1. Prof. Elba M. Sepúlveda, M. A.Ed., ABD

2. Contenido
 Las caricaturas de
hoy
 Trigonometría
básica
 Ley de seno
 Ley de coseno
 Ejercicios de
aplicación

3. Las caricaturas de hoy…

4. Las caricaturas de hoy…

5. Instrucciones
 Esta presentación muestra como obtener las
ecuaciones para contestar problemas de
trigonometría.
 Puedes leer cada problema y tratar de
resolverlo.
 Luego puedes cotejar tu solución con la
respuesta demostrada en la próxima página.
 Cualquier duda puedes escribirme a
 elbamsepulveda@gmail.com

6. La trigonometría de los ángulos
rectos
 Trigonometría- estudio
de las relaciones entre
los lados y los ángulos
de los triángulos
rectángulos.
 Triángulo rectángulo-
triángulo que contiene
un ángulo recto o de
90°.

7. Funciones trigonométricas
a
 sen = c
c
 csc =
a
b
 cos = c
c
 sec = b
a c
 tan = a b
b
 cot = a
b

8. Ejemplo #1
 Conociendo 2 de estas 2
variables podemos resolver 1
cualquier problema 30°
relacionado. b
 Ejemplo # 1. Nos podemos
aprender por lo menos un
dato interesante: sen 30°= ½
 Determina la medida del lado
b. Usando el teorema de

9. Resultado #1 2
1
2 2 2 30°
c a b
2 2 2 b= √ 3
b c a
2 2 2
b 2 1
2
b 4 1
2
b 3
b 3

10. 2
1
30°
b= √ 3
 Para un de 30° entonces:
 sen 30° = ½ csc 30° = 2
 cos 30° = √ 3/2 sec 30° = 2/ √ 3
 tan 30° = 1/ √ 3 cot 30° = √ 3

11. ¿Cuál es el sen de 60° y tan 60°?
 sen 60°  sen 60° = √ 3/2
=_________  cos 60° = ½
 cos  tan 60° = √ 3
60°=__________  sec 60° = 2/ √ 3
 tan  csc 60° = 2
60°=__________
 cot 60° = 1/ √ 3
 sec 60°
=_________
 csc
60°=__________

12. Ejemplo #2: Un triángulo de 45°
 Determina la hipotenusa c
2 2
 c = a + b
2 1
 c2 = 12 + 12
 c 2= 1 + 1
1
 c2 = 2
 c= √2
 Determina: sen 45°, cos 45°, tan 45°, csc
45°, sec 45° y cot 45°

13. Ejemplo #3
 Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de
37°. El lado adyacente mide 4 m.
Determina la longitud del lado opuesto al
ángulo dado.
?
?
4m
 Determina la hipotenusa

14. Resultado #3
?
?
 tan = op/ady
 op = ady tan
 = 4m tan 37 4m
 op = 3m
 cos q = ady/hip
 hip = ady/cos
 = 4m/cos37
 hip= 5m

15. LEY DEL SENO

16. Ley del seno
 Existen ciertas
relaciones entre los C
lados y los ángulos de
los triángulos aunque b a
éstos no sean rectos. y
Esto sucede con la ley
de los senos. A
M
B
c
 Consideremos cualquier
triángulo ABC

17. Ley del seno
 En <AMC y/b = sen A  y= b sen A
 En <BMC y/a = sen B  y= a sen B
b sen B = a sen A
 Entonces: C
 b sen A = a sen B b a
y
b a
= M
sen B sen A A B
c

18. Para cualquier <ABC:
 Ley de los senos:
a b c
= =
sen A sen B sen C C
b a
y
M
A B
c

19. Ejemplo #4
 En este <ABC, A=30°, B=40° y a= 10 m
determina b y c
C
b a
A B
c

20. Resultado #4
a b c
= =
sen A sen B sen C
 b= a sen b/sen a  c= a sen c/sen a
 = (10m) (sen  = (10m) (sen
40°)/(sen30°) 110°)/(sen30°)
 = 12.85m  = 18.79m
 =13 m  =19 m
 El lado c mide 19 m
 El lado b mide 13 m

21. LEY DEL COSENO

22. (x,y)
Ley del coseno
a c
y
x b-x
M
b
 Otra relación entre los lados y los ángulos de
cualquier triángulo. Dado un < supongamos
que conocemos el tamaño de los lados a y b y
la medida de c.

23. (x,y)
<aMb tiene lados: y, c , b-x
a c
 Usando el teorema de Pitágoras: y
 c2= y2 + (b – x)2
x b-x
 = y2 + b2 – 2bx + x2
2= (x2 +y2) + b2– 2bx M
 c b
 <gMb tiene lados: x, y, a por lo tanto:
 a2 = x2 + y2
 entonces podemos sustituir en la ecuación anterior:
 c2= (a2 ) + b2– 2bx
 Del < Mb también podemos obtener que
 cos = x/a  x= a cos
 sustituyendo: c2= a2 +b2 – 2b(a cos )

24. (x,y)
En resumen:
a c
y
 Ley del coseno
x b-x
M
b
a2= b2 +c2 – 2bc cos
b2= a2 +c2 – 2ac cos
c2= a2 +b2 – 2ab cos

25. Ejemplo #5
 En el siguiente triángulo a= 60°, b= 3m y
c=4m.
 ¿Cuánto es a?
a c=4m
60°
b=3m

26. Resultado #5 a2= b2 +c2 – 2bc cos
 a2= (3m)2 +(4m)2 – 2(3m)(4m) cos 60°
 = 9m2 +16m2 – 24m2 (0.5)a= 3.6 m
 = 25m – 12m
2 2
 = 13m2
 a= √13 m2 = 3.606 m a c=4m
a= 3.6 m
60°
b=3m
El lado a mide 3.6 m

27. Ejemplo #6: Resuelve

28. Resultado #6
 a= c senA /sen C
 = (50m) sen 30° /
sen110° C
 = 26.6 m
 La distancia es de 27m
 sen B = y/a b a
 sen 40°= y/26.6m y
 y= (26.6 m) sen 40°
 = 17m A
M
B
La distancia es de 17m c