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Dinámica de la Rotación

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UNIVERSIDA TÉCNICA DE MACHALA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
FISICA I
NOMBRE: Sonia Zoraida León Pindo
TEMA:
Dinámica De la Rotación.
El estudio de este tipo de movimiento rotacional es análogo al traslacional, pero introduciendo nuevas
magnitudes físicas que siempre tienen su equivalente lineal.
Primera Ley de Newton de la Rotación.
Medida de inercia de una
masa para el movimiento lineal
El momento de inercia o inercia
rotacional (Concepto similar
para la rotación.)
Inercia Rotacional o Momento de inercia:
La primera ley de Newton para el movimiento rotacional:
Un objeto que gira en torno a un eje tiende a permanecer girando alrededor de ese
eje, a menos que interfiera alguna influencia externa.
Los cuerpos que giran tienden a permanecer girando, mientras que los que no giran
tienden a permanecer sin girar.
Dicho de otro modo, cuanto mayor es el momento de inercia, más difícil es cambiar el
estado de rotación de ese objeto.
Se llama Inercia rotacional del cuerpo respecto a dicho eje particular de rotación.
Cuando un objeto real gira alrededor de algún eje, su movimiento no se puede analizar como si
fuera una partícula, porque en cualquier instante, diferentes partes del cuerpo tienen
velocidades y aceleraciones distintas. Por esto es conveniente considerar al objeto real como
un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad, aceleración. El análisis se
simplifica si se considera al objeto real como un cuerpo rígido.
Como cada partícula en rotación tiene cierta cantidad de energía cinética. Una partícula de
masa m, que se encuentre a una distancia r con una rapidez angular w alrededor de este eje y
tiene una rapidez lineal v=w r. Por lo tanto, su energía cinética es
La energía cinética total del cuerpo será la suma de las energías cinética de cada una de sus
partículas y considerando que las partículas tienen distintos valores de r, pero w es igual para
todas(si no, el cuerpo no sería rígido) Por lo tanto:
La cantidad entre paréntesis, que se obtiene multiplicando la masa de cada particula por el
cuadrado de su distancia al eje de rotación y sumando los productos, se denota con I y es el
Momento de Inercia del cuerpo para este eje de rotación.
La palabra ”Momento” implica que I depende de la distribución espacial de la masa del cuerpo;
nada tiene que ver con el tiempo. Para un cuerpo con eje de rotación dado y una masa total
dada, cuanto mayor sea la distancia del eje a las partículas que constituyen el cuerpo, mayor
será el momento de inercia. En un cuerpo rígido, las distancias son constantes y el momento
de inercia es independiente de cómo gira el cuerpo en torno al eje dado.
El momento de inercia I es una cantidad que depende del eje de rotación, el tamaño y la
forma del objeto. Las dimensiones de la inercia rotacional son ML2
y comúnmente se expresa
en Kg. m2
o en slug.pie2
En la siguiente tabla se dan los momentos de inercia respecto al centro de masa de figuras
geométricas conocidas, de distribución de masa homogénea, cuando giran en torno al eje que
se indica.
Resume de algunos otros momentos de inercia habituales (para objetos rígidos y uniformes).
Dinámica de la Rotación
Problemas:
1.) Un ingeniero está diseñando una pieza mecánica formada por tres conectores gruesos
unidos por puntuales ligeros moldeados (Fig. 9.17). a) ¿Qué momento de inercia tiene este
cuerpo alrededor de un eje que pasa por el punto A y es perpendicular al plano del
diagrama? (b) ¿Y alrededor de un eje coincidente con la varilla BC?
Desarrollo:
Considerando a los conectores como partículas masivas, y los puntuales ligeros,
como varillas sin masa procedemos a resolver:
a) La particular en el punto A está sobre el eje; su distancia r respecto al eje es 0,
así que no contribuye al momento de inercia.
I = (0.10kg) (0.50m)2
+ (0.20Kg)(0.40m)2
I = 0.057 Kg.m2
b) La partículas en B y C están sobre el eje; así que, para ellas, r=0, y ninguna
contribuye al momento de inercia. Sólo A contribuye:
I = (0.30kg) (0.40m)2
I = 0.048 Kg.m2
Los resultados indican que el momento de inercia para el eje que pasa por A es
mayor que para el eje que pasa por B y C. Por tanto, es más fácil hacer girar la
pieza sobre el eje BC que sobre el eje A.
2.) Considérese un cuerpo formado por dos masas esféricas de 5.0Kg cada una, conectadas
entre sí por una barra rígida ligera de 1.0m de largo (Fig. 12-6). Tratando ambas esferas
como partículas puntuales y despreciando la masa de la varilla, determinar la inercia
rotacional (o momento de inercia) del cuerpo (a) respecto a un eje perpendicular a él y que
pase por su centro C, y (b) respecto a un eje normal a él y que pase por una de las esferas.
Desarrollo:
a) Si el eje es normal a la página y pasa por C, tenemos:
=
I = (5.0kg) (0.50m)2
+ (5.0Kg)(0.50m)2
I = 2.5 Kg.m2
b) Si el eje es normal a la página y pasa por A o B, tenemos:
=
I = (5.0kg) (0m)2
+ (5.0Kg)(1.0m)2
I = 5.0 Kg.m2
=
I = (5.0kg) (1.0m)2
+ (5.0Kg)(0m)2
I = 5.0 Kg.m2
Por lo tanto, la inercia rotacional de este modelo de haltera es doble respecto a
un eje que pasa por un punto de sus extremos que respecto a un eje que pasa
por el centro.
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Dinámica de la Rotación

  • 1. UNIVERSIDA TÉCNICA DE MACHALA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL FISICA I NOMBRE: Sonia Zoraida León Pindo TEMA: Dinámica De la Rotación. El estudio de este tipo de movimiento rotacional es análogo al traslacional, pero introduciendo nuevas magnitudes físicas que siempre tienen su equivalente lineal. Primera Ley de Newton de la Rotación. Medida de inercia de una masa para el movimiento lineal El momento de inercia o inercia rotacional (Concepto similar para la rotación.) Inercia Rotacional o Momento de inercia: La primera ley de Newton para el movimiento rotacional: Un objeto que gira en torno a un eje tiende a permanecer girando alrededor de ese eje, a menos que interfiera alguna influencia externa. Los cuerpos que giran tienden a permanecer girando, mientras que los que no giran tienden a permanecer sin girar. Dicho de otro modo, cuanto mayor es el momento de inercia, más difícil es cambiar el estado de rotación de ese objeto. Se llama Inercia rotacional del cuerpo respecto a dicho eje particular de rotación. Cuando un objeto real gira alrededor de algún eje, su movimiento no se puede analizar como si fuera una partícula, porque en cualquier instante, diferentes partes del cuerpo tienen velocidades y aceleraciones distintas. Por esto es conveniente considerar al objeto real como
  • 2. un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad, aceleración. El análisis se simplifica si se considera al objeto real como un cuerpo rígido. Como cada partícula en rotación tiene cierta cantidad de energía cinética. Una partícula de masa m, que se encuentre a una distancia r con una rapidez angular w alrededor de este eje y tiene una rapidez lineal v=w r. Por lo tanto, su energía cinética es La energía cinética total del cuerpo será la suma de las energías cinética de cada una de sus partículas y considerando que las partículas tienen distintos valores de r, pero w es igual para todas(si no, el cuerpo no sería rígido) Por lo tanto: La cantidad entre paréntesis, que se obtiene multiplicando la masa de cada particula por el cuadrado de su distancia al eje de rotación y sumando los productos, se denota con I y es el Momento de Inercia del cuerpo para este eje de rotación. La palabra ”Momento” implica que I depende de la distribución espacial de la masa del cuerpo; nada tiene que ver con el tiempo. Para un cuerpo con eje de rotación dado y una masa total dada, cuanto mayor sea la distancia del eje a las partículas que constituyen el cuerpo, mayor será el momento de inercia. En un cuerpo rígido, las distancias son constantes y el momento de inercia es independiente de cómo gira el cuerpo en torno al eje dado.
  • 3. El momento de inercia I es una cantidad que depende del eje de rotación, el tamaño y la forma del objeto. Las dimensiones de la inercia rotacional son ML2 y comúnmente se expresa en Kg. m2 o en slug.pie2 En la siguiente tabla se dan los momentos de inercia respecto al centro de masa de figuras geométricas conocidas, de distribución de masa homogénea, cuando giran en torno al eje que se indica. Resume de algunos otros momentos de inercia habituales (para objetos rígidos y uniformes).
  • 5. Problemas: 1.) Un ingeniero está diseñando una pieza mecánica formada por tres conectores gruesos unidos por puntuales ligeros moldeados (Fig. 9.17). a) ¿Qué momento de inercia tiene este cuerpo alrededor de un eje que pasa por el punto A y es perpendicular al plano del diagrama? (b) ¿Y alrededor de un eje coincidente con la varilla BC? Desarrollo: Considerando a los conectores como partículas masivas, y los puntuales ligeros, como varillas sin masa procedemos a resolver: a) La particular en el punto A está sobre el eje; su distancia r respecto al eje es 0, así que no contribuye al momento de inercia. I = (0.10kg) (0.50m)2 + (0.20Kg)(0.40m)2 I = 0.057 Kg.m2 b) La partículas en B y C están sobre el eje; así que, para ellas, r=0, y ninguna contribuye al momento de inercia. Sólo A contribuye: I = (0.30kg) (0.40m)2 I = 0.048 Kg.m2 Los resultados indican que el momento de inercia para el eje que pasa por A es mayor que para el eje que pasa por B y C. Por tanto, es más fácil hacer girar la pieza sobre el eje BC que sobre el eje A.
  • 6. 2.) Considérese un cuerpo formado por dos masas esféricas de 5.0Kg cada una, conectadas entre sí por una barra rígida ligera de 1.0m de largo (Fig. 12-6). Tratando ambas esferas como partículas puntuales y despreciando la masa de la varilla, determinar la inercia rotacional (o momento de inercia) del cuerpo (a) respecto a un eje perpendicular a él y que pase por su centro C, y (b) respecto a un eje normal a él y que pase por una de las esferas. Desarrollo: a) Si el eje es normal a la página y pasa por C, tenemos: = I = (5.0kg) (0.50m)2 + (5.0Kg)(0.50m)2 I = 2.5 Kg.m2 b) Si el eje es normal a la página y pasa por A o B, tenemos: = I = (5.0kg) (0m)2 + (5.0Kg)(1.0m)2 I = 5.0 Kg.m2 = I = (5.0kg) (1.0m)2 + (5.0Kg)(0m)2 I = 5.0 Kg.m2 Por lo tanto, la inercia rotacional de este modelo de haltera es doble respecto a un eje que pasa por un punto de sus extremos que respecto a un eje que pasa por el centro.
  • 7. Segunda Ley de Newton de la Rotacion. Al analizar el movimiento de rotación de un cuerpo rígido en el cual actúa una fuerza F sobre la pequeña masa m, a una distancia r del eje de rotación. Para una partícula de masa m, que gira como se muestra en la figura 8.1, en una circunferencia de radio r con la acción de una fuerza tangencial Ft, además de la fuerza centrípeta necesaria para mantener la rotación. La fuerza tangencial se relaciona con la aceleración tangencial atpor Ft = mat. El torque alrededor del centro del círculo producido por Ft es: Ft r = (m.at) r Como la at se relaciona con la aceleración angular por at = r α, el torque se puede escribir como: (mra) r = (mr2 )a La cantidad Ft r o (mra)r se reconoce como el momento de torsión τ producido por la fuerza F con respecto al eje de rotación. Por lo tanto, para la masa m escribimos: T= (mr2 )a Se puede derivar una ecuación similar para todas las demás porciones del objeto que gira. Sin embargo, la aceleración angular será constante para cada porción independientemente de su masa o de su distancia con respecto al eje. Por consiguiente, el momento de torsión resultante en todo el cuerpo es: T= (Σ mr2 )a o bien: O m aT = αr La segunda Ley de Newton para el movimiento de rotación enuncia la relación entre el momento de torsión Fr (Torque) y la aceleración angular α. F r
  • 8. T= Ia Momento de torsión = momento de inercia x aceleración angular. Observe la similitud de la ecuación anterior con la segunda ley de Newton del movimiento lineal, F = ma. La Ley del movimiento rotacional de Newton se enuncia como sigue. “Un momento de torsión resultante aplicado a un cuerpo rígido siempre genera una aceleración angular que es directamente proporcional al momento de torsión aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo”. a = I/T Al aplicar la ecuación de la segunda Ley del movimiento rotacional, es importante recordar que el momento de torsión producido por una fuerza es igual al producto de la distancia al eje por la componente perpendicular de la fuerza. También debe recordarse que la aceleración angular se expresa en radianes por segundo cuadrado. Problemas: 1.)Un disco uniforme de radio R y masa M está montado sobre un eje soportado por cojines fijos sin fricción, como se ve en la fig. 12-12, se enrolla una cuerda ligera alrededor del borde de la rueda y se ejerce sobre ella una tracción uniforme hacia abajo. Encontrar la aceleración angular de la rueda y la aceleración tangencial de un punto del borde. Desarrollo: La torca respecto al eje central es T=Fr, y la inercia rotacional Del disco respecto al eje central es De la expresión: T= Ia Tenemos:
  • 9. Si la masa del disco es m= 2.50Kg, su radio r= 0.20m y la fuerza F= 5.0N, La aceleración tangencial de un punto del borde está dada por 2.) Una varilla delgada de 3 kg tiene 40 cm de longitud y oscila sobre su punto medio. ¿Qué momento de torsión se requiere para que la varilla describa 20 revoluciones por minuto, al tiempo que su rapidez de rotación se incrementa de 200 a 600 rev/min? Desarrollo: - Calculamos primero el momento de inercia: I = ½ 3 kg x (0.20 m)2 . I = 0.06 kg.m2 . - Conversión de las velocidades angulares a rad/seg. ωo = 2 π rad/rev x 200 rev/min x 1 min/60 seg = 20.93 rad/seg. ωf = 2 π rad/rev x 600 rev/min x 1 min/60 seg = 62.8 rad/seg. - Cálculo de la aceleración angular: a= 62.8 rad/seg- 20.93 rad/seg. = 0.6978 rad/seg2 . 60 seg T= Ia T= 0.06 kg.m2 . x 0.6978 rad/seg2 T = 0.041 N.m
  • 10. Trabajo y Potencia Rotacional. El Trabajo Rotacional y la Potencia Rotacional son análogos que se obtienen de modo referente como en el movimiento lineal, en cierto modo las ecuaciones presentan la misma forma pero con significados distintos para las diversas cantidades. Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo rígido para ponerlo en movimiento alrededor de un eje de rotación lo hace a través de un arco circular de longitud ΔL, en donde la fuerza F en la figura pone en movimiento circular al cuerpo alrededor del eje de rotación O y luego observaremos que EL cambio en la posición angular genera también un cambio en la trayectoria circular ΔL y recordando que: W = F Δx Por tanto, al Trabajo Rotacional lo podemos definir como: W = F Δ L Δ L= r Δϴ Por lo tanto: W= Fr Δϴ t = Fr Si el momento de torsión es constante y el cambio de ángulo es finito entonces: W=T Δϴ Ecuación que nos permite calcular el Trabajo Rotacional Unidad: (SI): Joule (J) La potencia rotacional, se la define como el trabajo realizado en la unidad de tiempo: Una vez establecido que el Trabajo Rotacional es igual al Torque por el cambio en la posición angular: W= T Δϴ Entonces: El cambio de la posición angular en la unidad del tiempo no da la velocidad angular.
  • 11. Por lo tanto, la potencia rotacional es igual al momento de la torsión del torque por la velocidad angular: P= T W Unidad: (SI): J/seg = Watt Problemas: 1.) Una fuerza tangencial aplicada a un volante estacionario con una masa de 4.o Kg. y un radio de 0.5m le comunica aceleración angular y uniforme a la rueda durante una revolución en un tiempo de 2seg. Determinar: a) El trabajo rotacional b) La potencia rotacional. Qué produjo la fuerza en ese tiempo Suponiendo que el volante parte del reposo, entonces tendrá una velocidad angular inicial igual a cero radianes sobre segundo , en un tiempo inicial igual a cero segundos. W0 = 0 rad/seg t0 = 0seg. Se tiene entonces un cambio en la posición angular: ϴ0 = 0 Δϴ= ϴ-ϴ0 = 1 Rev = 2πrad En donde 2πrad es el ángulo descrito en los 2seg. a) W= T Δϴ , T= I a = (aro delgado) Considerando que el volante tiene toda la masa concentrada en el borde Δϴ = ϴo + wo + at2 Δϴ = at2 a = a = = a =
  • 12. T= mr2 a T= (4.0Kg)(0.5m)2 ( ) T=πNm W= T Δϴ w= (πNm) ( 2πrad) w=19.74J b) = = 9.87 Watts. 2.) Un motor eléctrico ejerce un momento de torsión constante de 10Nm sobre una piedra de amolar montada en un eje. El momento de inercia de la piedra es I=2.0kg.m2 y el sistema parte del reposo. a) Calcule el trabajo efectuado por el motor en 8.0 segundos y ; b) a energía cinética al final de este lapso. c) ¿Qué potencia media desarrollo el motor? Desarrollo: a) Tenemos que ΣT2 = 10Nm (el único motor de torsión que actúa se debe al motor) e I= 2.0Kg.m2 , así que, por ΣT2=Ia2, la aceleración angular es entonces: ΣT2 = Ia2 0 Nm = 2.0Kg.m2 a2 a2 = 5 rad/seg2 - El ángulo total que el sistema gira en 8.0s es: ϴ = ϴo + wo + at2 Δϴ= at2 = (5.0rad/seg2 )(8.0seg)2 . Δϴ = 160rad - Y el trabajo efectuado por el movimiento de torsión es .-
  • 13. W2= T Δϴ W2=(10Nm)(160rad) W2=1600J b) La potencia media es: = P = 200 Watts Impulso Y Momento Angular Impulso Angular El ímpetu es uno de los parámetros fundamentales de la física para los casos de choques donde aun cuando hay rozamientos que hacen que no se conserve la energía total, lo que si se conserva es la cantidad de movimiento, por ello mismo el análisis de choques se hace con el análisis de las cantidades de movimiento en juego antes y después de los mismos En la dinámica de una partícula vimos el concepto de impulso lineal. Una fuerza aplicada durante un tiempo modifica el momento lineal (la velocidad de la partícula). Ímpetu La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial “kgm/s” que en mecánica clásica se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado Cuando se pretende distinguirlo del momento angular se le llama “momento lineal” Impulso angular Es el producto del momento de una fuerza (M) por el tiempo que está actuando. Es un vector de dirección y sentido igual al de M cuya fórmula seria Mt=Iw M=Iw/t Esto demuestra que es equivalente al momento angular Se define como momento angular o momento de impulso L el producto
  • 14. L= m.Vt.r Vt es la velocidad tangencial ,m .a masa y r la distancia al centro atractor ,se conserva si no hay fuerzas externas que ejerzan torque M=Ft.r ´ Es una importante ley de conservación que ayuda a calcular las trayectorias en los campos centrales simétricos Una fuerza aplicada durante un tiempo modifica el momento lineal (la velocidad de la partícula). En el caso de un sólido en rotación la magnitud equivalente se denomina impulso angular. El momento de las fuerzas que se aplican durante un tiempo t a un sólido rígido en movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, modifica el momento angular del sólido en rotación. Momento Angular. El análogo de la cantidad de movimiento de una partícula es la cantidad de movimiento angular, una cantidad vectorial denotada con L. Su relación con la cantidad de movimiento p es exactamente la misma que entre momento de torcion y fuerza , T = r x F. Para una particula de masa constante m, la velocidad v, cantidad de movimiento p = mv, y vector de posición r relativo al origen O de un marco inercial , definimos la cantidad de movimiento angular L como: L = r x p = r x mv (10.27) (Cantidad de movimiento angular de una partícula)
  • 15. “L a rapidez de cambio de la cantidad de movimiento angular de una partícula es igual al momento de torsión de la fuerza neta que actúa sobre ella.” Una partícula de masa m, ubicada en una posición r desde el origen O, que se mueve con velocidad v, tiene módulo lineal p. Se define el momento angular L de una partícula respecto al origen, como el producto vectorial entre la posición r y el momento lineal p, esto es: La unidad de medida de L en el SI es Kgm2 /s. La dirección de L es perpendicular el formado por r y p y su sentido dado por la regla de la mano derecha. En la figura 8.9 se muestra los vectores r y p que están en el plano xy, por lo tanto L apunta en dirección del eje z. L es cero cuando r es paralela a p (α = 0 ó 180°), este es el caso cuando la partícula pasa por el origen. Si r es perpendicular a p, α =90°, entonces L=mvr. Como p = m v, la magnitud de L si α es el ángulo entre r y p, es: L = mvrsenα
  • 16. Si se calcula la derivada temporal del momento angular, se obtiene un resultado interesante, en efecto: Como dr /dt = v , el primer término es cero ya que es el producto vectorial de vectores paralelos; en el segundo término se usa la segunda ley de Newton en la forma F= dp / dt , entonces queda: que es el análogo rotacional de la segunda Ley de Newton. Esta ecuación indica que el torque sobre una partícula es igual a variación temporal del momento angular de la partícula. Para un sistema de partículas, el momento angular total es la suma vectorial de los momentos angulares de las partículas individuales, esto es: Si el torque neto, ΣT , es distinto de cero, entonces puede cambiar el momento angular total del sistema de partículas ya que se tiene: que significa que la variación temporal del momento angular total del sistema de partículas en torno a algún origen es igual al torque neto que actúa sobre el sistema. Considerar un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje que tiene una dirección fija y supongamos que esta dirección coincide con el eje z, como se ve en la figura 8.10. Cada partícula del cuerpo rígido gira en el plano xy en torno al eje z con rapidez angular ω. Entonces la magnitud del momento angular de la partícula en torno al origen Ο es Li = mi vi ri ya que v es perpendicular a r. Pero como vi =ri ω, la magnitud del momento angular para una partícula i se puede escribir como:
  • 17. El vector L está en dirección del eje z igual que el vector ω, por lo que se considera como la componente z del momento angular de la partícula i. Para todo el cuerpo rígido, la componente z del momento angular total es la suma de Li de cada partícula del cuerpo rígido: donde I es el momento de inercia del cuerpo rígido alrededor del eje z. Notar que L = Iω es el análogo rotacional del momento lineal p = mv. Se puede derivar Lz respecto al tiempo considerando que I es constante: donde α es la aceleración angular del cuerpo rígido. Pero dLz/dt es el torque neto, entonces se puede escribir que dice que el torque neto sobre un cuerpo que gira en torno a un eje fijo es igual al momento de inercia por la aceleración angular, ecuación que ya había sido deducida anteriormente. Problemas: 1.) Una hélice de turbina del motor de un jet(Fig. 10.28) tiene un momento de inercia de 2.5Kg.m2 alrededor de su eje de rotación. Al arrancar la turbina, su velocidad angular en función del tiempo es w2= (40rad/s3 )r2 a) calcule la cantidad de movimiento angular de la hélice en función de t y su valor en t=3.0 s b) Calcule el momento de torsión neto que actúa sobre la hélice en función de t, y su valor en t = 3.0seg.
  • 18. Desarrollo: a)La única componente de cantidad de movimiento angular esta sobre el eje de rotación(z): L2 = Iw2=(2.5Kg.m2 )(40rad/s3 )r2 =(100Kg.m2 /s3 )r2 En t=3.0s , L2=900Kg.m2 /s b)La dirección de la cantidad de movimiento angular no cambia, así que en el momento de torsión también está sobre el eje de rotación. T 2 = =(100Kg.m2 /s3 )(2t)=(200Kg. m2 /s2 ) t En el instante t=3.0s, T2 = (200Kg.m2 /s3 )(3.05S) = 600Kg.m2 /s2 = 600Nm 2.) En la figura las masas m1 y m2 se conectan por una cuerda ideal que pasa por una polea de radio R y momento de inercia I alrededor de su eje. La mesa no tiene roce, calcular la aceleración del sistema. - Primero se calcula en momento angular del sistema de las dos masas mas la polea:
  • 19. - Luego se calcula el torque externo sobre el sistema, la única fuerza externa que contribuye al torque total es m1g, el valor de este torque es: τ = m1gR. Entonces se tiene: Energía Cinética De Rotación. La energía cinética de un sistema es la suma de la energía cinética de las partículas que lo forman. Cuando un sólido rígido gira en torno a un eje que pasa por su centro de masas las partículas describen un movimiento circular en torno a dicho eje con una velocidad lineal distinta según sea la distancia de la partícula al eje de giro pero todas giran con la misma velocidad angular ω, ya que en caso contrario el sólido se deformaría. La relación entre ambas velocidades aparece en la figura siguiente: Para un cuerpo rígido formado por una colección de partículas que gira alrededor del eje z fijo con velocidad angular ω, cada partícula del cuerpo rígido tiene energía cinética de traslación. Si la partícula de masa mi, se mueve con velocidad vi, su energía cinética es: ½ mv2 Cada partícula del cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular ω, pero distintas velocidades lineales, porque estas dependen de la distancia r al eje de rotación, y se relacionan por vi =ω ri. Entonces la energía cinética de la partícula i es: A la cantidad entre paréntesis se la define como el momento de inercia, I, del cuerpo rígido:
  • 20. De la definición momento de inercia, sus unidades de medida en el SI son kg·m2. Con esta definición, se puede escribir la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido como: La energía cinética de rotación no es una nueva forma de energía, sino que es el equivalente rotacional de la energía cinética de traslación, se dedujo a partir de esa forma de energía. La analogía entre ambas energías ½ mv2 y ½ Iω2 es directa, las cantidades I y ω del movimiento de rotación son análogas a m y v del movimiento lineal, por lo tanto I es el equivalente rotacional de m (algo así como la masa de rotación), y siempre se considera como una cantidad conocida, igual que m, por lo que generalmente se da como un dato. Conviene resaltar que en esta definición, las distancias (r) que aparecen son las distancias de cada masa del sistema al eje de giro (<no al origen de coordenadas!), luego el momento de inercia(I) depende del eje de giro elegido. No es una propiedad inherente al sistema, sino que también depende de cuál es el eje de giro. Esta energía corresponde a la energía cinética interna, ya que tiene está referida al centro de masas. Si éste a su vez se está moviendo con respecto a un origen, la energía cinética total del sólido se calculará sumando la energía cinética de rotación con respecto al centro de masas y la de traslación de su centro de masa (energía cinética orbital): A la hora de aplicar el Teorema de Conservación de la Energía habrá que tener en cuenta estos nuevos términos. El momento de inercia I es una cantidad que depende del eje de rotación, el tamaño y la forma del objeto. En la siguiente tabla 8.1 se dan los momentos de inercia respecto al centro de masa de figuras geométricas conocidas, de distribución de masa homogénea, cuando giran en torno al eje que se indica. Problemas: 1.) Un ingeniero está diseñando una pieza mecánica formada por tres conectores gruesos unidos por puntuales ligeros moldeados (Fig. 9.17). a) Si el cuerpo gira sobre el eje que pasa por A y es perpendicular al plano del diagrama, con rapidez angular w=4.0rad/s. ¿Qué energía cinética tiene?
  • 21. - Considerando a los conectores como partículas masivas, y los puntuales ligeros, como varillas sin masa procedemos a resolver: a) I = (0.10kg) (0.50m)2 + (0.20Kg)(0.40m)2 I = 0.057 Kg.m2 K= I W 2 = (0.057Kg.m2 )(4.0rad/s)= 0.46J K=0.46J 2.) Un casco cilindro hueco de masa m y radio r rueda sin resbalar con rapidez vcm en una superficie plana ¿Qué energía cinética tiene? Sustituyendo Estas expresiones en la ecuación tenemos: El momento de inercia es I=MR2 y la rapidez angular es w=vcm/R por que rueda sin resbalar. K = VCM 2 + (MR2 )( )2 K= MVCM 2 La energía cinética es el doble de la que sería si el casco se estuviera deslizando con rapidez vcm sin rodar. La mitad de la energía cinética es traslacional y la otra mitad es rotacional. Teorema de la Conservación del Momento Angular. De la ecuación:
  • 22. si el torque neto que actúa sobre el sistema es cero, entonces: Esta ecuación dice que el momento angular total de un sistema es constante si el torque neto que actúa sobre el sistema es cero: es el principio de conservación del momento angular. Si un cuerpo rígido experimenta una redistribución de su masa, entonces su momento de inercia cambia, en este caso la conservación del momento angular se escribe en la forma: Li = Lf Si el cuerpo gira entorno a un eje fijo, entonces L = Iω, y se puede escribir Esta es la tercera Ley de conservación que hemos deducido. Entonces ahora podemos afirmar que para un sistema aislado, la energía, el momento lineal y el momento angular permanecen constantes. Son los principios de conservación en Física. Problemas: 1.)Un ágil profesor se para en el centro de una mesita giratoria con los brazos extendido horizontalmente y una mancuerna de 5Kg en cada mano (Fig. 10.30). Se le pone a girar sobre un eje vertical, dando una revolución cada 2.0s. Calcule la nueva velocidad angular del profesor si el lleva las mancuernas a su abdomen, e indique su efecto de esto sobre su energía cinética. Su momento de inercia (sin las mancuernas) es de 3.0Kg. m2 con los brazos estirados, y baja a 2.2Kg.m2 si pone las manos en el abdomen. Las mancuernas están a 1.0m del eje al principio y a 0.20m al final; trátelas como partículas. Desarrollo: I = 3.Okg.m2 + 2(5.0kg)(1.0m)2 = a3kg.m2 w1 = 1rev/2.0s =0.50 rev/s El momento de inercia final es: I2 = 2.2kg.m2 + 2(5.0kg)(0.20m)2 La velocidad angular final es:
  • 23. W2= W1= (0.50rev/s)=2.5rev/s Es decir, la velocidad angular aumenta en un factor de 5 en tanto que la cantidad de movimiento angular se mantiene constante. 2.)Un proyectil de masa m y velocidad V0 se dispara contra un cilindro sólido de masa M y radio R (figura 8.13). El cilindro está inicialmente en reposo montado sobre un eje horizontal fijo que pasa por su centro de masa. El proyectil se mueve perpendicular al eje y se encuentra a una distancia D < R sobre el eje. Calcular la rapidez angular del sistema después que el proyectil golpea al cilindro y queda adherido a su superficie. Desarrollo: El momento angular del sistema se conserva, entonces Li =Lf :