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DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

ESTADISTICA INFERENCIAL

2
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

Dedicado a todos aquellos que hicieron posible la
confección y elaboración de este trabajo.

ESTADISTICA INFERENCIAL

3
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

El

objetivo

de

esta

monografía

es

analizar

las

características y aplicación de la Distribución “T” de
student, que aporta a nuestra formación profesional
información orientándolo a la aplicación al campo de la
educación, promoviendo y orientando la investigación.

En la siguiente monografía se empleó un diseño no
experimental y de tipo compilación de información con la
finalidad

de

examinar,

comprender

y

analizar

la

Distribución “T” de student.

Al finalizar el trabajo apoyado con diferentes fuentes de
información podríamos decir que la distribución t surge, en
la mayoría de los estudios estadísticos prácticos, cuando
la desviación típica de una población se desconoce y debe
ser estimada a partir de los datos de una muestra.

ESTADISTICA INFERENCIAL

4
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

Introducción………………………………………………….………………….……7

CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1. Descripción de la realidad problemática……………………………………..8
1.2. Formulación del problema……………………………………………………..8
1.3. Objetivos de la investigación………………………………………..………...8
1.4. Justificación de la investigación………………………………………...…….9
1.5. Viabilidad de la investigación………………………………………...…….....9

CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO

2.1. Antecedentes de la investigación…………………………………..……….10
2.2. Bases teóricas…………………………………………………………………10
A. Los usos para los cuales es idónea esta distribución………………………..11
B. Cararteristica de la distribucion de la T de student..…………………………11
C. Grados de libertad……………………………………………………………….11
D. Ccómo diferenciarla de las otras distribuciones ………………………...…...11
E. Teoría de pequeñas muestras …………………………….………….……….12
F. Distribución de probabilidad T de student .…………….……………………..13
F.1. Propiedades de las distribuciones t……………………………………...…14
G. Calculo de la distribución T de student ………….….……………….………..14

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5
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

H. Tabla T de student …………….….……………….……….............................19
H.1. Diferencia con otras tablas de distribución…..………..…21
H.2. Uso de la tabla de distribución T ……………..……...…...21
I. Ejercicio………………….……………..…………….………............................22
2.3. Definiciones conceptuales….……………………………………………..…23

CAPÍTULO III: IMPORTANCIA DEL ESTUDIO

3.1 Importancia del estudio de la distribucion de T …………...…………….…25

CONCLUSIÓN
FUENTES DE INFORMACIÓN

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6
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

La distribución t de Student se utiliza cuando nos
encontramos con Ia dificultad de no conocer Ia desviación
típica poblacional y nuestra muestra es menor de 30. Es
similar a Ia curva normal, pero Ia distribución t tiene mayor
área a los extremos y menos en el centro.

Esta fue descubierta por un especialista en estadística de
una empresa irlandesa, este señor cuyo nombre era William
S. Gossel hizo inferencias acerca de Ia media cuando Ia
desviación poblacional fuese desconocida: y ya que a los
empleados de dicha entidad no les era permitido publicar el
trabajo de investigación bajo sus propios nombres, Gosset
adoptó el seudónimo de “Student”.

Sus funciones se basan en establecer un intervalo de
confianza, utilizando un nivel de confianza y los grados de
libertad, obteniendo valores de una tabla dada con respecto
a estas variables y aplicarla en Ia formula.

De gran utilidad, reduce tiempo, costo y esfuerzos. Se utiliza
para probar hipótesis y también para saber si dos muestras
provienen de Ia misma población.

ESTADISTICA INFERENCIAL

7
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

1.1.

Descripción de la realidad problemática

En las estudios sobre la probabilidad y distribución de una muestra anteriores se
manejó el uso de la distribución z, la cual se podía utilizar siempre y cuando los
tamaños de las muestras fueran mayores o iguales a 30 ó en muestras más
pequeñas si la distribución o las distribuciones de donde proviene la muestra o
las muestras son normales.
Cuando las muestras son pequeñas y cuando la distribución de donde proviene
la muestra tenga un comportamiento normal. Esta es una condición para utilizar
las tres distribuciones que se manejarán en esta unidad; t de student, ji-cuadrada
y Fisher.
A la teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del muestreo,
ya que también la podemos utilizar con muestras aleatorias de tamaño grande.
1.2.

Formulación del problema

¿Qué es y cómo se aplica la distribución “t” de student?

1.3.

Objetivos de la investigación

Analizar las características y aplicación de la Distribución “T” de student.

1.4.

Justificación de la investigación

Al hacer una investigación tenemos que efectuar una serie de operaciones con
respecto a nuestra población y muestra, pero en el caso que nuestra población
ESTADISTICA INFERENCIAL

8
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

sea pequeña por consiguiente nuestra muestra también lo será, es ahí donde la
distribución t se usa de manera extensa, en problemas que tienen que ver con
inferencia acerca de la media de la población o en problemas que implican
muestras comparativas (es decir, en casos donde se trata de determinar si las
medias de dos muestras son significativamente diferentes).

1.5.

Viabilidad de la investigación

Es factible realizar la investigación por que se cuenta con la informacion
necesaria diferentes fuentes de información, y tambien se dispone de recursos
materiales como papel, lapiceros, USB, base de datos adecuados para
desarrollar la investigacion como es debida.

ESTADISTICA INFERENCIAL

9
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

2.1.

Antecedentes de la investigación

La distribución t de student fue descubierta por William S. Gosset en 1908.
Gosset era un estadístico empleado por la compañía de cerveza Guinness
Irlandesa que desaprobaba la publicación de investigaciones de sus empleados.
Para evadir esta prohibición,
publico su trabajo en secreto
bajo el nombre de “Student”.
En consecuencia la distribución
de T normalmente se llama
distribución de t de Student o
simplemente t. Lo interesante
del caso es que su trabajo
estaba enfocado al control de
calidad de la cerveza. En el pasado otros investigadores de la compañía
Guinness habían publicado artículos en los que se divulgaban secretos o
información confidencial sobre el proceso de la cerveza y por eso se obligó a
Gosset a aceptar la cláusula.
2.2.

Bases teóricas

En muchas ocasiones no se conoce 𝜎 y el número de observaciones en Ia
muestra es menor de 30. En estos casos. Se puede utilizar Ia desviación
estándar de Ia muestra S como una estimación de 𝜎, pero no es posible usar Ia
distribución Z como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es
Ia distribución t. A veces es necesario hacer análisis de muestras pequeñas por
ESTADISTICA INFERENCIAL

10
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

razones de tiempo y reducción de costos, para ello fue descubierta Ia distribución
t por Wlliam Gosset, un especialista en estadística, que Ia publicó en 1908 con
el seudónimo de Distribución t Student.

Para determinar el intervalo de confianza dentro del cual se puede estimar Ia
media de una población a partir de muestras pequeña (n < 30).
Para probar hipótesis cuando una investigación se basa en muestreo
pequeño.
Para probar si dos muestras provienen de una misma población.

En muchas ocasiones no se conoce σ y el número de observaciones en la
muestra n < 30. En estos casos, se puede utilizar la desviación estándar de la
muestra s como una estimación de σ, pero no es posible usar la distribución Z
como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es la distribución
t. Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una
media y una diferencia de medias (independiente y pareada).

Existe una distribución t distinta para cada uno de los posibles grados de libertad.
¿Qué son los grados de libertad? Podemos definirlos como el número de valores
que podemos elegir libremente.

La distribución de T es similar a la distribución de Z, pues ambas son simétricas
alrededor de una media de cero. Ambas tiene distribuciones de campana pero la
distribución t es más variable debido a que tienen fluctuaciones en 2 cantidades.

ESTADISTICA INFERENCIAL

11
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

La distribución de T difiere de la de Z en que la varianza de T depende del tamaño
de la muestra n y siempre es mayor a 1, únicamente cuando n tiende a ∞ las dos
distribuciones serán iguales.

En probabilidad y estadística, Ia distribución-t o distribución t de Student es una
distribución de probabilidad que surge del problema de estimar Ia media de una
población normalmente distribuida cuando el tamaño de Ia muestra es pequeño.
A Ia teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del
muestreo, ya que también Ia podemos utilizar con muestras aleatorias de tamaño
grande.

Veremos un nuevo concepto necesario para poder entender la distribución t
Student. Este concepto es “grados de libertad”.

Para definir grados de libertad se hará referencia a Ia varianza maestral:

ESTADISTICA INFERENCIAL

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DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de probabilidad t o T de
Student con k grados de libertad, donde k es un entero positivo, si su función de
densidad es Ia siguiente:

La gráfica de esta función de densidad es simétrica, respecto del eje de
ordenadas, con independencia del valor de k, y de forma algo semejante a Ia de
una distribución normal:

Su valor medio y varianza son:

ESTADISTICA INFERENCIAL

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DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

La siguiente figura presenta Ia gráfica de varias distribuciones t. La apariencia
general de Ia distribución t es similar a Ia de Ia distribución normal estándar:
ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de Ia ordenada se alcanza
en Ia media µ = O. Sin embargo, Ia distribución t tiene colas más amplias que Ia
normal; esto es, Ia probabilidad de las colas es mayor que en Ia distribución
normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, Ia forma
límite de Ia distribución t es Ia distribución normal estándar.

Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.
Cada curva t, está más dispersa que Ia curva normal estándar.
A medida que k aumenta, Ia dispersión de Ia curva t correspondiente
disminuye.
A medida que k-> ∞, la secuencia de curvas t se aproxima a Ia curva
normal estándar

La Prueba de Hipótesis para medias usando Distribución t de Student se usa
cuando se cumplen las siguientes dos condiciones:

ESTADISTICA INFERENCIAL

14
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT



Es posible calcular las media y la desviación estándar a partir de la
muestra.



El tamaño de la muestra es menor a 30.

El procedimiento obedece a los 5 pasos esenciales:

Plantear Hipótesis Nula (Ho) e Hipótesis Alternativa (Hi).



La Hipótesis alternativa plantea matemáticamente lo que queremos
demostrar.
La Hipótesis nula plantea exactamente lo contrario.

Determinar Nivel de Significancia. (Rango de aceptación de hipótesis alternativa).

Se considera:
0.05 para proyectos de investigación.
0.01 para aseguramiento de calidad.
0.10 para encuestas de mercadotecnia y políticas.

Evidencia Muestral. Se calcula la media y la desviación estándar a partir de la
muestra.

ESTADISTICA INFERENCIAL

15
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

Se aplica la Distribución t de Student para calcular la probabilidad de error (P)
por medio de la fórmula:

En base a la evidencia disponible se acepta o se rechaza la hipótesis alternativa.



Si la probabilidad de error (P) es mayor que el nivel de significancia:

SE RECHAZA HIPÓTESIS ALTERNATIVA



Si la probabilidad de error (P) es menor que el nivel de significancia:

SE ACEPTA HIPÓTESIS ALTERNATIVA

ESTADISTICA INFERENCIAL

16
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

Se aplica una prueba de autoestima a 25 personas quienes obtienen una
calificación promedio de 62.1 con una desviación estándar de 5.83 Se
sabe que el valor correcto de la prueba debe ser mayor a 60.
¿Existe
suficiente evidencia para comprobar que no hay problemas de autoestima
en el grupo seleccionado?
Considera un nivel de significancia de 0.05

Paso 1:
Hipótesis Alternativa (Hi):
Lo que se quiere comprobar
El grupo no tiene problemas de autoestima. Valor de autoestima mayor a 60.
Hipótesis Nula (Ho):
Lo contrario a la Hipótesis Alternativa
El grupo tiene problemas de autoestima. Valor de autoestima menor a 60.
Paso 2:
Determinar nivel de significancia:

Paso 3:
Evidencia Muestral

Paso 4:
Aplicando la Distribución de Probabilidad
Calculando t*:

ESTADISTICA INFERENCIAL

17
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

Buscando en la tabla de Distribución de t de Student, encuentras el valor del
área:

Pasó 5:
Resultados:

Por lo tanto: Se acepta Hipótesis Alternativa

Existe suficiente evidencia para demostrar que el grupo no tiene
problemas de autoestima

ESTADISTICA INFERENCIAL

18
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

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19
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

ESTADISTICA INFERENCIAL

20
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

La tabla de distribución t es más compacta que z y muestra las áreas y valores
de t para unos cuantos porcentajes exclusivamente (10%,5%,2% y 1%)
Una segunda diferencia de la tabla es que no se centra en la probabilidad de
que el parámetro de la población que está siendo estimado caiga dentro
del intervalo de confianza. Por el contrario, mide la probabilidad de que
ese parámetro no caiga dentro del intervalo de confianza
Una tercera diferencia en el empleo de la tabla consiste en que hemos de
especificar los grados de libertad con que estamos trabajando.



Los grados de libertad de una t de Student se indicaran como v.



De manera análoga a la definición utilizada para la Normal, si X es una

tv,α de Student con v grados de libertad, entonces:


t

El valor v,α se busca en las tablas de la t de Student.

 La tabla que utilizamos recoge los valores de distintos cuantiles para distintos
grados de libertad.

ESTADISTICA INFERENCIAL

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DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

: con 5 grados de libertad, el cuantil 0.95 es 2.015

: si tenemos 12 grados de libertad, el cuantil 0.975 será 2.1788

Se desea obtener un intervalo de confianza al 99% para el tiempo medio
requerido para realizar un trabajo. Una muestra aleatoria de 16 mediciones
produce una media y una desviación estándar de 13 y 5.6 minutos
respectivamente.

ESTADISTICA INFERENCIAL

22
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

 t= Una confianza del 99% con (n-1) grados de libertad.
 GL=16-1=15

 n= 16
 X=13 minutos
 S= 5.6 minutos

x=x± t s .
√n

 t=2.947
∂=13±2.947(5.6/√16)
∂=13±4.12
∂1=17.12 minutos
∂2=8.88 minutos
Tiempo medio requerido para realizar el trabajo será entre 8.88 y 17.12 minutos
con una certeza del 99%.

ESTADISTICA INFERENCIAL

23
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

2.3 Definiciones Conceptuales
Población: “Conjunto de elementos en los que se observa alguna
característica común”.
Observaciones: “Valores que toma la característica observada en cada
elemento de la población”.
Parámetro: “Característica numérica que describe una variable observada
en la población”
Muestra: “Conjunto de unidades representativas de una población”
Estadístico: “Función de los valores de la muestra”
La inferencia estadística está basada en el estudio de las muestras.
La muestra debe ser representativa de la población para extraer
conclusiones validas sobre esta población.
Grados de libertad: Podemos definirlos como el número de valores que
podemos elegir libremente.

ESTADISTICA INFERENCIAL

24
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

3.1 Importancia del estudio de la distribución T.
Si al aplicar muestreo no es posible extraer muestras mayores a 30 elementos,
la utilización de la distribución normal presenta grandes riesgos estadísticos.
Para ello, la teoría de pequeñas muestras presenta como alternativa a la
distribución t- student, en el entendido de que conforme el tamaño de la muestra
tienda a 30 elementos, la distribución t-student tiende a la distribución normal.
Por ello es importante el estudiar la distribución T de student ya que toda
inferencia estadística que se desee realizar con muestras pequeñas tiene más
validez si se hace con la distribución t-student.

ESTADISTICA INFERENCIAL

25
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

Es una distribución de probabilidad que se usa cuando
el tamaño de la muestra es menor de 30 datos, no se
conoce la desviación estándar de la población y
cuando la población de la que se extrae la muestra es
normal.
Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para
estimar y probar una media y una diferencia de medias
(independiente y pareada).
Es una distribución continua, tiene forma acampanada.

ESTADISTICA INFERENCIAL

26
DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

Fuentes Bibliográficas


DEVORE, J. L., "Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias".
Grupo Editorial International Thon Editores.



FREUND, J. F., MILLER, I., MILLER, M. "Estadística Matemática con
Aplicaciones". Grupo Editorial Prentice Hall.



McCLAVE, S., "Probabilidad y Estadística para Ingeniería". Grupo
Editorial Iberoamericana.



MENDELHALL, W., WACKERLY, D., ACHEAFFER, R. "Estadistica
Matemática con Aplicaciones". Segunda Edición. Grupo Editorial
Iberoamericana. México. 1994.



MILLER, I., FREUND, J. E., JOHNSON, R. A. "Probabilidad y Estadística
para Ingenieros". Quinta Edición. Prentice Hall Hispanoamericana.
México. 1997.



MONTGOMERY, D. C., RUNGER, G. C. "Probabilidad y Estadística
Aplicada a la Ingeniería". Primera Edición. McGraw Hill. México. 1996.

Fuentes Electrónica
http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/libros/tstudent.pdf
http://www.mat.uda.cl/hsalinas/probabilidades.htm
http://www.upcomillas.es/personal/peter/investigacion/Tama%F1oDelEfecto.pdf
http://es.scribd.com/doc/39028492/Distribucion-T-de-Student-Scrib
http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/Matematicas/inferencia/
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/u0304.pdf
http://e-stadistica.bio.ucm.es/glosario2/distr_student.html
http://www.uv.es/ceaces/normaMu/t/t.htm
http://www.paginaspersonales.unam.mx/files/977/Distribucion_t_deStudent.pdf
http://www.raydesign.com.mx/psicoparaest/index.php?option=com_content&view=article&id=233
:t-student-dnr&catid=52:pruebaspara&Itemid=61
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DISTRIBUCION T DE STUDENT

  • 1. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT ESTADISTICA INFERENCIAL 2
  • 2. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Dedicado a todos aquellos que hicieron posible la confección y elaboración de este trabajo. ESTADISTICA INFERENCIAL 3
  • 3. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT El objetivo de esta monografía es analizar las características y aplicación de la Distribución “T” de student, que aporta a nuestra formación profesional información orientándolo a la aplicación al campo de la educación, promoviendo y orientando la investigación. En la siguiente monografía se empleó un diseño no experimental y de tipo compilación de información con la finalidad de examinar, comprender y analizar la Distribución “T” de student. Al finalizar el trabajo apoyado con diferentes fuentes de información podríamos decir que la distribución t surge, en la mayoría de los estudios estadísticos prácticos, cuando la desviación típica de una población se desconoce y debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. ESTADISTICA INFERENCIAL 4
  • 4. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Introducción………………………………………………….………………….……7 CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1.1. Descripción de la realidad problemática……………………………………..8 1.2. Formulación del problema……………………………………………………..8 1.3. Objetivos de la investigación………………………………………..………...8 1.4. Justificación de la investigación………………………………………...…….9 1.5. Viabilidad de la investigación………………………………………...…….....9 CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO 2.1. Antecedentes de la investigación…………………………………..……….10 2.2. Bases teóricas…………………………………………………………………10 A. Los usos para los cuales es idónea esta distribución………………………..11 B. Cararteristica de la distribucion de la T de student..…………………………11 C. Grados de libertad……………………………………………………………….11 D. Ccómo diferenciarla de las otras distribuciones ………………………...…...11 E. Teoría de pequeñas muestras …………………………….………….……….12 F. Distribución de probabilidad T de student .…………….……………………..13 F.1. Propiedades de las distribuciones t……………………………………...…14 G. Calculo de la distribución T de student ………….….……………….………..14 ESTADISTICA INFERENCIAL 5
  • 5. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT H. Tabla T de student …………….….……………….……….............................19 H.1. Diferencia con otras tablas de distribución…..………..…21 H.2. Uso de la tabla de distribución T ……………..……...…...21 I. Ejercicio………………….……………..…………….………............................22 2.3. Definiciones conceptuales….……………………………………………..…23 CAPÍTULO III: IMPORTANCIA DEL ESTUDIO 3.1 Importancia del estudio de la distribucion de T …………...…………….…25 CONCLUSIÓN FUENTES DE INFORMACIÓN ESTADISTICA INFERENCIAL 6
  • 6. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT La distribución t de Student se utiliza cuando nos encontramos con Ia dificultad de no conocer Ia desviación típica poblacional y nuestra muestra es menor de 30. Es similar a Ia curva normal, pero Ia distribución t tiene mayor área a los extremos y menos en el centro. Esta fue descubierta por un especialista en estadística de una empresa irlandesa, este señor cuyo nombre era William S. Gossel hizo inferencias acerca de Ia media cuando Ia desviación poblacional fuese desconocida: y ya que a los empleados de dicha entidad no les era permitido publicar el trabajo de investigación bajo sus propios nombres, Gosset adoptó el seudónimo de “Student”. Sus funciones se basan en establecer un intervalo de confianza, utilizando un nivel de confianza y los grados de libertad, obteniendo valores de una tabla dada con respecto a estas variables y aplicarla en Ia formula. De gran utilidad, reduce tiempo, costo y esfuerzos. Se utiliza para probar hipótesis y también para saber si dos muestras provienen de Ia misma población. ESTADISTICA INFERENCIAL 7
  • 7. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT 1.1. Descripción de la realidad problemática En las estudios sobre la probabilidad y distribución de una muestra anteriores se manejó el uso de la distribución z, la cual se podía utilizar siempre y cuando los tamaños de las muestras fueran mayores o iguales a 30 ó en muestras más pequeñas si la distribución o las distribuciones de donde proviene la muestra o las muestras son normales. Cuando las muestras son pequeñas y cuando la distribución de donde proviene la muestra tenga un comportamiento normal. Esta es una condición para utilizar las tres distribuciones que se manejarán en esta unidad; t de student, ji-cuadrada y Fisher. A la teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del muestreo, ya que también la podemos utilizar con muestras aleatorias de tamaño grande. 1.2. Formulación del problema ¿Qué es y cómo se aplica la distribución “t” de student? 1.3. Objetivos de la investigación Analizar las características y aplicación de la Distribución “T” de student. 1.4. Justificación de la investigación Al hacer una investigación tenemos que efectuar una serie de operaciones con respecto a nuestra población y muestra, pero en el caso que nuestra población ESTADISTICA INFERENCIAL 8
  • 8. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT sea pequeña por consiguiente nuestra muestra también lo será, es ahí donde la distribución t se usa de manera extensa, en problemas que tienen que ver con inferencia acerca de la media de la población o en problemas que implican muestras comparativas (es decir, en casos donde se trata de determinar si las medias de dos muestras son significativamente diferentes). 1.5. Viabilidad de la investigación Es factible realizar la investigación por que se cuenta con la informacion necesaria diferentes fuentes de información, y tambien se dispone de recursos materiales como papel, lapiceros, USB, base de datos adecuados para desarrollar la investigacion como es debida. ESTADISTICA INFERENCIAL 9
  • 9. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT 2.1. Antecedentes de la investigación La distribución t de student fue descubierta por William S. Gosset en 1908. Gosset era un estadístico empleado por la compañía de cerveza Guinness Irlandesa que desaprobaba la publicación de investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibición, publico su trabajo en secreto bajo el nombre de “Student”. En consecuencia la distribución de T normalmente se llama distribución de t de Student o simplemente t. Lo interesante del caso es que su trabajo estaba enfocado al control de calidad de la cerveza. En el pasado otros investigadores de la compañía Guinness habían publicado artículos en los que se divulgaban secretos o información confidencial sobre el proceso de la cerveza y por eso se obligó a Gosset a aceptar la cláusula. 2.2. Bases teóricas En muchas ocasiones no se conoce 𝜎 y el número de observaciones en Ia muestra es menor de 30. En estos casos. Se puede utilizar Ia desviación estándar de Ia muestra S como una estimación de 𝜎, pero no es posible usar Ia distribución Z como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es Ia distribución t. A veces es necesario hacer análisis de muestras pequeñas por ESTADISTICA INFERENCIAL 10
  • 10. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT razones de tiempo y reducción de costos, para ello fue descubierta Ia distribución t por Wlliam Gosset, un especialista en estadística, que Ia publicó en 1908 con el seudónimo de Distribución t Student. Para determinar el intervalo de confianza dentro del cual se puede estimar Ia media de una población a partir de muestras pequeña (n < 30). Para probar hipótesis cuando una investigación se basa en muestreo pequeño. Para probar si dos muestras provienen de una misma población. En muchas ocasiones no se conoce σ y el número de observaciones en la muestra n < 30. En estos casos, se puede utilizar la desviación estándar de la muestra s como una estimación de σ, pero no es posible usar la distribución Z como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es la distribución t. Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una media y una diferencia de medias (independiente y pareada). Existe una distribución t distinta para cada uno de los posibles grados de libertad. ¿Qué son los grados de libertad? Podemos definirlos como el número de valores que podemos elegir libremente. La distribución de T es similar a la distribución de Z, pues ambas son simétricas alrededor de una media de cero. Ambas tiene distribuciones de campana pero la distribución t es más variable debido a que tienen fluctuaciones en 2 cantidades. ESTADISTICA INFERENCIAL 11
  • 11. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT La distribución de T difiere de la de Z en que la varianza de T depende del tamaño de la muestra n y siempre es mayor a 1, únicamente cuando n tiende a ∞ las dos distribuciones serán iguales. En probabilidad y estadística, Ia distribución-t o distribución t de Student es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar Ia media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de Ia muestra es pequeño. A Ia teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del muestreo, ya que también Ia podemos utilizar con muestras aleatorias de tamaño grande. Veremos un nuevo concepto necesario para poder entender la distribución t Student. Este concepto es “grados de libertad”. Para definir grados de libertad se hará referencia a Ia varianza maestral: ESTADISTICA INFERENCIAL 12
  • 12. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de probabilidad t o T de Student con k grados de libertad, donde k es un entero positivo, si su función de densidad es Ia siguiente: La gráfica de esta función de densidad es simétrica, respecto del eje de ordenadas, con independencia del valor de k, y de forma algo semejante a Ia de una distribución normal: Su valor medio y varianza son: ESTADISTICA INFERENCIAL 13
  • 13. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT La siguiente figura presenta Ia gráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de Ia distribución t es similar a Ia de Ia distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de Ia ordenada se alcanza en Ia media µ = O. Sin embargo, Ia distribución t tiene colas más amplias que Ia normal; esto es, Ia probabilidad de las colas es mayor que en Ia distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, Ia forma límite de Ia distribución t es Ia distribución normal estándar. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0. Cada curva t, está más dispersa que Ia curva normal estándar. A medida que k aumenta, Ia dispersión de Ia curva t correspondiente disminuye. A medida que k-> ∞, la secuencia de curvas t se aproxima a Ia curva normal estándar La Prueba de Hipótesis para medias usando Distribución t de Student se usa cuando se cumplen las siguientes dos condiciones: ESTADISTICA INFERENCIAL 14
  • 14. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT  Es posible calcular las media y la desviación estándar a partir de la muestra.  El tamaño de la muestra es menor a 30. El procedimiento obedece a los 5 pasos esenciales: Plantear Hipótesis Nula (Ho) e Hipótesis Alternativa (Hi).  La Hipótesis alternativa plantea matemáticamente lo que queremos demostrar. La Hipótesis nula plantea exactamente lo contrario. Determinar Nivel de Significancia. (Rango de aceptación de hipótesis alternativa). Se considera: 0.05 para proyectos de investigación. 0.01 para aseguramiento de calidad. 0.10 para encuestas de mercadotecnia y políticas. Evidencia Muestral. Se calcula la media y la desviación estándar a partir de la muestra. ESTADISTICA INFERENCIAL 15
  • 15. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Se aplica la Distribución t de Student para calcular la probabilidad de error (P) por medio de la fórmula: En base a la evidencia disponible se acepta o se rechaza la hipótesis alternativa.  Si la probabilidad de error (P) es mayor que el nivel de significancia: SE RECHAZA HIPÓTESIS ALTERNATIVA  Si la probabilidad de error (P) es menor que el nivel de significancia: SE ACEPTA HIPÓTESIS ALTERNATIVA ESTADISTICA INFERENCIAL 16
  • 16. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Se aplica una prueba de autoestima a 25 personas quienes obtienen una calificación promedio de 62.1 con una desviación estándar de 5.83 Se sabe que el valor correcto de la prueba debe ser mayor a 60. ¿Existe suficiente evidencia para comprobar que no hay problemas de autoestima en el grupo seleccionado? Considera un nivel de significancia de 0.05 Paso 1: Hipótesis Alternativa (Hi): Lo que se quiere comprobar El grupo no tiene problemas de autoestima. Valor de autoestima mayor a 60. Hipótesis Nula (Ho): Lo contrario a la Hipótesis Alternativa El grupo tiene problemas de autoestima. Valor de autoestima menor a 60. Paso 2: Determinar nivel de significancia: Paso 3: Evidencia Muestral Paso 4: Aplicando la Distribución de Probabilidad Calculando t*: ESTADISTICA INFERENCIAL 17
  • 17. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Buscando en la tabla de Distribución de t de Student, encuentras el valor del área: Pasó 5: Resultados: Por lo tanto: Se acepta Hipótesis Alternativa Existe suficiente evidencia para demostrar que el grupo no tiene problemas de autoestima ESTADISTICA INFERENCIAL 18
  • 18. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT ESTADISTICA INFERENCIAL 19
  • 19. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT ESTADISTICA INFERENCIAL 20
  • 20. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT La tabla de distribución t es más compacta que z y muestra las áreas y valores de t para unos cuantos porcentajes exclusivamente (10%,5%,2% y 1%) Una segunda diferencia de la tabla es que no se centra en la probabilidad de que el parámetro de la población que está siendo estimado caiga dentro del intervalo de confianza. Por el contrario, mide la probabilidad de que ese parámetro no caiga dentro del intervalo de confianza Una tercera diferencia en el empleo de la tabla consiste en que hemos de especificar los grados de libertad con que estamos trabajando.  Los grados de libertad de una t de Student se indicaran como v.  De manera análoga a la definición utilizada para la Normal, si X es una tv,α de Student con v grados de libertad, entonces:  t El valor v,α se busca en las tablas de la t de Student.  La tabla que utilizamos recoge los valores de distintos cuantiles para distintos grados de libertad. ESTADISTICA INFERENCIAL 21
  • 21. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT : con 5 grados de libertad, el cuantil 0.95 es 2.015 : si tenemos 12 grados de libertad, el cuantil 0.975 será 2.1788 Se desea obtener un intervalo de confianza al 99% para el tiempo medio requerido para realizar un trabajo. Una muestra aleatoria de 16 mediciones produce una media y una desviación estándar de 13 y 5.6 minutos respectivamente. ESTADISTICA INFERENCIAL 22
  • 22. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT  t= Una confianza del 99% con (n-1) grados de libertad.  GL=16-1=15  n= 16  X=13 minutos  S= 5.6 minutos x=x± t s . √n  t=2.947 ∂=13±2.947(5.6/√16) ∂=13±4.12 ∂1=17.12 minutos ∂2=8.88 minutos Tiempo medio requerido para realizar el trabajo será entre 8.88 y 17.12 minutos con una certeza del 99%. ESTADISTICA INFERENCIAL 23
  • 23. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT 2.3 Definiciones Conceptuales Población: “Conjunto de elementos en los que se observa alguna característica común”. Observaciones: “Valores que toma la característica observada en cada elemento de la población”. Parámetro: “Característica numérica que describe una variable observada en la población” Muestra: “Conjunto de unidades representativas de una población” Estadístico: “Función de los valores de la muestra” La inferencia estadística está basada en el estudio de las muestras. La muestra debe ser representativa de la población para extraer conclusiones validas sobre esta población. Grados de libertad: Podemos definirlos como el número de valores que podemos elegir libremente. ESTADISTICA INFERENCIAL 24
  • 24. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT 3.1 Importancia del estudio de la distribución T. Si al aplicar muestreo no es posible extraer muestras mayores a 30 elementos, la utilización de la distribución normal presenta grandes riesgos estadísticos. Para ello, la teoría de pequeñas muestras presenta como alternativa a la distribución t- student, en el entendido de que conforme el tamaño de la muestra tienda a 30 elementos, la distribución t-student tiende a la distribución normal. Por ello es importante el estudiar la distribución T de student ya que toda inferencia estadística que se desee realizar con muestras pequeñas tiene más validez si se hace con la distribución t-student. ESTADISTICA INFERENCIAL 25
  • 25. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Es una distribución de probabilidad que se usa cuando el tamaño de la muestra es menor de 30 datos, no se conoce la desviación estándar de la población y cuando la población de la que se extrae la muestra es normal. Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una media y una diferencia de medias (independiente y pareada). Es una distribución continua, tiene forma acampanada. ESTADISTICA INFERENCIAL 26
  • 26. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT Fuentes Bibliográficas  DEVORE, J. L., "Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias". Grupo Editorial International Thon Editores.  FREUND, J. F., MILLER, I., MILLER, M. "Estadística Matemática con Aplicaciones". Grupo Editorial Prentice Hall.  McCLAVE, S., "Probabilidad y Estadística para Ingeniería". Grupo Editorial Iberoamericana.  MENDELHALL, W., WACKERLY, D., ACHEAFFER, R. "Estadistica Matemática con Aplicaciones". Segunda Edición. Grupo Editorial Iberoamericana. México. 1994.  MILLER, I., FREUND, J. E., JOHNSON, R. A. "Probabilidad y Estadística para Ingenieros". Quinta Edición. Prentice Hall Hispanoamericana. México. 1997.  MONTGOMERY, D. C., RUNGER, G. C. "Probabilidad y Estadística Aplicada a la Ingeniería". Primera Edición. McGraw Hill. México. 1996. Fuentes Electrónica http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/libros/tstudent.pdf http://www.mat.uda.cl/hsalinas/probabilidades.htm http://www.upcomillas.es/personal/peter/investigacion/Tama%F1oDelEfecto.pdf http://es.scribd.com/doc/39028492/Distribucion-T-de-Student-Scrib http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/Matematicas/inferencia/ http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/u0304.pdf http://e-stadistica.bio.ucm.es/glosario2/distr_student.html http://www.uv.es/ceaces/normaMu/t/t.htm http://www.paginaspersonales.unam.mx/files/977/Distribucion_t_deStudent.pdf http://www.raydesign.com.mx/psicoparaest/index.php?option=com_content&view=article&id=233 :t-student-dnr&catid=52:pruebaspara&Itemid=61 ESTADISTICA INFERENCIAL 27
  • 27. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT ESTADISTICA INFERENCIAL 28