Universidad Nacional Experimental de Guayana
Vicerrectorado Académico
Proyecto de carrera
Ingeniería en industrias Forestales
REGRESION LINEAL MULTIPLE Y CUADRATICA
APLICADA A LA INGENIRIA Y A OTRAS CIENCIAS.
Profesor:
Ing. Álvaro Barrios
Upata, Julio del 2014
Integrantes:
Grillet Evelin
Montaño María
Rodríguez Thomas

ii
INDICE GENERAL
Pag.
Lista de cuadros………………………………………………………………… IV
Lista de imágenes…………………………………………………………..…... V
Lista de gráficos……………………………………………………………….... VI
Introducción…………………………………………………………………….. 1
Objetivo general………………………………………………………………... 3
Objetivo especifico……………………………………………………………... 3
Regresión Lineal..……………...……………………………………………….. 4
Regresión Lineal Simple.………………………………………………….……. 4
Diagrama de Dispersión..………………………………………………………. 7
Determinación de la ecuación para regresión lineal simple…………………..... 8
Predicciones en el análisis de regresión: interpolación contra
extrapolación………………………………………………………………….. 9
Error estándar de la estimación…………………………………………………. 9
Medidas de variación en la regresión
correlación……………...…………………………………………………......... 10
Coeficiente de determinación…..………………………………………………. 11

iii
Pag.
El coeficiente de correlación…………………………………………..……….. 12
nálisis de Regresión Múltiple.……………………………...……….....……… 13
Ejercicio nº 1…………………………………………………..…………...…… 15
Ejercicio nº 2……………………………………………………………...…….. 20
Conclusiones…………………………………………………………………… 22
Recomendaciones………………………………………………………………. 23
Referencias……………………………………………………………………... 24

iv
LISTA DE FIGURAS
Cuadro Pag.
1 Datos del Experimento…………………………………………… 15
2 Análisis de los datos (regresión)………………………………… 16
N Datos del experimento de flujo sanguíneo de los seres
humano……………………………………………………………
20
Imagen Pag.
1 Tipos de modelo de Regresión ……………………………………. 6
N Medidas de variación en la regresión.……………………………… 11
Gráfico Pag.
1 Curva de regresión ajustada variable X1…………………………… 18
2 Curva de regresión ajustada variable X2…………………………… 18
N Regresión cuadrática……………………………………………… 21

INTRODUCCION
La regresión y la correlación son dos técnicas estrechamente relacionadas y
comprenden una forma de estimación.
En forma más especifica el análisis de correlación y regresión comprende el
análisis de los datos muéstrales para saber qué es y cómo se relacionan entre sí dos o
más variables en una población. El análisis de correlación produce un número que
resume el grado de la correlación entre dos variables; y el análisis de regresión da
lugar a una ecuación matemática que describe dicha relación.
El análisis de regresión lineal es una técnica estadística utilizada para estudiar
la relación entre variables cuantitativas. Tanto en el caso de dos variables (regresión
simple) como en el de más de dos variables (regresión múltiple), el análisis regresión
lineal puede utilizarse para explorar y cuantificar la relación entre una variable
llamada dependiente o criterio (Y) y una o más variables llamadas independientes o
predictoras (X1, X2, …, Xp), así como para desarrollar una ecuación lineal con fines
predictivos. (Escuela Superior de Informática, s/f).
El modelo de regresión cuadrática es una alternativa cuando el modelo lineal
no logra un coeficiente de determinación apropiado, o cuando el fenómeno en estudio
tiene un comportamiento que puede considerarse como parabólico. La forma más
simple de tratar de establecer la tendencia es a través de un diagrama de dispersión o
nube de puntos (Reyes, 2011)
En el marco del análisis estadístico multidimensional interesa, en gran
medida, descubrir la interdependencia o la relación existente entre dos o más de las
características analizadas.
En el siguiente trabajo se presentan dos (02) ejercicios aplicados de regresión
donde uno demuestra dos variables independientes que son el peso inicial y la

2
cantidad de alimentos, con respecto a una variable dependiente que es el peso final,
como se pide comprobar si es posible predecir el peso de un animal en un periodo
determinado, se estudio el caso y se puede definir que este pertenece a regresión
lineal múltiple ya que tiene más de dos variables.
El segundo (02) ejercicio solo presenta dos variables “x” y “y” y se trata de
una regresión cuadrática donde se tendrá que estimar su ecuación.
Para ambos ejercicios se utilizara Microsoft Excel para analizar los datos y
estudiar sus respectivas graficas de regresión ya sea lineal o grafico de dispersión.
La solución de estos ejercicios permitirá conocer la importancia de la
regresión y sus diferentes tipos para la aplicación de la Ingeniería y otras Ciencias.

3
OBJETIVO GENERAL
Resolver dos (02) ejercicios de regresión, aplicados en Ingeniería y en otras Ciencias
OBJETIVOS ESPECIFICOS
 Definir Regresión, tipos, diagramas, sus ecuaciones y errores.
 Obtener posibles eventos que involucren diferentes modelos de regresión.
 Determinar una función matemática sencilla que describa el comportamiento
de una variable dados los valores de otra u otras variables.
 Aplicar los conocimientos de Regresión, comprendiendo e interpretando los
diferentes tipos de regresión para aplicarlos en la resolución de los ejercicios.

4
REGRESIÓN LINEAL.
Según Leonard,. y Díaz . (2006) Dice que el objetivo principal del análisis de
regresión es estimar el valor de una variable aleatoria (la variable dependiente) dado
que se conoce el valor de la variable asociada (la variable independiente). La variable
dependiente también se denomina variable de respuesta, mientras que la variable
independiente también se denomina variable predictora.
Dependiendo del criterio matemático que se emplee, se puede dar distintas
ecuaciones lineales diferentes para un mismo diagrama de dispersión dado. Con el
criterio del mínimo cuadrados, la recta de regresión de mejor ajuste ( y la mejor
ecuación) es aquella en la cual se minimiza la suma de las desviaciones al cuadrado
entre los valores estimado y real de la variable dependiente para el dato muestral
correspondiente. Las formulas de cálculo mediante las cuales se pueden determinar
los valores de y b1 para la ecuación de regresión que satisface el criterio de
mínimos cuadrados son: (Ob. Cit.)
-
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Según Walpole y Myers (1992) En el caso de una regresión lineal simple
donde hay una sola variable de regresión independiente una sola variable
aleatoria dependiente Y, los datos pueden representarse por los pares de
observaciones .
Se desea determinar la relación entre una sola variable regresiva X y una
variable de respuesta Y. La variable regresiva X se supone como una variable

5
matemática continua, controlable por el experimentador. Supóngase que la verdadera
relación entre Y y X es una línea recta, y que la observación Y en cada nivel de X es
una variable aleatoria.
El modelo para la línea recta se puede representar como:
En donde:
A= intercepción real con el eje Y de la población
B= pendiente real de la población
= error aleatorio en Y para la observación
En este modelo, la pendiente B de la recta representa el cambio unitario en Y,
por cambio unitario en X, es decir, representa la cantidad de cambio de Y (Positivo o
Negativo) para un cambio unitario particular en X. Por otra parte, la intercepción A
con el eje Y representa un factor constante que está incluido en la ecuación.
Representa el valor de Y cuando X es igual a cero. Además la ultima componente ,
del modelo representa el error aleatorio en Y para cada observación que ocurre. Este
término se ha incluido sólo porque el modelo estadístico es una aproximación a la
relación exacta entre las dos variables. (Gómez C., 2009)
Según Robert Johnson (1990) dice que la línea de regresión se deduce del
análisis de una situación en la cual se tiene dos a más variables de comportamiento
relacionado. Cuando se estudia esas dos variables conjuntamente, amenudo se ve una
situación donde se podría controlar una de las variables mediante acciones sobre la
otra; o tal vez se quiera predecir el valor de la segunda el base al conocimiento de la
primera. En cualquiera de estos casos se desea encontrar una línea de regresión si
existe que prediga de manera óptima el valor de la variable de salida. La variable que

6
se conoce o se puede controlar se llama variable de entrada. La variable que resulta
de la utilización de la ecuación de la línea de regresión se llama variable de salida.
La grafica lineal que se obtiene no es simplemente una representación visual
de nuestros datos. De hecho, revela dos cosas: a) existen realmente una relación
funcional (ecuacional) entre las dos variables, y b)la línea expresa la relación
cuantitativa entre ambas variables.(Ob.Cit)
Imagen nº 1. Tipos de Modelos de Regresión
Una vez trabajado el
diagrama de dispersión se
puede lograr una idea
aproximada del tipo de
relación existente entre las
variables. La naturaleza de
la relación puede adoptar
muchas formas, que van
desde funciones
matemáticas muy sencillas
hasta muy complicadas. La
relación más simple
consiste en una línea recta
o relación lineal.(Gómez,
2009)
Fuente: Gómez, (2009)

7
EL DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
Un diagrama de dispersión es una gráfica en la que se traza cada uno de los
puntos que representan un par de valores observados para las variables independiente
y dependiente. El valor de la variable independiente se gráfica con respecto al eje
horizontal, y el valor de la variable dependiente Y se traza con respecto al eje vertical.
(Kazmier. y Díaz, 1997)
La forma de la relación representada mediante el diagrama de dispersión
puede ser curvilínea y no lineal. Para las relaciones que no son lineales, un enfoque
utilizado con frecuencia consiste en determinar algún método para transformar los
valores de una o ambas variables, de manera que la relación de los valores
transformados sí sea lineal Después, puede aplicarse el análisis de regresión a los
valores transformados y pueden transformarse los valores estimados de la variable
dependiente, de vuelta a la escala original de medición. (Ob. Cit.)
El modo más elemental de visualizar la correlación entre las dos variables X e
Y es el método gráfico. El procedimiento es sencillo, basta con representar los datos
de las variables en las coordenadas X e Y, y trazar los puntos correspondientes. Así se
obtiene una “nube de puntos”, que se silueta y se puede atravesar con una recta
auxiliar en los casos que exista correlación. (Ob. Cit.)
La direccionalidad (tendencia) de la nube de puntos permite identificar si la
correlación es positiva o negativa, de tal modo que si es creciente (“hacia arriba”) la
correlación es positiva. (Gómez,. 2009)

8
DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN PARA REGRESIÓN LINEAL
SIMPLE
a) El método de los mínimos cuadrados
El científico alemán Karl Gauss (1777-1855) propuso estimar los parámetros y
de la ecuación .
Este criterio para estimar los coeficientes de regresión se conoce como el
método de mínimos cuadrados.
Las estimaciones de mínimos cuadrados de la ordenada al origen y la
pendiente del modelo de regresión lineal simple son
Donde:
Por tanto, la línea de regresión estimada o ajustada es:
Nótese que cada par de observaciones satisface la relación:

9
Donde recibe el nombre de residuo. El residuo describe el error en el
ajuste del modelo en la observación . (Montgomery. y Runger., 2001)
Una técnica matemática que determina los valores de A y B que mejor se
ajustan a los datos observados, se conoce como el método de los mínimos cuadrados.
Con el uso de dicho método se obtienen dos ecuaciones, llamadas ecuaciones
normales y una vez resultas para A y B quedan como sigue:
(Gómez., 2009)
PREDICCIONES EN EL ANÁLISIS DE REGRESIÓN: INTERPOLACIÓN
CONTRA EXTRAPOLACIÓN
Cuando se utiliza el análisis de regresión para predicciones, es importante
considerar sólo el rango pertinente de la variable independiente al hacer predicciones.
Este rango abarca todos los valores de X, desde el mínimo hasta el máximo utilizados
para desarrollar la ecuación de regresión. Por ello, al predecir Y para un valor dado de
X, se puede interpolar dentro de este rango de los valores de X, pero no se puede
extrapolar más allá del rango de los valores de X. (Berenson M. y Levine, D., 1989)
ERROR ESTÁNDAR DE LA ESTIMACIÓN
Con el propósito de medir la confiabilidad de la ecuación de estimación, los
estadísticos han desarrollado el error estándar de la estimación. Este error se
representa con y se parece a la desviación estándar, en que ambas son medidas de
dispersión. El error estándar de la estimación, mide la variabilidad o dispersión de los
valores observados alrededor de la línea de regresión.

10
Error estándar de la
estimación
Ecuación con que se calcula el error estándar de estimación:
Donde:
Y= valores de la variable dependiente
= valores estimados obtenidos de la ecuación de estimación que corresponden a
cada valor de Y
n= número de puntos de datos usados para ajustar la línea de regresión. (Levin.,
1988)
MEDIDAS DE VARIACIÓN EN LA REGRESIÓN CORRELACIÓN
A fin de determinar qué tan bien predice la variable independiente a la
variable dependiente en el modelo estadístico, se necesita desarrollar varias medidas
de variación.
La primera medida, la variación total, es una medida de la variación de los
valores de Y en torno a su media y se mide en dos componentes. En un problema de
regresión total en Y, la variable dependiente, se puede subdividir en variación
explicada, o sea, la que es atribuible a la relación entre X e Y y la variación no
explicada, atribuible a la relación entre Xe Y.

11
Figura nº N. Medidas de variación en la regresión
COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN
El coeficiente de determinación es la manera primaria de medir el grado, o
fuerza, de la relación que existe entre dos variables, X y Y. hemos usado una muestra
de puntos para desarrollar las líneas de regresión y por eso a esta medida la
llamaremos el coeficiente muestral de determinación. (Levin R., 1988)
Dicho coeficiente se obtiene de la relación entre dos tipos de variación: la variación
de los valores de Y en el conjunto de datos alrededor de:
1. La línea de regresión ajustada
2. Su propia media
El término de variación en estos dos casos se emplea en su sentido estadístico
habitual y significa “la suma de un grupo de cuadrados de desviaciones”. Así pues, al
aplicar esta definición, es razonable expresar la variación de los valores de Y
alrededor de la línea de regresión mediante la siguiente ecuación: (Ob. Cit.)
Fuente: Berenson. y Levine., (1989).

12
Variación de los valores de Y alrededor de la línea de regresión =
Y la segunda variación, de los valores de Y alrededor de su propia media, está
determinada por:
Variación de los valores de Y alrededor de su media=
Uno menos la razón entre esas dos variaciones es el coeficiente muestral de
determinación, que se representa con : (Ob. Cit.)
EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
El coeficiente de correlación es la segunda medida con que puede describirse
la eficacia con que una variable es explicada por otra. Cuando estamos trabajando con
muestras, el coeficiente muestral de correlación se denota con r y es la raíz cuadrada
del coeficiente muestral de determinación: (Levin., 1988)
Cuando la pendiente de la ecuación de estimación es positiva, r es la raíz
cuadrada positiva; pero si b es negativa, r es la raíz cuadrada negativa. Así pues, el
signo de r indica la dirección de la relación entre las dos variables X y Y. si existe una
relación inversa, es decir, si Y disminuye al aumentar X, entonces r caerá entre 0 y -1.
De manera análoga, si hay una relación directa (si Y aumenta al hacerlo X), r será un
valor dentro del intervalo de 0 a 1. (Ob. Cit.)
ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE
Muchos problemas de regresión involucran más de una variable regresiva.

13
Tales modelos se denominan de regresión múltiple. La regresión múltiple es
una de las técnicas estadísticas más ampliamente utilizadas y permite predecir el
valor de una variable dependiente a partir de diversas variables independientes.
Supóngase una investigación en particular, donde se tienen dos variables
independientes, entonces el modelo de regresión lineal múltiple se expresa como:
A= intercepción con el eje Y
Pendiente de Y con la variable manteniendo constante a la variable
Pendiente de Y con la variable manteniendo constante a la variable
Error aleatorio en Y para una observación dada.
Coeficientes de regresión múltiple
Según Gómez,. 2009). Dice que se utiliza el método de los mínimos
cuadrados para calcular los coeficientes de regresión y con la ayuda del programa
Microsoft Excel se obtiene dicho coeficientes.
Predicción de la variable dependiente “y” para valores dados de la variable
independiente.
Al ajustarse el modelo de regresión múltiple de los datos, se puede desarrollar
diversos procedimientos análogos a los antes mencionados para la regresión lineal
simple. (Ob. Cit.)

14
Para medir la asociación en el modelo de regresión múltiple.
En la regresión múltiple, dado que hay cuando menos dos variables
independientes, el coeficiente de determinación múltiple, representan la proporción
de la variable “y” que se explica por el conjunto de variables independientes
seleccionadas. (Ob. Cit.)
Coeficientes de determinación parcial.
Los coeficientes de determinación parcial (rx1 y rx2) miden la proporción de la
variación en la variable dependiente que se explica por cada variable independiente a
la vez que se mantiene constante a la otra u otras variables independientes. (Ob. Cit.)

15
EJERCICIOS.
1) Se lleva a cabo un experimento para determinar si es posible pronosticar el
peso de un animal después de un periodo de tiempo determinado sobre la base
de su peso inicial y de la cantidad de alimento que recibe. Se registraron los
siguientes datos en kg: (Walpole,. y Myers,. 1992)
Cuadro 1. Datos del experimento
Peso Final, y Peso Inicial, x1
Alimento
Consumido,x2
95 42 272
77 33 226
80 33 259
100 45 292
97 39 311
70 36 183
50 32 173
80 41 236
92 40 230
84 38 235
a) Ajuste una ecuación de regresión múltiple de la forma:
b) Pronostique el peso final de un animal que tiene un peso inicial de 35 kg y que
recibe 250 kg de alimento.

16
RESPUESTA:
Cuadro 2. Análisis de los datos (Regresión)
Resumen
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple 0,934429227
Coeficiente de determinación R^2 0,87315798
R^2 ajustado 0,836917402
Error típico 6,050788638
Observaciones 10
ANÁLISIS DE VARIANZA
Grados de libertad
Regresión 2
Residuos 7
Total 9
Coeficientes
Intercepción -22,99316393
Variable X 1 1,395672916
Variable X 2 0,217613407
Suma de cuadrados
Promedio de los
cuadrados
1764,215698 882,107849
256,284302 36,61204314
2020,5
Error típico Estadístico t
17,76254332 -1,294474756
0,582541662 2,395833648
0,057766963 3,767091008

17
F
Valor crítico
de F
24,09337948 0,00072681
Probabilidad Inferior 95%
Superior
95% Inferior 95,0%
Superior
95,0%
0,236564972 -64,99490462 19,00857677 -64,99490462 19,00857677
0,04775762 0,018180773 2,773165058 0,018180773 2,773165058
0,007009546 0,081016245 0,354210568 0,081016245 0,354210568
Análisis de los
residuales
Observación Pronóstico para Y Residuos
1 94,81594518 0,18405482
2 72,24467223 4,755327774
3 79,42591465 0,574085351
4 103,3552321 -3,355232063
5 99,1158493 -2,115849297
6 67,07431448 2,925685518
7 59,31548875 -9,315488751
8 85,58618962 -5,586189621
9 82,88483626 9,115163736
10 81,18155747 2,818442534

18
Grafico nº 1. Curva de Regresión Ajustada para la Variable X1
(Fuente: El Autor )
Grafico nº 2. Curva de Regresión Ajustada para la Variable X2
(Fuente: El Autor)
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50
PesoFinal
Peso Inicial X 1
Y
Pronóstico para Y
Lineal (Pronóstico para Y)
0
20
40
60
80
100
120
0 100 200 300 400
PesoFinal
Alimentos Consumidos X 2
Y
Pronóstico para Y
Lineal (Pronóstico para Y)

19
Aplicación de la ecuación:
a)
b)
ANALISIS:
El Coeficiente de determinación R^2 nos permite observar que si existe una
relación directa de la variable dependiente (y) con respecto a las dos (02) variables
independiente (x1 y x2) ya que arrojo 0,87315798 y lo que nos indica que mientras
más se acerque a uno (1) mas se ajusta la línea de regresión a los datos.
Por lo que se pudo observar en la respuesta b, es que si se puede pronosticar el
peso final de un animal sabiendo las dos variables independientes que en este caso es
el peso inicial y la cantidad de alimento que ingiere el animal.

20
2) Se lleva a cabo un experimento con objeto de determinar si el flujo sanguíneo
cerebral de los seres humanos se podía pronosticarse a partir de la presión del
oxigeno arterial (milímetros de mercurio) se utilizaron 15 pacientes y los
datos observados son los que se indican en el siguiente cuadro: (Walpole,. y
Myers,. 1992)
Cuadro N. Datos del experimento de flujo sanguíneo cerebral de los seres humanos
Presión del
oxígeno
arterial, x
Flujo sanguíneo,
y
603,40 84,33
582,50 87,80
556,20 82,20
594,60 78,21
558,90 78,44
575,20 80,01
580,10 83,53
451,20 79,46
404,00 75,22
484,00 76,58
452,40 77,90
448,40 78,80
334,80 80,67
320,30 86,60
350,30 78,20
Estime la ecuación de regresión cuadrática

21
RESPUESTA:
Grafico nº 3. Regresión Cuadrática para comparar la relación entre flujo sanguíneo y
Presión del oxigeno arterial.
(Fuente: El Autor)
A) Estime la ecuación de regresión cuadrática:
Y= 141,61 + 0,2819x + 0,0003x2
ANALISIS:
Estos datos se ajustan mejor a un modelo de regresión cuadrática ya que
tienen un comportamiento parabólico de segundo grado. Pero como se observa en el
grafico nº 3 los datos están dispersos no siguen la curva parabólica esto quiere decir
que no se puede pronosticar el flujo sanguíneo cerebral de los seres humanos a partir
de la presión del oxigeno arterial.
y = 0,0003x2 - 0,2819x + 141,61
74,00
76,00
78,00
80,00
82,00
84,00
86,00
88,00
90,00
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00
Flujo
Sanguineo
Presion del Oxigeno arterial

22
CONCLUSIONES
Cuando se habla de regresión lineal múltiple se refiere a una variable
dependiente y a dos o más variables independientes como se presento en el ejercicio
1, al analizar los datos nos dimos cuenta que los puntos (datos del problema) están
muy cerca de la lineal de tendencia, esto quiere decir, que si existe una relación entre
estas variables, y más al analizar el coeficiente de determinación R2
nos comprueba
que el análisis es acertado.
En el ejercicio dos (02) el Flujo Sanguíneo y la presión del oxigeno arterial
son dos variables (x,y) pero al analizar sus datos estos se ajustan a una regresión
cuadrática ya que obtiene un coeficiente de determinación apropiado para ser una
regresión lineal, al graficar este ejercicio por dispersión nos dimos cuenta que los
datos están muy alejados de la parábola, esto nos indica que no existe relación alguna
entre las dos variables.

23
RECOMENDACIONES
 Es recomendable aplicar regresión lineal múltiple cuando se tenga una
variable dependiente y dos o más variables independientes..
 Cuando se presente un caso de estudio y porque no también de la vida
cotidiana donde los datos no se tenga un coeficiente de determinación
apropiado es necesario aplicar una regresión cuadrática y analizar su parábola
y si los datos se relacionan entre sí para así poder llegar a una conclusión
satisfactoria.

24
REFERENCIAS
 Berenson, M. y Levine, D. (1982). Estadística para Administración y
Economía: Conceptos y Aplicaciones. Nueva editorial Interamericana.
México.
 Escuela Superior de Informática. (s/f). Regresión Lineal con SPSS.
[Documento en línea] Disponible:
http://www.uclm.es/profesorado/raulmmartin/Estadistica/PracticasSPSS/REG
RESION_LINEAL_CON_SPSS.pdf [Consulta: 2014, Julio 19]
 Gómez, C. (2009). Guía de Regresión y Correlación. Upata, Venezuela.
 Johnson, R. (1990). Estadística Elemental. Segunda Edición. México.
 Kasmier, L. y Díaz, A. (1993). Estadística Aplicada a la Administración y a
la Economía. Cuarta edición. México.
 Levin, R. (1988). Estadística para Administradores. Segunda edición.
México.
 Montgomerhy, D. y Runger, G. (1996). Probabilidad y Estadística Aplicada a
la Ingeniería. McGraw-Hill Interamericana Editores, S.A de C.V. México.
 Moreno, A. (2008). Distribución Normal. [Documento en línea]. Disponible:
http://www.monografias.com/trabajos10/dino/dino.shtml [Consulta: 2014,
Julio 06]
 Reyes, L. (2011). Estadística, Matemática y Computación. [Documento en
línea] Disponible: http://reyesestadistica.blogspot.com/2011/07/analisis-de-
regresion-cuadratica.html [Consulta: 2014, Julio 19]
 Walpole, R. y Myers, R. (1992). Probabilidad y Estadística. Cuarta edición.
México.