独立成分分析に基づく信号源分離精度の予測
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1) The document proposes a new metric to predict the accuracy of source separation by independent component analysis (ICA) using finite sample data, as directly calculating independence from theoretical distributions is not possible with limited samples. 2) An experiment shows high correlation (0.97) between the proposed metric, which calculates the squared error between sample expectations of signal sources, and actual ICA separation accuracy, allowing prediction of ICA performance before application. 3) The metric improves on existing metrics like symmetric uncertainty coefficient that rely on approximating distributions from finite bins, and enables advance assessment of ICA feasibility for problems involving mixing of multiple signal sources observed through limited sensor data.
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独立成分分析に基づく信号源分離精度の予測
- 1. 独立成分分析に基づく信号源分離精度の予測 Prediction of Source Separation Accuracy Based on Independent Component Analysis 北村大地（香川高専） 多田敏貴（岡山大） 小河晃太朗，寺尾美菜子，竹中一馬（横河電機） 令和3年度電気・電子・情報関係学会四国支部連合大会（SJCIEE） 第7分野 計測（I） Room 3 9:00～10:20 7-6
- 2. 研究背景 • 複数の信号源が混合する状況を想定 – 例：電流で生じる磁界をセンサで測定 • アンペールの法則 2 電流の位置ξ 電流の大きさJ 電流の向きj 磁界センサの位置xi 外部ノイズz 電流の大きさJ 電流の向きj 電流の大きさJ 電流の向き－j 往路電流の位置ξ 復路電流の位置ξ’ 外部ノイズz 磁界センサの位置xm 一本の電線の場合 複数の電線の場合 𝒙𝒊 = 𝜇0𝐽(𝒋 × 𝒓𝑖) 2𝜋 𝒓𝑖 2 + 𝒛 𝒙𝒎 = 𝜇0𝐽(𝒋 × 𝒓1𝑚) 2𝜋 𝒓1𝑚 2 − 𝜇0𝐽(𝒋 × 𝒓2𝑚) 2𝜋 𝒓2𝑚 2 + 𝒛
- 3. 研究背景 3 • 複数の信号源が混合したものを分離する必要がある – 独立成分分析（independent component analysis: ICA） [P. Comon, 1994] – 信号の条件（周波数，波形，SN比等）により分離成否が変化 ICAの分離精度を事前に予測する方法の確立を目指す 成功例 失敗例 観測 （混合信号） ICA後 （分離信号）
- 4. • ICAは信号源間の統計的独立性に基づいて分離 – 独立に近いほど分離は成功する – 分離の精度は信号源間の独立性を調べることで解析可 • 独立性の尺度（理論的な式） – 𝑝 𝑠1, 𝑠2 及び𝑝 𝑠1 と𝑝 𝑠2 は不明（無限個の標本データが必要） ICAの信号源分離の原理 4 𝑠1と𝑠2が独立 𝑝(𝑠1, 𝑠2) = 𝑝(𝑠1)𝑝(𝑠2) DKL 𝑝(𝑠1, 𝑠2) 𝑝(𝑠1)𝑝(𝑠2) = −∞ ∞ 𝑝(𝑠1, 𝑠2) log 𝑝(𝑠1, 𝑠2) 𝑝(𝑠1)𝑝(𝑠2) ⅆ𝑠1 ⅆ𝑠2 どの程度成立しているか？ ICA 混合信号1 分離信号1 統計的に独立 分離信号2 混合信号2
- 5. 問題のまとめ本研究の狙い • 問題のまとめ – ICAの分離精度の事前予測には信号源間の独立性が鍵 – 独立性の理論式の計算には信号源の分布が必要 • センサから得られる標本データは有限 • 有限個の標本データからは分布は推定不可能 • 研究の狙い – 有限個の標本データから算出できる独立性尺度を新たに提案 – ICAの分離精度を事前に予測できるかどうかを調査 5 ICAの分離精度を 有限個の標本データから予測することは難しい
- 6. • 対称不確実係数（symmetric uncertainty coefficient: SUC）[Kraskov+, 2004] – 標本データをビンで区切ってヒストグラムを作成し分布を近似 – 近似分布から近似相互情報量を算出 – SUC • 正規化相互情報量：SUC=0で独立，SUC=1で完全従属 有限標本から算出可能な独立性の既存尺度 6 Amplitude Time Frequency Amplitude 有限個のビンで ヒストグラム化 Amp. Amp. Freq. Freq. ：信号Xの 番目のビンに入ったサンプル数 ：信号Yの 番目のビンに入ったサンプル数 ：信号XとYが同時に 番目のビンに入ったサンプル数 ：信号XやYの総サンプル数（同じとする） 1ビンのサイズ ：信号1と2の近似相互情報量
- 7. 有限標本から算出可能な独立性の提案尺度 • ２つの信号を確率変数𝑋及び𝑌とする • 確率変数𝑋及び𝑌が独立である定義 • 期待値の定義： – 期待値の計算には無限個のデータが必要 – 現実では観測値として有限の標本データしかない • 標本期待値（期待値のサンプル近似） 7 同値 番目の標本データ
- 8. 有限標本から算出可能な独立性の提案尺度 • 提案尺度 – 標本期待値で置き換えた独立性の定義式の両辺の二乗誤差 – 但し1～4次の二乗誤差の総和とし，5次以降は計算しない • 高次統計量の推定は膨大な標本データを必要とするため 8 標本期待値で置き換え 二乗誤差を全次数の期待値で総和 二乗誤差の 乗
- 9. 実験条件：信号長の変化による相関の変化 • 正弦波と正弦波の混合 – ， – 振幅： で固定 – 周波数： と を2～60 Hzの総組み合わせ（但し1 Hz刻み） – 位相： • 信号の標本数 – 信号のサンプリング周波数：5 kHz – 信号長 [s]：0.5 • 混合行列 9
- 10. 実験結果 • 位相が𝜃1 = 0, 𝜃2 = 𝜋 2のときの結果 – 相関値：－0.02 10 非独立 独立 分離失敗 分離成功 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 SUC ICAの分離精度 既存尺度SUCの実験結果
- 11. 実験結果 • 位相が𝜃1 = 0, 𝜃2 = 𝜋 2のときの結果 – 相関値：0.97 11 非独立 独立 分離失敗 分離成功 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E-10 1.E-08 1.E-06 1.E-04 1.E-02 1.E+00 提案尺度 ICAの分離精度 提案尺度の実験結果
- 12. まとめ • 複数の信号源が混合されている状況を想定 – センサから得られる標本データは有限個 • ICAの適用前に分離精度の予測を行う – 有限標本データからは事前に予測するのは難しい • 信号源間の統計的独立性から新たな尺度を提案 – 各信号源の標本期待値の二乗誤差から構成 • 実験結果から提案尺度とICAの分離精度の相関は高い – 相関係数0.97 • ICAの適用前に分離精度の予測を十分にできる 12
Notas del editor
- 研究背景を説明します。 本研究では、複数の信号源が混合して観測される状況を想定します。 例として、電流センサの「単一点での」測定が挙げられます。 導線が1本しかない場合は、電流で発生する磁界を測定することで，アンペールの法則から電流の値を推定できます。 しかし、複数の導線が接近している場合は、各導線の電流の磁界が混合しますので，各導線の電流値を推定するには測定磁界の分離が必要となります。 このような信号源の分離は他にも様々な場面で必要となる技術です．
- 複数の信号源の混合を，事前情報無しで分離するアルゴリズムとして，独立成分分析，ICAがあります． ICAの理論は後程説明しますが，ICAは信号源の周波数や波形，SN比等の条件に依存して分離が成功したり失敗したりします． この図は上2つが，2個の正弦波が混合した観測信号であり，下2つがICAを適用した結果です． 左の信号はうまく分離していますが，右の信号は分離に失敗し波形が歪んでいます このICAの成功・失敗を事前に予測することは難しく，これまでのICAの歴史で議論すらされてきませんでした． そこで本研究では，与えられた信号源が混合した場合に，ICAで分離できるかどうかを事前に予測する方法の確立を目指します．
- ICAの原理は信号源間の独立性です．即ち，混合信号をICAに通して得られる分離信号が，互いに独立となるような分離系を推定します． 従って，混合する前の信号源が互いに独立であるほど，ICAの分離は成功するため，信号源間の独立性が分かれば，分離精度の事前予測ができます。 理論的には，独立性の尺度は，信号源の結合分布と周辺分布積，赤色と青色です，この2つの距離をKLダイバージェンスで測ればわかります． しかし，式中の確率密度関数p(s1)やp(s2)等は通常不明であり，これは無限個の標本データが必要ですので，実際にはこれは計算できません。
- ここまでの話をまとめます． ICAの分離精度の事前予測には，信号源間の独立性を算出する必要があります． しかし，独立性の理論計算には確率密度関数が必要であり，有限個の標本データからは求まりません． 従って，ICAの分離精度を有限標本データから予測することは難しいといえます． 本研究では，有限標本データから算出できる独立性の近似尺度を新たに提案し，その尺度がICAの分離精度の事前予測に利用できるか実験的に調査します。
- 有限標本データから独立性を測る近似尺度は過去にも研究されており，対称不確実係数，SUCがあります。 これは信号源の確率密度関数をヒストグラム化し近似する手法です． 各信号源の近似分布を求め，その相互情報量を算出し正規化したものがSUCとなり， 0の場合は2つの信号源が完全独立，1の場合は完全従属となります。
- 本研究で提案する独立性尺度は，確率変数の期待値を近似します． まず，こちらの独立性の定義式をn次期待値で表すと，この式になります． この式が全てのnで成り立てば独立といえますが，式中の期待値演算Eは，こちらのように密度関数p(X)を含みますので，やはり有限標本データからは計算できません。 そこで，こちらの「標本期待値」を使用します。 これは有限標本データから計算できる，期待値の近似となります。
- 提案尺度は，標本期待値で置き換えた独立性の定義式の両辺の二乗誤差です． つまり，一番上の定義式を標本期待値で置き換え，得られた式の両辺の二乗誤差を，全次数nに関して総和したものです． ただし，総和をする際に二乗誤差を1/n乗し，各次数の重みを等しく評価します。 本来はnは1から無限までですが，これも近似し，本研究ではn=1～4次でこの尺度を求めます．
- それでは、SUCと提案尺度がICAの分離精度とどの程度相関があるか，実験的に調査していきます。 今回は，2つの正弦波信号源の混合をICAで分離します． 振幅は同一とし，周波数を2~60Hzの間で1Hz刻みで変化させ，その総当たり組み合わせで実験します。 位相差はπ/2としました。 サンプリング周波数は5kHz、信号長は0.5 sです。 信号源の混合にはこちらの行列を用いました．
- これは，従来尺度のSUCの結果です． 周波数の異なる全3481パターンの分離結果を1点1点で示した散布図です． 横軸がICAの分離精度であり、左に行くほど分離成功，右に行くほど分離失敗を表します． また縦軸はSUCであり，下に行くほど独立，上に行くほど非独立と言っています． なので，左下から右上の対角線上にすべての点が並べば、ICAの分離精度とSUCの相関が1となり，分離精度の事前予測が可能です。 実際には相関値は-0.02となっており，これは相関無しといえます。 なので，SUCからICAの分離精度を予測することはできません。
- 次は提案尺度の結果です。 縦軸は提案尺度になっています。 この図では，ICAの分離精度と提案尺度の相関値が0.97となっており，強い正の相関を表しています。 したがって、提案尺度の値が低いほどICAは成功しやすいと言え、という分離精度の事前予測ができます。