DISTRIBUCION T DE STUDENT

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DISTRIBUCION T DE STUDENT

  1. 1. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT ESTADISTICA INFERENCIAL 2
  2. 2. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Dedicado a todos aquellos que hicieron posible la confección y elaboración de este trabajo. ESTADISTICA INFERENCIAL 3
  3. 3. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT El objetivo de esta monografía es analizar las características y aplicación de la Distribución “T” de student, que aporta a nuestra formación profesional información orientándolo a la aplicación al campo de la educación, promoviendo y orientando la investigación. En la siguiente monografía se empleó un diseño no experimental y de tipo compilación de información con la finalidad de examinar, comprender y analizar la Distribución “T” de student. Al finalizar el trabajo apoyado con diferentes fuentes de información podríamos decir que la distribución t surge, en la mayoría de los estudios estadísticos prácticos, cuando la desviación típica de una población se desconoce y debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. ESTADISTICA INFERENCIAL 4
  4. 4. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Introducción………………………………………………….………………….……7 CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1.1. Descripción de la realidad problemática……………………………………..8 1.2. Formulación del problema……………………………………………………..8 1.3. Objetivos de la investigación………………………………………..………...8 1.4. Justificación de la investigación………………………………………...…….9 1.5. Viabilidad de la investigación………………………………………...…….....9 CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO 2.1. Antecedentes de la investigación…………………………………..……….10 2.2. Bases teóricas…………………………………………………………………10 A. Los usos para los cuales es idónea esta distribución………………………..11 B. Cararteristica de la distribucion de la T de student..…………………………11 C. Grados de libertad……………………………………………………………….11 D. Ccómo diferenciarla de las otras distribuciones ………………………...…...11 E. Teoría de pequeñas muestras …………………………….………….……….12 F. Distribución de probabilidad T de student .…………….……………………..13 F.1. Propiedades de las distribuciones t……………………………………...…14 G. Calculo de la distribución T de student ………….….……………….………..14 ESTADISTICA INFERENCIAL 5
  5. 5. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT H. Tabla T de student …………….….……………….……….............................19 H.1. Diferencia con otras tablas de distribución…..………..…21 H.2. Uso de la tabla de distribución T ……………..……...…...21 I. Ejercicio………………….……………..…………….………............................22 2.3. Definiciones conceptuales….……………………………………………..…23 CAPÍTULO III: IMPORTANCIA DEL ESTUDIO 3.1 Importancia del estudio de la distribucion de T …………...…………….…25 CONCLUSIÓN FUENTES DE INFORMACIÓN ESTADISTICA INFERENCIAL 6
  6. 6. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT La distribución t de Student se utiliza cuando nos encontramos con Ia dificultad de no conocer Ia desviación típica poblacional y nuestra muestra es menor de 30. Es similar a Ia curva normal, pero Ia distribución t tiene mayor área a los extremos y menos en el centro. Esta fue descubierta por un especialista en estadística de una empresa irlandesa, este señor cuyo nombre era William S. Gossel hizo inferencias acerca de Ia media cuando Ia desviación poblacional fuese desconocida: y ya que a los empleados de dicha entidad no les era permitido publicar el trabajo de investigación bajo sus propios nombres, Gosset adoptó el seudónimo de “Student”. Sus funciones se basan en establecer un intervalo de confianza, utilizando un nivel de confianza y los grados de libertad, obteniendo valores de una tabla dada con respecto a estas variables y aplicarla en Ia formula. De gran utilidad, reduce tiempo, costo y esfuerzos. Se utiliza para probar hipótesis y también para saber si dos muestras provienen de Ia misma población. ESTADISTICA INFERENCIAL 7
  7. 7. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT 1.1. Descripción de la realidad problemática En las estudios sobre la probabilidad y distribución de una muestra anteriores se manejó el uso de la distribución z, la cual se podía utilizar siempre y cuando los tamaños de las muestras fueran mayores o iguales a 30 ó en muestras más pequeñas si la distribución o las distribuciones de donde proviene la muestra o las muestras son normales. Cuando las muestras son pequeñas y cuando la distribución de donde proviene la muestra tenga un comportamiento normal. Esta es una condición para utilizar las tres distribuciones que se manejarán en esta unidad; t de student, ji-cuadrada y Fisher. A la teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del muestreo, ya que también la podemos utilizar con muestras aleatorias de tamaño grande. 1.2. Formulación del problema ¿Qué es y cómo se aplica la distribución “t” de student? 1.3. Objetivos de la investigación Analizar las características y aplicación de la Distribución “T” de student. 1.4. Justificación de la investigación Al hacer una investigación tenemos que efectuar una serie de operaciones con respecto a nuestra población y muestra, pero en el caso que nuestra población ESTADISTICA INFERENCIAL 8
  8. 8. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT sea pequeña por consiguiente nuestra muestra también lo será, es ahí donde la distribución t se usa de manera extensa, en problemas que tienen que ver con inferencia acerca de la media de la población o en problemas que implican muestras comparativas (es decir, en casos donde se trata de determinar si las medias de dos muestras son significativamente diferentes). 1.5. Viabilidad de la investigación Es factible realizar la investigación por que se cuenta con la informacion necesaria diferentes fuentes de información, y tambien se dispone de recursos materiales como papel, lapiceros, USB, base de datos adecuados para desarrollar la investigacion como es debida. ESTADISTICA INFERENCIAL 9
  9. 9. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT 2.1. Antecedentes de la investigación La distribución t de student fue descubierta por William S. Gosset en 1908. Gosset era un estadístico empleado por la compañía de cerveza Guinness Irlandesa que desaprobaba la publicación de investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibición, publico su trabajo en secreto bajo el nombre de “Student”. En consecuencia la distribución de T normalmente se llama distribución de t de Student o simplemente t. Lo interesante del caso es que su trabajo estaba enfocado al control de calidad de la cerveza. En el pasado otros investigadores de la compañía Guinness habían publicado artículos en los que se divulgaban secretos o información confidencial sobre el proceso de la cerveza y por eso se obligó a Gosset a aceptar la cláusula. 2.2. Bases teóricas En muchas ocasiones no se conoce 𝜎 y el número de observaciones en Ia muestra es menor de 30. En estos casos. Se puede utilizar Ia desviación estándar de Ia muestra S como una estimación de 𝜎, pero no es posible usar Ia distribución Z como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es Ia distribución t. A veces es necesario hacer análisis de muestras pequeñas por ESTADISTICA INFERENCIAL 10
  10. 10. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT razones de tiempo y reducción de costos, para ello fue descubierta Ia distribución t por Wlliam Gosset, un especialista en estadística, que Ia publicó en 1908 con el seudónimo de Distribución t Student. Para determinar el intervalo de confianza dentro del cual se puede estimar Ia media de una población a partir de muestras pequeña (n < 30). Para probar hipótesis cuando una investigación se basa en muestreo pequeño. Para probar si dos muestras provienen de una misma población. En muchas ocasiones no se conoce σ y el número de observaciones en la muestra n < 30. En estos casos, se puede utilizar la desviación estándar de la muestra s como una estimación de σ, pero no es posible usar la distribución Z como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es la distribución t. Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una media y una diferencia de medias (independiente y pareada). Existe una distribución t distinta para cada uno de los posibles grados de libertad. ¿Qué son los grados de libertad? Podemos definirlos como el número de valores que podemos elegir libremente. La distribución de T es similar a la distribución de Z, pues ambas son simétricas alrededor de una media de cero. Ambas tiene distribuciones de campana pero la distribución t es más variable debido a que tienen fluctuaciones en 2 cantidades. ESTADISTICA INFERENCIAL 11
  11. 11. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT La distribución de T difiere de la de Z en que la varianza de T depende del tamaño de la muestra n y siempre es mayor a 1, únicamente cuando n tiende a ∞ las dos distribuciones serán iguales. En probabilidad y estadística, Ia distribución-t o distribución t de Student es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar Ia media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de Ia muestra es pequeño. A Ia teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del muestreo, ya que también Ia podemos utilizar con muestras aleatorias de tamaño grande. Veremos un nuevo concepto necesario para poder entender la distribución t Student. Este concepto es “grados de libertad”. Para definir grados de libertad se hará referencia a Ia varianza maestral: ESTADISTICA INFERENCIAL 12
  12. 12. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de probabilidad t o T de Student con k grados de libertad, donde k es un entero positivo, si su función de densidad es Ia siguiente: La gráfica de esta función de densidad es simétrica, respecto del eje de ordenadas, con independencia del valor de k, y de forma algo semejante a Ia de una distribución normal: Su valor medio y varianza son: ESTADISTICA INFERENCIAL 13
  13. 13. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT La siguiente figura presenta Ia gráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de Ia distribución t es similar a Ia de Ia distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de Ia ordenada se alcanza en Ia media µ = O. Sin embargo, Ia distribución t tiene colas más amplias que Ia normal; esto es, Ia probabilidad de las colas es mayor que en Ia distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, Ia forma límite de Ia distribución t es Ia distribución normal estándar. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0. Cada curva t, está más dispersa que Ia curva normal estándar. A medida que k aumenta, Ia dispersión de Ia curva t correspondiente disminuye. A medida que k-> ∞, la secuencia de curvas t se aproxima a Ia curva normal estándar La Prueba de Hipótesis para medias usando Distribución t de Student se usa cuando se cumplen las siguientes dos condiciones: ESTADISTICA INFERENCIAL 14
  14. 14. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT  Es posible calcular las media y la desviación estándar a partir de la muestra.  El tamaño de la muestra es menor a 30. El procedimiento obedece a los 5 pasos esenciales: Plantear Hipótesis Nula (Ho) e Hipótesis Alternativa (Hi).  La Hipótesis alternativa plantea matemáticamente lo que queremos demostrar. La Hipótesis nula plantea exactamente lo contrario. Determinar Nivel de Significancia. (Rango de aceptación de hipótesis alternativa). Se considera: 0.05 para proyectos de investigación. 0.01 para aseguramiento de calidad. 0.10 para encuestas de mercadotecnia y políticas. Evidencia Muestral. Se calcula la media y la desviación estándar a partir de la muestra. ESTADISTICA INFERENCIAL 15
  15. 15. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Se aplica la Distribución t de Student para calcular la probabilidad de error (P) por medio de la fórmula: En base a la evidencia disponible se acepta o se rechaza la hipótesis alternativa.  Si la probabilidad de error (P) es mayor que el nivel de significancia: SE RECHAZA HIPÓTESIS ALTERNATIVA  Si la probabilidad de error (P) es menor que el nivel de significancia: SE ACEPTA HIPÓTESIS ALTERNATIVA ESTADISTICA INFERENCIAL 16
  16. 16. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Se aplica una prueba de autoestima a 25 personas quienes obtienen una calificación promedio de 62.1 con una desviación estándar de 5.83 Se sabe que el valor correcto de la prueba debe ser mayor a 60. ¿Existe suficiente evidencia para comprobar que no hay problemas de autoestima en el grupo seleccionado? Considera un nivel de significancia de 0.05 Paso 1: Hipótesis Alternativa (Hi): Lo que se quiere comprobar El grupo no tiene problemas de autoestima. Valor de autoestima mayor a 60. Hipótesis Nula (Ho): Lo contrario a la Hipótesis Alternativa El grupo tiene problemas de autoestima. Valor de autoestima menor a 60. Paso 2: Determinar nivel de significancia: Paso 3: Evidencia Muestral Paso 4: Aplicando la Distribución de Probabilidad Calculando t*: ESTADISTICA INFERENCIAL 17
  17. 17. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Buscando en la tabla de Distribución de t de Student, encuentras el valor del área: Pasó 5: Resultados: Por lo tanto: Se acepta Hipótesis Alternativa Existe suficiente evidencia para demostrar que el grupo no tiene problemas de autoestima ESTADISTICA INFERENCIAL 18
  18. 18. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT ESTADISTICA INFERENCIAL 19
  19. 19. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT ESTADISTICA INFERENCIAL 20
  20. 20. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT La tabla de distribución t es más compacta que z y muestra las áreas y valores de t para unos cuantos porcentajes exclusivamente (10%,5%,2% y 1%) Una segunda diferencia de la tabla es que no se centra en la probabilidad de que el parámetro de la población que está siendo estimado caiga dentro del intervalo de confianza. Por el contrario, mide la probabilidad de que ese parámetro no caiga dentro del intervalo de confianza Una tercera diferencia en el empleo de la tabla consiste en que hemos de especificar los grados de libertad con que estamos trabajando.  Los grados de libertad de una t de Student se indicaran como v.  De manera análoga a la definición utilizada para la Normal, si X es una tv,α de Student con v grados de libertad, entonces:  t El valor v,α se busca en las tablas de la t de Student.  La tabla que utilizamos recoge los valores de distintos cuantiles para distintos grados de libertad. ESTADISTICA INFERENCIAL 21
  21. 21. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT : con 5 grados de libertad, el cuantil 0.95 es 2.015 : si tenemos 12 grados de libertad, el cuantil 0.975 será 2.1788 Se desea obtener un intervalo de confianza al 99% para el tiempo medio requerido para realizar un trabajo. Una muestra aleatoria de 16 mediciones produce una media y una desviación estándar de 13 y 5.6 minutos respectivamente. ESTADISTICA INFERENCIAL 22
  22. 22. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT  t= Una confianza del 99% con (n-1) grados de libertad.  GL=16-1=15  n= 16  X=13 minutos  S= 5.6 minutos x=x± t s . √n  t=2.947 ∂=13±2.947(5.6/√16) ∂=13±4.12 ∂1=17.12 minutos ∂2=8.88 minutos Tiempo medio requerido para realizar el trabajo será entre 8.88 y 17.12 minutos con una certeza del 99%. ESTADISTICA INFERENCIAL 23
  23. 23. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT 2.3 Definiciones Conceptuales Población: “Conjunto de elementos en los que se observa alguna característica común”. Observaciones: “Valores que toma la característica observada en cada elemento de la población”. Parámetro: “Característica numérica que describe una variable observada en la población” Muestra: “Conjunto de unidades representativas de una población” Estadístico: “Función de los valores de la muestra” La inferencia estadística está basada en el estudio de las muestras. La muestra debe ser representativa de la población para extraer conclusiones validas sobre esta población. Grados de libertad: Podemos definirlos como el número de valores que podemos elegir libremente. ESTADISTICA INFERENCIAL 24
  24. 24. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT 3.1 Importancia del estudio de la distribución T. Si al aplicar muestreo no es posible extraer muestras mayores a 30 elementos, la utilización de la distribución normal presenta grandes riesgos estadísticos. Para ello, la teoría de pequeñas muestras presenta como alternativa a la distribución t- student, en el entendido de que conforme el tamaño de la muestra tienda a 30 elementos, la distribución t-student tiende a la distribución normal. Por ello es importante el estudiar la distribución T de student ya que toda inferencia estadística que se desee realizar con muestras pequeñas tiene más validez si se hace con la distribución t-student. ESTADISTICA INFERENCIAL 25
  25. 25. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Es una distribución de probabilidad que se usa cuando el tamaño de la muestra es menor de 30 datos, no se conoce la desviación estándar de la población y cuando la población de la que se extrae la muestra es normal. Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una media y una diferencia de medias (independiente y pareada). Es una distribución continua, tiene forma acampanada. ESTADISTICA INFERENCIAL 26
  26. 26. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Fuentes Bibliográficas  DEVORE, J. L., "Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias". Grupo Editorial International Thon Editores.  FREUND, J. F., MILLER, I., MILLER, M. "Estadística Matemática con Aplicaciones". Grupo Editorial Prentice Hall.  McCLAVE, S., "Probabilidad y Estadística para Ingeniería". Grupo Editorial Iberoamericana.  MENDELHALL, W., WACKERLY, D., ACHEAFFER, R. "Estadistica Matemática con Aplicaciones". Segunda Edición. Grupo Editorial Iberoamericana. México. 1994.  MILLER, I., FREUND, J. E., JOHNSON, R. A. "Probabilidad y Estadística para Ingenieros". Quinta Edición. Prentice Hall Hispanoamericana. México. 1997.  MONTGOMERY, D. C., RUNGER, G. C. "Probabilidad y Estadística Aplicada a la Ingeniería". Primera Edición. McGraw Hill. México. 1996. Fuentes Electrónica http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/libros/tstudent.pdf http://www.mat.uda.cl/hsalinas/probabilidades.htm http://www.upcomillas.es/personal/peter/investigacion/Tama%F1oDelEfecto.pdf http://es.scribd.com/doc/39028492/Distribucion-T-de-Student-Scrib http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/Matematicas/inferencia/ http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/u0304.pdf http://e-stadistica.bio.ucm.es/glosario2/distr_student.html http://www.uv.es/ceaces/normaMu/t/t.htm http://www.paginaspersonales.unam.mx/files/977/Distribucion_t_deStudent.pdf http://www.raydesign.com.mx/psicoparaest/index.php?option=com_content&view=article&id=233 :t-student-dnr&catid=52:pruebaspara&Itemid=61 ESTADISTICA INFERENCIAL 27
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