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PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV 
UNIDAD II ECUACIONES DIFERENCIALES 
ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 
Se dice que las ecuaciones diferenciales se originaron durante los siglos XVII y XVIII. 
Más precisamente las ecuaciones diferenciales se originan en los principios del cálculo, 
con Isaac Newton y Gottfried Wilheln Leibnitz en el siglo XVII. Newton clasificó las 
ecuaciones de primer orden de acuerdo con las formas   f y 
dx 
dy 
f x 
dx 
dy 
 ,  y 
f x, y. 
dx 
dy 
 En 1675 Leibnitz asentó en un papel la ecuación: . 
2 
1 2  ydy  y Y descubrió 
el método de separación de variables, así como procedimientos para resolver las 
ecuaciones homogéneas de primer orden y las ecuaciones lineales de primer orden. A 
Newton y Leibnitz, siguieron la familia Bernoulli: Jacob, Johann y Daniel. Con ayuda 
del cálculo formularon y resolvieron las ecuaciones diferenciales de muchos problemas 
de mecánica. Entre ellos el de la braquistócroma que conduce a las ecuaciones no 
lineales de primer orden 1 ( )  . 2 y  y  c 
En aquel tiempo, pasar de la ecuación 
2 
1 
2 2 3 
3 
 
 
 
 
 
  
b y a 
a 
y a la forma diferencial y, 
entonces, afirmar que las integrales en ambos lados de la ecuación debían ser iguales, 
excepto por una constante, constituyó ciertamente un avance trascendental. Así por 
ejemplo, mientras Johann sabía que  
 
 
 
 
 
 
1 
1 
p 
ax 
ax dx d 
p 
p no era para p = -1 no sabía que 
x 
x 
dx 
 ln . Sin embargo, pudo demostrar que la ecuación , 
ax 
y 
dx 
dy 
 que podemos 
resolver escribiéndola como , 
x 
dx 
y 
dy 
a  y tiene la solución c. 
x 
ya 
 
A principio del siglo XVIII Jacobo Riccati, matemático italiano, consideró ecuaciones 
de la forma f y, y, y  0 . Leonardo Euler, trabajó sobre el planteamiento de 
problemas de la mecánica y su desarrollo de métodos de solución para estos problemas 
matemáticos. También, mediante un cambio adecuado de variables, redujo ecuaciones 
de segundo orden a ecuaciones de primer orden; Creó el concepto de factor integrante; 
en 1739 dio un tratamiento general a las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias 
con coeficientes constantes; contribuyó al método de las soluciones en series de 
potencias y dio un procedimiento numérico para resolver las ecuaciones diferenciales. 
Posteriormente en el siglo XVIII, los grandes matemáticos franceses Joseph-Louis 
Lagrange (1736-1813) y Pierre-Simon Laplace (1749-1827) hicieron importantes 
aportaciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias y, además, dieron por 
primera vez un tratamiento a las ecuaciones diferenciales parciales.
PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA IV 
ECUACIONES DIFERENCIALES 
Definición: Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene las derivadas de una 
o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. 
Ejemplos: 
0 
4 
2 
3 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
   
  
x 
u 
y 
u 
x 
u 
y x 
dx 
dy 
dx 
d y 
y e 
dx 
dy 
x x 
CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES 
Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad. 
DE ACUERDO AL TIPO: 
i. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO): Si una ecuación 
diferencial sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes 
con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una 
ecuación diferencial ordinaria. 
Ejemplos: 
3 2 2  xy  x  
dx 
dy 
(x  2y  3)dx  (2x  y 1)dy  0 
y 
dx 
dy 
x 
dx 
d y 
y 3 3 
3 
   
3  2  0 
dx 
dz 
dx 
dy 
ii. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP): Toda ecuación 
diferencial que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes 
con respecto a dos o más variables independientes se denomina ecuación diferencial 
parcial. 
Ejemplos: 
3 0 
2 
   
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
y 
u 
x 
u 
x y 
u 
y xyz 
x y z 
u 
y 
u 
x 
u 
x    
 
 
  
 
 
   
 
   
 
 
  
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 3 
2 
2 
3
PROFESOR: JULIO BARRETO 3 MATERIA: MATEMÁTICA IV 
NOTA: Las ecuaciones diferenciales son: 
ORDINARIAS: Cuando la función f depende de una sola variable 
PARCIALES: Cuando la función depende de varias variables 
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL ORDEN: 
DEFINICIÓN DEL ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL: El orden de 
una ecuación diferencial le corresponde al de la derivada de mayor orden que aparece en 
dicha ecuación. 
i. Ecuaciones diferenciales de Primer Orden: 
3 2 2  xy  x  
dx 
dy 
(x  2y 3)dx  (2x  y 1)dy  0 
 3x  0 
dx 
dy 
y 
ii. Ecuaciones de diferenciales Segundo Orden: 
3xy´´2y´4y  Sen(x) 
3 0 
2 
   
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
y 
u 
x 
u 
x y 
u 
y´´3y´2y  0 
iii. Ecuaciones diferenciales de Tercer Orden: 
xyz 
x y z 
u 
y 
u 
x 
u 
x    
 
 
  
 
 
   
 
   
 
 
  
 
 
 
 
   
 
 
 
 3 
2 
2 
3 
y 
dx 
dy 
x 
dx 
d y 
y 3 3 
3 
   
´´´ 2 ´´ 5 4 3 1 2 2 y  y  y  e  x  x 
iv. Ecuaciones diferenciales de Orden Superior: 
    3 5 2 4 3 y  y  y  x 
PROFESOR: JULIO BARRETO 4 MATERIA: MATEMÁTICA IV 
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL GRADO: 
El grado de una ecuación diferencial ordinaria, que puede escribirse como un polinomio 
en la variable dependiente y sus derivadas, es la potencia a la cual esta elevada su 
derivada de mayor orden. 
Ejemplos: 
 3 5 . 
2 
3 
3 7 
2 
2 
x 
dx 
dy 
y 
dx 
dy 
y 
dx 
d y 
  
 
 
 
  
 
 
 
   
 
 
  
 
 
Como es de orden dos, es una ecuación 
diferencial de tercer grado. 
 5 4 . 
2 
2 
2 
y x 
dx 
dy 
dx 
d y 
   
 
 
 
 Como es de orden dos, es una ecuación diferencial de 
primer grado. 
   0. 
3 2 
4 3 
4 
   sen y  
dx 
dy 
x 
dx 
d y 
dx 
d y 
No tiene grado a causa del término seny. 
¡Justifica¡ 
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO A LA LINEALIDAD: 
Se clasifican en ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. 
Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n son todas aquellas que pueden 
expresarse de la siguiente forma: 
                             
 2 1 0 
1 
1 a x y x a x x a x y x a x y x a x y x f x n 
n 
n 
n  
 Si f x  0, la ecuación diferencial lineal es homogénea. 
 
 Si f x  0, la ecuación diferencial lineal es no homogénea. 
Si a x i n i ( ),  0,1,2,..., son todos valores constantes, entonces la ecuación diferencial 
lineal es de coeficientes constantes; caso contrario se dice que la ecuación diferencial lineal 
es de coeficientes variables. 
3 ( ) ´´´( ) ( ) ´´( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) 
2 ( ) ´´( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) 
1 ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) 
3 2 1 0 
2 1 0 
1 0 
orden a x y x a x y x a x y x a x y x f x 
orden a x y x a x y x a x y x f x 
orden a x y x a x y x f x 
er 
do 
er 
     
    
  
PROFESOR: JULIO BARRETO 5 MATERIA: MATEMÁTICA IV 
En las ecuaciones lineales se observa las siguientes propiedades: 
i. La variable dependiente y, y todas sus derivadas son de 1er grado. 
ii. Cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x. 
iii. Toda ecuación diferencial que no pueda expresarse en la forma (*) se llama 
ecuación no lineal. 
´´´ 2 ´ 4 ln( ) 
2 cos( ) 
( ) 
2 2 
2 
2 
2 
y y y x 
x y x x 
dx 
dy 
dx 
d y 
x 
sen x y e 
dx 
dy 
x x 
   
    
  
Ecuaciones diferenciales no lineales: 
1 
3 ( ) 
3 
4 
2 
2 
 
  
  
 
dx 
dy 
e 
sen y 
dx 
dy 
dx 
d y 
y 
dx 
dy 
e 
dx 
dy 
xy 
xy 
x 
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA 
Definición: Cualquier función  definida en un intervalo I que posee al menos n 
derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de 
orden n reducen la ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el 
intervalo I. 
 SOLUCIÓN EXPLÍCITA: Se denomina solución explícita de 
( , , ´,..., ) ( 1)  n 
n 
n 
f x y y y 
dx 
d y 
en un intervalo I a toda función  que al 
sustituirse por y y  x en la ecuación diferencial la satisface para 
cualquier valor de x del intervalo I.
PROFESOR: JULIO BARRETO 6 MATERIA: MATEMÁTICA IV 
Ejemplo: Sea y3y 2y  0 donde ( ) . x  x  e Al comprobar que la función 
 satisface la ecuación diferencial dada, puesto que: 
x  (x)  e y ( ) . x  x  e 
Luego: 
 3   2  3  2  0 x x x y y y e e e 
Y se concluye que 
x  (x)  e es solución explícita de la ecuación diferencial dada. 
Ejercicio: Dada la función ( ) 2 1   x  x . Diga si es solución de la ecuación 
diferencial ordinaria (EDO): 0 
2 
2 2 
2 
 y  
dx x 
d y 
 SOLUCIÓN IMPLÍCITA: La relación Gx, y 0 se denomina solución 
implícita de la ecuación diferencial ( , , ´,..., ) ( 1)  n 
n 
n 
f x y y y 
dx 
d y 
en un 
intervalo I, si es que la relación Gx, y 0 define una o más soluciones 
explícitas de dicha ecuación diferencial en I. 
Ejemplo: Demostrar que    0 xy x y e es una solución implícita de la ecuación 
diferencial: 1  1  0 xy xy ye 
dx 
dy 
xe 
(*) 
En efecto: Derivando implícitamente: 
xy 
xy 
xy xy xy 
xe 
ye 
dx 
dy 
ye 
dx 
dy 
y xe 
dx 
dy 
e x 
dx 
dy 
 
 
            
1 
1 
(1 ) ( ) 0 (1 ) 1 
Sustituyendo en (*): 
) 1 1 1 0 
1 
1 
(1 ) *(         
 
 
  xy xy xy 
xy 
xy 
xy ye ye ye 
xe 
ye 
xe 
    0 xy x y e es solución implícita de (*) 
Ejercicio: La relación 4 0 2 2 x  y   es una solución implícita de la ecuación 
diferencial 
y 
x 
dx 
dy 
  
en el intervalo  2  x  2.

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Unidad ii guia de introduccion a las ecuciones diferenciales

  • 1. PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV UNIDAD II ECUACIONES DIFERENCIALES ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Se dice que las ecuaciones diferenciales se originaron durante los siglos XVII y XVIII. Más precisamente las ecuaciones diferenciales se originan en los principios del cálculo, con Isaac Newton y Gottfried Wilheln Leibnitz en el siglo XVII. Newton clasificó las ecuaciones de primer orden de acuerdo con las formas   f y dx dy f x dx dy  ,  y f x, y. dx dy  En 1675 Leibnitz asentó en un papel la ecuación: . 2 1 2  ydy  y Y descubrió el método de separación de variables, así como procedimientos para resolver las ecuaciones homogéneas de primer orden y las ecuaciones lineales de primer orden. A Newton y Leibnitz, siguieron la familia Bernoulli: Jacob, Johann y Daniel. Con ayuda del cálculo formularon y resolvieron las ecuaciones diferenciales de muchos problemas de mecánica. Entre ellos el de la braquistócroma que conduce a las ecuaciones no lineales de primer orden 1 ( )  . 2 y  y  c En aquel tiempo, pasar de la ecuación 2 1 2 2 3 3        b y a a y a la forma diferencial y, entonces, afirmar que las integrales en ambos lados de la ecuación debían ser iguales, excepto por una constante, constituyó ciertamente un avance trascendental. Así por ejemplo, mientras Johann sabía que        1 1 p ax ax dx d p p no era para p = -1 no sabía que x x dx  ln . Sin embargo, pudo demostrar que la ecuación , ax y dx dy  que podemos resolver escribiéndola como , x dx y dy a  y tiene la solución c. x ya  A principio del siglo XVIII Jacobo Riccati, matemático italiano, consideró ecuaciones de la forma f y, y, y  0 . Leonardo Euler, trabajó sobre el planteamiento de problemas de la mecánica y su desarrollo de métodos de solución para estos problemas matemáticos. También, mediante un cambio adecuado de variables, redujo ecuaciones de segundo orden a ecuaciones de primer orden; Creó el concepto de factor integrante; en 1739 dio un tratamiento general a las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes constantes; contribuyó al método de las soluciones en series de potencias y dio un procedimiento numérico para resolver las ecuaciones diferenciales. Posteriormente en el siglo XVIII, los grandes matemáticos franceses Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) y Pierre-Simon Laplace (1749-1827) hicieron importantes aportaciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias y, además, dieron por primera vez un tratamiento a las ecuaciones diferenciales parciales.
  • 2. PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA IV ECUACIONES DIFERENCIALES Definición: Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Ejemplos: 0 4 2 3 2 2 2 2 2 2                          x u y u x u y x dx dy dx d y y e dx dy x x CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad. DE ACUERDO AL TIPO: i. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO): Si una ecuación diferencial sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Ejemplos: 3 2 2  xy  x  dx dy (x  2y  3)dx  (2x  y 1)dy  0 y dx dy x dx d y y 3 3 3    3  2  0 dx dz dx dy ii. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP): Toda ecuación diferencial que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes se denomina ecuación diferencial parcial. Ejemplos: 3 0 2                      y u x u x y u y xyz x y z u y u x u x                                3 2 2 3
  • 3. PROFESOR: JULIO BARRETO 3 MATERIA: MATEMÁTICA IV NOTA: Las ecuaciones diferenciales son: ORDINARIAS: Cuando la función f depende de una sola variable PARCIALES: Cuando la función depende de varias variables CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL ORDEN: DEFINICIÓN DEL ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL: El orden de una ecuación diferencial le corresponde al de la derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuación. i. Ecuaciones diferenciales de Primer Orden: 3 2 2  xy  x  dx dy (x  2y 3)dx  (2x  y 1)dy  0  3x  0 dx dy y ii. Ecuaciones de diferenciales Segundo Orden: 3xy´´2y´4y  Sen(x) 3 0 2                      y u x u x y u y´´3y´2y  0 iii. Ecuaciones diferenciales de Tercer Orden: xyz x y z u y u x u x                                3 2 2 3 y dx dy x dx d y y 3 3 3    ´´´ 2 ´´ 5 4 3 1 2 2 y  y  y  e  x  x iv. Ecuaciones diferenciales de Orden Superior:     3 5 2 4 3 y  y  y  x 
  • 4. PROFESOR: JULIO BARRETO 4 MATERIA: MATEMÁTICA IV CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL GRADO: El grado de una ecuación diferencial ordinaria, que puede escribirse como un polinomio en la variable dependiente y sus derivadas, es la potencia a la cual esta elevada su derivada de mayor orden. Ejemplos:  3 5 . 2 3 3 7 2 2 x dx dy y dx dy y dx d y                    Como es de orden dos, es una ecuación diferencial de tercer grado.  5 4 . 2 2 2 y x dx dy dx d y        Como es de orden dos, es una ecuación diferencial de primer grado.    0. 3 2 4 3 4    sen y  dx dy x dx d y dx d y No tiene grado a causa del término seny. ¡Justifica¡ CLASIFICACIÓN DE ACUERDO A LA LINEALIDAD: Se clasifican en ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n son todas aquellas que pueden expresarse de la siguiente forma:                               2 1 0 1 1 a x y x a x x a x y x a x y x a x y x f x n n n n   Si f x  0, la ecuación diferencial lineal es homogénea.   Si f x  0, la ecuación diferencial lineal es no homogénea. Si a x i n i ( ),  0,1,2,..., son todos valores constantes, entonces la ecuación diferencial lineal es de coeficientes constantes; caso contrario se dice que la ecuación diferencial lineal es de coeficientes variables. 3 ( ) ´´´( ) ( ) ´´( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ´´( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 0 2 1 0 1 0 orden a x y x a x y x a x y x a x y x f x orden a x y x a x y x a x y x f x orden a x y x a x y x f x er do er            
  • 5. PROFESOR: JULIO BARRETO 5 MATERIA: MATEMÁTICA IV En las ecuaciones lineales se observa las siguientes propiedades: i. La variable dependiente y, y todas sus derivadas son de 1er grado. ii. Cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x. iii. Toda ecuación diferencial que no pueda expresarse en la forma (*) se llama ecuación no lineal. ´´´ 2 ´ 4 ln( ) 2 cos( ) ( ) 2 2 2 2 2 y y y x x y x x dx dy dx d y x sen x y e dx dy x x          Ecuaciones diferenciales no lineales: 1 3 ( ) 3 4 2 2       dx dy e sen y dx dy dx d y y dx dy e dx dy xy xy x SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA Definición: Cualquier función  definida en un intervalo I que posee al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden n reducen la ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el intervalo I.  SOLUCIÓN EXPLÍCITA: Se denomina solución explícita de ( , , ´,..., ) ( 1)  n n n f x y y y dx d y en un intervalo I a toda función  que al sustituirse por y y  x en la ecuación diferencial la satisface para cualquier valor de x del intervalo I.
  • 6. PROFESOR: JULIO BARRETO 6 MATERIA: MATEMÁTICA IV Ejemplo: Sea y3y 2y  0 donde ( ) . x  x  e Al comprobar que la función  satisface la ecuación diferencial dada, puesto que: x  (x)  e y ( ) . x  x  e Luego:  3   2  3  2  0 x x x y y y e e e Y se concluye que x  (x)  e es solución explícita de la ecuación diferencial dada. Ejercicio: Dada la función ( ) 2 1   x  x . Diga si es solución de la ecuación diferencial ordinaria (EDO): 0 2 2 2 2  y  dx x d y  SOLUCIÓN IMPLÍCITA: La relación Gx, y 0 se denomina solución implícita de la ecuación diferencial ( , , ´,..., ) ( 1)  n n n f x y y y dx d y en un intervalo I, si es que la relación Gx, y 0 define una o más soluciones explícitas de dicha ecuación diferencial en I. Ejemplo: Demostrar que    0 xy x y e es una solución implícita de la ecuación diferencial: 1  1  0 xy xy ye dx dy xe (*) En efecto: Derivando implícitamente: xy xy xy xy xy xe ye dx dy ye dx dy y xe dx dy e x dx dy               1 1 (1 ) ( ) 0 (1 ) 1 Sustituyendo en (*): ) 1 1 1 0 1 1 (1 ) *(             xy xy xy xy xy xy ye ye ye xe ye xe     0 xy x y e es solución implícita de (*) Ejercicio: La relación 4 0 2 2 x  y   es una solución implícita de la ecuación diferencial y x dx dy   en el intervalo  2  x  2.