Este documento explica los conceptos de varianza y covarianza de variables aleatorias. Define la varianza como una medida de la dispersión de una variable aleatoria respecto a su media, y la covarianza como una medida de la dispersión conjunta de dos variables aleatorias respecto a sus medias. Incluye fórmulas para calcular la varianza y covarianza tanto para variables discretas como continuas, y provee ejemplos numéricos para ilustrar los cálculos.

1. VARIANZA Y COVARIANZA DE
VARIABLES ALEATORIAS
FCC BUAP
Luis Alfredo Moctezuma
4/16/2016 1Varianza y covarianza de
variables aleatorias

2. Introducción
• La media de una variable aleatoria X describe en dónde
se centra la distribución de probabilidad
– No ofrece una descripción adecuada de la forma de la
distribución
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
2

3. Introducción
• Histograma de dos distribuciones de prob. discretas con
media μ=2
– Difieren en la dispersión de sus observaciones sobre la
media
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
3

4. Media
• Formaliza la idea del valor medio de un fenómeno
aleatorio
• Describe en dónde se centra la distribución de
probabilidad
• Si X es discreta
• Si X es continua
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
4

5. Varianza,I
• Medida de variabilidad
• Proporciona una idea de la dispersión de una variable
aleatoria respecto a la media
– Se denota por σ2 (sigma minuscula)
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
5

6. Varianza,II
• Sea X una variable aleatoria con distribución de
probabilidad f(x) y media μ
– si X es discreta
– Si X es continua
En donde (X - μ) es la desviación de una observación
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
6

7. Varianza,III
La varianza de una variable aleatoria X es:
Donde:
– Si X es discreta
– Si X es continua
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
7

8. Ejemplo I,I
Sea la variable aleatoria X, que representa el número de automóviles que se
utilizan con propósitos de negocios oficiales en un día de trabajo dado.
– La distribución de probabilidad para la empresa A es:
– y para la empresa B es:
• Demostrar que la varianza de la distribución de prob. para la empresa B es
mayor que la de la empresa A
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
8
x 1 2 3
f(x) 0.3 0.4 03
x 0 1 2 3 4
f(x) 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1

9. Ejemplo I,II
Para la empresa A:
• μA= Σ(x)(fx) = (1)(0.3) + (2)(0.4) + (3)(0.3) = 2
• σ2
A= Σ(x-μ)2f(x) = (1- 2)2(0.3) + (2- 2)2(0.4) + (3- 2)2(0.3) = 0.6
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
9
x 1 2 3
f(x) 0.3 0.4 03

10. Ejemplo I,II
Para la empresa B:
• μB= Σ(x)(fx) = (0)(0.2) + (1)(0.1) + (2)(0.3) + (3)(0.3) +(4)(0.1) = 2
• σ2
B= Σ(x-μ)2f(x) = (0- 2)2(0.2) + (1- 2)2(0.1)+ (2- 2)2(0.3) +(3- 2)2(0.3)+ (4-
2)2(0.1) =1.6
La varianza del número de automóviles que se usan con propositos de
negocios oficiales, es mayor en la empresa B
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
10
x 0 1 2 3 4
f(x) 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1

11. Ejemplo II
Suponga que la variable aleatoria X representa el número de partes
defectuosas de una máquina, cuando de una línea de producción se obtiene
una muestra de tres partes y se somete a prueba. La siguiente es la
distribución de probabilidad de X.
• Calcular σ2
μ=Σ(x)(fx) = (0)(0.51) + (1)(0.38) + (2)(0.10) + (3)(0.01) = 0.61
σ2 =Σ(x-μ)2f(x) =(0-0.61)2(0.51) + (1- 0.61)2(0.38) + (2- 0.61)2(0.10) + (3-
0.61)2(0.01) = 0.4979
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
11
x 0 1 2 3
f(x) 0.51 0.38 0.10 0.01

12. Ejemplo,III
La demanda semanal de una bebida para una cadena local de tiendas de
abarrotes, en miles de litros, es una variable aleatoria continua X que tiene la
siguiente densidad de probabilidad
• Calcular μ y σ2
σ2 = (17/6)- (5/3)^2= 1/18
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
12

13. Segunda Parte
• En los ejemplos vistos solo se puede comparar dos o más distribuciones
cuando tienen las mismas unidades de medida
– Por ejemplo, no tendria caso comparar σ2 de distribucion de
calificaciones con una de estaturas
• Extenderemos el concepto de varianza de una variable aleatoria X para
incluir también variables aleatorias relacionadas con X
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
13

14. Varianza de g(X)
• Para la variable aleatoria g(X) la varianza se denotará
por σ 2
g(X)
Sea X una variable aleatoria con distribución de
probabilidad f(x). La varianza de la variable aleatoria g(X)
es
– Si X es discreta
– Si X es continua
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
14

15. Ejemplo IV,I
• Calcule la varianza de g(X) = 2X + 3, donde X es una
variable aleatoria con la siguiente distribución de
probabilidad
Primero se calcula la media de la variable aleatoria
μ2x+3= (2(0)+3 )(1/4) + (2(1)+3 )(1/8) + (2(2)+3 )(1/2) + (2(3)+3 )(1/8)= 6
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
15
x 0 1 2 3
f(x) 1/4 1/8 1/2 1/8

16. Ejemplo IV,II
• La varianza de g(x)
= E[(2X+3 - 6 )2] = E[( 2X-3 )2] = E[ 4X2 -12x +9]
• De donde se obtiene:
= [4(0)2 -12(0)+9] (1/4 ) + [4(1)2 -12(1)+9] (1/8 )
+ [4(2)2 -12(2)+9] (1/2 ) + [4(3)2 -12(3)+9] (1/8 ) = 4
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
16
x 0 1 2 3
f(x) 1/4 1/8 1/2 1/8

17. Covarianza,I
• "Varianza: proporciona una idea de la dispersión una
variable aleatoria respecto a la media"
• Covarianza: proporciona una idea de la dispersión de
dos(o más) variables aleatorias respecto a la media
– Se denota por σxy o cov(X,Y)
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
17

18. Covarianza,II
Sean X y Y variables aleatorias con distribución de
probabilidad conjunta f (x, y)
• La covarianza de X y Y es
– Si X y Y son discretas
– Si X y Y son continuas
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
18

19. Covarianza,III
• La covarianza de dos variables aleatorias X y Y, con
medias μX y μY, respectivamente, está dada por:
• Donde:
– Si X y Y son discretas
– Si X y Y son continuas
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
19

20. Covarianza,IV
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
20

21. Covarianza,V
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
21

22. Ejemplo V,I
• Se seleccionan al azar 2 repuestos para bolígrafo de una caja que
contiene 3 repuestos azules, 2 rojos y 3 verdes.
• Si X es el número de repuestos azules y Y es el número de
repuestos rojos. Cuando de cierta caja se seleccionan dos
repuestos para bolígrafo al azar y la distribución de probabilidad
conjunta es la siguiente. Calcular la covarianza de X y Y
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
22
f(x,y)
x
h(y)
0 1 2
y
0 3/28 9/28 3/28
15/2
8
1 3/14 3/14 0 3/7
2 1/28 0 0 1/28
g(x) 5/14 15/28 3/28 1

23. Ejemplo V,II
• Solución
= (0)(0)f(0,0) + (0)(1)f(0,1) + (0)(2)f(0,2) +
(1)(0)f(1,0) + (1)(1)f(1,1) + (2)(0)f(2,0)
= (1)(1)f(1,1)= 3/14
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
23
f(x,y)
x
h(y)
0 1 2
y
0 3/28 9/28 3/28 15/28
1 3/14 3/14 0 3/7
2 1/28 0 0 1/28
g(x) 5/14 15/28 3/28 1

24. Ejemplo V,III
• Solución
μx= 0(5/14) + (1)(15/28) + (2)(3/28) = 3/4
μy = (0)(15/28) + (1)(3/7) + (2)(1/28) = 1/2
• Sustituyendo:
σxy = E(XY) -μx μy = (3/14) -(3/4)(1/2)= -9/56
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
24
f(x,y)
x
h(y)
0 1 2
y
0 3/28 9/28 3/28 15/28
1 3/14 3/14 0 3/7
2 1/28 0 0 1/28
g(x) 5/14 15/28 3/28 1

25. Covarianza,IV (cont)
• El signo de la covarianza indica si la relación entre dos
variables aleatorias dependientes es positiva o negativa
• Cuando X y Y son estadísticamente independientes, se
puede demostrar que la covarianza es cero
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
25

26. Referencias
• Walpole,Myers.Probabilidad y estadística para ingeniería
y ciencias: Pearson
• Editor de formulas: www.wiris.com
4/16/2016 Varianza y covarianza de
variables aleatorias
26