2. Difração de Elétrons
• Em torno do século XX, o modelo
clássico da física divergia em
resposta de diversos experimentos.
Alguns novos modelos foram
propostos que remendavam este
modelo clássico.
• Um dos modelos foi a proposta de
Louis de Broglie, sobre a existência
de ondas de matéria.
3. Difração de Elétrons
Três anos após esta proposta, dois experimentos distintos
confirmaram esta nova modelagem utilizando a difração
(efeito usualmente observado em ondas) de elétrons.
George Paget Thomson, na Universidade de Nos laboratórios da Bell, Clinton Joseph
Aberdeen, observou a passagem de um feixe Davisson e Lester Halbert Germer guiaram
de elétrons por uma fina camada de metal e um feixe de elétrons, incidindo sobre uma
observou o fenômeno proposto, medindo o estrutura cristalina (periódica) e observaram
comprimento de onda efetivo. o mesmo fenômeno.
4. Comprimento de
onda associada a
um elétron
O modelo de de Broglie propõe
associarmos a qualquer partícula
uma onda, cujo comprimento de
onda e energia estão bem
definidos.
5. Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partida
para as novas teorias a asserção,
para uma dada partícula
qualquer, a relação
h
.
p
h: constante de Planck. • Com isto, podemos modelar a
p: momento. seguinte situação de forma bem
simples: imagine um feixe de
elétrons que incide sobre um
material.
6. Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partida
para as novas teorias a asserção,
para uma dada partícula
qualquer, a relação
h
.
p
h: constante de Planck. • Com isto, podemos modelar a
p: momento. seguinte situação de forma bem
simples: imagine um feixe de
elétrons que incide sobre um
material.
7. Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partida
para as novas teorias a asserção,
para uma dada partícula
qualquer, a relação
h
.
p
h: constante de Planck. • Com isto, podemos modelar a
p: momento. seguinte situação de forma bem
simples: imagine um feixe de
elétrons que incide sobre um
material.
8. Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partida
para as novas teorias a asserção,
para uma dada partícula
qualquer, a relação
h
.
p
h: constante de Planck. • Com isto, podemos modelar a
p: momento. seguinte situação de forma bem
simples: imagine um feixe de
elétrons que incide sobre um
material.
9. Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partida
para as novas teorias a asserção,
para uma dada partícula
qualquer, a relação
h
.
p
h: constante de Planck. • Com isto, podemos modelar a
p: momento. seguinte situação de forma bem
simples: imagine um feixe de
elétrons que incide sobre um
material.
10. Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partida
para as novas teorias a asserção,
para uma dada partícula
d A C
qualquer, a relação
B
h
.
p
h: constante de Planck. • Com isto, podemos modelar a
p: momento. seguinte situação de forma bem
simples: imagine um feixe de
elétrons que incide sobre um
material.
11. Difração de Elétrons
• Chamamos a distância d de
distância entre planos de incidência,
d
sobre os quais o elétron realizará a
difração.
• Este é um fator que necessitaremos
de dados previamente calculados
A B
por outras técnicas.
• As ilustrações anteriores nos
• Esta equação assemelha-se
fornecem como solução final,
aos máximos associados ao
utilizando como argumento a
padrão de difração. O
diferença de caminho óptico (termo
comprimento de onda
emprestado da óptica geométrica),
associada ao elétron pode,
portanto, ser calculada a
2d sin( ) n
partir da difração de elétrons
em uma rede cristalina.
12. Difração de Elétrons
• O que no entanto realmente
• Isto significa que, utilizando esta
ocorre está esquematizado
aproximação, podemos calcular o
acima. Podemos, portanto,
comprimento de onda associada
aproximar a relação acima,
ao elétron.
conhecida como Equação de
• Parte de nossa experiência será
Bragg, apenas como
utilizar o padrão de difração para
rd
. realizar este cálculo.
l
13. Difração de Elétrons
• Suponha agora que um cátodo • Conhecendo o comprimento de
incandescente emite elétrons e os onda de um elétron, podemos então
acelera com a ação de um potencial calcular a constante de Planck,
V. Sem nos preocupar com muitos
detalhes, podemos calcular a
h 2meV .
velocidade a partir da conservação
de energia
• Podemos então obter a constante de
2eV
v Planck de 2 formas parecidas: uma
.
m delas é calculando diversos
comprimentos de onda, para diferentes
• Utilizando a proposta de de Broglie,
potenciais de aceleração, e calculando a
conhecemos o comprimento de onda
media das constantes de Planck
associada a esses elétrons,
calculadas com cada particular valor;
outra forma é utilizar um gráfico que
h
relacione contra o inverso da raiz
.
2meV quadrada do produto 2meV.
14. A difração de elétrons
e a constante de
Planck
Segundo nosso modelo, podemos
propor um procedimento que
resultará não apenas na medição
do comprimento de onda
associada ao elétron, como
também o valor da constante de
Planck.
15. O procedimento • O raio das circunferências
observadas são os padrões de
difração. Cada circunferência
retrata um plano de reflexão
• Sabemos o que calcular e o que devemos medir.
distinto. Deveremos marcar,
Nos falta um procedimento, isto é, como
portanto, o raio de cada uma
medir.
das circunferências que forem
passíveis de leitura.
• O padrão de difração assemelha-se
muito à figura abaixo. Esta figura traz
• Note que a resolução do feixe não é
consigo detalhes que serão importantes
muito pequeno. Notamos que a largura
para nossa modelagem e criação de
do feixe observado pode chegar a
nosso procedimento para realizar as
diferir de 0.5cm, medida esta
medidas.
relevante para nosso experimento.
• Com base nisto, bolamos o seguinte
procedimento de medida: para cada
tensão de aceleração, era possível
observar duas circunferências distintas.
Anotamos então o diâmetro de cada
uma das duas circunferências,
utilizando três métodos distintos.
16. O procedimento
• Primeiro Passo: medimos o raio
mais interno, fechando o paquímetro
totalmente e o reabrindo até tocar,
internamente, a circunferência.
d1
17. O procedimento
Primeiro Passo: medimos o raio
mais interno, fechando o paquímetro
totalmente e o reabrindo até tocar,
internamente, a circunferência.
Segundo Passo: medimos o raio d2
mais externo, abrindo o paquímetro até
ultrapassar a circunferência e, em
seguida, o fechando até tocar,
externamente, a circunferência.
18. O procedimento
Primeiro Passo: medimos o raio
mais interno, fechando o paquímetro
totalmente e o reabrindo até tocar,
internamente, a circunferência.
Segundo Passo: medimos o raio d3
mais externo, abrindo o paquímetro até
ultrapassar a circunferência e, em
seguida, o fechando até tocar,
externamente, a circunferência.
Terceiro Passo: medimos o raio
médio, entre o raio interno e o raio
externo, utilizando apenas o bom senso
como discriminação.
19. O procedimento
• O procedimento descrito no slide anterior é
repetido para cada um dos valores do potencial
de aceleração.
• Foi possível verificar duas
circunferências diferentes, às quais
identificaremos como circunferência
menor e circunferência maior.
• Infelizmente, outras ordens eram
observadas apenas em altos valores do
potencial de aceleração (~8.00 ±
0.05kV), o que é uma sugestão de
simplesmente ignorá-los para todo o
• O paquímetro que utilizamos nos fornecia experimento.
precisão de ± 0.01 mm.
• Apresentaremos a seguir os resultados.
• Variamos o potencial partindo de 2.50kV,
com passo de 0.50kV, até 9.50kV.
22. Circunferência menor
• Os valores anteriores mostram como devem ser os
comprimentos de onda para o elétron. Notemos que a
ordem de grandeza de nossas medidas é
1 1011m.
• Este valor está dentro do valor esperado, mas ainda não
tem muito significado para nós.
• Podemos agora medir o valor da constante de Planck h,
cujo valor é fornecido pelo CODATA com grande
precisão. Para isto, utilizamos a relação
h 2meV .
24. Circunferência menor
Difração de Elétrons
• Ao lado, vemos o
comportamento dos dados
Medidas obtidas para a
-11
2.6x10
Comprimento de onda do elétron (m)
circunferência de menor diâmetro.
modelados em um gráfico.
Melhor reta fitada:
-11
2.4x10
• Ao relacionarmos com o
-34 -13
(6.9 ± 0.2)10 Js * x - (6 ± 5)10
inverso do quadrado do
-11
2.2x10
potencial, o esperado é uma
-11
2.0x10
reta cujo coeficiente angular é
-11
diretamente proporcional a h.
1.8x10
-11
1.6x10
• Assim, podemos calcular a
-11
1.4x10
média das constantes de
-11
Planck, obtendo como
1.2x10
resultado
22 22 22 22 22
2.0x10 2.5x10 3.0x10 3.5x10 4.0x10
1/2
Prop. ao inverso da raiz quadrada do potencial (1/(2meV) )
h p (6.85 0.2)1034 Js.
27. Circunferência maior
• Temos mais novos dados sobre os comprimentos de
onda do elétron, cuja ordem de grandeza concorda com o
experimento anterior,
2 1011m.
• Este valor, teoricamente, deveria manter-se o mesmo.
Podemos notar que a discrepância entre estes dois
valores obtidos é de
11
(0.02)10 m.
• Digamos de passagem que esta é uma discrepância
usualmente chamada de insignificante.
29. Circunferência maior
Difração de Elétrons
• Ao lado, vemos o (bom)
-11
2.6x10
comportamento dos dados
Comprimento de onda do elétron (m)
modelados em um gráfico.
-11
2.4x10
• Ao relacionarmos com o
-11
2.2x10
inverso do quadrado do
potencial, o esperado é uma
-11
2.0x10
reta cujo coeficiente angular é
diretamente proporcional a h.
-11
1.8x10
-11
1.6x10
• Assim, podemos calcular a
Medidas obtidas para a
circunferência de maior diâmetro.
média das constantes de
-11
1.4x10 Melhor reta fitada:
Planck, obtendo como
-34 -13
(6.55 ± 0.07)10 Js * x + (9 ± 2)10
resultado
-11
1.2x10
22 22 22 22 22
2.0x10 2.5x10 3.0x10 3.5x10 4.0x10
1/2
Prop. ao inverso da raiz quadrada do potencial (1/(2meV) )
h g (6.64 0.02)1034 Js.
30.
31. Correção relativística
• Sabendo o potencial a que esta submetido um
elétron, sua velocidade deverá ser
2eV
v(V ) .
m0
• Sem muito rigor, vamos propor a seguinte correção na
massa eletrônica:
m0 m0
m(V ) .
2
2eV
v(V ) 1
1 2
m0 c
c
32. Correção relativística
• Infelizmente, ao propor esta correção não há
qualquer modificação nos cálculos.
• Primeiramente, podemos argumentar que os potenciais não
são suficientemente grandes para que diferenças sejam de
fato notórias.
• Também podemos lembrar que esta correção, segundo a
modelagem relativística usual, não é correta: a massa seria
uma função da velocidade, que é função do potencial. Dada a
velocidade inicial, teríamos a aceleração destes elétrons e,
então, a colisão nos planos cristalinos. Isto exigiria, para
correções de maior ordem, a relatividade geral, o que não está
dentro do escopo do estudo.
33. Conclusão e palavras
finais
Apresentaremos a seguir nossas
conclusões e as referências que
utilizamos para efetuas os
cálculos e raciocínios.
34. Conclusão
• A constante de planck foi • Nesta experiência, utilizamos
determinada pelo CODATA com o a difração de Bragg para obter
valor o comprimento de onda,
segundo De Broglie, dos
h 6.626068(1034 ) Js. elétrons. Com o comprimento
de onda, calculamos o valor
da constante de Planck com
• Nós obtemos o valor, dados os
erro relativo de 2%.
experimentos realizados como
• Para realizar as medidas,
descrito acima,
propusemos uma modelagem
h (6.74 0.08)1034 Js. segura para a medida do raio
de circunferências espessas.
• Utilizamos o programa
• Este valor indica um erro relativo ao
Origin para montar os
valor esperado de 2%.
gráficos.