Hệ phương trình đối xứng loại 1; Hệ phương trình đối xứng loại hai; Hệ phương trình đẳng cấp.

1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ
1. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Đ/N: Một hệ phương trình hai ẩn x, y gọi là hệ phương trình đối xứng loại một nếu mỗi
phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x, y (nghĩa là mỗi phương trình của hệ
không đổi khi đổi vai trò của x và y cho nhau)
Tính chất: Nếu (a; b) là nghiệm thì (b; a) cũng là nghiệm.
Cách giải: Đặt S = x + y và P = xy, với điều kiện: 𝑆2
≥ 4𝑃.
Ví Dụ: Giải hệ phương trình: {
𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 11
𝑥2
+ 𝑦2
+ 3( 𝑥 + 𝑦) = 28
Giải
Đặt S = x + y; P = xy hệ trở thành: {
𝑆 + 𝑃 = 11 (1)
𝑆2
− 2𝑃 + 3𝑆 = 28 (2)
Từ (1) có:P = 11 – S thế vào (2) được: S2 + 5S – 50 = 0 => S = 5 hoặc S = -10.
Nếu S = 5 thì P = 6 nên x, y là các nghiệm của phương trình: t2 – 5t + 6 = 0
=> t = 2 hoặc t = 3. Suy ra: (x; y) = (2; 3) hoặc (x; y) = (3; 2)
Nếu S = -10 thì P = 21 nên x, y là các nghiệm của phương trình: t2 + 10t + 21
=> t = -3 hoặc t = -7. Suy ra: (x; y) = (-3; -7) hoặc (x; y) = (-7; -3)
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
( 𝑥; 𝑦) ∈ {(2;3),(3; 2), (−3; −7), (−7; −3)}
2. Hệ phương trình đối xứng loại hai:
Đ/N: Một hệ phương trình hai ẩn x, y gọi là đối xứng loại hai nếu trong hệ phương trình,
khi đổi vai trò của x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia.
T/C: Nếu (a; b) là nghiệm thì (b; a) cũng là nghiệm.
Cách Giải: Trừ các vế tương ứng của hai phương trình => đưa về phương trình tích.
Ví Dụ: Giải hệ phương trình: {
𝑥3
+ 1 = 2𝑦 (1)
𝑦3
+ 1 = 2𝑥 (2)
Giải
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế được: x3 – y3 = 2y – 2x
 (x – y)(x2 +xy + y2) + 2(x – y) = 0

2.  (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0
Ta có: x2 + xy + y2 + 2 = (𝑥 +
𝑦
2
)2
+
3
4
𝑦2
+ 2 > 0 với mọi x, y
Do đó có: x – y = 0  x = y. Thay y = x vào (1) được: x3 – 2x + 1 = 0
 (x – 1)(x2 + x – 1) = 0. Giải ra được: x = 1; 𝑥 =
−1±√5
2
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là:
( 𝑥; 𝑦) ∈ {(1; 1), (
−1−√5
2
;
−1−√5
2
), (
−1+√5
2
;
−1+√5
2
)}
3. Hệ phương trình đẳng cấp:
Đa thức hai biến x và y có dạng:
P(x; y) = anxn + an-1xn-1y + an-2xn-2y2 + .... + a2x2yn-2 + a1xyn-1 + a0yn
Trong đó n là số tự nhiên; a0; a1; ...; an là những số thực không đồng thời bằng 0, được
gọi là đa thức đẳng cấp bậc n.
Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp có dạng: {
𝑓1
( 𝑥; 𝑦) = 𝑔1(𝑥; 𝑦)
𝑓2
( 𝑥; 𝑦) = 𝑔2 (𝑥; 𝑦)
Trong đó f1(x; y) và f2(x; y) là hai đa thức đẳng cấp cùng bậc; g1(x; y) và g2(x; y) là hai
đa thức đẳng cấp cùng bậc.
Cách Giải:
Nếu y = 0, thay vào tính.
Nếu y # 0 đặt 𝑥 = 𝑦𝑡 => tùy cơ ứng biến.
Ví Dụ 3: Giải hệ phương trình: {
𝑥2
− 2𝑥𝑦 + 3𝑦2
= 9 (1)
2𝑥2
− 13𝑥𝑦 + 15𝑦2
= 0 (2)
Giải
Nếu y = 0 thì suy ra: { 𝑥2
= 9
𝑥2
= 0
vậy trong trường hợp này hệ vô nghiệm.
Xét y # 0 đặt x = yt thay vào (2) được: y2.(2t2 – 13t + 15) = 0
 2t2 – 13t + 15 = 0  𝑡 = 5 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑡 =
3
2
Với t = 5 thì x = 5y thay vào (1) được: 𝑦2
=
1
2
 𝑦 = ±
√2
2
, 𝑘ℎ𝑖 đó: 𝑥 = ±
5√2
2
.
Với 𝑡 =
3
2
thì 𝑥 =
3𝑦
2
thay vào (1) được: y2 = 4  y = ±2, khi đó: x = ± 3

3. Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là:
( 𝑥; 𝑦) ∈ {(2; 3), (−2; −3),(−
√2
2
; −
5√2
2
) ,(
√2
2
;
5√2
2
)}
Ví Dụ 4: Giải hệ phương trình: {
𝑥2
− 3𝑥𝑦 + 𝑦2
= −1
3𝑥2
− 𝑥𝑦 + 3𝑦2
= 13
Giải
Nếu y = 0 hệ trở thành: { 𝑥2
= −1
3𝑥2
= 13
vô lý.
Xét y # 0, đặt x = yt hệ trở thành: {
𝑦2
𝑡2
− 3𝑦2
𝑡 + 𝑦2
= −1 (1)
3𝑦2
𝑡2
− 𝑦2
𝑡 + 3𝑦2
= 13 (2)
Lấy (1) : (2) được:
𝑡2
−3𝑡+1
3𝑡2
−𝑡+3
=
−1
13
(chú ý: 3t2 – t + 3 = 2t2 + ( 𝑡 −
1
2
)
2
+
11
4
> 0)
 2t2 – 5t + 2 = 0  𝑡 =
5−√17
4
ℎ𝑜ặ𝑐 𝑡 =
5+√17
4
Đến đây lần lượt thay các giá trị của t vào (1) để tìm y rồi suy ra x.