logaritmos

1. Logaritmos:
Sabemos que si bn = a significa a = b.b.....b ("n" veces b). Otra forma de relacionar
estas tres cantidades es empleando el concepto de logaritmo; definiéndose:
( ) 



 =⇔= anbnablog ; con a, b ∈ IR+
; b ≠ 1 ; n ∈ IR
Es decir: el logaritmo de una cantidad "a" en una base "b" es el exponente "n"
al cual hay que elevar la base "b" para obtener la cantidad "a".
Transformar
(a) log3 9 = (b) log6 216 = (c) log2 64 =
(d) log3 81 =
(e)
=
243
32
3
2log (f) =
8
1
2log
Así como un logaritmo se fundamenta en una potencia, en forma recíproca a una
potencia se le puede dar forma logarítmica:
:
(a) 72 = 49 (b) 43 = 64 (c) 27 = 128
(d)
25
125 =−
(e) 16
2
4
1
=
−





 (f)
27
8
3
2
3
=
−






Ejercicios:
1) Calcular el valor de los siguientes logaritmos:
(a) log
5
625 =
(b) =
343
1
7log
(c)
=
16
1
5
3
2log
(d) =125,05,0log (e) =3 255log
(f) =
125
64
4
1
1
log
(1)

2. 2) Reducir:
a) 3.log2 16 - 4.log5 125= (b) log6 36 -3.log4 256 +log3 81=
3) Calcular x como valor del logaritmo en:
(a) log8 16 = x (b) log9 27 = x
(b) x
25
1
125log = (d)
x128
32
1log =
4) Calcular x como base del logaritmo en:
(a) logx 64 = 3 (b) logx 81 = -4
(b)
3
2
9xlog = (d)
2
3
8
1
xlog −=
5) Calcular x como la cantidad a la que se le extrae logaritmo en:
(a) log5 x = 3 (b) log3 x = -2
(2)

3. (b)
3
4
x8log = (d)
2
1
x81log −=
Propiedades de los logaritmos:
1) La base de un logaritmo es siempre un valor positivo.
2) Los números negativos no tienen logaritmo, ya que al ser la base positiva, toda
potencia de esta también lo será.
3) El logaritmo de la base es igual a la unidad; es decir:
4) El logaritmo de la unidad en toda base es siempre igual a cero; es decir:
5) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de
los factores; es decir:
6) El logaritmo de un cuociente es igual a la diferencia entre los logaritmos de cada
uno de sus términos; es decir:
7) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo
de la base de tal potencia; es decir:
8) El logaritmo de una raíz, es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido
por el índice de la raíz; es decir:
(3)

4. Ejercicios:
1) Aplique las propiedades de los logaritmos en calcular:
(a) log3 (27.81) = (b) =
256
64
4log
(b) log5 1256 = (d) =2166log
2) Desarrollar aplicando las propiedades de los logaritmos:
(a) =
5w
2v3u
blog (b) =
4 3y
3x
blog
(c) =
+
3
2)ab(
2)ba(
elog (d) =








4d3c
5
b3a
elog
Recíprocamente, se reducen expresiones con logaritmos, al aplicar las propiedades
en sentido contrario; donde si:
(a) )qp(blogqblogpblog ⋅=+
(b) 





=−
q
p
blogqblogpblog
(c) npblogpblogn =⋅
(d) n pblog
n
pblog
pblog
n
1
==⋅
(4)

5. Ejercicios: Al reducir:
(a) =⋅−⋅+⋅ celog2belog
3
2
aelog3 (b) =⋅+⋅−⋅ celog
3
1
belog4aelog5
(c ) 





⋅−⋅−⋅⋅ celog2belog
2
1
aelog3
3
1
=
(d) ( ) =−−+−−⋅ )yx(elog)yx(elog)yx(elog25
Ejercitación:
1) log6 216 + log3 243 – log5 625 = ?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
2) El valor de log0,25 128 = ?
A) –7/2
B) –2/7
C) -7
D) 2/7
E) 7/2
3) Si logx 25 =
3
2
; luego x = ?
A) 5
B) 25
C) 125
D) 625
E) Otro valor.
4) Si log81 x =
4
3
A) 3
B) 9
C) 27
D) 81
E) 243
(5)

6. 5) Al desarrollar loge
3c7
5b2a3
equivale a:
A) 6⋅loge a + 15⋅loge b - 21⋅loge c
B)
6 log a+15 log be e
21 log ce
⋅ ⋅
⋅
C) loge3 + 2⋅logea + 5⋅logeb – loge7 - 3⋅logec
D)
log 3 + log a+5 log be e e
log 7 + log ce e
⋅
E) Ninguna de las anteriores.
6) Desarrollar
2 log a+1/3 log be e = ?
5 log c- log de e
⋅ ⋅
⋅
A)
2 3log a be
5c
loge
d
⋅
B) loge a2 + loge
3 b - loge c5 + loge d
C) 2⋅loge a + ⋅
3
1
loge b - 5⋅loge c – loge d
D) loge
5c
d3 b2a ⋅⋅
E) Ninguna de las anteriores.
7) Al reducir:
3·loge a + 2·loge b -
1
3
·loge c = ?
A) loge (a3
+ b2
- 3 c )
B) loge (a3
·b2
- 3 c )
C) loge
3a+ 2b
3 c
D) loge
3 2a b
3 c
⋅
E) loge
6 b
3 c
a
8) Al reducir:
loge (a + b) – loge a – loge b = ?
A) 0
B)
log a+ log be e
log a- log be e
C) loge
ab
ba +
D) loge
ba
ba
−
+
E) loge (a + b) – loge
b
a
(6)

7. GUIA Nº 48 DE MATEMATICA
1) Calcular el valor de los logaritmos:
(a) log
4
64 =
(b) log
5
625 =
(c) =
243
1
3log
(d) log
0,125
0,25 =
2) Obtener el valor de las siguientes ex-
presiones logarítmicas:
(a) 3·log
2
32 - 4·log
7
49 + 5·log
9
729 =
3) Aplique la definición de logaritmo para
calcular el valor de "x" en:
(a) log
16
32 = x
(b) log
x
216 = 3
(c) log
1/2
x =-1/2
(e) log
x
0,25 =-2
(f) log
8
x =-2/3
4) Desarrollar aplicando las propiedades
de los logaritmos:
(a) logp (2ab)3 =
5) Reducir aplicando las propiedades de
los logarítmos:
(a) log
p
a + log
p
b - log
p
c =
(b) log
p
a - log
p
b - logp c =
(c) log
p
2 - 2·log
p
3 + log
p
5 =
6) Calcule el valor de las siguientes
expresiones logarítmicas:
7) log
2
0,25 + log
2
0,5 - log
2
0,125 = ?
A)-6
B)-3
C) 0
D) 3
E) 6
8) Si f(x)= log
2
x; luego f(16) - f(8) = ?
A) log
2
24
B) log
2
8
C) log
2
2
D) log
2
1
E) Otro valor.
(7)

8. 9) La expresión log
8
32 - log
2
16 = ?
A) log
6
48
B) log
6
16
C) log 2
D) -4
E) )
3
1
2(−
10) log
2
36 + log
2
48 - log
2
144 = ?
A) 2 + log
2
3
B) log 6
C) log
6
12
D) log
60
1
E) Otro valor.
11) Si log r = a y log s = b ; luego el valor
de log ?)sr( =⋅
A) ba
B)
2
ba +
C)
2
ba2 +
D)
2
ab
E) Otra expresión.
12) Si log x = y – log z ; entonces el
producto de “x” por “z” es:
A) y
B) z
C) y10
D) 10y
E) log y
RESPUESTAS GUIA Nº47 DE MATEMATICA
1)(a)12 (b)8 (c)2 (d)1 (e)5 (f)4 (g)9 (h)10
(i)6 (j)15 (k)20 (l)11 (m)15 (n)17 (ñ)2 (o)9
(p)5 (q)1 (r)6 (s)4 (t)9 (u)6 (v)-5 (w)a (x)
(a+b)2 (y)(a-1)2
2)(a)4 (b)9 (c)25 (d)1 (e)7 (f)±12 (g) ±5
(h)sin solución (i)0 (j)2;10 (k)3;-7 (l)3;7
(m)7;3 (n)5 (ñ) ±12 (o)5 (p) ±3 (q)0 (r)2 (s)8
(t)3;4 (u)2 (v)4 (w)7;79/9 (x)3;-7 (y)2
3)(a)3 (b)4 (c)-4 (d)1 (e)1 (f)4 (g)5 (h)11/4
(i)10 (j)1 (k)7/2 (l)6 (m)-3 (n)-27 (ñ)1/4
(o)3 (p)3 (q)2 (r)6/17 (s)1/8 (t)19/8
(u)39/11 (v)4 (x)23/13
(8)