1.
第7章 标准化期权
的解析法定价
朱子川 接小波 张翠萍
杨杨

2.
背景
 第6章中，推导了期权价格关系式。仅指明了价格的边界，
而非精确的期权价值。本章推导欧式期权的定价公式，将该
公式用于风险管理，如何估计定价公式中的参数。
 期权的定价也是未来现金流的现值。看涨期权的预期现金流
取决于:基础资产经风险调整的预期价格升值率。贴现率是期
权经风险调整的预期回报率。该传统定价法的一个问题是，
要准确估计风险调整的预期回报参数是非常困难的。
 1973年，随着Black和Scholes (1973)以及Merton (1973)
（BSM）在期权和其基础资产之间构建一个无风险套期保值，
期权定价就与个人风险偏好无关，假设个体是风险中性的。
所有资产的预期回报率等于它们的无风险利率。

3.
内容
 第一节风险中性定价的直觉分析
 第二节给定正态分布回报率的均值和方差，
推导了资产预期价值的表达式。
 第三节欧式看涨期权的定价公式。
 第四节欧式看跌期权的定价公式。
 第五节说明如何利用期权定价公式去度量期
权的风险特征。
 最后一节是结论。

4.
7.1 风险中性定价的直觉分析
 7.1.1 利用二项式模型构建无风险保值组合
 欧式看涨期权，三个月后X=40。假设S=40，
三个月后资产的价格是45或35。这些资产价格
列于下图7-1。3个月后为45，则看涨期权价值
为5；如果资产价格3个月后为35，期权价值为
0。

5.
图7-1：期末资产价格和看涨期权价值的二项式点阵
Today——当前；3 months——三个月后

6.
买入一单位资产并卖出n份看涨期权
 我们令n满足45−5n=35，卖出两份看涨期权（即n=2）
可以消除所有组合风险。R= 2%,欧式看涨期权的价格
为2.84。
 在无风险套利情况下，现在构建无风险组合的成本满足：40-
2c=35/1.02
 无成本套利机会
 假设看涨期权价格为3，卖出看涨期权，买入0.5单位资
产，并借款17.16（即35的一半的现值），产生现金
3-0.5(40)+17.16=0.16到期时，到期S=45，组合价值为
−(45−40)+0.5(45)−17.50=0
 如果S=35，组合价值为0+0.5(35)−17.50=0

7.
7.1.2风险中性假设下二项式模型定价
 在风险中性下，其中p是上界的概率，1−p是下界
的概率， 40(1.02) =45p +35(1−p),
 然后求解上段风险中性的概率p，等于58%。
 找出概率后，就可计算看涨期权的预期终值
为
看涨期权的预期价值=5(.58) +0(.42) =2.90。
 看涨期权的现值是预期终值的贴现。
2.90
2.84
1.02
c  
该值与利用无风险保值组合法计算的结果完全
一样。

8.
7.1.3 风险厌恶假设下二项式模型定价
 找到基础资产经风险调整的预期回报率，以便计算资产的预期终
值
 找到看涨期权的经风险调整的预期回报率，以便将看涨期权的终
值贴现为现值。
 假设未来三个月资产的预期升值率为4%——2%的无风险回报率
加2%的个人风险溢价率。因为当前资产价格为40，预期回报率
为4%，所以风险厌恶假设下上界概率 p‘和下界概率 1- p’必须满
足
 40(1.04)=45 p' +35(1- p')
风险厌恶假设下，上界概率为66%。风险厌恶个体的上界概率高
于风险中性个体的上界概率（假设二项式模型中资产价格终值相
同），这是因为，给定资产价格终值保持不变，风险厌恶下更高
的预期回报率必须对应更高的上界概率。
30
.
3
)
34
.
0
(
0
)
66
.
0
(
5
)
(
~



T
c
E

9.
 前面第3章我们已推导了预期收益和风险之间的取舍关
系，该关系称为资本资产定价模型（CAPM），也表明
资产的预期回报率为
S
M
S r
E
r
E 
)
( 

 （7-1）
其中，Es是资产的预期回报率，EM是市场组合的预期回报率，r是无风险回报率，S是
资产的贝塔风险。
在（7-1）式预期收益/风险取舍关系式中，资产的贝塔S是相对于市场水平1%的变化，
资产价格变化的百分比。因为CAPM模型适用于所有风险资产，包括看涨期权，因此看涨
期权的预期收益率可表示为
EC= r +(EM - r) C （7-2）
其中，看涨期权的贝塔c是相对于市场水平1%的变化，看涨期权价格变化的百
分比。用S乘以看涨期权价格相对于资产价格的变化百分比，即可得看涨期权的
贝塔







S
dS
c
dc
S
c
/
/



10.
因此，看涨期权经风险调整的预期回报率为 :









S
dS
c
dc
r
E
r
E S
M
c
/
/
)
(  (7-3)
代入本例的参数，
S
M
E 
)
02
.
0
(
02
.
0
04
.
0 


这意味着资产的市场风险溢价为
02
.
0
)
02
.
0
( 
 S
M
E 
利用二项式模型，我们可以计算对于资产价格1%的变化，期权价格变
化的百分比
c
c
c
S
dS
dc
S
dS
c
dc 20
40
35
45
0
5
/
/








11.
将0.02替代（7-3）中的
( 0.02)
M S
E 

20
c 替代
/
/
dc c
dS S
得到








c
Ec
20
02
.
0
02
.
0
因此，看涨期权预期终值的现值
~
( )
1
T
c
E c
c
E


为
c
c
40
.
0
02
.
0
1
30
.
3



或者c =2.84。即，使风险厌恶的个体所接受的看涨期权价格也
是2.84。

12.
7.2 服从对数正态分布的价格

13.
股票价格的行为过程：
股价运动一般没有规律可循，但我们可以用
一种随机过程来刻画股价的运动。
随机过程：如果某变量的价值以某种不确定
的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随
机过程。
马尔可夫过程。

14.
几种特殊的马尔可夫过程
 1、基本的维纳过程：




dt
dz
T
N
t
z
T
z
t
N
z
N
t
z
i
N
i











)
,
0
(
~
)
0
(
)
(
)
,
0
(
~
)
1
,
0
(
~
1

15.
几种特殊的马尔可夫过程
 2.一般化的维纳过程：
)
,
(
~
)
,
(
~
2
2
T
b
aT
N
X
t
b
t
a
N
x
t
b
t
a
z
b
t
a
x
bdz
adt
dx
















16.
几种特殊的马尔可夫过程

17.
 3.ITO过程
几种特殊的马尔可夫过程
t
t
z
t
S
S
dz
dt
S
dS
t
S
t
S
z
S
t
S
S
Sdz
Sdt
dS
dz
t
x
b
dt
t
x
a
dx





































)
,
(
)
,
(

18.
 例：
 一种不付红利的股票，波动率为每年30%，
预期收益率以连续复利计每年15%，
即 ，则股票价格的行为过程
为：
30
.
0
,
15
.
0 
 

t
t
S
S
dz
dt
S
dS








30
.
0
15
.
0
30
.
0
15
.
0
几种特殊的马尔可夫过程

19.
 的问题是不能随时
间加总
假设第一个月资产价格由50变为100，然后第
二个月变回50，第一个月的收益率是100%，
第二个月为-50%，因此两个月总的收益率为
50%。显然这不对，因为资产在两个月中开
始是50，结束也是50，它的实际收益率为0。
)
,
(
~ 2
t
t
N
S
S





几种特殊的马尔可夫过程

20.
 为了避免这种问题，我们采用资产价格的对
数形式。
2
ln
ln
2
















t
t
S
dz
dt
S
d
几种特殊的马尔可夫过程

21.
 4.ITO定理和股票价格的对数正态分布（附录
7-A）
几种特殊的马尔可夫过程
Sdz
S
G
dt
S
S
G
t
G
S
S
G
dG
E
D
E
t
o
t
S
S
t
S
t
S
z
S
t
S
S
t
t
G
t
S
t
S
G
S
S
G
t
t
G
S
S
G
G
t
S
G
G
Sdz
Sdt
dS












































































)
2
1
(
1
0
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
)
,
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

22.
4.ITO定理和股票价格的对数正态分布
2
ln
)
2
(
ln
)
2
(
1
)
2
1
0
1
(
ln
2
2
2
2
2
2



































dz
dt
S
d
dz
dt
S
d
dz
dt
dG
Sdz
S
dt
S
S
S
S
dG
S
G

23.
 取回指数形式得：
 数学期望：
 
 
T
T
S
N
S
T
T
N
S
S
T
T
2
2
,
ln
~
~
ln
,
~
ln
~
ln






T
T
T
T
T
T
T Se
e
Se
e
E
Se
S
E 








  2
/
)
2
/
( 2
2
]
[
)
~
(
4.ITO定理和股票价格的对数正态分布
)
(
~ 

 T
T
T Se
S 


24.
4.ITO定理和股票价格的对数正态分布
 证明期末资产价格的方差 ]
1
[
)
~
(
2
2
2

 T
T
T e
e
S
S
Var 

 
 
T
T
T
z
T
T
T
T
T
z
T
z
T
T
T
z
T
T
S
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
e
S
e
S
e
E
e
S
S
E
e
e
e
E
e
E
e
S
S
E
e
S
T
T
S
N
S
S
T
T
S
N
S
e
e
S
S
E
e
S
S
E
S
E
S
E
S
Var
2
2
2
2
2
2
2
2
)
2
2
(
2
~
2
2
2
2
2
2
4
~
2
~
2
2
2
2
~
2
2
ln
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
~
(
)
(
)
(
)
~
(
~
4
,
2
ln
2
~
~
ln
2
~
ln
,
ln
~
~
ln
)
~
(
)
~
(
)]
~
(
[
)
~
(
)
~
(








































－

25.
4.ITO定理和股票价格的对数正态分布
)
,
(
~
/
~
ln 2
T
T
N
S
ST 

]
1
[
)
~
(
)
~
(
2
2
2



T
T
T
T
T
e
e
S
S
Var
Se
S
E




26.
4.ITO定理和股票价格的对数正态分布
 例7-1：假设资产当前价格是50，连续复利
的资产收益率的均值为16%，标准差为20%，
这些数值均以年率的形式表达。计算三个月
后的预期资产价格，并计算三个月后资产期
末价格95%的置信区间。
148
.
4
756
.
3
~
)
12
/
3
(
20
.
0
)
12
/
3
)(
18
.
0
(
2
2
2
2
~
)
12
/
3
(
18
.
0
~
2
2
309
.
63
778
.
42
96
.
1
ln
ln
96
.
1
ln
492
.
27
)
1
(
50
)
1
(
)
(
301
.
52
50
)
(
18
.
0
2
/
20
.
0
16
.
0
2
/
2
2
e
S
e
T
T
S
S
T
T
S
e
e
e
e
S
S
Var
e
Se
S
E
T
T
T
T
T
T
T


































27.
7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率
 
a
T
T
S
X
T
T
S
S
X
S
dz
e
a
z
e
z
n
N
T
T
S
S
z
T
T
N
S
S
T
T
z
a
z
T
T



























)
/
ln(
)
/
ln(
~
2
1
)
~
Pr(
2
1
)
(
)
1
,
0
(
~
)
/
ln(
,
~
ln
~
ln
2
/
2
/
2
2
2

28.
7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率
 定义a：
)
(
)
(
1
)
~
Pr(
)
(
)
(
1
)
~
Pr(
)
/
ln(
)
/
ln(
)
(
1
)
(
1
)
~
Pr(
)
(
)
Pr(
)
~
Pr(
)
/
ln(
)
/
ln(
d
N
d
N
X
S
d
N
d
N
X
S
T
X
Se
T
Se
X
a
d
a
N
a
N
X
S
a
N
a
z
X
S
T
Se
X
T
T
S
X
a
T
T
T
T
T
T
T




































29.
7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率
 例7-2：假设资产当前价格是50，连续复利资
产回报率的均值和标准差分别为16%和20%，
均以年率为基础。计算三个月末资产价格大于
60的概率。
 首先，将服从对数正态分布的期末价格转换为
标准正态分布的变量值，即
 然后，将d值代入累积概率密度函数N(d)，计
算概率。
423
.
1
25
.
0
20
.
0
)
60
/
50
ln(
)
/
ln( )
25
.
0
(
16
.
0




e
T
X
Se
d
T


077
.
0
)
423
.
1
(
)
423
.
1
Pr(
)
60
Pr( 





 N
z
ST

30.
7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率
 当表达中是用连续复利的均值回报率α来替
代连续复利回报率的均值μ时，如何计算未
来时刻T资产价格大于X的概率？
)
(
)
Pr(
)
(
)
Pr(
5
.
0
)
/
ln(
)
5
.
0
(
)
/
ln(
2
2
2
2
d
N
X
S
d
N
X
S
T
T
X
Se
T
T
X
S
d
T
T
T






















31.
7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率
 例7-3：假设资产当前价格是50，资产预期回
报率为18%，假设连续复利资产回报率的标准
差为20%。计算三个月末资产价格大于60的概
率。
 首先，将服从对数正态分布的期末价格转换为
标准正态分布的变量值，即
 然后，将d值代入累积正态概率密度函数N(d)，
计算概率
423
.
1
25
.
0
20
.
0
25
.
0
)
20
.
0
(
5
.
0
60
/
50
ln(
5
.
0
)
/
ln(
2
)
25
.
0
(
18
.
0
2






e
T
T
X
Se
d
T



Pr( 60) ( 1.423) 0.077
T
S N z
    

32.
7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率
 当资产支付固定连续收益率i（例如股息收
益），这种情况下，α仍表示资产价格的预
期升值率。资产总预期回报率等于α+i。所
以需要将总的预期回报率减去i才能得到资
产价格的预期升值率α。
 例7-4:
 假设资产当前价格为50，预期回报率 为
18%，支付4%的固定收益。假设连续复利
资产回报率的标准差为20%。计算三个月末
资产价格大于60的概率。

33.
7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率
 首先，要注意资产价格的预期回报率 等于其预
期总回报率减去固定收益率，即
18%−4%=14%。
 然后，将服从对数正态分布的期末价格转换为
标准正态分布的变量值，即
 最后，将d值代入累积正态概率密度函数N(d)，
计算概率
523
.
1
25
.
0
20
.
0
25
.
0
)
20
.
0
(
5
.
0
60
/
50
ln(
5
.
0
)
/
ln(
2
)
25
.
0
(
14
.
0
2






e
T
T
X
Se
d
T



064
.
0
)
523
.
1
(
)
60
Pr( 



 z
N
ST

34.
7.2.4 计算有条件的预期资产价格
 我们已经得到，时刻T无条件的预期资产价格
为：
 假设我们想知道资产价格在大于临界值X时的
预期资产价格。在 服从对数正态分布的假
设下，可知，在时刻T资产价格大于临界值水
平的条件下，有条件的预期资产价格为：
T
S
~
T
T Se
S
E 

)
~
(
)
(
)
(
)
~
(
2
1
d
N
d
N
Se
X
S
S
E T
T
T




35.
7.2.4 计算有条件的预期资产价格
 其中，
 推导将在后面给出
 同理：
T
d
T
T
X
Se
d
T
T
X
Se
d
T
T













1
2
2
2
1
5
.
0
)
/
ln(
5
.
0
)
/
ln(
)
(
)
(
)
~
(
2
1
d
N
d
N
Se
X
S
S
E T
T
T



 

36.
7.2.4 计算有条件的预期资产价格
等价表达：
例7-5: 假设当前的资产价格为50，预期回报率
为18%，固定收益率为4%。假设连续复利资
产回报率的标准差为20%。计算:(1)三个月末
的预期资产价格，(2)三个月末资产价格大于
60的条件下资产价格的预期值，(3) 三个月末
资产价格小于60的条件下资产价格的预期值。
 
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
Se
d
N
d
N
Se
d
N
d
N
d
N
Se
d
N
d
N
d
N
Se
X
S
X
S
S
E
X
S
X
S
S
E
S
E



















)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Pr(
)
~
(
)
Pr(
)
~
(
)
~
(
1
1
2
2
1
2
2
1

37.
7.2.4 计算有条件的预期资产价格
 三个月后的预期资产价格可直接计算得到：
 三个月后资产价格大于60的条件下资产价格的
预期值为
 三个月后资产价格小于60的条件下资产价格的
预期值为
523
.
1
25
.
0
20
.
0
423
.
1
423
.
1
25
.
0
20
.
0
25
.
0
)
20
.
0
(
5
.
0
)
60
/
50
ln(
781
.
51
50
)
~
(
2
2
)
25
.
0
(
14
.
0
1
)
25
.
0
(
14
.
0












d
e
d
e
Se
S
E T
T

716
.
62
)
(
)
(
50
)
60
~
(
2
1
)
25
.
0
(
14
.
0



d
N
d
N
e
S
S
E T
T
035
.
51
)
(
)
(
50
)
60
~
(
2
1
)
25
.
0
(
14
.
0





d
N
d
N
e
S
S
E T
T

38.
7.3 欧式看涨期权的定价

39.
BSM微分方程的导出（附录7-E）
 （一）假设条件
BSM微分方程的推导是建立在以下假设的基础上的：
 1．股价遵循预期收益率和标准差为常数的马尔可夫
随机过程
 2．允许使用全部所得卖空衍生证券；
 3．没有交易费用或税金，且所有证券高度可分；
 4．在衍生证券的有效期内没有支付股息等红利；
 5．不存在无风险的套利机会；
 6．证券交易是连续的，股票价格连续平滑变动；
 7．无风险利率r为常数，能够用同一利率借入或贷
出资金
 8．只能在交割日执行期权。

40.
（二）Black-Scholes微分方程的建立
 假设股票S遵循马尔可夫随机过程：
 假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是
S和t的某一函数，由ITO定理得：
 由于f是S与t的函数，所以上述两组表达式遵循
相同的维纳过程： ，所以我们可以
选择该股票和衍生证券的组合来消除维纳过程。
z
S
t
S
S
Sdz
Sdt
dS











z
S
S
f
t
S
S
f
t
f
S
S
f
f
Sdz
S
f
dt
S
S
f
t
f
S
S
f
df

































)
2
1
(
)
2
1
(
2
2
2
2
2
2
2
2
)
( t
z 

 

41.
 我们可以构造这样的投资组合：
 （1）卖出一份衍生证券；
 （2）买入 份股票。
 则该证券组合的价值为：
在 时间后，该证券组合的价值变化：
（二）Black-Scholes微分方程的建立
S
f


S
S
f
f






t

S
S
f
f 








42.
 代入，得：
(Black-Scholes微
分方程)
（二）Black-Scholes微分方程的建立
rf
S
f
S
S
f
rS
t
f
t
S
S
f
f
r
t
S
S
f
t
f
t
r
t
S
S
f
t
f
z
S
S
f
t
S
S
f
z
S
S
f
t
S
S
f
t
t
f
t
S
S
f
z
S
t
S
S
f
z
S
S
f
t
S
S
f
t
f
S
S
f














































































2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
)
(
)
2
1
(
)
2
1
(
2
1
)
(
)
2
1
(














43.
 对应于不同基础证券S定义的不同衍生证券，
方程有不同的解。解方程时得到的特定的衍生
证券取决于使用的边界条件。
 对于欧式看涨期权，边界条件为：
 对于欧式看跌期权，边界条件为：
 B-S微分方程不包含投资者对股票的预期收益 ，
从而它独立于风险偏好。
（二）Black-Scholes微分方程的建立
)
0
,
max( X
S
f T 

)
0
,
max( T
S
X
f 


44.
 根据风险中性定价理论，欧式看涨期权到期日
的期望值为：
 由于是风险中性的，欧式看涨期权的价格C是
这个值以无风险利率r贴现的结果：
 风险中性下 股价对数服从的正态分布为：
 （r=α)
（三）风险中性定价法导出B-S定价公式
 
)
0
,
max( X
S
E T 
 
)
0
,
max( X
S
E
e
c T
rT

 







 T
T
r
S
N
ST
2
2
,
)
2
(
ln
~
~
ln 


45.
 记：
 所以：
 假设ST的概率密度为gs(y)，则由对数正态分布
的概率密度公式得：
T
T
r
S 


 


 1
2
1 ,
)
2
(
ln
)
,
(
~
~
ln
2
1
1 

N
ST










0
0
0
2
1
)
(
2
1
2
1
2
)
(ln
1
~
y
y
e
y
y
g
y
ST




（三）风险中性定价法导出B-S定价公式

46.
 
  






















X
t
X
t
t
T
X
y
X
S
T
dt
e
X
dt
e
e
X
S
E
t
y
dy
e
y
X
y
dy
y
g
X
y
X
S
E T
ln
2
)
(
1
ln
2
)
(
1
2
)
(ln
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
)
0
,
~
max(
)
(ln
2
1
)
(
)
(
)
(
)
0
,
~
max(












＝
（三）风险中性定价法导出B-S定价公式

47.
 右边第一项为：
)
(
)
5
.
0
(
)
ln(
)
(
ln
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
ln
2
2
)]
(
[
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
1
d
N
Se
T
T
r
X
S
N
Se
X
N
e
dt
e
e
rT
rT
X
t









 


















 





 


















（三）风险中性定价法导出B-S定价公式

48.
 第二项为：
 其中：
)
(
)
5
.
0
(
)
ln(
)
ln
(
)
ln
(
1
2
2
1
1
1
1
d
N
X
T
T
r
X
S
N
X
X
N
X
X
N
X









 












 







T
T
r
X
S
d

 )
5
.
0
(
)
ln( 2
1



T
d
T
T
r
X
S
d 






 1
2
2
)
5
.
0
(
)
ln(
（三）风险中性定价法导出B-S定价公式

49.
 所以：
 
 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
,
max(
ˆ
2
1
2
1
d
N
Xe
d
SN
d
XN
d
N
Se
e
X
S
E
e
c
rT
rT
rT
T
rT










（三）风险中性定价法导出B-S定价公式

50.
 在投资者风险厌恶的前提下，欧式看涨期权的
定价是：
7.3.1 Samuelson公式
)
(
~
T
T
c
E
e
c c



)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Pr(
)
(
)
Pr(
)
0
(
)
Pr(
)
(
)
(
2
1
2
2
1
~
~
d
XN
d
N
Se
d
N
X
d
N
d
N
Se
X
S
X
S
X
S
E
X
S
X
S
E
X
S
X
S
X
S
E
c
E
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
S
S

























T
T
X
Se
d
T
S


 2
1
5
.
0
)
/
ln( 
 T
d
d 

 1
2

51.
 代入表达式，得：
 是到期日执行看涨期权所
得预期收益的现值乘以期权盈利的概率。
 是执行看涨期权成本的现值乘
以期权盈利的概率。
 缺点：需要估计资产和看涨期权经风险调整的
价格升值率。
7.3.1 Samuelson公式
 
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
2
1
d
N
Xe
d
N
Se
d
XN
d
N
Se
e
c
T
T
T
T
c
c
S
S
c












( )
1
( )
S c T
Se N d
 

2
( )
cT
Xe N d



52.
 在风险中性的假设下，资产和期权的预期回报
率是无风险利率，因此，支付固定收益率i的资
产预期价格升值率为αs=b(=r−i)，b为风险中性
的资产价格升值率，看涨期权的预期回报率
为 ，将之代入Samuelson公式可得欧式
看涨期权的价值为：(BSM公式)
7.3.2 Black-Scholes/Merton公式
c r
 
 
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
2
1
d
N
Xe
d
N
Se
d
XN
d
N
Se
e
c
rT
T
r
b
bT
rT







T
T
X
Se
d
bT

 2
1
5
.
0
)
/
ln( 
 T
d
d 

 1
2

53.
 因为b≡r−i，BSM公式经常写为：
 这个公式涵盖了从无股息支付股票、股票指数、
外汇，到期货等一系列基础资产的看涨期权定
价。这些不同基础资产的期权定价公式，区别
在于风险中性的资产价格升值率参数b不同。
当无股息支付时，i＝0，我们就得到了最一般
的BSM公式 ：
 正如我们之前推导的一样。
7.3.2 Black-Scholes/Merton公式
)
(
)
( 2
1 d
N
Xe
d
N
Se
c rT
iT 



T
T
X
Se
d
T
i
r

 2
)
(
1
5
.
0
)
/
ln( 


T
d
d 

 1
2
)
(
)
( 2
1 d
N
Xe
d
SN
c rT




54.
 无股息支付的股票期权：b=r i=0
 固定股息收益率的股票期权（ Merton模型）:
b=r−δ δ为股息
 外汇期权：
若干种期权的定价方法：
)
(
)
( 2
1 d
N
Xe
d
SN
c rT



)
(
)
( 2
1 d
N
Xe
d
N
Se
c rT
T 


 
d f
b r r
 
)
(
)
( 2
1 d
N
Xe
d
N
Se
c T
r
T
r d
f 




55.
 期货期权：b=0 F=S
 期货式期货期权: b =0 r=0
 全部或无期权：All-Or-Nothing & Cash-Or-
Nothing
若干种期权的定价方法：
 
)
(
)
( 2
1 d
XN
d
FN
e
c rT

 
)
(
)
( 2
1 d
XN
d
FN
c 

)
(
)
(
)
(
)
(
)
Pr(
)
( 1
2
2
1
~
d
N
Se
d
N
d
N
d
N
Se
X
S
X
S
S
E
c iT
iT
T
T
T
AON







)
( 2
d
N
Xe
c rT
CON



56.
 在不同资产的定价模型当中， d1和d2的表达式
的形式会略有不同，但本质上都是一样的。一
般化的表达式为：
 M是期权到期时预期盈利的程度，因此，M等
于资产远期价格与期权执行价格的比率。也可
将远期价格相应地表示为资产价格的函数，即
d1和d2的等价表达式:
T
T
M
d

 2
1
5
.
0
ln 
 T
d
d 

 1
2
bT
F Se

)
/
ln(
)
/
ln(
ln X
Se
X
F
M bT



57.
 所有这些表达都是等价的
 d1和d2之间的关系始终不变
d1和d2的等价表达式:
)
/
ln(
)
/
ln(
)
/
ln(
)
/
ln(
ln )
( rT
T
r
b
rT
rT
bT
Xe
Se
Xe
Fe
X
Se
X
F
M 







T
T
M
T
T
X
Se
T
T
bT
X
S
T
T
b
X
S
d
bT








2
2
2
2
1
5
.
0
ln
5
.
0
)
/
ln(
5
.
0
)
/
ln(
)
5
.
0
(
)
/
ln(










T
d
d 

 1
2

58.
7.4 欧式看跌期权的定价

59.
 由中看跌-看涨平价关系式，得：
 标准化看跌期权也可视为由现金-无效看跌期
权和资产-无效看跌期权构成。
7.4 欧式看跌期权的定价
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
d
N
Se
d
N
Xe
d
N
Xe
d
N
Se
Se
Xe
c
Se
Xe
p
Xe
Se
p
c
iT
rT
rT
iT
iT
rT
iT
rT
rT
iT
























)
( 2
d
N
Xe
p rT
CON 
 
)
( 1
d
N
Se
p iT
AON 
 