la función sin llegar nunca a encontrarla.
  • 30. ⇒ Asíntota vertical → 𝑥 = −𝑑 𝑐 Asíntota vertical Asíntota horizontal Función homográfica: Características Asíntota vertical Se encuentra ubicada en el valor de x que hace cero el denominador y no el numerador. f(x) = 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝒄 𝒙 + 𝒅 Cuando 𝑥 → −𝑑 𝑐 − ⇒ 𝑦 → −∞ Cuando 𝑥 → −𝑑 𝑐 + ⇒ 𝑦 → ∞
  • 31. Asíntota vertical Asíntota horizontal Función homográfica: Características Asíntota horizontal f(x) = 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝒄 𝒙 + 𝒅 Se encuentra ubicada en el valor de y que hacen 𝑥 → ∞ 𝑦 = 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝒄 𝒙 + 𝒅 𝑦 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑦𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑦𝑐𝑥 − 𝑎𝑥 = 𝑏 − 𝑦𝑑 𝑥(𝑦𝑐 − 𝑎) = 𝑏 − 𝑦𝑑 𝑥 = 𝑏 − 𝑦𝑑 𝑦𝑐 − 𝑎 𝑥 → ∞ si 𝑦𝑐 − 𝑎 → 0 ⇒ y = 𝑎 𝑐 es asíntota horizontal
  • 32. Función homográfica 𝒚 = 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝒄 𝒙 + 𝒅 Asíntota vertical Asíntota horizontal ⇒ Asíntota vertical → 𝑥 = −𝑑 𝑐 Asíntota horizontal → y = 𝑎 𝑐 Dm=𝑅 − − 𝑑 𝑐 Raíz de la función→ igualar a cero toda la función Ordenada→ calcular f(0) Dm=𝑅 − −𝑑 𝑐 Im= 𝑅 − 𝑎 𝑐 Función homográfica
  • 33. La función exponencial con base a esta definida para todos los números reales x por: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 donde 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1 Funciones trascendentes: Función exponencial Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”
  • 34. Funciones trascendentes: función exponencial • Como 𝑎0 = 1, el punto de intersección con el eje y de la función es 1. • El eje x es una asíntota horizontal de la función 𝑦 = 𝑎𝑥 porque 𝑎𝑥 → ∞ cuando 𝑥 → 0 • La función crece más rápido cuando mayor es la base.
  • 35. Funciones trascendentes: función exponencial Dominio funciones exponenciales: Dm=R Im=𝑅+ Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo” ∀𝑥𝜖𝑅: 𝑓(𝑥) > 0
  • 36. Funciones trascendentes: función exponencial Características: • El dominio de la función es el conjunto de los números reales, esto es, −∞; ∞ . • La imagen de la función es el conjunto de los números reales positivos, esto es, 0; ∞ . • La intersección de la función con el eje x está en 0; 1 . La gráfica de la función no tiene intersección con el eje x. • La función es creciente para 𝑏 > 1 y decreciente para 0 < 𝑏 < 1. • El eje x, esto es, y = 0, es asíntota horizontal de la gráfica de f.
  • 37. Sea a un número positivo con 𝑎 ≠ 1. La función logarítmica con base a, denotada por 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒂𝒚 = 𝒙 Por lo tanto log𝑎 𝑥 es el exponente al cual la base a debe ser elevado para obtener x. En símbolos: log ba = c  bc = a b es la base del logaritmo y debe ser un número real positivo y distinto de 1. a es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo. Ejemplo: log2 16 = 4 log 216 = 4  24 = 16 Funciones trascendentes: Función logarítmica
  • 38. Sea a un número positivo con 𝑎 ≠ 1. La función logarítmica con base a, denotada por 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒂𝒚 = 𝒙 Por lo tanto log𝑎 𝑥 es el exponente al cual la base a debe ser elevado para obtener x. En símbolos: log ba = c  bc = a b es la base del logaritmo y debe ser un número real positivo y distinto de 1. a es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo. Funciones trascendentes: Función logarítmica Ejemplo: log3 27 = 3 log 3 27 = 3  33 = 27
  • 39. Sea a un número positivo con 𝑎 ≠ 1. La función logarítmica con base a, denotada por 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒂𝒚 = 𝒙 Por lo tanto log𝑎 𝑥 es el exponente al cual la base a debe ser elevado para obtener x. En símbolos: log ba = c  bc = a b es la base del logaritmo y debe ser un número real positivo y distinto de 1. a es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo. Funciones trascendentes: Función logarítmica Ejemplo: log2 1 4 = -2 log𝟐 𝟏 𝟒 = -2  2-2 = 𝟏 𝟒
  • 40. Sea a un número positivo con 𝑎 ≠ 1. La función logarítmica con base a, denotada por 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒂𝒚 = 𝒙 Por lo tanto log𝑎 𝑥 es el exponente al cual la base a debe ser elevado para obtener x. En símbolos: log ba = c  bc = a b es la base del logaritmo y debe ser un número real positivo y distinto de 1. a es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo. Funciones trascendentes: Función logarítmica Ejemplo: log2 3 2 = 𝟏 𝟑 log𝟐 𝟑 𝟐 = 𝟏 𝟑  𝟐 𝟏 𝟑 = 𝟑 𝟐 IMPORTANTE : Cuando escribimos “log x” sin especificar la base , sobreentendemos que esta es diez
  • 41. Función logarítmica: La función logaritmo es la función inversa de la función exponencial Funciones exponenciales: Dm=R Im=𝑅+ Funciones logarítmicas: Dm= 𝑅+ Im=𝑅 Funciones trascendentes: Función logarítmica Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”
  • 42. Función logarítmica: Dm= 𝑅+ Im=R • Como log𝑎 1 = 0, el punto de intersección con el eje x de la función es 1. • El eje y es una asíntota vertical de la función 𝑦 = log𝑎 𝑥 porque log𝑎 𝑥 → −∞ cuando 𝑥 → 0 Funciones trascendentes: Función logarítmica
  • 43. Función logarítmica: Familia de funciones logarítmicas La función crece más rápido cuando menor es la base del logaritmo Funciones trascendentes: Función logarítmica Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”
  • 44. Funciones trascendentes: Función logarítmica Características: • El dominio de la función es el conjunto de los números reales positivos, esto es, 0; ∞ • La imagen de la función es el conjunto de los números reales, esto es, −∞; ∞ • La intersección de la función con el eje x está en 1; 0 . La gráfica de la función no tiene intersección con el eje y. • La función es creciente para 𝑏 > 1 y decreciente para 0 < 𝑏 < 1. • El eje y, esto es, 𝑥 = 0, es asíntota vertical de la gráfica de f. 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙
  • 45. BIBLIOGRAFÍA - Larson, Ron y otros. .”Cálculo esencial”. Ed. Cengage.. 2010. México. - STEWART, James. “Precalculo. Matmática para el cálculo”. Ed. Cengage. 2012. Mexico.