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UNIDAD 9: UTILICEMOS LA TRIGONOMETRIA.
Introducción a la trigonometría
Introducción
La trigonometría es el método analítico para estudiar los triángulos y otras figuras. El estudio de
la trigonometría demanda memorizar muchas fórmulas, lo cual trataremos de reducir. Nuestro
objetivo principal será la resolución de actividades y discusiones. La aplicación de la
trigonometría es amplia, por lo que su estudio se hace indispensable en bachillerato.
Objetivos:
Que el alumno o la alumna pueda:
1. Explicar cuál es el objeto de estudio de la trigonometría.
2. Definir las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
3. Calcular el valor de las funciones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º, sin utilizar
calculadora.
4. Escribir el valor de una función en términos de otra función de su ángulo complementario.
5. Definir qué es un ángulo en posición normal, y determinar el signo algebraico de las funciones
trigonométricas para cualquier ángulo en posición normal.
6. Definir las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera. Calcular su valor utilizando
calculadora.
7. Determinar, sin usar calculadora, el valor de las funciones trigonométricas para ángulos
cuadrantales (0º, 90º, 180º y 270º)
8. Escribir una función trigonométrica de argumento negativo en términos de una función de
argumento positivo, así como una función trigonométrica de cualquier ángulo en términos de
una función de un ángulo agudo.
1. Introducción .
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados
y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa medida de triángulos.
Analicemos el siguiente triángulo rectángulo:
Seguramente te estás preguntando cómo encontrar los ángulos en un triángulo rectángulo
(TR) Si se conocen 2 lados de un TR (o los 3), los ángulos se calculan mediante las funciones
En este triángulo, θ = 36.9º y β = 53.1º. Por Pitágoras, se tiene que
la hipotenusa vale 5 cm. Si alteramos la longitud de un cateto,
definitivamente variarán la hipotenusa y los ángulos. Por ejemplo, si
cambiamos la base de 4 cm por 5 cm, tenemos lo siguiente:
hipotenusa = 5.83, θ = 30.9º, β = 59.1º El triángulo es el siguiente:
θ
β
5 cm
3 cm
θ
β
4 cm
3 cm
90º
trigonométricas estudiadas el año pasado. Estas funciones trigonométricas son relaciones
entre los lados de dicho triángulo.
Para la aplicación de las funciones trigonométricas a un TR, se debe tener claro lo que es la
hipotenusa y los catetos: cateto adyacente y cateto opuesto. En un TR, la hipotenusa será
siempre la hipotenusa y el lado mayor de los tres; pero el cateto opuesto puede convertirse en
adyacente y viceversa, todo depende del ángulo a considerar. Tengamos presente que
adyacente significa cercano; por lo tanto, para un ángulo, su lado adyacente es el que está
cerca de él, y el otro será el opuesto. Veamos un caso.
2. Funciones trigonométricas de ángulos agudos
Las razones trigonométricas son 6: seno (Sen), coseno (Cos), tangente (Tan),
cotangente (Cot), secante (Sec) y cosecante (Csc). Cada razón trigonométrica es la
división de un lado entre otro.
Para el ángulo θ se tiene que:
Sen θ = opuesto / hipotenusa = b / c Cot θ = adyacente / opuesto = a / b
Cot = 1/Tan
Cos θ = adyacente / hipotenusa = a / c Sec θ = hipotenusa / adyacente = c / a
Sec = 1/Cos
Tan θ = opuesto / adyacente = b / a Csc θ = hipotenusa / opuesto = c / b
Csc = 1/Sen
Si tomamos el ángulo β, obtenemos:
Senβ = opuesto/hipotenusa = a/c Cotβ = adyacente/opuesto = b/a
Cosβ = adyacente/hipotenusa = b/c Secβ = hipotenusa/adyacente = c/b
Tanβ = opuesto/adyacente = a/b Cscβ = hipotenusa/opuesto = c/a
θ
β
a
b
En este TR, para θ el lado adyacente es a y el opuesto es b.
Pero para el ángulo β, el lado adyacente es b y el opuesto es a.
Al considerar un TR, resulta que los ángulos θ y β se restringen al
intervalo [0º, 90º] Es decir que tanto θ como β sólo pueden tomar
valores entre 0º y 90º (se incluyen estos límites)
Para estos ángulos, las funciones trigonométricas ya fueron estudiadas
el año pasado. Estas funciones trigonométricas son razones
trigonométricas como a/b o b/c. Recordémoslas. θ
β
a
b
c
Objetivos conceptuales. Definir las funciones trigonométricas a partir de un triángulo rectángulo.
Objetivos procedimentales. Dado un triángulo, calcular las funciones trigonométricas. Comprobar que entre triángulos
semejantes, no varían las funcionmes trigonométricas.
¿Variarán las funciones trigonométricas entre 2 triángulos semejantes?... Evidentemente que
NO variarán porque permanece igual el cociente. Por ejemplo, para el TR cuyos lados son 4, 3 y
5, siendo a = 4, b = 3 y c = 5 (hipotenusa), se tiene que:
Senθ = b/c = 3/5 Cosθ = a/c = 4/5
Tanθ = b/a = 3/4 Cotθ = a/b = 4/3
Secθ = c/a = 5/4 Cscθ = c/b = 5/3
Un TR semejante al anterior se obtiene multiplicando por una constante los 3 lados.
Multipliquemos por 3, obtenemos: a = 12, b = 9 y c = 15. Recuerda que en los
triángulos semejantes, los ángulos no varían.
Para el TR semejante, tenemos:
Senθ = b/c = 9/15 = 3/5 Cosθ = a/c = 12/15 = 4/5
Tanθ = b/a = 9/12 = 3/4 Cotθ = a/b = 12/9 = 4/3
Secθ = c/a = 15/12 = 5/4 Cscθ = c/b = 15/9 = 5/3
Actividad 1. Para el TR dado (A), calcula las 6 funciones trigonométricas (para β y θ).
Sen θ = ________________ Cos θ = ________________ Tan θ = ________________ Cot θ = ________________ Sec θ =
________________ Csc θ = ________________ Sen β = ________________ Cos β = ________________ Tan β =
________________ Cotβ = ________________ Secβ = ________________ Cscβ = ________________
Actividad 2. Se sabe que Cot β = 2/5. Calcula las razones trigonométricas para β y el otro
ángulo. Sen β = _______ Cos β = _______ Tan β = _______ Cot β = 0.4 Sec β = _______
Csc β = _______
Cos θ = _______ Sen θ = _______ Cot θ = _______ Tan θ = _______ Csc θ = -
_______ Sec θ = _______
discusión 1. 1. Se sabe que Sen θ = 0.24. Calculen las otras razones
trigonométricas para θ. Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________
Sec θ = _________ Csc θ = _________
1b. Se sabe que Cos θ = 0.5. Calculen las otras razones trigonométricas para θ. .
Sen θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________ Csc θ
= _________ (ver CD)
Las funciones trigonométricas NO varían
entre TR semejantes. Esto es válido para
cualquier triángulo.
θ
β
17 cm
20 .81 cm
Actividad 1b. Para el TR B
calcula las 6 funciones
trigonométricas para los ángulos β y
θ.
Ver respuestas en CDA
B
5 cm
4.5 cm
X
1c. Se sabe que Sec θ = 1.2. Calculen las otras razones trigonométricas para θ. .
Sen θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________ Csc θ
= _________ (ver CD)
2. ¿Por qué la expresión Sen θ = 20/15 no tiene lógica matemática?
2b. ¿Por qué la expresión Sec θ = 15/20 no tiene lógica matemática? (ver respuesta
en CD)
3. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de θ es el doble del adyacente.
Calculen las razones trigonométricas.
Sen θ = _________ Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = -
_________Csc θ =_____
3b. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de θ es el triple del adyacente.
Calculen las razones trigonométricas. (ver respuesta en CD)
Sen θ = _________ Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = -
_________Csc θ =_____
4. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de β es de 3 cm. Además, Sen β
= 0.75. Calculen los otros lados del triángulo. Adyacente = _________ Hipotenusa =
__________
5.
discusión 2. Respondan con falso (f) o verdadero (v) en cada afirmación.
1. Para un TR, Sen θ = Cos β ........................................................................... ___
2. Para un TR, Tan θ = Cot β ........................................................................... ___
3. Para un TR, Sec θ = Csc β ........................................................................... ___
4. Para un TR, la tangente puede ser cero ........................................................ ___
5. Para un TR, la tangente puede ser mayor que 1 ............................................ ___
6. Para un TR, el seno puede ser mayor que 1 .................................................. ___
7. Para un TR, el coseno puede ser mayor que 1 ............................................... ___
8. Para un TR, si los catetos son iguales, entonces la tangente de θ vale 1...... ___
9. Para un TR, si los catetos son iguales, entonces Sen θ = Cos θ ................... ___
3. Funciones trigonométricas de ángulos peculiares
Se sabe que Sen θ = 0.554. Calculen el valor del
lado X y el valor de la hipotenusa.
X = ________ Hipotenusa = ________
θ
––– 3cm–––
52
Ocurre que las funciones trigonométricas de los ángulos 30º, 45º y 60º son característicos. En
primer año se vio que:
θ Sen Cos Tan Cot Sec Csc
30º ½ 3 / 2 1/ 3 3 2/ 3 2
60º 3 / 2 ½ 3 1/ 3 2 2 3 /3
45º 2 / 2 2 / 2 1 1 2 2
Para llegar a las anteriores respuestas, se partió de un triángulo equilátero de lado l. Ocurre que
un triángulo equilátero equivale a 2 rectangulares de ángulos 30º y 60º. Se toma en cuenta aquí
que la razón trigonométrica sólo depende de la abertura. Es decir, sólo depende del ángulo.
Sen30º = opuesto / hipotenusa = (l /2)/l = 1/2 = 0.5
Cos30º = adyacente/hipotenusa = l 3 = l 3 = 3
2 . 2 l 2
l
Tan30º = opuesto/adyacente = (l /2)/(l 3 /2) = 1/ 3
Cot30º = adyacente/opuesto = (l 3 /2) / (l /2) = 3 Cot = 1/Tan
Sec 30º = hipotenusa / adyacente = (l ) / (l 3 /2) = 2 / 3. Equivale a 2 3 /3
Sec = 1/Cos
Csc30º = hipotenusa/opuesto = (l) / (l /2) = 2 Csc = 1/Sen
Por un proceso semejante llegamos a que:
Sen60º = opuesto/hipotenusa = 3
2
A un triángulo equilátero, la altura lo divide en 2 triángulos
rectángulos iguales, como puede verse. Al aplicar Pitágoras,
resulta que la altura es l 3 /2. Tengamos presente que la altura
es un cateto del triángulo rectángulo; así como lo es l /2. La altura
también resulta ser la mediana y la bisectriz.
Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60°.
6060º 60º
30º
ll
l/2 l/2
Altura
Cos60º = adyacente/hipotenusa = 1/2.
Tan60º = opuesto/adyacente = 3
Cot60º = adyacente/opuesto = 3 /3
Sec60º = hipotenusa/adyacente = 2.
Csc60º = hipotenusa/opuesto = 2/ 3. Equivale a 2 3 /3.
Es importante hacer notar que l no aparece en ninguna de las respuestas. Esto se debe a que,
para cualquier valor de l, las funciones trigonométricas son las mismas. Es decir que las
funciones trigonométricas sólo dependen del ángulo (abertura) y no de la longitud de los lados.
Para 45º construyamos un triángulo rectángulo con 45º.
l l
Sen45º = opuesto/hipotenusa = l / l 2 = 1/ 2. Equivale a 2/2
Cos45º = adyacente/hipotenusa = l / l 2 = 1/ 2. Equivale a 2/2
Tan45º = opuesto/adyacente = l / l = 1
Cot45º = adyacente/opuesto = l / l = 1
Sec45º = hipotenusa/adyacente = l 2 /l = 2.
Csc 45º = hipotenusa/opuesto = l 2 / l = 2.
discusión 3. Demuestren que si en un TR los catetos miden l, entonces la
hipotenusa mide
45º
45º
90º
Puede observarse que si un ángulo es de 45º, el otro obligadamente es
de 45º. Además, por Pitágoras se calcula que la hipotenusa es l .
22
l 2
Este es un TR. Por lo tanto, si θ = 10º, β = 80º; si θ = 25º, β = 65º; si θ = 30º,
β = 60º... Esto es así porque θ + β = 90º. Por lo tanto se dice que θ y β son
ángulos complementarios. En general se tiene que si θ es uno de los 2
ángulos agudos, el valor del otro ángulo es 90º - θ ¿Qué ocurre con las
funciones trigonométricas de ángulos complementarios? Para averiguarlo,
realicen la actividad siguiente. Pueden realizarla en grupo.
discusión 3b. Demuestren que si en un TR los catetos miden 2k, entonces la hipotenusa mide
discusión 3c. Demuestren que si en un TR los catetos miden 3m, entonces la hipotenusa
mide
discusión 3d. Demuestren que si en un TR los catetos miden 4b, entonces la hipotenusa
mide
discusión 4. Demuestren con los datos del TR siguiente (a la derecha) que
Senθ/Cosθ = Tanθ.
discusión 5. Demuestren con los datos del TR anterior (a la derecha) que
(Senθ)
2
+ (Cosθ)
2
= 1.
discusión 5b. Si los catetos de un TR valen 2k, demuestren que (Senθ)2
+ (Cosθ)2
= 1. (ver R en CD)
4. 4 Funciones trigonométricas de ángulos
complementarios
5.
Actividad 3. Utilizando la calculadora, llena la tabla siguiente. Para calcular la cotangente,
la secante y la cosecante, apliquen las ecuaciones: Cot θ = 1/Tanθ, Secθ = 1/Cosθ, Cscθ = 1/
Senθ. Utilicen 2 dígitos después del punto decimal. Por ejemplo, seno de 15 es 0.25881, coloca
nada más 0.26. Una vez llena la tabla, compara los valores del seno y coseno, tangente y
cotangente, secante y cosecante. ¿Qué observas?
Grados Senθ Tanθ Secθ Grados Cosθ Cotθ Cscθ
0º 90º
15º 75º
30º 60º
45º 45º
60º 30º
75º 15º
90º Infinito Infinito 0º Infinito Infinito
.........................................................................................................................
.....
Si trabajaste con esmero, y observaste cuidadosamente, te habrás dado cuenta que, por ejemplo,
Sen 15 = Cos 75; Tan 60 = Cot 30; Sec 30 = Csc 60... En general se tiene que: el seno de un
ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario; la tangente de un ángulo es igual a la
θ
β
Senθ = Cos(90º - θ) Tanθ = Cot(90º - θ) Secθ = Csc(90º - θ)
θ
m
k h
2k 2
3m 2
4b 2
Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas de ángulos complementarios
cotangente de su ángulo complementario; la secante de un ángulo es igual a la cosecante de su
ángulo complementario.
Por lo tanto, se tiene que:
Por lo anterior se afirma que el seno y el coseno son cofunciones; También son cofunciones la
tangente y la cotangente; la secante y la cosecante.
5. Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera .
5.1 Angulo en posición normal.
Se dice que un ángulo está en posición normal cuando el vértice coincide con el origen del
plano cartesiano y un lado coincide con el eje X. ¿Cuál de los 2 lados? El lado a partir del
cual se mide el ángulo. Aquí recordemos que un ángulo es positivo si se mide en el sentido
contrario a las agujas del reloj:
Los ángulos anteriores están en posición normal. Observemos que el eje X coincide con el lado
desde donde se mide el ángulo.
Consideremos el ángulo β siguiente:
El ángulo β anterior está en posición normal con respecto al plano cartesiano en el gráfico
siguiente:
El ángulo β está en posición normal, pues
el vértice coincide con el origen del plano
cartesiano y el lado inicial coincide con el
eje X.
X
X
r
β
X
P(x, y)
θ
Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
β
Vértice
Observemos que el ángulo β es mayor que 90º. El punto P es el final del segundo lado, cuya
longitud es r (se obtiene por Pitágoras)
5.2 Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera
Se tiene que para el ángulo β anterior, las funciones trigonométricas vienen definidas así:
Senβ = y/r Cosβ = x/r Tanβ = y/x Cotβ = x/y Secβ = r/x Cscβ = r/y
Observemos que las funciones se han calculado como considerando el ángulo θ.
Ejemplo. Calcular las funciones trigonométricas para β en el diagrama siguiente.
Solución.
Por Pitágoras se obtiene que r = 16 + 9 = 25 = 5 r siempre será positivo.
Sen β = y / r = 3 / 5 = 0.6 Cos β = x / r = -4 / 5 = -0.8 Tan β = y / x = 3 / -4 = -
0.75
Cotβ = x/y = -4/3 = -1.333 Secβ = r/x = 5/-4 = -1.25 Cscβ = r/y = 5/3 = 1.666
Observemos que x es negativo.
Actividad 4. Calcula las funciones trigonométricas para β en los diagramas siguientes.
Actividad 4b. Calcula las funciones trigonométricas para θ en los diagramas siguientes.
β
X
4
-3
β
X-4
3
r
1
β X
-4
-3
2
θ
5
-6
θ
6
-7
θ
6
-8
θ
5
-7
1 2 3
4
5.3 Signos de las funciones en los distintos cuadrantes
El signo de una función trigonométrica depende del cuadrante en que se encuentre. Recordemos
que cada cuadrante posee 90º.
El signo de cada función dependerá del signo de x o y; pues r siempre será positivo.
Recordemos que:
Senβ = y/r Cosβ = x/r Tanβ = y/x Cotβ = x/y Secβ = r/x Cscβ = r/y
Como Cot β = 1 /Tan β, Sec β = 1 / Cos β y Csc β = 1 / Senβ; estas funciones tendrán
el signo de tangente, coseno y seno respectivamente.
Observando el gráfico anterior, se tiene que:
Cuadrante I: x es positiva y y es positiva, por lo tanto las 6 funciones trigonométricas son
positivas.
Cuadrante II: x es negativa y y es positiva, por lo tanto las funciones que involucran a x son
negativas: coseno y tangente; en consecuencia también la secante y la cotangente.
Cuadrante III: x y y son negativas. Por lo tanto son negativas las funciones seno y coseno; en
consecuencia también la cosecante y la secante.
Cuadrante IV: x es positiva y y es negativa. Por lo tanto son negativas las funciones seno y
tangente; en consecuencia también la cosecante y la cotangente.
Utilizando la calculadora es fácil determinar el signo de cada función en un cuadrante
determinado. Tomemos un ángulo en cada cuadrante y saquémosle el seno, coseno y
tangente. Estos ángulos pueden ser: 30º, 100º, 200º y 300º.
Signo de cada función en los cuadrantes.
Sen Cos Tan Cot Sec Csc
I: 30º + + + + + +
II: 100º + – – – – +
III: 200º – – + + – –
r
r
r
r
I
I
I
III IV
X
P(x, y)
El cuadrante I comprende ángulos desde 0º a
90º, el II desde 90º a 180º, el III desde 180º a
270º y el IV desde 270º a 0º.
θ-5
-5
θ-6
-5
θ
6
-4
-5
10
θ
5 6 7
8
Ver resp. en CD
IV: 300º – + – – + –
En los límites de los cuadrantes, las funciones tienen valores típicos. Recordemos que
los límites son: 0º ó 360º, 90º, 180º y 270º. Estos son los ángulos cuadrantales.
Para 0º el lado inicial coincide con el lado inicial. Por lo tanto el punto P del lado
terminal tiene como coordenadas (x, 0) Lo que se tiene es una línea horizontal en X
positivo.
Esta línea horizontal es el lado adyacente (x) Pero el lado opuesto (y) vale cero. Y la
hipotenusa es igual al lado adyacente (x).
Para 90º el punto P del lado terminal tiene como coordenadas (0, y) Es decir que el
lado adyacente vale cero. Lo que se tiene es una línea vertical en y positivo que es a
la vez la hipotenusa.
Para 180º se tiene una línea horizontal en el eje X negativo. El punto P del lado
terminal tiene como coordenadas (-x, 0) La hipotenusa es x, pues siempre es positiva.
Para 270º el punto P del lado terminal tiene como coordenadas (0, -y) Lo que se tiene
es una línea vertical en el eje y negativo, que es a la vez la hipotenusa (su valor es
positivo).
Por lo tanto se tiene:
Para 0º Sen0º = 0/x = 0 Cos0º= x/x = 1 Tan0º = 0/x = 0
Csc0º = x/0 = ∞ Sec0º = x/x = 1 Cot0º = x/0 = ∞
Para 90º Sen90º = y/y = 1 Cos90º= 0/y = 0 Tan90º = y/0 = ∞
Csc90º = y/y = 1 Sec90º = y/0 = ∞ Cot90º = 0/y = 0
P(x, 0)P(-x, 0)
P(0, y)
P(0, -y)
Para 180º Sen180º = 0/x = 0 Cos180º= -x/x = -1 Tan180º = 0/-x = 0
Csc180º = x/0 = ∞ Sec180º = x/-x = -1 Cot180º = -x/0 = -∞ o ∞
Para 270º Sen270º = -y/y = -1 Cos270º= 0/y = 0 Tan270º = -y/0 = -∞ o ∞
Csc270º = y/-y = -1 Sec270º = y/0 = ∞ Cot270º = 0/-y = 0
Sen Cos Tan Cot Sec Csc
0º 0 1 0 ∞ 1 ∞
90º 1 0 ∞ 0 ∞ 1
180º 0 -1 0 -∞ -1 ∞
270º -1 0 -∞ 0 ∞ -1
360º 0 1 0 ∞ 1 ∞
5. 4 Funciones trigonométricas de ángulos negativosñu
Un ángulo es negativo cuando se mide en sentido contrario a las agujas del reloj.
¿Recuerdas cuántos grados tiene el círculo?... Tiene 360º. Esto significa que si un
ángulo vale 60º, el ángulo negativo es de -300º. ¿Porqué? Porque 300º es lo que le
falta a 60º para valer 360º: 60º + 300º = 360º.
 Actividad 5. Utilizando la calculadora, calcula el seno, el coseno y la tangente, y llena
la tabla siguiente:
β Senβ Cosβ Tanβ θ Senθ Cosθ Tanθ
0º -360º
30º -330º
60º -300º
90º -270º
150º -210º
β
Aquí β se ha medido en sentido contrario a las agujas del reloj, por lo
tanto es negativo. Su valor puede ser –35º o –40º, aproximadamente.
Utiliza la calculadora para corroborar los datos. Para
90º y 270º, la tangente te marcará ERROR. Esto se
debe a que se está dividiendo entre cero. La división
entre cero es indeterminada o infinita. Para 360º, los
resultados son los de 0º
β
θ
Supongamos algunos valores de β y calculemos los de θ:
Si β = 10 θ = -350
Si β = 30 θ = -330
Si β = 100 θ = -260
Si β = 200 θ = -160
180º -180º
200º -160º
270º -90º
300º -60º
360º 0º
¿Qué observas?
Consideremos ahora las funciones trigonométricas para un ángulo y su negativo. Por
ejemplo 25º y –25º. ¿Será el seno de 25º igual al seno de –25º? Consideremos un
ángulo β y un –β.
Vemos que para β, positivo o negativo, el coseno y la secante NO cambian (Cos-β = Cosβ) Las
otras funciones sí cambian.
 Cálculo del ángulo a partir de la función trigonométrica.
5.8 cm
Utilizando la calculadora, el ángulo β se calcula con las teclas:
Para el caso anterior, como Senβ = 0.517, entonces β = Sen-1
0.517 = 31º
Puede utilizarse cualquier función: Tanβ = 0.6, entonces: β = Tan-1
0.6 = 31º
discusión 6. Para el gráfico mostrado, calculen el menor ángulo que forman: 1.
A y B ___________ 2. A y C ___________ 3. A y D ___________ 4. B y C ___________ 5. B y D ___________ 6. C y D
___________
2
3
β 5 cm
3 cm
Para este triángulo se tiene que:
Senβ = 3/5.8 = 0.517
Cosβ = 5/5.8 = 0.862
Tanβ = 3/5 = 0.6
Pero... ¿Cuál es el valor del ángulo β?
Sen
-1
Cos
-1
Tan
-1
β
-β
(x, y)
(x, -y)
Aquí se tiene que:
Sen-β = -y/r = -Senβ
Cos-β = x/r = Cosβ
Tan-β = -y/x = -Tanβ
Cot-β = x/-y = -x/y = -Cotβ
Sec-β = r/x = Secβ
Csc-β = r/-y = -r/y = -Cscβ
r
r
discusión 7. Calculen los lados faltantes en los triángulos siguientes:
8.06 cm 6
cm
5.5 Reducción de funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas de un ángulo mayor de 90º se pueden expresar en términos de un
ángulo agudo que el lado terminal forme con el eje X positivo o negativo. Y es que ocurre que
la función trigonométrica de un ángulo mayor de 90º es numéricamente igual al ángulo que el
lado terminal forma con el eje X positivo o negativo (esto se vio en la página 62)
4
-3
-4
-5 6
D
A
C
B
21.8º 29.71º18.4º 36.87º
5 cm 6 cm
1
43
2
β
(x, y)
R
Aquí ocurre que son numéricamente iguales: el seno de β y
el seno de R; el coseno de β y el coseno de R, la tangente
de β y la tangente de R...
En este caso, el ángulo R se conoce como ángulo de
referencia. El ángulo de referencia es el ángulo positivo
formado por el lado terminal con el eje X (positivo o
negativo) Observemos que el ángulo está en posición
normal.
-2
Si β es el ángulo en estudio, y R es el de referencia, se tiene lo siguiente:
Para el segundo cuadrante: Sen β = Sen R, Cos β = –Cos R, Tan β = –Tan R, Cot β = –Cot R,
Secβ = –SecR, Cscβ = CscR.
Para el tercer cuadrante: Sen β = – Sen R, Cos β = – Cos R, Tan β = Tan R, Cot β = Cot R,
Secβ = –SecR, Cscβ = –CscR.
Para el cuarto cuadrante: Sen β = – Sen R, Cos β = Cos R, Tan β = – Tan R, Cot β = – Cot R,
Secβ = SecR, Cscβ = –CscR.
SOLUCIONES.
Actividad 1.
Senθ = 0.817 Cos θ = 0.577 Tan θ = 1.416 Cot θ = 0.706 Sec θ = 1.733 Csc θ =
1.22 Senβ = 0.577 Cosβ = 0.817 Tanβ =0.706 Cotβ = 1.416 Sec
β = 1.22 Cscβ = 1.733
Actividad 2. Sen β = 0.93 Cos β = 0.37 Tan β = 2.5 Cot β = 0.4 Sec β = 2.7 Csc β =
1.08
Cos θ = 0.93 Sen θ = 0.37 Cot θ = 2.5 Tan θ = 0.4 Csc θ = 2.7 Sec θ =
1.08
discusión 1. 1. Cos θ = 0.97 Tan θ = 0.278 Cot θ = 3.597 Sec θ = 1.03 Csc θ =
4.17 Como Sen θ = 0.24, entonces opuesto es 0.24 y la hipotenusa es 1; o también
se puede multiplicar por 100, y tenemos: opuesto = 24, hipotenusa es 100. Por
Pitágoras, se tiene que: adyacente = 97.
2. Porque aparece que el opuesto es mayor que la hipotenusa, lo cual es imposible.
3. Sen θ = 0.894 Cos θ = 0.45 Tan θ = 2 Cot θ = 0.5 Sec θ = 2.22 Csc θ = 1.118
Se le puede dar el valor de 2 al opuesto de θ, entonces el adyacente es 1.
4. Adyacente = √ 7 cm Hipotenusa = 4 cm. La hipotenusa se despeja de 0.75 = 3 /
hipotenusa.
R R
Aquí R es el ángulo de referencia en ambos casos
5. X = 6 Hipotenusa = 5 El opuesto se calcula despejando de 0.554 = opuesto / √ 52, y es 4.
Con este dato y 3, aplicamos Pitágoras para calcular la hipotenusa y X.
discusión 2. 1. v 2. v 3. v Estas 3 respuestas se confirman en la actividad 2 4. v Esto
ocurre cuando el opuesto es cero 5. v Siempre que el opuesto sea mayor que el adyacente 6.
f La hipotenusa es siempre mayor que cualquier cateto 7. f Sería necesario, como en el caso
anterior, que el cateto respectivo fuera mayor que la hipotenusa. Esto es imposible 8. v 9. v
discusión 4. La hipotenusa es k2
+ m2
Este factor se anula al hacer Senθ/Cosθ, y nos
queda k/m, que es la tangente.
Actividad 3.
Grados Senθ Tanθ Secθ Grados Cosθ Cotθ Cscθ
0º 0 0 1 90º 0 0 1
15º 0.26 0.27 1.03 75º 0.26 0.27 1.03
30º 0.5 0.58 1.15 60º 0.5 0.58 1.15
45º 0.71 1 1.41 45º 0.71 1 1.41
60º 0.87 1.73 2 30º 0.87 1.73 2
75º 0.97 3.73 3.86 15º 0.97 3.73 3.86
90º 1 Infinito Infinito 0º 1 Infinito Infinito
Actividad 4.
1. Senβ = -0.6 Cosβ = 0.8 Tanβ = -0.75 Cotβ = -1.333 Secβ = 1.25 Cscβ =
-1.666
2. Senβ = -0.6 Cosβ = -0.8 Tanβ = 0.75 Cot β = 1.333 Sec β = -1.25 Cscβ =
-1.666
Actividad 5.
Β Senβ Cosβ Tanβ θ Senθ Cosθ Tanθ
0º 0 1 0 -360º 0 1 0
30º 0.5 0.86 0.58 -330º 0.5 0.86 0.58
60º 0.86 0.5 1.73 -300º 0.86 0.5 1.73
90º 1 0 +∞ -270º 1 0 +∞
150º 0.5 -0.86 -0.58 -210º 0.5 -0.86 -0.58
180º 0 -1 0 -180º 0 -1 0
200º -0.34 -0.94 0.36 -160º -0.34 -0.94 0.36
270º -1 0 +∞ -90º -1 0 +∞
300º -0.86 0.5 -1.73 -60º -0.86 0.5 -1.73
360º 0 1 0 0º 0 1 0
L@s alumn@s deben observar que el valor de la función es igual para el ángulo positivo que
para el complemento negativo.
discusión 6. 1. A y B 116.57º 2. A y C 174.1º 3. A y D 55.3º 4. B y C 57.5º 5. B y D
171.8º 6. C y D 130.6º Aquí se calcula el ángulo de cada lado con el eje X positivo o el
ángulo con el eje más cercano. Luego se hacen las sumas y restas necesarias. Por ejemplo, con
Tan-1
, encontramos que A forma 36.87 con X; y B forma 26.56º con –X. Por lo tanto entre A y
B hay 180º - (36.87 + 26.56)º = 116.57º
discusión 7. 1. 2 cm y 5.38 cm 2. c cm y 6.32 cm 3. 4 cm y 7 cm 4. 8 cm y 10 cm

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  • 1. UNIDAD 9: UTILICEMOS LA TRIGONOMETRIA. Introducción a la trigonometría Introducción La trigonometría es el método analítico para estudiar los triángulos y otras figuras. El estudio de la trigonometría demanda memorizar muchas fórmulas, lo cual trataremos de reducir. Nuestro objetivo principal será la resolución de actividades y discusiones. La aplicación de la trigonometría es amplia, por lo que su estudio se hace indispensable en bachillerato. Objetivos: Que el alumno o la alumna pueda: 1. Explicar cuál es el objeto de estudio de la trigonometría. 2. Definir las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo. 3. Calcular el valor de las funciones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º, sin utilizar calculadora. 4. Escribir el valor de una función en términos de otra función de su ángulo complementario. 5. Definir qué es un ángulo en posición normal, y determinar el signo algebraico de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo en posición normal. 6. Definir las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera. Calcular su valor utilizando calculadora. 7. Determinar, sin usar calculadora, el valor de las funciones trigonométricas para ángulos cuadrantales (0º, 90º, 180º y 270º) 8. Escribir una función trigonométrica de argumento negativo en términos de una función de argumento positivo, así como una función trigonométrica de cualquier ángulo en términos de una función de un ángulo agudo. 1. Introducción . La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa medida de triángulos. Analicemos el siguiente triángulo rectángulo: Seguramente te estás preguntando cómo encontrar los ángulos en un triángulo rectángulo (TR) Si se conocen 2 lados de un TR (o los 3), los ángulos se calculan mediante las funciones En este triángulo, θ = 36.9º y β = 53.1º. Por Pitágoras, se tiene que la hipotenusa vale 5 cm. Si alteramos la longitud de un cateto, definitivamente variarán la hipotenusa y los ángulos. Por ejemplo, si cambiamos la base de 4 cm por 5 cm, tenemos lo siguiente: hipotenusa = 5.83, θ = 30.9º, β = 59.1º El triángulo es el siguiente: θ β 5 cm 3 cm θ β 4 cm 3 cm 90º
  • 2. trigonométricas estudiadas el año pasado. Estas funciones trigonométricas son relaciones entre los lados de dicho triángulo. Para la aplicación de las funciones trigonométricas a un TR, se debe tener claro lo que es la hipotenusa y los catetos: cateto adyacente y cateto opuesto. En un TR, la hipotenusa será siempre la hipotenusa y el lado mayor de los tres; pero el cateto opuesto puede convertirse en adyacente y viceversa, todo depende del ángulo a considerar. Tengamos presente que adyacente significa cercano; por lo tanto, para un ángulo, su lado adyacente es el que está cerca de él, y el otro será el opuesto. Veamos un caso. 2. Funciones trigonométricas de ángulos agudos Las razones trigonométricas son 6: seno (Sen), coseno (Cos), tangente (Tan), cotangente (Cot), secante (Sec) y cosecante (Csc). Cada razón trigonométrica es la división de un lado entre otro. Para el ángulo θ se tiene que: Sen θ = opuesto / hipotenusa = b / c Cot θ = adyacente / opuesto = a / b Cot = 1/Tan Cos θ = adyacente / hipotenusa = a / c Sec θ = hipotenusa / adyacente = c / a Sec = 1/Cos Tan θ = opuesto / adyacente = b / a Csc θ = hipotenusa / opuesto = c / b Csc = 1/Sen Si tomamos el ángulo β, obtenemos: Senβ = opuesto/hipotenusa = a/c Cotβ = adyacente/opuesto = b/a Cosβ = adyacente/hipotenusa = b/c Secβ = hipotenusa/adyacente = c/b Tanβ = opuesto/adyacente = a/b Cscβ = hipotenusa/opuesto = c/a θ β a b En este TR, para θ el lado adyacente es a y el opuesto es b. Pero para el ángulo β, el lado adyacente es b y el opuesto es a. Al considerar un TR, resulta que los ángulos θ y β se restringen al intervalo [0º, 90º] Es decir que tanto θ como β sólo pueden tomar valores entre 0º y 90º (se incluyen estos límites) Para estos ángulos, las funciones trigonométricas ya fueron estudiadas el año pasado. Estas funciones trigonométricas son razones trigonométricas como a/b o b/c. Recordémoslas. θ β a b c Objetivos conceptuales. Definir las funciones trigonométricas a partir de un triángulo rectángulo. Objetivos procedimentales. Dado un triángulo, calcular las funciones trigonométricas. Comprobar que entre triángulos semejantes, no varían las funcionmes trigonométricas.
  • 3. ¿Variarán las funciones trigonométricas entre 2 triángulos semejantes?... Evidentemente que NO variarán porque permanece igual el cociente. Por ejemplo, para el TR cuyos lados son 4, 3 y 5, siendo a = 4, b = 3 y c = 5 (hipotenusa), se tiene que: Senθ = b/c = 3/5 Cosθ = a/c = 4/5 Tanθ = b/a = 3/4 Cotθ = a/b = 4/3 Secθ = c/a = 5/4 Cscθ = c/b = 5/3 Un TR semejante al anterior se obtiene multiplicando por una constante los 3 lados. Multipliquemos por 3, obtenemos: a = 12, b = 9 y c = 15. Recuerda que en los triángulos semejantes, los ángulos no varían. Para el TR semejante, tenemos: Senθ = b/c = 9/15 = 3/5 Cosθ = a/c = 12/15 = 4/5 Tanθ = b/a = 9/12 = 3/4 Cotθ = a/b = 12/9 = 4/3 Secθ = c/a = 15/12 = 5/4 Cscθ = c/b = 15/9 = 5/3 Actividad 1. Para el TR dado (A), calcula las 6 funciones trigonométricas (para β y θ). Sen θ = ________________ Cos θ = ________________ Tan θ = ________________ Cot θ = ________________ Sec θ = ________________ Csc θ = ________________ Sen β = ________________ Cos β = ________________ Tan β = ________________ Cotβ = ________________ Secβ = ________________ Cscβ = ________________ Actividad 2. Se sabe que Cot β = 2/5. Calcula las razones trigonométricas para β y el otro ángulo. Sen β = _______ Cos β = _______ Tan β = _______ Cot β = 0.4 Sec β = _______ Csc β = _______ Cos θ = _______ Sen θ = _______ Cot θ = _______ Tan θ = _______ Csc θ = - _______ Sec θ = _______ discusión 1. 1. Se sabe que Sen θ = 0.24. Calculen las otras razones trigonométricas para θ. Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________ Csc θ = _________ 1b. Se sabe que Cos θ = 0.5. Calculen las otras razones trigonométricas para θ. . Sen θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________ Csc θ = _________ (ver CD) Las funciones trigonométricas NO varían entre TR semejantes. Esto es válido para cualquier triángulo. θ β 17 cm 20 .81 cm Actividad 1b. Para el TR B calcula las 6 funciones trigonométricas para los ángulos β y θ. Ver respuestas en CDA B 5 cm 4.5 cm
  • 4. X 1c. Se sabe que Sec θ = 1.2. Calculen las otras razones trigonométricas para θ. . Sen θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________ Csc θ = _________ (ver CD) 2. ¿Por qué la expresión Sen θ = 20/15 no tiene lógica matemática? 2b. ¿Por qué la expresión Sec θ = 15/20 no tiene lógica matemática? (ver respuesta en CD) 3. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de θ es el doble del adyacente. Calculen las razones trigonométricas. Sen θ = _________ Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = - _________Csc θ =_____ 3b. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de θ es el triple del adyacente. Calculen las razones trigonométricas. (ver respuesta en CD) Sen θ = _________ Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = - _________Csc θ =_____ 4. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de β es de 3 cm. Además, Sen β = 0.75. Calculen los otros lados del triángulo. Adyacente = _________ Hipotenusa = __________ 5. discusión 2. Respondan con falso (f) o verdadero (v) en cada afirmación. 1. Para un TR, Sen θ = Cos β ........................................................................... ___ 2. Para un TR, Tan θ = Cot β ........................................................................... ___ 3. Para un TR, Sec θ = Csc β ........................................................................... ___ 4. Para un TR, la tangente puede ser cero ........................................................ ___ 5. Para un TR, la tangente puede ser mayor que 1 ............................................ ___ 6. Para un TR, el seno puede ser mayor que 1 .................................................. ___ 7. Para un TR, el coseno puede ser mayor que 1 ............................................... ___ 8. Para un TR, si los catetos son iguales, entonces la tangente de θ vale 1...... ___ 9. Para un TR, si los catetos son iguales, entonces Sen θ = Cos θ ................... ___ 3. Funciones trigonométricas de ángulos peculiares Se sabe que Sen θ = 0.554. Calculen el valor del lado X y el valor de la hipotenusa. X = ________ Hipotenusa = ________ θ ––– 3cm––– 52
  • 5. Ocurre que las funciones trigonométricas de los ángulos 30º, 45º y 60º son característicos. En primer año se vio que: θ Sen Cos Tan Cot Sec Csc 30º ½ 3 / 2 1/ 3 3 2/ 3 2 60º 3 / 2 ½ 3 1/ 3 2 2 3 /3 45º 2 / 2 2 / 2 1 1 2 2 Para llegar a las anteriores respuestas, se partió de un triángulo equilátero de lado l. Ocurre que un triángulo equilátero equivale a 2 rectangulares de ángulos 30º y 60º. Se toma en cuenta aquí que la razón trigonométrica sólo depende de la abertura. Es decir, sólo depende del ángulo. Sen30º = opuesto / hipotenusa = (l /2)/l = 1/2 = 0.5 Cos30º = adyacente/hipotenusa = l 3 = l 3 = 3 2 . 2 l 2 l Tan30º = opuesto/adyacente = (l /2)/(l 3 /2) = 1/ 3 Cot30º = adyacente/opuesto = (l 3 /2) / (l /2) = 3 Cot = 1/Tan Sec 30º = hipotenusa / adyacente = (l ) / (l 3 /2) = 2 / 3. Equivale a 2 3 /3 Sec = 1/Cos Csc30º = hipotenusa/opuesto = (l) / (l /2) = 2 Csc = 1/Sen Por un proceso semejante llegamos a que: Sen60º = opuesto/hipotenusa = 3 2 A un triángulo equilátero, la altura lo divide en 2 triángulos rectángulos iguales, como puede verse. Al aplicar Pitágoras, resulta que la altura es l 3 /2. Tengamos presente que la altura es un cateto del triángulo rectángulo; así como lo es l /2. La altura también resulta ser la mediana y la bisectriz. Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60°. 6060º 60º 30º ll l/2 l/2 Altura
  • 6. Cos60º = adyacente/hipotenusa = 1/2. Tan60º = opuesto/adyacente = 3 Cot60º = adyacente/opuesto = 3 /3 Sec60º = hipotenusa/adyacente = 2. Csc60º = hipotenusa/opuesto = 2/ 3. Equivale a 2 3 /3. Es importante hacer notar que l no aparece en ninguna de las respuestas. Esto se debe a que, para cualquier valor de l, las funciones trigonométricas son las mismas. Es decir que las funciones trigonométricas sólo dependen del ángulo (abertura) y no de la longitud de los lados. Para 45º construyamos un triángulo rectángulo con 45º. l l Sen45º = opuesto/hipotenusa = l / l 2 = 1/ 2. Equivale a 2/2 Cos45º = adyacente/hipotenusa = l / l 2 = 1/ 2. Equivale a 2/2 Tan45º = opuesto/adyacente = l / l = 1 Cot45º = adyacente/opuesto = l / l = 1 Sec45º = hipotenusa/adyacente = l 2 /l = 2. Csc 45º = hipotenusa/opuesto = l 2 / l = 2. discusión 3. Demuestren que si en un TR los catetos miden l, entonces la hipotenusa mide 45º 45º 90º Puede observarse que si un ángulo es de 45º, el otro obligadamente es de 45º. Además, por Pitágoras se calcula que la hipotenusa es l . 22 l 2
  • 7. Este es un TR. Por lo tanto, si θ = 10º, β = 80º; si θ = 25º, β = 65º; si θ = 30º, β = 60º... Esto es así porque θ + β = 90º. Por lo tanto se dice que θ y β son ángulos complementarios. En general se tiene que si θ es uno de los 2 ángulos agudos, el valor del otro ángulo es 90º - θ ¿Qué ocurre con las funciones trigonométricas de ángulos complementarios? Para averiguarlo, realicen la actividad siguiente. Pueden realizarla en grupo. discusión 3b. Demuestren que si en un TR los catetos miden 2k, entonces la hipotenusa mide discusión 3c. Demuestren que si en un TR los catetos miden 3m, entonces la hipotenusa mide discusión 3d. Demuestren que si en un TR los catetos miden 4b, entonces la hipotenusa mide discusión 4. Demuestren con los datos del TR siguiente (a la derecha) que Senθ/Cosθ = Tanθ. discusión 5. Demuestren con los datos del TR anterior (a la derecha) que (Senθ) 2 + (Cosθ) 2 = 1. discusión 5b. Si los catetos de un TR valen 2k, demuestren que (Senθ)2 + (Cosθ)2 = 1. (ver R en CD) 4. 4 Funciones trigonométricas de ángulos complementarios 5. Actividad 3. Utilizando la calculadora, llena la tabla siguiente. Para calcular la cotangente, la secante y la cosecante, apliquen las ecuaciones: Cot θ = 1/Tanθ, Secθ = 1/Cosθ, Cscθ = 1/ Senθ. Utilicen 2 dígitos después del punto decimal. Por ejemplo, seno de 15 es 0.25881, coloca nada más 0.26. Una vez llena la tabla, compara los valores del seno y coseno, tangente y cotangente, secante y cosecante. ¿Qué observas? Grados Senθ Tanθ Secθ Grados Cosθ Cotθ Cscθ 0º 90º 15º 75º 30º 60º 45º 45º 60º 30º 75º 15º 90º Infinito Infinito 0º Infinito Infinito ......................................................................................................................... ..... Si trabajaste con esmero, y observaste cuidadosamente, te habrás dado cuenta que, por ejemplo, Sen 15 = Cos 75; Tan 60 = Cot 30; Sec 30 = Csc 60... En general se tiene que: el seno de un ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario; la tangente de un ángulo es igual a la θ β Senθ = Cos(90º - θ) Tanθ = Cot(90º - θ) Secθ = Csc(90º - θ) θ m k h 2k 2 3m 2 4b 2 Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas de ángulos complementarios
  • 8. cotangente de su ángulo complementario; la secante de un ángulo es igual a la cosecante de su ángulo complementario. Por lo tanto, se tiene que: Por lo anterior se afirma que el seno y el coseno son cofunciones; También son cofunciones la tangente y la cotangente; la secante y la cosecante. 5. Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera . 5.1 Angulo en posición normal. Se dice que un ángulo está en posición normal cuando el vértice coincide con el origen del plano cartesiano y un lado coincide con el eje X. ¿Cuál de los 2 lados? El lado a partir del cual se mide el ángulo. Aquí recordemos que un ángulo es positivo si se mide en el sentido contrario a las agujas del reloj: Los ángulos anteriores están en posición normal. Observemos que el eje X coincide con el lado desde donde se mide el ángulo. Consideremos el ángulo β siguiente: El ángulo β anterior está en posición normal con respecto al plano cartesiano en el gráfico siguiente: El ángulo β está en posición normal, pues el vértice coincide con el origen del plano cartesiano y el lado inicial coincide con el eje X. X X r β X P(x, y) θ Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera. β Vértice
  • 9. Observemos que el ángulo β es mayor que 90º. El punto P es el final del segundo lado, cuya longitud es r (se obtiene por Pitágoras) 5.2 Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera Se tiene que para el ángulo β anterior, las funciones trigonométricas vienen definidas así: Senβ = y/r Cosβ = x/r Tanβ = y/x Cotβ = x/y Secβ = r/x Cscβ = r/y Observemos que las funciones se han calculado como considerando el ángulo θ. Ejemplo. Calcular las funciones trigonométricas para β en el diagrama siguiente. Solución. Por Pitágoras se obtiene que r = 16 + 9 = 25 = 5 r siempre será positivo. Sen β = y / r = 3 / 5 = 0.6 Cos β = x / r = -4 / 5 = -0.8 Tan β = y / x = 3 / -4 = - 0.75 Cotβ = x/y = -4/3 = -1.333 Secβ = r/x = 5/-4 = -1.25 Cscβ = r/y = 5/3 = 1.666 Observemos que x es negativo. Actividad 4. Calcula las funciones trigonométricas para β en los diagramas siguientes. Actividad 4b. Calcula las funciones trigonométricas para θ en los diagramas siguientes. β X 4 -3 β X-4 3 r 1 β X -4 -3 2 θ 5 -6 θ 6 -7 θ 6 -8 θ 5 -7 1 2 3 4
  • 10. 5.3 Signos de las funciones en los distintos cuadrantes El signo de una función trigonométrica depende del cuadrante en que se encuentre. Recordemos que cada cuadrante posee 90º. El signo de cada función dependerá del signo de x o y; pues r siempre será positivo. Recordemos que: Senβ = y/r Cosβ = x/r Tanβ = y/x Cotβ = x/y Secβ = r/x Cscβ = r/y Como Cot β = 1 /Tan β, Sec β = 1 / Cos β y Csc β = 1 / Senβ; estas funciones tendrán el signo de tangente, coseno y seno respectivamente. Observando el gráfico anterior, se tiene que: Cuadrante I: x es positiva y y es positiva, por lo tanto las 6 funciones trigonométricas son positivas. Cuadrante II: x es negativa y y es positiva, por lo tanto las funciones que involucran a x son negativas: coseno y tangente; en consecuencia también la secante y la cotangente. Cuadrante III: x y y son negativas. Por lo tanto son negativas las funciones seno y coseno; en consecuencia también la cosecante y la secante. Cuadrante IV: x es positiva y y es negativa. Por lo tanto son negativas las funciones seno y tangente; en consecuencia también la cosecante y la cotangente. Utilizando la calculadora es fácil determinar el signo de cada función en un cuadrante determinado. Tomemos un ángulo en cada cuadrante y saquémosle el seno, coseno y tangente. Estos ángulos pueden ser: 30º, 100º, 200º y 300º. Signo de cada función en los cuadrantes. Sen Cos Tan Cot Sec Csc I: 30º + + + + + + II: 100º + – – – – + III: 200º – – + + – – r r r r I I I III IV X P(x, y) El cuadrante I comprende ángulos desde 0º a 90º, el II desde 90º a 180º, el III desde 180º a 270º y el IV desde 270º a 0º. θ-5 -5 θ-6 -5 θ 6 -4 -5 10 θ 5 6 7 8 Ver resp. en CD
  • 11. IV: 300º – + – – + – En los límites de los cuadrantes, las funciones tienen valores típicos. Recordemos que los límites son: 0º ó 360º, 90º, 180º y 270º. Estos son los ángulos cuadrantales. Para 0º el lado inicial coincide con el lado inicial. Por lo tanto el punto P del lado terminal tiene como coordenadas (x, 0) Lo que se tiene es una línea horizontal en X positivo. Esta línea horizontal es el lado adyacente (x) Pero el lado opuesto (y) vale cero. Y la hipotenusa es igual al lado adyacente (x). Para 90º el punto P del lado terminal tiene como coordenadas (0, y) Es decir que el lado adyacente vale cero. Lo que se tiene es una línea vertical en y positivo que es a la vez la hipotenusa. Para 180º se tiene una línea horizontal en el eje X negativo. El punto P del lado terminal tiene como coordenadas (-x, 0) La hipotenusa es x, pues siempre es positiva. Para 270º el punto P del lado terminal tiene como coordenadas (0, -y) Lo que se tiene es una línea vertical en el eje y negativo, que es a la vez la hipotenusa (su valor es positivo). Por lo tanto se tiene: Para 0º Sen0º = 0/x = 0 Cos0º= x/x = 1 Tan0º = 0/x = 0 Csc0º = x/0 = ∞ Sec0º = x/x = 1 Cot0º = x/0 = ∞ Para 90º Sen90º = y/y = 1 Cos90º= 0/y = 0 Tan90º = y/0 = ∞ Csc90º = y/y = 1 Sec90º = y/0 = ∞ Cot90º = 0/y = 0 P(x, 0)P(-x, 0) P(0, y) P(0, -y)
  • 12. Para 180º Sen180º = 0/x = 0 Cos180º= -x/x = -1 Tan180º = 0/-x = 0 Csc180º = x/0 = ∞ Sec180º = x/-x = -1 Cot180º = -x/0 = -∞ o ∞ Para 270º Sen270º = -y/y = -1 Cos270º= 0/y = 0 Tan270º = -y/0 = -∞ o ∞ Csc270º = y/-y = -1 Sec270º = y/0 = ∞ Cot270º = 0/-y = 0 Sen Cos Tan Cot Sec Csc 0º 0 1 0 ∞ 1 ∞ 90º 1 0 ∞ 0 ∞ 1 180º 0 -1 0 -∞ -1 ∞ 270º -1 0 -∞ 0 ∞ -1 360º 0 1 0 ∞ 1 ∞ 5. 4 Funciones trigonométricas de ángulos negativosñu Un ángulo es negativo cuando se mide en sentido contrario a las agujas del reloj. ¿Recuerdas cuántos grados tiene el círculo?... Tiene 360º. Esto significa que si un ángulo vale 60º, el ángulo negativo es de -300º. ¿Porqué? Porque 300º es lo que le falta a 60º para valer 360º: 60º + 300º = 360º.  Actividad 5. Utilizando la calculadora, calcula el seno, el coseno y la tangente, y llena la tabla siguiente: β Senβ Cosβ Tanβ θ Senθ Cosθ Tanθ 0º -360º 30º -330º 60º -300º 90º -270º 150º -210º β Aquí β se ha medido en sentido contrario a las agujas del reloj, por lo tanto es negativo. Su valor puede ser –35º o –40º, aproximadamente. Utiliza la calculadora para corroborar los datos. Para 90º y 270º, la tangente te marcará ERROR. Esto se debe a que se está dividiendo entre cero. La división entre cero es indeterminada o infinita. Para 360º, los resultados son los de 0º β θ Supongamos algunos valores de β y calculemos los de θ: Si β = 10 θ = -350 Si β = 30 θ = -330 Si β = 100 θ = -260 Si β = 200 θ = -160
  • 13. 180º -180º 200º -160º 270º -90º 300º -60º 360º 0º ¿Qué observas? Consideremos ahora las funciones trigonométricas para un ángulo y su negativo. Por ejemplo 25º y –25º. ¿Será el seno de 25º igual al seno de –25º? Consideremos un ángulo β y un –β. Vemos que para β, positivo o negativo, el coseno y la secante NO cambian (Cos-β = Cosβ) Las otras funciones sí cambian.  Cálculo del ángulo a partir de la función trigonométrica. 5.8 cm Utilizando la calculadora, el ángulo β se calcula con las teclas: Para el caso anterior, como Senβ = 0.517, entonces β = Sen-1 0.517 = 31º Puede utilizarse cualquier función: Tanβ = 0.6, entonces: β = Tan-1 0.6 = 31º discusión 6. Para el gráfico mostrado, calculen el menor ángulo que forman: 1. A y B ___________ 2. A y C ___________ 3. A y D ___________ 4. B y C ___________ 5. B y D ___________ 6. C y D ___________ 2 3 β 5 cm 3 cm Para este triángulo se tiene que: Senβ = 3/5.8 = 0.517 Cosβ = 5/5.8 = 0.862 Tanβ = 3/5 = 0.6 Pero... ¿Cuál es el valor del ángulo β? Sen -1 Cos -1 Tan -1 β -β (x, y) (x, -y) Aquí se tiene que: Sen-β = -y/r = -Senβ Cos-β = x/r = Cosβ Tan-β = -y/x = -Tanβ Cot-β = x/-y = -x/y = -Cotβ Sec-β = r/x = Secβ Csc-β = r/-y = -r/y = -Cscβ r r
  • 14. discusión 7. Calculen los lados faltantes en los triángulos siguientes: 8.06 cm 6 cm 5.5 Reducción de funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas de un ángulo mayor de 90º se pueden expresar en términos de un ángulo agudo que el lado terminal forme con el eje X positivo o negativo. Y es que ocurre que la función trigonométrica de un ángulo mayor de 90º es numéricamente igual al ángulo que el lado terminal forma con el eje X positivo o negativo (esto se vio en la página 62) 4 -3 -4 -5 6 D A C B 21.8º 29.71º18.4º 36.87º 5 cm 6 cm 1 43 2 β (x, y) R Aquí ocurre que son numéricamente iguales: el seno de β y el seno de R; el coseno de β y el coseno de R, la tangente de β y la tangente de R... En este caso, el ángulo R se conoce como ángulo de referencia. El ángulo de referencia es el ángulo positivo formado por el lado terminal con el eje X (positivo o negativo) Observemos que el ángulo está en posición normal. -2
  • 15. Si β es el ángulo en estudio, y R es el de referencia, se tiene lo siguiente: Para el segundo cuadrante: Sen β = Sen R, Cos β = –Cos R, Tan β = –Tan R, Cot β = –Cot R, Secβ = –SecR, Cscβ = CscR. Para el tercer cuadrante: Sen β = – Sen R, Cos β = – Cos R, Tan β = Tan R, Cot β = Cot R, Secβ = –SecR, Cscβ = –CscR. Para el cuarto cuadrante: Sen β = – Sen R, Cos β = Cos R, Tan β = – Tan R, Cot β = – Cot R, Secβ = SecR, Cscβ = –CscR. SOLUCIONES. Actividad 1. Senθ = 0.817 Cos θ = 0.577 Tan θ = 1.416 Cot θ = 0.706 Sec θ = 1.733 Csc θ = 1.22 Senβ = 0.577 Cosβ = 0.817 Tanβ =0.706 Cotβ = 1.416 Sec β = 1.22 Cscβ = 1.733 Actividad 2. Sen β = 0.93 Cos β = 0.37 Tan β = 2.5 Cot β = 0.4 Sec β = 2.7 Csc β = 1.08 Cos θ = 0.93 Sen θ = 0.37 Cot θ = 2.5 Tan θ = 0.4 Csc θ = 2.7 Sec θ = 1.08 discusión 1. 1. Cos θ = 0.97 Tan θ = 0.278 Cot θ = 3.597 Sec θ = 1.03 Csc θ = 4.17 Como Sen θ = 0.24, entonces opuesto es 0.24 y la hipotenusa es 1; o también se puede multiplicar por 100, y tenemos: opuesto = 24, hipotenusa es 100. Por Pitágoras, se tiene que: adyacente = 97. 2. Porque aparece que el opuesto es mayor que la hipotenusa, lo cual es imposible. 3. Sen θ = 0.894 Cos θ = 0.45 Tan θ = 2 Cot θ = 0.5 Sec θ = 2.22 Csc θ = 1.118 Se le puede dar el valor de 2 al opuesto de θ, entonces el adyacente es 1. 4. Adyacente = √ 7 cm Hipotenusa = 4 cm. La hipotenusa se despeja de 0.75 = 3 / hipotenusa. R R Aquí R es el ángulo de referencia en ambos casos
  • 16. 5. X = 6 Hipotenusa = 5 El opuesto se calcula despejando de 0.554 = opuesto / √ 52, y es 4. Con este dato y 3, aplicamos Pitágoras para calcular la hipotenusa y X. discusión 2. 1. v 2. v 3. v Estas 3 respuestas se confirman en la actividad 2 4. v Esto ocurre cuando el opuesto es cero 5. v Siempre que el opuesto sea mayor que el adyacente 6. f La hipotenusa es siempre mayor que cualquier cateto 7. f Sería necesario, como en el caso anterior, que el cateto respectivo fuera mayor que la hipotenusa. Esto es imposible 8. v 9. v discusión 4. La hipotenusa es k2 + m2 Este factor se anula al hacer Senθ/Cosθ, y nos queda k/m, que es la tangente. Actividad 3. Grados Senθ Tanθ Secθ Grados Cosθ Cotθ Cscθ 0º 0 0 1 90º 0 0 1 15º 0.26 0.27 1.03 75º 0.26 0.27 1.03 30º 0.5 0.58 1.15 60º 0.5 0.58 1.15 45º 0.71 1 1.41 45º 0.71 1 1.41 60º 0.87 1.73 2 30º 0.87 1.73 2 75º 0.97 3.73 3.86 15º 0.97 3.73 3.86 90º 1 Infinito Infinito 0º 1 Infinito Infinito Actividad 4. 1. Senβ = -0.6 Cosβ = 0.8 Tanβ = -0.75 Cotβ = -1.333 Secβ = 1.25 Cscβ = -1.666 2. Senβ = -0.6 Cosβ = -0.8 Tanβ = 0.75 Cot β = 1.333 Sec β = -1.25 Cscβ = -1.666 Actividad 5. Β Senβ Cosβ Tanβ θ Senθ Cosθ Tanθ 0º 0 1 0 -360º 0 1 0 30º 0.5 0.86 0.58 -330º 0.5 0.86 0.58 60º 0.86 0.5 1.73 -300º 0.86 0.5 1.73 90º 1 0 +∞ -270º 1 0 +∞ 150º 0.5 -0.86 -0.58 -210º 0.5 -0.86 -0.58 180º 0 -1 0 -180º 0 -1 0 200º -0.34 -0.94 0.36 -160º -0.34 -0.94 0.36 270º -1 0 +∞ -90º -1 0 +∞ 300º -0.86 0.5 -1.73 -60º -0.86 0.5 -1.73 360º 0 1 0 0º 0 1 0 L@s alumn@s deben observar que el valor de la función es igual para el ángulo positivo que para el complemento negativo. discusión 6. 1. A y B 116.57º 2. A y C 174.1º 3. A y D 55.3º 4. B y C 57.5º 5. B y D 171.8º 6. C y D 130.6º Aquí se calcula el ángulo de cada lado con el eje X positivo o el ángulo con el eje más cercano. Luego se hacen las sumas y restas necesarias. Por ejemplo, con Tan-1 , encontramos que A forma 36.87 con X; y B forma 26.56º con –X. Por lo tanto entre A y B hay 180º - (36.87 + 26.56)º = 116.57º
  • 17. discusión 7. 1. 2 cm y 5.38 cm 2. c cm y 6.32 cm 3. 4 cm y 7 cm 4. 8 cm y 10 cm