1. Sơ Lư c V Phương Trình B c Cao
http://dinhtiennguyen.blogspot.com
1. L i gi i thi u
Con ngư i ñã bi t v phương trình và các cách gi i phương trình b c nh t, b c hai khá s m
(kho ng 2000 TCN ) nhưng mãi ñ n ñ n th k th XVI, các nhà toán h c La Mã là Tartlia ( 1500 -
1557), Cardano (1501 - 1576) và nhà toán h c Ferrari (1522 - 1565) m i gi i ñư c các phương trình
b c ba và b c b n d ng t ng quát.
ð n t n ñ u th k XIX, nhà toán h c ngư i Na Uy Henrik Abel ch ng minh ñư c r ng không có
cách gi i phương trình t ng quát b c l n hơn b n b ng các phương toán h c thông thư ng c a ñ i s .
Không lâu sau ñó, nhà toán h c ngư i Pháp Évariste Galois ñã hoàn t t công trình lý thuy t v phương
trình ñ i s c a loài ngư i.
Chính vì v y, trong chuyên ñ kì này chúng ta s tìm hi u k hơn v cách gi i các phương trình
trên, kèm theo ñó là m t s ví d c th v các phương trình d ng ñ c bi t hơn.
2. Phương Trình B c 3
2.1 Phương trình b c 3 có d ng
AX 3 + BX 2 + CX + D = 0 ( A ≠ 0) (1)
Vào năm 1545, Cardano ñã công b cách gi i phương trình (1)
Trư c h t do A ≠ 0 nên chia hai v c a (1) cho A , ta ñư c phương trình d ng
X 3 + mX 2 + nX + c = 0 (2)
m
B ng cách ñ t X = x − , ta ñưa (2) v phương trình b c 3 thi u
3
m2 2m3 mn
x3 + ax + b = 0 (3) , v i a = n − và b = c + −
3 27 3
ð t x = u + v . Như th v có th ch n giá tr tùy ý. Thay vào (3) ta có
(u + v)3 + a (u + v ) + b = 0 ⇔ (u 3 + v3 + b) + (u + v)(3uv + a ) = 0
Ch n v sao cho 3uv + a = 0 , bài toán quy v h phương trình
u 3 + v 3 = −b
u 3 + v 3 = −b
hay 3 3 −a3
uv = −a
u v =
3
27
a3
Như v y u 3 , v 3 là nghi m c a phương trình t 2 + bt − = 0 (4)
27
4a 3
ð t ∆ = b2 + . N u ∆ > 0 thì phương trình (4) có hai nghi m phân bi t
27
−b − ∆ 3 −b + ∆
v3 = ,u =
2 2
Do ñó công th c nghi m t ng quát c a phương trình (3) là :
−b + ∆ 3 −b − ∆ 4a 3
x= 3 + v i ∆ = b2 +
2 2 27
V y công th c nghi m t ng quát c a phương trình (1) là
1
2. −b + ∆ 3 −b − ∆ m
X=3 + −
2 2 3
V i trư ng h p ∆ ≤ 0 thì cũng có th s d ng công th c Cardano nhưng khi ∆ < 0 ph i bi t khai
căn b c ba c a s ph c, ñó là m t v n ñ r t ph c t p. Sau ñây chúng tôi s gi i thi u v i các b n
phương pháp lư ng giác s d ng khi ∆ ≤ 0 .
Trong x3 + ax + b = 0 ⇔ x3 + ax = −b . Ta ñ t x = k cos y thì k 3 cos3 y + ak cos y = −b (5)
4a
ð t k2 =− (vì ∆ ≤ 0 thì p ≤ 0 ) thì phương trình (5) tr thành
3
3b 3b 3
4 cos3 y − 3cos y = = .
ka a −4a
4a 3 3b 3b 3 3b
Nhưng ∆ = b 2 + ≤0⇔ = ≤1. ð t = cos G , thì 4 cos 2 y − 3cos y = cos G .
27 ka a −4a ka
Suy ra nghi m c a phương trình x3 + ax + b = 0 là
G G + 2π
G + 4π
x1 = k cos ; x2 = k cos
; x3 = k cos
.
3 3
3
Do ñó nghi m t ng quát c a phương trình (1) khi ∆ ≤ 0 là
G m G + 2π m
− , X = k cos G + 4π − m .
X 1 = k cos − , X 2 = k cos
3 3
3 3 3
3 3
Nh n xét.
∆ > 0 thì phương trình (1) có 1 nghi m ñơn.
∆ = 0 thì phương trình (1) có 2 nghi m, trong ñó có 1 nghi m kép.
∆ < 0 thì phương trình (1) có 3 nghi m phân bi t.
M t s trư ng h p ñ c bi t:
N u a + b + c + d = 0 thì (1) có nghi m x = 1 . N u a − b + c − d = 0 thì (1) có nghi m x = −1 .
p
N u a, b, c, d ∈ ℤ thì (1) thì có nghi m h u t thì p, q theo th t là ư c c a d và a .
q
c
N u ac 3 = db3 (a, d ≠ 0) thì (1) có nghi m x = −
b
3 2
Ví d . Gi i phương trình x + x − 2 x − 2 2 = 0 .
L i gi i.
3 c
( )
Nh n xét. Vì ac 3 = 1. − 2 = db3 = −2 2 nên phương trình có nghi m x = − = 2 . Bi n ñ i
b
x− 2 = 0
( )( ( )
phương trình v d ng x − 2 x 2 − 2 + 1 x + 2 = 0 ⇔ 2 ) ⇔ x= 2 .
(
x − 2 +1 x + 2 = 0
)
2.2 M t s ví d
Ví d 1. Gi i phương trình y 3 + 3 y 2 + 12 y −16 = 0 .
3 2
L i gi i. ð t y = x −1 , ta có ( x −1) + 3( x −1) +12 ( x −1) −16 = 0 ⇔ x 3 + 9 x − 26 = 0 . Ta có
4a 3 4.(9)3
∆ = b2 + = (−26) 2 + = 784 > 0 ,
27 27
−b + ∆ 26 + 784
u3 = = = 27 ⇒ u = 3 ⇒ v = −1 .
2 2
2
3. Vì phương trình x3 +9x−26 =0 có nghi m x=3−1=2 nên phương trình ñã cho có m t nghi m y =1.
7 11
Ví d 2. Gi i phương trình y 3 + 5 y 2 + y− = 0 .
3 9
3 2
5 x − 5 + 5 x − 5 + 7 x − 5 − 11 = 0 ⇔ x 3 − 6 x + 4 = 0
L i gi i. ð t y = x − , ta có
3
3
3 3 3 9
4a 3 4.(−6)3 −4a
∆ = b2 + = 42 + = −16 < 0, k 2 = =8⇒k = 2 2
27 27 3
3b 3.4 −1
Suy ra cos G = = = ⇒ G = 135° . Do ñó :
ak −6.2 2 2
135° 1
x1 = 2 2.cos. = 2 2. =2,
3 2
135° + 360°
x2 = 2 2.cos.
3
= 2 2 cos165° = −2 2 cos15° = − ( )
3 −1 ,
135° + 720°
x3 = 2 2.cos = 2 2.cos 285° = 2 2. cos 75° = 3 −1 .
3
Do ñó phương trình ñã cho có nghi m là
5 1 5 −3 3 − 8 5 3 3 −8
3 3
(
y1 = 2 − = , y2 = − 3 + 1 − =
3 3
) và y3 = 3 −1− =
3 3
.
2.3 ð nh lí Viète c a phương trình b c ba
N u phương trình b c ba Ax 3 + Bx 2 + Cx + D = 0 ( A ≠ 0) có 3 nghi m x1 , x2 , x3 thì
−B
x1 + x2 + x3 =
A
x x + x x + x x = C .
1 2 1 3 2 3
A
−D
x1 x2 x3 =
A
Bài t p áp d ng. Gi s phương trình x3 + ax 2 + bx + c = 0 có ba nghi m x1 , x2 , x3 . Hãy tìm m i
2
liên h gi a a, b, c khi x1 x3 = x2 .
x1 + x2 + x3 = −a (6)
L i gi i. Theo ñ nh lí Viét, ta có x1 x2 + x1 x3 + x2 x 3 = b (7) . Gi s x1 x3 = x2 . Có 2 kh năng x y ra
2
x x x = −c (8)
1 2 3
* x2 = 0 ⇒ x1 = 0 ho c x3 = 0 ⇒ b = c = 0
x1 x2
* x2 ≠ 0 . Lúc này ta có th vi t h th c ñã cho là = = t. T ñó có th tính ñư c x1 , x3 theo
x2 x3
x2
t và x2 : x1 = tx2 và x3 = . Thay vào (6), (7) và (8), ta thu ñư c
t
t + 1 + 1 x2 = −a, t + 1 + 1 x2 = b, x2 = −c .
2 3
t
t
3
1 b −b
Chú ý r ng t + +1 ≠ 0 , ta suy ra h th c x2 = − ⇒ x2 = = −c ⇒ b3 = a 3c .
3
t a
a
H th c này v n ñúng khi b = c = 0 . V y b3 = a 3c là h th c c n tìm.
3
4. http://dinhtiennguyen.blogspot.com
3. Phương trình b c 4
Phương trình b c b n là phương trình có d ng
Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0 ,
trong ñó x là n s còn A, B, C , D, E là các h s v i a ≠ 0 .
Trư c h t ta hãy xét m t s d ng phương trình b c b n mà qua phép bi n ñ i ho c ñ t n ph ta
có th quy v vi c gi i m t phương trình b c hai
3.1 Phương trình trùng phương
ay 2 + by + c = 0
Phương trình có d ng ax 4 + bx 2 + c = 0 . ð t y = x 2 ≥ 0 ta ñưa v vi c gi i
.
y≥0
4 4
3.2 Phương trình d ng ( x + a ) + ( x + b) = c .
a +b a +b
Có th ñưa v phương trình trùng phương nh phép ñ t n ph y = x + ⇒ x = y− .
2 2
4 4 4 4
4
4 a +b a −b a −b
b−a
Khi ñó ( x + a) + ( x + b) = y −
+ a + y +
+ b = y +
+ y +
2 2 2 2
a −b 4 4
ð t k= . Ta có ( y + k ) + ( y − k ) = 2 y 4 + 12 y 2 k 2 + 2k 4 = c .
2
a −b
V y ta có phương trình trùng phương 2 y 4 + 12 y 2 k 2 + 2k 4 − c = 0 v i k =
2
4 4
Ví d . Gi i phương trình ( x −1) + ( x + 3) = 256 (1)
L i gi i. ð t y = x + 1 . Khi ñó
4 4
(1) ⇔ ( y − 2) + ( y + 2) = 256 ⇔ 2 y 4 + 48 y 2 −112 = 0
t=4
ð t t = y 2 ≥ 0 , ta ñư c 2t 2 + 48t 2 − 224 = 0 ⇔ .
t = −28
Vì t ≥ 0 nên t = 4 ⇒ y = ±2 ⇒ x = 1 ho c x = 3 .
*Chú ý. N u c n ki m tra phương trình b c b n d ng t ng quát ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 ,
b
(a ≠ 0) có trùng phương hay không ,ta ch c n ñ t n ph t = x + .
4a
N u sau khi thay vào phương trình ñã cho ta không ñư c phương trình trùng phương theo bi n t thì
phương trình ñã cho không thu c thu c d ng trùng phương.
3.3 Phương trình d ng ( x + a)( x + b)( x + c )( x + d ) = m v i a + b = c + d .
Vi t phương trình ñã cho dư i d ng x 2 + (a + b) x + ab x 2 + (c + d ) x + cd = m
ð t t = x 2 + (a + b) x + ab ñưa v phương trình b c hai theo t .
Ví d . Gi i phương trình ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 3 (1)
L i gi i. Nh n xét 1 + 4 = 2 + 3 nên phương trình ñã cho tương ñương v i
( x 2 + 5x + 4)( x 2 + 5x + 6) = 3
ð t t = x 2 + 5 x + 4 . Ta có (1) ⇔ t (t + 2) = 3 ⇔ t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −3
−5 ± 13
Khi t = 1 ⇒ x 2 + 5 x + 4 = 1 ⇔ x 2 + 5 x + 3 − 0 ⇔ x = .
2
Khi t = −3 ⇔ x 2 + 5 x + 4 = −3 ⇔ x 2 + 5 x + 7 = 0 phương trình vô nghi m
−5 + 13 −5 − 13
V y phương trình (1) có 2 nghi m x1 = , x2 =
2 2
4
5. Chú ý. Phương trình trên m r ng thành
(a1 x + a2 )(b1 x + b2 )(c1 x + c2 )(d1 x + d 2 ) = m ,
v i ñi u ki n a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d 2 + c2 d1 . Khi ñó ta ñ t t = (a1 x + a2 )(b1 x + b2 )
Ví d . Gi i phương trình (2 x −1)( x −1)( x − 3)(2 x + 3) = −9
L i gi i. Phương trình vi t l i dư i d ng (2 x 2 − 3 x + 1)(2 x 2 − 3 x − 9) = −9 .
ð t t = 2 x 2 − 3x +1 . Ta có phương trình t (t −10) = −9 ⇔ t 2 −10t + 9 = 0 ⇔ t = 1∨ t = 9 .
3
V i t = 1 ⇒ 2 x 2 − 3 x + 1 = 1 ⇔ 2 x 2 − 3x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = .
2
3 ± 73
V i t = 9 ⇔ 2 x 2 − 3x +1 = 9 ⇔ 2 x 2 − 3x − 8 = 0 ⇔ x = .
4
3 3 + 73 3 − 73
V y phương trình có 4 nghi m x1 = 0, x2 = , x3 = , x4 = .
2 4 4
3.4 Phương trình ñ i x ng b c b n (Phương trình h i quy)
Phương trình ñ i x ng b c b n là phương trình có d ng ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ( a ≠ 0 )
Cách gi i.
Bư c 1. Ki m tra x = 0 có là nghi m c a phương trình hay không?
Bư c 2. Tìm nghi m x ≠ 0 .
Chia c hai v c a phương trình cho x 2 ta ñư c
b a 1 1
ax 2 + bx + c + + 2 = 0 ⇔ a x 2 + 2 + b x + + c = 0 (2)
x x
x
x
1 1
ð t t = x + ⇒ x 2 + 2 = t 2 − 2 . Khi ñó phương trình (2) tr thành
x x
a (t 2 − 2) + bt + c = 0 ⇔ at 2 + bt + c = 0
1
V i cách ñ t t = x + , s d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
x
1 x 2 + 1 x 2 +1 1
t = x+ = = = x + ≥2.
x x x x
Như v y t phương trình ñ i x ng b c 4 ta chuy n v phương trình b c 2 theo bi n t v i t ≥ 2 .
Ví d . Gi i phương trình x 4 + 2 x 3 + x 2 + 2 x + 1 = 0 .
L i gi i. Vì x = 0 không là nghi m c a phương trình, chia hai v cho x 2 , ta ñư c
2 1 1 1
x 2 + 2 x + 1 + + 2 = 0 ⇔ x 2 + 2 + 2. x + + 1 = 0 .
x x
x
x
1
ð t t = + x , ta có t 2 − 2 + 2t +1 = 0 ⇔ t = −1 ± 2 .
x
Vì t ≥ 2 nên t = −1 + 2 . Suy ra
1 −1− 2 ± 2 2 −1
x
( )
x + = −1− 2 ⇔ x 2 + x 1 + 2 + 1 = 0 ⇔ x =
2
.
Chú ý. ð i v i phương trình b c 4 có h s ñ i x ng l ch (phương trình ph n h i quy), d ng
ax 4 + bx3 + cx 2 − bx + a = 0 (a ≠ 0) thì ta v n có cách tương t và ñưa phương trình ñã cho v d ng
at 2 + bt + c + 2a = 0 .
5
6. 3.5 Phương trình b c 4 có h s ñ i x ng t l (phương trình ph n h i)
Phương trình ph n h i là phương trình có d ng ax 4 + bx 3 + cx 2 + bkx + ak 2 = 0(a ≠ 0, k ≠ 0) .
Cách gi i. Tương t như cách gi i các phương trình trên h i quy và ph n h i quy, b ng cách chia
k
hai v cho x 2 (n u x = 0 không là nghi m ), và ñ t n ph t = + x , ta ñư c phương trình
x
at 2 + bt + c − 2ak = 0 .
Ví d . Gi i phương trình 2 x 4 − 21x3 + 34 x 2 + 105 x + 50 = 0 .
L i gi i. Ta có x = 0 không là nghi m c a phương trình, chia hai v c a phương trình cho x 2 .
105 50 25 5
2 x 2 − 21x + 34 + + 2 = 0 ⇔ 2 x 2 + 2 − 21 x − + 34 = 0
x x
x
x
5 25
ð t x − = t ⇒ x 2 + 2 = t 2 + 10 , ta ñư c 2 (t 2 + 10) − 21t + 34 = 0 ⇔ t = 6 ∨ t = 9 2 .
x x
5
* Trư ng h p 1. t = 6 ⇒ x − = 6 , ta có x 2 − 6 x − 5 = 0 ⇔ x = 3 ± 14 .
x
9 5 9 9 ± 161
* Trư ng h p 2. t = ⇒ x − = , ta có 2 x 2 − 9 x −10 = 0 ⇔ x = .
2 x 2 4
3.6 Cách gi i t ng quát phương trình b c 4
Không m t tính t ng quát (b ng cách chia hai v c a phương trình cho h s c a x 4 ) ta ñưa phương
trình v d ng
x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ⇔ x 4 + ax 3 = −bx 2 − cx − d
2
a2 x2 ax a2
Thêm vào c hai v , ta ñư c x 2 + = x 2 . − b − cx − d .
4
2
4
ax y2
C ng vào hai v c a phương trình này cho tam th c x 2 + y +
v i y là h ng s
2 4
2 2 2
x 2 + ax + y = a − b − y.x 2 + ay − c x + y − d (1)
2 2 4
2
4
Ch n y sao cho tam th c b c hai v ph i có nghi m kép, hay
ay 2 2
a
2
ay − d = 0 ⇔ y 3 − by 2 + (ac − 4d ) y − d (c 2 − 4b) − c 2 = 0 (2)
∆ = − c − 4 − b + y
2 4
4
ðây là m t phương trình b c ba và ta ñã bi t cách gi i. ð t
2 2
a − b + y .x 2 + ay − c x + y − d = ( Ax + B )2
4
2
4
Gi s y0 là m t nghi m c a phương trình (2). Khi ñó thay y0 vào ta ñư c phương trình (1) có d ng
2
2 ax y
x + + = ( Ax + B )2 ⇔ x 2 + ax + y + Ax + B. x 2 + ax + y − Ax − B = 0
2 2
2 2
2 2
ax y ax y
⇔ x2 ++ + Ax + B = 0 ∨ x 2 + + − Ax − B = 0 .
2 2 2 2
Như v y vi c gi i phương trình b c b n qui v vi c gi i hai phương trình b c hai và m t phương
trình b c ba.
Ví d . Gi i phương trình x 4 + 8 x 3 + 15 x 2 − 4 x − 2 = 0 .
L i gi i. Ta có
6
7. 2
x 4 + 8 x 3 + 15 x 2 − 4 x − 2 = 0 ⇔ x 4 + 8 x3 = 4 x + 2 −15 x 2 ⇔ ( x 2 + 4 x) = x 2 + 4 x + 2 .
y2
C ng hai v c a phương trình trên cho ( x 2 + 4 x) y + , ta ñư c
4
2 2
x 2 + 4 x + y = (1 + y ) x 2 + (4 + 4 y ) x + y + 2 (3).
2 4
Lưu ý ch n y sao cho v ph i là m t bình phương, mu n v y, bi t s ∆ c a tam th c b c hai ñ i
v i x ph i b ng 0 ,
2 y2
∆ = (4 + 4 y ) − 4 (1 + y ) + 2 = 0 ⇔ (1 + y ) 16.(1 + y ) − ( y 2 + 8) = 0 .
4
Ta có ngay giá tr y = −1 . Thay vào (3) phương trình tr thành
2 1 3
2 x + 4x − = x = −2 ± 3
x 2 + 4 x − 1 = 9 ⇔
2 2
⇔ .
2 4 2 1 3 x = −2 ± 6
x + 4x − = −
2 2
3.7 ð nh lí Viète cho phương trình b c 4
N u phương trình b c b n ax 4 + bx 3 + cx 2 + d + e = 0 (a ≠ 0) có b n nghi m thì
b
x1 + x2 + x3 + x4 = −
a
x x + x x + x x + x x + x x + x x = c
1 2 2 3 3 4 1 3 1 4 2 4
a
x x x + x x x + x x x + x x x =−d
1 2 3
1 2 4 2 3 4 1 3 4
a
e
x1 x2 x3 x4 =
a
Ví d . Cho phương trình x 4 − 8 x 3 + 19 x 2 + ax + 2 = 0 . Bi t r ng phương trình có b n nghi m
x1 , x2 , x3 , x4 tho mãn ñi u ki n x1 + x2 = x3 + x4 . Hãy tìm a và gi i phương trình ñã cho.
L i gi i. Theo ñ nh lí Viète, ta có x1 + x2 + x3 + x4 = 8 ⇒ x1 + x2 = x3 + x4 = 4 .
M t khác x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x4 = x1.x2 + x3 .x4 + x1.( x3 + x4 ) + x2 ( x3 + x4 )
= x1.x2 + x3 .x4 + ( x1 + x2 )( x3 + x4 ) = 19 .
Do ñó x1.x2 + x3 .x4 = 3 .
Ta l i có x1.x2 .x3 .x4 = 2 , suy ra x1 x2 = 1, x3 x4 = 2 ho c x1 x2 = 2, x3 x4 = 1
N u x1.x2 = 1 thì x3 .x4 = 2 . Khi ñó x1.x2 x3 + x1.x2 x4 + x1.x3 x4 + x2 .x3 x4 = x3 + x4 + 2 ( x1 + x2 ) = 12 .
x + x2 = 4
x + x4 = 4
x1,2 = 2 ± 3
V y a = −12 . Vì 1
và 3
nên suy ra .
x1.x2 = 1
x3 .x4 = 2
x = 2 ± 2
3,4
Trư ng h p x3 x4 = 1 cũng làm tương t nhưng hoán ñ i vai trò c a x1 , x2 v i x3 , x4 .
4. Phương trình ñ i x ng b c n
Phương trình ñ i x ng b c n là phương trình có d ng
a0 x n + a1 x n−1 + ... + an−1 x + an = 0
Trong ñó dãy các h s là ñ i x ng, nghĩa là a0 = an ≠ 0 , a1 = an−1 …
7
8. Cách gi i
- ð i v i phương trình ñ i x ng b c ch n, gi s b c c a phương trình là n = 2m . Do x = 0
không th là nghi m nên ta có th chia c hai v c a phương trình cho x m . Sau ñó b ng cách nhóm
1
thích h p, v trái c a phương trình có th ñưa v d ng x k + k . Chúng ñ u là các bi u th c ñ i x ng
x
1 1
v i x và . Do ñó, n u ta bi t ñ t t = x + thì s ñưa ñ n phương trình b c k ñ i v i t .
x x
- ð i v i phương trình ñ i x ng b c l , ta d dàng th l i r ng phương trình luôn nh n x = −1 là 1
nghi m. Do v y, v i gi thi t x +1 ≠ 0 sao cho khi chia hai v cho x +1 , ta s ñư c 1 phương trình
ñ i x ng b c ch n.
Ví d 1. Gi i phương trình x 6 − 3 x5 + 6 x 4 − 7 x 3 + 6 x 2 − 3 x + 1 = 0 .
L i gi i. Chia c hai v cho x3 , ta ñư c
6 3 1 1 1 1
x 3 − 3 x 2 + 6 x − 7 + − 2 + 3 = 0 ⇔ x 3 + 3 − 3 x 2 + 2 + 6 x + − 7 = 0 .
x x x
x
x
x
1 1 1
ð t t = x + , ta có x3 + 3 = t 3 − 3t ; x 2 + 2 = t 2 − 2 . B i v y ta ñư c phương trình
x x x
t 3 − 3t 2 + 3t −1 = 0 ⇔ (t −1)3 = 0 ⇔ t = 1 .
1
T ñó phương trình ban ñ u tương ñương v i phương trình x + = 1 ⇔ x 2 − x +1 = 0 .
x
D th y phương trình trên vô nghi m. V y phương trình ñã cho vô nghi m.
Ví d 2. Gi i phương trình 2 x 7 − 5 x 6 − x 5 − 8 x 4 − 8 x3 − 5 x + 2 = 0 (Xem như bài t p)
M t s bài t p tham kh o
Bài 1. Gi i các phương trình
a) x3 − 3 x 2 + x + 1 = 0 b) x3 − 5 x 2 + x + 7 = 0 c) x3 + 2 x − 5 3 = 0
1
d) x3 − x − 2 = 0 e) x3 − 3 x 2 + 9 x − 9 = 0 f) x3 − x 2 − x =
3
g) x3 = 6 x 2 + 1 h) 8 x 3 − 2 x 2 − x + 1 = 0
Bài 2. Cho phương trình x3 − x + 1 = 0 có ba nghi m phân bi t x1 , x2 , x3 . Tính S = x18 + x2 + x3 .
8 8
Bài 3. Bi t r ng phương trình x3 + px + q = 0 có ba nghi m. Ch ng minh x13 + x2 + x3 = 3x1 x2 x3 .
3 3
Bài 4. Gi i và bi n lu n phương trình ( a, b là tham s ) x3 − 3abx + a 3 + b3 = 0 .
Bài 5. Gi i các phương trình sau
a) 2 x 4 + 5 x 3 + x 2 + 5 x + 2 = 0 c) x 4 + ( x −1) ( x 2 − 2 x + 2) = 0
b) x 4 − 2 x 3 + 8 x 2 − 2 x + 1 = 0 d) x 4 + 3 x3 − 2 x 2 − 6 x + 4 = 0
Bài 6. Cho phương trình x 4 + px 3 + qx 2 + rx + s = 0 . Tìm ñi u ki n ñ phương trình có hai
nghi m th a ñi u ki n x1 + x2 = 0 .
8
9. 5. Phương trình b c l n hơn 4 và m t s tính ch t
5.1 Xét phương trình b c năm d ng x5 + ax + b = 0 , a, b ∈ ℤ .
ð nh lý 1. N u a ≡ b ≡ 1(mod 2) thì phương trình không gi i ñư c b ng căn th c
ð nh lý 2. N u a là s nguyên t , a ≡ 1(mod 5) và (a, b) = 1 thì phương trình (1) không gi i ñư c
b ng căn th c.
Ta th a nh n các tính ch t trên. T ng quát hơn ta có ñ nh lý sau (và cũng ñư c th a nh n)
5.2 ð nh lý. Xét phương trình f ( x) = 0 , trong ñó f ( x ) là ña th c h s nguyên có b c l n hơn ho c
b ng 5. N u f là ña th c b t kh quy trên ℚ và có ñúng 2 nghi m ph c trong ℂ thì phương trình
f ( x) = 0 không gi i ñư c b ng căn th c.
ð minh h a cho ñ nh lý trên, ta xét ví d sau. “Phương trình f ( x ) = x 5 − 6 x + 3 = 0 không gi i
ñư c b ng căn th c”.
Th t v y, theo tiêu chu n Eisenstein, ña th c f ( x ) = x 5 − 6 x + 3 là ña th c b t kh trên ℚ . Do ñó,
ta ch c n ch ng minh phương trình có ñúng 2 nghi m ph c hay ch ng minh phương trình có ñúng 3
nghi m th c.
ð ch ng minh ñi u này ta c n s d ng m t k t qu r t quan tr ng trong gi i tích, thư ng ñư c g i
là ñ nh lý Rolle
“N u hàm f ( x) liên t c trên ño n [ a, b ] , kh vi trong kho ng (a, b) và f (a) = f (b) thì t n t i
m t ñi m c ∈ (a, b) sao cho f '(c ) = 0 ”.
V i f ( x ) = x 5 − 6 x + 3 , ta có f '( x) = 5 x 4 − 6 . D th y r ng f ' có hai nghi m là ± 4 6 . S d ng
5
ñ nh lý Rolle, ta nh n th y f ch có th có t i ña 3 nghi m th c.
M t khác, ta l i có f (−2) = −17, f (−1) = 8, f (1) = −2, f (2) = 23 , và f là hàm liên t c nên ch
có th ñ i d u m i khi ñ th c a nó c t tr c hoành, nên f có ít nh t 3 nghi m th c.
V y f có ñúng 3 nghi m th c. Suy ra ñi u ph i ch ng minh.
Bài t p. Ch ng minh r ng các phương trình sau ñây không gi i ñư c b ng căn th c
a) x5 − 4 x + 2 = 0 b) x5 − 4 x 2 + 2 = 0 c) x5 − 6 x 2 + 3 = 0 d) x 7 −10 x5 + 15 x + 5 = 0
9