SlideShare a Scribd company logo
1 of 9
Download to read offline
Sơ Lư c V Phương Trình B c Cao
                      http://dinhtiennguyen.blogspot.com


1. L i gi i thi u
     Con ngư i ñã bi t v phương trình và các cách gi i phương trình b c nh t, b c hai khá s m
 (kho ng 2000 TCN ) nhưng mãi ñ n ñ n th k th XVI, các nhà toán h c La Mã là Tartlia ( 1500 -
 1557), Cardano (1501 - 1576) và nhà toán h c Ferrari (1522 - 1565) m i gi i ñư c các phương trình
 b c ba và b c b n d ng t ng quát.
     ð n t n ñ u th k XIX, nhà toán h c ngư i Na Uy Henrik Abel ch ng minh ñư c r ng không có
 cách gi i phương trình t ng quát b c l n hơn b n b ng các phương toán h c thông thư ng c a ñ i s .
 Không lâu sau ñó, nhà toán h c ngư i Pháp Évariste Galois ñã hoàn t t công trình lý thuy t v phương
 trình ñ i s c a loài ngư i.
     Chính vì v y, trong chuyên ñ kì này chúng ta s tìm hi u k hơn v cách gi i các phương trình
 trên, kèm theo ñó là m t s ví d c th v các phương trình d ng ñ c bi t hơn.
2. Phương Trình B c 3
2.1 Phương trình b c 3 có d ng
                                    AX 3 + BX 2 + CX + D = 0 ( A ≠ 0) (1)
    Vào năm 1545, Cardano ñã công b cách gi i phương trình (1)
    Trư c h t do A ≠ 0 nên chia hai v c a (1) cho A , ta ñư c phương trình d ng
                                         X 3 + mX 2 + nX + c = 0 (2)
                             m
    B ng cách ñ t X = x −      , ta ñưa (2) v phương trình b c 3 thi u
                             3
                                                          m2              2m3 mn
                        x3 + ax + b = 0 (3) , v i a = n −    và b = c +       −
                                                          3                27   3
    ð t x = u + v . Như th    v có th ch n giá tr tùy ý. Thay vào (3) ta có
                      (u + v)3 + a (u + v ) + b = 0 ⇔ (u 3 + v3 + b) + (u + v)(3uv + a ) = 0
    Ch n v sao cho 3uv + a = 0 , bài toán quy v h phương trình
                                     u 3 + v 3 = −b
                                                        
                                                         u 3 + v 3 = −b
                                     
                                                        
                                                         
                                                    hay  3 3 −a3
                                      uv = −a
                                                        u v =
                                                         
                                     
                                                3       
                                                         
                                                                    27
                                                              a3
    Như v y u 3 , v 3 là nghi m c a phương trình t 2 + bt −      = 0 (4)
                                                              27
                   4a 3
    ð t ∆ = b2 +        . N u ∆ > 0 thì phương trình (4) có hai nghi m phân bi t
                   27
                                         −b − ∆ 3 −b + ∆
                                        v3 =      ,u =
                                            2                  2
    Do ñó công th c nghi m t ng quát c a phương trình (3) là :
                                     −b + ∆ 3 −b − ∆              4a 3
                              x= 3         +         v i ∆ = b2 +
                                        2        2                27
    V y công th c nghi m t ng quát c a phương trình (1) là


                                                                                                  1
−b + ∆ 3 −b − ∆ m
                                       X=3            +        −
                                                   2        2    3
   V i trư ng h p ∆ ≤ 0 thì cũng có th s d ng công th c Cardano nhưng khi ∆ < 0 ph i bi t khai
căn b c ba c a s ph c, ñó là m t v n ñ r t ph c t p. Sau ñây chúng tôi s gi i thi u v i các b n
phương pháp lư ng giác s d ng khi ∆ ≤ 0 .
    Trong x3 + ax + b = 0 ⇔ x3 + ax = −b . Ta ñ t x = k cos y thì k 3 cos3 y + ak cos y = −b (5)
                4a
    ð t k2 =−      (vì ∆ ≤ 0 thì p ≤ 0 ) thì phương trình (5) tr thành
                 3
                                                              3b   3b 3
                                        4 cos3 y − 3cos y =      =      .
                                                              ka a −4a

                      4a 3     3b    3b 3         3b
    Nhưng ∆ = b 2 +        ≤0⇔    =       ≤1. ð t    = cos G , thì 4 cos 2 y − 3cos y = cos G .
                      27       ka   a −4a         ka

    Suy ra nghi m c a phương trình x3 + ax + b = 0 là
                                        G               G + 2π 
                                                                               G + 4π 
                                                                                        
                           x1 = k cos     ; x2 = k cos 
                                                                ; x3 = k cos 
                                                                                      .
                                                                                        
                                        3               3 
                                                                              
                                                                                3 
    Do ñó nghi m t ng quát c a phương trình (1) khi ∆ ≤ 0 là
                                 G m               G + 2π  m
                                                            − , X = k cos  G + 4π  − m .
                                                                                   
                   X 1 = k cos    − , X 2 = k cos         
                                 3 3
                                                  
                                                   3  3 3
                                                                          3  3
                                                                           
                                                                                   
                                                                                    
    Nh n xét.
    ∆ > 0 thì phương trình (1) có 1 nghi m ñơn.
    ∆ = 0 thì phương trình (1) có 2 nghi m, trong ñó có 1 nghi m kép.
    ∆ < 0 thì phương trình (1) có 3 nghi m phân bi t.
    M t s trư ng h p ñ c bi t:
    N u a + b + c + d = 0 thì (1) có nghi m x = 1 . N u a − b + c − d = 0 thì (1) có nghi m x = −1 .
                                                   p
    N u a, b, c, d ∈ ℤ thì (1) thì có nghi m h u t   thì p, q theo th t là ư c c a d và a .
                                                   q
                                                      c
    N u ac 3 = db3 (a, d ≠ 0) thì (1) có nghi m x = −
                                                      b
                                 3     2
    Ví d . Gi i phương trình x + x − 2 x − 2 2 = 0 .
    L i gi i.
                                   3                                                  c
                           (       )
    Nh n xét. Vì ac 3 = 1. − 2 = db3 = −2 2 nên phương trình có nghi m x = − = 2 . Bi n ñ i
                                                                                      b
                                                            x− 2 = 0
                                                            
                       (          )(    (          )
phương trình v d ng x − 2 x 2 − 2 + 1 x + 2 = 0 ⇔  2    )                         ⇔ x= 2 .
                                                                       (
                                                             x − 2 +1 x + 2 = 0
                                                                               )
2.2 M t s ví d
    Ví d 1. Gi i phương trình y 3 + 3 y 2 + 12 y −16 = 0 .
                                            3            2
    L i gi i. ð t y = x −1 , ta có ( x −1) + 3( x −1) +12 ( x −1) −16 = 0 ⇔ x 3 + 9 x − 26 = 0 . Ta có

                                                4a 3             4.(9)3
                                   ∆ = b2 +          = (−26) 2 +        = 784 > 0 ,
                                                27                 27
                                   −b + ∆ 26 + 784
                           u3 =          =         = 27 ⇒ u = 3 ⇒ v = −1 .
                                      2       2

2
Vì phương trình x3 +9x−26 =0 có nghi m x=3−1=2 nên phương trình ñã cho có m t nghi m y =1.
                                                  7   11
    Ví d 2. Gi i phương trình y 3 + 5 y 2 +         y− = 0 .
                                                  3    9
                                              3             2
                         5              x − 5  + 5  x − 5  + 7  x − 5  − 11 = 0 ⇔ x 3 − 6 x + 4 = 0
                                                                      
    L i gi i. ð t y = x − , ta có                                     
                         3             
                                            3     
                                                          3   3     3 9
                                                                           
               4a 3        4.(−6)3                  −4a
    ∆ = b2 +        = 42 +         = −16 < 0, k 2 =     =8⇒k = 2 2
               27             27                     3
                     3b   3.4    −1
    Suy ra cos G =      =      =    ⇒ G = 135° . Do ñó :
                     ak −6.2 2    2
                                                        135°        1
                                        x1 = 2 2.cos.        = 2 2.    =2,
                                                          3          2
                                   135° + 360°
                   x2 = 2 2.cos.
                                        3
                                               = 2 2 cos165° = −2 2 cos15° = −            (       )
                                                                                              3 −1 ,

                                135° + 720°
                     x3 = 2 2.cos           = 2 2.cos 285° = 2 2. cos 75° = 3 −1 .
                                     3
    Do ñó phương trình ñã cho có nghi m là
                      5 1                 5 −3 3 − 8              5 3 3 −8
                      3 3
                                         (
              y1 = 2 − = , y2 = − 3 + 1 − =
                                          3    3
                                                   ) và y3 = 3 −1− =
                                                                  3   3
                                                                           .

2.3 ð nh lí Viète c a phương trình b c ba
    N u phương trình b c ba Ax 3 + Bx 2 + Cx + D = 0 ( A ≠ 0) có 3 nghi m x1 , x2 , x3 thì
                                              
                                                                 −B
                                               x1 + x2 + x3 =
                                              
                                              
                                                                  A
                                              
                                              
                                              x x + x x + x x = C .
                                               1 2     1 3    2 3
                                              
                                                                    A
                                              
                                              
                                                              −D
                                                   x1 x2 x3 =
                                              
                                              
                                                               A
    Bài t p áp d ng. Gi s phương trình x3 + ax 2 + bx + c = 0 có ba nghi m x1 , x2 , x3 . Hãy tìm m i
                                 2
liên h gi a a, b, c khi x1 x3 = x2 .
                                        x1 + x2 + x3 = −a (6)
                                       
                                       
                                       
    L i gi i. Theo ñ nh lí Viét, ta có x1 x2 + x1 x3 + x2 x 3 = b (7) . Gi s x1 x3 = x2 . Có 2 kh năng x y ra
                                       
                                                                                       2
                                       
                                        x x x = −c (8)
                                       
                                       
                                             1 2 3


    * x2 = 0 ⇒ x1 = 0 ho c x3 = 0 ⇒ b = c = 0
                                                                x1 x2
    * x2 ≠ 0 . Lúc này ta có th vi t h th c ñã cho là             = = t. T ñó có th tính ñư c x1 , x3 theo
                                                                x2 x3
                             x2
t và x2 : x1 = tx2 và x3 =      . Thay vào (6), (7) và (8), ta thu ñư c
                             t

                                  t + 1 + 1 x2 = −a, t + 1 + 1 x2 = b, x2 = −c .
                                                               2        3
                                  
                                   t       
                                                      
                                                        t       
                                                                 
                                                              
                                                                             3
                  1                                b        −b 
    Chú ý r ng t + +1 ≠ 0 , ta suy ra h th c x2 = − ⇒ x2 =   = −c ⇒ b3 = a 3c .
                                                       3
                                                            
                  t                                a        
                                                            a 
    H th c này v n ñúng khi b = c = 0 . V y b3 = a 3c là h th c c n tìm.

                                                                                                             3
http://dinhtiennguyen.blogspot.com
 3. Phương trình b c 4
    Phương trình b c b n là phương trình có d ng
                                              Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0 ,
trong ñó x là n s còn A, B, C , D, E là các h s v i a ≠ 0 .
    Trư c h t ta hãy xét m t s d ng phương trình b c b n mà qua phép bi n ñ i ho c ñ t n ph ta
có th quy v vi c gi i m t phương trình b c hai
 3.1 Phương trình trùng phương
                                                                                  ay 2 + by + c = 0
                                                                                  
    Phương trình có d ng ax 4 + bx 2 + c = 0 . ð t y = x 2 ≥ 0 ta ñưa v vi c gi i 
                                                                                                    .
                                                                                  
                                                                                  
                                                                                        y≥0
                                      4            4
 3.2 Phương trình d ng ( x + a ) + ( x + b) = c .
                                                                                         a +b          a +b
    Có th ñưa v phương trình trùng phương nh phép ñ t n ph y = x +                            ⇒ x = y−      .
                                                                                           2             2
                                                           4                 4                 4          4
                     4           
                                 4     a +b            a −b            a −b 
                                                                                          
                                                                                        b−a
    Khi ñó ( x + a) + ( x + b) =  y −
                                           + a +  y +
                                                
                                                            + b =  y +
                                                                  
                                                                              + y +
                                                                                         
                                                                                           
                                 
                                        2               2               2        2 
               a −b                  4           4
    ð t k=          . Ta có ( y + k ) + ( y − k ) = 2 y 4 + 12 y 2 k 2 + 2k 4 = c .
                 2
                                                                                            a −b
    V y ta có phương trình trùng phương 2 y 4 + 12 y 2 k 2 + 2k 4 − c = 0 v i k =
                                                                                              2
                                          4            4
    Ví d . Gi i phương trình ( x −1) + ( x + 3) = 256 (1)
    L i gi i. ð t y = x + 1 . Khi ñó
                                              4                4
                             (1) ⇔ ( y − 2) + ( y + 2) = 256 ⇔ 2 y 4 + 48 y 2 −112 = 0
                                                        t=4
    ð t t = y 2 ≥ 0 , ta ñư c 2t 2 + 48t 2 − 224 = 0 ⇔          .
                                                       t = −28
    Vì t ≥ 0 nên t = 4 ⇒ y = ±2 ⇒ x = 1 ho c x = 3 .
   *Chú ý. N u c n ki m tra phương trình b c b n d ng t ng quát ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 ,
                                                               b
(a ≠ 0) có trùng phương hay không ,ta ch c n ñ t n ph t = x + .
                                                              4a
   N u sau khi thay vào phương trình ñã cho ta không ñư c phương trình trùng phương theo bi n t thì
phương trình ñã cho không thu c thu c d ng trùng phương.
3.3 Phương trình d ng ( x + a)( x + b)( x + c )( x + d ) = m v i a + b = c + d .

    Vi t phương trình ñã cho dư i d ng  x 2 + (a + b) x + ab  x 2 + (c + d ) x + cd  = m
    ð t t = x 2 + (a + b) x + ab ñưa v phương trình b c hai theo t .
    Ví d . Gi i phương trình ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 3 (1)
    L i gi i. Nh n xét 1 + 4 = 2 + 3 nên phương trình ñã cho tương ñương v i
                                        ( x 2 + 5x + 4)( x 2 + 5x + 6) = 3
    ð t t = x 2 + 5 x + 4 . Ta có (1) ⇔ t (t + 2) = 3 ⇔ t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −3
                                                           −5 ± 13
    Khi t = 1 ⇒ x 2 + 5 x + 4 = 1 ⇔ x 2 + 5 x + 3 − 0 ⇔ x =        .
                                                               2
    Khi t = −3 ⇔ x 2 + 5 x + 4 = −3 ⇔ x 2 + 5 x + 7 = 0 phương trình vô nghi m
                                           −5 + 13            −5 − 13
    V y phương trình (1) có 2 nghi m x1 =              , x2 =
                                                 2               2
4
Chú ý. Phương trình trên m r ng thành
                              (a1 x + a2 )(b1 x + b2 )(c1 x + c2 )(d1 x + d 2 ) = m ,
v i ñi u ki n a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d 2 + c2 d1 . Khi ñó ta ñ t t = (a1 x + a2 )(b1 x + b2 )
    Ví d . Gi i phương trình (2 x −1)( x −1)( x − 3)(2 x + 3) = −9
    L i gi i. Phương trình vi t l i dư i d ng (2 x 2 − 3 x + 1)(2 x 2 − 3 x − 9) = −9 .
    ð t t = 2 x 2 − 3x +1 . Ta có phương trình t (t −10) = −9 ⇔ t 2 −10t + 9 = 0 ⇔ t = 1∨ t = 9 .
                                                                   3
    V i t = 1 ⇒ 2 x 2 − 3 x + 1 = 1 ⇔ 2 x 2 − 3x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = .
                                                                   2
                                                                3 ± 73
    V i t = 9 ⇔ 2 x 2 − 3x +1 = 9 ⇔ 2 x 2 − 3x − 8 = 0 ⇔ x =             .
                                                                   4
                                                    3     3 + 73           3 − 73
    V y phương trình có 4 nghi m x1 = 0, x2 = , x3 =               , x4 =         .
                                                    2         4               4
3.4 Phương trình ñ i x ng b c b n (Phương trình h i quy)
    Phương trình ñ i x ng b c b n là phương trình có d ng ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ( a ≠ 0 )
    Cách gi i.
    Bư c 1. Ki m tra x = 0 có là nghi m c a phương trình hay không?
    Bư c 2. Tìm nghi m x ≠ 0 .
    Chia c hai v c a phương trình cho x 2 ta ñư c
                                       b a                 1          1
                        ax 2 + bx + c + + 2 = 0 ⇔ a  x 2 + 2  + b  x +  + c = 0 (2)
                                                             
                                                                        
                                                                          
                                       x x          
                                                          x       
                                                                        x
               1        1
    ð t t = x + ⇒ x 2 + 2 = t 2 − 2 . Khi ñó phương trình (2) tr thành
               x       x
                                     a (t 2 − 2) + bt + c = 0 ⇔ at 2 + bt + c = 0
                        1
    V i cách ñ t t = x + , s d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
                        x
                                             1   x 2 + 1 x 2 +1      1
                                   t = x+      =        =       = x + ≥2.
                                             x      x       x        x
    Như v y t phương trình ñ i x ng b c 4 ta chuy n v phương trình b c 2 theo bi n t v i t ≥ 2 .
    Ví d . Gi i phương trình x 4 + 2 x 3 + x 2 + 2 x + 1 = 0 .
    L i gi i. Vì x = 0 không là nghi m c a phương trình, chia hai v cho x 2 , ta ñư c
                                          2 1               1          1
                           x 2 + 2 x + 1 + + 2 = 0 ⇔  x 2 + 2  + 2. x +  + 1 = 0 .
                                                              
                                                                         
                                                                           
                                          x x        
                                                           x       
                                                                         x
           1
    ð t t = + x , ta có t 2 − 2 + 2t +1 = 0 ⇔ t = −1 ± 2 .
           x
    Vì t ≥ 2 nên t = −1 + 2 . Suy ra

                       1                                            −1− 2 ± 2 2 −1
                        x
                                                 (        )
                   x + = −1− 2 ⇔ x 2 + x 1 + 2 + 1 = 0 ⇔ x =
                                                                            2
                                                                                       .

 Chú ý. ð i v i phương trình b c 4 có h s ñ i x ng l ch (phương trình ph n h i quy), d ng
ax 4 + bx3 + cx 2 − bx + a = 0 (a ≠ 0) thì ta v n có cách tương t và ñưa phương trình ñã cho v d ng
at 2 + bt + c + 2a = 0 .


                                                                                                        5
3.5 Phương trình b c 4 có h s ñ i x ng t l (phương trình ph n h i)
    Phương trình ph n h i là phương trình có d ng ax 4 + bx 3 + cx 2 + bkx + ak 2 = 0(a ≠ 0, k ≠ 0) .
    Cách gi i. Tương t như cách gi i các phương trình trên h i quy và ph n h i quy, b ng cách chia
                                                            k
hai v cho x 2 (n u x = 0 không là nghi m ), và ñ t n ph t = + x , ta ñư c phương trình
                                                            x
                                                at 2 + bt + c − 2ak = 0 .
    Ví d . Gi i phương trình 2 x 4 − 21x3 + 34 x 2 + 105 x + 50 = 0 .
    L i gi i. Ta có x = 0 không là nghi m c a phương trình, chia hai v c a phương trình cho x 2 .
                                            105 50               25          5
                       2 x 2 − 21x + 34 +      + 2 = 0 ⇔ 2  x 2 + 2  − 21 x −  + 34 = 0
                                                                              
                                             x  x          
                                                                 x      
                                                                               x
                                                                                 
           5           25
    ð t x − = t ⇒ x 2 + 2 = t 2 + 10 , ta ñư c 2 (t 2 + 10) − 21t + 34 = 0 ⇔ t = 6 ∨ t = 9 2 .
           x           x
                               5
    * Trư ng h p 1. t = 6 ⇒ x − = 6 , ta có x 2 − 6 x − 5 = 0 ⇔ x = 3 ± 14 .
                               x
                       9       5 9                                  9 ± 161
    * Trư ng h p 2. t =   ⇒ x − = , ta có 2 x 2 − 9 x −10 = 0 ⇔ x =         .
                        2      x 2                                     4
3.6 Cách gi i t ng quát phương trình b c 4
    Không m t tính t ng quát (b ng cách chia hai v c a phương trình cho h s c a x 4 ) ta ñưa phương
trình v d ng
                            x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ⇔ x 4 + ax 3 = −bx 2 − cx − d
                                                  2
           a2 x2                             ax        a2 
    Thêm         vào c hai v , ta ñư c  x 2 +  = x 2 . − b − cx − d .
                                                
                                                           
                                                             
            4                          
                                             2        
                                                        4   
                                                             
                                                           ax    y2
    C ng vào hai v c a phương trình này cho tam th c  x 2 +  y +
                                                                    v i y là h ng s
                                                     
                                                           2    4
                                        2  2                             2     
                           x 2 + ax + y  =  a − b − y.x 2 +  ay − c x +  y − d (1)
                                                                               
                          
                                 2 2  4
                                                      
                                                        
                                                               2
                                                                       
                                                                             4
                                                                                     
                                                                                      
                                                                                      
    Ch n y sao cho tam th c b c hai           v ph i có nghi m kép, hay
           ay  2     2
                      a
                                 2     
                                 ay − d  = 0 ⇔ y 3 − by 2 + (ac − 4d ) y − d (c 2 − 4b) − c 2 = 0 (2)
                                         
                              
      ∆ =  − c  − 4  − b + y 
                                        
          
          2         4
                                4
                                       
                                         
    ðây là m t phương trình b c ba và ta ñã bi t cách gi i. ð t
                              2                               2     
                              a − b + y .x 2 +  ay − c x +  y − d  = ( Ax + B )2
                                                      
                                                                     
                             4          
                                                
                                                 2
                                                        
                                                              4      
                                                                       
                                                                    
    Gi s    y0 là m t nghi m c a phương trình (2). Khi ñó thay y0 vào ta ñư c phương trình (1) có d ng
                   2
     2 ax y                                                              
     x + +  = ( Ax + B )2 ⇔  x 2 + ax + y + Ax + B. x 2 + ax + y − Ax − B = 0
                                                                         
    
        2 2                
                                     2 2            
                                                             2 2            
                                                                              
                                      ax y                       ax y
                                   ⇔ x2 ++ + Ax + B = 0 ∨ x 2 + + − Ax − B = 0 .
                                       2 2                        2 2
    Như v y vi c gi i phương trình b c b n qui v vi c gi i hai phương trình b c hai và m t phương
trình b c ba.
    Ví d . Gi i phương trình x 4 + 8 x 3 + 15 x 2 − 4 x − 2 = 0 .
    L i gi i. Ta có
6
2
           x 4 + 8 x 3 + 15 x 2 − 4 x − 2 = 0 ⇔ x 4 + 8 x3 = 4 x + 2 −15 x 2 ⇔ ( x 2 + 4 x) = x 2 + 4 x + 2 .

                                                                 y2
   C ng hai v c a phương trình trên cho ( x 2 + 4 x) y +            , ta ñư c
                                                                 4
                                            2                                 2    
                              x 2 + 4 x + y  = (1 + y ) x 2 + (4 + 4 y ) x +  y + 2 (3).
                                                                                   
                             
                                          2                                 4
                                                                                     
                                                                                      
                                                                                      
   Lưu ý ch n y sao cho v ph i là m t bình phương, mu n v y, bi t s ∆ c a tam th c b c hai ñ i
v i x ph i b ng 0 ,
                                2             y2 
                                                  
                                             
                  ∆ = (4 + 4 y ) − 4 (1 + y ) + 2 = 0 ⇔ (1 + y ) 16.(1 + y ) − ( y 2 + 8) = 0 .
                                                  
                                             4
                                                 
                                                                                           

   Ta có ngay giá tr y = −1 . Thay vào (3) phương trình tr thành
                                                    2        1 3
                                          2         x + 4x − =        x = −2 ± 3
                           x 2 + 4 x − 1  = 9 ⇔ 
                                                            2 2
                                                                  ⇔             .
                          
                                       2   4     2       1    3    x = −2 ± 6
                                                    x + 4x − = −
                                                           2    2
3.7 ð nh lí Viète cho phương trình b c 4
   N u phương trình b c b n ax 4 + bx 3 + cx 2 + d + e = 0 (a ≠ 0) có b n nghi m thì
                                   
                                                                      b
                                   
                                            x1 + x2 + x3 + x4 = −
                                   
                                                                      a
                                   
                                   
                                   x x + x x + x x + x x + x x + x x = c
                                    1 2   2 3    3 4       1 3    1 4    2 4
                                   
                                                                               a
                                   
                                   
                                    x x x + x x x + x x x + x x x =−d
                                    1 2 3
                                              1 2 4      2 3 4     1 3 4
                                                                             a
                                   
                                   
                                                                e
                                   
                                                  x1 x2 x3 x4 =
                                   
                                                                a
     Ví d . Cho phương trình x 4 − 8 x 3 + 19 x 2 + ax + 2 = 0 . Bi t r ng phương trình có b n nghi m
x1 , x2 , x3 , x4 tho mãn ñi u ki n x1 + x2 = x3 + x4 . Hãy tìm a và gi i phương trình ñã cho.
   L i gi i. Theo ñ nh lí Viète, ta có x1 + x2 + x3 + x4 = 8 ⇒ x1 + x2 = x3 + x4 = 4 .
   M t khác x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x4 = x1.x2 + x3 .x4 + x1.( x3 + x4 ) + x2 ( x3 + x4 )
                                                           = x1.x2 + x3 .x4 + ( x1 + x2 )( x3 + x4 ) = 19 .
   Do ñó x1.x2 + x3 .x4 = 3 .
   Ta l i có x1.x2 .x3 .x4 = 2 , suy ra x1 x2 = 1, x3 x4 = 2 ho c x1 x2 = 2, x3 x4 = 1
   N u x1.x2 = 1 thì x3 .x4 = 2 . Khi ñó x1.x2 x3 + x1.x2 x4 + x1.x3 x4 + x2 .x3 x4 = x3 + x4 + 2 ( x1 + x2 ) = 12 .
                                                                          
                     x + x2 = 4
                                    x + x4 = 4
                                                                          x1,2 = 2 ± 3
                                                                          
   V y a = −12 . Vì  1
                                và  3
                                                nên suy ra                             .
                     x1.x2 = 1
                    
                                    x3 .x4 = 2
                                    
                                                                         x = 2 ± 2
                                                                           3,4
                                                                          
                                                                          
   Trư ng h p x3 x4 = 1 cũng làm tương t nhưng hoán ñ i vai trò c a x1 , x2 v i x3 , x4 .
4. Phương trình ñ i x ng b c n
   Phương trình ñ i x ng b c n là phương trình có d ng
                                         a0 x n + a1 x n−1 + ... + an−1 x + an = 0
   Trong ñó dãy các h s là ñ i x ng, nghĩa là a0 = an ≠ 0 , a1 = an−1 …

                                                                                                                       7
Cách gi i
    - ð i v i phương trình ñ i x ng b c ch n, gi s b c c a phương trình là n = 2m . Do x = 0
không th là nghi m nên ta có th chia c hai v c a phương trình cho x m . Sau ñó b ng cách nhóm
                                                             1
thích h p, v trái c a phương trình có th ñưa v d ng x k + k . Chúng ñ u là các bi u th c ñ i x ng
                                                             x
          1                                1
v i x và . Do ñó, n u ta bi t ñ t t = x + thì s ñưa ñ n phương trình b c k ñ i v i t .
          x                                x
    - ð i v i phương trình ñ i x ng b c l , ta d dàng th l i r ng phương trình luôn nh n x = −1 là 1
nghi m. Do v y, v i gi thi t x +1 ≠ 0 sao cho khi chia hai v cho x +1 , ta s ñư c 1 phương trình
ñ i x ng b c ch n.
    Ví d 1. Gi i phương trình x 6 − 3 x5 + 6 x 4 − 7 x 3 + 6 x 2 − 3 x + 1 = 0 .
    L i gi i. Chia c hai v cho x3 , ta ñư c
                                      6 3    1              1            1          1
               x 3 − 3 x 2 + 6 x − 7 + − 2 + 3 = 0 ⇔  x 3 + 3  − 3 x 2 + 2  + 6  x +  − 7 = 0 .
                                                                                     
                                      x x   x        
                                                           x  
                                                                         x      
                                                                                        x
                                                                                          
               1             1                    1
    ð t t = x + , ta có x3 + 3 = t 3 − 3t ; x 2 + 2 = t 2 − 2 . B i v y ta ñư c phương trình
               x            x                    x
                                            t 3 − 3t 2 + 3t −1 = 0 ⇔ (t −1)3 = 0 ⇔ t = 1 .
                                                                1
    T ñó phương trình ban ñ u tương ñương v i phương trình x + = 1 ⇔ x 2 − x +1 = 0 .
                                                                x
    D th y phương trình trên vô nghi m. V y phương trình ñã cho vô nghi m.
    Ví d 2. Gi i phương trình 2 x 7 − 5 x 6 − x 5 − 8 x 4 − 8 x3 − 5 x + 2 = 0 (Xem như bài t p)
    M t s bài t p tham kh o
    Bài 1. Gi i các phương trình
    a) x3 − 3 x 2 + x + 1 = 0      b) x3 − 5 x 2 + x + 7 = 0         c) x3 + 2 x − 5 3 = 0
                                                                                            1
    d) x3 − x − 2 = 0              e) x3 − 3 x 2 + 9 x − 9 = 0       f) x3 − x 2 − x =
                                                                                            3
    g) x3 = 6 x 2 + 1              h) 8 x 3 − 2 x 2 − x + 1 = 0
    Bài 2. Cho phương trình x3 − x + 1 = 0 có ba nghi m phân bi t x1 , x2 , x3 . Tính S = x18 + x2 + x3 .
                                                                                                 8    8



    Bài 3. Bi t r ng phương trình x3 + px + q = 0 có ba nghi m. Ch ng minh x13 + x2 + x3 = 3x1 x2 x3 .
                                                                                  3    3



    Bài 4. Gi i và bi n lu n phương trình ( a, b là tham s ) x3 − 3abx + a 3 + b3 = 0 .
    Bài 5. Gi i các phương trình sau
    a) 2 x 4 + 5 x 3 + x 2 + 5 x + 2 = 0            c) x 4 + ( x −1) ( x 2 − 2 x + 2) = 0
    b) x 4 − 2 x 3 + 8 x 2 − 2 x + 1 = 0            d) x 4 + 3 x3 − 2 x 2 − 6 x + 4 = 0
   Bài 6. Cho phương trình x 4 + px 3 + qx 2 + rx + s = 0 . Tìm ñi u ki n ñ phương trình có hai
nghi m th a ñi u ki n x1 + x2 = 0 .




8
5. Phương trình b c l n hơn 4 và m t s tính ch t
 5.1 Xét phương trình b c năm d ng x5 + ax + b = 0 , a, b ∈ ℤ .
   ð nh lý 1. N u a ≡ b ≡ 1(mod 2) thì phương trình không gi i ñư c b ng căn th c
   ð nh lý 2. N u a là s nguyên t , a ≡ 1(mod 5) và (a, b) = 1 thì phương trình (1) không gi i ñư c
b ng căn th c.
   Ta th a nh n các tính ch t trên. T ng quát hơn ta có ñ nh lý sau (và cũng ñư c th a nh n)
 5.2 ð nh lý. Xét phương trình f ( x) = 0 , trong ñó f ( x ) là ña th c h s nguyên có b c l n hơn ho c
b ng 5. N u f là ña th c b t kh quy trên ℚ và có ñúng 2 nghi m ph c trong ℂ thì phương trình
f ( x) = 0 không gi i ñư c b ng căn th c.
   ð minh h a cho ñ nh lý trên, ta xét ví d sau. “Phương trình f ( x ) = x 5 − 6 x + 3 = 0 không gi i
ñư c b ng căn th c”.
    Th t v y, theo tiêu chu n Eisenstein, ña th c f ( x ) = x 5 − 6 x + 3 là ña th c b t kh trên ℚ . Do ñó,
ta ch c n ch ng minh phương trình có ñúng 2 nghi m ph c hay ch ng minh phương trình có ñúng 3
nghi m th c.
    ð ch ng minh ñi u này ta c n s d ng m t k t qu r t quan tr ng trong gi i tích, thư ng ñư c g i
là ñ nh lý Rolle
   “N u hàm f ( x) liên t c trên ño n [ a, b ] , kh vi trong kho ng (a, b) và f (a) = f (b) thì t n t i
m t ñi m c ∈ (a, b) sao cho f '(c ) = 0 ”.

   V i f ( x ) = x 5 − 6 x + 3 , ta có f '( x) = 5 x 4 − 6 . D th y r ng f ' có hai nghi m là ± 4 6 . S d ng
                                                                                                  5

ñ nh lý Rolle, ta nh n th y f ch có th có t i ña 3 nghi m th c.
    M t khác, ta l i có f (−2) = −17, f (−1) = 8, f (1) = −2, f (2) = 23 , và f là hàm liên t c nên ch
có th ñ i d u m i khi ñ th c a nó c t tr c hoành, nên f có ít nh t 3 nghi m th c.
   V y f có ñúng 3 nghi m th c. Suy ra ñi u ph i ch ng minh.
   Bài t p. Ch ng minh r ng các phương trình sau ñây không gi i ñư c b ng căn th c
   a) x5 − 4 x + 2 = 0       b) x5 − 4 x 2 + 2 = 0    c) x5 − 6 x 2 + 3 = 0   d) x 7 −10 x5 + 15 x + 5 = 0




                                                                                                             9

More Related Content

What's hot

75 bài tập hệ phương trình
75 bài tập hệ phương trình75 bài tập hệ phương trình
75 bài tập hệ phương trìnhtuituhoc
 
257 câu hệ phương trình
257 câu hệ phương trình257 câu hệ phương trình
257 câu hệ phương trìnhtuituhoc
 
Hệ phương trình
Hệ phương trìnhHệ phương trình
Hệ phương trìnhtuituhoc
 
72 hệ phương trình
72 hệ phương trình72 hệ phương trình
72 hệ phương trìnhHades0510
 
Bài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyênBài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyênDuong BUn
 
Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai ẨnHệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai ẨnNhập Vân Long
 
Ky thuat giai he phuong trinh
Ky thuat giai he phuong trinhKy thuat giai he phuong trinh
Ky thuat giai he phuong trinhHuynh ICT
 
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910lvquy
 
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốChuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốVui Lên Bạn Nhé
 
Tập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vn
Tập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vnTập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vn
Tập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vnMegabook
 
Mot so phuong phap giai phuong trinh nghiem nguyen
Mot so phuong phap giai phuong trinh nghiem nguyenMot so phuong phap giai phuong trinh nghiem nguyen
Mot so phuong phap giai phuong trinh nghiem nguyenCảnh
 
48 hệ phương trình
48 hệ phương trình48 hệ phương trình
48 hệ phương trìnhtuituhoc
 
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Sao Băng Lạnh Giá
 
Vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán
Vận dụng hằng đẳng thức vào giải toánVận dụng hằng đẳng thức vào giải toán
Vận dụng hằng đẳng thức vào giải toánCảnh
 
Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9
Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9
Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9Nhập Vân Long
 

What's hot (19)

75 bài tập hệ phương trình
75 bài tập hệ phương trình75 bài tập hệ phương trình
75 bài tập hệ phương trình
 
257 câu hệ phương trình
257 câu hệ phương trình257 câu hệ phương trình
257 câu hệ phương trình
 
Hệ phương trình
Hệ phương trìnhHệ phương trình
Hệ phương trình
 
72 hệ phương trình
72 hệ phương trình72 hệ phương trình
72 hệ phương trình
 
Bài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyênBài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyên
 
Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai ẨnHệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
 
Chuyen de-bdt-va-bpt
Chuyen de-bdt-va-bptChuyen de-bdt-va-bpt
Chuyen de-bdt-va-bpt
 
Ky thuat giai he phuong trinh
Ky thuat giai he phuong trinhKy thuat giai he phuong trinh
Ky thuat giai he phuong trinh
 
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
 
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốChuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
 
Tổng hợp hệ pt
Tổng hợp hệ ptTổng hợp hệ pt
Tổng hợp hệ pt
 
Tập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vn
Tập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vnTập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vn
Tập 2 chuyên đề Toán học: Phương trình vô tỷ - Megabook.vn
 
Giới hạn
Giới hạnGiới hạn
Giới hạn
 
Mot so phuong phap giai phuong trinh nghiem nguyen
Mot so phuong phap giai phuong trinh nghiem nguyenMot so phuong phap giai phuong trinh nghiem nguyen
Mot so phuong phap giai phuong trinh nghiem nguyen
 
48 hệ phương trình
48 hệ phương trình48 hệ phương trình
48 hệ phương trình
 
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
 
Vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán
Vận dụng hằng đẳng thức vào giải toánVận dụng hằng đẳng thức vào giải toán
Vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán
 
Ôn tập phương trình nghiệm nguyên trong toán THCS ôn thi vào lớp 10
Ôn tập phương trình nghiệm nguyên trong toán THCS ôn thi vào lớp 10Ôn tập phương trình nghiệm nguyên trong toán THCS ôn thi vào lớp 10
Ôn tập phương trình nghiệm nguyên trong toán THCS ôn thi vào lớp 10
 
Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9
Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9
Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9
 

Viewers also liked

Piff !
Piff !Piff !
Piff !ani2z
 
건강증진 및 위험소통을 위한 건강영향평가
건강증진 및 위험소통을 위한 건강영향평가건강증진 및 위험소통을 위한 건강영향평가
건강증진 및 위험소통을 위한 건강영향평가Eunjeong Kang
 
1314 염규하-축제
1314 염규하-축제1314 염규하-축제
1314 염규하-축제규하 염
 
Chuyên đề 10: Hệ phương trình
Chuyên đề 10: Hệ phương trìnhChuyên đề 10: Hệ phương trình
Chuyên đề 10: Hệ phương trìnhTôi Học Tốt
 
축제 세부 계획
축제 세부 계획축제 세부 계획
축제 세부 계획태훈 정
 
우리나라 방방곡곡 사용자분석
우리나라 방방곡곡 사용자분석우리나라 방방곡곡 사용자분석
우리나라 방방곡곡 사용자분석Eun Ju Chang
 
음악공연연주팀 섭외 플랫폼 비브
음악공연연주팀 섭외 플랫폼 비브음악공연연주팀 섭외 플랫폼 비브
음악공연연주팀 섭외 플랫폼 비브Changyoel Joen
 
청춘문화놀이단2기 안내자료
청춘문화놀이단2기 안내자료청춘문화놀이단2기 안내자료
청춘문화놀이단2기 안내자료MyeongJin Kim
 
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênThấy Tên Tao Không
 
Top 10 Email Tips for Financial Advisors
Top 10 Email Tips for Financial AdvisorsTop 10 Email Tips for Financial Advisors
Top 10 Email Tips for Financial AdvisorsFinworx
 
How to Become a Thought Leader in Your Niche
How to Become a Thought Leader in Your NicheHow to Become a Thought Leader in Your Niche
How to Become a Thought Leader in Your NicheLeslie Samuel
 

Viewers also liked (16)

Piff !
Piff !Piff !
Piff !
 
건강증진 및 위험소통을 위한 건강영향평가
건강증진 및 위험소통을 위한 건강영향평가건강증진 및 위험소통을 위한 건강영향평가
건강증진 및 위험소통을 위한 건강영향평가
 
1314 염규하-축제
1314 염규하-축제1314 염규하-축제
1314 염규하-축제
 
5조
5조5조
5조
 
지역축제매뉴얼
지역축제매뉴얼지역축제매뉴얼
지역축제매뉴얼
 
Chuyên đề 10: Hệ phương trình
Chuyên đề 10: Hệ phương trìnhChuyên đề 10: Hệ phương trình
Chuyên đề 10: Hệ phương trình
 
축제 세부 계획
축제 세부 계획축제 세부 계획
축제 세부 계획
 
우리나라 방방곡곡 사용자분석
우리나라 방방곡곡 사용자분석우리나라 방방곡곡 사용자분석
우리나라 방방곡곡 사용자분석
 
음악공연연주팀 섭외 플랫폼 비브
음악공연연주팀 섭외 플랫폼 비브음악공연연주팀 섭외 플랫폼 비브
음악공연연주팀 섭외 플랫폼 비브
 
청춘문화놀이단2기 안내자료
청춘문화놀이단2기 안내자료청춘문화놀이단2기 안내자료
청춘문화놀이단2기 안내자료
 
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
 
The SlideShare Handbook
The SlideShare HandbookThe SlideShare Handbook
The SlideShare Handbook
 
Top 10 Email Tips for Financial Advisors
Top 10 Email Tips for Financial AdvisorsTop 10 Email Tips for Financial Advisors
Top 10 Email Tips for Financial Advisors
 
How Google Works
How Google WorksHow Google Works
How Google Works
 
Build Features, Not Apps
Build Features, Not AppsBuild Features, Not Apps
Build Features, Not Apps
 
How to Become a Thought Leader in Your Niche
How to Become a Thought Leader in Your NicheHow to Become a Thought Leader in Your Niche
How to Become a Thought Leader in Your Niche
 

Similar to Giai phuong trinh bac cao(thay nguyen)

Chuyên đề phương trình chứa căn thức bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức   bookboomingChuyên đề phương trình chứa căn thức   bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức bookboomingThế Giới Tinh Hoa
 
Da toan-chi-tiet-b 2010
Da toan-chi-tiet-b 2010Da toan-chi-tiet-b 2010
Da toan-chi-tiet-b 2010nhathung
 
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.comMathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.comnghiafff
 
De Thi Hoc Ki 2 K12 Nam 0910
De Thi Hoc Ki 2 K12 Nam 0910De Thi Hoc Ki 2 K12 Nam 0910
De Thi Hoc Ki 2 K12 Nam 0910lvquy
 
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910lvquy
 
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910lvquy
 
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910lvquy
 
Thi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k a
Thi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k aThi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k a
Thi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k aThế Giới Tinh Hoa
 
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013Phan Sanh
 
Cach giai-cac-dang-toan-phuong-trinh-bac-3
Cach giai-cac-dang-toan-phuong-trinh-bac-3Cach giai-cac-dang-toan-phuong-trinh-bac-3
Cach giai-cac-dang-toan-phuong-trinh-bac-3giaoduc0123
 
Khao sat ham so 50 cau
Khao sat ham so 50 cauKhao sat ham so 50 cau
Khao sat ham so 50 cauHuynh ICT
 
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.comMathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.comHuynh ICT
 
Tóan Trần Hưng Đạo DH
Tóan Trần Hưng Đạo DHTóan Trần Hưng Đạo DH
Tóan Trần Hưng Đạo DHVan-Duyet Le
 
[Vnmath.com] dethi-dapan-thivao-10-toan-2012-2013-cac-tinh
[Vnmath.com] dethi-dapan-thivao-10-toan-2012-2013-cac-tinh[Vnmath.com] dethi-dapan-thivao-10-toan-2012-2013-cac-tinh
[Vnmath.com] dethi-dapan-thivao-10-toan-2012-2013-cac-tinhKhoa Tuấn
 
Toanb2011
Toanb2011Toanb2011
Toanb2011Duy Duy
 
48 de luyen thi dai hoc
48 de luyen thi dai hoc48 de luyen thi dai hoc
48 de luyen thi dai hocDuy Duy
 
48 de luyen thi dai hoc
48 de luyen thi dai hoc48 de luyen thi dai hoc
48 de luyen thi dai hocDuy Duy
 
De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012Summer Song
 
De thi
De thiDe thi
De thiftvgn
 
20 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 2012
20 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 201220 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 2012
20 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 2012Khang Pham Minh
 

Similar to Giai phuong trinh bac cao(thay nguyen) (20)

Chuyên đề phương trình chứa căn thức bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức   bookboomingChuyên đề phương trình chứa căn thức   bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức bookbooming
 
Da toan-chi-tiet-b 2010
Da toan-chi-tiet-b 2010Da toan-chi-tiet-b 2010
Da toan-chi-tiet-b 2010
 
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.comMathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
 
De Thi Hoc Ki 2 K12 Nam 0910
De Thi Hoc Ki 2 K12 Nam 0910De Thi Hoc Ki 2 K12 Nam 0910
De Thi Hoc Ki 2 K12 Nam 0910
 
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
 
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
 
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
 
Thi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k a
Thi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k aThi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k a
Thi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k a
 
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
 
Cach giai-cac-dang-toan-phuong-trinh-bac-3
Cach giai-cac-dang-toan-phuong-trinh-bac-3Cach giai-cac-dang-toan-phuong-trinh-bac-3
Cach giai-cac-dang-toan-phuong-trinh-bac-3
 
Khao sat ham so 50 cau
Khao sat ham so 50 cauKhao sat ham so 50 cau
Khao sat ham so 50 cau
 
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.comMathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
 
Tóan Trần Hưng Đạo DH
Tóan Trần Hưng Đạo DHTóan Trần Hưng Đạo DH
Tóan Trần Hưng Đạo DH
 
[Vnmath.com] dethi-dapan-thivao-10-toan-2012-2013-cac-tinh
[Vnmath.com] dethi-dapan-thivao-10-toan-2012-2013-cac-tinh[Vnmath.com] dethi-dapan-thivao-10-toan-2012-2013-cac-tinh
[Vnmath.com] dethi-dapan-thivao-10-toan-2012-2013-cac-tinh
 
Toanb2011
Toanb2011Toanb2011
Toanb2011
 
48 de luyen thi dai hoc
48 de luyen thi dai hoc48 de luyen thi dai hoc
48 de luyen thi dai hoc
 
48 de luyen thi dai hoc
48 de luyen thi dai hoc48 de luyen thi dai hoc
48 de luyen thi dai hoc
 
De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012
 
De thi
De thiDe thi
De thi
 
20 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 2012
20 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 201220 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 2012
20 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 2012
 

Giai phuong trinh bac cao(thay nguyen)

  • 1. Sơ Lư c V Phương Trình B c Cao http://dinhtiennguyen.blogspot.com 1. L i gi i thi u Con ngư i ñã bi t v phương trình và các cách gi i phương trình b c nh t, b c hai khá s m (kho ng 2000 TCN ) nhưng mãi ñ n ñ n th k th XVI, các nhà toán h c La Mã là Tartlia ( 1500 - 1557), Cardano (1501 - 1576) và nhà toán h c Ferrari (1522 - 1565) m i gi i ñư c các phương trình b c ba và b c b n d ng t ng quát. ð n t n ñ u th k XIX, nhà toán h c ngư i Na Uy Henrik Abel ch ng minh ñư c r ng không có cách gi i phương trình t ng quát b c l n hơn b n b ng các phương toán h c thông thư ng c a ñ i s . Không lâu sau ñó, nhà toán h c ngư i Pháp Évariste Galois ñã hoàn t t công trình lý thuy t v phương trình ñ i s c a loài ngư i. Chính vì v y, trong chuyên ñ kì này chúng ta s tìm hi u k hơn v cách gi i các phương trình trên, kèm theo ñó là m t s ví d c th v các phương trình d ng ñ c bi t hơn. 2. Phương Trình B c 3 2.1 Phương trình b c 3 có d ng AX 3 + BX 2 + CX + D = 0 ( A ≠ 0) (1) Vào năm 1545, Cardano ñã công b cách gi i phương trình (1) Trư c h t do A ≠ 0 nên chia hai v c a (1) cho A , ta ñư c phương trình d ng X 3 + mX 2 + nX + c = 0 (2) m B ng cách ñ t X = x − , ta ñưa (2) v phương trình b c 3 thi u 3 m2 2m3 mn x3 + ax + b = 0 (3) , v i a = n − và b = c + − 3 27 3 ð t x = u + v . Như th v có th ch n giá tr tùy ý. Thay vào (3) ta có (u + v)3 + a (u + v ) + b = 0 ⇔ (u 3 + v3 + b) + (u + v)(3uv + a ) = 0 Ch n v sao cho 3uv + a = 0 , bài toán quy v h phương trình u 3 + v 3 = −b   u 3 + v 3 = −b      hay  3 3 −a3  uv = −a  u v =    3    27 a3 Như v y u 3 , v 3 là nghi m c a phương trình t 2 + bt − = 0 (4) 27 4a 3 ð t ∆ = b2 + . N u ∆ > 0 thì phương trình (4) có hai nghi m phân bi t 27 −b − ∆ 3 −b + ∆ v3 = ,u = 2 2 Do ñó công th c nghi m t ng quát c a phương trình (3) là : −b + ∆ 3 −b − ∆ 4a 3 x= 3 + v i ∆ = b2 + 2 2 27 V y công th c nghi m t ng quát c a phương trình (1) là 1
  • 2. −b + ∆ 3 −b − ∆ m X=3 + − 2 2 3 V i trư ng h p ∆ ≤ 0 thì cũng có th s d ng công th c Cardano nhưng khi ∆ < 0 ph i bi t khai căn b c ba c a s ph c, ñó là m t v n ñ r t ph c t p. Sau ñây chúng tôi s gi i thi u v i các b n phương pháp lư ng giác s d ng khi ∆ ≤ 0 . Trong x3 + ax + b = 0 ⇔ x3 + ax = −b . Ta ñ t x = k cos y thì k 3 cos3 y + ak cos y = −b (5) 4a ð t k2 =− (vì ∆ ≤ 0 thì p ≤ 0 ) thì phương trình (5) tr thành 3 3b 3b 3 4 cos3 y − 3cos y = = . ka a −4a 4a 3 3b 3b 3 3b Nhưng ∆ = b 2 + ≤0⇔ = ≤1. ð t = cos G , thì 4 cos 2 y − 3cos y = cos G . 27 ka a −4a ka Suy ra nghi m c a phương trình x3 + ax + b = 0 là G  G + 2π    G + 4π   x1 = k cos ; x2 = k cos    ; x3 = k cos    .  3  3     3  Do ñó nghi m t ng quát c a phương trình (1) khi ∆ ≤ 0 là G m  G + 2π  m  − , X = k cos  G + 4π  − m .   X 1 = k cos − , X 2 = k cos   3 3   3  3 3    3  3     Nh n xét. ∆ > 0 thì phương trình (1) có 1 nghi m ñơn. ∆ = 0 thì phương trình (1) có 2 nghi m, trong ñó có 1 nghi m kép. ∆ < 0 thì phương trình (1) có 3 nghi m phân bi t. M t s trư ng h p ñ c bi t: N u a + b + c + d = 0 thì (1) có nghi m x = 1 . N u a − b + c − d = 0 thì (1) có nghi m x = −1 . p N u a, b, c, d ∈ ℤ thì (1) thì có nghi m h u t thì p, q theo th t là ư c c a d và a . q c N u ac 3 = db3 (a, d ≠ 0) thì (1) có nghi m x = − b 3 2 Ví d . Gi i phương trình x + x − 2 x − 2 2 = 0 . L i gi i. 3 c ( ) Nh n xét. Vì ac 3 = 1. − 2 = db3 = −2 2 nên phương trình có nghi m x = − = 2 . Bi n ñ i b x− 2 = 0  ( )( ( ) phương trình v d ng x − 2 x 2 − 2 + 1 x + 2 = 0 ⇔  2 ) ⇔ x= 2 . (  x − 2 +1 x + 2 = 0  ) 2.2 M t s ví d Ví d 1. Gi i phương trình y 3 + 3 y 2 + 12 y −16 = 0 . 3 2 L i gi i. ð t y = x −1 , ta có ( x −1) + 3( x −1) +12 ( x −1) −16 = 0 ⇔ x 3 + 9 x − 26 = 0 . Ta có 4a 3 4.(9)3 ∆ = b2 + = (−26) 2 + = 784 > 0 , 27 27 −b + ∆ 26 + 784 u3 = = = 27 ⇒ u = 3 ⇒ v = −1 . 2 2 2
  • 3. Vì phương trình x3 +9x−26 =0 có nghi m x=3−1=2 nên phương trình ñã cho có m t nghi m y =1. 7 11 Ví d 2. Gi i phương trình y 3 + 5 y 2 + y− = 0 . 3 9 3 2 5  x − 5  + 5  x − 5  + 7  x − 5  − 11 = 0 ⇔ x 3 − 6 x + 4 = 0       L i gi i. ð t y = x − , ta có       3   3   3 3 3 9  4a 3 4.(−6)3 −4a ∆ = b2 + = 42 + = −16 < 0, k 2 = =8⇒k = 2 2 27 27 3 3b 3.4 −1 Suy ra cos G = = = ⇒ G = 135° . Do ñó : ak −6.2 2 2 135° 1 x1 = 2 2.cos. = 2 2. =2, 3 2 135° + 360° x2 = 2 2.cos. 3 = 2 2 cos165° = −2 2 cos15° = − ( ) 3 −1 , 135° + 720° x3 = 2 2.cos = 2 2.cos 285° = 2 2. cos 75° = 3 −1 . 3 Do ñó phương trình ñã cho có nghi m là 5 1 5 −3 3 − 8 5 3 3 −8 3 3 ( y1 = 2 − = , y2 = − 3 + 1 − = 3 3 ) và y3 = 3 −1− = 3 3 . 2.3 ð nh lí Viète c a phương trình b c ba N u phương trình b c ba Ax 3 + Bx 2 + Cx + D = 0 ( A ≠ 0) có 3 nghi m x1 , x2 , x3 thì   −B  x1 + x2 + x3 =    A   x x + x x + x x = C .  1 2 1 3 2 3   A    −D  x1 x2 x3 =    A Bài t p áp d ng. Gi s phương trình x3 + ax 2 + bx + c = 0 có ba nghi m x1 , x2 , x3 . Hãy tìm m i 2 liên h gi a a, b, c khi x1 x3 = x2 .  x1 + x2 + x3 = −a (6)    L i gi i. Theo ñ nh lí Viét, ta có x1 x2 + x1 x3 + x2 x 3 = b (7) . Gi s x1 x3 = x2 . Có 2 kh năng x y ra  2   x x x = −c (8)    1 2 3 * x2 = 0 ⇒ x1 = 0 ho c x3 = 0 ⇒ b = c = 0 x1 x2 * x2 ≠ 0 . Lúc này ta có th vi t h th c ñã cho là = = t. T ñó có th tính ñư c x1 , x3 theo x2 x3 x2 t và x2 : x1 = tx2 và x3 = . Thay vào (6), (7) và (8), ta thu ñư c t t + 1 + 1 x2 = −a, t + 1 + 1 x2 = b, x2 = −c .     2 3   t     t       3 1 b  −b  Chú ý r ng t + +1 ≠ 0 , ta suy ra h th c x2 = − ⇒ x2 =   = −c ⇒ b3 = a 3c . 3   t a    a  H th c này v n ñúng khi b = c = 0 . V y b3 = a 3c là h th c c n tìm. 3
  • 4. http://dinhtiennguyen.blogspot.com 3. Phương trình b c 4 Phương trình b c b n là phương trình có d ng Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0 , trong ñó x là n s còn A, B, C , D, E là các h s v i a ≠ 0 . Trư c h t ta hãy xét m t s d ng phương trình b c b n mà qua phép bi n ñ i ho c ñ t n ph ta có th quy v vi c gi i m t phương trình b c hai 3.1 Phương trình trùng phương ay 2 + by + c = 0  Phương trình có d ng ax 4 + bx 2 + c = 0 . ð t y = x 2 ≥ 0 ta ñưa v vi c gi i   .    y≥0 4 4 3.2 Phương trình d ng ( x + a ) + ( x + b) = c . a +b a +b Có th ñưa v phương trình trùng phương nh phép ñ t n ph y = x + ⇒ x = y− . 2 2 4 4 4 4 4  4 a +b   a −b   a −b    b−a Khi ñó ( x + a) + ( x + b) =  y −  + a +  y +     + b =  y +      + y +       2   2   2   2  a −b 4 4 ð t k= . Ta có ( y + k ) + ( y − k ) = 2 y 4 + 12 y 2 k 2 + 2k 4 = c . 2 a −b V y ta có phương trình trùng phương 2 y 4 + 12 y 2 k 2 + 2k 4 − c = 0 v i k = 2 4 4 Ví d . Gi i phương trình ( x −1) + ( x + 3) = 256 (1) L i gi i. ð t y = x + 1 . Khi ñó 4 4 (1) ⇔ ( y − 2) + ( y + 2) = 256 ⇔ 2 y 4 + 48 y 2 −112 = 0  t=4 ð t t = y 2 ≥ 0 , ta ñư c 2t 2 + 48t 2 − 224 = 0 ⇔  . t = −28 Vì t ≥ 0 nên t = 4 ⇒ y = ±2 ⇒ x = 1 ho c x = 3 . *Chú ý. N u c n ki m tra phương trình b c b n d ng t ng quát ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 , b (a ≠ 0) có trùng phương hay không ,ta ch c n ñ t n ph t = x + . 4a N u sau khi thay vào phương trình ñã cho ta không ñư c phương trình trùng phương theo bi n t thì phương trình ñã cho không thu c thu c d ng trùng phương. 3.3 Phương trình d ng ( x + a)( x + b)( x + c )( x + d ) = m v i a + b = c + d . Vi t phương trình ñã cho dư i d ng  x 2 + (a + b) x + ab  x 2 + (c + d ) x + cd  = m ð t t = x 2 + (a + b) x + ab ñưa v phương trình b c hai theo t . Ví d . Gi i phương trình ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 3 (1) L i gi i. Nh n xét 1 + 4 = 2 + 3 nên phương trình ñã cho tương ñương v i ( x 2 + 5x + 4)( x 2 + 5x + 6) = 3 ð t t = x 2 + 5 x + 4 . Ta có (1) ⇔ t (t + 2) = 3 ⇔ t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −3 −5 ± 13 Khi t = 1 ⇒ x 2 + 5 x + 4 = 1 ⇔ x 2 + 5 x + 3 − 0 ⇔ x = . 2 Khi t = −3 ⇔ x 2 + 5 x + 4 = −3 ⇔ x 2 + 5 x + 7 = 0 phương trình vô nghi m −5 + 13 −5 − 13 V y phương trình (1) có 2 nghi m x1 = , x2 = 2 2 4
  • 5. Chú ý. Phương trình trên m r ng thành (a1 x + a2 )(b1 x + b2 )(c1 x + c2 )(d1 x + d 2 ) = m , v i ñi u ki n a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d 2 + c2 d1 . Khi ñó ta ñ t t = (a1 x + a2 )(b1 x + b2 ) Ví d . Gi i phương trình (2 x −1)( x −1)( x − 3)(2 x + 3) = −9 L i gi i. Phương trình vi t l i dư i d ng (2 x 2 − 3 x + 1)(2 x 2 − 3 x − 9) = −9 . ð t t = 2 x 2 − 3x +1 . Ta có phương trình t (t −10) = −9 ⇔ t 2 −10t + 9 = 0 ⇔ t = 1∨ t = 9 . 3 V i t = 1 ⇒ 2 x 2 − 3 x + 1 = 1 ⇔ 2 x 2 − 3x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = . 2 3 ± 73 V i t = 9 ⇔ 2 x 2 − 3x +1 = 9 ⇔ 2 x 2 − 3x − 8 = 0 ⇔ x = . 4 3 3 + 73 3 − 73 V y phương trình có 4 nghi m x1 = 0, x2 = , x3 = , x4 = . 2 4 4 3.4 Phương trình ñ i x ng b c b n (Phương trình h i quy) Phương trình ñ i x ng b c b n là phương trình có d ng ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ( a ≠ 0 ) Cách gi i. Bư c 1. Ki m tra x = 0 có là nghi m c a phương trình hay không? Bư c 2. Tìm nghi m x ≠ 0 . Chia c hai v c a phương trình cho x 2 ta ñư c b a  1  1 ax 2 + bx + c + + 2 = 0 ⇔ a  x 2 + 2  + b  x +  + c = 0 (2)       x x   x    x 1 1 ð t t = x + ⇒ x 2 + 2 = t 2 − 2 . Khi ñó phương trình (2) tr thành x x a (t 2 − 2) + bt + c = 0 ⇔ at 2 + bt + c = 0 1 V i cách ñ t t = x + , s d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có x 1 x 2 + 1 x 2 +1 1 t = x+ = = = x + ≥2. x x x x Như v y t phương trình ñ i x ng b c 4 ta chuy n v phương trình b c 2 theo bi n t v i t ≥ 2 . Ví d . Gi i phương trình x 4 + 2 x 3 + x 2 + 2 x + 1 = 0 . L i gi i. Vì x = 0 không là nghi m c a phương trình, chia hai v cho x 2 , ta ñư c 2 1  1  1 x 2 + 2 x + 1 + + 2 = 0 ⇔  x 2 + 2  + 2. x +  + 1 = 0 .       x x   x    x 1 ð t t = + x , ta có t 2 − 2 + 2t +1 = 0 ⇔ t = −1 ± 2 . x Vì t ≥ 2 nên t = −1 + 2 . Suy ra 1 −1− 2 ± 2 2 −1 x ( ) x + = −1− 2 ⇔ x 2 + x 1 + 2 + 1 = 0 ⇔ x = 2 . Chú ý. ð i v i phương trình b c 4 có h s ñ i x ng l ch (phương trình ph n h i quy), d ng ax 4 + bx3 + cx 2 − bx + a = 0 (a ≠ 0) thì ta v n có cách tương t và ñưa phương trình ñã cho v d ng at 2 + bt + c + 2a = 0 . 5
  • 6. 3.5 Phương trình b c 4 có h s ñ i x ng t l (phương trình ph n h i) Phương trình ph n h i là phương trình có d ng ax 4 + bx 3 + cx 2 + bkx + ak 2 = 0(a ≠ 0, k ≠ 0) . Cách gi i. Tương t như cách gi i các phương trình trên h i quy và ph n h i quy, b ng cách chia k hai v cho x 2 (n u x = 0 không là nghi m ), và ñ t n ph t = + x , ta ñư c phương trình x at 2 + bt + c − 2ak = 0 . Ví d . Gi i phương trình 2 x 4 − 21x3 + 34 x 2 + 105 x + 50 = 0 . L i gi i. Ta có x = 0 không là nghi m c a phương trình, chia hai v c a phương trình cho x 2 . 105 50  25   5 2 x 2 − 21x + 34 + + 2 = 0 ⇔ 2  x 2 + 2  − 21 x −  + 34 = 0     x x   x    x  5 25 ð t x − = t ⇒ x 2 + 2 = t 2 + 10 , ta ñư c 2 (t 2 + 10) − 21t + 34 = 0 ⇔ t = 6 ∨ t = 9 2 . x x 5 * Trư ng h p 1. t = 6 ⇒ x − = 6 , ta có x 2 − 6 x − 5 = 0 ⇔ x = 3 ± 14 . x 9 5 9 9 ± 161 * Trư ng h p 2. t = ⇒ x − = , ta có 2 x 2 − 9 x −10 = 0 ⇔ x = . 2 x 2 4 3.6 Cách gi i t ng quát phương trình b c 4 Không m t tính t ng quát (b ng cách chia hai v c a phương trình cho h s c a x 4 ) ta ñưa phương trình v d ng x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ⇔ x 4 + ax 3 = −bx 2 − cx − d 2 a2 x2  ax   a2  Thêm vào c hai v , ta ñư c  x 2 +  = x 2 . − b − cx − d .       4   2  4    ax  y2 C ng vào hai v c a phương trình này cho tam th c  x 2 +  y +   v i y là h ng s   2  4  2  2     2   x 2 + ax + y  =  a − b − y.x 2 +  ay − c x +  y − d (1)           2 2  4      2    4     Ch n y sao cho tam th c b c hai v ph i có nghi m kép, hay  ay 2  2 a  2   ay − d  = 0 ⇔ y 3 − by 2 + (ac − 4d ) y − d (c 2 − 4b) − c 2 = 0 (2)     ∆ =  − c  − 4  − b + y     2  4   4    ðây là m t phương trình b c ba và ta ñã bi t cách gi i. ð t  2   2   a − b + y .x 2 +  ay − c x +  y − d  = ( Ax + B )2        4    2    4       Gi s y0 là m t nghi m c a phương trình (2). Khi ñó thay y0 vào ta ñư c phương trình (1) có d ng 2  2 ax y      x + +  = ( Ax + B )2 ⇔  x 2 + ax + y + Ax + B. x 2 + ax + y − Ax − B = 0        2 2   2 2    2 2   ax y ax y ⇔ x2 ++ + Ax + B = 0 ∨ x 2 + + − Ax − B = 0 . 2 2 2 2 Như v y vi c gi i phương trình b c b n qui v vi c gi i hai phương trình b c hai và m t phương trình b c ba. Ví d . Gi i phương trình x 4 + 8 x 3 + 15 x 2 − 4 x − 2 = 0 . L i gi i. Ta có 6
  • 7. 2 x 4 + 8 x 3 + 15 x 2 − 4 x − 2 = 0 ⇔ x 4 + 8 x3 = 4 x + 2 −15 x 2 ⇔ ( x 2 + 4 x) = x 2 + 4 x + 2 . y2 C ng hai v c a phương trình trên cho ( x 2 + 4 x) y + , ta ñư c 4  2  2   x 2 + 4 x + y  = (1 + y ) x 2 + (4 + 4 y ) x +  y + 2 (3).       2 4     Lưu ý ch n y sao cho v ph i là m t bình phương, mu n v y, bi t s ∆ c a tam th c b c hai ñ i v i x ph i b ng 0 , 2  y2    ∆ = (4 + 4 y ) − 4 (1 + y ) + 2 = 0 ⇔ (1 + y ) 16.(1 + y ) − ( y 2 + 8) = 0 .  4      Ta có ngay giá tr y = −1 . Thay vào (3) phương trình tr thành  2 1 3 2  x + 4x − =  x = −2 ± 3  x 2 + 4 x − 1  = 9 ⇔    2 2   ⇔  .   2 4  2 1 3  x = −2 ± 6  x + 4x − = −  2 2 3.7 ð nh lí Viète cho phương trình b c 4 N u phương trình b c b n ax 4 + bx 3 + cx 2 + d + e = 0 (a ≠ 0) có b n nghi m thì   b   x1 + x2 + x3 + x4 = −   a   x x + x x + x x + x x + x x + x x = c  1 2 2 3 3 4 1 3 1 4 2 4   a    x x x + x x x + x x x + x x x =−d  1 2 3  1 2 4 2 3 4 1 3 4  a    e   x1 x2 x3 x4 =   a Ví d . Cho phương trình x 4 − 8 x 3 + 19 x 2 + ax + 2 = 0 . Bi t r ng phương trình có b n nghi m x1 , x2 , x3 , x4 tho mãn ñi u ki n x1 + x2 = x3 + x4 . Hãy tìm a và gi i phương trình ñã cho. L i gi i. Theo ñ nh lí Viète, ta có x1 + x2 + x3 + x4 = 8 ⇒ x1 + x2 = x3 + x4 = 4 . M t khác x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x4 = x1.x2 + x3 .x4 + x1.( x3 + x4 ) + x2 ( x3 + x4 ) = x1.x2 + x3 .x4 + ( x1 + x2 )( x3 + x4 ) = 19 . Do ñó x1.x2 + x3 .x4 = 3 . Ta l i có x1.x2 .x3 .x4 = 2 , suy ra x1 x2 = 1, x3 x4 = 2 ho c x1 x2 = 2, x3 x4 = 1 N u x1.x2 = 1 thì x3 .x4 = 2 . Khi ñó x1.x2 x3 + x1.x2 x4 + x1.x3 x4 + x2 .x3 x4 = x3 + x4 + 2 ( x1 + x2 ) = 12 .   x + x2 = 4   x + x4 = 4   x1,2 = 2 ± 3  V y a = −12 . Vì  1  và  3  nên suy ra  .  x1.x2 = 1    x3 .x4 = 2   x = 2 ± 2  3,4   Trư ng h p x3 x4 = 1 cũng làm tương t nhưng hoán ñ i vai trò c a x1 , x2 v i x3 , x4 . 4. Phương trình ñ i x ng b c n Phương trình ñ i x ng b c n là phương trình có d ng a0 x n + a1 x n−1 + ... + an−1 x + an = 0 Trong ñó dãy các h s là ñ i x ng, nghĩa là a0 = an ≠ 0 , a1 = an−1 … 7
  • 8. Cách gi i - ð i v i phương trình ñ i x ng b c ch n, gi s b c c a phương trình là n = 2m . Do x = 0 không th là nghi m nên ta có th chia c hai v c a phương trình cho x m . Sau ñó b ng cách nhóm 1 thích h p, v trái c a phương trình có th ñưa v d ng x k + k . Chúng ñ u là các bi u th c ñ i x ng x 1 1 v i x và . Do ñó, n u ta bi t ñ t t = x + thì s ñưa ñ n phương trình b c k ñ i v i t . x x - ð i v i phương trình ñ i x ng b c l , ta d dàng th l i r ng phương trình luôn nh n x = −1 là 1 nghi m. Do v y, v i gi thi t x +1 ≠ 0 sao cho khi chia hai v cho x +1 , ta s ñư c 1 phương trình ñ i x ng b c ch n. Ví d 1. Gi i phương trình x 6 − 3 x5 + 6 x 4 − 7 x 3 + 6 x 2 − 3 x + 1 = 0 . L i gi i. Chia c hai v cho x3 , ta ñư c 6 3 1  1  1  1 x 3 − 3 x 2 + 6 x − 7 + − 2 + 3 = 0 ⇔  x 3 + 3  − 3 x 2 + 2  + 6  x +  − 7 = 0 .       x x x   x     x    x  1 1 1 ð t t = x + , ta có x3 + 3 = t 3 − 3t ; x 2 + 2 = t 2 − 2 . B i v y ta ñư c phương trình x x x t 3 − 3t 2 + 3t −1 = 0 ⇔ (t −1)3 = 0 ⇔ t = 1 . 1 T ñó phương trình ban ñ u tương ñương v i phương trình x + = 1 ⇔ x 2 − x +1 = 0 . x D th y phương trình trên vô nghi m. V y phương trình ñã cho vô nghi m. Ví d 2. Gi i phương trình 2 x 7 − 5 x 6 − x 5 − 8 x 4 − 8 x3 − 5 x + 2 = 0 (Xem như bài t p) M t s bài t p tham kh o Bài 1. Gi i các phương trình a) x3 − 3 x 2 + x + 1 = 0 b) x3 − 5 x 2 + x + 7 = 0 c) x3 + 2 x − 5 3 = 0 1 d) x3 − x − 2 = 0 e) x3 − 3 x 2 + 9 x − 9 = 0 f) x3 − x 2 − x = 3 g) x3 = 6 x 2 + 1 h) 8 x 3 − 2 x 2 − x + 1 = 0 Bài 2. Cho phương trình x3 − x + 1 = 0 có ba nghi m phân bi t x1 , x2 , x3 . Tính S = x18 + x2 + x3 . 8 8 Bài 3. Bi t r ng phương trình x3 + px + q = 0 có ba nghi m. Ch ng minh x13 + x2 + x3 = 3x1 x2 x3 . 3 3 Bài 4. Gi i và bi n lu n phương trình ( a, b là tham s ) x3 − 3abx + a 3 + b3 = 0 . Bài 5. Gi i các phương trình sau a) 2 x 4 + 5 x 3 + x 2 + 5 x + 2 = 0 c) x 4 + ( x −1) ( x 2 − 2 x + 2) = 0 b) x 4 − 2 x 3 + 8 x 2 − 2 x + 1 = 0 d) x 4 + 3 x3 − 2 x 2 − 6 x + 4 = 0 Bài 6. Cho phương trình x 4 + px 3 + qx 2 + rx + s = 0 . Tìm ñi u ki n ñ phương trình có hai nghi m th a ñi u ki n x1 + x2 = 0 . 8
  • 9. 5. Phương trình b c l n hơn 4 và m t s tính ch t 5.1 Xét phương trình b c năm d ng x5 + ax + b = 0 , a, b ∈ ℤ . ð nh lý 1. N u a ≡ b ≡ 1(mod 2) thì phương trình không gi i ñư c b ng căn th c ð nh lý 2. N u a là s nguyên t , a ≡ 1(mod 5) và (a, b) = 1 thì phương trình (1) không gi i ñư c b ng căn th c. Ta th a nh n các tính ch t trên. T ng quát hơn ta có ñ nh lý sau (và cũng ñư c th a nh n) 5.2 ð nh lý. Xét phương trình f ( x) = 0 , trong ñó f ( x ) là ña th c h s nguyên có b c l n hơn ho c b ng 5. N u f là ña th c b t kh quy trên ℚ và có ñúng 2 nghi m ph c trong ℂ thì phương trình f ( x) = 0 không gi i ñư c b ng căn th c. ð minh h a cho ñ nh lý trên, ta xét ví d sau. “Phương trình f ( x ) = x 5 − 6 x + 3 = 0 không gi i ñư c b ng căn th c”. Th t v y, theo tiêu chu n Eisenstein, ña th c f ( x ) = x 5 − 6 x + 3 là ña th c b t kh trên ℚ . Do ñó, ta ch c n ch ng minh phương trình có ñúng 2 nghi m ph c hay ch ng minh phương trình có ñúng 3 nghi m th c. ð ch ng minh ñi u này ta c n s d ng m t k t qu r t quan tr ng trong gi i tích, thư ng ñư c g i là ñ nh lý Rolle “N u hàm f ( x) liên t c trên ño n [ a, b ] , kh vi trong kho ng (a, b) và f (a) = f (b) thì t n t i m t ñi m c ∈ (a, b) sao cho f '(c ) = 0 ”. V i f ( x ) = x 5 − 6 x + 3 , ta có f '( x) = 5 x 4 − 6 . D th y r ng f ' có hai nghi m là ± 4 6 . S d ng 5 ñ nh lý Rolle, ta nh n th y f ch có th có t i ña 3 nghi m th c. M t khác, ta l i có f (−2) = −17, f (−1) = 8, f (1) = −2, f (2) = 23 , và f là hàm liên t c nên ch có th ñ i d u m i khi ñ th c a nó c t tr c hoành, nên f có ít nh t 3 nghi m th c. V y f có ñúng 3 nghi m th c. Suy ra ñi u ph i ch ng minh. Bài t p. Ch ng minh r ng các phương trình sau ñây không gi i ñư c b ng căn th c a) x5 − 4 x + 2 = 0 b) x5 − 4 x 2 + 2 = 0 c) x5 − 6 x 2 + 3 = 0 d) x 7 −10 x5 + 15 x + 5 = 0 9