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UNIDAD 3
MÉTODO SIMPLEX
OBJETIVO.- Resolver mediante la regla de Gauss
REQUISITO.- Regla de Crammer (3x3) (2x2); Método de Gauss y Jordan
Forma de Pivote.- es el número que se interseca entre la fila y la columna.
EJERCICIO # 1
X1 X2 X3
EJERCICIO # 2
EJERCICIO # 3
(-3) 4/5 1 2/5 2/5
2 3 4 3
-2/5 0 14/5 9/5
2 3 4 3
4 5 2 2
7 9 4 4
(-9) 4/5 1 2/5 2/5
7 9 4 4
-1/5 0 2/5 2/5-2/5 0 14/5 9/5
4/5 1 2/5 2/5
-1/2 0 2/5 2/5
5 2 2 2 3
2 3 3 4 2
4 3 2 2 5
5 7 2 9 2
25/7 0 10/7 -4/7 17/7
-1/7 0 15/7 1/7 8/7
13/7 0 8/7 -13/7 29/7
5/7 1 2/7 9/7 2/7
13/4 -5/2 -3/8 0 2 3/2
7/8 -3/4 -11/8 0 -1/2 7/4
5/8 ¾ 7/8 1 ½ ¼
17/4 9/2 7/4 0 0 3/2
11/4 3/2 13/4 0 6 7/2
7 2 4 6 5 3
4 3 3 5 2 3
5 6 7 8 4 2
8 9 7 6 3 3
4 3 5 2 7 4
EJERCICIO # 4
EJERCICIO # 5
Pivote.- el Pivote es el número que se interseca entre el vector entrante y el vector saliente.
Vector Entrante.- es la columna que contiene el número más pequeño.
Vector Saliente.- número positivo más pequeño que resulta de la división de los términos
independientes para el vector entrante.
Este modo solo se aplica a problemas de maximización porque los de minimización
requieren otro tratamiento.
Z = 20A + 30B
2A +2B ≤ 5
A + B ≤ 3
Vector Entrante: B
Vector Saliente: H1
Pivote: 2
El Método de Gauss tengo que hacerlo hasta conseguir que todos los valores de Z sean ≥ 0
Z = 3X1 + 4X2 + 9X3
-15/2 -4 0 -1/2 -11/2
-13/3 -7/3 0 -11/3 -11/3
7/6 2/3 1 5/6 5/6
-11/6 -1/3 0 11/6 17/6
3 2 9 7 2
5 3 8 3 3
7 4 6 5 5
4 3 5 6 7
-5 1 0 0 0 0
-8 -5/2 0 -3/2 -5/2 0
-14 2 0 -3 3 0
-33 -17/2 0 -29/2 -21/2 -7
4 3/2 1 5/2 3/2 1
3 4 2 5 3 2
4 2 3 6 2 3
2 8 4 7 9 4
3 5 9 8 3 2
8 3 2 5 3 2
Z A B H1 H2 VALOR
Z -20 -30 0 0 0
H1 2 2 1 0 5
H2 1 1 0 1 3
SA
2X1 + 2X2 ≤ 10
2X2 + 5 X3 ≤ 16
3X1 – 2X2 -7X3 ≤ 9
CT. X1, X2, X3 ≥ 0
Convertir en igualdades
Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0
2X1+2X2 = 10
2X2 + 5X3 = 16
3X1 – 2X2 -7X3 = 9
Xj ≥ 0 j=1…3
Variables Holgura
1) Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0
2) 2X1+2X2 +H1 = 10
3) 2X2 + 5X3 +H2 = 16
4) 3X1 – 2X2 -7X3 + H3 = 9
Xj, Hj j1…3≥0
Vector entrante: X3
Vector Saliente: H3
Pivote: -7
MAXIMIZAR
Z= 3X1 + 2X2
2X1 + X2 ≤ 18
2X1 + 3X2 ≤ 42
3X1 + X2 ≤ 24
X1, X2 ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3
2X1 + X2 + H1 ≤ 18
2X1 + 3X2 + H2 ≤ 42
3X1 + X2 + H3 ≤ 24
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0
VB EC Z X1 X2 X3 H1 H2 H3 VALOR
Z 0 1 -3 -4 -9 0 0 0 0
H1 1 0 2 2 0 1 0 0 10
H2 2 0 0 2 5 0 1 0 16
H3 3 0 3 2 -7 0 0 1 9
SA
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0
2X1 + X2 + H1 = 18
2X1 + 3X2 + H2 = 42
3X1 + X2 + H3 = 24
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0
TABLA SIMPLEX
MAXIMIZAR
Z= 3000X1 + 4000X2
X1 + X2 ≤ 5
X1 - 3X2 ≤ 0
10X1 + 15X2 ≤ 150
20X1 + 10X2 ≤ 160
30X1 + 10X2 ≤ 150
Z X1 X2 H1 H2 H3
Z 1 -3 -2 0 0 0 0
H1 0 2 1 1 0 0 18
H2 0 2 3 0 1 0 42
H3 0 3 1 0 0 1 24
Z 1 0 -1 0 0 1 24
H1 0 0 1/3 1 0 - 2/3 2
H2 0 0 2 1/3 0 1 - 2/3 26
X1 0 1 1/3 0 0 1/3 8
Z 1 0 0 3 0 -1 30
X2 0 0 1 3 0 -2 6
H2 0 0 0 -7 1 4 12
X1 0 1 0 -1 0 1 6
Z 1 0 0 1 1/4 1/4 0 33
X2 0 0 1 - 1/2 1/2 0 12
H3 0 0 0 -1 3/4 1/4 1 3
X1 0 1 0 3/4 - 1/4 0 3
VB VALOR
VARIABLES
VE= X1
VS= H3
PIVOTE= 3
VE= X2
VS= H1
PIVOTE= 1/3
RESPUESTAS:
Solución Óptima Z= 33
Valores Óptimos X1=3 H1=0
X2=12 H2=0
H3=3
VE= H3
VS= H2
PIVOTE= 4
X1, X2 ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 3000X1 + 4000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 +0H4 + 0H5
X1 + X2 + H1 ≤ 5
X1 - 3X2 + H2 ≤ 0
10X1 + 15X2 + H3 ≤ 150
20X1 + 10X2 + H4 ≤ 160
30X1 + 10X2 + H5 ≤ 150
X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z-3000X1 - 4000X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 - 0H4 - 0H5 = 0
X1 + X2 + H1 = 5
X1 - 3X2 + H2 = 0
10X1 + 15X2 + H3 = 150
20X1 + 10X2 + H4 = 160
30X1 + 10X2 + H5 = 150
X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0
TABLA SIMPLEX
Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5
Z 1 -3000 -4000 0 0 0 0 0 0
H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5
H2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0
H3 0 10 15 0 0 1 0 0 150
H4 0 20 10 0 0 0 1 0 160
H5 0 30 10 0 0 0 0 1 150
Z 1 1000 0 4000 0 0 0 0 20000
X2 0 1 1 1 0 0 0 0 5
H2 0 4 0 3 1 0 0 0 15
H3 0 -5 0 -15 0 1 0 0 75
H4 0 10 0 -10 0 0 1 0 110
H5 0 20 0 -10 0 0 0 1 100
VB VALOR
VARIABLES
VE= X2
VS= H1
PIVOTE=1
RESPUESTAS:
Solución Óptima Z= 2000
Valores Óptimos X1=0 H1=0 H4= 110
X2=5 H2=15 H5= 100
H3=75
MAXIMIZAR
Z= X1 + X2
X1 + 3X2 ≤ 26
4X1 + 3X2 ≤ 44
2X1 + 3X2 ≤ 28
X1, X2 ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= X1 + X2 +H1 + H2 + H3
X1 + 3X2 + H1 ≤ 26
4X1 + 3X2 + H2 ≤ 44
2X1 + 3X2 +H3 ≤ 28
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - X1 - X2 -H1 - H2 - H3 = 0
X1 + 3X2 + H1 = 26
4X1 + 3X2 + H2 = 44
2X1 + 3X2 +H3 = 28
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0
TABLA SIMPLEX
Z X1 X2 H1 H2 H3
Z 1 -1 -1 0 0 0 0
H1 0 1 3 1 0 0 26
H2 0 4 3 0 1 0 44
H3 0 2 3 0 0 1 28
Z 1 0 - 1/4 0 1/4 0 11
H1 0 0 1 3/4 1 - 1/4 0 15
X1 0 1 3/4 0 1/4 0 11
H3 0 0 1 1/2 0 - 1/2 1 6
Z 1 0 0 0 1/6 1/6 12
H1 0 0 0 1 1/3 -1 1/6 8
X1 0 1 0 0 1/2 -0.083333 8
X2 0 0 1 0 - 1/3 2/3 4
VB VALOR
VARIABLES
VE= X1
VS= H2
PIVOTE=4
VE= X2
VS= H3
PIVOTE=3/2
EL MÉTODO SIMPLEX.- TÉCNICA DE PENALIZACIÓN, TÉCNICA
DE VARIABLES ARTIFICIALES O TÉCNICA DE M
MAXIMIZAR
Z= 5X1 + 6X2
-2X1 + 3X2 = 3
X1 + 2X2 ≤ 5
6X1 + 7X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 5X1 + 6X2 –MA1 +0H1 +0H2
-2X1 + 3X2 + A1 = 3
X1 + 2X2 + H1 ≤ 5
6X1 + 7X2 + H2≤ 3
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 5X1 - 6X2 +MA1 - 0H1- 0H2 = 0
2MX1 - 3MX2 -MA1 = -3M
Z+ (2M-5) X1+ (-3M-6) X2 -0H1-0H2 = -3M
-2X1 + 3X2 + A1 = 3
X1 + 2X2 + H1 = 5
6X1 + 7X2 + H2= 3
RESPUESTAS:
Solución Óptima Z=12
Valores Óptimos X1=8 H1=8
X2=4 H2=0
H3=0
≤ +H1 (Si) Max -M
= +A1 (Ri) Min +M
≥ -H1+A1
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
TABLA SIMPLEX
MAXIMIZAR
Z= 3X1 + 9X2
2X1 + 6X2 = 2
5X1 + 4X2 = 3
4X1 + X2 ≤ 5
X1, X2 ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 3X1 + 9X2 –MA1 –MA2 +0H1
2X1 + 6X2 +A1 = 2 (-M)
5X1 + 4X2 +A2 = 3 (-M)
4X1 + X2 +H1≤ 5
X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0
Z X1 X2 H1 H2 A1
Z 1 2M-5 (-)3M-6 0 0 0 (-)3M
A1 0 -2 3 0 0 1 3
H1 0 1 2 1 0 0 5
H2 0 6 7 0 1 0 3
Z 1 32/7M+1/7 0 0 3/7M+6/7 0 (-)12/7+18/7
A1 0 -4 4/7 0 0 - 3/7 1 1 5/7
H1 0 - 5/7 0 1 - 2/7 0 4 1/7
X2 0 6/7 1 0 1/7 0 3/7
VB VALOR
VARIABLES
VE= X2
VS= H2
PIVOTE= 7
RESPUESTAS:
Solución Óptima Z= 18/7
Valores Óptimos X1=0 H1=29/7
X2=3/7 H2=0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 3X1 - 9X2 +MA1 +MA2 - 0H1= 0
-2MX1 - 6MX2 -MA1 = -2M
-5MX1 – 4MX2 -MA2 = -3M
Z+ (-3-7M) X1+ (-9-10M) X2 -0H1= -5M
2X1 + 6X2 +A1 = 2
5X1 + 4X2 +A2 = 3
4X1 + X2 +H1= 5
X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0
TABLA SIMPLEX
Z X1 X2 A1 A2 H1
Z 1 (-3-7M) (-9-10M) 0 0 0 (-)5M
A1 0 2 6 1 0 0 2
A2 0 5 4 0 1 0 3
H1 0 4 1 0 0 1 5
Z 1 (-)11/3M 0 3/2+5/3M 0 0 3-5/3M
X2 0 1/3 1 1/6 0 0 1/3
A2 0 3 2/3 0 - 2/3 1 0 1 2/3
H1 0 3 2/3 0 - 1/6 0 1 4 2/3
Z 1 0 0 3/2+2M M 0 3
X2 0 0 1 5/6 -0 0 1/5
X1 0 1 0 - 1/5 1/4 0 4/9
H1 0 0 0 1/2 -1 1 2 1/6
VB VALOR
VARIABLES
VE= X2
VS= A1
PIVOTE= 6
RESPUESTAS:
Solución Óptima Z= 3
Valores Óptimos X1=4/9 H1=13/6
X2=1/5 H2=0
VE= X1
VS= A2
PIVOTE=11/3
MINIMIZACIÓN
MINIMIZAR
Z= 3/2X1+2X2
2X1 + 2X2 ≤ 8
2X1 + 6X2 ≥ 12
X1, X2 ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 3/2X1+ 2X2 + MA1 +0H1+ 0H2
2X1 + 2X2 + H1 ≤ 8
2X1 + 6X2 +A1-H2 ≥ 12 (M)
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z – 3/2X1 -2X2 - MA1 -0H1- 0H2 = 0
2MX1 + 6MX2 +MA1 -MH2 = 12M
Z+(2M-3/2)X1+(6M-2)X2 -0H1–MH2= 12M (-1)
-Z-(3/2-2M)X1-(2-6M)X2 +0H1+MH2= -12M
2X1 + 2X2 + H1 = 8
2X1 + 6X2 +A1-H2 = 12
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
TABLA SIMPLEX
Z X1 X2 A1 H1 H2
Z -1 3/2-2M 2-6M 0 0 M (-)12M
H1 0 2 2 0 1 0 8
A1 0 2 6 1 0 -1 12
Z -1 5/6 0 (-1/3+M) 0 1/3 -4
H1 0 1 1/3 0 - 1/3 1 1/3 4
X2 0 1/3 1 1/6 0 - 1/6 2
VB VALOR
VARIABLES
RESPUESTAS:
Solución Óptima -Z= -4 Z=4
Valores Óptimos X1=0 H1=4
X2=2 H2=0
VE= X2
VS= A1
PIVOTE= 6
MINIMIZAR
Z= 4X1 + 5X2
2X1 + 2X2 ≤ 10
2X1 + 6X2 ≥ 18
X1 + X2 = 7
Xi ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 4X1 + 5X2 + MA1 + MA2 + 0H1 + 0H2
2X1 + 2X2 + H1 ≤ 10
2X1 + 6X2 +A1 – H2 ≥ 18 (M)
X1 + X2 +A2 = 7 (M)
X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 4X1 - 5X2 - MA1 - MA2 - 0H1 - 0H2 = 0
2MX1 + 6MX2 +MA1 – MH2 = 18M
MX1 + MX2 +MA2 = 7M
Z+(3M-4)X1+(7M-5)X2 -0H1-MH2 = 25M (-1)
-Z-(4-3M)X1-(5-7M)X2 +0H1+MH2 = -25M
2X1 + 2X2 + H1 = 10
2X1 + 6X2 +A1 – H2 = 18
X1 + X2 +A2 = 7
X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0
TABLA SIMPLEX
Z X1 X2 A1 A2 H1 H2
Z -1 4-3M 5-7M 0 0 0 M (-)25M
H1 0 2 2 0 0 1 0 10
H2 0 2 6 1 0 0 -1 18
A1 0 1 1 0 1 0 0 7
Z -1 7/3-2/3M 0 (-5/6+7M/6) 0 0 5/6-1M/6 (-15-4M)
H1 0 1 1/3 0 - 1/3 0 1 1/3 4
X2 0 1/3 1 1/6 0 0 - 1/6 3
A2 0 2/3 0 - 1/6 1 0 1/6 4
Z -1 0 0 (-1/4+M) 0 (-7/4+1M/2) 1/4 (-22-2M)
X1 0 1 0 - 1/4 0 3/4 1/4 3
X2 0 0 1 1/4 0 - 1/4 - 1/4 2
A2 0 0 0 0 1 - 1/2 0 2
VB VALOR
VARIABLES
VE= X2
VS= H2
PIVOTE= 6
VE= X1
VS= H1
PIVOTE= 4/3
El ejercicio no tiene solución
MAXIMIZAR
Z= 3X1 + 5X2
X1 ≤ 4
2X2 ≤ 12
3X1 + 2X2 = 18
Xi ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 –MA1
X1 + H1 ≤ 4
2X2 + H2 ≤ 12
3X1 + 2X2 + A1 = 18 (-M)
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 3X1 - 5X2 -0H1-0H2 +MA1 = 0
- 3MX1 -2MX2 - MA1 = -18M
Z+ (-3M-3) X1+ (-2M-5) X2-0H1-0H2 = -18M
X1 + H1 = 4
2X2 + H2 = 12
3X1 + 2X2 + A1 = 18
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
TABLA SIMPLEX
SA
MINIMIZAR
Z= 3X1 + 5X2
X1 ≤ 4
2X2 = 12
3X1 + 2X2 ≥ 18
Xi ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 +MA1 +MA2 (-1)
-Z= -3X1 - 5X2 - 0H1 - 0H2 -MA1 -MA2
X1 + H1 ≤ 4
2X2 + A1 ≤ 12(-M)
3X1 + 2X2 + A2 – H2 = 18 (-M)
X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0
Z X1 X2 H1 H2 A1
Z 1 -3M-3 -2M-5 0 0 0 -18M
H1 0 1 0 1 0 0 4
H2 0 0 2 0 1 0 12
A1 0 3 2 0 0 1 18
Z 1 0 -2M-5 3M+3 0 0 -6M+12
X1 0 1 0 1 0 0 4
H2 0 0 2 0 1 0 12
A1 0 0 2 -3 0 1 6
Z 1 0 0 -4 1/2 0 M+5/2 27
X1 0 1 0 1 0 0 4
H2 0 0 0 3 1 -1 6
X2 0 0 1 -1 1/2 0 ½ 3
Z 1 0 0 0 1 1/2 M+1 36
X1 0 1 0 0 - 1/3 1/3 2
H1 0 0 0 1 1/3 - 1/3 2
X2 0 0 1 0 1/2 0 6
VB VALOR
VARIABLES
VE= X1
VS= H1
PIVOTE= 1
VE= X2
VS= A1
PIVOTE= 2
RESPUESTAS:
Solución Óptima Z= 36
Valores Óptimos X1=2 H1=2
X2=6 H2=0
VE= H1
VS= H2
PIVOTE= 3
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
-Z + 3X1 + 5X2 +0H1+0H2 +MA1 + MA2 = 0
-2MX2 -MA1 = -12M
- 3MX1 -2MX2 +MH2 - MA2 = -18M
Z+ (-3M+3) X1+ (-4M+5) X2+0H1+MH2 = -30M
X1 + H1 = 4
2X2 + A1 = 12
3X1 + 2X2 + A2 -H2 = 18
X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0
TABLA SIMPLEX
Z X1 X2 H1 H2 A1 A2
Z -1 (-)3M+3 (-)4M+5 0 M 0 0 (-)30M
H1 0 1 0 1 0 0 0 4
A1 0 0 2 0 0 1 0 12
A2 0 3 2 0 -1 0 1 18
Z -1 (-)3M+3 0 0 M 2M-5/2 0 (-)6M-30
H1 0 1 0 1 0 0 0 4
X2 0 0 1 0 0 1/2 0 6
A2 0 3 0 0 -1 -1 1 6
Z -1 0 0 0 1 M-3/2 M-1 -36
H1 0 0 0 1 1/3 1/3 - 1/3 2
X2 0 0 1 0 0 1/2 0 6
X1 0 1 0 0 - 1/3 - 1/3 1/3 2
VB VALOR
VARIABLES
SA
VE= X2
VS= A1
PIVOTE= 2
VE= X1
VS= A2
PIVOTE= 3
RESPUESTAS:
Solución Óptima -Z= -36 Z=36
Valores Óptimos X1=2 H1=2
X2=6 H2=0

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Unidad 3.

  • 1. UNIDAD 3 MÉTODO SIMPLEX OBJETIVO.- Resolver mediante la regla de Gauss REQUISITO.- Regla de Crammer (3x3) (2x2); Método de Gauss y Jordan Forma de Pivote.- es el número que se interseca entre la fila y la columna. EJERCICIO # 1 X1 X2 X3 EJERCICIO # 2 EJERCICIO # 3 (-3) 4/5 1 2/5 2/5 2 3 4 3 -2/5 0 14/5 9/5 2 3 4 3 4 5 2 2 7 9 4 4 (-9) 4/5 1 2/5 2/5 7 9 4 4 -1/5 0 2/5 2/5-2/5 0 14/5 9/5 4/5 1 2/5 2/5 -1/2 0 2/5 2/5 5 2 2 2 3 2 3 3 4 2 4 3 2 2 5 5 7 2 9 2 25/7 0 10/7 -4/7 17/7 -1/7 0 15/7 1/7 8/7 13/7 0 8/7 -13/7 29/7 5/7 1 2/7 9/7 2/7 13/4 -5/2 -3/8 0 2 3/2 7/8 -3/4 -11/8 0 -1/2 7/4 5/8 ¾ 7/8 1 ½ ¼ 17/4 9/2 7/4 0 0 3/2 11/4 3/2 13/4 0 6 7/2 7 2 4 6 5 3 4 3 3 5 2 3 5 6 7 8 4 2 8 9 7 6 3 3 4 3 5 2 7 4
  • 2. EJERCICIO # 4 EJERCICIO # 5 Pivote.- el Pivote es el número que se interseca entre el vector entrante y el vector saliente. Vector Entrante.- es la columna que contiene el número más pequeño. Vector Saliente.- número positivo más pequeño que resulta de la división de los términos independientes para el vector entrante. Este modo solo se aplica a problemas de maximización porque los de minimización requieren otro tratamiento. Z = 20A + 30B 2A +2B ≤ 5 A + B ≤ 3 Vector Entrante: B Vector Saliente: H1 Pivote: 2 El Método de Gauss tengo que hacerlo hasta conseguir que todos los valores de Z sean ≥ 0 Z = 3X1 + 4X2 + 9X3 -15/2 -4 0 -1/2 -11/2 -13/3 -7/3 0 -11/3 -11/3 7/6 2/3 1 5/6 5/6 -11/6 -1/3 0 11/6 17/6 3 2 9 7 2 5 3 8 3 3 7 4 6 5 5 4 3 5 6 7 -5 1 0 0 0 0 -8 -5/2 0 -3/2 -5/2 0 -14 2 0 -3 3 0 -33 -17/2 0 -29/2 -21/2 -7 4 3/2 1 5/2 3/2 1 3 4 2 5 3 2 4 2 3 6 2 3 2 8 4 7 9 4 3 5 9 8 3 2 8 3 2 5 3 2 Z A B H1 H2 VALOR Z -20 -30 0 0 0 H1 2 2 1 0 5 H2 1 1 0 1 3 SA
  • 3. 2X1 + 2X2 ≤ 10 2X2 + 5 X3 ≤ 16 3X1 – 2X2 -7X3 ≤ 9 CT. X1, X2, X3 ≥ 0 Convertir en igualdades Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 2X1+2X2 = 10 2X2 + 5X3 = 16 3X1 – 2X2 -7X3 = 9 Xj ≥ 0 j=1…3 Variables Holgura 1) Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 2) 2X1+2X2 +H1 = 10 3) 2X2 + 5X3 +H2 = 16 4) 3X1 – 2X2 -7X3 + H3 = 9 Xj, Hj j1…3≥0 Vector entrante: X3 Vector Saliente: H3 Pivote: -7 MAXIMIZAR Z= 3X1 + 2X2 2X1 + X2 ≤ 18 2X1 + 3X2 ≤ 42 3X1 + X2 ≤ 24 X1, X2 ≥ 0 FORMA ESTÁNDAR Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 2X1 + X2 + H1 ≤ 18 2X1 + 3X2 + H2 ≤ 42 3X1 + X2 + H3 ≤ 24 X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0 VB EC Z X1 X2 X3 H1 H2 H3 VALOR Z 0 1 -3 -4 -9 0 0 0 0 H1 1 0 2 2 0 1 0 0 10 H2 2 0 0 2 5 0 1 0 16 H3 3 0 3 2 -7 0 0 1 9 SA
  • 4. FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES Z - 3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0 2X1 + X2 + H1 = 18 2X1 + 3X2 + H2 = 42 3X1 + X2 + H3 = 24 X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0 TABLA SIMPLEX MAXIMIZAR Z= 3000X1 + 4000X2 X1 + X2 ≤ 5 X1 - 3X2 ≤ 0 10X1 + 15X2 ≤ 150 20X1 + 10X2 ≤ 160 30X1 + 10X2 ≤ 150 Z X1 X2 H1 H2 H3 Z 1 -3 -2 0 0 0 0 H1 0 2 1 1 0 0 18 H2 0 2 3 0 1 0 42 H3 0 3 1 0 0 1 24 Z 1 0 -1 0 0 1 24 H1 0 0 1/3 1 0 - 2/3 2 H2 0 0 2 1/3 0 1 - 2/3 26 X1 0 1 1/3 0 0 1/3 8 Z 1 0 0 3 0 -1 30 X2 0 0 1 3 0 -2 6 H2 0 0 0 -7 1 4 12 X1 0 1 0 -1 0 1 6 Z 1 0 0 1 1/4 1/4 0 33 X2 0 0 1 - 1/2 1/2 0 12 H3 0 0 0 -1 3/4 1/4 1 3 X1 0 1 0 3/4 - 1/4 0 3 VB VALOR VARIABLES VE= X1 VS= H3 PIVOTE= 3 VE= X2 VS= H1 PIVOTE= 1/3 RESPUESTAS: Solución Óptima Z= 33 Valores Óptimos X1=3 H1=0 X2=12 H2=0 H3=3 VE= H3 VS= H2 PIVOTE= 4
  • 5. X1, X2 ≥ 0 FORMA ESTÁNDAR Z= 3000X1 + 4000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 +0H4 + 0H5 X1 + X2 + H1 ≤ 5 X1 - 3X2 + H2 ≤ 0 10X1 + 15X2 + H3 ≤ 150 20X1 + 10X2 + H4 ≤ 160 30X1 + 10X2 + H5 ≤ 150 X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0 FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES Z-3000X1 - 4000X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 - 0H4 - 0H5 = 0 X1 + X2 + H1 = 5 X1 - 3X2 + H2 = 0 10X1 + 15X2 + H3 = 150 20X1 + 10X2 + H4 = 160 30X1 + 10X2 + H5 = 150 X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0 TABLA SIMPLEX Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5 Z 1 -3000 -4000 0 0 0 0 0 0 H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5 H2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0 H3 0 10 15 0 0 1 0 0 150 H4 0 20 10 0 0 0 1 0 160 H5 0 30 10 0 0 0 0 1 150 Z 1 1000 0 4000 0 0 0 0 20000 X2 0 1 1 1 0 0 0 0 5 H2 0 4 0 3 1 0 0 0 15 H3 0 -5 0 -15 0 1 0 0 75 H4 0 10 0 -10 0 0 1 0 110 H5 0 20 0 -10 0 0 0 1 100 VB VALOR VARIABLES VE= X2 VS= H1 PIVOTE=1 RESPUESTAS: Solución Óptima Z= 2000 Valores Óptimos X1=0 H1=0 H4= 110 X2=5 H2=15 H5= 100 H3=75
  • 6. MAXIMIZAR Z= X1 + X2 X1 + 3X2 ≤ 26 4X1 + 3X2 ≤ 44 2X1 + 3X2 ≤ 28 X1, X2 ≥ 0 FORMA ESTÁNDAR Z= X1 + X2 +H1 + H2 + H3 X1 + 3X2 + H1 ≤ 26 4X1 + 3X2 + H2 ≤ 44 2X1 + 3X2 +H3 ≤ 28 X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0 FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES Z - X1 - X2 -H1 - H2 - H3 = 0 X1 + 3X2 + H1 = 26 4X1 + 3X2 + H2 = 44 2X1 + 3X2 +H3 = 28 X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0 TABLA SIMPLEX Z X1 X2 H1 H2 H3 Z 1 -1 -1 0 0 0 0 H1 0 1 3 1 0 0 26 H2 0 4 3 0 1 0 44 H3 0 2 3 0 0 1 28 Z 1 0 - 1/4 0 1/4 0 11 H1 0 0 1 3/4 1 - 1/4 0 15 X1 0 1 3/4 0 1/4 0 11 H3 0 0 1 1/2 0 - 1/2 1 6 Z 1 0 0 0 1/6 1/6 12 H1 0 0 0 1 1/3 -1 1/6 8 X1 0 1 0 0 1/2 -0.083333 8 X2 0 0 1 0 - 1/3 2/3 4 VB VALOR VARIABLES VE= X1 VS= H2 PIVOTE=4 VE= X2 VS= H3 PIVOTE=3/2
  • 7. EL MÉTODO SIMPLEX.- TÉCNICA DE PENALIZACIÓN, TÉCNICA DE VARIABLES ARTIFICIALES O TÉCNICA DE M MAXIMIZAR Z= 5X1 + 6X2 -2X1 + 3X2 = 3 X1 + 2X2 ≤ 5 6X1 + 7X2 ≤ 3 X1, X2 ≥ 0 FORMA ESTÁNDAR Z= 5X1 + 6X2 –MA1 +0H1 +0H2 -2X1 + 3X2 + A1 = 3 X1 + 2X2 + H1 ≤ 5 6X1 + 7X2 + H2≤ 3 X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0 FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES Z - 5X1 - 6X2 +MA1 - 0H1- 0H2 = 0 2MX1 - 3MX2 -MA1 = -3M Z+ (2M-5) X1+ (-3M-6) X2 -0H1-0H2 = -3M -2X1 + 3X2 + A1 = 3 X1 + 2X2 + H1 = 5 6X1 + 7X2 + H2= 3 RESPUESTAS: Solución Óptima Z=12 Valores Óptimos X1=8 H1=8 X2=4 H2=0 H3=0 ≤ +H1 (Si) Max -M = +A1 (Ri) Min +M ≥ -H1+A1
  • 8. X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0 TABLA SIMPLEX MAXIMIZAR Z= 3X1 + 9X2 2X1 + 6X2 = 2 5X1 + 4X2 = 3 4X1 + X2 ≤ 5 X1, X2 ≥ 0 FORMA ESTÁNDAR Z= 3X1 + 9X2 –MA1 –MA2 +0H1 2X1 + 6X2 +A1 = 2 (-M) 5X1 + 4X2 +A2 = 3 (-M) 4X1 + X2 +H1≤ 5 X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0 Z X1 X2 H1 H2 A1 Z 1 2M-5 (-)3M-6 0 0 0 (-)3M A1 0 -2 3 0 0 1 3 H1 0 1 2 1 0 0 5 H2 0 6 7 0 1 0 3 Z 1 32/7M+1/7 0 0 3/7M+6/7 0 (-)12/7+18/7 A1 0 -4 4/7 0 0 - 3/7 1 1 5/7 H1 0 - 5/7 0 1 - 2/7 0 4 1/7 X2 0 6/7 1 0 1/7 0 3/7 VB VALOR VARIABLES VE= X2 VS= H2 PIVOTE= 7 RESPUESTAS: Solución Óptima Z= 18/7 Valores Óptimos X1=0 H1=29/7 X2=3/7 H2=0
  • 9. FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES Z - 3X1 - 9X2 +MA1 +MA2 - 0H1= 0 -2MX1 - 6MX2 -MA1 = -2M -5MX1 – 4MX2 -MA2 = -3M Z+ (-3-7M) X1+ (-9-10M) X2 -0H1= -5M 2X1 + 6X2 +A1 = 2 5X1 + 4X2 +A2 = 3 4X1 + X2 +H1= 5 X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0 TABLA SIMPLEX Z X1 X2 A1 A2 H1 Z 1 (-3-7M) (-9-10M) 0 0 0 (-)5M A1 0 2 6 1 0 0 2 A2 0 5 4 0 1 0 3 H1 0 4 1 0 0 1 5 Z 1 (-)11/3M 0 3/2+5/3M 0 0 3-5/3M X2 0 1/3 1 1/6 0 0 1/3 A2 0 3 2/3 0 - 2/3 1 0 1 2/3 H1 0 3 2/3 0 - 1/6 0 1 4 2/3 Z 1 0 0 3/2+2M M 0 3 X2 0 0 1 5/6 -0 0 1/5 X1 0 1 0 - 1/5 1/4 0 4/9 H1 0 0 0 1/2 -1 1 2 1/6 VB VALOR VARIABLES VE= X2 VS= A1 PIVOTE= 6 RESPUESTAS: Solución Óptima Z= 3 Valores Óptimos X1=4/9 H1=13/6 X2=1/5 H2=0 VE= X1 VS= A2 PIVOTE=11/3
  • 10. MINIMIZACIÓN MINIMIZAR Z= 3/2X1+2X2 2X1 + 2X2 ≤ 8 2X1 + 6X2 ≥ 12 X1, X2 ≥ 0 FORMA ESTÁNDAR Z= 3/2X1+ 2X2 + MA1 +0H1+ 0H2 2X1 + 2X2 + H1 ≤ 8 2X1 + 6X2 +A1-H2 ≥ 12 (M) X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0 FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES Z – 3/2X1 -2X2 - MA1 -0H1- 0H2 = 0 2MX1 + 6MX2 +MA1 -MH2 = 12M Z+(2M-3/2)X1+(6M-2)X2 -0H1–MH2= 12M (-1) -Z-(3/2-2M)X1-(2-6M)X2 +0H1+MH2= -12M 2X1 + 2X2 + H1 = 8 2X1 + 6X2 +A1-H2 = 12 X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0 TABLA SIMPLEX Z X1 X2 A1 H1 H2 Z -1 3/2-2M 2-6M 0 0 M (-)12M H1 0 2 2 0 1 0 8 A1 0 2 6 1 0 -1 12 Z -1 5/6 0 (-1/3+M) 0 1/3 -4 H1 0 1 1/3 0 - 1/3 1 1/3 4 X2 0 1/3 1 1/6 0 - 1/6 2 VB VALOR VARIABLES RESPUESTAS: Solución Óptima -Z= -4 Z=4 Valores Óptimos X1=0 H1=4 X2=2 H2=0 VE= X2 VS= A1 PIVOTE= 6
  • 11. MINIMIZAR Z= 4X1 + 5X2 2X1 + 2X2 ≤ 10 2X1 + 6X2 ≥ 18 X1 + X2 = 7 Xi ≥ 0 FORMA ESTÁNDAR Z= 4X1 + 5X2 + MA1 + MA2 + 0H1 + 0H2 2X1 + 2X2 + H1 ≤ 10 2X1 + 6X2 +A1 – H2 ≥ 18 (M) X1 + X2 +A2 = 7 (M) X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0 FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES Z - 4X1 - 5X2 - MA1 - MA2 - 0H1 - 0H2 = 0 2MX1 + 6MX2 +MA1 – MH2 = 18M MX1 + MX2 +MA2 = 7M Z+(3M-4)X1+(7M-5)X2 -0H1-MH2 = 25M (-1) -Z-(4-3M)X1-(5-7M)X2 +0H1+MH2 = -25M 2X1 + 2X2 + H1 = 10 2X1 + 6X2 +A1 – H2 = 18 X1 + X2 +A2 = 7 X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0 TABLA SIMPLEX Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 Z -1 4-3M 5-7M 0 0 0 M (-)25M H1 0 2 2 0 0 1 0 10 H2 0 2 6 1 0 0 -1 18 A1 0 1 1 0 1 0 0 7 Z -1 7/3-2/3M 0 (-5/6+7M/6) 0 0 5/6-1M/6 (-15-4M) H1 0 1 1/3 0 - 1/3 0 1 1/3 4 X2 0 1/3 1 1/6 0 0 - 1/6 3 A2 0 2/3 0 - 1/6 1 0 1/6 4 Z -1 0 0 (-1/4+M) 0 (-7/4+1M/2) 1/4 (-22-2M) X1 0 1 0 - 1/4 0 3/4 1/4 3 X2 0 0 1 1/4 0 - 1/4 - 1/4 2 A2 0 0 0 0 1 - 1/2 0 2 VB VALOR VARIABLES VE= X2 VS= H2 PIVOTE= 6 VE= X1 VS= H1 PIVOTE= 4/3
  • 12. El ejercicio no tiene solución MAXIMIZAR Z= 3X1 + 5X2 X1 ≤ 4 2X2 ≤ 12 3X1 + 2X2 = 18 Xi ≥ 0 FORMA ESTÁNDAR Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 –MA1 X1 + H1 ≤ 4 2X2 + H2 ≤ 12 3X1 + 2X2 + A1 = 18 (-M) X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0 FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES Z - 3X1 - 5X2 -0H1-0H2 +MA1 = 0 - 3MX1 -2MX2 - MA1 = -18M Z+ (-3M-3) X1+ (-2M-5) X2-0H1-0H2 = -18M X1 + H1 = 4 2X2 + H2 = 12 3X1 + 2X2 + A1 = 18 X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0 TABLA SIMPLEX SA
  • 13. MINIMIZAR Z= 3X1 + 5X2 X1 ≤ 4 2X2 = 12 3X1 + 2X2 ≥ 18 Xi ≥ 0 FORMA ESTÁNDAR Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 +MA1 +MA2 (-1) -Z= -3X1 - 5X2 - 0H1 - 0H2 -MA1 -MA2 X1 + H1 ≤ 4 2X2 + A1 ≤ 12(-M) 3X1 + 2X2 + A2 – H2 = 18 (-M) X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0 Z X1 X2 H1 H2 A1 Z 1 -3M-3 -2M-5 0 0 0 -18M H1 0 1 0 1 0 0 4 H2 0 0 2 0 1 0 12 A1 0 3 2 0 0 1 18 Z 1 0 -2M-5 3M+3 0 0 -6M+12 X1 0 1 0 1 0 0 4 H2 0 0 2 0 1 0 12 A1 0 0 2 -3 0 1 6 Z 1 0 0 -4 1/2 0 M+5/2 27 X1 0 1 0 1 0 0 4 H2 0 0 0 3 1 -1 6 X2 0 0 1 -1 1/2 0 ½ 3 Z 1 0 0 0 1 1/2 M+1 36 X1 0 1 0 0 - 1/3 1/3 2 H1 0 0 0 1 1/3 - 1/3 2 X2 0 0 1 0 1/2 0 6 VB VALOR VARIABLES VE= X1 VS= H1 PIVOTE= 1 VE= X2 VS= A1 PIVOTE= 2 RESPUESTAS: Solución Óptima Z= 36 Valores Óptimos X1=2 H1=2 X2=6 H2=0 VE= H1 VS= H2 PIVOTE= 3
  • 14. FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES -Z + 3X1 + 5X2 +0H1+0H2 +MA1 + MA2 = 0 -2MX2 -MA1 = -12M - 3MX1 -2MX2 +MH2 - MA2 = -18M Z+ (-3M+3) X1+ (-4M+5) X2+0H1+MH2 = -30M X1 + H1 = 4 2X2 + A1 = 12 3X1 + 2X2 + A2 -H2 = 18 X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0 TABLA SIMPLEX Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 Z -1 (-)3M+3 (-)4M+5 0 M 0 0 (-)30M H1 0 1 0 1 0 0 0 4 A1 0 0 2 0 0 1 0 12 A2 0 3 2 0 -1 0 1 18 Z -1 (-)3M+3 0 0 M 2M-5/2 0 (-)6M-30 H1 0 1 0 1 0 0 0 4 X2 0 0 1 0 0 1/2 0 6 A2 0 3 0 0 -1 -1 1 6 Z -1 0 0 0 1 M-3/2 M-1 -36 H1 0 0 0 1 1/3 1/3 - 1/3 2 X2 0 0 1 0 0 1/2 0 6 X1 0 1 0 0 - 1/3 - 1/3 1/3 2 VB VALOR VARIABLES SA VE= X2 VS= A1 PIVOTE= 2 VE= X1 VS= A2 PIVOTE= 3 RESPUESTAS: Solución Óptima -Z= -36 Z=36 Valores Óptimos X1=2 H1=2 X2=6 H2=0