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. Ornstein の同型定理について
れんま(n%)（徳富　蘇峰）
2014 年9 月14 日
れんま(n%)（徳富　蘇峰）() Ornstein の同型定理について2014 年9 月14 日1 / 63

目次
. 1 ベルヌーイ系の導入と主定理
. 2 目印がある場合への帰着
. 3 骨格の導入と基本補題
. 4 詰材の概念と同値類の評価
. 5 団体の結成定理と割り当ての構成
. 6 主定理の証明と参考文献

ベルヌーイ系とは？
.
.定義1.1
　 2 以上の整数a について、集合A = {1, . . . , a} とこ
の集合上の確率測度pを考える。
　集合X = AZ にベルヌーイ測度μ = pZ を入れて、シ
フト写像T : X ∋ (xi)i7→ (xi−1)i ∈ X を考える。この
時、測度力学系(X,B, μ, T) をベルヌーイ系、あるいは
ベルヌーイシフトと呼ぶ。
.

測度力学系の同型とは？
.
.定義1.2
　二つの測度力学系(X,B, m, T), (Y, C, n, S) が測度同型
であるとは、その補集合が零集合であるような可測集
合A ⊂ X, B ⊂ Y があって、以下の性質を満たすこと
です。
(a) T(A) ⊂ A, S(B) ⊂ B
(b) ある双可測写像Φ : A → B があって、
.
Φ ◦ T = S ◦ Φを満たす。
　以下では、mは確率測度でT は保測変換であると
する。

測度論的エントロピー
.
.定義1.3
　測度力学系 (X,B, m, T) において、分割
A = {A0, . . . , An} に対しエントロピーが次のように定
義される。
.
hm(A) =
Σn
i=0
− m(Ai) log2(m(Ai))
　ここから測度論的エントロピーが定義される。
hm(T)=sup
A
hm(T,A), hm(T,A)=lim
l→∞
i=0T−iA)
hm(∨l

今日考える問題と主定理
.
.問題
　二つのベルヌーイシフト (AZ,B, pZ, T) と
(BZ, C, qZ, T′) の測度論的エントロピーが一致すると
き.
、それらは互いに測度同型になるか？
.
定.理1.1
　二つのベルヌーイシフトの測度論的エントロピーが
一致するとき、両者の間に零集合を除いて連続となる
ような写像Φによって測度同型になる。
.

目印を作るための基本的な補題(その1)
.
.補題2.1
　 3 以上の自然数a, b とエントロピーが同じ二つのベ
ルヌーイ系(AZ,B, pZ, T), (BZ, C, qZ, T′) に対して、あ
る3 以上の自然数c ともう一つ同じエントロピーh を
持つベルヌーイ系(CZ,D, rZ, T′′) であって、ある自然
数1 5 k 5 a, 1 5 l 5 b がr1 = pk, r2 = ql を満たすも
のが存在する。
　ここで、A = {1, . . . , a}, B = {1, . . . , b},
C = {1, . . . , c} としている。
.

補題2.1 の証明(6 割ほど)
.
.Proof.
　改めて順序をつけ p1 = · · · = pa, q1 = · · · = qb,
pa = qb となるようにしておく。
　ここで、r1 = p1, r2 = qb, r3 = 1 − r1 − r2 と定義し
て、
−ri log2 riとΣa
.
Σ3
i=1
−ri log2 ri とh、つまり
Σ3
i=1
i=1
−pi log2 pi を比較する。
　関数ϕ(x) = −x log2 x は[0, 1] 内Σ3
で上に凸な関数であ
る。今r3 = p2 = p3 = r2 なので、
i=2
−ri log2 ri
5
Σ3
i=2
−pi log2 pi より、前者のほうが小さいとわかる。
　あとは次の主張が示されればよい。

補題2.1 の証明のための主張
.
.主張
　ある 3 以上の自然数c と正の実数の組(s3, . . . , sc) で
あって、次の二式を満たすものが存在する。
(a) s3 + · · · + sc = r3.
(b) {Σ2
.
i=1
−ri log2 ri} + {Σc
i=3
−si log2 si} = h.
.
Proof. ..
.中間値の定理の応用問題です。

目印を作るための基本的な補題(その2)
.
.補題2.2
　もしも、ベルヌーイ系 (AZ,B, pZ, T),
A = {1, . . . , a} においてa = 2 であったとする。
　この時、3 以上の自然数c とベルヌーイ系
(CZ,D, rZ, T′′), C = {1, . . . , c} とある自然数k であっ
て、次を満たすものが存在する。
.
pk
1 p2 = rk
1 r2.

補題2.2 の証明
.
.Proof.
　まずは、1 r1 max{p1, p2} を任意に選ぶ。ここ
で、充分k を大きくとりr2 := (p1/r1)k p2 がr1 + r2 1
を満たすようにできる。さらに、r3 := 1 − r1 − r2 とお
けば、必要ならばr1 を大きく取り直すことにより、次
の不等式を得ることができる。
.
Σ3
i=1
{−ri log2 ri} 5 h.
　したがって、あとは補題2.1 の主張と同様の議論を
すればよい。

目印の定義
二つのベルヌーイシフトが殆ど至る所連続な写像
Φによって測度同型になるという関係が” 同値関
係” なので、(AZ,B, pZ, T), (CZ,D, rZ, T′′) の間に
それぞれ求める測度同型を構成すればよい。
そこで、補題2.1 の場合は、p1 = q1 を仮定し、目
印(記号列)MをM = 1 と定義する。
　補題2.2 の場合は、pk
1
p2 = qk
1
q2. を仮定し、
M = 1k2 と定義する。ここで、1k とは1 がk 回連
続して表われることを意味している。

骨格の定義
以下では、増大する自然数列{Nr}r∈N
(0 N1, Nr Nr+1) を一つ固定して考える。
.
.定義3.1
　自然数r と目印Mに対し、階数r の骨格s というと、
自然数r と次の図式の組を指す。
　　　　　　s : Mn0
.
l1
Mn1
l2
. . .
lm
Mnm
　ここで、lt(1 5 t 5 m), nt(0 5 t 5 m) は自然数で、
次の不等式を満たす。
　　　nt Nr 5 min{n0, nm}(1 5 t 5 m − 1).

骨格の意味と階数、長さ
　骨格の定義において、Mn は目印Mがn回連続
して表われることを表す。
l
は目印を含まない長
さl の記号列を表す。
　自然数r も込めて考えているので、二つの骨格
s, s′ が同じ図式であってもr が異なれば、s, s′ は
別の骨格として考える。
　骨格s における自然数r を骨格s の階数と言っ
て、r(s) とかく。
Σ　骨格s における長さとは、l(s) :=
m
t=1 lt のこと
を指す。

部分骨格と骨格の階数分解(その1)
.
.定義3.2
.
　階数 r′ の骨格s′ が骨格s の部分骨格であると
は、s′ の図式が適切な0 5 t t′ 5 mによって次
のように書けることを言う。
s′ : Mnt
lt+1
Mnt+1 . . .
lt′
Mlt′
　骨格s の二つの部分骨格s1, s2 が交わらないと
は、集合{t1 + 1, . . . , t′
1}, {t2 + 1, . . . , t′
2} が交わら
ないことを指す。

部分骨格と骨格の階数分解(その2)
.
.定義3.2(続き)
.
　骨格 s の部分骨格の組(s1, . . . , sk) が骨格s の分
解であるとは、各s j たちが互いに交わらず、かつ
∪15l5k{tl + 1, . . . , t′
l} = {1, . . . , m} となることを指
し、s = s1 × · · · × sk とかく。
.
.補題3.3(骨格の階数分解)
　任意の階数 r が2 以上の骨格s は、階数r − 1 の部分
骨格s j たちによって一意にs = s1 × · · · × sk と分解
する。
.

補題3.3 の証明(その1)
.
.Proof.
　今、Nr−1 Nr 5 n0 なので、Nr−1 5 nt を満たす最
小のt = 1 について、骨格s の{1, . . . , t} の部分を切り
出せば、階数r − 1 の部分骨格s1 が得られる。t = mな
らばここで分解が完成し、そうでなくともt から始め
て以下帰納的に部分骨格を構成していけば、長くとも
m回でt′
.
= mに到達して、階数分解が得られる。

補題3.3 の証明(その2)
.
　一意性については、二通りの分解 s = s1 × · · · × sk
= s′
.
1 × · · · × s′
l があったとする。まず、部分骨格
s1, s′
1 についてt1 t′
1 であれば、nt1 Nr−1 5 nt1 よ
り矛盾が出るので、対称性よりt1 = t′
1 となる。以下、
帰納的にk = l, ti = t′
i が得られる。

骨格とベルヌーイ系との関連性
　ベルヌーイ系(AZ,B, pZ, T) の点x ∈ AZ と骨格
s について、s がx において現れるとは次の状況を
指す。つまり、その前後に目印Mが現れないx の
有限区間であって、骨格s において各
lt
を長さlt
の目印を含まない記号列を埋めることで得られる
ものが存在する。
　さらに、整数i についてx の第i 座標がs により
被覆されるとは、上述の条件を満たすx の有限区
間であって、第i 座標があるt の
lt
の部分に現れ
るものが存在することを指す。

ベルヌーイ系における骨格の基本補題
.
.補題3.4(基本補題)
(a) 　整数i と目印Mについて、殆どのx ∈ AZ はその
.
第i 座標が目印Mに含まれるか、それとも任意の
r = 1 について一意な骨格sr(x) であって第i 座標
を被覆するものが存在するかのいずれかである。
(b) 　長さの増大列{Ln}n∈N が与えられると、冒頭の
増大列{Nn}n∈N をうまくとって、殆どのx ∈ AZ に
対して十分大きなすべてのr がl(sr(x)) = Lr を満
たすようにできる。

補題3.4 の(a) の証明
.
.Proof.
　階数 Nr と目印Mの長さをk とし、測度空間として
(AZ,B, pZ), ({ANr k}Z,B′, {pNrk}Z) を同一視するとき、i
の属するブロックが第j ブロックであるとすると、第
j − 1 ブロックから第j − l ブロックまで一度もMNr が
現れない確率は(1 − pk(M)Nr) のl 乗であるから、確率
1 でx ∈ AZ はi より左側に最低一回MNr が現れ、Mが
有限個続いて止まる。零集合の可算和は零集合なの
で、確率1 で任意の階数r に対し両側にNr 回以上M
が続く区間があり、両側で一番i に近いところを端と
して骨格を構成すればよい。
.

補題3.4 の(b) の証明
.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
とおいてl(sr(x)) Lr となる確率qr を考え
2r
よう。第t 座標から第t − (Lr + 1)Lrk + 1 座標までの様
子は、骨格sr(x) の左端Mn0 が現れるか否かで場合分
けして考えれば、最低(Lr − 1)Lr 回現れることがわか
る。重複組み合わせを用いることにより、その確率は
1H2Lrk(pk(M))(Lr−1)Lr (Lr−1)Lr+と表され、m = pk(M) を
用いて、mLr((Lr−1)−2k(log2 3L/ log2 m)) と評価される。これ
により
Σ∞
r=l qr → 0(l → ∞) を得て証明が終わる。

目印過程と詰材の導入
　ベルヌーイ系(AZ,B, pZ, T) と長さk の目印M
について、二点集合E = {1, 2} にq1 = pk(M),
q2 = 1 − q1 と確率測度を入れて考えたベルヌーイ
系を目印過程といい、そのエントロピーe を目印
エントロピーと呼ぶ。
　この目印エントロピーを用いて、詰材エントロ
ピーg を次で定義する。
g :=
h − e
1 − kpk(M)
　先述の補題の目印については、g 0 となる。

詰材に関する一連の定義
.
.定義4.1
　階数 r の骨格s に対して、その詰材集合F(s) とは次
の有限積測度空間である。
.
F(s) =
Πm
i=1
Ali
0
　ここで、Al
0 とはAl の元の中で目印Mが現れないも
のを集めた集合で、ここには正規化された確率測度
pl/(pl(Al
0
)) が入っている。

詰材に関した記号の定義(その1)
　骨格s の詰材F ∈ F(s) と座標番号の集合
I(s) := {1, . . . , l(s)} の部分集合J とk ∈ I(s) J に
対して、次のように推移確率を定義する。
p(k, F, J) = p(Xk = Xk(F)|(Xl = Xl(F)(l ∈ J)))
　ここでXk とは、第k 座標を返す確率変数、
Xk = Xk(F) は{ω ∈ F(s)|Xk(ω) = Xk(F)} という意味
で、p(A|B) = p(A ∩ B)/p(B) である。pは詰材集合の
確率測度である。

詰材に関した記号の定義(その2)
　先ほどの記号をもとにして次の二つの量を定義
する。
η := min{p(k, F, J)|J, F, k : 0 p(k, F, J) 5 1}
θ := max{p(k, F, J)|J, F, k : 0 5 p(k, F, J) 1}
　ここで、階数分解Πs = s1 × · · · × sm があれば、測度
空間としてF(s) =
m
i=1
F(si) と詰材集合も同一視でき
ることに注意する。このことを利用して詰材集合に同
値関係を導入する。

詰材集合上の同値関係の定義(その1)
　以下、実数の減少列ϵr ϵr+1, limr→∞ ϵr = 0 を固定
して考え、階数r の骨格s の詰材Fに対してI(s) の部
分集合J(F) を定義する。
.
.
　階数 1 の骨格に対し、次のように定義する。
ΠJ(F) = {k : 1 5 k 5 l(s), k−1
η2−g(1−ϵ1)l(s)}
i=1 p(i, F, {1, . . . , i − 1}) = 1
　それ以上の階数では、階数分解を用いて
F = F1 × · · · × Fm ∈ Πm
i=1
F(si) として、
eJ(F) := ∪m
i=1
J(Fi) ⊂ I(s) と定義しておく。

詰材集合上の同値関係の定義(その2)
.
.
　 I(s) eJ(F) の単調増加な番号付けを{k1, . . . , kv}
とし、J(F) を次で定義する。
J(F) := e Π J(F) ∪ {ku : 1 5 u 5 v, u−1
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})p(Xk =
Xk(F)(k ∈ eJ(F)) = 1
η2−g(1−ϵr)l(s)}
　詰材同士の同値関係をXk(F) = Xk(F′) (k ∈ J(F)) と
定義するために、F ∼ F′ ならばJ(F) = J(F′) を示す
必要があるが、J(F), J(F′) の定義でのXk のF, F′ の値
の一致からでる。

詰材集合の同値類の評価(その1)
　詰材集合F(s) をこの同値関係で割った集合を
e F(s) とかき、詰材F の同値類を[F] とかく。この
集合には、詰材集合から自然に確率測度p0 が導か
れる。
.
.補題4.2
(a) 　階数r 長さl の骨格s の詰材F ∈ F(s) は、次の
.
不等式を満たす。
p0([F]) = 2−g(1−ϵr)l(s)

詰材集合の同値類の評価(その2)
.
.補題4.2(つづき)
(b) 　任意のδ 0, r に対して、ある長さl0 =l0(δ, r)
.
以上の長さl を持つ階数r の骨格s の詰材F ∈ F(s)
は測度δ 以下の集合のものを除き次を満たす。
　　　p0([F]) 5 1
η2−g(1−ϵr)l
(c) 　任意のδ 0, r に対して、ある長さl1 =l1(δ, r)
以上の長さl を持つ階数r の骨格s の詰材
F ∈ F(s) は測度δ 以下の集合のものを除き次を満
たす。　　#(J(F))
l = 1 − 4g
| log2 θ|ϵr

補題4.2(a) の証明
.
.Proof.
　 J(F) の定義における最大のku をとり、以下のよう
に評価する。
p0([F]) =
.
Πu
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})
p(Xk = Xk(F)(k ∈ eJ(F))=
p(ku,F,eJ(F)∪{k1,...,ku−1})
η 2−g(1−ϵr)l = 2−g(1−ϵr)l

バーコフのエルゴード定理
.
.定理4.3（バーコフのエルゴード定理）
　確率空間 (X,B, p) とエルゴード的な保測写像T にお
いて、f ∈ L1(X,B, p) に対して次がω − a.s で成り
立つ。
.
lim
n→∞
1
n
Σn−1
k=0
f (Tk(ω)) =
∫
X
f dp
　この定理と次の定理の証明はSmorodinsky の
Ergodic Theory,Entropy で見ることができる。

シャノン-マクミルマン-ブライマンの定理
.
.定理4.4（シャノン-マクミルマン-ブライマン）
　確率空間 (X,B, p) とエルゴード的な保測写像T にお
いて、X の有限分割P = {P1, . . . , Pk} に対して次が
ω − a.s で成り立つ。
.
lim
n→∞
1
n
Σ
i1,...,in
χPi1,...,in(ω) log2 p(Pi1,...,in) = hp(T, P)
　ここでPi1,...,in = ∩n
k=1
T−(k−1)Pik でχ は特性関数を
表す。

補題4.2(b) の証明（途中まで）
.
.Proof.
　骨格 F ∈ F(s) はJ(F) = I(s) であるか、そうでなけ
ればJ(F) の定義における最大のku をとって以下のよ
うに評価される。
p0([F]) =
.
Πu
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})
p(Xk = Xk(F)(k ∈ eJ(F)) 5 1
η2−g(1−ϵr)l
η2−g(1−ϵr)l を満たす詰材
　したがって、p(F) 1
F ∈ F(s) の集合の大きさがl を大きくすることでいく
らでも小さく評価できればよい。

補題4.2 の証明のための主張
.
.主張
　次のそれぞれの不等式について、これを満たす詰材
F ∈ F(s) の集合の大きさはl を大きくすることでいく
らでも小さく評価できる。
.
p(F) =
1
η
2−g(1−ϵr)l, p(F) 5
1
ηθ
2−g(1+ϵr)l

先ほどの主張の証明(その1)
.
.Proof.
　次の不等式を満たす詰材の集合が l を大きくするこ
とで小さく評価できることを言えばよい。
.
|g +
1
l
log2 p(F)| = ϵr
　ここで、AZ の各記号列を目印ならば1k、そうでな
ければその長さの分だけ2 を並べて得られる集合
Ω ⊂ {1, 2}Z へこの写像Φによる確率測度の押し出し
q′ とシフト写像によって得られる測度力学系は、目印
過程と測度同型になるのでエルゴード的である。

先ほどの主張の証明（その2）
.
　骨格が目印の部分も含めて第 q 座標から第r 座標ま
で現れるとすると、詰物のところをF ∈ F(s) で埋めた
ものをyi(q 5 i 5 r) とすれば、次の等式が成立する。
.
pZ({xi = yi}) = p(F)q′({exi = Φ(yi)})
　この等式から1l
log2 p(F) → g(l → ∞)”a.s” を導く
ことを考えると、まずシャノン-マクミルマン-ブライ
マンの定理から次の概収束が使える。

先ほどの主張の証明（その3）
.
　　　 1
.
r−q
Σr
i=q log2 pxi
→ −h a.s (1)
r−q log2 q′({exi = Φ(yi)}) → −e a.s (2)
　　1
　さらに、f ∈ L1(AZ) を第0 座標から第k − 1 座標ま
で見て目印だったら−k そうでなければ0 を返す関数
としてエルゴード定理を適用すれば、
　　l(s)/(r − q) →
∫
AZ(1 − f ) = 1 − kη a.s (3)
が得られて、−((1) − (2))/(3) から目的の概収束が言え
て、主張と補題4.2 の証明が終わる。

団体の概念
.
.定義5.1(団体の定義)
　U, V をそれぞれ確率測度ρ, σを持つ有限集合と
する。
　U からV への団体とは、P(V) をV の部分集合を集
めたものとする時、写像S : U → P(V) であって任意
のB ⊂ U に対して次が満たされるもののことを指す。
.
ρ(B) 5 σ(S(B)) (S(B) = ∪b∈BS(b))

団体の順序と双対
.
.定義5.2(団体の順序、双対)
　U からV への団体R, S について、半順序R 5 S とは
任意のb ∈ U に対してR(b) ⊆ S(b) が成り立つことを
指すものとする。
　また団体S に対して、その双対S∗ とはV からP(U)
への写像であって、次の式で定義される。
.
　g ∈ V に対して、S∗(g) := {b ∈ U : g ∈ S(b)}.
　次の補題は団体の行列表現などの準備を伴うので証
明は省略する。例えばKaene のFinitary Codes の第三
節を見ればよい。

団体の結成補題
.
.補題5.3(結成補題)
　 S をU からV への団体とすると次の二つが成り
立つ。
(1) S の双対S∗ はV からU への団体である。
(2) U からV への団体R でR 5 S と次を満たすものが
.
存在する。
　#{g ∈ V : b1 , b2 s.t g ∈ R(b1) ∩ R(b2)} #(U)
(3) 　また、団体Si : Ui → P(Vi), (1 5 i 5 n) に対し
て、積S1 × · · · × Sn も団体である。

割り当て構成のための準備
.
　割り当ての構成は以下の順序で行う。
　二つのエントロピーが同じベルヌーイ系
(AZ,B, pZ, T), (BZ, C, qZ, T) があったとき、まずは減
少列ϵ1 · · · ϵr ϵr+1 · · · → 0, δ1 · · · δr
δr+1 · · · → 0 をとって、補題4.2 における
li(δr, ϵr), (i = 1, 2) についてLr = li(δr, ϵr) と
limr→∞ Lr(ϵr−1 − ϵr) = +∞が満たされるようにLr をと
る。この後で各点x に対して基本補題を適用し、Nr と
sr(x) をとる。
.

割り当ての構成(その1)
.
　ここで、骨格 s に対して(BZ, C, qZ, T) にも詰物集合
G(s), eG(s), η′, θ′, 詰物エントロピーg′(= g), 詰物測度
q, q0 が定義できることに注意する。
　階数r に対し割り当てR• を帰納的に構成する。
　階数1 の骨格s についてSs は、e F(s) からeG(s) への団
体であって、任意の詰物[F] ∈ e F(s) にeG(s) を対応させ
る。ここで、補題5.3(2) を用いてより小さな団体
Rs 5 Ss を一つ取る。
.

.
　次に偶数階数で階数分解s = s1 × · · · × s j の部分骨格
si に対して、e F(si) からeG(si) への割り当てRsi が構成
されたと仮定する。
　¯G
.
(s) :=
Πj
i=1
eG(si) から¯F
(s) :=
Πj
i=1
e F(si) への団体
Ss = R∗
s1
× · · · × R∗
s j
= (Rs1
× · · · × Rs j)∗ を考える。
　詰物集合の定義を考えると¯F
(s) ∋ Fには、互いに交
わらない同値類の集合Φ(F) ∈ P( e F(s)) が対応していて
測度が保たれること(団体) がわかる。

.
　団体Φ ◦ Ss に対して再び補題5.3(2) を適用すること
で¯G
.
(s) からe F(s) への団体Ts が得られ、¯G
(s) からeG(s)
への同様の団体Ψを用いることでG(es) からF(e s) への
団体Rs = Ts ◦ ∗ Ψ
が得られる。
　奇数階数で階数分解s = s1 × · · · × s j の部分骨格si に
対して、eG(si) からe F(si) への割り当てRsi が構成され
た場合も、FとGを入れ替えて先ほどの場合とまった
く同じ議論をすれば団体e F(s) からeG(s) への団体Rs が
得られる。
　以上で主定理を証明の準備が終わった。

主定理1.1 の証明(その1)
.
.Proof.
　目印Mを共有するエントロピーの等しいベルヌーイ
系(AZ,B, pZ, T), (BZ, C, qZ, T) を考える。
　可測写像Φ : AZ → BZ を次で構成していく。
　Φ(x) の第t 座標はx の第t 座標が目印Mに当たると
きは、xt と同じものと定義する。
　それ以外の場合は零集合を除いて、補題3.4 のx と
Nr( 固定) によって第t 座標を被覆する骨格sr(x) が存
在するので、次のような集合上で零集合を除いてΦ(x)
の第t 座標を定義すればよい。
.

.
.
X′ := {x ∈ AZ : sr(x) = sr ∀r = 1}
　補題4.2(a) の不等式を偶数階数の骨格
sr = s1 × · · · × sn の階数分解の各部分骨格に適用して
次の式を得Σ
る。
　　1 =
[G] q0([G]) = #(eG(si))2−g′(1−ϵr−1)l(sr)
　#( ¯G
(sr)) =
Πn
i=1 #(eG(sr)) 5 2g′(1−ϵr−1)l(sr) (α)
　この不等式と割り当てを用いて次の集合の確率を計
算する。

.
　 M:= {F∈ F(sr) :∃! ¯G
.
∈ ¯G
(sr) s.t F ∈ Rsr(¯G
)}
　各F ∈ F(sr) はR∗
sr が団体なので、必ず少なくとも
一つはこのような¯G
が存在する。したがって、その補
集合の確率は補題4.2(b) と補題5.3(2) を用いて次のよ
うに評価できる。
　　
Σ{p(F)|∃ ¯G1 , ¯G
2 s.t F ∈ Rsr( ¯G
i) (i = 1, 2)}
η2−g(1−ϵr)l(sr)#( ¯G
5 δr + 1
(sr)) 5
(α)
η2(g′(1−ϵr−1)−g(1−ϵr))l(sr)
δr + 1
5
g=g′
η2−g(ϵr−1−ϵr)l(sr) → 0 (r → ∞)
δr + 1

.
　したがって、x ∈ X′ に対してFr(x) ∈ F(sr) をx で定
まる詰物とすると、殆どすべてのx ∈ X′ に少なくとも
一つ偶数r があってFr(x) はただ一つの同値類
¯G
.
′(x) のeG(sr−1) の成分を
′(x) ∈ ¯G
(sr) の像になる。¯G
¯G
(x) と書くことにする。
　今G¯(′) := {G¯(′)(x)|x ∈ X′} とし{t J(¯G
(x))|∃ ! ¯G
(x)}
の条件付確率を評価しよう。
　AZ の各成分を返す確率変数が独立同分布であるこ
とから、添字集合I(sr−1) 上の決められた位置に第t 座
標が現れる確率が1/l(sr−1) である。
　したがって、補題4.2(c) における大きさδr 以下の集
合Δr を用いて次のように評価できる。

.
　　　　　　 pZ({t J(¯G
.
(x))|∃ ! ¯G(x)})
　　5 pZ(¯G
(x) ∈ Δr−1|∃ ! ¯G
(x)})+
　　　　　pZ(¯G
(x) Δr−1, t J(¯G
(x))|∃ ! ¯G
(x)})
　　5 δr−1/p0(M) +
4g′
| log θ′|p0(M)ϵr
　ここで、骨格だけではなくそれが現れる座標の位置
も込めて考えていることに注意したい。上の式の右辺
はr を大きくすることで0 に収束することがわかり、
次の結論が従う。
　殆ど全てのx ∈ X′ は最低一つの偶数r について、
Fr(x) に唯一の¯G
′(x) がありFr(x) ∈ Rsr(¯G
′(x)) を満た
し、第t 座標はJ(¯G
(x)) に現れる。

.
　この時に ¯G
.
(x) の第t 座標をΦ(x)t とすれば、これは
¯G
(x) の同値類の取り方によらない。
　ここで、Φ(x)t がr によらないことを見る。
　r1 r2 としてFr1(x) のsr2 の部分はFr2(x) と一致し
ており、次の事実が成り立つ。
R 5 S −→ R∗ 5 S∗,Φ ◦ R 5 Φ ◦ S, R ◦ Ψ 5 S ◦ Ψ
　R1 5 S1, R2 5 S2 −→ R1 × R2 5 S1 × S2
　ここで、上述の記号はすべて団体を指す。
　したがって、写像を追うことにより¯G
r1(x) のsr2 の部
分はGr2(x) と一致して、第t 座標も一致することがわ
かる。

.
　よって、Φ(x) := {Φ(x)t} と定義すればΦ(x) の有限
区間の情報はx の有限区間のそれで決まるので殆どい
たるところ連続で特に可測である。
　Ψ : BZ → AZ を奇数階数の骨格を用いて同様に定
義すると、各成分の階数r の非依存性を証明したとき
と同様の方法で、Ψが殆ど連続かつ可測でΦの逆写像
であることが確認できる。
　シフト写像と可換になることはΦ,Ψが詰物だけで
決まっており、これが現れる位置に依存していないこ
とから明らかである。
.

.
　最後にチェックするのは測度を保っているかどうか
であるが、骨格の取り方は高々可算であるので、これ
を固定して考えることができる。
　筒状集合L := {x ∈ BZ|xi = ai(−n 5 i 5 n)} と
Φ
.
−1
r (L) := {y ∈ Φ
−1(L)|¯G
r(y)i = ai(−n 5 i 5 n)} につ
−1
r (L) = Φ
いて、∪rΦ
−1(L) が成り立ち、全単射性から
L = ∪r{x ∈ BZ|∃y ∈ AZ : xi = ¯G
r(y)i} より、各r ごと
に詰め物の測度を比較すればよい。
　p0(Fr(y)) 5 q0(R∗
sr
(Fr(y))) = q0(¯G
r(y)) より対称性か
ら両者を足し合わせて等式を得、補題4.2 の主張の証
明で使った等式を用いてpZ, qZ の等式に書き換えれば
よい。

参考文献(その1)
M. Keane and M. Smorodinsky, Bernoulli schemes
of the same entropy are finitarily isomorphic, Ann. of
Math. (2) 109 (1979), 397―406.
M. Keane and M. Smorodinsky, A class of finitary
codes, Israel Journal of Math. 26 (1977), 352―
371.
P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory,
Graduate Texts in Math., vol. 79, Springer-Verlag,
New York, 1982.

参考文献(その2)
M. Smorodinsky, Entropy Theory, Entropy, Lecture
Notes in Mathematics, No.214,Springer-Verlag
(1971)
D. Ornstein, Bernoulli shifts with the same entropy
are isomorphic, Advances in Math. 4 (1970),
337-352.
R. Bowen, Equilibrium States and the Ergodic
Theory of Anosov Diffeomorphisms, 2nd-ed,
Lecture Notes in Mathematics, No. 470,
Springer-Verlag, 2008.

生きねば。
ありがとうございました。

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