Cuaderno de trabajo SEC para reforzar aprendizajes en matemáticas y español

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GOBERNADOR CONSTITUCIONAL DEL ESTADO DE COAHUILA
Lic. Rubén Ignacio Moreira Valdez
SECRETARIO DE EDUCACIÓN
Ing. José María Fraustro Siller
SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA
Profra. Ma. Dolores Torres Cepeda
DIRECTORES DE NIVEL
INICIAL
Profra. Ana MargaritaVillarreal Muñoz
Profra. Norma Yolanda Padilla Salas
PREESCOLAR
Profra. Dolores Alicia Leza González
Profra. María del Rosario Sánchez Martínez
PRIMARIA
Profr. Ferdinando Ramos Maldonado
Profr. Roberto de los Santos Martínez
SECUNDARIA
Prfr. Jorge Isidro del Bosque Hernández
Profr. José Andrés Mendoza Morales
COORDINACIÓN DE INNOVACIÓN Y CALIDAD EDUCATIVA
Profr. Melchor Maldonado Jiménez

3
El presente cuaderno de trabajo “Secuencias, juegos y conexiones didácticas” de las
asignaturas de Español y Matemáticas fue elaborado por los maestros de las Unidades
Académicas de los niveles educativos de la Subsecretaria de Educación Básica. Con
el propósito de contribuir en el Reforzamiento Académico de los contenidos que
presentan algún grado de dificultad para elevar la calidad educativa de de niños,
niñas y jóvenes en las diferentes regiones del Estado.
Coordinación General
Secretaría Técnica de la SEC
Asesoría, Sección, Estrategias Generales:
Dolores Flores Ortiz
J. Guadalupe Villegas Díaz
Rosario García Rodríguez
Cudberto Barajas Coronado
Autores:
Elías Lumbreras Flores
Enrique González Ramírez
J. Guadalupe Villegas Díaz
Ma. Adelaida Gutiérrez Romo
Coordinación Editorial
Dolores Flores Ortiz
Colaboradores
Blanca Villarreal
Guillermina Leticia Carmona Pequeño
Diseño
Jorge Alberto Cano Rosiles
Liliana Isabel Gutiérrez Orozco
Liliana Patricia Hernández Elizondo
Segunda Edición Secretaría de Educación

4
Índice Página
Presentación
3
Introducción
4
Estrategia de activación escolar para el tratamiento de los contenidos de difícil
comprensión 7
Organización del programa de matemáticas en la RIEB
10
Componentes curriculares y contenidos de difícil comprensión en el 2do. Y 3er.
Ciclo de Educación Primaria 11
Aprendizajes esperados
12
I. Los Números Fraccionarios y sus Operaciones
13
II. Geometría
24
III. Manejo de la Información 59
IV. Unidades del Sistema Métrico Decima 68
Bibliografía
83
Comentarios y sugerencias
84

5
Presentación
El presente documento plantea un enfoque promisorio del quehacer educativo
del Estado. La visión es convertir a Coahuila, en una entidad que irrumpa hacia
estándares altos de desarrollo, gracias a la mejora en la Calidad Educativa. La
gran tarea es la búsqueda y consolidación de un perfil ciudadano, que
enfrente los desafíos impuestos por la modernidad en la multi perspectiva
social.
La Secretaría de Educación del Estado de Coahuila, reconoce a la educación
como un concepto elemental en el desarrollo humano, que por añadidura,
tiene como fin el fortalecimiento social. En la educación se privilegian las
habilidades como el eje motor del aprendizaje, se busca la formación de
individuos preparados, competentes y creativos en los ámbitos de su propia
particularidad dentro de un marco referencial.
El fenómeno educativo va más allá de cumplir con la formalidad de una
currícula, el desempeño de una labor administrativa o un campo de gestión
ante la autoridad. La educación, hoy en día, es un ente regulador de la
organización social. Valorar la acción educativa es asumirla como el eje rector
que motivará las transformaciones sociales. Para ello, el propio sistema
institucional, debe tener como principio la mejora continua de la organización.
Uno de los planteamientos de la política educativa del Estado, es fortalecer un
programa de mejora continua, que impulse la calidad con perspectivas de
elevar la eficiencia terminal de los coahuilenses. Para cumplir los objetivos, se

6
proyectan una serie de acciones concatenadas para iniciar el mejoramiento
de la enseñanza en la Educación Inicial y Básica.
En el marco de esta fundamentación y con el propósito integrar a la
comunidad educativa en una nueva dinámica, se implementa en el ciclo
escolar 2012-2013, el cuadernillo de trabajo: “Juegos, Secuencias y Conexiones
de la Didáctica-Matética”. El material es un apoyo pedagógico que motiva el
trabajo en las aulas para promover la construcción de aprendizajes
significativos en los alumnos.
La propuesta se centra en la dinámica docente, con perspectiva a dinamizar
las estrategias operadas en las aulas, y así, alcanzar los objetivos trazados en la
currícula de educación inicial y básica. La idea se sustenta en la necesidad
que tiene la figura educativa de reivindicarse como un gestor del aprendizaje y
no como un reproductor de contenidos. La acción concreta a reforzar, es
renovar los procesos de enseñanza aprendizaje en el aula. Nuevos medios
suponen herramientas atractivas que facilitan la compresión en los alumnos y,
posiblemente, se cumplan las expectativas de los aprendizajes esperados.
El presente documento de trabajo, considera al docente como eje central en
el diseño de la iniciativa. Como principio se respeta la particularidad de cada
uno, pero se implementa una secuencia didáctica especial. El maestro
requiere, como paso inicial, detectar los elementos que obstaculizan el trabajo
en el aula. Luego actúa en consecuencia, para generar armonía e integrar el
desarrollo de habilidades en los alumnos.

7
Los niños y jóvenes son la estructura humana secuencial para cambiar el
paradigma de desarrollo del Estado. Las acciones que se consoliden en el
presente, repercuten en el mediano y largo plazo. El maestro es un valioso
gestor de cambios, una herramienta emergente en la nueva
conceptualización del proyecto educativo.
Secretaría de Educación
Coahuila

8
Introducción
En la actualidad el papel de los docentes está centrado fundamentalmente en
que las reformas educativas lleguen a la escuela y a las aulas, por lo tanto, el
docente se convierte en el actor clave del proceso de transformación
educativa.
Se han desarrollado diversas iniciativas en este rubro, sin embargo en esta
ocasión el reto es analizar y reflexionar sobre la importancia de reconocer que
la enseñanza de las matemáticas y el español se pueden guiar sólo y sí el
docente tiene consolidado el contenido del currículo de Educación inicial y
básica.
La principal forma de abordar esta acción es dándole énfasis al trabajo
docente en colectivo, donde se encuentra una fuente inagotable de
experiencias de aprendizaje decente que en la cotidianeidad del quehacer
escolar se intercambia e impacta la práctica pedagógica, además, el
colectivo es un elemento sustancial para dar fundamento a las decisiones
didácticas tomadas y acordadas en la escuela.
El colectivo, en su totalidad es el responsable del trabajo pedagógico en la
escuela, de ellos depende el éxito o el fracaso en cada una de las aulas, así
como el resultado de las estrategias pedagógicas y didácticas implementadas,
La sociedad actual exige ciudadanos cada vez más competentes que logren
obtener e identificar información, que resuelvan problemas más complejos que
aquellos que establecen una relación directa y evidente, que realicen
deducciones, que interpreten relaciones directas en contextos específicos y
puedan llegar a conclusiones sobre temas relevantes que les permita mejorar
su nivel de vida.

9
Para estructurar este material, un equipo de asesores técnico se dio a la tarea
de identificar las problemáticas de aprendizaje, es decir se realizó un
diagnóstico de los aprendizajes no consolidados que prevalecen en la
educación de Coahuila, el referente principal fueron los resultados de las
evaluaciones internacionales, nacionales y estatales, aplicadas tanto a
alumnos y alumnas como docentes, (ENLACE, EXCALE, Olimpiada del
Conocimiento, Diagnóstico Estatal y Exámenes Nacionales de Actualización
para Maestros en Servicio).
El análisis de resultados permitió identificar con precisión los contenidos de difícil
comprensión y elaborar estrategias comunes, que con rumbo y eficacia,
permitan a los docentes y colectivos escolares de educación inicial y básica
decidir y actuar en forma racionalizada.
Este fue un análisis funcional, colectivo, participativo e inclusivo, ya que los
diferentes niveles y áreas de la Secretaría de Educación del Estado estuvieron
representadas por los asesores técnico pedagógicos responsables de los
procesos de la capacitación y actualización docente.
En general a continuación se enlistan los contenidos de difícil comprensión
identificados para llevar a cabo el cuadernillo de trabajo: “Juegos, Secuencias
y Conexiones de la Didáctica-Matética”.

10
Estrategia de activación escolar para el tratamiento de los contenidos de difícil
comprensión
La estrategia es un acompañamiento pedagógico, que se concibe como una
alternativa de mejora continua, para la escuela y en la escuela.
El programa pretende apoyar los esfuerzos educativos que se realizan en el
aula, ofrece a los maestros experiencias pedagógicas que le permitan generar
aprendizajes integrales para el tratamiento de los contenidos de difícil
comprensión.
Objetivos:
1. Mejorar el rendimiento académico de los alumnos y alumnas de
educación inicial y básica.
2. Fortalecer los aprendizajes docentes que permitan a los profesores
resolver problemas, analizar, aplicar y producir conocimientos.
3. Implementar un modelo sistemático e integrador que fortalezca a
la Estrategia Estatal de Mejora del Logro Educativo en el que los
docentes construyan y retroalimenten sus conocimientos en
colaboración con sus pares propiciando el encuentro personal
entre quien quiera aprender una competencia y quien posee esa
competencia a través de la metodología de Relaciones Tutoras.
En el aula el maestro es el locutor, es quien se encarga de propiciar el
desarrollo intelectual de sus alumnos y alumnas, por lo anterior, el dominio y
manejo didáctico de los contenidos curriculares, son una exigencia para el
desempeño profesional del docente.
La Estrategia es una más de las acciones para la profesionalización de los
docentes de educación inicial y básica que la Secretaría de Educación
emprende.
El modelo de trabajo se fundamenta en la propuesta de relaciones tutoras, en
donde se propicia que los estudiantes desarrollen la competencia de aprender
a aprender a partir de situaciones y que se sienta acompañado y acompañe a
otros para adquirir la competencia.
Como apoyo a la Estrategia, se presenta este Cuaderno de Trabajo para el
tratamiento de los contenidos de difícil comprensión, se busca promover el

11
aprendizaje en colectivo, el acompañamiento académico y el papel activo
del maestro en y para su formación.
La práctica educativa cotidiana constituye el elemento central de nuestra
propuesta, por lo tanto, concebimos a la escuela como el espacio en donde la
capacitación se concreta como modelo de mejora de los aprendizajes.
El modelo de capacitación aspira a la formación de un profesor “tutor”
responsable y comprometido con su escuela, sus alumnos y alumnas y su
profesión. La actuación del maestro estará acompañado de un diálogo
oportuno, inventivo, ágil que permita ocasionar interrogantes a los alumnos y
reaccionar para encontrar ,,,
Estrategia Metodológica:
Los materiales diseñados para el tratamiento de contenidos de difícil
comprensión en Educación Básica es una propuesta didáctica dirigida a
docentes con el propósito de impactar el aprendizaje de los alumnos y
alumnas y mejorar el logro educativo, su implementación se realiza dentro de la
escuela y a través del colectivo docente como principal generador de
estrategias áulicas.
El papel fundamental de esta estrategia de trabajo lo llevan quienes la hacen
realidad en el contexto escolar, los maestros, así entonces su participación
comprometida y responsable es la clave para el éxito, el logro docente está
centrado en la capacidad de aprendizaje interactivo que tiene lugar en la
escuela.
Los directores serán promotores del desarrollo y participación comprometida
de los docentes en esta tarea, deberán involucrarse en el proceso y evaluar el
resultado de las actividades propuestas, intervendrán de acuerdo a la
necesidad para asegurar el éxito del colectivo, en coordinación con el
supervisor de zona verificarán y apoyarán a los docentes para que en la
planeación diaria, incluyan las actividades para la atención de los contenidos
de difícil comprensión.
La Tutoría y la asesoría académica a la escuela
La asesoría es un acompañamiento que se da a los docentes para la
comprensión e implementación de las nuevas propuestas curriculares. Su reto
está en la resignificación de conceptos y prácticas.

12
Tanto la tutoría, como la asesoría suponen un acompañamiento cercano; esto
es, concebir a las escuelas como un espacio de aprendizaje y reconocer que
el tutor y el asesor también aprenden.
Considerando que la estrategia metodológica de relación tutora, se propone
desarrollar una serie de acciones con el propósito de hacer uso de los
materiales que diseñaron los cuerpos académicos de la Subsecretaría de
Educación Básica (Cuaderno de Trabajo para el tratamiento de los contenidos
de difícil comprensión) como apoyo para mejorar los resultados del logro en
contenidos de Español y Matemáticas.
 Difusión de los Cuadernos de Trabajo en la página web de la SEC
 Invitación a maestros de Educación Básica a participar en el curso para
fortalecer la Estrategia Estatal de Mejora del Logro Educativo.
 Proceso de capacitación para analizar los materiales y fortalecer la
estrategia de relación tutora.
 Diferenciar la estrategia en cada nivel.
 Establecer mecanismos de seguimiento y evaluación.

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Matemáticas
Contextos numéricos y funciones del número
 Cardinal
 Ordinal
 Mixto
 Códigos
 Cálculo
 Memoria de la cantidad
 Valores y equivalencias
 Secuencias
Números fraccionarios y sus operaciones
Conteo
Resolución de problemas
 Aditivos
 Multiplicativos (razones y proporciones)
 Tablas y gráficas
 Escala
Geometría
 Relaciones topológicas (área)
 Relaciones tridimensionales (cuerpos)
 Ángulos, lados, paralelismo, simetría
Principios de álgebra
 Identifica regularidades numéricas y patrones
 Complementos aditivos y multiplicativos
 Fórmulas
 La potencia
 El porcentaje
Medición
 Abstraer las propiedades de magnitudes continuas y discontinuas de los objetos-
sistema de medición decimal.
Cálculo mental
 Descomposición de números
 Regularidades numéricos
 Complementos aditivos, multiplicativos
 Desarrollos aritméticos

14
Organización del programa de matemáticas en la RIEB
Los contenidos que se estudian en la educación primaria se han organizado en tres ejes
temáticos, que coinciden con los de secundaria:
Sentido numérico y pensamiento algebraico alude a los fines más relevantes del estudio de la
aritmética y del álgebra:
 La modelización de situaciones mediante el uso del lenguaje matemático.
 La exploración de propiedades aritméticas que en la secundaria podrán ser formuladas
y validadas con el álgebra.
 La puesta en juego de diferentes formas de representar y efectuar cálculos.
Forma, espacio y medida encierra los tres aspectos esenciales alrededor de los cuales gira, en
la educación inicial y básica, el estudio de la geometría y la medición:
 Explorar las características y propiedades de las figuras geométricas.
 Generar las condiciones para que los alumnos y alumnas ingresen en un trabajo con
características deductivas.
 Conocer los principios básicos de la ubicación espacial y el cálculo geométrico.
Manejo de la información incluye aspectos que en la sociedad actual, asediada por una gran
cantidad de información que proviene de distintas fuentes, hace que su estudio desde la
educación básica sea fundamental. Los alumnos y alumnas de primaria tendrán la posibilidad
de:
 Formular preguntas y recabar, organizar, analizar, interpretar y presentar la información
que dé respuesta a dichas preguntas.
 Conocer los principios básicos de la aleatoriedad.
 Vincular el estudio de las matemáticas con el de otras asignaturas.
En estos programas, la vinculación se favorece mediante la organización en bloques temáticos
que incluyen contenidos de los tres ejes. Algunos vínculos ya se sugieren en las orientaciones
didácticas y otros quedan a cargo de los profesores o de los autores de materiales de
desarrollo curricular, tales como libros de texto o ficheros de actividades didácticas.
Un elemento más que atiende la vinculación de contenidos es el denominado “aprendizajes
esperados”, que se presenta al principio de cada bloque y donde se señalan, de modo
sintético, los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos y alumnas deben alcanzar
como resultado del estudio del bloque correspondiente. Cabe señalar que los conocimientos y
habilidades en cada bloque se han organizado de tal manera que los alumnos y alumnas
tengan acceso gradual a contenidos cada vez más complejos y a la vez puedan relacionar lo
que ya saben con lo que están por aprender. Sin embargo, es probable que haya otros criterios
igualmente válidos para establecer la secuenciación y, por lo tanto, no se trata de un orden
rígido.
Lo que aquí te presentamos, es una alternativa para la autoformación, en términos de los
contenidos de bajo dominio que las evaluaciones externas no han arrojado, no pretendemos
sustituir los componentes curriculares que la RIEB ha prescrito para la educación básica en
nuestro país.

15
Competencias que se favorecen:
• Resolver problemas de manera autónoma
• Comunicar información matemática
• Validar procedimientos y resultados
• Manejar técnicas eficientemente
Tercer grado
Bloque III
• Resuelve problemas de reparto cuyo resultado sea una fracción de la forma m/2n. 1
Bloque IV
• Resuelve problemas que impliquen dividir mediante diversos procedimientos. 16
Bloque V
• Utiliza unidades de medida estándar para estimar y medir longitudes. 15
Cuarto grado
Bloque II
• Identifica fracciones de magnitudes continuas o determina qué fracción de una
magnitud es una parte dada.
2
• Identifica y representa la forma de las caras de un cuerpo geométrico. 10
• Identifica ángulos mayores o menores que un ángulo recto. Utiliza el
transportador para medir ángulos.
13
Bloque III
• Identifica expresiones aditivas, multiplicativas o mixtas que son equivalentes, y
las utiliza al efectuar cálculos con números naturales.
18

16
• Identifica problemas que se pueden resolver con una multiplicación y utiliza el
algoritmo convencional en los casos en que es necesario.
15
Bloque IV
• Resuelve problemas que implican identificar la regularidad de sucesiones
compuestas.
15
• Resuelve problemas que impliquen dividir números de hasta tres cifras entre
números de hasta dos cifras.
20
• Resuelve problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de un
rectángulo cualquiera, con base en la medida de sus lados.
10
Bloque V
• Identifica y genera fracciones equivalentes. 7
• Utiliza el cálculo mental para obtener la diferencia de dos números naturales de
dos cifras.
15
Quinto grado
Bloque I
• Identifica rectas paralelas, perpendiculares y secantes, así como ángulos agudos,
rectos y obtusos.
9
Bloque II
• Resuelve problemas que implican el uso de las características y propiedades de
triángulos y cuadriláteros.
10
Bloque III
• Calcula el perímetro y el área de triángulos y cuadriláteros. 10
• Resuelve problemas de valor faltante en los que la razón interna o externa es un
número natural.
11

17
Bloque IV
• Identifica problemas que se pueden resolver con una división y utiliza el algoritmo
convencional en los casos en que sea necesario.
15
• Resuelve problemas que implican conversiones entre unidades de medida de
longitud, capacidad, peso y tiempo.
12
• Resuelve problemas que implican leer o representar información en gráficas de
barras.
17
Bloque V
• Explica las similitudes y diferencias entre el sistema decimal de numeración y un
sistema posicional o no posicional.
16
• Usa fracciones para expresar cocientes de divisiones entre dos números naturales. 6
• Resuelve problemas que implican identificar la regularidad de sucesiones con
progresión aritmética o geométrica.
11
• Resuelve problemas que implican multiplicar números decimales por números
naturales.
15

18
Sexto grado
Bloque I
• Resuelve problemas que impliquen leer, escribir y comparar números naturales,
fraccionarios y decimales, explicitando los criterios de comparación.
8
• Resuelve problemas aditivos con números naturales, decimales y fraccionarios que
implican dos o más transformaciones.
8
Bloque II
• Calcula porcentajes e identifica distintas formas de representación (fracción común,
decimal, %).
4,5,
6,15
Bloque III
• Resuelve problemas que involucran el uso de medidas de tendencia central (media,
mediana y moda).
16,17.
Bloque IV
• Explica las características de diversos cuerpos geométricos (número de caras,
aristas, etc.) y usa el lenguaje formal.
11,12, 13
14, 15
Bloque V
• Resuelve problemas que implican identificar la regularidad de sucesiones con
progresión aritmética, geométrica o especial.
13,14
• Resuelve problemas que implican multiplicar o dividir números fraccionarios o
decimales con números naturales.
15
• Resuelve problemas que implican comparar dos o más razones. 2

19
I.- Los Números Fraccionarios y sus Operaciones
El concepto de fracción
Objetivo: Propiciar en el alumno la construcción del concepto de fracción.
La fracción como signo pertenece al campo de la semiótica – estudio de los signos-; como tal
requiere de recursos conceptuales, vocabulario y mediación significativa para su cognición, ya
que la fracción como signo, a su vez, requiere de la comprensión sintáctica y semántica del
número –signo-.
La sintaxis describe las reglas de construcción de las grafías matemáticas. La semántica
describe en la fracción la contraposición del uso convencional del signo –número-, la
comprensión por contraposición requiere de mediaciones cognitivas. Por ello, el análisis
programático, la diferenciación progresiva del contenido y las mediaciones cognitivas
(manipulación objetiva), determinarán en gran medida la instrumentación didáctica y la
apropiación del contenido.
En un proceso de enseñanza es necesario que el docente conozca las diferentes
interpretaciones de la fracción:
1. La fracción como expresión numérica. Es importante que los niños manejen la fracción
asociadas a una unidad de medida. Por ejemplo, ¾ de litro, ½ metro y no como
fracciones sin ninguna relación( ½ , ¾)
2. La fracción como razón. Esta interpretación se da cuando se comparan unidades de
diferente magnitud, la forma natural de la unidad no existe como tal, existe la idea de
par ordenado y la relación se escribe a:b.
3. La fracción como porcentaje. Es la relación de proporcionalidad entre el número cien y
la cantidad en referencia, por eso se le llama porcentaje. Ejemplo: 2 de cada 5 niños
tienen zapatos, es lo mismo que decir 40 %.
4. La fracción como medida. La pulgada es un buen auxiliar – en principio -, para
conceptuar a la fracción como unidad de medida, ya que en esta situación la fracción
está asociada a un punto en la recta y representa el valor de cada segmento en el que
se ha dividido la unidad base.
5. La fracción como parte de una figura. La fracción representa la relación existente entre
el todo y el número de partes en que se ha dividido la figura, ¾, tres de cuatro.
6. La fracción como cociente. Esta interpretación se asocia a la operación de dividir un
número natural entre otro.
Desde la perspectiva del uso de la fracción en la solución de problemas, podríamos
plantearnos la siguiente pregunta:
¿Es posible que el alumno comprenda todos los significados de la fracción?
Si intentáramos encontrar la respuesta, posiblemente encontraríamos las mismas dificultades
que los alumnos y alumnas. En relación con el proceso enseñanza/aprendizaje de la fracción,

20
y en especial el aspecto conceptual, hay que señalar algunas consideraciones de suma
importancia que requieren de un tratamiento especial:
a) Hay que trabajar primero las relaciones conceptuales.
b) El significado o aspecto conceptual (constructo), debe ser enriquecido en diversos
contextos y no sólo con la idea de fraccionamiento o partición secuencial.
c) Ejercitar el uso de la fracción como medida, cociente, razón y operador; no limitarse al
uso mecánico del algoritmo.
d) El algoritmo y su uso convencional han de ser la parte final del proceso y no el principio.
Ejercicios:
Aprendizajes Esperados Usa fracciones para expresar cocientes.
1. La fracción como expresión numérica. Es importante que los niños manejen la fracción
asociadas a una unidad de medida. Por ejemplo, ¾ de litro, ½ metro y no como fracciones sin
ninguna relación (½, ¾)
Si tienes los siguientes envases:
1 kilo 1/2 kilo ¼ kilo
¿De cuántas maneras diferentes puedes reunir 1 kilogramo de azúcar?
_____________________________
¿De cuántas maneras diferentes puedes reunir 1 y medio kilogramo de frijol?
________________________
¿De cuántas maneras diferentes puedes reunir 1 ¾ kilogramo de arroz?
_______________________________
Utilizando los medios y los cuartos, ¿puedes hacer 5 Kilos de frijol? ______________
¿Cuántos de cada uno utilizaste?_________________________________________
Si quieres 2 ½ kilos de azúcar utilizando sólo los cuartos, ¿puedes hacerlo?
¿Cómo?_______________________________________________________________

21
Aprendizaje esperado: Aplica el factor constante de proporcionalidad para resolver problemas
de valor faltante.
2. La fracción como razón. Esta interpretación se da cuando se comparan unidades de
diferente magnitud,”una razón es pues la comparación entre dos cantidades”. Una razón se
puede escribir en forma de quebrado. Al primer término se le llama numerador o antecedente,
al segundo se le llama denominador (divisor), consecuente; para encontrar el valor de una
razón se divide su antecedente entre el consecuente.
Ejemplos:
La razón de 4 a 5 se escribe 4: 5 = 4/5; 4 entre 5 = .8 = 8/10 = 80/100 = 80%
La razón de 3 a 4 se escribe 3: 4 = 3/4; 3 entre 4 =.75 = 75/100 = 75 %
En un aula, por cada 4 hombres hay 7 mujeres. Si el número de alumnos es 16 ¿Cuántas
alumnas tiene el aula? Se lee 4 es a 7, 16 es a 28; 4/7 = 16/28.
En parejas trabajen con los siguientes ejercicios, completen la tabla y justifiquen sus
respuestas.
Si por 4 tacos se pagan 6 pesos, ¿cuánto se pagará por 10 tacos?
En un puesto de frutas, las mandarinas se venden a 3 por 5 pesos. ¿Cuántos pesos se pagará
por 2 docenas de mandarinas?
En una tienda de mascotas, el precio de 3 codornices alcanza para comprar 2 docenas de
pollitos ¿Cuántos pollitos se necesitan para canjearlos por 5 codornices?
Hombres 4 8 12 16
Mujeres 7 14 21 28
Tacos
Pesos

22
Para alimentar a dos ponis se necesitan 22 kg. de pasto al día. ¿A cuántos ponis se podrá
alimentar con 110kg. de pasto al día?
En la siguiente tabla anota la fracción que representa la razón de cada uno de los ejercicios
Tacos Mandarinas Codornices Ponis
3. La fracción como porcentaje. Es la relación de proporcionalidad entre el número cien y la
cantidad en referencia, por eso se le llama porcentaje. Ejemplo: 2 de cada 5 niños tienen
zapatos, es lo mismo que decir 40 %.
Pedro tenía $ 80 pesos. Si gastó el 20% y dio a su hermano el 15% del resto, ¿cuánto le
queda?
Cantidad 20% 15% del resto Diferencia
80
¿A cómo hay que vender una camisa que costó $ 680 pesos para ganar el 15% en la venta?
Determina:
35% de una
hora
20% de 45 l5% de 4 25% del 20%
de 80
70% de 5/2

23
Calcula el número que aumentado en un 25% es igual a 400 _____________
Una persona gastó 1.475 pesos, lo que equivale al 25% de su dinero. ¿Cuánto tenía?______
Un hombre al morir dispone que su fortuna, que asciende a 2’000,000.00 pesos, se entregue
el 35% a su hijo mayor, el 40% del resto a su hijo menor y lo restante a un asilo. ¿Cuánto le
correspondió al asilo?
35% hijo mayor 40% del resto Cantidad para el asilo
4. La fracción como medida. La pulgada y el metro son un buen auxiliar – en principio -, para
conceptuar a la fracción como unidad de medida, ya que en esta situación la fracción está
asociada a un punto en la recta y representa el valor de cada segmento en el que se ha
dividido la unidad base.
0 100 cm
a) la fracción que representa 4/5 del metro se ubica en_________
b) el 30% de la medida del metro es igual a: __________
c) 7/10 del metro es igual a:_______________
d) .20 del metro es igual a:________________
5. La fracción como parte de una figura. La fracción representa la relación existente entre el
todo y el número de partes en que se ha dividido la figura, ¾, tres de cuatro.
Si tenemos los siguientes dibujos que simulan un vaso cilíndrico:
1/4 1/2 1/2 ¾
4/8 1/2 3/4 2/4
a).¿En cuáles vasos no se derramaría el líquido si pasamos el de la izquierda hacia el de la
derecha? __________________

24
b). En los otros casos. ¿Qué cantidad de líquido habría que dejar en el primer vaso para que
no se derrame? ______________________________
c). ¿Qué porcentaje en el recipiente que contiene ¾ quedaría? _____________________
6. La fracción como cociente. Esta interpretación se asocia a la operación de dividir un
número natural entre otro.
Si José tiene 24 chivas, ¿cuántas tendrá cuando las represente como 7/6? ______________
¿Cuál es el monto de 2/7 de un depósito bancario de 4,582.45 pesos? _______________
De un grupo de personas que solicitan trabajo, sólo se acepta a 65. Estas representan 5/6 del
total ¿Cuál es el número de solicitantes? ____________
7.- Ejercicios
a) Completa la siguiente tabla.
Nº de
perros
Nº de
gatos
Fracción
de
gatos
Fracción
de
perros
Razón % de
perros
N°
decimal
gatos
b) Observa y luego completa.
Cuerpos en total ____________ Cubos en total _____________ Conos en total
___________
Cilindros en total __________ Esferas en total _____________
Fracción de cubos Fracción común simplificada
Fracción de conos Fracción común simplificada
Fracción de esferas Fracción común simplificada

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Fracción cilindros Fracción común simplificada
c) Observa y completa la siguiente tabla
Objetos
Fracción común con
denominador 10
Fracción común
simplificada
Tanto por ciento
Cubos
Cilindros
Esferas
Conos
d) Si estos objetos estuvieran en una caja y te taparán los ojos ¿qué objeto sería más
probable que sacaras?
Es más probable sacar _____________ Es poco probable sacar_______________
Es igual de probable sacar_______________________________________________
e) La probabilidad de un evento indica la posibilidad de que este evento ocurra. La
probabilidad se puede representar aritméticamente.
Utilizando los datos de la tabla anterior determina mediante un número fraccionario la
probabilidad que tienes al sacar un objeto.
La probabilidad de sacar una esfera es La probabilidad sacar un cilindro es
La probabilidad de sacar una cubo es La probabilidad de sacar el cono es
f) La probabilidad también se puede expresar porcentualmente
Existe un de probabilidades de sacar una esfera. La probabilidad sacar un cilindro es
La probabilidad de sacar un cubo es La probabilidad de sacar el cono es

26
El es la misma probabilidad para sacar cilindro o una esfera.
g) Con los datos que se encentraran en la etiqueta de las botellas completa la
siguiente tabla.
Cm3
mililitros gramos
Litro
expresados
en fracción
común
simplificada
Fracción
común con
denominador
100
Se lee %
Número
decimal
1/2
75 por ciento
200 20/100
.25
60

27
8.- Ejercicios de reafirmación
 Si el área del triángulo mayor es 640 cm2
¿Cuál es área del triángulo rectángulo y qué
porcentaje del triángulo mayor es?
 De una caja que contiene un lápiz rojo, un azul, un verde y un negro ¿Cuál es la
probabilidad de sacar el lápiz rojo, sin ver en su interior?
 Sin ver en el interior de un bote que contiene los siguientes botones: dos verdes, tres
amarillos, cinco rojos y dos blancos ¿Cuál es la probabilidad de sacar un botón blanco?
 Sofía puso a llenar una cubeta en la llave del agua a la mitad, su tía le sacó 4 litros y
quedó un cuarto. ¿Cuál será la capacidad de la cubeta?
 Tres de cada cinco libros de una biblioteca tienen ilustraciones, si en la sección de
ciencias hay un total de 530 libros, ¿cuántos de éstos tienen ilustraciones?
 A un estadio asistieron 4800 personas, de éstas el 68% son hombres, el 25% son
mujeres y el resto son menores de edad. ¿Cuántos menores de edad hay en el estadio?
 Tres llaves tardan en llenar una pipa de agua 4, 6, y 12 horas respectivamente, si se
abren las tres llaves al mismo tiempo para llenar más rápido la pipa, ¿Qué porcentaje
de la pipa se cubrirá en una hora? ¿En cuánto tiempo se llenará?
 En la parte baja de una cisterna hay 500 litros de agua, lo que representa ¼ del total,
por su forma la capacidad se reduce en un 20% cada cuarta parte de su altura.
¿Cuál es la capacidad total de la cisterna?___________________________________
¿Cuántos decímetros cúbicos habrá cuando su capacidad está al 75%) ___________

28
 Sandra, Julia y Francisco han recibido la misma cantidad de bombones. Sandra se ha
comido 5/6, Francisco 7/12 y Julia 3 de cada cuatro. ¿A quién le quedan más
bombones?_______________
 En un reloj de manecillas….
a).¿Cuántos minutos son dos quintas partes de una hora?
b).¿Qué parte de una hora son cinco minutos?
c).¿Cuántos minutos son dos terceras partes de tres cuartos de hora?
Considera los siguientes esquemas para las cuestiones que se te plantean.
A B C D
a). ¿Cuántas unidades del tipo B caben en el cuadrado C?__________________
b). ¿Cuántas unidades del tipo D caben en C?____________________________
c). ¿Qué parte de B es C?___________________________
d). ¿qué parte de B es D?___________________________
 Del dinero que le regalaron a Juan Carlos -180. 00 - por su cumpleaños, utilizó tres
quintas partes para comprar un juguete. ¿Cuánto costó el juguete? _______________

29
0 1 2
a) ¿Qué fracción representa la letra C? ______
b) ¿Qué letra corresponde al salto 1.7? ______
c) ¿Qué letra representa 3/10? _____________
d) ¿Qué letra corresponde a la fracción menor? ________
¿Por qué? R= ________________________
 Completa la siguiente tabla
Repartir en partes
iguales
Entre
A cada uno le
corresponden
Fracción
del total
8 personas media manzana
1 pizza 4 personas
12 chocolates 4 chocolates
2 personas 1 plátano
6 dulces 1/3
 El equipo de caminata
Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema:
El equipo de caminata de la escuela practica en un circuito de 4 km. El maestro registra el
recorrido de cada uno de los integrantes en una tabla como la siguiente; analicen los datos y
completen la tabla anotando su equivalente en kilómetros.
Nombre Pedro Víctor Silvio Eric Irma Adriana Luis María
Vueltas 1/2 1/4 4/5 2 7/8 0.75 1.25 1.3 2.6
Km
A
B
C
D

30
II Geometría
Aprendizaje esperado: Traza y define rectas paralelas, perpendiculares y secantes, así
como ángulos agudos, rectos y obtusos.
I .- Trazo de Paralelas y de Perpendiculares
Desde la antigüedad, el hombre ha dado mucha importancia al trazo de paralelas y
perpendiculares, ya que son la base de todas sus construcciones. En Egipto, por ejemplo, no
se levantó ningún edificio sin examinar cuidadosamente cada paso de su construcción.
Con estacas y cordeles
hacían las perpendiculares
Cada bloque se examinaba
con la escuadra
La plomada servía, para
hacer verticales los muros
Para trazar paralelas utilizamos las
escuadras, como se ve enseguida
Para trazar perpendiculares, se puede usar
la escuadra y también el compás
Una recta completa no puede medirse porque no tiene fin; su extensión es ilimitada.
Supongamos que queremos terminar la recta empezada aquí:
_______________________________________________________

31
Aunque añadiésemos a ambos lados de esta hoja, otras hojas o tiras de papel de 100 metros o
de 1,000 metros, nunca acabaríamos de trazar la línea, pues podríamos seguir agregando y
agregando tiras y más tiras de papel y seguiríamos trazando la recta sin acabarla jamás.

32
Lo que sí podemos medir es una parte de una recta. Cualquier parte de una recta se conoce
con el nombre de segmento.
__________________ Este segmento mide 4 centímetros.
__________ Este segmento mide 2 centímetros.
Cuando nos dicen: “traza una recta”, debemos entender que lo único que se traza es un
segmento de ella; pero éste basta para indicar la posición de toda la recta.
Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas, cada una de las cuales nos indica un punto.
Así, al decir recta AB, entendemos que es la recta que pasa por los puntos A y B.
Si se trata de un segmento usamos las mismas letras, pero ponemos una rayita arriba , lo
que indica que se trata de la distancia que hay entre A y B.
Toda recta que divide en dos partes iguales a una figura se llama bisectriz. Las líneas de
puntos son las bisectrices de las figuras:
Si una recta divide a un segmento en dos partes iguales es, pues, su bisectriz; pero si, además,
es perpendicular a él recibe el nombre de mediatriz. Para construir la mediatriz de un
segmento, se apoya el compás alternativamente en cada uno de los extremos del segmento, se
trazan arcos a ambos lados y se unen los puntos donde se cruzan los arcos, como se indica en
la ilustración:
A B
AB

33
Para trazar líneas perpendiculares usa la escuadra, así:
Para hacer un cuadrado usa siempre la escuadra y serán perpendiculares sus lados: mide
éstos con una regla, para que tengan exactamente la misma medida.
Los lados opuestos del cuadrado son paralelos, porque están siempre a la misma distancia.
Paralelas
Las líneas paralelas son como las rayas de tu cuaderno, los rieles del ferrocarril, los alambres
de la luz, etc.

34
Para trazar líneas paralelas usa la escuadra apoyada sobre la regla, así:
Las dos líneas que en el cuadrado forman el ángulo recto se llaman: perpendiculares.
Estas líneas también son perpendiculares:

35
a) Dado el segmento de recta traza la bisectriz ED
b) Dada el segmento construye un triángulo cuya perpendicular sea 3 unidades y el
punto de intersección esté a 2 unidades del punto A.
c) El triángulo construido es: _____________________________-
Dado el siguiente par de rectas traza la mediatriz.
d) En cada caso determine que recta es mayor:
AB
A B
AB
A B

36
C B A C
A B
A
D C D B
Recta:___________ Recta:___________ Recta:____________
e) Escribe el nombre de las siguientes líneas
 ¿Qué ángulos forman dos rectas perpendiculares?
 Traza la mediatriz del siguiente segmento
f) Escribe el nombre a cada uno de estos ángulos:
g) Observa el siguiente ángulo:
A B
¿Cómo se le puede llamar a la recta que divide al ángulo
en partes iguales?
a).______________________________________
b).______________________________________
c).______________________________________
II . Principales Figuras Planas

37
Los triángulos, cuadriláteros, polígonos y círculos se llaman figuras planas porque todas sus
partes están en un mismo plano, como el plano de una hoja de papel, el plano del pizarrón, el
plano de una pared, etc.
Las figuras planas limitadas por líneas rectas tienen el mismo número de lados que de ángulos.
Se dividen en dos grandes grupos:
1º Figuras regulares: las que tienen sus ángulos y sus lados iguales.
2º Figuras irregulares: las que tienen ángulos y lados desiguales.
Regular Regular Irregular Irregular
Triángulos
La palabra triángulo significa tres ángulos; luego, los triángulos son las figuras que tienen tres
ángulos y tres lados.
a) El triángulo regular, o sea el que tiene sus ángulos y sus lados iguales, se llama
triángulo equilátero. La siguiente ilustración nos muestra cómo podemos trazar un
triángulo equilátero usando el compás y la regla.
b) Los triángulos irregulares son: el isósceles, que tiene sólo dos lados iguales, y el
escaleno, cuyos tres lados son diferentes.
Triángulo
isósceles
Triángulo
escaleno
También se construyen usando el compás y la regla. Las ilustraciones indican cómo
Triángulos isósceles. Ejemplo: lado desigual o base, 2 cm; lados iguales, 2.4 cm cada uno.
Triángulo escaleno. Ejemplo: un lado de 4 cm. otro de 3 cm y otro de 2 cm
2 cm 2 cm 2 cm
2.4 cm 2.4 cm

38
a) Marca en los siguientes triángulos su altura.
 Señala los triángulos que estén delineados por un ángulo obtuso.
 Marca los triángulos que tienen dos ángulos iguales y dos lados perpendiculares.
 Escribe a cada triángulo su nombre.
 ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos internos de un triángulo?_________.
b) Dado el triángulo ABC, identifique su punto medio P.
A
C
B
c) En una recta de 6 cm. marca el centro, con la regla y el compás traza un triángulo
equilátero. Indica la medida de sus ángulos internos.
4 cm
2 cm
3 cm 3 cm
4 cm
2 cm

39
d) El maestro Enrique propuso a sus alumnos y alumnas la siguiente actividad: Construyan
un triángulo equilátero de 9 cm. de lado. Posteriormente dividan cada lado en tres
segmentos iguales. Unan los límites de los segmentos intermedios; Observa la figura
que se construyó. ¿Qué perímetro tiene?
Aprendizaje esperado: Conoce las características de los cuadriláteros.
III . Cuadriláteros
La palabra cuadrilátero significa cuatro lados. Los cuadriláteros se dividen en tres grandes
grupos:
A
E
F
G BH
I
C
D

40
El único cuadrilátero regular es el cuadrado. Para construir un cuadrado se necesita conocer la
medida de unos de sus lados o una de sus diagonales. Por ejemplo:
Paralelogramos
Son los que tienen
sus lados opuestos
paralelos
Trapecios
Sólo tienen 2
lados paralelos
Cuadrado
Rombo
Rectángulo
Romboide
Trapecios
{
{
{
{
{
{
Los 4 lados iguales y
los 4 ángulos rectos.
Los 4 lados iguales,
2 ángulos agudos iguales y
2 obtusos iguales.
Lados iguales de 2 en 2 y
los 4 ángulos rectos.
Lados iguales de 2 en 2,
2 ángulos agudos iguales
y 2 obtusos iguales.
Trapezoides: Los que no tienen lados paralelos
90°
Lado:
Diagonal:

41
Aprendizaje esperado: Traza circunferencias y algunos de sus elementos (radio, diámetro,
centro) y resuelve problemas que implican calcular su longitud.
a) Doña Tere le pidió a Don Toño el albañil, que cambiara el azulejo de las paredes de
su cocina. Don Toño le contesto – yo cobro 60 pesos por metro cuadrado-. La parte
sombreada representa el área del azulejo que hay que cambiar. ¿Cuánto tendrá que
pagar doña Tere? R:__________
b) Determina el área de la parte sombreada de las figuras.
c) De la siguiente figura determina el área de las figuras inscritas:
Semicírculo:_____________, cuadrado:____________ , triángulo:____________
¿Qué área es mayor, la blanca o la negra? R:_______________
2 m
4 m
2 m
3 m
2 m
4 m
3.1 cm
2.3 cm 7 M
7 M14 cm
5 cm
2.5 cm
3.5 cm
1 cm

42
d) Julio va a colocar piso en la parte central de su patio y en los extremos pondrá
pasto, el siguiente dibujo muestra como lo hará, ¿qué cantidad de piso
necesita?_________________________
7m
12m
Si el rollo de pasto cuesta 75 pesos el metro
cuadrado, ¿cuánto costará cubrir las
áreas?________
8m
e) María camina diariamente, si da cuatro vueltas y la alameda mide .15km de ancho y
.57 km de largo ¿Cuántos kilómetros camina diarios?______ ¿Cuántos kilómetros
camina durante quince días?________
f) La escuela “México” presentará una tabla gimnástica alusiva a la Revolución
Mexicana, para lo cual elaboraron mosaicos de 45 X 45 cm, si participan 15 filas con
doce alumnos y alumnas en cada una, ¿qué medida tendrá la imagen formada con
los mosaicos?__________
¿Cuál es el perímetro ocupado por la imagen?_________
g) ¿Cuántas piezas de mosaico se necesitan para cubrir el piso de una habitación que
mide 6m de largo y 4 m de ancho? considera que las dimensiones del mosaico son
de 45 cm por lado. _____________________________________
h) En el grupo de Luis hay 45 alumnos, cada uno de ellos construyó con cartoncillo un
dm lineal de 1 cm de ancho, para luego juntarlos y formar metros cuadrados.
¿Cuántos metros cuadrados se podrán formar?
1 cm

43
i) Un perro está atado a una cadena de 2 m de largo unida mediante una argolla, a
una barra en forma de ángulo recto cuyos lados miden 2 m y 4 m. La argolla de la
cadena puede desplazarse libremente por toda la barra. Sombrea toda la región en
la que el perro puede estar.
¿Cuál es el área total de la región que abarca el perro?
j) Un agente de bienes raíces fue a ofrecer un terreno, cuya superficie era de 216
metros cuadrados. El presunto comprador le preguntó cuales eran las dimensiones
(largo y ancho) y el hombre contestó; se me olvidó el dato, pero recuerdo muy bien
que el perímetro total del terreno es de 60 metros.
¿Podría deducir usted con estos datos el largo y ancho del terreno? ____________
4 M
2 M
2 M

44
IV. El Círculo
Instrucciones: Trabajando primero con la figura adjunta y los datos que se te dan, en parejas,
relacionen las dos columnas; justifiquen y coloquen el número dentro del paréntesis que le
corresponde.
1. La línea que limita un
círculo se llama.
2. Su trazo es un segmento
recto que une dos puntos de
la circunferencia y delinea a
su vez un eje de simetría.
3. Segmento recto que une
dos puntos y no pasa por el
centro de la circunferencia.
4. Delinea la distancia que
hay del centro del círculo a un
punto cualquiera de la
circunferencia.
5. Superficie delineada por
ángulo cerrado de 3600.
6. Segmento recto que sólo
toca un punto del perímetro.
( ) Cuerda.
( ) Circunferencia.
( ) Tangente.
( ) Diámetro.
( ) Círculo.
( ) Radio.

45
El círculo en el cilindro
1.- En parejas, respondan lo que se les pide y justifiquen sus respuestas.
a) ¿Cuántas caras laterales tiene? ____________ ¿Qué forma tienen y cómo son entre
sí?___________________________________________________________________
b) ¿Cuántas bases tiene?__________________________________________________
c) La circunferencia en este cuerpo se denomina:_____________________________
d) La superficie que ocupa una de sus caras laterales la podemos determinar
conociendo___________________________________________
e) La longitud del perímetro de una de las bases circulares es igual a:________________
.1415926

46
2.- En parejas resolvamos el siguiente problema.
Algunas medidas de una llanta de automóvil son las siguientes
¿Cuál es la medida del diámetro total externo de una llanta185/60R14?
El primer número nos da la medida de lo ancho de la llanta en milímetros.
El segundo número es la medida de la altura del costado, dada en porcentaje del ancho de la
llanta.
El último número es el diámetro del rin en pulgadas.
Ancho Altura Diámetro del rin
Medida del diámetro externo de una llanta185/60R14:_______________________
¿Cuál es la medida del segmento de recta que describe un giro de la llanta185/60R14?
___________________________________________________
Llantas: 185/60R14, 295/50R14, 235/70R14: Si la medida del rin es constante, ¿cuál de las
medidas de la llanta nos dará mayor rendimiento por litro de combustible?
_______________________________________________________

47
3.- Para responder a las siguientes preguntas trabaja primero con la figura adjunta y los datos
que se te dan.
¿Qué es un círculo?_________________________________________________
¿Qué es una circunferencia?__________________________________________
El perímetro de un círculo es igual a la medida de________________________
Radio = 5 cm. Diámetro =___________
Área =
Perímetro =
4.- Si a los datos anteriores les adjuntas 12 cm de altura ¿qué forma geométrica delinearías?
Radio = 5 cm
Diámetro =
Área =
Altura =
Volumen =
5.- Para determinar el volumen del cono realiza el ejercicio que se te propone.
Materiales: agua, cono, y cilindro (misma altura y diámetro); llena el cono de agua y vacíalo en
el cilindro. ¿Cuántas veces cabe el contenido del cono en el cilindro?___
Radio = 5 cm, Altura = 12 cm
Área del círculo _________
Volumen del cono ___________
El volumen de la pirámide es la tercera
parte del prisma que la determina.
6cm
6 cm
6 cm

48
V. El círculo y los polígonos inscritos
El trazo de la circunferencia es muy útil para
la construcción de polígonos inscritos en
ellas. Así, para hacer un cuadrado se traza
primero la circunferencia, y luego dos
diámetros perpendiculares. Los extremos
de los diámetros se unen y se forma el
cuadrado.
Para trazar un octágono basta trazar las
bisectrices de los ángulos que forman dos
diámetros perpendiculares y unir,
sucesivamente, los puntos señalados en la
circunferencia.
Si con la medida del radio, trazamos tres
arcos y los unimos ordenadamente,
delineamos un triángulo equilátero
inscrito.
Si con el radio de una circunferencia se
trazan cuerdas, una a continuación de otra,
se forma un hexágono inscrito.

49
VI. El círculo y sus ángulos
Los ángulos se miden en grados (º), y se da el valor de 360º al ángulo de una vuelta.
Cada grado tiene 60 minutos (‘), y cada
minuto, 60 segundos (“).
1º = 60’ 1’ = 60”
1º = 60’ = 3,600”
Ángulo de = 360°
El transportador lo debes colocar así: El punto que marca la mitad en la base del transportador
tiene que colocarse en el vértice del ángulo (origen del radio). La línea base del ángulo
(diámetro) debe señalar el 0 del transportador.
Los ángulos se clasifican de acuerdo con su valor:
1. Recto es el que mide un cuarto de vuelta (90º).
2. Colineal, el que mide media vuelta (180º llano).
3. Perígono, el que mide una vuelta entera (360º).

50
13.- Ejercicios de retroalimentación
1.- Con un poco de imaginación el presente gráfico representa el dispositivo mecánico de la
bicicleta, obsérvalo y responde las interrogantes que de él se desprenden.
Si el círculo B es tres veces menor que C y dos veces mayor que A;
¿Cuántos giros da C cuando B da tres revoluciones?
a) 1/3 de giro. b) 3 giros. c) 2 giros. d) 6 giros.
2.- El avance de este dispositivo está determinado por:
a) El perímetro de B. b) El perímetro de A. c) El perímetro de C. d) La relación entre A y B
3.- Semánticamente al siguiente gráfico no se le puede llamar:
a) ángulo llano
b) perígono
c) circunferencia
d) círculo
C
A B

51
4.- En el terreno de mi abuelito Lorenzo, que está en Monclova, Coahuila, queremos hacer una
pista para patinar. El arquitecto hace el siguiente diseño. La región del centro es pasto y el
resto será cemento pulido.
¿Cuál es el área del pasto? __________________
¿Cuál es el área del cemento? _______________
¿Cuál es el área total? _____________________
5.- En el grupo de Carlos construirán un túnel de 1.8 m de altura y 2 m de fondo, ¿qué cantidad
de varilla necesitan para una estructura de tres arcos y la base?______________
Si el túnel lo van a cubrir con tela, ¿qué cantidad necesitan comprar?_____________________
7 m
3.5 m

52
VII. Polígonos
La palabra polígono significa muchos ángulos, y con ella se pueden nombrar todas las figuras
planas limitadas por líneas rectas; así, un polígono de tres ángulos es un triángulo; uno de
cuatro ángulos es un cuadrilátero; los de cinco ángulos se llaman pentágonos; los de seis
ángulos hexágonos; los de ocho ángulos octágonos. Los hay de 15, 20, 100 ángulos, y así
hasta llegar al que tiene un número tan grande de lados que no se pueden contar y que se
denomina círculo.
Pentágono Hexágono Octágono Círculo
Círculo
Recordemos que todo objeto que tiene la forma de una rueda, de una moneda, etc., es
circular, ya que su superficie principal tiene la figura de un círculo.
Cuando un polígono tiene sus vértices en una
circunferencia, ese polígono está inscrito en la
circunferencia (“inscrito” quiere decir trazado dentro); en ese
caso la circunferencia está circunscrita al polígono
(“circunscrito” significa trazado alrededor).
Para trazar un octágono basta trazar las
bisectrices de los ángulos que forman dos
diámetros perpendiculares y unir,
sucesivamente, los puntos señalados en
la circunferencia.
Como lo vimos en el tema anterior, si con
el radio de una circunferencia se trazan
cuerdas, una a continuación de otra, se
forma un hexágono inscrito.

53
Trazando los radios que van a los vértices de cualquier polígono regular inscrito, el polígono
queda dividido en triángulos iguales.
Cada ángulo cuyo vértice está en el centro mide la quinta, la sexta o la octava parte de 360º,
según los lados sean 5, 6 u 8; así, en el pentágono, cada ángulo mide 72º, en el hexágono 60º
y en el octágono 45º.
Esta propiedad nos sirve para trazar un polígono regular de cualquier número de lados. Por
ejemplo, para construir un pentágono se traza una circunferencia y uno de sus radios; sobre
este radio, y con vértice en el centro, se traza un ángulo de 72º; se toma la medida de la cuerda
y se repite ordenadamente esta medida en toda la circunferencia; se unen los puntos y se
obtiene el pentágono. La ilustración indica los pasos mencionados:
14.- Ejercicios de Retroalimentación
1.- En los siguientes polígonos traza sus ejes de simetría y responde a las siguientes
preguntas.
a).- ¿Qué relación encuentras entre el número de ejes de simetría y el número de lados de las
figuras regulares? __________________________________________
b).- Las alturas del triángulo equilátero son ejes de simetría?_________________
c).- ¿Las diagonales del cuadrado son ejes de simetría? ____________________
e).- ¿Las diagonales de cualquier polígono regular son ejes de simetría? _______
f).- Un polígono tiene 8 ejes de simetría. ¿Escribe tres características del
polígono?____________________________________________________________________
_____
h).- ¿Qué clase de triángulo tiene más ejes de simetría? ___________________
Pentágono Hexágono
Octágono

54
2.- Observa las figuras del recuadro y contesta las preguntas:
a) ¿Cuál de las figuras no tiene diagonales ni ejes simétricos?___________.
b) ¿Qué figura tiene solamente un par de lados paralelos?_________________________.
c) ¿Qué figura no es un polígono?________________________.
d) ¿Qué figura al trazar sus diagonales coincide con los ejes simétricos?______________.
e) ¿En cuáles figuras al trazar sus ejes simétricos se forman triángulos
equiláteros?_________________.
f) ¿En qué figura sus diagonales forman líneas perpendiculares?___________________.

55
VIII. Cuerpos geométricos
La siguiente guía de trabajo te permitirá reforzar y ejercitar estos contenidos. Lee atentamente
las instrucciones y no olvides revisar cada actividad una vez terminada.
1. Completa la tabla siguiente.
Cuerpo Número de
caras
Número de
vértices
Número de
aristas
 ¿Cuántas aristas tiene un prisma de base triangular?
 ¿Y una pirámide de base triangular?
 ¿Qué diferencia hay entre un prisma y una pirámide?
_________________________________________________________________________

56
2. Describe cada uno de los elementos que se señalan.
3.- La siguiente guía te permitirá ampliar los contenidos trabajados. Por medio de la resolución
de problemas. Lee atentamente las instrucciones e identifica los cuerpos que se te describen.
 Tacha los cuerpos que son pirámides.
 Tacha los cuerpos que son cubos.
 Tacha el o los cuerpos que tienen 6 vértices.
 Tacha los cuerpos que no tienen 12 aristas.

57
4.- La familia Hernández se mudará a otra ciudad por lo que necesitan empacar sus muebles
¿Cuántos metros de cartón necesitarán para cubrir el refrigerador si mide 1.8 m de altura .8m
de fondo y .9m de ancho?
5- Elena tiene 48 cubos de colores y va a construir tres prismas diferentes. ¿Qué dimensiones
deberán tener los prismas si ocupa los 48 cubos en cada construcción? Dibújalos.
6.- Un ladrillo mide 20 X 10 X 5 cm. ¿Cuántos ladrillos se necesitarán para formar un metro
cúbico? _______________________________________________
7.- Luis trabaja en una fábrica de perfumes, donde se encarga de acomodar paquetes de 1
decímetro cúbico en grandes cajas de 1 metro cúbico. ¿Cuántos paquetes caben en una caja?
1 m
1 m
1 m

58
Aprendizajes esperados:
- Construye y calcula la superficie lateral y total de prismas y pirámides.
- Resuelve problemas que implican calcular el volumen de prismas mediante el conteo de
unidades cúbicas.
- Resuelve problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de
capacidad.
 Si el volumen de un cubo es 512 cm3
, encuentra su área total y la dimensión de su
arista.
 Calcula el volumen de un cilindro de altura 10 cm. y de radio basal 2 cm.
 Calcula el área total y el volumen de un paralelepípedo de aristas 2 cm, 5 cm y 8 cm
 Determina el área total y el volumen de un cubo:
a) de arista 2 cm.
b) en que el área de una de sus caras es 36 cm2
.
c) en que el perímetro de una cara es 36 cm.
 Calcula el volumen de:
a) un cilindro de altura 9 m. y de diámetro basal 2 m.
b) Un cono de altura 8 cm. y perímetro basal 12 cm.
 ¿Cuál es la medida de la arista de un cubo cuya área total es de 64 cm2
?
 Encuentra las dimensiones de la base de un paralelepípedo rectangular de 720 cm3
y
15 cm. de altura, si el largo de la base es el triple del ancho.
 El radio basal de un cilindro es 35cm. y su altura es el doble del diámetro de la base.
Calcula el volumen total del cilindro y el volumen del cono de las mismas medidas.

59
IX. Ángulos
Aprendizaje esperado: Traza polígonos regulares inscritos en circunferencias o a través de
la medida del ángulo interno del polígono.
Observemos esta figura:
Del punto 0 parten dos rayos: el señalado con a y el
señalado con b. Si el rayo a gira alrededor del punto 0
hasta llegar al b, se ha descrito el ángulo m; entonces
podemos decir que un ángulo es la abertura entre dos
rayos que parten de un mismo punto. En otras
palabras: es la amplitud de la rotación de una recta que
gira en torno de un punto fijo.
El punto del que parten los rayos se llama vértice del ángulo, y los rayos, lados del ángulo.
Los ángulos se miden en grados (º), y se da el valor de 360º al ángulo de una vuelta.
Cada grado tiene 60 minutos (‘), y cada minuto, 60
segundos (“).
1º = 60’ 1’ = 60”
1º = 60’ = 3,600”
El valor de un ángulo no depende del tamaño de los lados, sino de la abertura de ellos, o sea,
de la amplitud de la rotación.
Todos estos ángulos son
iguales
Como el ángulo de una vuelta mide 360º, el ángulo de media vuelta medirá 180º, y el de un
cuarto de vuelta, 90º.
Lados perpendiculares

60
Los ángulos se clasifican de acuerdo con su valor:
1. Recto es el que mide un cuarto de vuelta (90º).
2. Colineal, el que mide media vuelta (180º).
3. Perígono, el que mide una vuelta entera (360º).
Para trazar estos ángulos no necesitan del transportador, los rectos (se trazan dos
perpendiculares), los colineales y perígonos (basta una línea).
4. Agudos son los ángulos que miden menos de un cuarto de vuelta, es decir, que están
comprendidos entre 0º y 90º (como el ángulo a).
5. Obtusos, los que miden más de un cuarto de vuelta, pero menos de una media vuelta, o
sea, entre 90º y 180º (como el ángulo b).
6. Entrantes, los que miden más de media vuelta y menos de una vuelta, o sea, entre 180º
y 360º (como el ángulo c).
Para medir y para trazar ángulos de determinada medida usamos el transportador.

61
El transportador lo debes colocar así:
El punto que marca la mitad en la base del transportador tiene que colocarse en el vértice del
ángulo. La línea base del ángulo debe señalar el 0 del transportador. La perpendicular señala
el número 90. Esto quiere decir que el ángulo mide 90 grados. Para escribir grados pones un
pequeño cero a la derecha y arriba de la cantidad, ejemplo: 90º.
Los ángulos rectos miden siempre 90º
En el siguiente ángulo el transportador marca 45º, es un ángulo agudo.
Ángulos agudos son lo que miden menos de 90º
La línea señala 120º. Así formas un ángulo obtuso, porque mide más de 90º.
Ángulos obtusos son los que miden más de 90º y menos de 180º
Existen otros que pueden construirse utilizando el juego de escuadras.

62
Con una escuadra podemos trazar ángulos
de 45º y 90º, y con la otra, ángulos de 30º,
60º y también de 90º.
Con las dos escuadras juntas podemos
trazar otros muchos ángulos. A la derecha
vemos cómo trazar uno de 75º.
Para trazar la bisectriz de un ángulo, como dijimos anteriormente, la semirrecta que lo divide
en dos partes iguales, podemos medir el ángulo con el transportador y dividirlo entre dos; sin
embargo, resulta más fácil usar el compás y la escuadra o la regla.
1.- En la siguiente figura el valor del ángulo C es:
21°
a) 45°
b) 43°
c) 22°
C
45º 22º
2.- Luis invitó a sus amigos a jugar al tiro al blanco, él tiene una ruleta como la siguiente.
A
J R
J O

63
a) ¿Qué ángulo se forma con las líneas J, centro, R?___________________.
b) ¿Con qué líneas se forma un ángulo llano?_________________________.
c) ¿Cuánto mide el ángulo que se forma con las líneas D, centro J?_________________
d) ¿Qué nombre recibe el ángulo que se forma con las líneas F, centro, D?____________
e) ¿Con qué líneas se forma un ángulo obtuso?________________________.
3.- Martín tiene un terreno de forma triangular y quiere comprar otro que lo colinda, que medida
corresponde a los siguientes ángulos.
60° medida del < h ___ medida del < x ___
terreno a comprar
x h

64
 Encuentra la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros
dos son: a) 67° y 47° b) 22° y 135°
 En un triángulo isósceles, el ángulo exterior del vértice mide 70º. ¿Cuánto miden los
ángulos interiores de la base?
 El ángulo A de un triángulo ABC cualquiera mide 52º; si el ángulo B es tres veces mayor
que el ángulo C. ¿Cuánto mide el ángulo C?
 En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en la razón de 5:4. ¿Cuánto miden
estos ángulos?
 Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 3:4:5. ¿Cuánto miden estos
ángulos?
 En un triángulo ABC cualquiera, el ángulo A tiene 15º más que el ángulo B y éste 12º
más que el ángulo C. Determina el valor de los ángulos exteriores de este triángulo.
 En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos exteriores de la base con el
ángulo exterior del vértice es 243ª. Calcula la medida del ángulo interior del vértice.
 En un triángulo un ángulo mide 47º y el segundo tiene 17º más que el tercero. Calcula
la medida de los ángulos interiores del triángulo.
 En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos tiene 20º más que el otro.
¿Cuánto miden los ángulos agudos?

65
Como determinar el valor de los ángulos internos de un polígono regular
Figura Lados
Suma de los
ángulos interiores
Forma Cada ángulo
Triángulo 3 180° 60°
Cuadrilátero 4 360° 90°
Pentágono 5 540° 108°
Hexágono 6 720° 120°
Cualquier
polígono
n (n-2) × 180° (n-2) × 180° / n
Ejemplo: ¿Qué pasa con un decágono (10 lados)?
Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440°
Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°

66
III. Manejo de la Información
Aprendizaje esperado. Resuelve problemas que involucran el uso de las medidas de
tendencia central (media, mediana y moda).
Medidas de tendencia central en un conjuntos de datos
Una medida de posición es un valor calculado de un grupo de datos que sirve para describir a
éstos de alguna manera. Lo interesante es que este valor sea representativo de todos los
valores del grupo, motivo por el cual se trabaja con el promedio. En sentido estadístico, un
promedio es una medida de la tendencia central de una serie de valores.
Rango
El rango, o R, es la diferencia entre el dato más alto y el dato más bajo de una serie de datos,
Sí, My o Dm (valor mayor), Mn o dm (valor menor), entonces R = My – Mn o Dm – dm
Ejemplo 1.
Dados los siguientes datos determinar el rango: 8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11. R = Dm – dm
R = 16 – 5 = 11.0 el rango al igual que otra medidas de variabilidad se reporta con un decimal
adicional. 11.0 es el diferencial de nuestros datos.
Media Aritmética
La media aritmética, o promedio aritmético, es la suma de los valores del grupo de datos
dividida entre el número de valores.
En estadística, una medida descriptiva de una población, o parámetro de la población, se
representa por lo general con alguna de las letras del alfabeto griego, mientras que una medida
descriptiva de una muestra, o estadística muestral, se representa con alguna de las letras del
alfabeto latino. Así, la medía aritmética de una población de valores se representa con el
símbolo μ (mu), en tanto que la media aritmética de una muestra de valores se representa con
el símbolo X (equis barra). Las fórmulas de la media poblacional y la media muestral son:
Operacionalmente, ambas fórmulas son idénticas: en ambos casos se suman todos los valores
y se les divide después entre el número de valores. Sin embargo, la distinción entre los
denominadores es que en el análisis estadístico la N mayúscula indica habitualmente el
número de elementos de la población, mientras que la a minúscula indica el número de
elementos de la muestra.

67
Ejemplo 2.
Durante uno de los meses del verano, los ocho vendedores de una empresa de servicios de
calefacción y aire acondicionado vendieron el siguiente número de unidades centrales de aire
acondicionado: 8, II, 5, 14, 8, 11, 16, 11.
Considerando ese mes como la población estadística de interés, el número medio de unidades
vendidas es:
Nota: Para efectos de reporte, las medidas de posición contienen por lo general un dígito
adicional al nivel original de medición.
Mediana
La mediana de un grupo de elementos es el valor del elemento intermedio cuando todos los
elementos del grupo siguen, en términos de valor, un orden ascendente o descendente. En un
grupo con un número par de elementos, se supone que la mediana se halla a medio camino
entre los dos valores adyacentes al punto intermedio. Cuando el grupo contiene un gran
número de valores, se emplea la siguiente fórmula para determinar la posición de la mediana
en el grupo ordenado:
Ejemplo 3.
Los ocho vendedores mencionados en el ejemplo 1 vendieron el siguiente número de unidades
centrales de aire acondicionado, en orden ascendente: 5, 8, 8, 11, 11, 11, 14, 16. El valor de la
mediana es
El valor de la mediana se halla entre el cuarto y quinto valores del grupo ordenado. Dado que
en este caso ambos valores son de “1 1”, la mediana es igual a 11.0.
Moda
La moda es el valor que ocurre más frecuentemente en un conjunto de valores. A esta
distribución se le conoce como unimodal. Un conjunto pequeño de datos en el que no se
repiten valores medidos carece de moda. Cuando dos valores no adyacentes son casi iguales

68
en cuanto a frecuencias máximas asociadas con ellos, la distribución se llama bimodal. Las
distribuciones de medidas con varias modas se llaman multimodales.
Ejemplo 4.
Los ocho vendedores mencionados en el ejemplo 1 vendieron el siguiente número de
unidades centrales de aire acondicionado: 8, 11,5, 14,8, 11, 16 y 11. La moda de este grupo
de valores es el valor con mayor frecuencia, o moda = 11.0.
Relación entre media y mediana
En toda distribución simétrica, media, mediana y moda coinciden en valor* [véase figura 3-la)].
En una distribución asimétrica positiva, la media siempre es mayor que la mediana [véase
figura 3-lb)]. En una distribución asimétrica negativa, la media siempre es menor que la
mediana [véase figura 3-lc)]. Estas dos últimas relaciones son siempre verdaderas,
independientemente de que la distribución sea unimodal o no. Una medida de asimetría en
estadística, basada en la diferencia entre los valores de la media y la mediana de un grupo de
valores, es el coeficiente de asimetría de Pearson, que se describe en la sección 4.12. Los
conceptos de simetría y asimetría se explican en la sección 2.4.
Ejemplo 5.
En los datos de ventas considerados en los ejemplos 1, 3 y 4, la media es 10.5, mientras que la
mediana es 11.0. Puesto que la media es menor que la mediana, la distribución de valores
observados tiende a ser asimétrica negativa; es decir, sesgada a la izquierda.

69
16.- Ejercicios de retroalimentación
1.- En el grupo de Rubén se les pidió que registraran en una tabla el nombre y el peso de los
alumnos para facilitar la información sugirieron realizarlo en equipos, como se muestra en
seguida:
Contesta las preguntas, considerando la información de las tablas:
a) ¿Cuál es el peso promedio del equipo 1?_______________.
b) Cuál es la mediana del equipo 2? _____________________.
c) ¿Cuál es la moda del equipo 3? _______________________.
d) ¿Cuál es la media de los tres grupos? _______________________.
e) ¿Qué diferencia hay entre el promedio del equipo 1 y el del grupo?__________.
EQUIPO 1
ALUMNO PESO
kg.
Jaime 34. 5
Andrea 32. 8
Rosita 30. 5
Pablo 29. 7
Néstor 33
Luis 32. 2
Paola 30. 5
Mary 34. 5
EQUIPO 2
ALUMNO PESO kg.
Carmen 43. 2
Martín 35. 5
Ilda 29. 6
Roberto 33. 4
Lupita 36. 7
Pablo 35. 2
Sonia 43
José 38. 5
EQUIPO 3
ALUMNO PESO kg.
Rubén 34. 2
Sergio 33. 5
Nora 35
Martha 34. 2
Daniela 29. 8
Ricardo 38. 3
Tomás 42. 3
Laura 41

70
2.- Carmen revisó en el periódico las ofertas de fin de semana, ella comparó el precio del queso
en diferentes establecimientos y concentró la información en la siguiente tabla:
ESTABLECIMIENTO PRECIO
La tiendita $ 21 por ¼ kg.
Mi Súper $ 15 por 200 g.
De todo un poco $ 9.50 por 100 g.
La esquina $ 10 por 125 g.
Considera la información anterior y contesta:
a) ¿Cuál es el precio del kilogramo de queso en el Súper? _____________.
b) ¿Cuánto cuesta el medio kilo de queso en la tienda de la esquina? ____ .
c) ¿Cuál es el costo del kilogramo de queso en La Tiendita? ________
d) En dónde le conviene comprar el queso a la Sra. Carmen?_____________
3.- Calcula la media, la mediana y la moda de los siguientes grupos de datos:
a).- 5, 9, 12, 21, 5, 7, 13, 8, 5, 7, 5.
b).- 2, 10, 3, 6, 9, 4, 7, 8, 5, 6, 8, 8, 8, 3, 7, 7, 6, 9, 9, 2, 6, 6, 7, 3, 5, 2, 7, 7, 9, 7, 6, 7. 4, 8, 8
c).- 0.2, 0.4, 0.5, 0.1, 0.2, 0.6, 0.5, 0.4, 0.5, 0.2, 0.2, 0.1

71
4.- El departamento de mercadotecnia de una fábrica de tenis realizó una encuesta relativa a
las tallas de los alumnos de una escuela secundaria.
TALLA FRECUENCIA
4 38
4.5 40
5 41
5.5 45
6 35
6.5 32
a).- ¿Cuáles son la media, la mediana y la moda de los datos anteriores?
Media ____________ Mediana _____________ Moda ___________
b).- Si se decide la fabricación de sólo cinco tallas de cierto modelo de tenis. ¿Cuáles resulta
más conveniente producir? _____________________________________________
c).- ¿Cuál es la talla que se acerca más al promedio? _______________________________
d).- ¿Es conveniente fabricar el mismo número de tenis de cada talla? ________________
e).- Si se optara por fabricar solo una talla ¿Qué valor resultaría más útil la decisión: la
mediana, la media o la moda? _________________________________________________
f).- Cuántos datos de la encuesta son mayores que la media? _______________
5.- Observa las estaturas, en metros, de los integrantes de dos equipos de basquetbol;
Equipo A: 1.69, 1.68, 1.72, 1.77, 1.72, 1.76, 1.75.
Equipo B: 1.50, 1.61, 1.91, 1.88, 1.61, 1.76, 1.87.
a).- Calcula la media, la mediana y la moda de cada grupo.
b).- Indica a cual grupo pertenecen los tres jugadores más altos.
c).- Indica que equipo tiene la media y moda mayores.

72
6.- Con el siguiente gráfico, responde las 3 preguntas siguientes
¿Cuál es la diferencia de espectadores entre la película más vista y la menos vista?
¿Cuál es el promedio (aproximado) de espectadores que vieron las cinco películas?
Si el valor promedio pagado por los espectadores es de $2.000, ¿cuánto dinero se recaudó en
las cinco películas más vistas durante el 2006?

73
7- Consultando el archivo de cierto hospital, vemos que los pesos (expresados en Kg.) de los
niños nacidos durante un mes fueron los siguientes:
3.010, 2.700, 2.420, 2.510, 2.940, 3.210, 3.220
3.310 3.920, 3.520, 3.770, 3.440, 3.030, 2.860
3.020, 3.000, 2.730, 2.260, 2.380, 3.100, 3.150
3.710, 3.120, 3.110, 2.680, 3.160, 3.120, 2.960
3.340, 3.410, 3.580, 2.680, 2.910, 2.350, 2.650
2.710, 2.930, 2.910, 3.120, 3.125, 3.980, 3.470
3.450, 3.610, 4.050, 3.520, 2.120, 2.940, 2.290
2.710, 3.100, 3.030, 3.620, 3.530, 3.530, 2.210
3.680, 2.840, 2.840, 2.850, 2.720, 3.150, 3.470
2.680, 2.730, 2.380, 2.430, 2.375, 3.280, 3.330
3.340, 3.110, 2.680, 2.860, 3.110, 2.860, 2.450
2.390, 2.590, 3.470.
a).- Clasifique estos pesos en intervalos de 300 kg.
Entre 2.000 kg. Y 2.300 kg.
Entre 2.300 kg. Y 2.600 kg.
Entre 2.600 kg. Y 2.900 kg.
Entre 2.900 kg. Y 3.200 kg.
Entre 3.200 kg. Y 3.500 kg.
Entre 3.500 kg. Y 3.800 kg.
Entre 3.800 kg. Y 4.100 kg.
b).- Represente en algún tipo de gráfica la información anterior:
Gráfica de barras, histograma, gráfica circular, pictograma, etc.

74
8.- Con los siguientes datos, responde desde las siguientes 5 preguntas.
Los datos que se muestran corresponden a la calificación obtenida por los estudiantes del 6º
grado sección C en una prueba de Estudio y Compresión de la Naturaleza:
¿Porcentualmente cuántos estudiantes aprobaron el examen si la calificación aprobatoria es de
6 puntos?
Si el profesor da la oportunidad de presentar a todos aquellos que obtuvieron una calificación
menor a 6 y mayor a 4,5.
¿Cuántos estudiantes deben presentar?
¿Cuál es la media aritmética del conjunto de datos?
¿Cuál es la moda del conjunto de datos?
¿Cuál es la mediana del conjunto de datos?

75
IV. Unidades del Sistema Métrico Decima
1. Equivalencia entre las distintas unidades de longitud
Aprendizajes esperados: Resuelve problemas que implican conversiones del Sistema
Internacional (si) y el Sistema Inglés de Medidas.
La principal unidad de longitud es el metro.
Cada unidad de longitud es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces menor
que la unidad inmediata superior.
Unidad por 10
miriámetro
mam
kilómetro
Km
hectómetro
hm
decámetro
dam
metro
m
decímetro
dm
centímetro
cm
milímetro
mm
Unidad entre 10
Para determinar la equivalencia coloca la cantidad dada en el cuadro de unidades.
Unidad por 10
miriámetro
mam
kilómetro
Km
hectómetro
hm
2
decámetro
dam
3
metro
m
4
Ejemplo 1: 234 metros 2.34 hm 23.4 dam
miriámetro
mam
kilómetro
Km
1
hectómetro
hm
2
decámetro
dam
3
metro
m
4
Unidad entre 10
Ejemplo 2: 1234 metros 1.234 km 12.34 hm 123.4 dam

76
Realiza las siguientes conversiones
metros
32 km =
390 dam =
362 hm =
2,3 mam =
4,5 km =
2,14 dam =
3,12 hm =
4,96 dam =
8,75 km =
hectómetros
30 dm =
29 mm =
125 m =
428 cm =
4,9 m =
36,31 cm=
121,5 mm =
314,2 dm =
1,418 dam =
decámetros
3,21 mam=
42,3 m =
2,49 hm =
3,21 dm=
3,03 cm =
12,4 mm =
28,3 dm =
1,143 mam =
2,145 km =
17.- Ejercicios
1.- Andrea tiene una cinta azul y una cinta blanca. La cinta azul mide 1 m, 2 dm y 5 cm, la cinta
blanca mide 6 dm, 8 cm.
a) Calcula la longitud en centímetros de cada cinta.
b) La cinta azul, la ha cortado en 5 trozos iguales. ¿Cuál es la longitud en milímetros
de cada trozo?
c) Andrea necesita 1 metro de cinta blanca. ¿Cuántos centímetros más de cinta
blanca tiene que comprar?

77
2.- Un coche A lleva una velocidad constante de 90 km por hora y otro coche B lleva una
velocidad constante de 120 km por hora. Calcula.
a) Los kilómetros que recorre cada coche en 1 minuto.
b) Los metros que recorre cada coche en 1 minuto.
c) Los metros que recorre cada coche en 1 segundo.
3.- Las siguientes figuras representan el plano de un campo de fútbol, una piscina. Cada uno
de estos planos está hecho a escala 1: 2.000, es decir, 1 cm sobre el plano representa 2.000
cm sobre el terreno real.
Utiliza una regla y calcula las dimensiones reales en metros del campo de fútbol y la piscina.
CAMPO DE FÚTBOL PISCINA
Largo = Largo =
Ancho = Ancho =

78
2. Equivalencia entre las distintas unidades de capacidad
La principal unidad de capacidad es el litro.
Cada unidad de capacidad es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y
10 veces menor que la unidad inmediata superior.
Unidad por 10
mirialitro
mal
kilolitro
kl
hectolitro
hl
decalitro
dal
litro
l
decilitro
dl
centilitro
cl
mililitro
ml
Unidad entre 10
litros.
23 dal =
114 kl =
4,6 mal =
8,3 kl =
6,9 hl =
12,4 dal =
1,315 mal =
2,163 kl =
31,18 hl =
hectolitros.
59 ml =
418 dal =
3,2 dal =
1,26 l =
1,32 cl =
0,14 ml =
0,135 l =
1,432 cl =
21,14 dl =

79
decalitros.
3,14 hl =
12,5 l =
3,142 kl =
3,128 mal =
13,4 hl =
1,865 l =
32,18 dl =
1,114 cl =
391,6 ml =
Un depósito contiene 13,5 hl de agua; 500
litros se van a envasar en botellas de 250 cl
cada una, 250 litros se van a envasar en
botellas de 500 cl cada una y el resto de
litros en botellas de 1,5 litros cada una.
Calcula:
a) El número de botellas que se necesitan
de 250 cl.
b) El número de botellas que se necesitan
de 500 cl.
c) El número de botellas que se necesitan
de 1,5 l.
Ejercicio:
a) Una bomba de agua impulsa 145 litros por minuto.
Calcula el tiempo en minutos que tardará en llenar un depósito A de 10,15 hl de capacidad, un
depósito B de 94,25 dal de capacidad y un depósito C de 12,325 kl de capacidad.
DEPÓSITO A DEPÓSITO B DEPÓSITO C
b) En un centro deportivo hay tres piscinas y les van a quitar el agua para pintarlas. La
piscina A tiene una capacidad de 150 kl y ha tardado en vaciarse 2 horas y 30 minutos;
la piscina B tiene una capacidad de 37,5 kl y ha tardado en vaciarse 75 minutos, y la
piscina C tiene una capacidad de 9,25 kl y ha tardado en vaciarse 1 hora y 25 minutos.

80
Calcula los litros de agua por minuto que ha perdido cada piscina.
PISCINA A PISCINA B PISCINA C
c) Un carro A gasta aproximadamente 7,5 litros de gasolina cada 100 km, otro
carro B gasta 8,2 litros de gasolina cada 100 km.
Saltillo – Torreón 286 Kilómetros
Torreón – Monclova 290 Kilómetros
Monclova – Saltillo 210 Kilómetros
Calcula los litros de gasolina que consumirá cada coche para hacer cada uno de los
trayectos que se indican en el cuadro de arriba.
CARRO A CARRO B
El costo de la gasolina que consume cada coche para hacer cada uno de los trayectos,
si el litro de gasolina cuesta 8.56 pesos.

81
3. Equivalencia entre las distintas unidades de volumen
La principal unidad de volumen es el metro cúbico.
Cada unidad de volumen es 1.000 veces mayor que la unidad inmediata inferior
y 1.000 veces menor que la unidad inmediata superior.
Unidad por 1000
miriámetro
cúbico
mam
3
kilometro
cúbico
Km
3
hectómetro
cúbico
hm
3
decámetro
cúbico
dam
3
metro
cúbico
m
3
decímetro
cúbico
dm
3
centímetro
cúbico
cm
3
milímetro
cúbico
mm
3
Unidad entre1000
metros cúbicos.
12,8 hm3
=
0,01 km3
=
1,16 hm3
=
0,001 mam3
=
0,03 dam3
=
1,004 km3
=
hectómetros cúbicos.
1,16 m3
=
31,2 dm33
=
491,3 cm3
=
123,5 mm3
=
0,014 dam3
=
0,001 m3
=

82
decámetros cúbicos.
31,5 hm3
=
0,14 m3
=
49,6 km3
=
0,14 mam3
=
3,18 dm3
=
0,143 hm3
=
39,18 cm3
=
0,001 mm3
=
metros cúbicos.
3,28 km3
=
42,7 hm3
=
7,01 cm3
=
9,26 mm3
=
18.- Ejercicios:
Un motor A arroja 75 m3 y 120 dm3 de agua en una hora. Otro motor B arroja
42 m3 y 90 dm3 de agua en media hora.
Calcula:
 Los decímetros cúbicos de agua que arroja cada motor en un minuto.
 El tiempo en minutos que tardará el motor A en llenar una piscina de 15 m3
y 24 dm3
de
capacidad.
 El tiempo en minutos que tardará el motor B en llenar un depósito de 2 m3
y 806 dm3
de
capacidad.
 El tiempo en minutos que tardarán el motor A y el motor B juntos en llenar un embalse
de 66 m3
y 375 dm3
de capacidad.
 La capacidad en decímetros cúbicos de un depósito, si el motor A ha tardado en llenarlo
2 minutos y medio.

83
4. Relación entre las unidades de volumen, capacidad y masa
Un litro es la capacidad de un decímetro cúbico. 1l = 1 dm3
Un kilogramo es la masa que tiene el agua pura
(agua destilada) que cabe en un recipiente de un
decímetro cúbico de volumen. 1kg = 1dm3
De estas dos igualdades resultan las equivalencias
entre las unidades de volumen, capacidad y masa:
1dm3 = 1l = 1kg
1m3
= 1kl = 1t
1cm3
= 1ml =1g
Pasa a litros las siguientes unidades de
volumen.
2 dm3
= 2 l
1 m3
= 1.000 dm3 = 1.000 l
0.3 cm3
=
1.5 hm3
=
9.6 m3
=
1.8 cm3
=
31.2 dam3
=
16.12 m3
=
1.96 hm3
Pasa a kilolitros las siguientes unidades
de volumen.
1 dam3
= 1.000 m3 = 1.000 kl
0.5 m3
=
15 dm3
=
8 hm3 =
9.2 dam3
=
3.7 dm3
=
14.2 hm3
=
71.6 dam3
=
12.5 m3
=

84
Pasa a mililitros las siguientes unidades
de volumen.
1 dm3
= 1.000 cm3 = 1.000 ml
2 mm3
=
1.3 dm3
=
2.5 m3
=
7.21 mm3
=
0.18 m3
=
0.32 m3
=
0.01 hm3
=
0.15 dm3
=
0.12 mm3
=
3.18 dam3
=
21.6 m3
=
6.28 dm3
=
Encuentra la equivalencia en litros y en
kilogramos, sabiendo que se trata de
cantidades de agua pura.
2 dm3
= 2 l = 2 kg
3 m3
=
12 cm3
=
0,9 m3
=
7,2 mm3
=
4,9 hm3
=
0,18 m3
=
14,5 cm3
=
Encuentra la equivalencia en kilolitros y en
toneladas, sabiendo que se trata de
3 m3
= 3 kl = 3 t
2 dam3
=
15 dm3
=
0,9 hm3
=
12,8 cm3
=
3,9 km3
=
21,5 hm3
=
18,2 dam3
=

85
Encuentra la equivalencia en mililitros y
en gramos, sabiendo que se trata de
4 cm3
= 4 ml = 4g
5 dm3
=
15 mm3
=
0,5 m3
=
0,09 dam3
=
Un depósito de volumen 0,5 m3
y 12 dm3
está lleno de agua. Para vaciar el depósito
se abre un grifo que echa 3 dal y 2 I de
agua por minuto.
Calcula en minutos el tiempo que se
emplea para vaciar el depósito.
19.- Ejercicios
 En la siguiente gráfica se muestra la cantidad de agua que se ha consumido en un
domicilio particular durante un mes, calcula.
mm3
cm3
dm3
m3
1 350 375 400
a) El total de litros de agua que se han consumido en un mes.
b) El costo total si el m3
tiene un costo de 32.91 pesos.

86
 Un laboratorio farmacéutico envasa el alcohol en frascos de diferentes tamaños.
Observa la siguiente tabla.
Frasco 55 militros 110 militros 750 militros
Capacidad en litros
Peso en gramos
(Alcohol 0.8 Kg por litro)
5. Equivalencia entre las distintas unidades de superficie
La unidad principal de superficie es el metro cuadrado.
Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la unidad inmediata inferior y
100 veces menor que la unidad inmediata superior.
Unidad por 100
Miriámetro
cuadrado
mam
2
kilómetro
cuadrado
Km
2
hectómetro
cuadrado
hm
2
decámetro
cuadrado
dam
2
metro
cuadrado
m
2
decímetro
cuadrado
dm
2
centímetro
cuadrado
cm
2
milímetro
cuadrado
mm
2
Unidad entre100

87
metros cuadrados.
1,16 hm2
=
0,008 km2
=
0,4 dam2
=
1,6 hm2
=
3,008 dam2
=
3,2 dam2
=
3,6 km2
=
0,02 hm2
=
1,0005 km2
=
12,165 hm2
=
hectómetros cuadrados.
0,03 m2
=
1,2 dm2
=
146,1 m2
=
18,6 dm2
=
293,1 cm2
=
196,21 dam2
=
16,31 m2
=
293,5 dm2
=
0,035 dam2
=
0,0012 cm2
=
decámetros cuadrados.
2,6 hm2
=
16,3 m2
=
1,256 km2
=
149,8 dm2
=
136,4 mm2
=
3,149 mam2
=
94,6 m2
=
147,2 cm2
=
hectómetros cuadrados
21,2 dam2
=
1,49 km2
=
43,71 m2
=
1,291 mam2
=

88
6. Unidades Agrarias
Para medir las extensiones de los campos se utilizan otras unidades de superficie,
llamadas unidades agrarias. Las unidades agrarias son: el área (a), la hectárea (ha)
y la centiárea (ca). Sus equivalencias son:
1 ha = 1 hm2
= 10.000 m2
, 1 a = 1 dam2
= 100 m2
, 1 ca = 1 m2
hectáreas.
49,5 ca =
23,8 km2
=
1,29 mam2
=
3,45 dam2
=
39,2 ca =
4,92 a =
5,32 dm2
=
1,6 mm2
=
42,6 cm2
=
áreas.
42,1 ha=
2,14 ca =
14,6 dm2
=
3,21 cm2
=
25,86 kmv =
32,1 ha =
1,24 km2
=
3,6 ca =
1,6 dm2
=
18,24 mm2=

89
centiáreas.
3,9 ha =
1,2 dm2
=
32,9 mm2
=
39,2 a =
25,8 dam2
=
42,6 ha =
1,65 ha =
0,03 km2
=
9,5 a =
32,1 cm2
=
49,82 ha =
65,03 a =
El Ayuntamiento compró un terreno de 20
ha y 10 a para un parque, un terreno de
20 dam2
y 50 a para una piscina. Calcula:
a) El precio del terreno para el parque si se
vende a 25.000 pesos el m2
.
b) El precio del terreno para la piscina si se
vende a 50.000 pesos el m2
.
20.- Ejercicios
Una finca A tiene una superficie de 2 ha, 15 a y 35 ca; una finca B tiene una superficie de 5
hm2
, 13 a y 12 m2
, y una finca C tiene una superficie de 8 ha, 3 dam2
y 18 ca.
a) Calcula la superficie en metros cuadrados de cada finca.
FINCA A FINCA B FINCA C
b) La finca A está dividida en 5 parcelas iguales; la finca B está dividida en 16 parcelas iguales,
y la finca C está dividida en 2 parcelas iguales.
¿Cuál es la superficie en áreas de cada parcela de la finca A, de la finca B y de la finca C?

90
Bibliografía
Pérez, c. Habacuc. (1970). Matemáticas 1er. Curso. Ed. Herrero S.A. México.
Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación. Materiales para apoyar la práctica
educativa. Ávila, Alicia. García, Silvia. (2008). Los Decimales: más que una escritura,
reflexiones sobre su aprendizaje y su enseñanza. México.
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educativa. García Peña, Silvia. López Escudero, Olga Leticia. (2008). La Enseñanza de la
Geometría. México.
Secretaría de Educación Pública. Dirección de Educación Primaria. Innovación, Evaluación y
Estudios Prospectivos, A.C. (1994). La matemática en la educación primaria. 3ª Ed. México.
Secretaría de Educación Pública. Reforma Integral de la Educación Básica, Primaria. Parra,
Cecilia. Saiz, Irma. (2008) Enseñar aritmética a los más chicos. De la exploración al dominio.
Ed. Homo Sapiens. México.
Secretaría de Educación Pública. Reforma Integral de la Educación Básica, Secundaria. Sessa,
Carmen. (2008) Iniciación al estudio didáctico del álgebra. Libros del Zorzal. México.
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Curricular. (2008). Programas de Estudio 2009 y Guías de Actividades. Educación Básica
Primaria. México.
Secretaría de Educación Pública. Subsecretaría de Educación Básica. Dirección General de
Desarrollo de la Gestión e Innovación Educativa. (2008). Programa Educativo para Escuelas
Multigrado. Matemáticas. Guía de Autoformación Docente. 1ª Ed. México.
Secretaría de Educación Pública. Subsecretaría de Educación Básica y Normal. Dirección
General de Materiales y Métodos Educativos. (1994). Fichero. Actividades Didácticas.
Matemáticas, tercero, cuarto, quinto y sexto grado. México.

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