1.
GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT – 0936 128 126
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
(𝐼) {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 ( 𝑑) (𝑎2
+ 𝑏2
≠ 0)
𝑎′
𝑥 + 𝑏′
𝑦 = 𝑐′( 𝑑′)(𝑎′2
+ 𝑏′2
≠ 0)
TH1: Hệ (I) có một nghiệm  (d) cắt (d’) 
𝑎
𝑎′
≠
𝑏
𝑏′
(a’, b’ # 0)
TH2: Hệ (I) vô nghiệm  (d) // (d’) 
𝑎
𝑎′
=
𝑏
𝑏′
≠
𝑐
𝑐′
(a’, b’, c’ # 0)
TH3: Hệ (I) có vô số nghiệm  (d) trùng (d’) 
𝑎
𝑎′
=
𝑏
𝑏′
=
𝑐
𝑐′
(a’, b’, c’ # 0)
Phương pháp giải:
Phương pháp thế:
B1/ Biểu diễn một ẩn theo ẩn kia.
B2/ Biến hệ đã cho thành hệ mới có một phương trình một ẩn.
B3/ Giải phương trình một ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ.
Phương pháp cộng đại số:
B1/ Nhân hai vế của các phương trình với một số thích hợp để các hệ số của một
ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đốinhau.
B2/ Dùng quy tắc cộng được hệ mới có một phương trình một ẩn.
B3/ Giải phương trình một ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ.
II/ MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví Dụ 1: Cho hai hệ phương trình:
(I) {
2𝑥 + 2𝑦 = 𝑚
𝑥 + 𝑦 = 6
và (II) {
𝑥 − 𝑦 = 2
𝑚𝑥 − 4𝑦 = 12
Chứng minh rằng:
a/ Với m = 4 thì hai hệ phương trình tương đương nhau.

2.
GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT – 0936 128 126
b/ Với m = 2 thì hai hệ không tương đương với nhau.
Giải
Chú ý: Hai hệ phương trình gọi là tương đương nhau nếu tập nghiệm của chúng
bằng nhau.
a/ Với m = 4. Ta có:
(I) {
2𝑥 + 2𝑦 = 4
𝑥 + 𝑦 = 6
↔ {
𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥 + 𝑦 = 6
Và (II) {
𝑥 − 𝑦 = 2
4𝑥 − 4𝑦 = 12
↔ {
𝑥 − 𝑦 = 2
𝑥 − 𝑦 = 3
Thấy hai hệ này đều vô nghiệm nên suy ra chúng tương đương nhau.
b/ Với m = 2. Ta có:
(I) Trở thành {
2𝑥 + 2𝑦 = 2
𝑥 + 𝑦 = 6
↔ {
𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 = 6
hệ này vô nghiệm (1)
(II) trở thành {
𝑥 − 𝑦 = 2
2𝑥 − 4𝑦 = 12
↔ {
𝑦 = 𝑥 − 2
𝑦 =
1
2
𝑥 − 3
Hai đường thẳng y = x – 2 và y =
1
2
𝑥 − 3 có hệ số góc khác nhau (1 #
1
2
) nên chúng
cắt nhau. Hệ (II) có một nghiệm duy nhất (2)
Từ (1) và (2) suy ra hai hệ (I) và (II) không tương đương nhau khi m = 2
Ví Dụ 2: Cho hai hệ phương trình
{
2𝑥 − 𝑦 = 4
−𝑥 + 3𝑦 = 3
(I) và {
𝑚𝑥 − 𝑦 = 4
2𝑥 + 𝑛𝑦 = 16
(II)
a/ Hãy tìm nghiệm của hệ (I) bằng cách vẽ đồ thị của hai đường thẳng trong hệ.
b/ Tìm m và n để hệ (I) và (II) tương đương nhau.
Giải
a/ Đường thẳng (d): 2x – y = 4 đi qua hai điểm (0; -4) và (2; 0).

3.
GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT – 0936 128 126
Đường thẳng (d’): -x + 3y = 3 đi qua hai điểm (0; 1) và(-3;0)
Hai đường thẳng đó cắt nhau tại M(3; 2)
Nghiệm của hệ (I) là (3; 2)
b/ Để hệ (I) và (II) tương đương với nhau thì hệ (II) bắt buộc phải nhận nghiệm
(3; 2) là nghiệm duy nhất. Thay x = 3; y = 2 vào hệ (II) được:
{
3𝑚 − 2 = 4
6 + 2𝑛 = 16
↔ {
𝑚 = 2
𝑛 = 5
Với m = 2 và n = 5 hệ (I) trở thành {
3𝑥 − 𝑦 = 4
2𝑥 + 5𝑦 = 16
dễ dàng kiểm tra hệ này có
nghiệm duy nhất.
Vậy với m = 2 và n = 5 hệ (I) và (II) tương đương nhau.
Ví Dụ 3: Cho hệ phương trình: (I) {
2𝑥 = 4
−3𝑥 + 4𝑦 = −2
a/ Hãy đoán số nghiệm của hệ (I)
b/ Tìm tập nghiệm của hệ (I) bằng phương pháp đồ thị.

4.
GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT – 0936 128 126
c/ Vẽ thêm đường thằng x + 2y = 4 trên cùng hệ trục tọa độ. Có nhận xét gì về
nghiệm của hệ phương trình (II) {
𝑥 + 2𝑦 = 4
−3𝑥 + 4𝑦 = −2
? Hãy giải hệ (II) bằng phương
pháp thế để kiểm tra.
Giải
a/ Hệ có nghiệm duy nhất vì đường thằng (d1): 2x = 4 song song với trục tung còn
đường thẳng (d2): -3x + 4y = - 2 không song song với trục tọa độ nào nên, (d1) và
(d2) cắt nhau.
b/ Hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại điểm M(2; 1) nên hệ (I) có nghiệm duy
nhất là (2; 1).
c/ Đường thẳng (d3): x + 2y = 4 đi qua M(2; 1) và (4; 0) nên (2; 1) cũng là nghiệm
duy nhất của hệ (II).
Giải hệ (II) bằng phương pháp thế:
(II)  {
𝑥 = −2𝑦 + 4
−3(−2𝑦+ 4) + 4𝑦 = −2
↔ {
𝑥 = −2𝑦 + 4
10𝑦 − 12 = −2
↔ {
𝑥 = −2𝑦 + 4
𝑦 = 1
↔
{
𝑥 = 2
𝑦 = 1
Ví Dụ 4: Giải hệ phương trình: {
𝑥 − 2𝑦 = 1
( 𝑚2
+ 2) 𝑥 − 6𝑦 = 3𝑚
trong các trường hợp:
a/ m = -1
b/ m = 0

5.
GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT – 0936 128 126
c/ m = 1
Giải
a/ Với m = -1, ta có hệ: {
𝑥 − 2𝑦 = 1
3𝑥 − 6𝑦 = −3
↔ {
𝑥 = 2𝑦 + 1
3(2𝑦 + 1) − 6𝑦 = −3
↔ {
𝑥 = 2𝑦 + 1
3 = −3
vô lý => Suy ra hệ vô nghiệm.
b/ Với m = 0 ta có hệ:
{
𝑥 − 2𝑦 = 1
2𝑥 − 6𝑦 = 0
↔ {
𝑥 = 2𝑦 + 1
2(2𝑦 + 1) − 6𝑦 = 0
↔ {
𝑥 = 2𝑦 + 1
2 − 2𝑦 = 0
↔ {
𝑥 = 3
𝑦 = 1
Hệ có một nghiệm: (3; 1)
c/ Với m = 1, ta có hệ:
{
𝑥 − 2𝑦 = 1
3𝑥 − 6𝑦 = 3
↔ {
𝑥 − 2𝑦 = 1
𝑥 − 2𝑦 = 1
Hệ có vô số nghiệm.
Ví Dụ 5: Giải hệ phương trình: {
√6𝑥 + √2𝑦 = 2
𝑥
√2
−
𝑦
√3
= −
1
√6
a/ Bằng phương pháp thế?
b/ Bằng phương pháp cộng đại số?
Giải
a/ HPT: {
√6𝑥 + √2𝑦 = 2
𝑥
√2
−
𝑦
√3
= −
1
√6
↔ {
√3𝑥 + 𝑦 = √2
√3𝑥 − √2𝑦 = −1
↔ {
√3𝑥 = −𝑦 + √2
−𝑦 + √2 − √2𝑦 = −1
↔ {
√3𝑥 = −𝑦 + √2
−(1 + √2)𝑦 = −(1 + √2)

6.
GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT – 0936 128 126
↔ {√3𝑥 = −𝑦 + √2
𝑦 = 1
↔ {√3𝑥 = −1 + √2
𝑦 = 1
↔ {
𝑥 =
√2−1
√3
𝑦 = 1
b/ HPT: {
√6𝑥 + √2𝑦 = 2
𝑥
√2
−
𝑦
√3
= −
1
√6
↔ {
√3𝑥 + 𝑦 = √2
√3𝑥 − √2𝑦 = −1
↔ {
√3𝑥 + 𝑦 = √2
(1 + √2)𝑦 = 1 + √2
(trừ vế
với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai)
↔ {√3𝑥 = √2 − 1
𝑦 = 1
↔ {
𝑥 =
√2−1
√3
𝑦 = 1
Ví Dụ 6: Cho hệ phương trình:
{
𝑥
4
+
𝑦
3
=
1
2
0,25𝑥 + 0,5𝑦 = 1
( 𝐼) 𝑣à {
√2𝑎𝑥 + √3𝑏𝑦 = 5
−√3𝑎𝑥 + √2𝑏𝑦 = 5√6
(𝐼𝐼)
a/ Giải hệ (I) bằng phương pháp cộng đại số.
b/ Biết hệ (I) và (II) tương đương nhau. Tìm các hệ số a và b.
Giải
a/ (I)  {
3𝑥 + 4𝑦 = 6
𝑥 + 2𝑦 = 4
↔ {
3𝑥 + 4𝑦 = 6
2𝑥 + 4𝑦 = 8
↔ {3𝑥 + 4𝑦 = 6
𝑥 = −2
↔ {
𝑥 = −2
𝑦 = 3
b/ Do (I)  (II) nên (-2; 3) cũng là nghiệm duy nhất của hệ (II). Do đó ta có:
{ −2√2𝑎 + 3√3𝑏 = 5
2√3𝑎 + 3√2𝑏 = 5√6
↔ {−4𝑎 + 3√6𝑏 = 5√2
6𝑎 + 3√6𝑏 = 15√2
↔ { 10𝑎 = 10√2
6𝑎 + 3√6𝑏 = 15√2
↔ { 𝑎 = √2
6√2 + 3√6𝑏 = 15√2
↔ { 𝑎 = √2
3√6𝑏 = 9√2
↔ { 𝑎 = √2
𝑏 = √3

7.
GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT – 0936 128 126
Ví Dụ 7: Giải hệ phương trình:
{
2
2𝑥 + 1
−
5
2𝑦 − 1
= 8
3
2𝑥 + 1
−
2
2𝑦 − 1
= 1
Giải
ĐK: x # -
1
2
; y #
1
2
Đặt: u =
1
2𝑥+1
và v =
1
2𝑦−1
HPT đã cho trở thành:
{
2𝑢 − 5𝑣 = 8
3𝑢 − 2𝑣 = 1
↔ {
6𝑢 − 15𝑣 = 24
6𝑢 − 4𝑣 = 2
↔ {
6𝑢 − 15𝑣 = 24
−11𝑣 = 22
↔ {
6𝑢 = 24 + 15𝑣
𝑣 = −2
↔ {
𝑢 = −1
𝑣 = −2
Suy ra: {
1
2𝑥+1
= −1
1
2𝑦−1
= −2
↔ {
2𝑥 + 1 = −1
2𝑦 − 1 = −
1
2
↔ {
𝑥 = −1
𝑦 =
1
4
Vậy HPT đã cho có nghiệm: (- 1;
1
4
)
Ví Dụ 8: Giải hệ phương trình:
{
| 𝑥 + 2| + | 𝑦 − 1| = 4
| 𝑥 + 2| − 𝑦 = 1
Giải
Từ |x + 2| + |y - 1| = 4 suy ra: |x + 2| = 4 - |y - 1|. Thế vào |x + 1| - y = 1 được
4 - |y - 1| - y = 1 hay |y - 1| + y = 3 (*)
TH1: Nếu y < 1 thì |y - 1| = 1 – y, thay vào (*) được:
1 – y + y = 3  1 = 3 vô lý.

8.
GIA SƯ TÀI ĐỨC VIỆT – 0936 128 126
TH2: Nếu 𝑦 ≥ 1 thì |y - 1| = y – 1, thay vào (*) được:
y – 1 + y = 3  y = 2 (t/m)
Suy ra: |x + 2| = 4 - |2 - 1| = 3 ↔ [ 𝑥+2=3
𝑥+2=−3
↔ [ 𝑥=1
𝑥=−5
Vậy tập nghiệm của HPT là: {(1; 2), (-5; 2)}
III/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Giải các hệ phương trình:
a/ {
10
𝑥+3𝑦
+
7
𝑥−3𝑦
= 3
15
𝑥+3𝑦
−
14
𝑥−3𝑦
= 1
b/ {
2√ 𝑥 − 2 − 5√ 𝑦 + 1 = −4
√ 𝑥 − 2 + 3√ 𝑦 + 1 = 9
c/ {
(𝑥 + 2)2
− 2( 𝑦 − 1)3
= 25
3(𝑥 + 2)2
+ 5(𝑦 − 1)3
= −13
Bài 2: Giải các hệ phương trình:
a/ {
1,5| 𝑥 − 1| − 2| 𝑦 + 2| = −4
| 𝑥−1|
4
+
| 𝑦+2|
6
= 1
b/ {
𝑥 − 2𝑦 = 3
| 𝑥 − 𝑦| + | 𝑥 + 4𝑦 − 5| = 8
Bài 3: Biết rằng: Một đa thức P(x) bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số
của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của a và b để đa thức sau (với biến số x) bằng đa
thức 0:
P(x) = (√ 𝑎 − 1 + 3√ 𝑏 − 2 − 9)x + (2√ 𝑎 − 1 − 5√ 𝑏 − 2 + 4)
Bài 4: Cho hệ phương trình:
{
𝑥 − 𝑚𝑦 = 3
𝑚𝑥 − 9𝑦 = 2𝑚 − 3
a/ Giải hệ phương trình với m = 1.
b/ Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất, đồng thời thỏa mãn điều kiện x > y.