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Área de una región poligonal en el plano cartesiano
Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido
antihorario, tiene como coordenadas : );( 111 yxA , );( 222 yxA , );( 333 yxA ,........, );( nnn yxA
Entonces el área de la región poligonal S correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :
11
33
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11
..
..
..
2
1
yx
yx
yx
yx
yx
S
nn
= .....(1)
Llamada también formula determinante de Gauss
Obsérvese en la determinante se repite , al final, el primer par ordenado );( 11 yx correspondiente
a la coordenada de 1A .
La forma de resolver esta determinante es la siguiente:
11
33
22
11
..
..
..
yx
yx
yx
yx
yx
nn
I D
De donde : 13221 ...... yxyxyxD n+++=
13221 ....... xyxyxyI n+++=
Luego el valor de la determinante estará dada por :
ID
yx
yx
yx
yx
yx
nn
−=
11
33
22
11
..
..
..
....(2)
Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) :
2
2
1
uIDS −= ....(3)
Notas :
a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.
b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas)
Ejercicio de aplicación :
Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son: )16;6(− , )6;16( , )4;10( −−
)12;12( y )8;20( −
Solución:
Hacemos un gráfico aproximado :
Elijamos como primer vértice al par ordenado )12;12( luego:
)12;12();( 11 =yx
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:
)16;6();( 22 −=yx
)4;10();( 33 −−=yx
)8;20();( 44 −=yx
)6;16();( 55 =yx
Reemplazando estos valores en (1) :
1212
616
820
410
166
1212
2
1
−
−−
−
=S
Resolvamos la determinante de acuerdo a la teoría :
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
688)12)(16()6)(20()8)(10()4)(6()16)(12( =++−−+−−+=D
368)12)(6()16)(8()20)(4()10)(16()6)(12( −=+−+−+−+−=I
Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
)368(688
2
1
−−=S
Por lo tanto :
488=S
1212
616
820
410
166
1212
−
−−
−
Calculo del área de un triángulo dado por sus coordenadas. )2;3( −− , )2;7( , )6;1(
Haciendo un gráfico:
Elijamos como primer vértice al par ordenado )2;3( −− luego:
)2;3();( 11 −−=yx
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:
)2;7();( 22 =yx
)6;1();( 33 =yx
Reemplazando estos valores en (1):
23
61
27
23
2
1
−−
−−
=S
Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente :
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
23
61
27
23
−−
−−
34)2)(1()6)(7()2)(3( =−++−=D
30)3)(6()1)(2()7)(2( −=−++−=I
Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
)30(34
2
1
−−=S
Por lo tanto :
32=S
Calcular el área de una región hexagonal no convexa (cóncava) cuyos vértices son:
)3;3( − , )1;2( , )7;4( , )2;6(− , )2;1( −− , )5;3( −− .
Al igual que en los demás casos dibujemos un gráfico aproximado del hexágono no convexo
Elijamos como primer par ordenado )3;3( − luego:
)3;3();( 11 −=yx
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:
)1;2();( 22 =yx
)7;4();( 33 =yx
)2;6();( 44 −=yx
)2;1();( 55 −−=yx
)5;3();( 66 −−=yx
Reemplazando estos valores en (1) :
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2
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=S
Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto en la teoría:
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
51)3)(3()5)(1()2)(6()2)(4()7)(2()1)(3( =−−+−−+−−+++=D
53)3)(5()3)(2()1)(2()6)(7()4)(1()2)(3( −=−+−−+−+−++−=I
Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
)53(51
2
1
−−=S
Por lo tanto :
52=S
Como puede darse cuenta estimado estudiante este método para calcular el área de una región poligonal
cualquiera en el plano cartesiano es sumamente práctico y sencillo.
Esperando que te sea provechoso este trabajo me despido, hasta próxima.
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  • 1. Área de una región poligonal en el plano cartesiano Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido antihorario, tiene como coordenadas : );( 111 yxA , );( 222 yxA , );( 333 yxA ,........, );( nnn yxA Entonces el área de la región poligonal S correspondiente, es el valor absoluto de la expresión : 11 33 22 11 .. .. .. 2 1 yx yx yx yx yx S nn = .....(1) Llamada también formula determinante de Gauss Obsérvese en la determinante se repite , al final, el primer par ordenado );( 11 yx correspondiente a la coordenada de 1A . La forma de resolver esta determinante es la siguiente: 11 33 22 11 .. .. .. yx yx yx yx yx nn I D De donde : 13221 ...... yxyxyxD n+++= 13221 ....... xyxyxyI n+++=
  • 2. Luego el valor de la determinante estará dada por : ID yx yx yx yx yx nn −= 11 33 22 11 .. .. .. ....(2) Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) : 2 2 1 uIDS −= ....(3) Notas : a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario. b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas) Ejercicio de aplicación : Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son: )16;6(− , )6;16( , )4;10( −− )12;12( y )8;20( − Solución: Hacemos un gráfico aproximado : Elijamos como primer vértice al par ordenado )12;12( luego: )12;12();( 11 =yx
  • 3. Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán: )16;6();( 22 −=yx )4;10();( 33 −−=yx )8;20();( 44 −=yx )6;16();( 55 =yx Reemplazando estos valores en (1) : 1212 616 820 410 166 1212 2 1 − −− − =S Resolvamos la determinante de acuerdo a la teoría : I D Luego los valores de D y de I respectivamente serán: 688)12)(16()6)(20()8)(10()4)(6()16)(12( =++−−+−−+=D 368)12)(6()16)(8()20)(4()10)(16()6)(12( −=+−+−+−+−=I Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será : )368(688 2 1 −−=S Por lo tanto : 488=S 1212 616 820 410 166 1212 − −− −
  • 4. Calculo del área de un triángulo dado por sus coordenadas. )2;3( −− , )2;7( , )6;1( Haciendo un gráfico: Elijamos como primer vértice al par ordenado )2;3( −− luego: )2;3();( 11 −−=yx Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán: )2;7();( 22 =yx )6;1();( 33 =yx Reemplazando estos valores en (1): 23 61 27 23 2 1 −− −− =S Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente : I D Luego los valores de D y de I respectivamente serán: 23 61 27 23 −− −− 34)2)(1()6)(7()2)(3( =−++−=D 30)3)(6()1)(2()7)(2( −=−++−=I
  • 5. Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será : )30(34 2 1 −−=S Por lo tanto : 32=S Calcular el área de una región hexagonal no convexa (cóncava) cuyos vértices son: )3;3( − , )1;2( , )7;4( , )2;6(− , )2;1( −− , )5;3( −− . Al igual que en los demás casos dibujemos un gráfico aproximado del hexágono no convexo Elijamos como primer par ordenado )3;3( − luego: )3;3();( 11 −=yx Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán: )1;2();( 22 =yx )7;4();( 33 =yx )2;6();( 44 −=yx )2;1();( 55 −−=yx )5;3();( 66 −−=yx Reemplazando estos valores en (1) : 33 53 21 26 74 12 33 2 1 − −− −− − − =S
  • 6. Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto en la teoría: I D Luego los valores de D y de I respectivamente serán: 51)3)(3()5)(1()2)(6()2)(4()7)(2()1)(3( =−−+−−+−−+++=D 53)3)(5()3)(2()1)(2()6)(7()4)(1()2)(3( −=−+−−+−+−++−=I Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será : )53(51 2 1 −−=S Por lo tanto : 52=S Como puede darse cuenta estimado estudiante este método para calcular el área de una región poligonal cualquiera en el plano cartesiano es sumamente práctico y sencillo. Esperando que te sea provechoso este trabajo me despido, hasta próxima. 33 53 21 26 74 12 33 − −− −− − −