1. Индивидуально - образовательный маршрут обучающегося
по теме «Логарифмические, уравнения, неравенства и системы уравнений»
В результате овладения содержанием темы учащиеся должны уметь:
1 уровень - решать простейшие логарифмические уравнения, неравенства и системы уравнений по
заданному алгоритму;
2 уровень - решать логарифмические уравнения, неравенства и системы уравнений, самостоятельно
выбирая метод решения;
3 уровень - применять полученные знания в нестандартной ситуации.
1.Логарифм. Свойства логарифма.
Основное логарифмическое тождество
ab ab
log
(b>0; b≠1; a>0)
2.Логарифм произведения:
  baab ccc logloglog 
3.Логарифм частного:
ba
b
a
ccc logloglog 





4.Логарифм степени:
aka c
k
c loglog 
a
n
a bbn log
1
log 
5.Переход к новому основанию:
b
a
a
c
c
b
log
log
log  ;
a
b
b
a
log
1
log  ;
6.
ab nn
ba loglog

1. Логарифм произведения
  )(log)(log)()(log xgxfxgxf ccc 
2. Логарифм частного
)(log)(log
)(
)(
log xgxf
xg
xf
ccc 





3. Логарифм степени
)(log)(log xfkxf c
k
c  , если к-чётное
a
n
a xfxf n )()(
log
1
log  , если n-чётное
Сравнение логарифмов с нулем: ablog
>0 тогда и только тогда, когда положительные числа a и b
лежат «по одну сторону от единицы»: a>0; b>0 и
(а-1)(b-1)>0.
ablog <0 тогда и только тогда, когда
положительные числа a и b лежат «по разные стороны от
единицы»: a>0; b>0 и (а-1)(b-1)<0
Методы решения логарифмических
уравнений
1. Простейшие уравнения
а)   bxfa log ; решение:
b
axf )(
б)    xgxf aa loglog 
решение:





)0)((0)(
)()(
xgилиxf
xgxf
2. По определению логарифма
а)   2232log 2
2  xxx ;
б)   07logloglog 127  xx
3. Потенцирование (применение
свойств логариф-ма)
а)
  3lg28lg
3
1
52lglg  xxx ;
Методы решения логарифмических неравенств
1. Простейшие неравенства
а)   bxfa log решение: если
b
axfтоа  )(,1 ,
если






0)(
)(
,10
xf
axf
тоx
и
б)    xgxf aa loglog 
решение: если


 

0).(
)()(
,1
xg
xgxf
тоa
если






0)(
)()(
,10
xf
xgxf
тоx
2. По определению логарифма
а)   2232log 2
2  xxx ;
б)   07logloglog 127  xx
3. Потенцирование (применение свойств

2. 4. Замена переменных
а) 0lglglg 3223
 xxx ;
5. Логарифмирование обеих частей
уравнения
 
10001,0 3lg
x
x
6. Приведение к одному основанию
5logloglog
3
133  xxx
логарифма)
  3lg28lg
3
1
52lglg  xxx
4. Замена переменных
0lglglg 3223
 xxx ;
5. Логарифмирование обеих частей уравнения
 
10001,0 3lg
x
x
6. Приведение к одному основанию
5logloglog
3
133  xxx
1 этап
По определению логарифма.
Указания учителя.
Вспомните основные правила решения логарифмических уравнений. Для этого прочитайте текст
( стр. 304-308 учебника под редакцией А.Г.Мордковича.)
Так решаются простейшие уравнения вида
𝑙𝑜𝑔𝑎 х = с. ОДЗ: х> 0.
х = ас
Пример. Решить уравнение log3 х (х − 2) =1.
Решение: ОДЗ: х(х-2) >0; х < 0, х> 2.
По определению логарифма х(х-2)=3 1 , х2 -2х -3 = 0. Отсюда х1=3, х2=-1.
С учетом ОДЗ получим х1=3, х2=-1.
Ответ: -1; 3.
Решите самостоятельно
Задания 1 варианта Б
аллы
Задания 2 варианта Б
аллы
log2x = -2
1
log3x = -2
1
log2 (3x+1) = 0
1
log3 (2x-3) = 2
1
log1/2(x2+ 0,5х)= 1
1
log8(x2-7х)= 1
1
Указания учителя.
Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки,
если они есть, проставьте количество баллов в оценочные листы. Если вы набрали 3 балла,то переходите
к следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта,аналогичное тому, в
котором ошиблись.
2 этап
Метод потенцирования (применение свойств логарифма)
Указания учителя.
Прочитайте внимательно данные ниже пояснения. Выполните самостоятельные работы.
Суть метода в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду    xgxf aa loglog 

3. 




)0)((0)(
)()(
xgилиxf
xgxf
Пример. Решите уравнение
log2(x-5) +log2(x+2) =3
Решение. ОДЗ:
х + 2 > 0
х − 5 > 0
. Но из этих двух неравенств автоматически (по свойству
транзитивности неравенств) следует, что х> 5.
Для решения уравнения воспользуемся правилом « сумма логарифмовравна логарифму
произведения». Оно позволяет заменить выражение
log2(x-5) +log2(x+2) выражением log2(x-5)(x+2).
Тогда заданное уравнение можно переписать так:
log2(x-5)(x+2)=3;
log2 (х2 -3х -10) = log28.
Потенцируя, получаем
х2 -3х -10=8;
х2 -3х -18=0; х1=-3, х2=6.
С учетом ОДЗ получим х=6. Ответ: 6.
Решите самостоятельно
Задания 1 варианта Б Задания 2 варианта Б
log0,5(4x-1) –log0,5(7x-3) =1
1
log1/2(x+9) - log1/2(8-3x) =2
1
log2 (x2+7х-5) = log2(4х-1) 1 Log 0,3 (-x2+5х+7) = log0,3(10х-7) 1
log0,4( x+ 2)+ log0,4( x+ 3)=
log0,4( 1-x)
1 log3(x-2)+ log3( х + 2) =
log3(2х − 1)
1
Указания учителя.
Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если
они есть, проставьте количество баллов в оценочные листы. Если вы набрали 3 балла, то переходите к
следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичное тому, в котором
ошиблись.
3 этап.
Метод подстановки.
Указания учителя.
Обычно замену (подстановку) производятпосле некоторых преобразований данного уравнения.
Прочитайте внимательно данные ниже пояснения, и выполните задания.
Пример.
Решите уравнение
log2
5 x-2log 5х = 3.
Решение ОДЗ: х> 0.
log2
5 x-2log 5х = 3.
Пусть log 5 х= а, тогда а2- 2 а -3 =0,
а1 =-1; а2 = 3. Поэтому log 5 х= -1 и log 5 х=3.
1) log 5 х= -1; х =
1
5
. 2) log 5 х=3; х = 125.
Ответ:
1
5
; 125.

4. Решите самостоятельно
Задания 1 варианта Б Задания 2 варианта Б
Log2
0,5 x + 3log0,5x = -2 1 3log2
1/2x+5 log1/2x=2 1
2log2
16 x = log16х+1 1 2log2
0,3 x -7 log0,3х=4 1
Log2
4 x- log4 x-2=0 1 Log2
2x-4log2 х + 3 = 0 1
Указания учителя.
Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если
они есть, проставьте количество баллов в оценочные листы. Если вы набрали 3 балла, то переходите к
следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичное тому, в котором
ошиблись.
4 этап
Метод логарифмирования.
Указания учителя.
Обычно логарифмируют уравнения вида 𝑓(𝑥) 𝑔( 𝑥)
= t (x ).
Поясним этот метод на примере.
 
10001,0 3lg
x
x
Решение. ОДЗ: х > −3.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
lg0,01хlg(х+3) = lg100;
lg(х+3)lg0,01= lg100;
lg(х+3)lg10-2= lg100;
-2 lg(х+3)=2;
lg(х+3)= -1;
х+3 = 10-1;
х =-3 +
1
10
; х=-2
9
10
. Ответ: х=-2
9
10
Решите самостоятельно
Задания 1 варианта Б Задания 2 варианта Б
 
813
log

x
x 2  
162log
x
x 2
 
16/1
2log5
 x
x 2  
9
3log1
 x
x 2
 
125,0
5,0log2
 x
x
2  
хx x
10001,0 lg
 2
Указания учителя.
Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если
они есть, проставьте количество баллов в оценочные листы. Если вы набрали 6 баллов, то переходите к
следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичное тому, в котором
ошиблись.
5 этап
Метод приведения к одному основанию.
Указания учителя.
Обычно условие примера подсказывает, к какому основанию следует перейти. Как правило, метод
приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки.
log3 х -2 log х 3 = -1

5. Решение. ОДЗ: х > 0.
Перейдем во втором слагаемом к основанию 3:
log3 х -2 log х 3 = -1.
log3 х- 2
log3 3
log3 х
= −1;
log2
3 х +log 3 х-2=0 .
Обозначим log 3 х= а, тогда а2 + а -2 = 0; а = -2, а = 1.
Получаем log 3 х =-2 и log 3 х=1.
Решим два уравнения:
log 3 х =-2;
х=3-2;
х =
1
9
.
log 3 х=1;
х = 3.
Ответ:
1
9
; 3
Решите самостоятельно
Задания 1 варианта Б Задания 2 варианта Б
log2 х +
4
logх 2
= 5 2 log2 х +
1
logх 2
= log2 16 2
log5 х + logх 25=3 2 log3 х + logх 9=1 2
logх 9х2
log2
3 х=4 2
Указания учителя.
Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если
они есть, проставьте количество баллов в оценочные листы. Если вы набрали 6 баллов, то переходите к
следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичное тому, в котором
ошиблись.
6 этап
Решение логарифмических неравенств.
Указания учителя.
С помощью методов решения логарифмических уравнений
(см.тема «Логарифмические уравнения и системы») логарифмическое неравенство свести к
простейшему, вида
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥)> b (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) < b).
Полученное неравенство записываем в виде 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥)>𝑙𝑜𝑔𝑎 а 𝑏
и делаем выводы:
1. если, а > 1, то 𝑓(𝑥) > а 𝑏
, решаем это неравенство;
2. если, 0 < а< 1, то 𝑓(𝑥) < а 𝑏
, решаем это неравенство.
При выписывании ответа не забывать, что, а>0, а≠1 и f(x)>0.
Аналогично поступаем при решении неравенства 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) <b.
а) Примеры.
log2(x2-5х -16)> 3.
ОДЗ: x2-5х -16>0;
х <
5−√89
2
, х >
5+√89
2
log2 (x2-5х -16)> 3 (так как 2>1),то
(x2-5х -16)> 2 3;
x2-5х -16> 8;
x2-5х -24>0;
х< -3, х>8. С учетом ОДЗ получим х< -3, х>8.
Ответ: х< -3, х>8.

6. Указания учителя.
Вспомните основные правила решения логарифмических неравенств. Для этого прочитайте текст
учебника под редакцией А.Г.Мордковича.
Решите самостоятельно
Задания 1 варианта Б Задания 2 варианта Б
log0,5(4x-1) –log0,5(7x-3)>1 1 log1/2(x+9) - log1/2(8-3x)>2 1
log2
2 x - 4log2 х< - 3 2 Log2
4x - log4 х- 2<0 2
Log2 (5x – 9 )> log2 (3x +1 ) 1 log2 (x2-6х+24)< 4 1
Прочитав указания учителя, ученик выполняет задания, которые включены в данный этап, и
проверяет их по эталонам решений. Если он решит не все задания, то должен решить задание другого
варианта, аналогичное тому, в котором допустил ошибку, и проставить баллы в графу
«Корректирующие задания».
7 этап
Системы логарифмических уравнений.
Указания учителя.
Используются приемы решения систем алгебраических уравнений, основные логарифмические
формулы и методы решения логарифмических уравнений.
Пример. Решить систему уравнений{
lg(2х − у) + 1 = lg( у + 2х) + lg6
2log3(х − у) = log3 у + 2).
Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:
lg(2х − у) + lg 10 = lg( у + 2х) + lg 6;
lg10(2х − у) = lg6( у + 2х);
10(2х − у) = 6( у + 2х),
Х=2у.
Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду:
log3(х − у)² = log3(у + 2) ;
( х - у)²= у + 2.
Решим полученную систему уравнений {
𝑥 = 2у,
(х − у)² = у + 2.
Подставив 2у вместо х во второе уравнение, получим ( 2у − у)² = у + 2 и далее у2 – у – 2 = 0,
У1=2, у 2=-1.
Соответственно, из соотношения 𝑥 = 2у находим х1 =4, х2 =-2.
Осталось сделать проверку найденных пар (4;2) и (-2;-1) с помощью условий, которые мы
определяем, анализируя исходную систему уравнений:
2х-у> 0,
у+2х >0,
х - у> о,
у+2> 0.
Пара (4;2) удовлетворяет, а пара (-2;-1) не удовлетворяет условию(например, она «не проходит» уже
через первое условие 2х-у> 0).
Ответ: (4;2).

7. Решите самостоятельно
Задания 1 варианта Б Задания 2 варианта Б
1.Решите систему уравнений
log4 х − log2 у = 0
𝑥2
-5у2+4=0 1
1.Решите систему уравнений
log2 ху=2
log2 х − log2 у=2
1
2.Решите систему уравнений
lg2
х+ lg2
у=5
lgх-lg у=1
2
2.Решите систему уравнений
log2( 𝑥2
+ у2) =5
2 log4 х + log2 у=4
2
3.Решите систему уравнений
4log4 х − 5log4 у=2
3log1
4
х + 5 log4 у=1
2 3.Решите систему уравнений
3log3 х + 2 log3 у=17
7 log1
3
х − 2 log3 у=29
2
Прочитав указания учителя, ученик выполняет задания, которые включены в данный этап, и проверяет их
по эталонам решений. Если он решит не все задания, то должен решить задание другого варианта,
аналогичное тому, в котором допустил ошибку, и проставить баллы в графу «Корректирующие
задания».
Задания для самостоятельной работы ( ЕГЭ)
Часть А (1 уровень)
1 вариант 2 вариант
1.Укажите промежуток, которому,принадлежит
корень уравнения
log0,7(2х + 3) =log0.7 3 + log0,7 2
1)[-1,2; 1,2); 2) [1,2; 3);
3) [3; 4,2); 4) [4,2;5,23).
1.Укажите промежуток, которому,принадлежит
корень уравнения
log1,1(5х − 3) =log1,1 3 + log1,1 5
1)[0,5; 2); 2) [2; 3);
3) [3; 4); 4) корней нет.
2.Решить неравенство
log0.8(0,25 − 0.1х) > −1
1)(2,5;+ ∞); 2) (-10;+ ∞);
3) (-+∞; 2,5); 4)(-10; 2,5).
2.Решить неравенство
log3(4 − 2х) > 1
1)(-∞; о,5); 2) (-∞; 2);
3) (2; +∞); 4)(0,5; +∞).
3.Решить систему
log2(х2
+ 3х − 2) − log2 у = 1
3х-у=2
1)(1; 1); (2;-4); 2) (-1,; 2); (2; 4);
3) (-2; 4); (-1;-2); 4) (1; 1); (2; 4) .
3.Решить систему
log3(х2
+ 4х − 3) − log3 у = 1
2х+у =7
1)(12; 31); (-2;3); 2) (-31,; 12); (2; 4);
3) (-12; 31); (2;3); 4) (12; 13); (-2; -3).
Часть В (2 уровень)
1 вариант 2 вариант
1.Для каждого значения а решить уравнение
8log2
а2 (х − а) − 6 log2
а2 (х − а) + 1 = 0
1. Для каждого значения а решить уравнение
2logх а +log а х а + 3 logа2
х а= 0
2.Решить неравенство
log2,5(х + 3) ≤ log15,625(х3
+ 117)
2.Решить неравенство
log2,1 √8− х
3
) ≥ log9,261(х2
− 12)
3.Решить систему
log2(х2
− ху + у2
) + log2 (х + у) = 1
2- log2 у =2log2(х + у)
3.Решить систему
log2(х2
+ у2
) = 5
2 log4 х + log2 у=4

8. Часть С (3 уровень)
1 вариант 2 вариант
1.Решить уравнение
3log6 (3 −
3
2х+3
) =4log6(2 +
1
х+1
) +3
1. Решить уравнение
2log12 (х +
6
х−5
) =log12(
3
х−2
−
2
х−3
) + 3
2.Решить неравенство
logх(2х2
+ х − 2) > 3
2.Решить неравенство
logх−1(12х − х2
− 19) > 3
3.Решить систему
log3
(5у − 3х + 9) = 2
log2( 7х − 5у +
1
5
)+ 3log8(5 х) = 0
3.Решить систему
log0.9(2у − 3х + 1) = 0
0,5 log2(3у − х − 1,5) + log4(8х) = 0