1. المحاضرة اللولى
التحليل الجتجاهي)1(
مقدمة عامة General introduction
جترجتبببط الكهرببباء لوالمغناطيسببية ارجتباطببا لوثيقببا لوقببد دفببع ذلببك العلمبباء الببى التفكيببر
بطريقببة لوصببف الظببواهر الكهربيببة لوالمغناطيسببية بنظريببة موحببدة جتعببرف باسببم
النظريببة الكهرلومغناطيسببية , لوقببد كببان للعببالم جيمببس ماكسببويل James Clerk
Maxwellدلور بببارز فببي صببياغة هببذه النظريببة لوجتشببكيلها مببن كببم خل ل أربببع
علقات هامة جتسمى علقات ماكسويل لومن هذه العلقات جتم اشتقاق معادلة الموجببة
الكهرلومغناطيسية لوكانت جتشتمل على الرمز cلوالبذي لوجببد فيمببا بعببد أن قيمتببه فببي
جتتفق بدرجة كبيرة مع سرعة انتشار موجات الضببوء فببي 2.9979 ×10 8 m / s الفراغ
الفراغ لوالتي أدت فيما بعد لتعببرف العلمبباء علبى طبيعببة موجببات الضببوء للو ل مببرة
على أنها موجات كهرلومغناطيسية مثببل موجببات الراديببو لولشببعة السببينية لوغيرهببا
لوالبتي جتختلبف عبن بعضبها فبي الطبو ل المبوجي لوجتجمعهبا جميعبا العلقبة الشبهيرة
حيث vسبرعة الموجبة لو λالطبو ل المبوجي لهبا لو νهبو البتردد لوهبذا v = λυ
يعني أن الموجات الكهرلومغناطيسببية جتمثببل طيفببا مببن الموجببات المختلفببة )طيببف
كهرلومغناطيسي (
1(التحليل الجتجاهي Vector Analysis
يمكن جتقسيم الكميات الفيزيائية إلى قسمين :
1( كميات قياسية scalars
1
2. 2( كميات متجهة vectors
1( الكميببات القياسببية لوجتتميببز بببأن لهبا مقببدار Magnitudeلوليببس لهببا
اجتجاه directionمثل الطاقة لودرجة الحرارة لوالكتلة لوالطو ل
الكميات المتجهة لوهي كميات فيزيائيببة جتتميببز بببأن لهببا مقببدار لواجتجبباه 2(
مثل الزاحة displacementلوالسرعة velocityلوالعجلة accelerat
A, A ionلوالقببوة forceلوغيرهببا لويرمببز للكميببات المتجهببة بببالرمز
لوهندسيا بسهم طوله يسالوي ألو يتناسب مع مقدار الكمية المتجهة لوالتي
لوهببو مقيبباس المتجببه A يرمببز لهببا ب Aبببدلون سببهم ألو بببالرمز
modulusلوفد جتكتب modAلويتألف المتجه من مركبببات فببي اجتجبباه
محالور الحداثيات المستخدمة ففي الحداثيات الكارجتيزية يكون للمتجببه
ثل ث مركببببببببببببببببات لويكتبببببببببببببببب علبببببببببببببببى الصبببببببببببببببورة
ألو يعببببببوض عنهببببببا ب A = A 1 i + A 2 j + A 3k or A = A 1 e x + A 2 e y + A 3 ez
كمبببا يمكبببن التعببببير عبببن مقبببدار المتجبببه بالعلقبببة } 3 A = {A 1 , A 2 , A
A
,لوفببي = eA
A كما جتعرف لوحدة المتجه = A = mod A 2 A1 + A 2 + A
2
2 3
الحداثيات الكارجتيزية نرمز لوحدة المتجه في اجتجبباه المحببالور ب i,j,k
3 or e1,e2,eلوإذا كانت القيمببة العدديببة للمتجببه جتسببالوي صببفر سببمي
المتجببه بببالمتجه الصببفري لويكببون ليببس لببه اجتجبباه , Null Vector
لوعندما يتم جتحديد موضع المتجببه بالنسبببة لنظببام إحببداثيات معيببن جتكببون
النقطة (P(x,y,zنقطة إحداثياجتها ) (x,y,zلويكون المتجببه لهببذه لنقطببة
هو
r = xi + y j + z k
= r 2 x2 + y 2 +z
2
3. بعض أساسيات جبر المتجهات :
1. يقا ل أن المتجهين متسالويان إذا كان لهما نفس المقببدار لوالجتجبباه بصببرف
النظر عن لوضع نقطة البداية لكل منهما .
2. المتجببه Aهببو متجببه قيمتببه العدديببة جتسببالوي القيمببة العدديببة للمتجببه , A
لواجتجاهه عكس اجتجاه المتجه . A
3. مجموع متجهين هو متجه رأسه بداية المتجه اللو ل لوذيلببه نهايببة المتجببه
الثاني.
متجه صفري . A−A المتجه 4.
5. عند ضرب قيمة عددية pفي متجه Aنحصل علببى متجببه لببه قيمببة عدديببة
pAلوجتعطي متجه له قيمة عدديببة pمببن المببرات مببن المتجببه الصببلي لولببه
نفس الجتجاه لوإذا ضربنا في – pيكون بعكس الجتجاه لوإذا ضببربنا فببي صببفر
نحصل على المتجه الصفري .
بعض قوانين جبر المتجهات :
A+B = B+A قانون التباد ل commutation law 1.
القانون التجميعي ( A + B ) + C = A + ( B + C ) Associative law 2.
p (qA ) = ( pq ) A = ( qp ) A جتجميع الضرب 3.
( p + q ) A = pA + qA التوزيع الجمعي distribution law 4.
3
4. p ( A + B ) = pA + p B جتوزيع الضرب 5.
المجالت :
إذا كببان لبديك منطقببة جتحيببط بمركببز دراسببة سببواء كببان شببحنة ألو مغنبباطيس ألو
جسما آخر ألو ثقبا ...بحيث يظهر جتأثير مركز الدراسببة خللببه فبإن هببذه المنطقببة
جتدعى مجال لوجتنقسم المجالت إلى نوعين قياسية لومتجهة :
1. المجا ل القياسي : scalar fieldلويمثل عادة بدالة جتتحدد عند كل
نقطة في الفراغ بقيمتها فقط دلون اجتجاه مثل دالببة الجهببد الكهربببي لشببحنة
استاجتيكية
المجا ل الجتجاهي : vector fieldلويمثل عادة بدالبة جتتحبدد عنبد 2.
كل نقطة في الفراغ بقيمتها العدديببة لواجتجاههببا مثببل السببرعة لوجتسببمى
الدالة في هذه الحالة بالدالة المتجهة ألو جتسمى بمجا ل اجتجبباهي معببرف
عهلببببى منطقببببة Rمثببببا ل ذلببببك سببببرعة جسببببيم علببببى الصببببورة
F( x, y , z ) = x 2 y i + 3xyzj + 4zk
ضرب المتجهات Multiplication of Vectors
لوهناك نوعان من ضرب المتجهات :
النببوع اللو ل : الضببرب القياسببي Dot of Scalar Productلويمكببن جتعريفببه
أي ن الضببرب القياسببي يسببالوي حاصببل ضببرب A •B = A B cos θ
بالعلقببة التاليببة
القيمة العددية للمتجه اللو ل في القيمة العددية للمتجه الثاني في جيب جتمببام الزالويببة
بينهما , لومن خصائص هذا النوع من الضرب :
4
5. 1. إن ناجتج الضرب يكون كمية قياسية لها مقدار فقط .
2. ناجتج الضرب يسالوي صفرا إذا كان أحدهما عموديا على الخر .
3. إذا كان ناجتج الضرب يسالوي صفرا فهذا يعني إمببا أن أحببدهما عمببودي علببى
الخر ألو أن أحدهما يسالوي صفرا .
4. هناك عدة قواعد للضرب القياسي أهمها :
A •B = B •A
A • (B + C) = A • B + A • C
p ( A • B ) = ( p A ) • B = A • ( p B ) = ( A • B )p
1 = i • i = j • j = k •k
0 = i • j = j •k = i •k
2B2 = B2 + B2 + B
x y z
A • B = A xBx + A yBy + A zBz
النوع الثبباني :الضببرب الجتجبباهي Cross Product of Vector Product
لوهندسببيا جتعنببي أنهبا A ∧ B = AB sin θ n ,0 < θ < π
لويمكن جتعريفببه بالعلقببة التاليبة
مساحة متوازي الضلع الذي فيببه المتجهيببن A,Bضببلعان متجببالوران , لويسببالوي
الضرب القياسي حاصل ضرب القيمة العددية لكل مببن المتجهيببن فببي جيببب الزالويببة
بينهما في متجه الوحدة العمودي على المستوى البذي يوجبد فيببه المتجهبان . لومبن
خصائص الضرب الجتجاهي :
A ∧ B = −B ∧ A
A ∧(B + C) = A ∧ B + A ∧ C
p( A ∧ B ) = (pA ) ∧ B = A ∧ (p B ) = ( A ∧ B )p
0 = i ∧ i = j ∧ j = k ∧k
,i ∧ j = k j ∧k = i ,k ∧i = j
i j k
A ∧B = Ax Ay Az
Bx By Bz
5
6. لويمكببن إضببافة أخببرى لعمليببات الضببرب علببى المتجهببات لوهببي الضببرب الثلثببي
للمتجهات Multiple Products of Vectorsلويمكن جتقسيمه أيضا إلى نوعين
لوهما :
الضرب الثلثي الجتجاهي :لويعطى بالشكل التالي
( A • B )C = m C
where m = A•B
لويمكبببببن أن يأخبببببذ حاصبببببل الضبببببرب الجتجببببباهي الثلثبببببي الشبببببكل التبببببالي
( A ∧ B ) ∧ C = ( C • A)B − ( C • B )A
الضرب الثلثي القياسي لويعطى بالصورة
Ax Ay Az
A • ( B ∧ C) = Bx By Bz
Cx Cy Cz
لويعنببي ذلببك هندسببيا حجببم متببوازي اللوجببه الببذي فيببه Aلو Bلو Cثل ث أضببلع
متجالورة لويجب أن نلحظ فيه ضببرلورة ضببرب crossألول ثببم dotلويكببون حاصببل
الضرب في هذه الحالة قياسيا أيضا لويسمى . Triple scalar product
مفاهيم هامة :
متجه المساحة vector of area
جتمثل المساحة بمتجه يكون في اجتجبباه عمببودي علببى المسبباحة لوطببوله يتناسببب مببع
, dsy=dxdzلويمكن كتابته على مقدارها حيث dsz=dxdy , dsx=dzdy
حيث nهي متجه الوحدة العمودي على المساحة . ds =dsn الصورة التالية :
6
7. فيض المتجه flux of vectors
الفيض العمودي normal fluxمن متجه ما خل ل عنصر مساحة dsيعرف بأنه
حاصل الضرب القياسي بين المتجه لوعنصر متجه المساحة . فمثل إذا كببان المتجببه
Aيمثببل شببدة المجبا ل الكهربببي Eفبإن الفيببض العمببودي الكهربببي للخبارج خل ل
dE n = E • ds = E • n ds =E n ds عنصر المساحة dsنحصل عليه كالتالي :
حيث Enمركبة شدة المجبا ل الكهرببي فببي الجتجباه العمببودي علبى السببطح للخبارج
لويعطى الفيض الكلي بالعلقة التالية
∫ A • ds = ∫∫ Ax dydz + ∫∫ Ay dxdz + ∫∫ Az dydx
لوفي حالة التكامل علببى أسببطح مغلقببة فببإن اجتجبباه متجببه الزاحببة يشببير إلببى خببارج
السطح اصطلحا , أي أن الفيببض الكلببي يمثببل معببد ل التغيببر الصببافي للمتجببه الببذي
يغادر السطح المقيد للحجم المحصور .
أمثلة :
المثا ل اللو ل :
أثبتي أن المتجهين
A = cos α +sin α
i j
B = cos β +sin β
i j
هما متجها لوحدة في المستوى xyحيث αلو βهمببا الزالويتببان اللتببان جتحببددان علببى
محور xللمتجهين A,B
A B
= eA
A
, = eB
B الحل :يمكن إيجاد متجه الوحدة من العلقة التالية
7
8. 1 = A = cos 2 α + sin 2 α
1 = B = cos 2 β + sin 2 β
∴e A = cos αi + sin αj
∴e B = cos βi + sin βj
المثا ل الثاني :
ألوجدي الزالوية بين المتجهين
A =i −3 j +2k
B = − i +4 j −k
2
الحل
A • B = AB cos θ
=A 2 ) 2 ( + 3 )3 − ( + 2 )1( 41 =
=B )3 − ( 2
62 = )1− ( + ) 4 ( +
3 2
A • B = −3 −12 − 2 = −17 = AB cos θ
A •B 71−
= cos θ = 98.0− =
AB 463
00.351 = θ
المثا ل الثالث :
ألوجدي متجه الوحدة العمودي على المستوى الذي يحوي المتجهين A,Bحيث
A = 2a r + πaφ + a z
3
+ B = −a r πaφ − 2a z
2
الحل :
A ∧B
= en
A ∧B
8
