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ESPACIOS VECTORIALES
EUCLÍDEOS
Producto escalar
Sea E un espacio vectorial.
propiedades:
que a cada par de vectores x , y le asocia un número real
que representamos por x  y y que cumple las siguientes
Un producto escalar es una. a_.plicación deEE en ℝ
1. ∀x ∈E −{0} x ⋅ x >0
x ⋅y =y ⋅x
. . . .
. . . .. .
2. ∀x,y ∈E
. . .
3. ∀x,y, z ∈E (λ
. .
)
.
(
. .
) (
. .
)x +αy ⋅ z = λ x ⋅z + α y ⋅z∀λ, α ∈ℝ
Un espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial en el
que hay definido un producto escalar.
Módulo de un vector
de un
espacio vectorial euclídeo y se denota por a:x
Se define el módulo o longitud de un vector.x
Si
x   x x
se dice que el vector es unitario.
.
x  1
Propiedades del módulo
. . .
1. x 0  x 0
Demostración
. . . . . . .
x 0 xx 0 xx 0 x 0
. . . . .
x 0 x x  0 x 0
. . .
2. ℝ y xE  x   x
Demostración
 2
 x  xx  xx 
. . . . . . . .
 xx   x
x
sonunitarios
x
. .
3. xE0  .
Propiedades del módulo
Demostración
x xx

x
 
x 
x  
1
xx
1
x 1
 x  
x 
.  .   .  . . .
.

.
 
.

.. 2
. _. . _. . _.
4. x, yE x y  x y
Propiedades del módulo
Desigualdad de Schwarz
. . x y_.
y
Demostración
Si y 0 la igualdad es cierta
_. .
Si y  0 construimos el vector v x _.2 y
2 2 2
2 2
y y y
  
xy xy xy0 vv  x y x  y  x 
 
y  x 2

  
. _. . _. . _.. _. . _.
. . . x y _.. x y _. . 2 _.2 . 2
_.
y
_.
y
_.2 _.4 _.2
2 2
2
y y
xy xy0 x    x  x y x
. _. . _.
. 2 . 2 . _. . 2 _. 2 . _. . _.
y  x y  x y_.2 _.2
x y  x  y
. _. . _. . _.
5. x, yE
Propiedades del módulo
Desigualdad Triangular
Demostración
. _.2 . _. . _. . 2
x y  x y x y  x
De donde
. _.
 2 x y
_. 2 . 2 . _. _. 2 . _. 2
 y  x 2 x y  y  x  y
 x y   x y  
. _.2 . _. 2 . _. . _.
x  y x y
x y  x  y
. _. . _. . _.
6. x, yE
Propiedades del módulo
Demostración

. . _. _. . _. _. . _. . _.
 x  x y y  xy  y  x  y  x y
 _. . _. . _. . . _. . _. . . _. . _. . _.
y  x yx  yx  x  y  x  yx  x y   x y  x  y
Luego . _. . _. . _. . _. . _.
 x y  x  y  x y  x  y  x y
x y
xy. _. . _. . _. . _. . _. . _.
x,yE x y  x y  x y  xy x y 1 . _.1
Ángulo de dos vectores
Según la desigualdad de Schwarz:
ˆ
  x y
xy. _.
cos x,y  . _.
Definición
Se llama ángulo que forman dos vectores a aquel cuyo cosenovale:
Ortogonalidad
Sea V un espacio vectorial euclídeo
son ortogonales si
Definición
Se dice que dos vectores x,yV
xyxy0
su producto escalar es nulo.
Propiedades de la ortogonalidad
1. xV 0 x  0
2

. _. .
2. Si x, yV 0
Demostración
y
. _. .ˆ_.
x  y  x, y 
En efecto, si
    2
0
cos x,y
x y
 cos x,y 0x, y
.ˆ _. .ˆ _. .ˆ _.
. _.
x  y  x y 0
Luego:
Propiedades de la ortogonalidad
Demostración
x  y  x y  0
x  y  x y  x  y
. _. .
3. x,yV son
_. . _.2 . 2 _.2
De igual forma:
 x y  x  y
. _.2 . 2
Como x y  x
. _. _.2
2x y  y
. _.2 . 2 _.2
. _.2 . 2
Si x y  x
_. 2 . _. . _. . _.
 y 2xy0x y0x y
yS x y  0
xSLo representamos por:
Subespacios ortogonales
Sea V un espacio vectorial euclídeo. Sea S un
subespacio vectorial de V
Definición
Se dice que un vector xV es ortogonal a S
si:
Subespacios ortogonales
Definición
Dos subespacios S y L de V , son ortogonales si:
x S y y  L se verifica que x y  0
SLLo representamos por:
S ⊥L ⇒ ∀x ∈S
una base de S y
una base de
{ }1
2
uB = u ,u ,⋅⋅⋅⋅⋅
S
_. . .
n
{ }1
2
v ,v ,⋅⋅⋅⋅⋅v
S_. ea_. .
n
Luego ui ⋅vj = 0
Subespacios ortogonales
Proposición 1
Dos subespacios S y L de V , son ortogonales si y
solo sí los vectores de una base de S son ortogonales
a los de una base de L
Demostración
c.n.
⇒
B =
L
Si y ∀y∈L
∀i, j ya que
L
se verifica que x ⋅y =0
ui ∈S y vj ∈L ∀i, j
Subespacios ortogonales
c.s.
⇐ Si
n
i=1
x ∈S ⇒ x = ∑ xi ui
. . _.
Si
n
y ∈L ⇒ y = ∑ yj vj
j=1
. . _.
( )
n n n n
i i j j i j i j
i=1 j=1 i=1 j=1
x u ⋅ y v = x y u ⋅v =0∑ ∑
∑
∑
. . _. _.
Luego x ⋅y =
_. _.
Ya que ui ⋅vj = 0 ∀i,j por tanto S ⊥L
Base ortogonal
Definición
una base de un espacio
vectorial euclídeo V
{ }1
2
uSea B = u ,u ,⋅⋅⋅⋅⋅
_. . .
n
Se dice que B es una base ortogonal si sus vectores
son ortogonales dos a dos:
ui
⋅uj
= 0 ∀i ≠ j
Base ortonormal
Definición
una base de un espacio
vectorial euclídeo V
{ }1
2
uSea B = u ,u ,⋅⋅⋅⋅⋅
_. . .
n
i
u =1
ui ⋅uj = 0 ∀i ≠ j
∀i
_. .
_.
Se dice que B es una base ortonormal si sus vectores
son ortogonales dos a dos y unitarios:
Teorema
Si es un conjunto finito de vectores{ }1
2
uH = u ,u ,⋅⋅⋅⋅⋅
_. . .
n
ortogonales dos a dos, no nulos de V, entonces es libre.
Demostración
 
n n n
i i j i i i j iSea  u
i1 i1 i1
 0  u   u u  0  
_. . . _.
 u  0
. _.
 j j j j u u  0 
. . . . . 2
 0 ya que uj uj  uj  0
y se verifica j
Producto escalar y módulo de un vector
referido a una base ortonormal
{ }1
2 n
u una base ortonormal de VSea B = u ,u ,⋅⋅⋅⋅⋅
_. . .
i=1
x ∈V ⇒ x = ∑ xi ui
. . n _.
y ∈V ⇒ y = ∑ yj
uj
. . n .
( )
n n n n n n
i j i j i j
x y
i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1
x y u ⋅u =Luego x ⋅y =∑xi
ui
⋅∑yj
uj
= ∑
∑
∑
∑
. . _. .
j=1
_. .
1 1 2 2 n n
matricialmente x ⋅y =x y =x y +x y +⋅⋅⋅⋅⋅+ x y
. . .t .
1 2 3 n
Y x = + x ⋅ x = + x2
+x2
+x2
+⋅⋅⋅⋅ +x2
. . .
Método de ortonormalización
de Gram-Schmidt
Método para obtener una base ortonormal de V a partir
de una base cualquiera { }1
2 n
eB = e ,e ,⋅⋅⋅⋅⋅
. _. _.
B *
_. . .
Primero obtenemos una base ortogona = u1, u ,⋅⋅⋅⋅⋅u2 n
3 1 1 2 2
2 2n n 1 1 n −1
= e
1
u1
u = e + α u
u
= e + λ u + λ u
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
u
= e + β u + β u + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +β
. _.
. _. .
.2
3
_.2 1
.1
.
__. _. . . .
u n − 1
Método de ortonormalización
de Gram-Schmidt
∀i ≠ jY hallamos los escalares haciendo ui ⋅uj = 0
Por tanto:
( )2 1 1 1 1 1 1 11 2
u ⋅e
⋅ e +α u =u ⋅e +α u ⋅uu ⋅u = 0 ⇒ u
_. _.
. . _.
1
_. _. _. _. _. _.
2
= 0 ⇒ α = − _.1
_.2
1 1
u ⋅u
3 1 1 1 1
1 1
1 1 3 2 1 2
u ⋅e
u ⋅u
u ⋅u = 0 ⇒ u ⋅e +β u ⋅u +β u ⋅u
_. _.
. _. . _. _. _. . .
= 0 ⇒ β = − _.1
_.3
2
2 2
2 3 2 3 1 2 1 2 2 2
u ⋅e
u ⋅u
u ⋅u = 0 ⇒ u ⋅e +β u ⋅u +β u ⋅u = 0 ⇒ β
_. _.
. _. . _. _. _. . .
= − _.2
_.3
Método de ortonormalización
de Gram-Schmidt
1 1
2 2
uu
u ⋅e
u ⋅u
Siguiendo este proceso obtendríamos:
_. _.
. _. _.
1
=e − _.1
_.2u =e
1 1
_. _. . _.
1 2
1 1 2 2
3 3
u ⋅e u ⋅e
u ⋅u u ⋅u
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
u =e − .1
.3
u − _.2
_.3
u
1 2
2 2
n n
u
n−1
n−1 n−1
u ⋅e u ⋅e ⋅e
u ⋅u
1 1
u ⋅u u ⋅u
_. _.
. .
.
_. .
_. .
u =e − .1
.n
u − _.2
_.n
u ⋅⋅⋅⋅⋅⋅−
. .
n
.−1 n
. u
Método de ortonormalización
de Gram-Schmidt
Hemos obtenido la base ortogonal:
{ }1
2
uB *
= u ,u ,⋅⋅⋅⋅⋅
_. . .
n
Para obtener la base ortonormal, dividimos cada vector
por su módulo
u2 u3
B ⊥ u1
u1
. . .
u u
= . , . 2
,⋅⋅⋅⋅⋅ .n
Suplemento ortogonal
Sea V un espacio vectorial euclídeo. Sea L un
subespacio vectorial de V.
Definimos el conjunto:
xu  0L
 xV u L
Veamos que dicho conjunto es un subespacio
vectorial de V , denominado suplemento ortogonal
de L.
Suplemento ortogonal
Proposión 1
es un subespacio vectorialL⊥
Demostración
1. x, y L
veamos que x  y L

. _. . . . _. .
x  yu  xu  yu  0  0  0
. . _.
u L  x  y L
2. x L
ℝ veamos que x L
xu  xu0  0 u L  x L
. . . . . .
Suplemento ortogonal
.
 xL  xV
xL
. .
. . . . .
 x x  0  x  0Si xL L  .
Proposión 2
L ∩L⊥
= {0}
Demostración
Suplemento ortogonal
es único.
Proposión 3
L +L⊥
=V
Por cumplir estas tres proposiciones L⊥
es suplemento
ortogonal de L
Este suplemento de L
Proyección ortogonal
Por ser L y L⊥
subespacios suplementarios de V
∀x ∈V se tiene x = u +v con u ∈L ,v ∈L⊥
u ∈L se llama proyección ortogonal de x a lo largo de L v
∈L se llama proyección ortogonal de x a lo largo de L⊥
Proyección de un vector sobre otro
El vector u ∈V proyección de un vector y ∈V
sobre un vector x ∈V es:
. x ⋅y .
u = . . x
x ⋅x
Demostración
Sea L =< x > y ∈V ⇒ y = λx +v con v ∈L⊥
( )Si v ∈L⊥
⇒ v ⊥x ⇒ v ⋅ x = 0 ⇒ y −λx ⋅ x = 0 ⇒
. . . . . . . .
y ⋅x −λx ⋅x = 0 ⇒ λ =
y ⋅x
⇒ u =
x ⋅y
x
x ⋅x x ⋅x
. .
. . . . .
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  • 2. Producto escalar Sea E un espacio vectorial. propiedades: que a cada par de vectores x , y le asocia un número real que representamos por x  y y que cumple las siguientes Un producto escalar es una. a_.plicación deEE en ℝ 1. ∀x ∈E −{0} x ⋅ x >0 x ⋅y =y ⋅x . . . . . . . .. . 2. ∀x,y ∈E . . . 3. ∀x,y, z ∈E (λ . . ) . ( . . ) ( . . )x +αy ⋅ z = λ x ⋅z + α y ⋅z∀λ, α ∈ℝ Un espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial en el que hay definido un producto escalar.
  • 3. Módulo de un vector de un espacio vectorial euclídeo y se denota por a:x Se define el módulo o longitud de un vector.x Si x   x x se dice que el vector es unitario. . x  1
  • 4. Propiedades del módulo . . . 1. x 0  x 0 Demostración . . . . . . . x 0 xx 0 xx 0 x 0 . . . . . x 0 x x  0 x 0 . . . 2. ℝ y xE  x   x Demostración  2  x  xx  xx  . . . . . . . .  xx   x
  • 5. x sonunitarios x . . 3. xE0  . Propiedades del módulo Demostración x xx  x   x  x   1 xx 1 x 1  x   x  .  .   .  . . . .  .   .  .. 2
  • 6. . _. . _. . _. 4. x, yE x y  x y Propiedades del módulo Desigualdad de Schwarz . . x y_. y Demostración Si y 0 la igualdad es cierta _. . Si y  0 construimos el vector v x _.2 y 2 2 2 2 2 y y y    xy xy xy0 vv  x y x  y  x    y  x 2     . _. . _. . _.. _. . _. . . . x y _.. x y _. . 2 _.2 . 2 _. y _. y _.2 _.4 _.2 2 2 2 y y xy xy0 x    x  x y x . _. . _. . 2 . 2 . _. . 2 _. 2 . _. . _. y  x y  x y_.2 _.2
  • 7. x y  x  y . _. . _. . _. 5. x, yE Propiedades del módulo Desigualdad Triangular Demostración . _.2 . _. . _. . 2 x y  x y x y  x De donde . _.  2 x y _. 2 . 2 . _. _. 2 . _. 2  y  x 2 x y  y  x  y  x y   x y   . _.2 . _. 2 . _. . _. x  y x y
  • 8. x y  x  y . _. . _. . _. 6. x, yE Propiedades del módulo Demostración  . . _. _. . _. _. . _. . _.  x  x y y  xy  y  x  y  x y  _. . _. . _. . . _. . _. . . _. . _. . _. y  x yx  yx  x  y  x  yx  x y   x y  x  y Luego . _. . _. . _. . _. . _.  x y  x  y  x y  x  y  x y
  • 9. x y xy. _. . _. . _. . _. . _. . _. x,yE x y  x y  x y  xy x y 1 . _.1 Ángulo de dos vectores Según la desigualdad de Schwarz: ˆ   x y xy. _. cos x,y  . _. Definición Se llama ángulo que forman dos vectores a aquel cuyo cosenovale:
  • 10. Ortogonalidad Sea V un espacio vectorial euclídeo son ortogonales si Definición Se dice que dos vectores x,yV xyxy0 su producto escalar es nulo.
  • 11. Propiedades de la ortogonalidad 1. xV 0 x  0 2  . _. . 2. Si x, yV 0 Demostración y . _. .ˆ_. x  y  x, y  En efecto, si     2 0 cos x,y x y  cos x,y 0x, y .ˆ _. .ˆ _. .ˆ _. . _. x  y  x y 0 Luego:
  • 12. Propiedades de la ortogonalidad Demostración x  y  x y  0 x  y  x y  x  y . _. . 3. x,yV son _. . _.2 . 2 _.2 De igual forma:  x y  x  y . _.2 . 2 Como x y  x . _. _.2 2x y  y . _.2 . 2 _.2 . _.2 . 2 Si x y  x _. 2 . _. . _. . _.  y 2xy0x y0x y
  • 13. yS x y  0 xSLo representamos por: Subespacios ortogonales Sea V un espacio vectorial euclídeo. Sea S un subespacio vectorial de V Definición Se dice que un vector xV es ortogonal a S si:
  • 14. Subespacios ortogonales Definición Dos subespacios S y L de V , son ortogonales si: x S y y  L se verifica que x y  0 SLLo representamos por:
  • 15. S ⊥L ⇒ ∀x ∈S una base de S y una base de { }1 2 uB = u ,u ,⋅⋅⋅⋅⋅ S _. . . n { }1 2 v ,v ,⋅⋅⋅⋅⋅v S_. ea_. . n Luego ui ⋅vj = 0 Subespacios ortogonales Proposición 1 Dos subespacios S y L de V , son ortogonales si y solo sí los vectores de una base de S son ortogonales a los de una base de L Demostración c.n. ⇒ B = L Si y ∀y∈L ∀i, j ya que L se verifica que x ⋅y =0 ui ∈S y vj ∈L ∀i, j
  • 16. Subespacios ortogonales c.s. ⇐ Si n i=1 x ∈S ⇒ x = ∑ xi ui . . _. Si n y ∈L ⇒ y = ∑ yj vj j=1 . . _. ( ) n n n n i i j j i j i j i=1 j=1 i=1 j=1 x u ⋅ y v = x y u ⋅v =0∑ ∑ ∑ ∑ . . _. _. Luego x ⋅y = _. _. Ya que ui ⋅vj = 0 ∀i,j por tanto S ⊥L
  • 17. Base ortogonal Definición una base de un espacio vectorial euclídeo V { }1 2 uSea B = u ,u ,⋅⋅⋅⋅⋅ _. . . n Se dice que B es una base ortogonal si sus vectores son ortogonales dos a dos: ui ⋅uj = 0 ∀i ≠ j
  • 18. Base ortonormal Definición una base de un espacio vectorial euclídeo V { }1 2 uSea B = u ,u ,⋅⋅⋅⋅⋅ _. . . n i u =1 ui ⋅uj = 0 ∀i ≠ j ∀i _. . _. Se dice que B es una base ortonormal si sus vectores son ortogonales dos a dos y unitarios:
  • 19. Teorema Si es un conjunto finito de vectores{ }1 2 uH = u ,u ,⋅⋅⋅⋅⋅ _. . . n ortogonales dos a dos, no nulos de V, entonces es libre. Demostración   n n n i i j i i i j iSea  u i1 i1 i1  0  u   u u  0   _. . . _.  u  0 . _.  j j j j u u  0  . . . . . 2  0 ya que uj uj  uj  0 y se verifica j
  • 20. Producto escalar y módulo de un vector referido a una base ortonormal { }1 2 n u una base ortonormal de VSea B = u ,u ,⋅⋅⋅⋅⋅ _. . . i=1 x ∈V ⇒ x = ∑ xi ui . . n _. y ∈V ⇒ y = ∑ yj uj . . n . ( ) n n n n n n i j i j i j x y i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 x y u ⋅u =Luego x ⋅y =∑xi ui ⋅∑yj uj = ∑ ∑ ∑ ∑ . . _. . j=1 _. . 1 1 2 2 n n matricialmente x ⋅y =x y =x y +x y +⋅⋅⋅⋅⋅+ x y . . .t . 1 2 3 n Y x = + x ⋅ x = + x2 +x2 +x2 +⋅⋅⋅⋅ +x2 . . .
  • 21. Método de ortonormalización de Gram-Schmidt Método para obtener una base ortonormal de V a partir de una base cualquiera { }1 2 n eB = e ,e ,⋅⋅⋅⋅⋅ . _. _. B * _. . . Primero obtenemos una base ortogona = u1, u ,⋅⋅⋅⋅⋅u2 n 3 1 1 2 2 2 2n n 1 1 n −1 = e 1 u1 u = e + α u u = e + λ u + λ u ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ u = e + β u + β u + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +β . _. . _. . .2 3 _.2 1 .1 . __. _. . . . u n − 1
  • 22. Método de ortonormalización de Gram-Schmidt ∀i ≠ jY hallamos los escalares haciendo ui ⋅uj = 0 Por tanto: ( )2 1 1 1 1 1 1 11 2 u ⋅e ⋅ e +α u =u ⋅e +α u ⋅uu ⋅u = 0 ⇒ u _. _. . . _. 1 _. _. _. _. _. _. 2 = 0 ⇒ α = − _.1 _.2 1 1 u ⋅u 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 2 u ⋅e u ⋅u u ⋅u = 0 ⇒ u ⋅e +β u ⋅u +β u ⋅u _. _. . _. . _. _. _. . . = 0 ⇒ β = − _.1 _.3 2 2 2 2 3 2 3 1 2 1 2 2 2 u ⋅e u ⋅u u ⋅u = 0 ⇒ u ⋅e +β u ⋅u +β u ⋅u = 0 ⇒ β _. _. . _. . _. _. _. . . = − _.2 _.3
  • 23. Método de ortonormalización de Gram-Schmidt 1 1 2 2 uu u ⋅e u ⋅u Siguiendo este proceso obtendríamos: _. _. . _. _. 1 =e − _.1 _.2u =e 1 1 _. _. . _. 1 2 1 1 2 2 3 3 u ⋅e u ⋅e u ⋅u u ⋅u ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ u =e − .1 .3 u − _.2 _.3 u 1 2 2 2 n n u n−1 n−1 n−1 u ⋅e u ⋅e ⋅e u ⋅u 1 1 u ⋅u u ⋅u _. _. . . . _. . _. . u =e − .1 .n u − _.2 _.n u ⋅⋅⋅⋅⋅⋅− . . n .−1 n . u
  • 24. Método de ortonormalización de Gram-Schmidt Hemos obtenido la base ortogonal: { }1 2 uB * = u ,u ,⋅⋅⋅⋅⋅ _. . . n Para obtener la base ortonormal, dividimos cada vector por su módulo u2 u3 B ⊥ u1 u1 . . . u u = . , . 2 ,⋅⋅⋅⋅⋅ .n
  • 25. Suplemento ortogonal Sea V un espacio vectorial euclídeo. Sea L un subespacio vectorial de V. Definimos el conjunto: xu  0L  xV u L Veamos que dicho conjunto es un subespacio vectorial de V , denominado suplemento ortogonal de L.
  • 26. Suplemento ortogonal Proposión 1 es un subespacio vectorialL⊥ Demostración 1. x, y L veamos que x  y L  . _. . . . _. . x  yu  xu  yu  0  0  0 . . _. u L  x  y L 2. x L ℝ veamos que x L xu  xu0  0 u L  x L . . . . . .
  • 27. Suplemento ortogonal .  xL  xV xL . . . . . . .  x x  0  x  0Si xL L  . Proposión 2 L ∩L⊥ = {0} Demostración
  • 28. Suplemento ortogonal es único. Proposión 3 L +L⊥ =V Por cumplir estas tres proposiciones L⊥ es suplemento ortogonal de L Este suplemento de L
  • 29. Proyección ortogonal Por ser L y L⊥ subespacios suplementarios de V ∀x ∈V se tiene x = u +v con u ∈L ,v ∈L⊥ u ∈L se llama proyección ortogonal de x a lo largo de L v ∈L se llama proyección ortogonal de x a lo largo de L⊥
  • 30. Proyección de un vector sobre otro El vector u ∈V proyección de un vector y ∈V sobre un vector x ∈V es: . x ⋅y . u = . . x x ⋅x Demostración Sea L =< x > y ∈V ⇒ y = λx +v con v ∈L⊥ ( )Si v ∈L⊥ ⇒ v ⊥x ⇒ v ⋅ x = 0 ⇒ y −λx ⋅ x = 0 ⇒ . . . . . . . . y ⋅x −λx ⋅x = 0 ⇒ λ = y ⋅x ⇒ u = x ⋅y x x ⋅x x ⋅x . . . . . . . . . . . . . .