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Física General III   Campo magnético y fuerza magnética   Toribio Córdova C.




             CAPITULO VIII
       Campo magnético y fuerza
              magnética




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Física General III                      Campo magnético y fuerza magnética                         Toribio Córdova C.



8.1 Polos magnéticos y líneas de campo

    La ciencia del magnetismo nació de la observación de que ciertas piedras (Magnetita Fe3O4) atraían pedazos de
    hierro. A estas piedras se les denominaron imanes naturales (véase la figura 8.1a). Uno de los imanes naturales más
    importante es la tierra (véase la figura 8.1b), cuya acción orientadora sobre la brújula ha permitido diferenciar el
    polo norte verdadero del norte geográfico y determinar los denominados polos magnéticos de un imán.




                                   (a)                                                          (b)

    Figura 8.1.    (a) Imán natural en forma de barra, (b) Imán terrestre con sus polos norte y sur

    A partir de una experimentación cualitativa se puede establecer que:

       Una barra imanada presenta dos polos. Estas son regiones cercanas a los extremos del imán donde
        aparentemente se concentra la actividad magnética.
       Entre dos polos magnéticos existe siempre o una atracción o una repulsión
       Sólo existen dos clases de polos magnéticos denominados polo norte(N) y polo sur(S).
       En ausencia de otros imanes en su vecindad, una brújula se orienta por sí misma en la dirección norte - sur. El
        polo que apunta hacia el norte geográfico se le denomina polo norte y el que apunta hacia el sur geográfico se le
        denomina polo sur del imán.
       La fuerza de interacción entre dos polos magnéticos presenta la dependencia del inverso al cuadrado de la
        distancia que los separa.
       Dos polos de diferente nominación experimentan una interacción atractiva como se muestra en las figuras 8.2a
        y 8.2b y dos polos de la misma nominación experimentan una interacción repulsiva como se muestra en la
        figura 8.2c y 8.2d.




    Figura 8.2.    (a) y (b) Interacción atractiva entre dos polos de diferente nominación; (c) y (d) interacción repulsiva entre
                     polos de igual nominación

    Debe señalarse que cuando una brújula se coloca en una región cerca de un alambre que no transporta corriente
    eléctrica, la brújula no experimenta una orientación respecto al alambre (figura 8.3a). Sin embargo, si por alambre
    circula una corriente hacia arriba (figura 8.3b) o hacia abajo (figura 8.3c), la brújula experimenta una orientación.
    Esta situación indica que el origen del campo magnético son las corrientes eléctricas.




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                          (a)                                     (b)                                (c)

Figura 8.3.      (a) la brújula en la cercanía a un conductor por el que no fluye corriente no experimenta orientación, (b) la
                 brújula en la cercanía de un conductor que transporta corriente hacia arriba experimenta una orientación,
                 (c) si la corriente fluye hacia abajo la brújula se orienta en dirección opuesta

En la práctica resulta imposible aislar a un sólo polo magnético, es decir si se divide a un imán en dos partes iguales
como se muestra en la figura 8.4, lejos de obtener un sólo polo se obtiene dos imanes con sus propios polos
magnéticos norte y sur y si nuevamente dividimos a estos imanes en dos partes se obtiene cuatro imanes. Por lo
tanto, se dice que el campo magnético es de origen dipolar.




Figura 8.4.     El campo magnético es de origen dipolar es decir si se divide a un imán en n partes se obtiene n imanes.

Para trazar un campo magnético se utilizan las brújulas, siendo la dirección del campo magnético la que apunta la
aguja de este instrumento cuando se coloca cerca de un imán (véase la figura 8.5a. El vector campo magnético (B)
conocido también con el nombre de Inducción Magnética, se le puede representar por líneas de campo como se
muestra en la figura 8.5b.




                                     (a)                                                           (b)

Figura 8.5.      Trazado de las líneas de campo magnético para un imán en forma de barra usando una brújula, (b) el
                 campo magnético siempre es tangente a una línea de campo magnético

El ampo magnético se encuentra relacionado con las líneas de fuerza de la siguiente manera:

a) El campo magnético siempre es tangente a una línea de campo magnético.

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    b) Las líneas de campo magnético se dibujan de tal manera que el número de líneas por unidad de área de sección
       transversal sea proporcional a la magnitud del campo magnético.
    c) Las líneas de campo magnético son cerradas y terminan en el interior del imán.
    d) Las líneas de inducción se dibujan saliendo del polo norte y entrando en el polo sur.

   En la Figura 8.6a, 8.6b y 8.6c, se muestran la forma como se dibujan las líneas de campo magnético.




    Figura 8.6.      (a) Líneas de fuerza para un imán en forma de barra, (b) líneas de campo magnético para una bobina que
                    transporta una corriente I, y (c) un imán en forma de herradura produce un campo magnético uniforme




    Experimentalmente se demuestra que cuando una partícula cargada q, se mueve con una velocidad ⃗ , en el espacio
                                                                                                      𝑣
8.2. Fuerza magnética y campo magnético.


    en donde existe un campo magnético 𝐵    �⃗, experimenta una fuerza de origen magnético ⃗ 𝑚 como se muestra en la
                                                                                           𝐹


    a) La fuerza magnética sobre una partícula cargada es siempre perpendicular tanto al vector campo magnético �⃗,
    figura 8.7a. La fuerza magnética tiene las siguientes características.

                                                                                                                 𝐵
       así como al vector velocidad ⃗ , de la partícula.
                                      𝑣
    b) La magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional a la magnitud de �⃗, a la magnitud de la
                                                                                             𝐵
       velocidad de la partícula ⃗ y a la carga q que lleva la partícula.
                                  𝑣

       ⃗ de la carga y al vector campo magnético �⃗.
        𝑣                                           𝐵
   c) La magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional al seno del ángulo entre el vector velocidad

    d) La fuerza magnética depende del signo de la carga puntual móvil.

    Todas estas características se resumen en la ecuación matemática
                                                                
                                                       FB = λ (qvxB )                                                 (8.1)

   Donde λ es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades elegidas. En el sistema
   internacional de unidades λ es igual a la unidad. Por lo tanto la ecuación anterior se escribe:
                                                           
                                                     FB = qvxB                                                        (8.2)

   La magnitud de la fuerza magnética se expresa

                                                       FB = qvBsenθ                                                   (8.3)

   La dirección se determina usando la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 8.7c.


   experimenta una fuerza magnética y en la figura 8.7b se observa que si q se mueve con una velocidad ⃗ que está
                                                                                                           𝑣
                                                       �⃗, la fuerza magnética ⃗ 𝐵 siempre es perpendicular al plano
   En la figura 8.7a, se observa que si la carga q se mueve dentro de un campo magnético producido por un imán

                                                        𝐵                        𝐹
   formado por ⃗ y �⃗, entonces dicha fuerza siempre será todo el tiempo una fuerza lateral.
                𝑣 𝐵
   formando un ángulo θ con el camp o magn   ético




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Física General III                       Campo magnético y fuerza magnética                       Toribio Córdova C.




                     (a)                                     (b)                                       (c)

Figura 8.7. (a) Gráfica que ilustra el trazo de la fuerza magnética, (b) Aplicación de la regla de la mano derecha para
               determinar la dirección de la fuerza magnética

Por otro lado la ecuación (3) también indica que:

    La fuerza magnética se anula cuando la velocidad de la partícula cargada es cero.
    La fuerza magnética se anula cuando la velocidad de la partícula cargada es paralela al campo magnético
     (figura 8.8a)
    La fuerza magnética sobre la partícula cargada tiene su valor máximo cuando la velocidad y el campo
     magnético son perpendiculares esto es θ = 90º como se muestra en la figura 8.8c. Este valor está dado por:

                                                     Fmax = qvB                                                       (8.4)

La unidad del campo magnético en el sistema internacional de unidades es

                                          B: 1Tesla = N.s/C.m = N/A.m = 1 Weber/m2

Las unidades del campo magnético en el sistema c.g.s. el denominado Gauss.

                                                   1 Tesla = 104 Gauss.

Si la partícula se mueve en una región en donde existe un campo eléctrico y un campo magnético, la fuerza
resultante sobre la partícula cargada se expresa en la forma
                                                              
                                                      FR qE + qvxB
                                                      =                                                               (8.5)

A la ecuación anterior se le denomina como Fuerza de Lorentz.




             (a)                                             (b)                                 (c)

Figura 8.8         (a) la fuerza magnética es nula cuando la carga se mueve paralelamente al campo magnético, (b) la fuerza
                   magnética es perpendicular al plano de la velocidad y el campo magnético y (c) la fuerza magnética es
                   máxima cuando la velocidad y el campo magnético son perpendiculares.

Debe observarse además que la fuerza magnética al ser perpendicular a la velocidad de la partícula cargada y al
campo magnético, no produce cambio alguno en la velocidad y como tal la energía cinética se mantiene constantes.

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Física General III                      Campo magnético y fuerza magnética                        Toribio Córdova C.



    En otras palabras, la fuerza magnética no puede mover hacia arriba o hacia abajo a la carga. Consecuentemente, la
    fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula.
                                                                  
                                          = Fm .ds q (vxB).(vdt ) q (vxv ).Bdt 0
                                          dW =             =             =                                            (8.6)

    Sin embargo, la dirección de la velocidad de la partícula puede ser alterada por la fuerza magnética, como veremos
    posteriormente


8.3 Flujo magnético


    magnético �⃗ perpendicular a la superficie, sobre el área dada.
               𝐵
    Se define al flujo magnéticoΦ B a través de una superficie dada S como la integral de la componente del campo




    dividámoslo a ella en elementos dA. Por lo general el campo magnético �⃗ no es constante ni en magnitud ni en
                                                                             𝐵
    Para determinar el valor de ΦB consideremos una superficie arbitraria S tal como se muestra en la figura 8.9, y

    dirección sobre la superficie, sino que el campo magnético �⃗ determina el valor local del campo magnético en el
                                                                𝐵
    punto P.




    La componente de �⃗ normal a dA en ese punto, es simplemente la componente del campo magnético en la
    Figura 8.9. Flujo magnético a través de una superficie.

                          𝐵
    dirección del vector unitario normal �⃗ a la superficie, esto es
                                          𝑛
                                                              
                                                    = B cos φ B.n
                                                     Bn =                                                             (8.7)

   El elemento de flujo dΦB a través del área dA será
                                                                    
                                                        d Φ B BB dA B.ndA
                                                          =      =                                                    (8.8)

   Para calcular el flujo total ΦB que atraviesa toda la superficie S se procede a integrar la ecuación (8),
                                                                          
                                                        =
                                                        ΦB      ∫ .dA
                                                                 B=       ∫ B.ndA                                     (8.9)

    Si el campo magnético ��⃗ es constante en magnitud y dirección en todos los puntos de la superficie y si ésta es
                              𝑩
                                                                S          S

                       
    plana, la cantidad B.n también será la misma para todos los elementos dA. Por lo tanto, la ecuación (8) se escribe
                                                        
                                                     = B.n ∫ dA BA cos φ
                                                     ΦB  =                                                           (8.10)
                                                                    S
    Donde A es el área total de la superficie. Si además el campo magnético es perpendicular al superficie0º, la
                                                                                                     θ=
    expresión anterior se reduce a
                                                      ΦB =   BA                                                 (8.11)
    Las unidades del flujo magnético en el sistema internacional de unidades es Weber.

8.4 La ley de Gauss para el magnetismo.

                                                              349
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    Si se tiene un imán en forma de barra de longitud muy grande, la fuerza magnética entre los polos obedece a la ley
    de Coulomb, en el sentido de que son inversamente proporcionales al inverso al cuadrado de la distancia entre los
    mismos. Como las “cargas magnéticas” se pueden considerar como la fuente de los campos magnéticos los
    mismos que decrecen con la inversa del cuadrado de la distancia, se puede demostrar temporalmente la ley de Gauss
    para el magnetismo, imaginando que B se origina en una “carga magnética” aislada. En forma análoga a lo que se
    hizo con la ley de Gauss para el campo eléctrico

                                                          
                                                     ∫ B.ndA = 4πKq
                                                      S
                                                                           m                                          (8.12)


    La integral se evalúa sobre toda la superficie y la carga magnética qm es la carga magnética total encerrada dentro de
    la superficie gaussiana. La constante K relaciona a B con la supuesta “carga magnética” qm y la distancia, es decir

                                                                q 
                                                          B = K  m e r
                                                                 2                                                  (8.13)
                                                                r 

    Puesto que la única causa que origina a los campos magnéticos es las corrientes eléctrica y además los campos
    magnéticos son de origen dipolar, la “carga magnética” realmente no existe, es decir equivale a un valor cero para
    qm. Entonces la ley de Gauss para el magnetismo se escribe

                                                           
                                                      ∫ B.ndA = 0
                                                      S
                                                                                                                      (8.14)

    Geométricamente se puede entender observando que las líneas de campo magnético comienzan en el polo norte (N)
    y terminan en el polo sur (S) es decir forman líneas cerradas, entonces la ecuación (8.14) se satisface en la medida
    de que todas las líneas de campo que entran en la superficie S también salen de la superficie, es decir ninguna línea
    puede comenzar o terminar dentro de la superficie.


8.5. Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica.


    lateral, si sobre ella actúa un campo magnético �⃗ como se muestra en la Figura 8.10. Dicha fuerza es proporcional a
                                                     𝐵
    Debido a que la corriente eléctrica es un conjunto de cargas en movimiento, ellas estarán sometidas a una fuerza

    la intensidad de corriente I, a la inducción magnética B y es perpendicular a ambas cantidades. La dirección de la
    fuerza magnética se determina mediante la regla de la mano derecha aplicada como se muestra en la figura 8.10b.
    En la figura 8.10c, se muestra un experimento que muestra el efecto del campo magnético sobre un corriente




                          (a)                                    (b)                                        (c)

    Figura 8.10.     (a). Cuando un alambre que transporta una corriente I se encuentra en un campo magnético, experimenta
                     una fuerza magnética, (b) regla de la mano derecha para determinar la dirección de la fuerza magnética y
                     (c) experimento en el laboratorio que muestra la fuerza magnética sobre corrientes

    Consideremos un alambre recto suspendido en la región entre dos polos magnéticos de un imán como se muestra en
    la figura 8.11a. El campo magnético se encuentra ingresando al plano de la página y se representa mediante aspas

                                                               350
Física General III                     Campo magnético y fuerza magnética                     Toribio Córdova C.



(x). Podemos demostrar rápidamente que cuando no pasa corriente a través del alambre (figura 8.11b) el alambre se
mantiene recto. Sin embargo, si a través del alambre fluye una corriente de abajo hacia arriba (figura 8.11c) el
alambre sufre una deflexión hacia la izquierda, mientras que si por el alambre fluye una corriente de arriba hacia
abajo el alambre experimenta una deflexión hacia la derechas como se muestra en la figura 8.11d.




                     (a)                          (b)                      (c)                       (d)



Para determinar una expresión matemática que relacione el campo magnético �⃗, la intensidad de corriente I y la
Figura 8.11.

                                                                                  𝐵
                 Deflexión experimentada por un alambre que transporta corriente



fuerza magnética 𝐹  ⃗ 𝐵 , consideremos un conductor recto de sección transversal A y longitud l que transporta una
corriente eléctrica constante I, tal como se muestra en la Figura 8.12a. El campo magnético se encuentra entrando a
la página.




                                (a)                                                           (b)

Figura 8.12.     (a) Fuerza magnética sobre un conductor recto; (b) fuerza magnética sobre un elemento     diferencial de


La carga se mueve con una velocidad de deriva promedio ⃗ 𝑑 . Debido a que la cantidad de carga total en este
                                                           𝑣
                 corriente


segmento es 𝑄 𝑡 = 𝑞(𝑛𝐴𝑙), donde n es el número de cargas por unidad de volumen, la fuerza magnética total sobre
el segmento es
                                                            
                            = Qtot vd xB q (nAl )(vd xB ) nqAvd lxB
                             Fm =                 =
                                                
                                        Fm = I (lxB )                                                             (8.15)

Donde: 𝐼 = 𝑛𝑞𝐴𝑣 𝑑 y ⃗ es un vector dirigido a lo largo de la dirección de la corriente eléctrica
                    𝑙


                           ⃗
diferenciales de longitud 𝑑𝑙, sección transversal A que transporta una corriente tal como se muestra en la figura
Para determinar la fuerza magnética sobre un alambre de forma arbitraria, se divide al conductor en elementos



                                                        351
Física General III                     Campo magnético y fuerza magnética                       Toribio Córdova C.



8.12b, y se evalúa la fuerza sobre dicho elemento La carga dentro del conductor se mueve con una velocidad v y en
el tiempo dt atraviesa un volumen dV dado por

                                                    dV = Adl

                                  ⃗
                                                                                                                  (8.16)

El desplazamiento de la carga es 𝑑𝑙 , el cual apunta en la dirección de la corriente en tal punto, con esto la velocidad
se expresa
                                                        
                                                   dl
                                                  v=                                                               (8.17)


                       ⃗
                                                       dt

El elemento de fuerza 𝑑𝐹, sobre la carga dq será
                                                            
                                                   dF = dq (v xB )                                                (8.18)

Remplazando la ecuación (8.17), en la ecuación (8.18), se tiene
                                                             
                                                          dl  
                                                   dF = dq
                                                           dt xB 
                                                                                                                 (8.19)
                                                                 

Siendo ρ la densidad de carga por unidad de volumen, la carga dq se escribe en la forma

                                                   dq = ρdV = ρAdl                                                (8.20)

Por lo tanto, la fuerza magnética sobre el elemento será
                                                               
                                                             dl         dl  
                                                             dt xB  = ρA dt (dl xB )
                                                   
                                                  dF = ρAdl                                                     (8.21)
                                                                   

Pero (dl/dt) es la magnitud de la velocidad, entonces la ecuación anterior se escribe
                                                             
                                                  dF = ρAv(dl xB )
                                                   
                                                                                                                  (8.22)

Teniendo en cuenta que la intensidad de corriente se define como

                                                   I = JA = ρvA                                                   (8.23)

La ecuación (8.20) se escribe
                                                             
                                                   dF = I (dl xB )
                                                    
                                                                                                                  (8.24)

                                                                       ⃗
La ecuación (8.24), nos permite determinar el elemento de fuerza 𝑑𝐹, que actúa sobre la carga dq dentro de un
segmento de conductor de longitud 𝑑𝑙  ⃗. La fuerza resultante sobre un segmento de conductor de longitud finita, se
obtiene integrando la ecuación (24) sobre todos los elementos del conductor

                                                                          
                                                       ∫ I (dl xB ) = I ∫ (dl xB )
                                                  
                                                  F=                                                              (8.25)

En donde se ha sacado la intensidad de corriente I, fuera de la integral ya que se trata de una corriente eléctrica
continua. Para un circuito cerrado la integral se calcula alrededor de la trayectoria formada por el conductor, esto es
                                                            
                                                         ∫
                                                   F = I (dlxB )                                                 (8.26)


a) El campo magnético �⃗ es de magnitud y dirección constante y el alambre es finito, entonces la expresión (8.26),
                          𝐵
                                                           C
Existen en la práctica dos casos que merecen nuestra especial atención:

   se escribe (véase figura 8.13a)


                                                       352
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                                                               
                                                              B
                                                                             
                                                       F =  I dl  xB = I (l AB xB )
                                                              ∫                                                         (8.27)
                                                            A 
                                                                 

    b) El campo magnético es de magnitud y dirección constante y la trayectoria es un circuito cerrado, entonces se
       tiene (véase figura 8.13b)

                                                            
                                                                  [∫ ]
                                                                    
                                                            F = I dl xB = 0                                             (8.28)

                                                                                                        ⃗
    En esta ecuación, la integral se anula ya que la suma vectorial de todos los elementos de longitud 𝑑𝑙 , es igual a cero
    porque ellos forman un polígono cerrado.




                          (a)                                                              (b)

    Figura 8.13.      (a) Fuerza magnética sobre un alambre curvo que lleva una intensidad de corriente I y se encuentra dentro
                     de un campo magnético uniforme, (b) Fuerza magnética sobre un conductor cerrado que lleva una
                     corriente I y se encuentra en un campo magnético uniforme

    Una de las aplicaciones de las fuerza sobre corrientes se da en los altavoces (véase la figura 8.14). El campo
    magnético radial creado por el imán permanente ejerce una fuerza sobre la bobina de voz la cual es proporcional a
    la intensidad de corriente en la bobina, la dirección de la fuerza puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda
    según el sentido de la corriente. La señal proveniente del amplificador hace oscilar la corriente en términos de
    sentido y magnitud. La bobina y el altavoz al que está acoplada responden oscilando con una amplitud proporcional
    a la amplitud de la corriente en la bobina.




    Figura 8.14.    Componentes de un altavoz. El campo magnético radial ejerce una fuerza sobre la corriente de la bobina de
                    voz en la dirección mostrada. Cuando la corriente oscila en la bobina de voz, el cono acoplado a la bobina
                    oscila a la misma frecuencia.


8.6. Momento o Torque sobre una espira que lleva una corriente eléctrica.


                                                            353
Física General III                        Campo magnético y fuerza magnética                        Toribio Córdova C.




uniforme �⃗, se ejercen fuerzas sobre cada trozo de alambre. Si el conductor tiene la forma de una espira cerrada, no
           𝐵
Cuando un alambre por el que circula una corriente eléctrica I se sitúa en el interior de un campo magnético

existe ninguna fuerza neta sobre ella debido a que las distintas fuerzas ejercidas sobre la espira se suman


superficie resulte perpendicular a la inducción magnética �⃗ como se muestra en la figura 8.15b.
vectorialmente dando una resultante nula. Sin embargo, en general las fuerzas magnéticas producen un par o

                                                           𝐵
momento sobre la espira que tiende a hacer girar a la espira como se muestra en la figura 8.15a, de modo que su


Para mostrar esta situación consideremos una espira rectangular de lados a y b por la que circula una corriente
constante I como se muestra en la Figura 8.15c. La espira se encuentra en una región en donde existe un campo
magnético uniforme paralelo al plano de la espira.




             (a)                               (b)                                          (c)

Figura 8.15.       (a) Espira de corriente en el interior de un campo magnético, (b) espira con el área perpendicular al campo
                   magnético y (c) Fuerza y Momento (torque) magnético sobre una espira de corriente

Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira serán:

Fuerza sobre AB
                                                                 
                                                = I (l AB j ) xBj ⇒ F1 0
                                                 F1             =                                                      (8.29)

Fuerza sobre el alambre BC
                                                                            
                                                      F2 =lBC k ) xBj ⇒ F2 =
                                                          I(               − IaBi                                      (8.30)

Fuerza sobre el conductor CD
                                                                        
                                                     F3 =I (−lCD j ) xBj ⇒ F3 =0                                       (8.31)

Fuerza sobre el conductor DA
                                                                            
                                                     F4 =−lDA k ) xBj ⇒ F4 =
                                                        I(                 + IaBi                                      (8.32)

Analizando las ecuaciones (8.29), (8.30), (8.31) y (8.32), se observa que las fuerzas sobre los lados AB y CD son
nulas y que las fuerzas sobre los lados BC y CD son iguales en magnitud pero sentido opuesto formando estas dos
fuerzas una cupla o par de fuerzas. La fuerza neta sobre la espira sigue siendo nula pero el momento respecto a
cualquier punto es diferente de cero.

El momento de la fuerza F2 respecto del punto O, es

                                                    b                           
                                            M 2 = r2 xF2 =  j  x(− IaBi ) = 1 IB(ab )k
                                                                              2
                                                                                                                       (8.33)
                                                           2 


                                                          354
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El momento de la fuerza F4 respecto del punto O, es
                                               b                          
                                      M 4 = r4 xF4 =  − j  x(IaBi ) = 1 IB(ab )k
                                                                        2
                                                                                                                    (8.34)
                                                      2 

El momento total con respecto al punto O debido a todas las fuerzas será
                                                               
                                          MT = M1 + M 2 + M 3 + M 4
                                                                          
                                          M T = 0 + 1 IB(ab)k + 0 + 1 IB(ab)k
                                                    2               2
                                                                                                                    (8.35)
                                                       
                                          M T = IB(ab)k

Pero el producto (ab) es igual al área de la espira A, entonces el momento se expresa
                                                          
                                                  M T = IBAk                                                        (8.36)

El momento resulta igual al producto de la corriente eléctrica I, por el área A de la espira por el campo magnético B.
Este momento tiende a hacer girar a la espira alrededor del eje Z.


normal �⃗ al plano de la espira forme un ángulo el campo magn
        𝑛                                                                        �⃗, y los lados de la espira son
                                                                                  𝐵
Considere ahora un circuito rectangular que transporta una corriente I colocado de tal forma que el vector unitario
                                               θ con                ético
perpendiculares al campo magnético, como se muestra en la figura 8.16.




                               (a)                                                            (b)

Figura 8.16.     (a) Fuerzas sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme. La fuerza resultante es cero
                 pero la magnitud del momento (torque) es diferente de cero, (b) el momento de torsión es máximo cuando la
                 normal a la espira es perpendicular al campo magnético

Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira son:

Fuerza sobre el conductor AB
                                                                                     
                                                  F1 = I (−l AB i ) x(− Bsenθi + B cos θj )
                                                                                                                  (8.37)
                                                  F1 = −bIB cos θk

Fuerza sobre el conductor CD
                                                                                     
                                                   F3 = I (l CD i ) x(− Bsenθi + B cos θj )
                                                                                                                  (8.38)
                                                   F3 = +bIB cos θk
Fuerza sobre el conductor BC


                                                       355
Física General III                     Campo magnético y fuerza magnética                   Toribio Córdova C.


                                                                                  
                                                F2 = I (l BC k ) x(− Bsenθi + B cos θj )
                                                                                                         (8.39)
                                                F2 = −aIB(cos θi + senθj )

Fuerza sobre el conductor DA
                                                                                   
                                                F4 = I (−l DA k ) x(− Bsenθi + B cos θj )
                                                                                                         (8.40)
                                                F4 = + aIB(cos θi + senθj )

Las ecuaciones (35), (36), (37) y (38), muestran una vez más que la fuerza neta sobre la espira es cero, veamos
ahora que sucede con los momentos respecto al punto O.

Momento de la fuerza F1 con respecto al punto O
                                                                                    
                                                M 1 = r1 xF1 = (− 1 ak )x(− bIB cos θk )
                                                      
                                                                  2
                                                
                                                M1 = 0
                                                                                                            (8.41)

Momento de la fuerza F3 con respecto al punto O
                                                                                
                                             M 3 = r3 xF3 = ( 1 ak )x(− bIB cos θk )
                                                   
                                                              2
                                                                                                           (8.42)
                                             M3 = 0

Momento de la fuerza F2 con respecto al punto O
                                                                        
                                        M 2 == ) x  − aIB ( cos θ i + senθ j ) 
                                            r2 xF2 ( − 1 bi 
                                                       2                        
                                                                                                          (8.43)
                                                   M 2 = 2 ( ab ) IBsenθ k
                                                           1



Momento de la fuerza F1 con respecto al punto O
                                                                                   
                                       = r4 xF4
                                       M4 =             ( bi ) x  aIB ( cos θ i + senθ j ) 
                                                            1
                                                            2                              
                                                                            
                                                      M 4 = 2 ( ab ) IBsenθ k
                                                            1
                                                                                                            (8.44)

El momento total respecto al punto O será:
                                                                       
                                                 M T = M1 + M 2 + M 3 + M 4
                                                                                    
                                        M T = 0 + 1 IB(ab) senθ k + 0 + 1 IB(ab) senθ k
                                                  2                     2
                                                                  
                                                  M T = IBAsenθ k                                           (8.45)

La magnitud del momento será
                                                M T = IBAsenθ                                               (8.46)

Si en lugar de una sola espira se tiene N espiras del mismo tamaño. El momento sobre toda la espira será

                                                  M = (NIA)Bsenθ                                            (8.47)

Se define al momento dipolar magnético ⃗ como una cantidad vectorial perpendicular al plano del circuito y está
                                       𝜇
expresado mediante la ecuación
                                                               
                                                µ = NIAn                                                    (8.48)
Entonces la ecuación (41) se escribe


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    Ecuación que en forma vectorial se escribe
                                                           
                                                         M = µ xB                                                  (8.50)

    Esta ecuación es similar a aquella obtenida para el momento producido por un campo eléctrico �⃗ , externo sobre un
                                                                                                  𝐸
    dipolo eléctrico M = µ E xE . Es necesario señalar que el sentido del momento dipolar magnético ⃗ es el de avance
                                                                                                    𝜇
                               

    del tornillo de rosca derecha que gira en el mismo sentido que el de la corriente eléctrica. Es decir el sentido
    también se puede determinar mediante el uso de la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 8.17.
    Las unidades del momento dipolar magnético son el amperio por metro2 (A.m2)




    Figura 8.17.     Regla de la mano derecha para determinar el momento dipolar magnético de una espira circular que
                     transporta una corriente en sentido antihorario.

    Debido a que, cuando una espira que transporta corriente se encuentra dentro de un campo magnético externo, obra
    un momento de torsión, deducimos que debe hacerse trabajo positivo o negativo mediante un agente externo para
    cambiar la orientación de la espira. Es decir, una espira de corriente o cualquier dipolo magnético tienen una energía
    potencial asociada con su orientación en el campo magnético. El trabajo hecho por el agente externo para rotar el
    dipolo magnético desde un ángulo θ 0 a un ángulo θ está dado por

                                                    θ            θ
                                 Wext =U − U 0 =∫ Mdθ =∫ µ Bsenθ dθ =µ B (cos θ 0 − cos θ )                        (8.51)
                                                    θ0           θ0


    Puesto que Wext = - W, donde W es el trabajo hecho por el campo magnético. Se puede determinar la energía para
    una rotación cualquiera giro asumiendo que U0 = 0 cuando el momento dipolar magnético y el campo magnético
    son perpendiculares. Entonces la energía potencial en cualquier posición será

                                                                    
                                                     U =θ =
                                                       − µ B cos − µ .B                                            (8.52)

    La configuración es de equilibrio estable cuando ⃗ 𝑚 se encuentra alineado paralelamente con �⃗, siendo U un
                                                         𝑝                                        𝐵
    mínimo con 𝑈 𝑚𝑖𝑛 = −𝜇𝐵. Por otro lado, cuando ⃗ y �⃗ son anti-paralelos la energía potencial es un máximo
                                                         𝜇     𝐵
     𝑈 𝑚𝑎𝑥 = +𝜇𝐵, en estas condiciones el sistema es inestable.


8.7. Fuerza magnética sobre un dipolo magnético.

    En la sección anterior se ha demostrado que, la fuerza que experimenta una espira de corriente (dipolo magnético)
    localizada en un campo magnético uniforme es nula. ¿Qué sucedería si el dipolo magnético se encuentra en un
    campo magnético no uniforme?. En este caso debemos esperar que la fuerza magnética neta sobre el dipolo sea


    Para ilustrar esta situación consideremos un pequeño dipolo cuyo momento dipolar ⃗ 𝑚 = ⃗ es localizado a lo largo
                                                                                     𝑝     𝜇
    diferente de cero.


    del eje de un imán en forma de barra, como se muestra en la figura 8.18,

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    uniforme. Así, puede aplicarse una fuerza externa para mover el dipolo hacia la derecha. La fuera 𝐹𝑒𝑥 ejercida por
    un agente externo para mover al dipolo una distancia ∆𝑥 hacia la derecha está dada por
    El dipolo experimenta una fuerza atractiva ejercida por el imán cuando el campo magnético en el espacio no es



                         Fex (∆x) = ∆U = − µ B( x + ∆x) + µ B( x) = − µ[ B( x + ∆x) − B( x)]                       (8.53)




    Para desplazamientos ∆𝑥 pequeños, la fuerza puede expresarse en la forma
    Figura 8.18.     Un dipolo magnético en la cercanía de un imán en forma de barra




                                                    [ B ( x + ∆x) − B ( x)]    d B
                                                 −µ
                                             Fex = =                        −µ                                     (8.54)
                                                               ∆x              dx

                                                    < 0, es decir el campo magnético disminuye con un aumento de la
                                                 𝑑𝐵
                                                 𝑑𝑥
    La cual es una cantidad positiva ya que
    distancia x. esta es precisamente la fuerza necesaria para mover el dipolo en contra de la atracción magnética
    ejercida por la barra.- En forma general la fuerza magnética se expresa en la forma

                                               dB d  
                                           = µ
                                           Fm =      ( µ .B )                                                      (8.55)
                                               dx dx
    Utilizando la definición de gradiente la expresión anterior se escribe

                                                               
                                                      Fm = ∇( µ .B)                                                (8.56)


8.8. Movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético.

    Una característica importante de la fuerza magnética que actúa sobre una carga en movimiento en el interior de un
    campo magnético es que dicha fuerza es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. Por consiguiente la
    fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula y la energía cinética de ésta no sufre alteración por acción de
    dicha fuerza, lo único que hace la fuerza magnética es modificar la dirección de la velocidad y no su magnitud,

    En el caso en el cual la velocidad de la carga sea perpendicular al campo magnético considerado uniforme, como se


    Para encontrar una relación entre el campo magnético �⃗, la velocidad ⃗ , el radio del círculo r, se aplica la segunda
    muestra en la figura 8.19, la fuerza magnética nos da la fuerza centrípeta responsable del movimiento circular.

                                                          𝐵               𝑣
    ley de Newton en dirección normal, esto es:
                                                      ∑ Fn = ma n
                                                                    mv 2
                                                      Fm = qvB =
                                                                     r
    De donde se obtiene el radio de la órbita descrita por la partícula cargada

                                                           mv
                                                      r=                                                           (8.57)
                                                           qB

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De otro lado la velocidad angular con que gira la partícula cargada está dada por

                                               v       v           q
                                         ω= =                  ⇒ω = B                                            (8.58)
                                               r    (mv / qB )     m

Esta ecuación nos indica que la velocidad angular con que gira la partícula es independiente de la velocidad v y sólo
depende de la carga q, de la masa m y del campo magnético B. La expresión vectorial de la velocidad angular está
dad por

                                                                q
                                                      ω = −  B                                                 (8.59)
                                                           m
El signo menos indica que la velocidad angular tiene un sentido opuesto a la dirección del campo de inducción
magnético.




                      (a)                                  (b)                                   (c)

Figura 8.19.     (a) Movimiento de una partícula cargada dentro de un campo magnético uniforme. (b) Haz de electrones
                 moviéndose en una trayectoria circular dentro de un campo magnético

Por otro lado, si la dirección de la velocidad inicial no es perpendicular al campo magnético, la componente de la


donde ⃗ es ahora la componente perpendicular al campo �⃗.
velocidad paralela al campo es constante pero no existe ninguna fuerza paralela al campo. En estas condiciones la

       𝑣                                                   𝐵
carga se mueve describiendo una hélice (véase la figura 8.20a), cuyo radio de hélice está dado por la ecuación (56),




Figura 8.20.     (a) Movimiento de una carga puntual que inicialmente tiene componente perpendicular y paralela al campo
                 magnético, (b) Movimiento de una partícula cargada en el interior de la botella magnética
El movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético no uniforme es aún más complejo. La
figura 8.20b, muestra el campo producido por dos bobinas separadas cierta distancia. Si una partícula entra en esta
región experimentará fuerzas hacia el centro en las regiones cercanas a las bobinas y si esta tiene energía cinética
suficiente circulará de un lado a otro en el campo producido por las bobinas. Este campo se denomina botella
magnética.


                                                       359
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    En forma análoga el campo magnético terrestre no uniforme atrapa a las partículas cargadas provenientes del sol en
    regiones en forma de rosquillas que circundan a la tierra, como se muestra en la figura 8.21. Estas regiones se
    denominan cinturones de radiación Van Allen




                                   (a)                                                    (b)

    Figura 8.21.      (a) Cinturones de radiación Van Allen alrededor de la tierra. (b) auroras boreales originadas por el
                     movimiento de las partículas cargadas dentro del campo magnético.


8.9 El motor de corriente continua.

    Un motor eléctrico es aquel dispositivo que trabaja o se alimenta de corriente contínua. Está formado generalmente
    por las siguientes partes.


    8.9.1.    Partes principales

              Un inductor o estator. Es un electroimán formado por un número par de polos. Las bobinas que las
               arrollan son las encargadas de producir el campo inductor al circular por ellas la corriente de excitación.
              Inducido o rotor (arrollamiento de inducido). Es una pieza giratoria formada por un núcleo magnético
               alrededor del cual va el devanado de inducido sobre el que actúa el campo magnético.
              Colector de delgas: Es un anillo de láminas de cobre llamadas delgas, dispuesto sobre el eje del rotor
               que sirve para conectar las bobinas del inducido con el circuito exterior a través de las escobillas.
              Escobillas. Son unas piezas de grafito que se colocan sobre el colector de delgas, permitiendo la unión
               eléctrica de las delgas con los bornes de conexión del inducido.

             Al girar el rotor, las escobillas van rozando con las delgas, conectando la bobina del inducido
             correspondiente a cada par de delgas con el circuito exterior. El motor y su estructura básica se muestra en
             la figura 8.22.


    8.9.2.   Funcionamiento.

             El motor de CC basa su funcionamiento en la fuerza ejercida por el campo magnético de un imán sobre un


             paralelo al flujo de corriente eléctrica. El par torsor ��⃗ que se origina es ��⃗ = ⃗ 𝑥𝐵. En la figura 8.23, cada
                                                                                                 𝜇 �⃗
             elemento en forma de espira la cual transporta una corriente. Se obtendrá el valor máximo de fuerza

                                                                       𝑀                     𝑀
             cuando el campo magnético sea perpendicular al conductor y tendrá una fuerza nula cuando el campo sea

             uno de los segmentos del conmutador hace contacto con uno de los bornes, o escobillas de un circuito
             externo que incluye una fuente de fem. Esto hace que entre la corriente por uno de los lados del rotor y
             salga por el otro. El rotor al están en el campo magnético producido por el imán, gira en sentido anti
             horario debido al par producido por el campo sobre la corriente (véase figura 8.23a).


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             Figura 8.22. Estructura básica de un motor de corriente contínua.

             En la figura 8.23b, se observa al rotor girado 90° respecto a su posición inicial. Si la corriente a través del
             rotor fuese constante, el rotor estaría en equilibrio. Pero es en estos instantes en que entra en juego el
             conmutador, ahora cada escobilla está en contacto con ambos segmentos del conmutador. Por tanto, aquí
             no hay diferencia de potencial entre los conmutadores siendo la corriente en el rotor igual a cero y el
             momento magnético es cero. El rotor sigue girando en sentido anti horario debido a su inercia y una vez
             más fluye corriente a través del rotor como se muestra en la figura 8.23c. Pero ahora la corriente entra por
             el lado de color azul y sale por el rojo, esto es una situación opuesta a la figura 8.23a. En tanto que el
             sentido de la corriente se ha invertido con respecto al rotor, el cual ha girado 180°. El motor de la figura
             8.23 es de una sola espira. En los motores prácticos existen muchas espiras aumentándose de este modo el
             momento magnético y como tal aumenta también el momento torsor.

             Debido a que un motor convierte energía eléctrica en mecánica, requiere entonces de una alimentación de
             energía eléctrica. Si la diferencia de potencial entre sus bornes de Vab y la corriente es I, entonces la
             potencia de alimentación será P =VabI. Aun cuando la resistencia del devanado es aproximadamente nula,
             debe existir siempre una diferencia de potencial para que la potencia P sea diferente de cero. Veremos más
             adelante la aparición de una fem inducida la que provoca una fuerza contra electromotriz.




             Figura 8.23     Diagrama esquemático de un motor simple de CC. El rotor es una espira de alambre que gira en
                            torno a un eje. Los extremos del rotor están acoplados al conmutador. Los segmentos del
                            conmutador están aislados unos de otros.




8.10 El efecto Hall.

     E. C Hall descubrió que cuando una placa metálica por la que pasa una corriente I se coloca en un campo magnético
     perpendicular a ella, aparece una diferencia de potencial entre puntos opuestos en los bordes de la placa. Este efecto
     se denomina efecto Hall.



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Para mostrar dicho fenómeno consideremos una placa metálica que transporta una corriente I, como se muestra en la
figura 8.24. Supongamos además que los portadores de carga eléctrica son los electrones cuya carga es q = - e.
Cuando se aplica un campo magnético B, perpendicular a la placa, en el sentido del eje +y, los electrones se
encuentran sometidos a la fuerza magnética expresada por
                                                              
                                                               (
                                                  Fm = ( −e ) ve xB   )
                                                                 
                                                 Fm =−e ) ( −ve ixBj )
                                                      (
                                                                                                                 (8.60)
                                                     Fm = e ve Bk




                               (a)                                                     (b)

Figura 8.24.     (a) Conductor de ancho t instalado en circuito y sometido a un campo magnético, (b) los electrones
                 experimentan una fuerza magnética FB de tal manera que son desplazados hacia el lado superior de la placa

La ecuación (8.60) indica que los electrones resultan sometidos a una fuerza en la dirección + z, es decir los


campo eléctrico �⃗ 𝐻 paralelo al eje +z. La fuerza debido a este campo eléctrico será Fe = −eE dirigida hacia abajo,
electrones son desviados al lado superior de la placa, el cual resulta cargado negativamente. Por lo tanto, el lado

                  𝐸
inferior resulta cargado positivamente al tener una deficiencia de electrones, como resultado de esto aparece un
                                                                                             

llegando en algún instante a contrarrestar a la fuerza magnética debida al campo magnético, produciéndose el
equilibrio (véase la figura 8.25a). Esto a su vez da lugar a una diferencia de potencial vertical entre los bornes
opuestos del conductor, siendo el lado superior el que está a un potencial menor que el inferior; dicha diferencia de
potencial es proporcional al campo magnético. Para mostrarlo, observe que las dos fuerzas que actúan sobre los
electrones se encuentran en equilibrio, esto es
                                                 
                                                F = Fe + Fm
                                                               
                                                F = −eE + (− e )v xB = 0

De donde se obtiene
                                                          
                                                   E H = −ve xB                                                    (8.61)

La magnitud del campo eléctrico será

                                           = v= ve B
                                            EH e B sen90º                                                          (8.62)

Teniendo en cuenta que la diferencia de potencial está dada por

                                                   ∆V H = E H d                                                    (8.63)

Remplazando la ecuación (50) en la ec. (51), resulta


                                                       362
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                                                           ve Bd                                                        (8.64)

    A partir de las medidas de la diferencia de potencial para una cinta de tamaño determinado por la que circula una
    corriente I en el interior de un campo magnético B se puede determinar el número de portadores de carga por unidad
    de volumen. Teniendo en cuenta que la densidad de corriente J está dada por

                                                           J = nev d

    La velocidad de los portadores es

                                                     J
                                              ve =                                                                      (8.65)
                                                     ne
    Al sustituir la ecuación (53) en la ecuación (52), da como resultado

                                                               J 
                                                       ∆V H =   Bd                                                    (8.66)
                                                               n.e 
    Recordando que (J = I/A), la expresión anterior se escribe

                                                                  IBd
                                                       ∆V H =                                                           (8.67)
                                                                  n.e. A
    De donde se obtiene que el número de portadores por unidad de volumen está dado por

                                                            IBd
                                                     n=                                                                (8.68)*
                                                           eA∆V
    Un análisis idéntico pero esta vez usando portadores de carga positivo permite obtener la misma ecuación (56)* con
    la única diferencia es que los portadores de carga positivos se acumularían en la parte superior dejando un exceso de
    portadores negativos en la parte inferior (véase la figura 8.25b)




                                   (a)                                                               (b)

    Figura 8.25.     (a) Si los portadores son negativos el borde superior se carga negativamente, dicho lado se encuentra a un
                     potencial menor al del lado inferior, (b) Si los portadores son positivos el borde superior se carga
                     positivamente, dicho lado se encuentra a un potencial mayor al del lado inferior




8.11. Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en el interior de campos magnéticos.

      En esta sección se describe algunas aplicaciones de los principios formulados en el capítulo. Se sugiere al lector
      leerlo detenidamente y ampliar sus fundamentos con la lectura del mimo tema proporcionado por otros autores.

      8.11.1     Selector de velocidades.


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             Cuando se produce un haz de partículas cargadas en un filamento caliente (cátodo), no todas las
  partículas tienen la misma velocidad. Una forma cómo seleccionar un conjunto de partículas que tengan la misma
  rapidez es usar el dispositivo mostrado en la figura 8.26a, en donde se observa la presencia de un campo eléctrico
  y un campo magnético mutuamente perpendiculares a este se llama selector de velocidades. En la figura se
  observa una partícula con carga +q, masa m, que ha sido liberada en la fuente de iones con una velocidad v y


  experimenta una fuerza eléctrica ⃗ 𝐸 = 𝑞𝐸 , hacia abajo y una fuerza magnética ⃗ 𝐵 = 𝑞𝑣 𝑥𝐵, hacia arriba. Si se
                                             �⃗                                             ⃗ �⃗
  atraviesa una ranura entrando en el espacio donde el campo eléctrico y magnético son perpendiculares. El campo

                                      𝐹                                               𝐹
  eléctrico está dirigido hacia abajo y el campo magnético ingresando al plano del dibujo. Por tanto, la partícula +q

  escogen las magnitudes de los campos de tal manera que las fuerza se equilibren, la fuerza neta sobre +q será nula.
  Entoces aplicando la segunda ley de Newton al diagrama de cuerpo libre (figura 8.26b), se tiene

                                                  ∑F    y   = qvB =
                                                            0⇒    qE
                                                                  E                                                  (8.69)
                                                             v=
                                                                  B
  Es decir solamente aquellas partículas que tengan la misma velocidad v pasará a través de la ranura de S2 sin
  desviarse.




  Figura 21.      (a) selector de velocidades de partículas cargadas, (d) DCL de una partícula positiva dentro de los campos
                 cruzados.


  8.11.2     Experimento de Thomson

             J. J. Thomson (1856 – 1940) utilizó el aparato mostrado en la figura 22 para medir la relación de carga
  a masa del electrón. El aparato consiste de un tubo de vidrio en cuyo interior se ha hecho alto vacío y en el cual se
  aceleran electrones provenientes del cátodo caliente y se reúnen en un haza mediante una diferencia de potencial
  ∆V entre los dos ánodos. La velocidad de los electrones es determinada por el potencial acelerador ∆V. Utilizando
  la conservación de la energía se tiene

                                                  1 2                           2e(∆V )
                                                    mv = e[∆V ] ⇒ v =                                                (8.70)
                                                  2                                m
  Los electrones pasan entre las placas e inciden en la pantalla del extremo del tubo, la cual está recubierta de un
  material fluorescente que emite luz en el punto de impacto. Los electrones pasan en línea recta entre las placas
  cuando se cumple la ecuación (8.69), al remplazar esta ecuación en la ecuación (8.70) se riene

                                              E             2e(∆V )   e    E2
                                             =                      =
                                                                    ⇒                                                (8.71)
                                              B                m      m 2 B 2 ∆V
  En esta ecuación todas las cantidades del segundo miembro se pueden medir por tanto se puede determinar la
  relación e/m.

  El aspecto más importante del experimento de Thomson es que encontrón un solo valor para e/m. Es decir esta
  magnitud no depende ni del material del cátodo ni del gas residual presente en el tubo ni de ningún otro aspecto
  del experimento. Esta independencia permitió descubrir la primera partícula subatómica que ahora llamamos


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  electrón. Así mismo Thomson demostró que la rapidez de los electrones eran casi un décimo de la velocidad de la
  luz. El valor más preciso de e/m es

                                                 e
                                                   = 1, 758820174.1011 C / kg                                (8.72)
                                                 m
  Años posteriores al descubrimiento de Thomson, Robert Millikan pudo medir la carga del electrón con una alta
  precisión permitiendo de esta manera encontrar la masa del electrón obteniéndose:

                                                 me = 9,10938188.10−31 kg                                    (8.73)




  Figura 22.     Aparato de Thomson para medir la relación e/m del electrón


  8.11.3     Espectrómetro de masas.

           Un espectrómetro de masas es un dispositivo que se emplea para separar iones dentro de una
  muestra que poseen distinta relación carga/masa. La mezcla puede estar constituida por distintos isótopos de
  una misma sustancia o bien por distintos elementos químicos.

  Existen distintos modelos de espectrómetros. En la figura anterior se ha representado un esquema de su principio
  de funcionamiento.

  Todos los elementos del espectrómetro deben estar en el interior de una cámara de vacío. La muestra gaseosa
  (situada a la izquierda de la figura) se ioniza mediante un haz de electrones. Los iones positivos son acelerados
  por un campo eléctrico. Entre las placas aceleradoras existe un campo eléctrico, por lo que los iones
  experimentarán una fuerza dada por:
                                                             
                                                        Fe = qE

  Donde q es la carga de los iones positivos.

  A continuación el haz de iones pasa por una zona del espacio donde existe un campo magnético B. La fuerza que
  el campo magnético hace sobre una carga es
                                                             
                                                      Fm = q[vxB ]
  Fuerza que es perpendicular al campo magnético y al vector velocidad de la carga (en este caso, de los iones
  positivos).




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  Figura 22.     Espectrómetro de masas el cual utiliza un selector de velocidad para obtener partículas con velocidad
                 constante posteriormente las partículas se mueven en trayectorias curvilíneas (semicircunferencias para
                 después impactar sobre una pantalla fluorescente



  Como la fuerza (representada en verde en la figura) es perpendicular a la trayectoria de los iones, éstos tendrán
  aceleración normal y se desviarán describiendo una trayectoria curva.
  Utilizando la la segunda ley de Newton, se tiene

                                                                       mv 2
                                             ∑ Fn = man ⇒ qvB =
                                                                        R
                                                             mv
                                                        R=
                                                             q B

  Para un valor fijo de la velocidad y del módulo del campo magnético, cuanto menor sea el cociente m/q menor
  será el radio de curvatura R, de la trayectoria descrita por los iones, y por tanto su trayectoria se deflectará más.
  Si la muestra está constituida por isótopos del mismo elemento, todos tendrán la misma carga, pero los que sean
  más pesados se deflectarán menos.
  Por tanto, haces de iones de distinta relación carga/masa llegarán a puntos diferentes de un detector, y, en función
  de la intensidad de las señales que dejan, se determina la abundancia relativa de cada tipo.
  El primer espectrómetro de masas fue desarrollado en la década de 1920 por el físico inglés Francis William
  Aston, y recibió en 1922 el Premio Nobel de Química por su desarrollo.




                                                       366
Física General III                       Campo magnético y fuerza magnética                   Toribio Córdova C.



     8.12 PROBLEMAS RESUELTOS.                                                                  W = ∆Ek (2)

           magnético dado por �⃗ = (1,4𝚤 + 2,1𝚥
                                        𝐵      ⃗   ⃗) T.
     1.    Un electrón es lanzado dentro de un campo
                                                                             Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene



           una velocidad ⃗ = (3,7. 105 ⃗) m/s.
                         𝑣             𝚥
           Determine la expresión vectorial de la fuerza
                                                                                           1 2
           magnética sobre dicho electrón si se mueve con                                    mv qα (∆V ) (3)
                                                                                              =
                                                                                           2

           Solución                                                          La velocidad de la partícula será
                                                   
                 i             j     k       i       j  k
                                                                                                  2qα (∆V )
          = qvxB v x
           F =                v y = 0 3,7.105 0
                                     vz                                                         v=
                                                                                                         m
                        Bx By Bz 1,4 2,1 0                                   Debido a que la partícula describe un movimiento
                                                                           circular, la fuerza magnética siempre se dirige al
                   F = −1, 6.10−19 [−1, 4(3, 7.105 )]k                       centro de la trayectoria. Entonces se tiene
                                     
                     F = (8,3.10−14 k ) N Rta                                                         v2
                                                                                        ∑ Fn = man ⇒ qvB = m
           ⃗ = (6. 106 ⃗) m/s en una región del espacio en
            𝑣          𝚥
                                                                                                      r
     2.    Un protón se está moviendo con una velocidad
                                                                                       mv    m 2qα (∆V )

                                           �⃗
                                                                                    = =
           ecuación �⃗ = (3,0𝚤 − 1,5, ⃗ + 2𝑘) T. ¿Cuál es la
                     𝐵        ⃗       𝚥
                                                                                     r
           donde el campo magnético viene expresado por la                             qα B qα B   m
           magnitud de la aceleración en este instante?.                                         1 2mqα (∆V )
                                                                                           r=
                                                                                                 B    qα
           Solución
                           
            = =
            FB ma q p vxB
                                                                                       1     2(3,3,10−27 kg )(1000V )
                                                                                  r=
                              i    j                       k                            0, 2T       2(1, 6.10−19 C )
  qp         1, 6.10−19
= =
 a    (vxB )                 6.106 0                       0                              r = 2, 27.10−2 m       R ta
    m         1, 67.10−27
                             3    -1,5                     2
                                                                     4.   Una varilla conductora de 72 cm de longitud tiene
= 0,958.108 (12.106 i − 9.106 k )
   a                                                                         una masa de 15 g. La varilla se encuentra
                                                                          suspendida en un plano vertical por un par de
   a = (11.496i − 8, 622k ).1014 m / s 2                                     alambres flexibles dentro de un campo magnético
                                                                            B = 0,54 T cuya dirección es saliendo de la página
          a = 14,37.1014 m / s 2

           Una partícula alfa (m = 3,3.10-27 kg, 𝑞 = 2| 𝑒|) es
                                                                             tal como se muestra en la figura. ¿Qué corriente
                                                                             debe fluir a través de la varilla para que la tensión
     3.                                                                      en los alambres soportantes sea igual a cero?
           acelerada desde el reposo a través de una diferencia


            𝐵 = 0,2 𝑇, perpendicular a la dirección de su
           de potencial de 1 kV. Entonces la partícula ingresa
           en una región donde existe un campo magnético

           movimiento. ¿Cuál es el radio de la trayectoria que
           describe la partícula alfa?.

           Solución

           El trabajo que realiza el campo eléctrico en la
           región donde existe una diferencia de potencial                   Solución
           sobre la partícula alfa es
                                                                             Para que las tensiones en los alambres verticales
                        W qα (∆V )
                        =                     (1)                            sean nulas entonces la fuerza magnética debo estar
                                                                             dirigida hacia arriba para que equilibre al peso.
                                                                             Entonces aplicando la regla de la mano derecha so
           Por otro lado el trabajo es igual a la variación de
                                                                             obtiene que la corriente debiera estar dirigida hacia
           energía cinética, es decir
                                                                             la izquierda es decir de Q a P tal como se muestra
                                                                             en el DCL de la varilla

                                                                  367
Física General III                      Campo magnético y fuerza magnética                    Toribio Córdova C.



                                                                        Usando coordenadas cilíndricas tenemos
                                                                                                   
                                                                        dF = θ er + B cos θ ez )
                                                                             I (−dleϕ ) x( Bsen
                                                                                                 
                                                                        = IBdlsenθ ez − IBdl cos θ er
                                                                           dF

                                                                        Debido a la simetria que presenta la figura, las
     La fuerza magnética se expresa mediante la                         componentes radiale se cancelan mutuamente ya
     ecuación                                                           que existe una componente idéntica en el lado
                                                                        izaquierdo. Entonces sólo queda la componente z
                                  
                                (        )
                                
            = I ∫ dlxB I ∫ −dli x( Bk )
            FB      =
                              
                    FB = IlQP Bj
                     
                    FB = IlQP B

     Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
                                                                        La fuerza magnética neta que actua sobre el anillo

                ∑F
                                                                        será
                     y    = ⇒ FB = =
                           0      W mg
                                                                                                             
                          IlQP B = mg                                   =
                                                                        F      ∫=  IBdlsen=
                                                                                dF ∫
                                                                                       C
                                                                                           θe        z             ∫
                                                                                                         IBsenθ ez dl
                                                                                                                    C
                   mg 0, 015 kg (9,8m / s 2 )                                                        
             I=         =                                                               F = 2π IBsenθ ez
                  lQP B   0, 72 m(0,54T )                                                
                    I = 378 mA       Rta                                                 F = 2π IBsenθ

5.   Un imán en forma de barra con su polo norte arriba                 La fuerza magnética sobre el anillo es repulsiva ya
     es localizado simétricamente en el eje y debajo de                 que está dirigida hacia arriba en la dirección +z.


                                                                        potencial ∆𝑉 = 500 𝑘𝑉 atraviesa un campo
     un anillo conductor de radio r el cual transporta una
     corriente I en sentido horario como se muestra en la          6.   Un protón, acelerado por una diferencia de
     figura. En la localización del anillo, el campo
     magnético forma un ángulo θ con la vertical. ¿Cuál                 magnético homogéneo transversal cuya inducción
     es la magnitud y dirección de la fuerza resultante                 es B = 0,51 T. El espesor de la zona del campo es d
     sobre el anillo?                                                   = 10 cm (véase la figura. Determine: (a) el ángulo
                                                                        α de desviación del protón respecto a la dirección
                                                                        inicial del movimiento, (b) el desplazamiento
                                                                        vertical ∆y1 al salir de la región del campo
                                                                        magnético (c) el momento lineal de la partícula
                                                                        cuando sale del campo magnético. Considere que
                                                                        mp = 1,67.10-27kg y qP=1,6.10-19C.




     Solución



                             ⃗
     Para evaluar la fuerza magnética sobre el anillo se

     corriente pequeños 𝐼𝑑𝑙 , como se muestra en la
     divide a éste en elementos diferenciales de

     figura. La fuerza sobre el elemento será
                                                                     Solución
                          dF = IdlxB
                                                                        Datos e incógnitas.

                                                             368
Física General III                       Campo magnético y fuerza magnética                        Toribio Córdova C.



       = 500 = 0,51T d 10.10−2 m
       ∆V    V B  =                                                                           senα
                                                                                                 =
                                                                                                   d 10
                                                                                                   =
= 1, 67.10−27 kgq p 1, 6.10−19 C
 mp =                                                                                              R 20
                                                                                               α 30°
                                                                                                 =
 α
 = ???; ∆= ???; = ???
         y1         p
                                                                         Se procede ahora a determina el desplazamiento
     Al ingresar el protón en la región donde existe un                  vertical
     campo magnético, experimentará una fuerza
     expresada como                                                       ∆y1 = R − R cos α = 20.10−2 m[1 − cos 30°]
                                                                                           ∆y1 = 679cm
                                                                                                   2,
            = q= q p (v0i ) x(− Bk )
            Fm vxB           ˆ   ˆ
                
                Fm = q p v0 Bj
                             ˆ                                           Finalmente el vector momento lineal está dado por

                           Fm = q p v0 B                                         
                                                   (1)                         p = = v0 cos 30 i + v0 sen30° ˆ]
                                                                                 mv m p [      ˆ             j
                                                                                       −27
     Debido a que el protón en = 1, 67.10 kg (9, 788.10 m / s )[0,8i + 0,5 ˆ ]               ˆ              6
                                 el interior del campo     p                                        j
     describe un movimiento circular, la aplicación de la    
     segunda ley de Newton nos da                         = [14.16.10−21 i + 8,17.10−21 ˆ]kg .m / s
                                                             p           ˆ              j

                            ∑ Fn = n
                                 ma
                                                                    7.   Una barra cilíndrica de masa m radio R es colocada
                                           2                             sobre dos rieles paralelos de longitud l separados
                                          v
                           q p v0 B = m    0
                                                                         por una distancia d, como se muestra en la figura.la
                                          R

                                                                                                                  �⃗
                                                                         varilla lleva una corriente I y rueda sin deslizar a lo

                                                                                                                   𝐵
                                mv0                                      largo de los rieles los cuales están ubicados en un
                           R=                      (2)
                                qp B                                     campo       magnético     uniforme            dirigido
                                                                         verticalmente hacia abajo. Si la barra está
                                                                         inicialmente en reposo, ¿Cuál es su velocidad
     Ahora se procede a determinar la velocidad con                      cuando abandona los rieles.
     que ingresa el protón al interior del campo
     magnético.

     Remplazando la ecuación (4) en (3), resulta

                           1 2
                             mv0 = q∆V
                           2
        1
          [1, 67.10−27 kg ]v0 = 1, 6.10−19 C[5.105V ]
                            2

        2
                        v0 = 9, 788.106 m / s (3)
                                                                         Solución
     En la figura se muestra la trayectoria descrita por el
                                                                         Para resolver el ejemplo se utiliza el sistema de
     protón en el campo y la orientación del vector
                                                                         referencia mostrado en la figura
     velocidad con que abandona el campo




                                                                         La fuerza magnética que actúa sobre la barra
                                                                         cilíndrica será
                                                                                              
                                                                                                     (          )
                                                                            
                                                                           = I= I ∫ dli x(− Bk )
                                                                            F ∫ dlxB
                                                                                           
                                                                                  F = IBd ( j )

                                                              369
Física General III                              Campo magnético y fuerza magnética                Toribio Córdova C.



     El trabajo total hecho por la fuerza magnética sobre                    Al ingresar al campo experimenta una fuerza
     la barra cilíndrica cuando se mueve a través de la                      magnética expresada por
     región es.
                                                                                       
                     f            f                    l
                                                                                  = q= qe (v0i ) x(− Bk )
                                                                                  Fm e vxB       ˆ    ˆ
     =
     Wi → f     ∫= ∫
                 F .ds
                 i              i
                                        IBd ( j ).dxj IBd ∫ dx
                                            =
                                                            0
                                                                                       
                                                                                     Fm = − qe v0 Bj
                                                                                                   ˆ
                           Wi → f = IBld
                                                                             El módulo de la fuerza magnética será
     Utilizando el teorema trabajo-energía cinética se
     tiene.                                                                                 Fm = qe v0 B     (2)

     Wi → f =Ek = k ,tras + Ek ,rot ) f − ( Ek ,tras + Ek ,rot )i
             ∆  (E                                                          Debido a que el electrón en el interior del campo
                                                                            describe un movimiento circular,

     𝐼 = 𝑚𝑅2 /2, y cuando la barra rueda sin deslizar se
     cumple que 𝑣 = 𝜔𝑅, la ecuación anterior se escribe
     Puesto que el momento de inercia de la barra es


     en la forma

                      1      1      3
                IBld = mv 2 + mv 2 = mv 2
                      2      4      4

                                        4I l B d
                           v=
                                          3m
                                                                            La aplicación de la segunda ley de Newton nos da

                                                                                               ∑ Fn =an
                                                                                                    me
8.   Un electrón es acelerado desde el reposo a través
                                                                                                            2
     de una diferencia de potencial de ∆V = 500 V,                                                         v0
     entonces ingresa dentro de un campo magnético B                                          qe v0 B = me
                                                                                                           R
     uniforme. Este campo hace que la partícula recorra
                                                                                                    mv
     media revolución en un tiempo de 2 ns. ¿Cuál es el                                       R= e 0          (3)
     radio de su órbita?.                                                                            qe B

                                                                            De otro lado la velocidad angular con que gira la
                                                                            partícula cargada está dada por

                                                                                            v       v       q
                                                                                       ω=    =            = e B
                                                                                            r (me v / qe B) me
                                                                                                2π qe
                                                                                                  =    B
                                                                                                T   me
                                                                                          2π me    2π (9,1.10−31 kg )
                                                                                =B         =
                                                                                           qeT  1, 6.10−19 C[4.10−9 s ]
                                                                                       B = 8.93.10−3 Tesla         (4)
      Solución
                                                                             Remplazando las ecuaciones (1) y (4) en (3)
      En primer lugar se determina la velocidad del                          resulta
      electrón con que ingresa al campo magnético.
                                                                                     me v0 9.1.10-31kg[1,33.107 m / s ]
                                                                                R=        =
               2qe ∆V                   2(1, 6.10−19 C )(500V )                      qe B   1,6.10-19 C[8,93.10−3 T ]
=ve            =
                 me                           9,1.10−31 kg
                 ve = 1,33.107 m / s                (1)                                   R = 8, 43 mm        Rta

                                                                    370
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FUERZA MAGNETICA Y CAMPO MAGNETICO

  • 1. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. CAPITULO VIII Campo magnético y fuerza magnética 344
  • 2. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. 8.1 Polos magnéticos y líneas de campo La ciencia del magnetismo nació de la observación de que ciertas piedras (Magnetita Fe3O4) atraían pedazos de hierro. A estas piedras se les denominaron imanes naturales (véase la figura 8.1a). Uno de los imanes naturales más importante es la tierra (véase la figura 8.1b), cuya acción orientadora sobre la brújula ha permitido diferenciar el polo norte verdadero del norte geográfico y determinar los denominados polos magnéticos de un imán. (a) (b) Figura 8.1. (a) Imán natural en forma de barra, (b) Imán terrestre con sus polos norte y sur A partir de una experimentación cualitativa se puede establecer que:  Una barra imanada presenta dos polos. Estas son regiones cercanas a los extremos del imán donde aparentemente se concentra la actividad magnética.  Entre dos polos magnéticos existe siempre o una atracción o una repulsión  Sólo existen dos clases de polos magnéticos denominados polo norte(N) y polo sur(S).  En ausencia de otros imanes en su vecindad, una brújula se orienta por sí misma en la dirección norte - sur. El polo que apunta hacia el norte geográfico se le denomina polo norte y el que apunta hacia el sur geográfico se le denomina polo sur del imán.  La fuerza de interacción entre dos polos magnéticos presenta la dependencia del inverso al cuadrado de la distancia que los separa.  Dos polos de diferente nominación experimentan una interacción atractiva como se muestra en las figuras 8.2a y 8.2b y dos polos de la misma nominación experimentan una interacción repulsiva como se muestra en la figura 8.2c y 8.2d. Figura 8.2. (a) y (b) Interacción atractiva entre dos polos de diferente nominación; (c) y (d) interacción repulsiva entre polos de igual nominación Debe señalarse que cuando una brújula se coloca en una región cerca de un alambre que no transporta corriente eléctrica, la brújula no experimenta una orientación respecto al alambre (figura 8.3a). Sin embargo, si por alambre circula una corriente hacia arriba (figura 8.3b) o hacia abajo (figura 8.3c), la brújula experimenta una orientación. Esta situación indica que el origen del campo magnético son las corrientes eléctricas. 345
  • 3. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. (a) (b) (c) Figura 8.3. (a) la brújula en la cercanía a un conductor por el que no fluye corriente no experimenta orientación, (b) la brújula en la cercanía de un conductor que transporta corriente hacia arriba experimenta una orientación, (c) si la corriente fluye hacia abajo la brújula se orienta en dirección opuesta En la práctica resulta imposible aislar a un sólo polo magnético, es decir si se divide a un imán en dos partes iguales como se muestra en la figura 8.4, lejos de obtener un sólo polo se obtiene dos imanes con sus propios polos magnéticos norte y sur y si nuevamente dividimos a estos imanes en dos partes se obtiene cuatro imanes. Por lo tanto, se dice que el campo magnético es de origen dipolar. Figura 8.4. El campo magnético es de origen dipolar es decir si se divide a un imán en n partes se obtiene n imanes. Para trazar un campo magnético se utilizan las brújulas, siendo la dirección del campo magnético la que apunta la aguja de este instrumento cuando se coloca cerca de un imán (véase la figura 8.5a. El vector campo magnético (B) conocido también con el nombre de Inducción Magnética, se le puede representar por líneas de campo como se muestra en la figura 8.5b. (a) (b) Figura 8.5. Trazado de las líneas de campo magnético para un imán en forma de barra usando una brújula, (b) el campo magnético siempre es tangente a una línea de campo magnético El ampo magnético se encuentra relacionado con las líneas de fuerza de la siguiente manera: a) El campo magnético siempre es tangente a una línea de campo magnético. 346
  • 4. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. b) Las líneas de campo magnético se dibujan de tal manera que el número de líneas por unidad de área de sección transversal sea proporcional a la magnitud del campo magnético. c) Las líneas de campo magnético son cerradas y terminan en el interior del imán. d) Las líneas de inducción se dibujan saliendo del polo norte y entrando en el polo sur. En la Figura 8.6a, 8.6b y 8.6c, se muestran la forma como se dibujan las líneas de campo magnético. Figura 8.6. (a) Líneas de fuerza para un imán en forma de barra, (b) líneas de campo magnético para una bobina que transporta una corriente I, y (c) un imán en forma de herradura produce un campo magnético uniforme Experimentalmente se demuestra que cuando una partícula cargada q, se mueve con una velocidad ⃗ , en el espacio 𝑣 8.2. Fuerza magnética y campo magnético. en donde existe un campo magnético 𝐵 �⃗, experimenta una fuerza de origen magnético ⃗ 𝑚 como se muestra en la 𝐹 a) La fuerza magnética sobre una partícula cargada es siempre perpendicular tanto al vector campo magnético �⃗, figura 8.7a. La fuerza magnética tiene las siguientes características. 𝐵 así como al vector velocidad ⃗ , de la partícula. 𝑣 b) La magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional a la magnitud de �⃗, a la magnitud de la 𝐵 velocidad de la partícula ⃗ y a la carga q que lleva la partícula. 𝑣 ⃗ de la carga y al vector campo magnético �⃗. 𝑣 𝐵 c) La magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional al seno del ángulo entre el vector velocidad d) La fuerza magnética depende del signo de la carga puntual móvil. Todas estas características se resumen en la ecuación matemática    FB = λ (qvxB ) (8.1) Donde λ es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades elegidas. En el sistema internacional de unidades λ es igual a la unidad. Por lo tanto la ecuación anterior se escribe:    FB = qvxB (8.2) La magnitud de la fuerza magnética se expresa FB = qvBsenθ (8.3) La dirección se determina usando la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 8.7c. experimenta una fuerza magnética y en la figura 8.7b se observa que si q se mueve con una velocidad ⃗ que está 𝑣 �⃗, la fuerza magnética ⃗ 𝐵 siempre es perpendicular al plano En la figura 8.7a, se observa que si la carga q se mueve dentro de un campo magnético producido por un imán 𝐵 𝐹 formado por ⃗ y �⃗, entonces dicha fuerza siempre será todo el tiempo una fuerza lateral. 𝑣 𝐵 formando un ángulo θ con el camp o magn ético 347
  • 5. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. (a) (b) (c) Figura 8.7. (a) Gráfica que ilustra el trazo de la fuerza magnética, (b) Aplicación de la regla de la mano derecha para determinar la dirección de la fuerza magnética Por otro lado la ecuación (3) también indica que:  La fuerza magnética se anula cuando la velocidad de la partícula cargada es cero.  La fuerza magnética se anula cuando la velocidad de la partícula cargada es paralela al campo magnético (figura 8.8a)  La fuerza magnética sobre la partícula cargada tiene su valor máximo cuando la velocidad y el campo magnético son perpendiculares esto es θ = 90º como se muestra en la figura 8.8c. Este valor está dado por: Fmax = qvB (8.4) La unidad del campo magnético en el sistema internacional de unidades es B: 1Tesla = N.s/C.m = N/A.m = 1 Weber/m2 Las unidades del campo magnético en el sistema c.g.s. el denominado Gauss. 1 Tesla = 104 Gauss. Si la partícula se mueve en una región en donde existe un campo eléctrico y un campo magnético, la fuerza resultante sobre la partícula cargada se expresa en la forma     FR qE + qvxB = (8.5) A la ecuación anterior se le denomina como Fuerza de Lorentz. (a) (b) (c) Figura 8.8 (a) la fuerza magnética es nula cuando la carga se mueve paralelamente al campo magnético, (b) la fuerza magnética es perpendicular al plano de la velocidad y el campo magnético y (c) la fuerza magnética es máxima cuando la velocidad y el campo magnético son perpendiculares. Debe observarse además que la fuerza magnética al ser perpendicular a la velocidad de la partícula cargada y al campo magnético, no produce cambio alguno en la velocidad y como tal la energía cinética se mantiene constantes. 348
  • 6. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. En otras palabras, la fuerza magnética no puede mover hacia arriba o hacia abajo a la carga. Consecuentemente, la fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula.         = Fm .ds q (vxB).(vdt ) q (vxv ).Bdt 0 dW = = = (8.6) Sin embargo, la dirección de la velocidad de la partícula puede ser alterada por la fuerza magnética, como veremos posteriormente 8.3 Flujo magnético magnético �⃗ perpendicular a la superficie, sobre el área dada. 𝐵 Se define al flujo magnéticoΦ B a través de una superficie dada S como la integral de la componente del campo dividámoslo a ella en elementos dA. Por lo general el campo magnético �⃗ no es constante ni en magnitud ni en 𝐵 Para determinar el valor de ΦB consideremos una superficie arbitraria S tal como se muestra en la figura 8.9, y dirección sobre la superficie, sino que el campo magnético �⃗ determina el valor local del campo magnético en el 𝐵 punto P. La componente de �⃗ normal a dA en ese punto, es simplemente la componente del campo magnético en la Figura 8.9. Flujo magnético a través de una superficie. 𝐵 dirección del vector unitario normal �⃗ a la superficie, esto es 𝑛  = B cos φ B.n Bn = (8.7) El elemento de flujo dΦB a través del área dA será  d Φ B BB dA B.ndA = = (8.8) Para calcular el flujo total ΦB que atraviesa toda la superficie S se procede a integrar la ecuación (8),    = ΦB ∫ .dA B= ∫ B.ndA (8.9) Si el campo magnético ��⃗ es constante en magnitud y dirección en todos los puntos de la superficie y si ésta es 𝑩 S S  plana, la cantidad B.n también será la misma para todos los elementos dA. Por lo tanto, la ecuación (8) se escribe  = B.n ∫ dA BA cos φ ΦB = (8.10) S Donde A es el área total de la superficie. Si además el campo magnético es perpendicular al superficie0º, la θ= expresión anterior se reduce a ΦB = BA (8.11) Las unidades del flujo magnético en el sistema internacional de unidades es Weber. 8.4 La ley de Gauss para el magnetismo. 349
  • 7. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. Si se tiene un imán en forma de barra de longitud muy grande, la fuerza magnética entre los polos obedece a la ley de Coulomb, en el sentido de que son inversamente proporcionales al inverso al cuadrado de la distancia entre los mismos. Como las “cargas magnéticas” se pueden considerar como la fuente de los campos magnéticos los mismos que decrecen con la inversa del cuadrado de la distancia, se puede demostrar temporalmente la ley de Gauss para el magnetismo, imaginando que B se origina en una “carga magnética” aislada. En forma análoga a lo que se hizo con la ley de Gauss para el campo eléctrico  ∫ B.ndA = 4πKq S m (8.12) La integral se evalúa sobre toda la superficie y la carga magnética qm es la carga magnética total encerrada dentro de la superficie gaussiana. La constante K relaciona a B con la supuesta “carga magnética” qm y la distancia, es decir   q  B = K  m e r  2  (8.13) r  Puesto que la única causa que origina a los campos magnéticos es las corrientes eléctrica y además los campos magnéticos son de origen dipolar, la “carga magnética” realmente no existe, es decir equivale a un valor cero para qm. Entonces la ley de Gauss para el magnetismo se escribe  ∫ B.ndA = 0 S (8.14) Geométricamente se puede entender observando que las líneas de campo magnético comienzan en el polo norte (N) y terminan en el polo sur (S) es decir forman líneas cerradas, entonces la ecuación (8.14) se satisface en la medida de que todas las líneas de campo que entran en la superficie S también salen de la superficie, es decir ninguna línea puede comenzar o terminar dentro de la superficie. 8.5. Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica. lateral, si sobre ella actúa un campo magnético �⃗ como se muestra en la Figura 8.10. Dicha fuerza es proporcional a 𝐵 Debido a que la corriente eléctrica es un conjunto de cargas en movimiento, ellas estarán sometidas a una fuerza la intensidad de corriente I, a la inducción magnética B y es perpendicular a ambas cantidades. La dirección de la fuerza magnética se determina mediante la regla de la mano derecha aplicada como se muestra en la figura 8.10b. En la figura 8.10c, se muestra un experimento que muestra el efecto del campo magnético sobre un corriente (a) (b) (c) Figura 8.10. (a). Cuando un alambre que transporta una corriente I se encuentra en un campo magnético, experimenta una fuerza magnética, (b) regla de la mano derecha para determinar la dirección de la fuerza magnética y (c) experimento en el laboratorio que muestra la fuerza magnética sobre corrientes Consideremos un alambre recto suspendido en la región entre dos polos magnéticos de un imán como se muestra en la figura 8.11a. El campo magnético se encuentra ingresando al plano de la página y se representa mediante aspas 350
  • 8. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. (x). Podemos demostrar rápidamente que cuando no pasa corriente a través del alambre (figura 8.11b) el alambre se mantiene recto. Sin embargo, si a través del alambre fluye una corriente de abajo hacia arriba (figura 8.11c) el alambre sufre una deflexión hacia la izquierda, mientras que si por el alambre fluye una corriente de arriba hacia abajo el alambre experimenta una deflexión hacia la derechas como se muestra en la figura 8.11d. (a) (b) (c) (d) Para determinar una expresión matemática que relacione el campo magnético �⃗, la intensidad de corriente I y la Figura 8.11. 𝐵 Deflexión experimentada por un alambre que transporta corriente fuerza magnética 𝐹 ⃗ 𝐵 , consideremos un conductor recto de sección transversal A y longitud l que transporta una corriente eléctrica constante I, tal como se muestra en la Figura 8.12a. El campo magnético se encuentra entrando a la página. (a) (b) Figura 8.12. (a) Fuerza magnética sobre un conductor recto; (b) fuerza magnética sobre un elemento diferencial de La carga se mueve con una velocidad de deriva promedio ⃗ 𝑑 . Debido a que la cantidad de carga total en este 𝑣 corriente segmento es 𝑄 𝑡 = 𝑞(𝑛𝐴𝑙), donde n es el número de cargas por unidad de volumen, la fuerza magnética total sobre el segmento es        = Qtot vd xB q (nAl )(vd xB ) nqAvd lxB Fm = =    Fm = I (lxB ) (8.15) Donde: 𝐼 = 𝑛𝑞𝐴𝑣 𝑑 y ⃗ es un vector dirigido a lo largo de la dirección de la corriente eléctrica 𝑙 ⃗ diferenciales de longitud 𝑑𝑙, sección transversal A que transporta una corriente tal como se muestra en la figura Para determinar la fuerza magnética sobre un alambre de forma arbitraria, se divide al conductor en elementos 351
  • 9. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. 8.12b, y se evalúa la fuerza sobre dicho elemento La carga dentro del conductor se mueve con una velocidad v y en el tiempo dt atraviesa un volumen dV dado por dV = Adl ⃗ (8.16) El desplazamiento de la carga es 𝑑𝑙 , el cual apunta en la dirección de la corriente en tal punto, con esto la velocidad se expresa   dl v= (8.17) ⃗ dt El elemento de fuerza 𝑑𝐹, sobre la carga dq será    dF = dq (v xB ) (8.18) Remplazando la ecuación (8.17), en la ecuación (8.18), se tiene    dl   dF = dq  dt xB   (8.19)   Siendo ρ la densidad de carga por unidad de volumen, la carga dq se escribe en la forma dq = ρdV = ρAdl (8.20) Por lo tanto, la fuerza magnética sobre el elemento será   dl   dl    dt xB  = ρA dt (dl xB )  dF = ρAdl   (8.21)   Pero (dl/dt) es la magnitud de la velocidad, entonces la ecuación anterior se escribe   dF = ρAv(dl xB )  (8.22) Teniendo en cuenta que la intensidad de corriente se define como I = JA = ρvA (8.23) La ecuación (8.20) se escribe   dF = I (dl xB )  (8.24) ⃗ La ecuación (8.24), nos permite determinar el elemento de fuerza 𝑑𝐹, que actúa sobre la carga dq dentro de un segmento de conductor de longitud 𝑑𝑙 ⃗. La fuerza resultante sobre un segmento de conductor de longitud finita, se obtiene integrando la ecuación (24) sobre todos los elementos del conductor    ∫ I (dl xB ) = I ∫ (dl xB )  F= (8.25) En donde se ha sacado la intensidad de corriente I, fuera de la integral ya que se trata de una corriente eléctrica continua. Para un circuito cerrado la integral se calcula alrededor de la trayectoria formada por el conductor, esto es    ∫ F = I (dlxB ) (8.26) a) El campo magnético �⃗ es de magnitud y dirección constante y el alambre es finito, entonces la expresión (8.26), 𝐵 C Existen en la práctica dos casos que merecen nuestra especial atención: se escribe (véase figura 8.13a) 352
  • 10. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C.     B   F =  I dl  xB = I (l AB xB ) ∫ (8.27)  A    b) El campo magnético es de magnitud y dirección constante y la trayectoria es un circuito cerrado, entonces se tiene (véase figura 8.13b)  [∫ ]   F = I dl xB = 0 (8.28) ⃗ En esta ecuación, la integral se anula ya que la suma vectorial de todos los elementos de longitud 𝑑𝑙 , es igual a cero porque ellos forman un polígono cerrado. (a) (b) Figura 8.13. (a) Fuerza magnética sobre un alambre curvo que lleva una intensidad de corriente I y se encuentra dentro de un campo magnético uniforme, (b) Fuerza magnética sobre un conductor cerrado que lleva una corriente I y se encuentra en un campo magnético uniforme Una de las aplicaciones de las fuerza sobre corrientes se da en los altavoces (véase la figura 8.14). El campo magnético radial creado por el imán permanente ejerce una fuerza sobre la bobina de voz la cual es proporcional a la intensidad de corriente en la bobina, la dirección de la fuerza puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda según el sentido de la corriente. La señal proveniente del amplificador hace oscilar la corriente en términos de sentido y magnitud. La bobina y el altavoz al que está acoplada responden oscilando con una amplitud proporcional a la amplitud de la corriente en la bobina. Figura 8.14. Componentes de un altavoz. El campo magnético radial ejerce una fuerza sobre la corriente de la bobina de voz en la dirección mostrada. Cuando la corriente oscila en la bobina de voz, el cono acoplado a la bobina oscila a la misma frecuencia. 8.6. Momento o Torque sobre una espira que lleva una corriente eléctrica. 353
  • 11. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. uniforme �⃗, se ejercen fuerzas sobre cada trozo de alambre. Si el conductor tiene la forma de una espira cerrada, no 𝐵 Cuando un alambre por el que circula una corriente eléctrica I se sitúa en el interior de un campo magnético existe ninguna fuerza neta sobre ella debido a que las distintas fuerzas ejercidas sobre la espira se suman superficie resulte perpendicular a la inducción magnética �⃗ como se muestra en la figura 8.15b. vectorialmente dando una resultante nula. Sin embargo, en general las fuerzas magnéticas producen un par o 𝐵 momento sobre la espira que tiende a hacer girar a la espira como se muestra en la figura 8.15a, de modo que su Para mostrar esta situación consideremos una espira rectangular de lados a y b por la que circula una corriente constante I como se muestra en la Figura 8.15c. La espira se encuentra en una región en donde existe un campo magnético uniforme paralelo al plano de la espira. (a) (b) (c) Figura 8.15. (a) Espira de corriente en el interior de un campo magnético, (b) espira con el área perpendicular al campo magnético y (c) Fuerza y Momento (torque) magnético sobre una espira de corriente Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira serán: Fuerza sobre AB     = I (l AB j ) xBj ⇒ F1 0 F1 = (8.29) Fuerza sobre el alambre BC      F2 =lBC k ) xBj ⇒ F2 = I( − IaBi (8.30) Fuerza sobre el conductor CD     F3 =I (−lCD j ) xBj ⇒ F3 =0 (8.31) Fuerza sobre el conductor DA      F4 =−lDA k ) xBj ⇒ F4 = I( + IaBi (8.32) Analizando las ecuaciones (8.29), (8.30), (8.31) y (8.32), se observa que las fuerzas sobre los lados AB y CD son nulas y que las fuerzas sobre los lados BC y CD son iguales en magnitud pero sentido opuesto formando estas dos fuerzas una cupla o par de fuerzas. La fuerza neta sobre la espira sigue siendo nula pero el momento respecto a cualquier punto es diferente de cero. El momento de la fuerza F2 respecto del punto O, es     b    M 2 = r2 xF2 =  j  x(− IaBi ) = 1 IB(ab )k 2 (8.33) 2  354
  • 12. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. El momento de la fuerza F4 respecto del punto O, es     b    M 4 = r4 xF4 =  − j  x(IaBi ) = 1 IB(ab )k 2 (8.34)  2  El momento total con respecto al punto O debido a todas las fuerzas será      MT = M1 + M 2 + M 3 + M 4    M T = 0 + 1 IB(ab)k + 0 + 1 IB(ab)k 2 2 (8.35)   M T = IB(ab)k Pero el producto (ab) es igual al área de la espira A, entonces el momento se expresa   M T = IBAk (8.36) El momento resulta igual al producto de la corriente eléctrica I, por el área A de la espira por el campo magnético B. Este momento tiende a hacer girar a la espira alrededor del eje Z. normal �⃗ al plano de la espira forme un ángulo el campo magn 𝑛 �⃗, y los lados de la espira son 𝐵 Considere ahora un circuito rectangular que transporta una corriente I colocado de tal forma que el vector unitario θ con ético perpendiculares al campo magnético, como se muestra en la figura 8.16. (a) (b) Figura 8.16. (a) Fuerzas sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme. La fuerza resultante es cero pero la magnitud del momento (torque) es diferente de cero, (b) el momento de torsión es máximo cuando la normal a la espira es perpendicular al campo magnético Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira son: Fuerza sobre el conductor AB     F1 = I (−l AB i ) x(− Bsenθi + B cos θj )   (8.37) F1 = −bIB cos θk Fuerza sobre el conductor CD     F3 = I (l CD i ) x(− Bsenθi + B cos θj )   (8.38) F3 = +bIB cos θk Fuerza sobre el conductor BC 355
  • 13. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C.     F2 = I (l BC k ) x(− Bsenθi + B cos θj )    (8.39) F2 = −aIB(cos θi + senθj ) Fuerza sobre el conductor DA     F4 = I (−l DA k ) x(− Bsenθi + B cos θj )    (8.40) F4 = + aIB(cos θi + senθj ) Las ecuaciones (35), (36), (37) y (38), muestran una vez más que la fuerza neta sobre la espira es cero, veamos ahora que sucede con los momentos respecto al punto O. Momento de la fuerza F1 con respecto al punto O   M 1 = r1 xF1 = (− 1 ak )x(− bIB cos θk )    2  M1 = 0 (8.41) Momento de la fuerza F3 con respecto al punto O   M 3 = r3 xF3 = ( 1 ak )x(− bIB cos θk )    2  (8.42) M3 = 0 Momento de la fuerza F2 con respecto al punto O       M 2 == ) x  − aIB ( cos θ i + senθ j )  r2 xF2 ( − 1 bi  2    (8.43) M 2 = 2 ( ab ) IBsenθ k 1 Momento de la fuerza F1 con respecto al punto O       = r4 xF4 M4 = ( bi ) x  aIB ( cos θ i + senθ j )  1 2     M 4 = 2 ( ab ) IBsenθ k 1 (8.44) El momento total respecto al punto O será:      M T = M1 + M 2 + M 3 + M 4    M T = 0 + 1 IB(ab) senθ k + 0 + 1 IB(ab) senθ k 2 2   M T = IBAsenθ k (8.45) La magnitud del momento será M T = IBAsenθ (8.46) Si en lugar de una sola espira se tiene N espiras del mismo tamaño. El momento sobre toda la espira será M = (NIA)Bsenθ (8.47) Se define al momento dipolar magnético ⃗ como una cantidad vectorial perpendicular al plano del circuito y está 𝜇 expresado mediante la ecuación   µ = NIAn (8.48) Entonces la ecuación (41) se escribe 356
  • 14. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. M = µ Bsenθ (8.49) Ecuación que en forma vectorial se escribe    M = µ xB (8.50) Esta ecuación es similar a aquella obtenida para el momento producido por un campo eléctrico �⃗ , externo sobre un 𝐸 dipolo eléctrico M = µ E xE . Es necesario señalar que el sentido del momento dipolar magnético ⃗ es el de avance 𝜇    del tornillo de rosca derecha que gira en el mismo sentido que el de la corriente eléctrica. Es decir el sentido también se puede determinar mediante el uso de la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 8.17. Las unidades del momento dipolar magnético son el amperio por metro2 (A.m2) Figura 8.17. Regla de la mano derecha para determinar el momento dipolar magnético de una espira circular que transporta una corriente en sentido antihorario. Debido a que, cuando una espira que transporta corriente se encuentra dentro de un campo magnético externo, obra un momento de torsión, deducimos que debe hacerse trabajo positivo o negativo mediante un agente externo para cambiar la orientación de la espira. Es decir, una espira de corriente o cualquier dipolo magnético tienen una energía potencial asociada con su orientación en el campo magnético. El trabajo hecho por el agente externo para rotar el dipolo magnético desde un ángulo θ 0 a un ángulo θ está dado por θ θ Wext =U − U 0 =∫ Mdθ =∫ µ Bsenθ dθ =µ B (cos θ 0 − cos θ ) (8.51) θ0 θ0 Puesto que Wext = - W, donde W es el trabajo hecho por el campo magnético. Se puede determinar la energía para una rotación cualquiera giro asumiendo que U0 = 0 cuando el momento dipolar magnético y el campo magnético son perpendiculares. Entonces la energía potencial en cualquier posición será   U =θ = − µ B cos − µ .B (8.52) La configuración es de equilibrio estable cuando ⃗ 𝑚 se encuentra alineado paralelamente con �⃗, siendo U un 𝑝 𝐵 mínimo con 𝑈 𝑚𝑖𝑛 = −𝜇𝐵. Por otro lado, cuando ⃗ y �⃗ son anti-paralelos la energía potencial es un máximo 𝜇 𝐵 𝑈 𝑚𝑎𝑥 = +𝜇𝐵, en estas condiciones el sistema es inestable. 8.7. Fuerza magnética sobre un dipolo magnético. En la sección anterior se ha demostrado que, la fuerza que experimenta una espira de corriente (dipolo magnético) localizada en un campo magnético uniforme es nula. ¿Qué sucedería si el dipolo magnético se encuentra en un campo magnético no uniforme?. En este caso debemos esperar que la fuerza magnética neta sobre el dipolo sea Para ilustrar esta situación consideremos un pequeño dipolo cuyo momento dipolar ⃗ 𝑚 = ⃗ es localizado a lo largo 𝑝 𝜇 diferente de cero. del eje de un imán en forma de barra, como se muestra en la figura 8.18, 357
  • 15. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. uniforme. Así, puede aplicarse una fuerza externa para mover el dipolo hacia la derecha. La fuera 𝐹𝑒𝑥 ejercida por un agente externo para mover al dipolo una distancia ∆𝑥 hacia la derecha está dada por El dipolo experimenta una fuerza atractiva ejercida por el imán cuando el campo magnético en el espacio no es Fex (∆x) = ∆U = − µ B( x + ∆x) + µ B( x) = − µ[ B( x + ∆x) − B( x)] (8.53) Para desplazamientos ∆𝑥 pequeños, la fuerza puede expresarse en la forma Figura 8.18. Un dipolo magnético en la cercanía de un imán en forma de barra [ B ( x + ∆x) − B ( x)] d B −µ Fex = = −µ (8.54) ∆x dx < 0, es decir el campo magnético disminuye con un aumento de la 𝑑𝐵 𝑑𝑥 La cual es una cantidad positiva ya que distancia x. esta es precisamente la fuerza necesaria para mover el dipolo en contra de la atracción magnética ejercida por la barra.- En forma general la fuerza magnética se expresa en la forma dB d   = µ Fm = ( µ .B ) (8.55) dx dx Utilizando la definición de gradiente la expresión anterior se escribe   Fm = ∇( µ .B) (8.56) 8.8. Movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético. Una característica importante de la fuerza magnética que actúa sobre una carga en movimiento en el interior de un campo magnético es que dicha fuerza es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. Por consiguiente la fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula y la energía cinética de ésta no sufre alteración por acción de dicha fuerza, lo único que hace la fuerza magnética es modificar la dirección de la velocidad y no su magnitud, En el caso en el cual la velocidad de la carga sea perpendicular al campo magnético considerado uniforme, como se Para encontrar una relación entre el campo magnético �⃗, la velocidad ⃗ , el radio del círculo r, se aplica la segunda muestra en la figura 8.19, la fuerza magnética nos da la fuerza centrípeta responsable del movimiento circular. 𝐵 𝑣 ley de Newton en dirección normal, esto es: ∑ Fn = ma n mv 2 Fm = qvB = r De donde se obtiene el radio de la órbita descrita por la partícula cargada mv r= (8.57) qB 358
  • 16. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. De otro lado la velocidad angular con que gira la partícula cargada está dada por v v q ω= = ⇒ω = B (8.58) r (mv / qB ) m Esta ecuación nos indica que la velocidad angular con que gira la partícula es independiente de la velocidad v y sólo depende de la carga q, de la masa m y del campo magnético B. La expresión vectorial de la velocidad angular está dad por  q ω = −  B (8.59) m El signo menos indica que la velocidad angular tiene un sentido opuesto a la dirección del campo de inducción magnético. (a) (b) (c) Figura 8.19. (a) Movimiento de una partícula cargada dentro de un campo magnético uniforme. (b) Haz de electrones moviéndose en una trayectoria circular dentro de un campo magnético Por otro lado, si la dirección de la velocidad inicial no es perpendicular al campo magnético, la componente de la donde ⃗ es ahora la componente perpendicular al campo �⃗. velocidad paralela al campo es constante pero no existe ninguna fuerza paralela al campo. En estas condiciones la 𝑣 𝐵 carga se mueve describiendo una hélice (véase la figura 8.20a), cuyo radio de hélice está dado por la ecuación (56), Figura 8.20. (a) Movimiento de una carga puntual que inicialmente tiene componente perpendicular y paralela al campo magnético, (b) Movimiento de una partícula cargada en el interior de la botella magnética El movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético no uniforme es aún más complejo. La figura 8.20b, muestra el campo producido por dos bobinas separadas cierta distancia. Si una partícula entra en esta región experimentará fuerzas hacia el centro en las regiones cercanas a las bobinas y si esta tiene energía cinética suficiente circulará de un lado a otro en el campo producido por las bobinas. Este campo se denomina botella magnética. 359
  • 17. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. En forma análoga el campo magnético terrestre no uniforme atrapa a las partículas cargadas provenientes del sol en regiones en forma de rosquillas que circundan a la tierra, como se muestra en la figura 8.21. Estas regiones se denominan cinturones de radiación Van Allen (a) (b) Figura 8.21. (a) Cinturones de radiación Van Allen alrededor de la tierra. (b) auroras boreales originadas por el movimiento de las partículas cargadas dentro del campo magnético. 8.9 El motor de corriente continua. Un motor eléctrico es aquel dispositivo que trabaja o se alimenta de corriente contínua. Está formado generalmente por las siguientes partes. 8.9.1. Partes principales  Un inductor o estator. Es un electroimán formado por un número par de polos. Las bobinas que las arrollan son las encargadas de producir el campo inductor al circular por ellas la corriente de excitación.  Inducido o rotor (arrollamiento de inducido). Es una pieza giratoria formada por un núcleo magnético alrededor del cual va el devanado de inducido sobre el que actúa el campo magnético.  Colector de delgas: Es un anillo de láminas de cobre llamadas delgas, dispuesto sobre el eje del rotor que sirve para conectar las bobinas del inducido con el circuito exterior a través de las escobillas.  Escobillas. Son unas piezas de grafito que se colocan sobre el colector de delgas, permitiendo la unión eléctrica de las delgas con los bornes de conexión del inducido. Al girar el rotor, las escobillas van rozando con las delgas, conectando la bobina del inducido correspondiente a cada par de delgas con el circuito exterior. El motor y su estructura básica se muestra en la figura 8.22. 8.9.2. Funcionamiento. El motor de CC basa su funcionamiento en la fuerza ejercida por el campo magnético de un imán sobre un paralelo al flujo de corriente eléctrica. El par torsor ��⃗ que se origina es ��⃗ = ⃗ 𝑥𝐵. En la figura 8.23, cada 𝜇 �⃗ elemento en forma de espira la cual transporta una corriente. Se obtendrá el valor máximo de fuerza 𝑀 𝑀 cuando el campo magnético sea perpendicular al conductor y tendrá una fuerza nula cuando el campo sea uno de los segmentos del conmutador hace contacto con uno de los bornes, o escobillas de un circuito externo que incluye una fuente de fem. Esto hace que entre la corriente por uno de los lados del rotor y salga por el otro. El rotor al están en el campo magnético producido por el imán, gira en sentido anti horario debido al par producido por el campo sobre la corriente (véase figura 8.23a). 360
  • 18. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. Figura 8.22. Estructura básica de un motor de corriente contínua. En la figura 8.23b, se observa al rotor girado 90° respecto a su posición inicial. Si la corriente a través del rotor fuese constante, el rotor estaría en equilibrio. Pero es en estos instantes en que entra en juego el conmutador, ahora cada escobilla está en contacto con ambos segmentos del conmutador. Por tanto, aquí no hay diferencia de potencial entre los conmutadores siendo la corriente en el rotor igual a cero y el momento magnético es cero. El rotor sigue girando en sentido anti horario debido a su inercia y una vez más fluye corriente a través del rotor como se muestra en la figura 8.23c. Pero ahora la corriente entra por el lado de color azul y sale por el rojo, esto es una situación opuesta a la figura 8.23a. En tanto que el sentido de la corriente se ha invertido con respecto al rotor, el cual ha girado 180°. El motor de la figura 8.23 es de una sola espira. En los motores prácticos existen muchas espiras aumentándose de este modo el momento magnético y como tal aumenta también el momento torsor. Debido a que un motor convierte energía eléctrica en mecánica, requiere entonces de una alimentación de energía eléctrica. Si la diferencia de potencial entre sus bornes de Vab y la corriente es I, entonces la potencia de alimentación será P =VabI. Aun cuando la resistencia del devanado es aproximadamente nula, debe existir siempre una diferencia de potencial para que la potencia P sea diferente de cero. Veremos más adelante la aparición de una fem inducida la que provoca una fuerza contra electromotriz. Figura 8.23 Diagrama esquemático de un motor simple de CC. El rotor es una espira de alambre que gira en torno a un eje. Los extremos del rotor están acoplados al conmutador. Los segmentos del conmutador están aislados unos de otros. 8.10 El efecto Hall. E. C Hall descubrió que cuando una placa metálica por la que pasa una corriente I se coloca en un campo magnético perpendicular a ella, aparece una diferencia de potencial entre puntos opuestos en los bordes de la placa. Este efecto se denomina efecto Hall. 361
  • 19. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. Para mostrar dicho fenómeno consideremos una placa metálica que transporta una corriente I, como se muestra en la figura 8.24. Supongamos además que los portadores de carga eléctrica son los electrones cuya carga es q = - e. Cuando se aplica un campo magnético B, perpendicular a la placa, en el sentido del eje +y, los electrones se encuentran sometidos a la fuerza magnética expresada por    ( Fm = ( −e ) ve xB )    Fm =−e ) ( −ve ixBj ) (   (8.60) Fm = e ve Bk (a) (b) Figura 8.24. (a) Conductor de ancho t instalado en circuito y sometido a un campo magnético, (b) los electrones experimentan una fuerza magnética FB de tal manera que son desplazados hacia el lado superior de la placa La ecuación (8.60) indica que los electrones resultan sometidos a una fuerza en la dirección + z, es decir los campo eléctrico �⃗ 𝐻 paralelo al eje +z. La fuerza debido a este campo eléctrico será Fe = −eE dirigida hacia abajo, electrones son desviados al lado superior de la placa, el cual resulta cargado negativamente. Por lo tanto, el lado 𝐸 inferior resulta cargado positivamente al tener una deficiencia de electrones, como resultado de esto aparece un   llegando en algún instante a contrarrestar a la fuerza magnética debida al campo magnético, produciéndose el equilibrio (véase la figura 8.25a). Esto a su vez da lugar a una diferencia de potencial vertical entre los bornes opuestos del conductor, siendo el lado superior el que está a un potencial menor que el inferior; dicha diferencia de potencial es proporcional al campo magnético. Para mostrarlo, observe que las dos fuerzas que actúan sobre los electrones se encuentran en equilibrio, esto es   F = Fe + Fm     F = −eE + (− e )v xB = 0 De donde se obtiene    E H = −ve xB (8.61) La magnitud del campo eléctrico será = v= ve B EH e B sen90º (8.62) Teniendo en cuenta que la diferencia de potencial está dada por ∆V H = E H d (8.63) Remplazando la ecuación (50) en la ec. (51), resulta 362
  • 20. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. ∆VH = ve Bd (8.64) A partir de las medidas de la diferencia de potencial para una cinta de tamaño determinado por la que circula una corriente I en el interior de un campo magnético B se puede determinar el número de portadores de carga por unidad de volumen. Teniendo en cuenta que la densidad de corriente J está dada por J = nev d La velocidad de los portadores es J ve = (8.65) ne Al sustituir la ecuación (53) en la ecuación (52), da como resultado  J  ∆V H =   Bd (8.66)  n.e  Recordando que (J = I/A), la expresión anterior se escribe IBd ∆V H = (8.67) n.e. A De donde se obtiene que el número de portadores por unidad de volumen está dado por IBd n= (8.68)* eA∆V Un análisis idéntico pero esta vez usando portadores de carga positivo permite obtener la misma ecuación (56)* con la única diferencia es que los portadores de carga positivos se acumularían en la parte superior dejando un exceso de portadores negativos en la parte inferior (véase la figura 8.25b) (a) (b) Figura 8.25. (a) Si los portadores son negativos el borde superior se carga negativamente, dicho lado se encuentra a un potencial menor al del lado inferior, (b) Si los portadores son positivos el borde superior se carga positivamente, dicho lado se encuentra a un potencial mayor al del lado inferior 8.11. Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en el interior de campos magnéticos. En esta sección se describe algunas aplicaciones de los principios formulados en el capítulo. Se sugiere al lector leerlo detenidamente y ampliar sus fundamentos con la lectura del mimo tema proporcionado por otros autores. 8.11.1 Selector de velocidades. 363
  • 21. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. Cuando se produce un haz de partículas cargadas en un filamento caliente (cátodo), no todas las partículas tienen la misma velocidad. Una forma cómo seleccionar un conjunto de partículas que tengan la misma rapidez es usar el dispositivo mostrado en la figura 8.26a, en donde se observa la presencia de un campo eléctrico y un campo magnético mutuamente perpendiculares a este se llama selector de velocidades. En la figura se observa una partícula con carga +q, masa m, que ha sido liberada en la fuente de iones con una velocidad v y experimenta una fuerza eléctrica ⃗ 𝐸 = 𝑞𝐸 , hacia abajo y una fuerza magnética ⃗ 𝐵 = 𝑞𝑣 𝑥𝐵, hacia arriba. Si se �⃗ ⃗ �⃗ atraviesa una ranura entrando en el espacio donde el campo eléctrico y magnético son perpendiculares. El campo 𝐹 𝐹 eléctrico está dirigido hacia abajo y el campo magnético ingresando al plano del dibujo. Por tanto, la partícula +q escogen las magnitudes de los campos de tal manera que las fuerza se equilibren, la fuerza neta sobre +q será nula. Entoces aplicando la segunda ley de Newton al diagrama de cuerpo libre (figura 8.26b), se tiene ∑F y = qvB = 0⇒ qE E (8.69) v= B Es decir solamente aquellas partículas que tengan la misma velocidad v pasará a través de la ranura de S2 sin desviarse. Figura 21. (a) selector de velocidades de partículas cargadas, (d) DCL de una partícula positiva dentro de los campos cruzados. 8.11.2 Experimento de Thomson J. J. Thomson (1856 – 1940) utilizó el aparato mostrado en la figura 22 para medir la relación de carga a masa del electrón. El aparato consiste de un tubo de vidrio en cuyo interior se ha hecho alto vacío y en el cual se aceleran electrones provenientes del cátodo caliente y se reúnen en un haza mediante una diferencia de potencial ∆V entre los dos ánodos. La velocidad de los electrones es determinada por el potencial acelerador ∆V. Utilizando la conservación de la energía se tiene 1 2 2e(∆V ) mv = e[∆V ] ⇒ v = (8.70) 2 m Los electrones pasan entre las placas e inciden en la pantalla del extremo del tubo, la cual está recubierta de un material fluorescente que emite luz en el punto de impacto. Los electrones pasan en línea recta entre las placas cuando se cumple la ecuación (8.69), al remplazar esta ecuación en la ecuación (8.70) se riene E 2e(∆V ) e E2 = = ⇒ (8.71) B m m 2 B 2 ∆V En esta ecuación todas las cantidades del segundo miembro se pueden medir por tanto se puede determinar la relación e/m. El aspecto más importante del experimento de Thomson es que encontrón un solo valor para e/m. Es decir esta magnitud no depende ni del material del cátodo ni del gas residual presente en el tubo ni de ningún otro aspecto del experimento. Esta independencia permitió descubrir la primera partícula subatómica que ahora llamamos 364
  • 22. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. electrón. Así mismo Thomson demostró que la rapidez de los electrones eran casi un décimo de la velocidad de la luz. El valor más preciso de e/m es e = 1, 758820174.1011 C / kg (8.72) m Años posteriores al descubrimiento de Thomson, Robert Millikan pudo medir la carga del electrón con una alta precisión permitiendo de esta manera encontrar la masa del electrón obteniéndose: me = 9,10938188.10−31 kg (8.73) Figura 22. Aparato de Thomson para medir la relación e/m del electrón 8.11.3 Espectrómetro de masas. Un espectrómetro de masas es un dispositivo que se emplea para separar iones dentro de una muestra que poseen distinta relación carga/masa. La mezcla puede estar constituida por distintos isótopos de una misma sustancia o bien por distintos elementos químicos. Existen distintos modelos de espectrómetros. En la figura anterior se ha representado un esquema de su principio de funcionamiento. Todos los elementos del espectrómetro deben estar en el interior de una cámara de vacío. La muestra gaseosa (situada a la izquierda de la figura) se ioniza mediante un haz de electrones. Los iones positivos son acelerados por un campo eléctrico. Entre las placas aceleradoras existe un campo eléctrico, por lo que los iones experimentarán una fuerza dada por:   Fe = qE Donde q es la carga de los iones positivos. A continuación el haz de iones pasa por una zona del espacio donde existe un campo magnético B. La fuerza que el campo magnético hace sobre una carga es    Fm = q[vxB ] Fuerza que es perpendicular al campo magnético y al vector velocidad de la carga (en este caso, de los iones positivos). 365
  • 23. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. Figura 22. Espectrómetro de masas el cual utiliza un selector de velocidad para obtener partículas con velocidad constante posteriormente las partículas se mueven en trayectorias curvilíneas (semicircunferencias para después impactar sobre una pantalla fluorescente Como la fuerza (representada en verde en la figura) es perpendicular a la trayectoria de los iones, éstos tendrán aceleración normal y se desviarán describiendo una trayectoria curva. Utilizando la la segunda ley de Newton, se tiene mv 2 ∑ Fn = man ⇒ qvB = R mv R= q B Para un valor fijo de la velocidad y del módulo del campo magnético, cuanto menor sea el cociente m/q menor será el radio de curvatura R, de la trayectoria descrita por los iones, y por tanto su trayectoria se deflectará más. Si la muestra está constituida por isótopos del mismo elemento, todos tendrán la misma carga, pero los que sean más pesados se deflectarán menos. Por tanto, haces de iones de distinta relación carga/masa llegarán a puntos diferentes de un detector, y, en función de la intensidad de las señales que dejan, se determina la abundancia relativa de cada tipo. El primer espectrómetro de masas fue desarrollado en la década de 1920 por el físico inglés Francis William Aston, y recibió en 1922 el Premio Nobel de Química por su desarrollo. 366
  • 24. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. 8.12 PROBLEMAS RESUELTOS. W = ∆Ek (2) magnético dado por �⃗ = (1,4𝚤 + 2,1𝚥 𝐵 ⃗ ⃗) T. 1. Un electrón es lanzado dentro de un campo Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene una velocidad ⃗ = (3,7. 105 ⃗) m/s. 𝑣 𝚥 Determine la expresión vectorial de la fuerza 1 2 magnética sobre dicho electrón si se mueve con mv qα (∆V ) (3) = 2 Solución La velocidad de la partícula será       i j k i j k    2qα (∆V ) = qvxB v x F = v y = 0 3,7.105 0 vz v= m Bx By Bz 1,4 2,1 0 Debido a que la partícula describe un movimiento   circular, la fuerza magnética siempre se dirige al F = −1, 6.10−19 [−1, 4(3, 7.105 )]k centro de la trayectoria. Entonces se tiene   F = (8,3.10−14 k ) N Rta v2 ∑ Fn = man ⇒ qvB = m ⃗ = (6. 106 ⃗) m/s en una región del espacio en 𝑣 𝚥 r 2. Un protón se está moviendo con una velocidad mv m 2qα (∆V ) �⃗ = = ecuación �⃗ = (3,0𝚤 − 1,5, ⃗ + 2𝑘) T. ¿Cuál es la 𝐵 ⃗ 𝚥 r donde el campo magnético viene expresado por la qα B qα B m magnitud de la aceleración en este instante?. 1 2mqα (∆V ) r= B qα Solución     = = FB ma q p vxB    1 2(3,3,10−27 kg )(1000V ) r= i j k 0, 2T 2(1, 6.10−19 C )  qp   1, 6.10−19 = = a (vxB ) 6.106 0 0 r = 2, 27.10−2 m R ta m 1, 67.10−27 3 -1,5 2    4. Una varilla conductora de 72 cm de longitud tiene = 0,958.108 (12.106 i − 9.106 k ) a una masa de 15 g. La varilla se encuentra    suspendida en un plano vertical por un par de a = (11.496i − 8, 622k ).1014 m / s 2 alambres flexibles dentro de un campo magnético  B = 0,54 T cuya dirección es saliendo de la página a = 14,37.1014 m / s 2 Una partícula alfa (m = 3,3.10-27 kg, 𝑞 = 2| 𝑒|) es tal como se muestra en la figura. ¿Qué corriente debe fluir a través de la varilla para que la tensión 3. en los alambres soportantes sea igual a cero? acelerada desde el reposo a través de una diferencia 𝐵 = 0,2 𝑇, perpendicular a la dirección de su de potencial de 1 kV. Entonces la partícula ingresa en una región donde existe un campo magnético movimiento. ¿Cuál es el radio de la trayectoria que describe la partícula alfa?. Solución El trabajo que realiza el campo eléctrico en la región donde existe una diferencia de potencial Solución sobre la partícula alfa es Para que las tensiones en los alambres verticales W qα (∆V ) = (1) sean nulas entonces la fuerza magnética debo estar dirigida hacia arriba para que equilibre al peso. Entonces aplicando la regla de la mano derecha so Por otro lado el trabajo es igual a la variación de obtiene que la corriente debiera estar dirigida hacia energía cinética, es decir la izquierda es decir de Q a P tal como se muestra en el DCL de la varilla 367
  • 25. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. Usando coordenadas cilíndricas tenemos     dF = θ er + B cos θ ez ) I (−dleϕ ) x( Bsen    = IBdlsenθ ez − IBdl cos θ er dF Debido a la simetria que presenta la figura, las La fuerza magnética se expresa mediante la componentes radiale se cancelan mutuamente ya ecuación que existe una componente idéntica en el lado izaquierdo. Entonces sólo queda la componente z    ( )   = I ∫ dlxB I ∫ −dli x( Bk ) FB =   FB = IlQP Bj  FB = IlQP B Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene La fuerza magnética neta que actua sobre el anillo ∑F será y = ⇒ FB = = 0 W mg     IlQP B = mg = F ∫=  IBdlsen= dF ∫ C θe z ∫ IBsenθ ez dl C mg 0, 015 kg (9,8m / s 2 )   I= = F = 2π IBsenθ ez lQP B 0, 72 m(0,54T )  I = 378 mA Rta F = 2π IBsenθ 5. Un imán en forma de barra con su polo norte arriba La fuerza magnética sobre el anillo es repulsiva ya es localizado simétricamente en el eje y debajo de que está dirigida hacia arriba en la dirección +z. potencial ∆𝑉 = 500 𝑘𝑉 atraviesa un campo un anillo conductor de radio r el cual transporta una corriente I en sentido horario como se muestra en la 6. Un protón, acelerado por una diferencia de figura. En la localización del anillo, el campo magnético forma un ángulo θ con la vertical. ¿Cuál magnético homogéneo transversal cuya inducción es la magnitud y dirección de la fuerza resultante es B = 0,51 T. El espesor de la zona del campo es d sobre el anillo? = 10 cm (véase la figura. Determine: (a) el ángulo α de desviación del protón respecto a la dirección inicial del movimiento, (b) el desplazamiento vertical ∆y1 al salir de la región del campo magnético (c) el momento lineal de la partícula cuando sale del campo magnético. Considere que mp = 1,67.10-27kg y qP=1,6.10-19C. Solución ⃗ Para evaluar la fuerza magnética sobre el anillo se corriente pequeños 𝐼𝑑𝑙 , como se muestra en la divide a éste en elementos diferenciales de figura. La fuerza sobre el elemento será    Solución dF = IdlxB Datos e incógnitas. 368
  • 26. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. = 500 = 0,51T d 10.10−2 m ∆V V B = senα = d 10 = = 1, 67.10−27 kgq p 1, 6.10−19 C mp = R 20  α 30° = α = ???; ∆= ???; = ??? y1 p Se procede ahora a determina el desplazamiento Al ingresar el protón en la región donde existe un vertical campo magnético, experimentará una fuerza expresada como ∆y1 = R − R cos α = 20.10−2 m[1 − cos 30°]    ∆y1 = 679cm 2, = q= q p (v0i ) x(− Bk ) Fm vxB ˆ ˆ  Fm = q p v0 Bj ˆ Finalmente el vector momento lineal está dado por Fm = q p v0 B   (1) p = = v0 cos 30 i + v0 sen30° ˆ] mv m p [ ˆ j  −27 Debido a que el protón en = 1, 67.10 kg (9, 788.10 m / s )[0,8i + 0,5 ˆ ] ˆ 6 el interior del campo p j describe un movimiento circular, la aplicación de la  segunda ley de Newton nos da = [14.16.10−21 i + 8,17.10−21 ˆ]kg .m / s p ˆ j ∑ Fn = n ma 7. Una barra cilíndrica de masa m radio R es colocada 2 sobre dos rieles paralelos de longitud l separados v q p v0 B = m 0 por una distancia d, como se muestra en la figura.la R �⃗ varilla lleva una corriente I y rueda sin deslizar a lo 𝐵 mv0 largo de los rieles los cuales están ubicados en un R= (2) qp B campo magnético uniforme dirigido verticalmente hacia abajo. Si la barra está inicialmente en reposo, ¿Cuál es su velocidad Ahora se procede a determinar la velocidad con cuando abandona los rieles. que ingresa el protón al interior del campo magnético. Remplazando la ecuación (4) en (3), resulta 1 2 mv0 = q∆V 2 1 [1, 67.10−27 kg ]v0 = 1, 6.10−19 C[5.105V ] 2 2 v0 = 9, 788.106 m / s (3) Solución En la figura se muestra la trayectoria descrita por el Para resolver el ejemplo se utiliza el sistema de protón en el campo y la orientación del vector referencia mostrado en la figura velocidad con que abandona el campo La fuerza magnética que actúa sobre la barra cilíndrica será    ( )  = I= I ∫ dli x(− Bk ) F ∫ dlxB   F = IBd ( j ) 369
  • 27. Física General III Campo magnético y fuerza magnética Toribio Córdova C. El trabajo total hecho por la fuerza magnética sobre Al ingresar al campo experimenta una fuerza la barra cilíndrica cuando se mueve a través de la magnética expresada por región es.    f   f   l = q= qe (v0i ) x(− Bk ) Fm e vxB ˆ ˆ = Wi → f ∫= ∫ F .ds i i IBd ( j ).dxj IBd ∫ dx = 0  Fm = − qe v0 Bj ˆ Wi → f = IBld El módulo de la fuerza magnética será Utilizando el teorema trabajo-energía cinética se tiene. Fm = qe v0 B (2) Wi → f =Ek = k ,tras + Ek ,rot ) f − ( Ek ,tras + Ek ,rot )i ∆ (E Debido a que el electrón en el interior del campo describe un movimiento circular, 𝐼 = 𝑚𝑅2 /2, y cuando la barra rueda sin deslizar se cumple que 𝑣 = 𝜔𝑅, la ecuación anterior se escribe Puesto que el momento de inercia de la barra es en la forma 1 1 3 IBld = mv 2 + mv 2 = mv 2 2 4 4 4I l B d v= 3m La aplicación de la segunda ley de Newton nos da ∑ Fn =an me 8. Un electrón es acelerado desde el reposo a través 2 de una diferencia de potencial de ∆V = 500 V, v0 entonces ingresa dentro de un campo magnético B qe v0 B = me R uniforme. Este campo hace que la partícula recorra mv media revolución en un tiempo de 2 ns. ¿Cuál es el R= e 0 (3) radio de su órbita?. qe B De otro lado la velocidad angular con que gira la partícula cargada está dada por v v q ω= = = e B r (me v / qe B) me 2π qe = B T me 2π me 2π (9,1.10−31 kg ) =B = qeT 1, 6.10−19 C[4.10−9 s ] B = 8.93.10−3 Tesla (4) Solución Remplazando las ecuaciones (1) y (4) en (3) En primer lugar se determina la velocidad del resulta electrón con que ingresa al campo magnético. me v0 9.1.10-31kg[1,33.107 m / s ] R= = 2qe ∆V 2(1, 6.10−19 C )(500V ) qe B 1,6.10-19 C[8,93.10−3 T ] =ve = me 9,1.10−31 kg ve = 1,33.107 m / s (1) R = 8, 43 mm Rta 370