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Universidad Nacional
 Federico Villarreal

                                    MATEMATICA
    Facultad de Educación
  Matemática - Física
                                       PURA
CALCULO INTEGRAL
                             Toribio Córdova C.




                            TEMA:
                                INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA                                       UNFV – BASE 2009




                ∫ �|𝒙| 𝟑 𝒆−𝒙 + 𝒙 �𝟐|𝒙 − 𝟑| + 𝟐�� 𝒅𝒙
                     𝟐                     𝟒                         𝟏
                 −𝟏
    1.


           Resolución
                                                1
            𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = |𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + �
                                                2
                                4




                 0                     1                1
           ⇒ � 𝑓(𝑥) + � 𝑓(𝑥) + � 𝑓(𝑥)
                −1                     0               2


                         𝐼1                𝐼2               𝐼3

                          𝐼1 = ∫−1 �|𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + 2�� 𝑑𝑥
                                   0               4                     1
               •



           −1 ≤ 𝑥              ≤0
           −1 ≤ 𝑥 ≤ 0                           − 1 − 3 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −3
              ⇒ |𝑥| = −𝑥                          − 4 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −3
                                                             ⇒ |𝑥 − 3| = 3 − 𝑥


                        0
                                                   1
               ⇒ 𝐼1 = � �(−𝑥)3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2(3 − 𝑥) + �� 𝑑𝑥
                                                   2
                                   4

                       −1


                     𝐼1 = ∫−1 �−𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 � 2 − 2𝑥�� 𝑑𝑥
                                0                  4        13




           −1 ≤ 𝑥             ≤0
           0 ≤ −2𝑥             ≤2
           13 13            13
              ≤   −2 𝑥 ≤2+
            2   2           2
           13 13         17
              ≤   −2 𝑥 ≤
            2   2         2
                      𝟏𝟑
                   ⇒ � − 𝟐𝒙� = 𝟔
                       𝟐




Toribio Córdova Condori                         UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física   2
INTEGRAL DEFINIDA                                                 UNFV – BASE 2009
                                 0                                            0                 0
               ⇒         𝐼1 = � �−𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥(6)� 𝑑𝑥 = − � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 + � 𝑥𝑑𝑥
                                               4                                      4

                                 −1                                          −1                −1

                                                                                  A

                             0
                    𝐴 = � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
                                      4

                            −1


                    𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = −𝑥 4             ⟶ 𝑑𝑢 = −4𝑥 3 𝑑𝑥

                    𝑆𝑖      𝑥=1       ⟶            𝑢 = −1
                            𝑥=0       ⟶            𝑢=0

                                  0
                                    1 −𝑥 4            1 0 𝑢        1 𝑢
                   ⇒ 𝐴=�               𝑒 (−4𝑥 3 𝑑𝑥) =   � 𝑒 (𝑑𝑢) =    𝑒
                                 −1 −4                −4 −1        −4
                                                                                                    0

                                                                                                    -1



                              1                 1
                         𝐴 = − (𝑒 0 − 𝑒 −1 ) = − (1 − 𝑒 −1 )
                              4                 4


                                  1                 𝑥2                      1
               ⇒         𝐼1 = − �− (1 − 𝑒 −1 )� + 6                     =     (1 − 𝑒 −1 ) + 3(02 − (−1)2 )
                                  4                 2                       4
                                                               0

                                                               -1




                             1                        11 𝑒 −1
                         𝐼1 = (1 − 𝑒 −1 ) + 3(−1) = −    −
                             4                         4   4



                                𝟏𝟏 𝒆−𝟏
               ⇒         𝑰𝟏 = −    −
                                 𝟒   𝟒


                    𝐼2 = ∫0 �|𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + 2�� 𝑑𝑥
                             1            4                         1
               •




           0≤ 𝑥≤1                                       0≤ 𝑥        ≤1
           ⇒ |𝑥| = 𝑥                                − 3 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −2
                                                     ⇒ |𝑥 − 3| = 3 − 𝑥




Toribio Córdova Condori               UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                      3
INTEGRAL DEFINIDA                                              UNFV – BASE 2009



                        0
                                                 1
               ⇒ 𝐼2 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2(3 − 𝑥) + �� 𝑑𝑥
                                                 2
                                 4

                       −1

                           0
                                                     13
                   𝐼1 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �               − 2𝑥�� 𝑑𝑥
                                                      2
                                              4

                           −1




           0≤ 𝑥           ≤1
           −2 ≤ −2𝑥                ≤0
           13     13        13
              −2≤    −2 𝑥 ≤
            2      2         2
           9 13         13
             ≤   −2 𝑥 ≤
           2   2         2

                                       𝟏𝟑
                           ⇒�             − 𝟐𝒙� = 𝟒
                                        𝟐

                               1                                   1                   1
                ⇒ 𝐼2 = � �𝑥 𝑒           3 −𝑥 4
                                                  + 𝑥(4)� 𝑑𝑥 = � 𝑥 𝑒   3 −𝑥 4
                                                                                𝑑𝑥 + 4 � 𝑥𝑑𝑥
                               0                                  0                    0

                                                                        B
                               1
                    𝐵 = � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
                                          4

                           0


                    𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = −𝑥 4                 ⟶ 𝑑𝑢 = −4𝑥 3 𝑑𝑥

                    𝑆𝑖     𝑥=0             ⟶        𝑢=0
                           𝑥=1             ⟶        𝑢=1

                                    −1
                                          1 −𝑥 4       1 0 𝑢       1 𝑢
                   ⇒ 𝐵=�                 − 𝑒 (−4𝑥 𝑑𝑥) = � 𝑒 (𝑑𝑢) =
                                                 3
                                                                     𝑒
                                          4            4 −1        4
                                                                                               0


                                   0
                                                                                               -1



                               1 0            1
                          𝐵=     (𝑒 − 𝑒 −1 ) = (1 − 𝑒 −1 )
                               4              4

                       1                 𝑥2                     1
                ⇒ 𝐼2 =   (1 − 𝑒 −1 ) + 4                    =     (1 − 𝑒 −1 ) + 2(12 − 02 )
                       4                 2                      4
                                                          1

                                                          0




Toribio Córdova Condori                   UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física         4
INTEGRAL DEFINIDA                                            UNFV – BASE 2009

                            1 1 −1   9 𝑒 −1
                     𝐼2 =    − 𝑒 +2 = −
                            4 4      4  4



                                9 𝑒 −1
               ⇒      𝑰𝟐 =        −
                                4   4




                    𝐼3 = ∫1 �|𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + 2�� 𝑑𝑥
                                2               4                1
               •



           1≤ 𝑥≤2                               1≤ 𝑥   ≤2
           ⇒ |𝑥| = 𝑥                            1−3 ≤ 𝑥−3≤2−3
           −2 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −1
                                                       ⇒ |𝑥 − 3| = 3 − 𝑥


                        2
                                                 1
               ⇒ 𝐼3 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2(3 − 𝑥) + �� 𝑑𝑥
                                                 2
                                 4

                       1

                            2
                                                    13
                   𝐼3 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �              − 2𝑥�� 𝑑𝑥
                                                     2
                                            4

                            1




           1≤ 𝑥           ≤2
           −4 ≤ −2𝑥                 ≤ −2
           13     13        13
              −4≤    −2 𝑥 ≤    −2
            2      2         2
           5 13         9
             ≤   −2 𝑥 ≤
           2   2        4

                                     𝟏𝟑
                           ⇒�           − 𝟐𝒙� = 𝟐
                                      𝟐

                                2                                2                   2
                ⇒ 𝐼3 = � �𝑥 𝑒         3 −𝑥 4
                                                 + 𝑥(2)� 𝑑𝑥 = � 𝑥 𝑒  3 −𝑥 4
                                                                              𝑑𝑥 + 2 � 𝑥𝑑𝑥
                                1                                1                   1

                                                                      C


Toribio Córdova Condori                    UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física    5
INTEGRAL DEFINIDA                                            UNFV – BASE 2009


                             2
                    𝑐 = � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
                                      4

                            1
                    𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = −𝑥 4             ⟶ 𝑑𝑢 = −4𝑥 3 𝑑𝑥

                    𝑆𝑖      𝑥=1           ⟶     𝑢 = −1
                            𝑥=2           ⟶     𝑢 = −16

                                  2
                                      1 −𝑥 4            1 −16 𝑢
                   ⇒ 𝐶=� −              𝑒 (−4𝑥 3 𝑑𝑥) = − �   𝑒 (𝑑𝑢)
                                 1    4                 4 −1

                                         1 −1 𝑢      1 𝑢                       1 −1
                                      𝐶 = � 𝑒 (𝑑𝑢) =   𝑒                   =     (𝑒 − 𝑒 −16 )
                                         4 −16       4                         4
                                                                     -1

                                                                     -16




                      1                    𝑥2                     1 −1
                ⇒ 𝐼3 = (𝑒 −1 − 𝑒 −16 ) + 2                    =     (𝑒 − 𝑒 −16 ) + 2(22 − 12 )
                      4                    2                      4
                                                          2




                          1 −1
                                                          1




                  𝐼3 =      (𝑒 − 𝑒 −16 ) + 3
                          4




                                 𝑒 −1 𝑒 −16
               ⇒         𝑰𝟑 =        −      +3
                                  4     4




                                          11 𝑒 −1    9 𝑒 −1     𝑒 −1 𝑒 −16
                            ⇒ 𝐼 = �−         −    �+� −     �+�     −      + 3�
                                           4   4     4  4        4     4




                                  ∴            𝑰 = − (𝒆−𝟏 + 𝒆−𝟏𝟔 )
                                                   𝟓      𝟏
                                                   𝟐      𝟒
                                                                                 Rpta




Toribio Córdova Condori               UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física          6
INTEGRAL DEFINIDA                                             UNFV – BASE 2009



            𝑰 = ∫ �𝒔𝒆𝒏 �                   𝝅𝒙� − 𝒔𝒆𝒏�𝒙 𝟐 � � 𝒅𝒙
                  √𝟐                 √𝟐                          𝝅
                 −𝟏                   𝟐                          𝟐
    2.



           Resolución


           −1 ≤ 𝑥 ≤ √2
             0 ≤ 𝑥2 ≤ 2
           ⇒ ⟦ 𝑥2 ⟧ = 0


                       √2
                                      √2             𝜋
           ⇒ 𝐼=�            �𝑠𝑒𝑛 �       𝜋𝑥� − 𝑠𝑒𝑛0. � 𝑑𝑥
                    −1                2             2

                       √2
                                 √2
           ⇒ 𝐼=�            𝑠𝑒𝑛 �   𝜋𝑥� 𝑑𝑥
                    −1            2


                          √2                            √2
            𝑆𝑒𝑎: 𝑢 =         𝜋𝑥            ⟶ 𝑑𝑢 =          𝜋𝑑𝑥
                          2                             2

            𝑆𝑖    𝑥 = √2             ⟶         𝑢= 𝜋
                                                     √2
                  𝑥 = −1           ⟶           𝑢=       𝜋
                                                     2

                     2          √2
                                           √2     √2          2   𝜋
           ⇒ 𝐼=             �        𝑠𝑒𝑛      𝜋𝑥 �   𝜋𝑑𝑥� ==    �     𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑢
                   √2𝜋        −1            2      2         √2𝜋 −√2𝜋         2




                          2
           ⇒ 𝐼=−                 𝑐𝑜𝑠𝑢
                                           𝜋


                       √2𝜋
                                               √2π
                                           −
                                                2



                          2                          √2𝜋      2            √2𝜋
           ⇒ 𝐼=−                (𝑐𝑜𝑠𝜋 − 𝑐𝑜𝑠              )=−     (−1 − 𝑐𝑜𝑠     )
                       √2𝜋                            2      √2𝜋            2


                                     ∴                  𝑰=      (𝟏   + 𝒄𝒐𝒔       )
                                                             √𝟐              √𝟐𝝅
                                                              𝝅               𝟐
                                                                                     Rpta



Toribio Córdova Condori                    UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física       7
INTEGRAL DEFINIDA                                      UNFV – BASE 2009



                                𝟑�
            𝑰=   ∫ � 𝒚𝟐 �               𝒅𝒚
                   𝟐 𝟒−𝒚 𝟐         𝟐
                  √𝟐
    3.


           Resolución

                  4 − 𝑦2
                                 3�
                  2                2
            𝐼=� � 2 �                   𝑑𝑦
               √2    𝑦



                      𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑐𝑎:
                                             𝑝
                   � 𝑥 (𝑎 + 𝑏𝑥 ) 𝑑𝑥
                          𝑚             𝑛




                                                                    3
            𝑚 = −2 , 𝑎 = 4             , 𝑏 = −1 , 𝑛 = 2 , 𝑝 =
                                                                    2

            𝑚+1      −2 + 1 3
                + 𝑝=       + =1 ∈ℤ
             𝑛         2    2

            𝑡2 𝑦2 = 4 − 𝑦2
            𝑡 2 = 4𝑦 −2 − 1        →             2𝑡𝑑𝑡 = −8𝑦 −3 𝑑𝑦
                                                 𝑡𝑑𝑡 = −4𝑦 −3 𝑑𝑦

                                                  𝑡𝑑𝑡
           ⇒ 𝐼 = � 𝑦 −2 (𝑡 2 𝑦 2 )       2�             �
                                       3�
                                                 −4𝑦 −3

                1 𝑦 −2 𝑡 3 𝑦 3         1                1
           ⇒ 𝐼=− �             . 𝑡 == − � 𝑦 4 𝑡 4 𝑑𝑡 = − �(𝑦 2 )2 𝑡 4 𝑑𝑡
                4    𝑦 −3              4                4

                  1     4  2
                                     1    16                  𝑡4
           ⇒ 𝐼 = − �� 2   � 𝑡 𝑑𝑡 == − � 2
                             4
                                                𝑡 𝑑𝑡 = −4 � 2
                                                 4
                                                                    𝑑𝑡
                  4  𝑡 +1            4 (𝑡 + 1)2            (𝑡 + 1)2



            𝑆𝑒𝑎 ∶ 1 + 𝑡𝑔2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
            𝑡 = 𝑡𝑔𝜃 ⟶       𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃

                              𝑡𝑔4 𝜃                     𝑡𝑔4 𝜃
           ⟹ 𝐼 = −4 �                 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 = −4 �         𝑑𝜃
                              𝑠𝑒𝑐 4 𝜃                   𝑠𝑒𝑐 2 𝜃



Toribio Córdova Condori                 UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física   8
INTEGRAL DEFINIDA                                                 UNFV – BASE 2009

                          𝑡𝑔2 𝜃(𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1)
           ⟹ 𝐼 = −4 �                        𝑑𝜃 − 4 � 𝑡𝑔2 𝜃(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)𝑑𝜃
                                𝑠𝑒𝑐 2 𝜃

                                                                                        𝑠𝑒𝑛2 𝜃
           ⟹ 𝐼 = −4 �(𝑡𝑔2 𝜃 − 𝑡𝑔2 𝜃. 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)𝑑𝜃 = −4 � �𝑡𝑔2 𝜃 −                                 . 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃� 𝑑𝜃
                                                                                        𝑐𝑜𝑠 2 𝜃


           ⟹ 𝐼 = −4 �(𝑡𝑔2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)𝑑𝜃 = −4 �� 𝑡𝑔2 𝜃𝑑𝜃 − � 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑑𝜃�


                                  𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃                   𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃
           ⟹ 𝐼 = −4 �(𝑡𝑔𝜃 − 𝜃) − � −      �� = −4 �𝑡𝑔𝜃 − 𝜃 − +      �
                                  2   4                     2   4

                                3𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃
           ⟹ 𝐼 = −4 �𝑡𝑔𝜃 −        +      �
                                2    4




                          � 𝑡2 + 1
                                                 t


                                     1

                              3         2     𝑡        1
             ⟹ 𝐼 = −4 �𝑡 −      𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + .        .        �
                              2         4 √𝑡 2 + 1 √𝑡 2 + 1

                              3                𝑡
             ⟹ 𝐼 = −4 �𝑡 −      𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 +            �
                              2          2(𝑡 2 + 1)




              𝑃𝑒𝑟𝑜:   𝑡2 𝑦2 = 4 − 𝑦2

                                                              4
                                                       𝑡2 =      −1
                                                              𝑦2

                                                              4 − 𝑦2
                                                       𝑡2 =
                                                                 𝑦2

                                                          �𝟒 − 𝒚 𝟐
                                                     ⟹ 𝒕=
                                                             𝒚

                                                                           �4−𝑦 2
                       �4 −      𝑦2          3        �4 −    𝑦2       1
             ⟹ 𝐼 = −4 �                  −     𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡              +                �
                                                                             𝑦
                          𝑦                  2           𝑦             2     4
                                                                             𝑦2




Toribio Córdova Condori              UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                          9
INTEGRAL DEFINIDA                                                            UNFV – BASE 2009

                                  �4 − 𝑦 2 3       �4 − 𝑦 2   𝑦�4 − 𝑦 2
             ⇒ 𝐼 = −4 �                   − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡          +           �
                                     𝑦     2          𝑦          8


                       0 3        0             √2 3      √2 √2. √2
             ⇒ 𝐼 = −4 � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 � � + 2(0)� − � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡    +     �
                       𝑦 2        𝑦             √2 2      √2   8


                               3 𝜋 1        5 3𝜋
             ⇒ 𝐼 = −4 �0 − (1 − . + )� = 4 � − �
                               2 4 4        4 8



             ∴                        𝑰= 𝟓−
                                                           𝟑𝝅
                                                               𝟐
                                                                   Rpta



             𝑰 = ∫𝟎
                         𝟑       𝒅𝒙
                             �|𝒙−𝟏|
    4.                       𝟑




           Resolución
                     3
                                 𝑑𝑥                    1
                                                                   𝑑𝑥         2
                                                                                       𝑑𝑥         3
                                                                                                           𝑑𝑥
            𝐼=�                               =�                         +�                  +�
                         �|𝑥 − 1|                          �|𝑥 − 1|               �|𝑥 − 1|            �|𝑥 − 1|
                         3                                 3                      3                   3
                     0                             0                      1                   2


                                                                    𝐼1                𝐼2                  𝐼3

                         𝐼1 = ∫
                                      1           𝑑𝑥
                               0          �|𝑥−1|
                                          3
                 •


                         0≤ 𝑥≤1
                         −1 ≤ 𝑥 − 1 ≤ 0
                         ⟹ |𝑥 − 1| = 1 − 𝑥


                                          1
                                                   𝑑𝑥
                         ⟹ 𝐼1= �
                                              √1 − 𝑥
                                              3
                                      0


            𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 1 − 𝑥                        ⟶ 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥

            𝑆𝑖       𝑥=1              ⟶            𝑢=0
                     𝑥=0              ⟶            𝑢=1




Toribio Córdova Condori                            UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                    10
INTEGRAL DEFINIDA                                                       UNFV – BASE 2009


                                    0
                                        −𝑑𝑢             1
                                                            −𝑑𝑢       1
                                                                                    3 2
                     ⟹ 𝐼1= �                       =�             = � 𝑢 3 𝑑𝑢 =        𝑢3
                                                                           −1


                                         √𝑢                 √𝑢                      2
                                                                                           1

                                         3                  3
                                1                   0                0

                          3
                                                                                           0



                     ⟹ 𝐼1= (1 − 0)
                          2



                                        3
                     ⇒     𝑰𝟏 =
                                        2



                      𝐼2 = ∫1
                            2           𝑑𝑥
                                �|𝑥−1|
                 •              3




                     1≤ 𝑥≤2
                     0≤ 𝑥−1≤1
                     ⟹ |𝑥 − 1| = 𝑥 − 1


                                    2
                                              𝑑𝑥
                     ⟹ 𝐼2= �
                                        √𝑥 − 1
                                        3
                                1


            𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥 − 1                  ⟶ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

            𝑆𝑖       𝑥=1    ⟶                𝑢=0
                     𝑥=2    ⟶                𝑢=1


                                    1
                                         𝑑𝑢         1
                                                                     3 2
                     ⟹ 𝐼2= �                  = � 𝑢              𝑑𝑢 = 𝑢3
                                                            −1


                                        √𝑢                           2
                                                            3
                                                                                1

                                        3
                                0                   0

                          3
                                                                                0



                     ⟹ 𝐼2= (1 − 0)
                          2



                                        3
                     ⇒     𝑰𝟐 =
                                        2




Toribio Córdova Condori                       UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física              11
INTEGRAL DEFINIDA                                           UNFV – BASE 2009


                      𝐼3 = ∫2
                            3           𝑑𝑥
                                �|𝑥−1|
                 •              3




                     2≤ 𝑥≤3
                     1≤ 𝑥−1≤2
                     ⟹ |𝑥 − 1| = 𝑥 − 1


                                    2
                                             𝑑𝑥
                     ⟹ 𝐼3= �
                                        √𝑥 − 1
                                        3
                                1


            𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥 − 1                  ⟶ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

            𝑆𝑖       𝑥=3    ⟶                𝑢=2
                     𝑥=2    ⟶                𝑢=1

                                2
                                        𝑑𝑢         2
                                                             3 2
                     ⟹ 𝐼3= �                 = � 𝑢 3 𝑑𝑢 =      𝑢3
                                                       −1


                                        √𝑢
                                        3
                                                             2
                                                                     2

                                1                  1                 1



                          3 2
                     ⟹ 𝐼3= (23 − 1)
                          2



                                        3 3
                     ⇒     𝑰𝟑 =           ( √4 − 1)
                                        2




            𝑹𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒔𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆:

              3 3 3√4 3
                            3

            𝐼= + +   −
              2 2  2   2



                           ∴                      𝑰 = �𝟏 + √ 𝟒�
                                                       𝟑     𝟑
                                                      𝟐
                                                                         Rpta




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INTEGRAL DEFINIDA                                  UNFV – BASE 2009




            𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 a𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝑰𝒎𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒂
                               𝒙      𝒂
    5.
                  ∞
               � �                −      � 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆.
                 𝟏        𝒙 𝟐 − 𝟑𝒂 𝒙 + 𝒂

            𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 "a" y calcular EL VALOR DE LA INTEGRAL.



           Resolución

                     ∞
                              𝑥      𝑎                𝑏
                                                           𝑥     𝑎
            𝐼=� �                −      � 𝑑𝑥 = lim � � 2      −      � 𝑑𝑥
                 1       𝑥 2 − 3𝑎 𝑥 + 𝑎        𝑏→+∞ 1   𝑥 − 3𝑎 𝑥 + 𝑎

                     1               2𝑎
            𝐼 = 𝑙𝑖𝑚 � 𝐿𝑛|𝑥 2 − 3𝑎| −    𝐿𝑛|𝑥 + 𝑎|�
                𝑏→+∞ 2               2
                                                                   b

                                                                   1


                      1
            𝐼 = 𝑙𝑖𝑚     (𝐿𝑛|𝑥 2 − 3𝑎| − 𝐿𝑛|𝑥 + 𝑎|2𝑎 )
                 𝑏→+∞ 2
                                                               b




               1         |𝑥 2 − 3𝑎|              1          |𝑏 2 − 3𝑎|       |1 − 3𝑎|
                                                               1



            𝐼=    𝑙𝑖𝑚 𝐿𝑛                       =    𝑙𝑖𝑚 �𝐿𝑛            − 𝐿𝑛           �
               2 𝑏→+∞    |𝑥 + 𝑎|2𝑎               2 𝑏→+∞     |𝑏 + 𝑎|2𝑎       |1 + 𝑎|2𝑎
                                           b

                                           1



                                                |𝑏 2 − 3𝑎||1 + 𝑎|2𝑎
                               �𝑏 2 −3𝑎�
               1                     1
            𝐼=    𝑙𝑖𝑚 �𝐿𝑛 |1−3𝑎| � =    𝑙𝑖𝑚 �𝐿𝑛                     �
                          |𝑏+𝑎|2𝑎
               2 𝑏→+∞                2 𝑏→+∞     |𝑏 + 𝑎|2𝑎 |1 − 3𝑎|
                               |1+𝑎|2𝑎


               1         |𝑏 2 − 3𝑎| |1 + 𝑎|2𝑎
            𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚                      �
               2    𝑏→+∞ |𝑏 + 𝑎|2𝑎 |1 − 3𝑎|




            𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑏 → +∞        𝑆𝑖 𝑎 = 1


                1         |𝑏 2 − 3| (2)2      1         |𝑏 2 − 3| 4
           ⇒ 𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚          .       � = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚           . �
                2    𝑏→+∞ |𝑏 + 1|2 |1 − 3|    2    𝑏→+∞ |𝑏 + 1|2 2


                                �𝑏 2 −3�

           ⇒ 𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚         𝑏2
                                |𝑏+1|2
                                       �
                           𝑏→+∞
                                  𝑏2




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                                   �1 −       �               |1 − 0|
                                          3

           ⇒ 𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚                  𝑏2
                                              �   = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚          � = 𝐿𝑛(1)
                                                        𝑏→+∞ |1 + 0|2
                                   �1 + 𝑏�
                          𝑏→+∞            1 2




                                                  ∴        𝑰= 𝟎     Rpta



             𝑰 = ∫𝟎
                       ∞ 𝒙𝒅𝒙
                          𝒙 𝟔 +𝟏
    6.


           Resolución
                  ∞
                         𝑥𝑑𝑥          𝑏
                                        𝑥𝑑𝑥
            𝐼=�               = lim � 6
                 0     𝑥6 + 1   𝑏→+∞ 0 𝑥 + 1




                                     𝑥𝑑𝑥
            𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒𝑚𝑜𝑠:        �
                                   𝑥6 +1
                     𝑥𝑑𝑥      𝑥𝑑𝑥
           ⇒�            =� 2 3
                  𝑥6  +1   (𝑥 ) + 1



            𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥 2       ⟶          𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥



                     𝑥𝑑𝑥  1   2𝑥𝑑𝑥   1    𝑑𝑢  1        𝑑𝑢
           ⇒�            = � 2 3    = � 3    = �                   … (⊿)
                  𝑥6  + 1 2 (𝑥 ) + 1 2 𝑢 + 1 2 (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1)

                       1               𝐴     𝐵𝑢 + 𝐶
           ⇒                        =    + 2
               (𝑢 + 1)(𝑢 2 − 𝑢 + 1)   𝑢+1 𝑢 − 𝑢+1


               𝐴(𝑢2 − 𝑢 + 1) + (𝑢 + 1)(𝐵𝑢 + 𝐶)
            ⇒=
                     (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1)



           ⇒ 1 = 𝐴(𝑢2 − 𝑢 + 1) + (𝑢 + 1)(𝐵𝑢 + 𝐶)

               1 = (𝐴 + 𝐵) 𝑢2 + (𝐵 + 𝐶 − 𝐴)𝑢 + (𝐴 + 𝐶)


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            𝐴+ 𝐵=0

                                             1           1              2
            𝐵+ 𝐶− 𝐴=0              ⇒       𝐴= ,       𝐵=− ,        𝐶=
                                             3           3              3
            𝐴+ 𝐶 =1



                      𝑑𝑢               𝑑𝑢     − 𝑢+3
                                                  1            1   2

           ⇒�                     =� 3    +� 2 3
              (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1)    𝑢+1     𝑢 − 𝑢+1

               1   𝑑𝑢  1    𝑢−2
           ⇒     �    − � 2     𝑑𝑢 … … (∗)
               3 𝑢+1 3 𝑢 − 𝑢+1



                             𝑢−2         1   2𝑢 − 4
                                       R

           ⇒ 𝑅=�                     𝑑𝑢 = � 2       𝑑𝑢
                          𝑢2 − 𝑢 + 1     2 𝑢 − 𝑢+1

                    1     2𝑢 − 1             𝑑𝑢
           ⇒ 𝑅=       �� 2       𝑑𝑢 − 3 � 2       �
                    2    𝑢 − 𝑢+1          𝑢 − 𝑢+1


                    1                                 𝑑𝑢
           ⇒ 𝑅=       �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 3 �                  �
                    2
                                                  �𝑢 − 2� + 4
                                                       1 2  3




                1                    1          𝑢−2
                                                               1

           ⇒ 𝑅 = �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 3    𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �     ��
                2                    √3          √3
                                              2            2



                    1                             2𝑢 − 1
           ⇒ 𝑅=       �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 2√3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �       ��
                    2                              √3



                   𝑹𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 (∗)



                     𝑑𝑢          1           1 1                            2𝑢 − 1
        ⇒�                      = 𝐿𝑛|𝑢 + 1| − . �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 2√3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �       ��
             (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) 3           3 2                             √3

                               1            1                 √3        2𝑢 − 1
                           =     𝐿𝑛|𝑢 + 1| − 𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| +    𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �       �
                               3            6                 3          √3


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                              1             1                 √3        2𝑢 − 1
                          =     𝐿𝑛|𝑢 + 1|2 − 𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| +    𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �      �
                              6             6                  3         √3



                   𝑑𝑢          1   |𝑢 + 1|2    √3        2𝑢 − 1
        ⇒�                    = 𝐿𝑛 2         +    𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �       �
           (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) 6 |𝑢 − 𝑢 + 1|    3         √3



                    𝑹𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 (⊿)



               𝑥𝑑𝑥  1 1   |𝑢 + 1|2    √3         2𝑢 − 1
           ⇒� 6    = � 𝐿𝑛 2         +    𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �        ��
              𝑥 + 1 2 6 |𝑢 − 𝑢 + 1|   3           √3



            𝑪𝒐𝒎𝒐 … . . 𝒖 = 𝒙 𝟐



                          𝑥𝑑𝑥  1 1   |𝑥 2 + 1|2    √3         2𝑥 2 − 1
           ⇒ 𝐼=�              = � 𝐿𝑛 4           +    𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �          ��
                       𝑥 6 + 1 2 6 |𝑥 − 𝑥 2 + 1|    3           √3



                        1 1    |𝑥 2 + 1|2    √3        2𝑥 2 − 1
           ⇒ 𝐼 = lim     � 𝐿𝑛 4            +    𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �        ��
                    𝑏→∞ 2 6  |𝑥 − 𝑥 2 + 1|   3           √3
                                                                           b

                                                                           0




                    1      1 |𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1| √3         2𝑥 2 − 1
           ⇒ 𝐼=       lim � 𝐿𝑛 4             +   𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �          ��
                    2 𝑏→∞ 6   |𝑥 − 𝑥 2 + 1|    3           √3
                                                                               b

                                                                               0




                   1      1 |𝑏 4 + 2𝑏 2 + 1| √3         2𝑏 2 − 1       1        √3        −1
           ⇒ 𝐼=      lim � 𝐿𝑛 4             +   𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �          �� − � 𝐿𝑛(1) +    𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � ��
                   2 𝑏→∞ 6   |𝑏 − 𝑏 2 + 1|    3           √3           6        3         √3




                1     1 �1 +               +      √3�       2𝑏 2 − 1          √3 5𝜋
                                      2        1

           ⇒ 𝐼 = lim � 𝐿𝑛             𝑏2
                                                +
                                               𝑏4
                                                     𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �        �� − �0 +   . �
                2 𝑏→∞ 6 �1 −          2
                                         + 𝑏4 �
                                               1   3          √3               3 6
                                      𝑏2




Toribio Córdova Condori            UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física            16
INTEGRAL DEFINIDA                                       UNFV – BASE 2009

                1 1        √3             5√3𝜋
           ⇒ 𝐼 = � 𝐿𝑛(1) +    𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(+∞) −      �
                2 6         3              18



               1 √3 𝜋 5√3𝜋   1 −2√3𝜋
           ⇒ 𝐼= � . −      �= �      �
               2 3 2   18    2  18




                            ∴                          𝑰=
                                                            −√𝟑𝝅
                                                             𝟏𝟖
                                                                    Rpta



              𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂
                    𝟏
    7.

              𝒚=      �𝒙� 𝒙 𝟐 − 𝟏 − 𝑳𝒏(𝒙 + � 𝒙 𝟐 − 𝟏)� 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒙 = 𝒂 𝒚 𝒙 = 𝒂 + 𝟏
                    𝟐


           Resolución
                                     𝑏
            𝑆𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒:      𝐿 = � ‖𝑓´(𝑡)‖𝑑𝑡
                                 𝑎
            𝑆𝑒𝑎 𝑥 = 𝑡


                1
           ⇒ 𝑦 = �𝑡� 𝑡 2 − 1 − 𝐿𝑛(𝑡 + � 𝑡 2 − 1)�
                2

                       1
           ⇒ 𝑓(𝑡) = �𝑡, �𝑡� 𝑡 2 − 1 − 𝐿𝑛 �𝑡 + � 𝑡 2 − 1���
                       2


               •    𝑓1 (𝑡) = 𝑡           →   𝑓1´ (𝑡) = 1

                    𝑓2 (𝑡) = 2 �𝑡√𝑡 2 − 1 − 𝐿𝑛�𝑡 + √𝑡 2 − 1��
                             1
               •

                             1                  2𝑡       1+ 2
                                                                        2𝑡

                    𝑓2´ (𝑡) = �� 𝑡 2 − 1 + 𝑡.         −      2√𝑡 −1
                                                                    �
                             2                2√𝑡 2−1   𝑡 + √𝑡 2 − 1




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INTEGRAL DEFINIDA                                                      UNFV – BASE 2009


                             1                 𝑡2
                                                                      √𝑡 2 −1+𝑡

                    𝑓2´ (𝑡) = �� 𝑡 2 − 1 +         −             �
                                                       √𝑡 2 −1
                             2             √𝑡 2 − 1 𝑡 + √𝑡 2 − 1


                                   1                  𝑡2        √𝑡 2 − 1 + 𝑡
                    𝑓2´ (𝑡) =        �� 𝑡 2 − 1 +         −                       �
                                   2              √𝑡 2 − 1 √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1�



                                   1 (𝑡 2 − 1)�𝑡 + √𝑡 2 − 1� + 𝑡 2 �𝑡 + √𝑡 2 − 1� − �𝑡 + √𝑡 2 − 1�
                    𝑓2´ (𝑡) =        �                                                             �
                                   2                    √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1�


                            1 𝑡 3 + 𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − 𝑡 − √𝑡 2 − 1 + 𝑡 3 + 𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − √𝑡 2 − 1 − 𝑡
                    𝑓2 (𝑡) = �
                      ´
                                                                                                    �
                            2                        √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1�


                                   1 2𝑡 3 + 2𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − 2√𝑡 2 − 1 − 2𝑡
                    𝑓2´ (𝑡) =        �                                     �
                                   2        √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1�


                                      𝑡 3 + 𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − √𝑡 2 − 1 − 𝑡             (𝑡 2 − 1)�𝑡 + √𝑡 2 − 1�
                    𝑓2´ (𝑡) =                                                 =
                                          √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1�                    √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1�



                                        𝑡2 − 1
                    𝑓2´ (𝑡)   =                          ⇒      𝑓2´ (𝑡) = � 𝑡 2 − 1
                                   √𝑡 2    −1



                ⇒ 𝑓´(𝑡) = (1, � 𝑡 2 − 1)

                                  𝑎+1                               𝑎+1
                ⇒ 𝐿=�                 ��1, � 𝑡 2 − 1�� 𝑑𝑡 = �             �(1)2 + �� 𝑡 2 − 1� 𝑑𝑡
                                                                                                         2

                              𝑎                                 𝑎

                                                𝑎+1                           𝑎+1                  𝑎+1
                                                                                                                𝑡2
                          ⇒ 𝐿=�                   �1 + 𝑡 2 − 1 𝑑𝑡 = �             � 𝑡 2 𝑑𝑡 = �           𝑡 𝑑𝑡 =
                                                                                                                2
                                                                                                                     a+1

                                            𝑎                             𝑎                    𝑎


                                             1                    1
                                                                                                                     a



                                        ⇒ 𝐿 = [(𝑎 + 1)2 − (𝑎)2 ] = [𝑎2 + 2𝑎 + 1 − 𝑎2 ]
                                             2                    2



                                  ∴                   𝑳 = (𝟏 + 𝟐𝒂)
                                                         𝟏
                                                         𝟐
                                                                              Rpta



Toribio Córdova Condori                     UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                            18
INTEGRAL DEFINIDA                                               UNFV – BASE 2009



           𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒓𝒄𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒂 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂
                 𝟒
    8.

           𝒙=      𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟑 .
                 𝟑


           Resolución
                                       𝑏
            𝑆𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒: 𝐿 = � ‖𝑓´(𝑡)‖𝑑𝑡
                                   𝑎


                              4
            𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎:         𝑥=
                              3
            𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎:        𝑦2 = 𝑥3



            𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒑𝒕𝒂𝒏𝒅𝒐:

                                               4 3                          8
            𝑦 = 𝑥
             2       3
                          →                𝑦 =� �
                                            2
                                                           →     𝑦=±
                                               3                        3√3

          Sea       y=t


           ⇒ 𝑡2 = 𝑥3 →                     𝑥 = � 𝑡2
                                                  3



           ⇒ 𝑓(𝑡) = ( � 𝑡 2 , 𝑡)
                           3


                               2
           ⇒ 𝑓´(𝑡) = (                 , 1)
                           3√ 𝑡
                               3




                                            2                                2       2
                           8                                      8

           ⇒ 𝐿=�                   �(             , 1)� 𝑑𝑡 = �         ��          � + (1)2 𝑑𝑡
                          3√3                                    3√3

                                           3√ 𝑡                             3√ 𝑡
                                            3                                3
                         −                                     −
                            8                                     8
                           3√3                                   3√3




                                            4
                                       4 + 9√𝑡 2
                           8                                     8

                                      � 3
                                                                                 3

           ⇒ 𝐿 = � � 3 + 1𝑑𝑡 = �                 𝑑𝑡
                          3√3                                   3√3

                  −
                     8
                    3 3
                        9√𝑡 2   −
                                   8
                                  3 3
                                         9 √𝑡 2
                           √                                     √




Toribio Córdova Condori                         UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física      19
INTEGRAL DEFINIDA                                                    UNFV – BASE 2009

                                    1
                           8

           ⇒ 𝐿=�                            �4 + 9 3 𝑡 2 𝑑𝑡
                                                   �
                          3√3

                       −
                            8    3√ 𝑡
                           3√3




                                                                                          2 −1� 𝑑𝑡     6𝑑𝑡
            𝑆𝑒𝑎:      𝑢 = 4 + 9 � 𝑡2 →                     𝑢 = 4 + 9𝑡         → 𝑑𝑢 = 9.     𝑡 3 → 𝑑𝑢 = 3
                                                                        2�
                                                                                          3
                                        3
                                                                          3
                                                                                                       √𝑡


                1 3√3            6𝑑𝑡    1
                                8

           ⇒ 𝐿 = � �4 + 9 � 𝑡 2 � 3 � =    � √ 𝑢𝑑𝑢
                6 −8                    18
                          3


                               3√3
                                  √𝑡
                 1            1 𝑢2     1
                                                   3

           ⇒ 𝐿=    � 𝑢2 𝑑𝑢 =    . 3 =    � 𝑢3
                      1

                18           18       27
                                                  2
                                                       8
                 1
           ⇒ 𝐿=    ��4 + 9 3 𝑡 2 �
                           �
                                   3                  3√3

                27                                    −
                                                           8
                                                          3√3


                   ⎡                                                                              ⎤
                                                                3                             3
                 1              8 2                  8 2
           ⇒ 𝐿=    ⎢��4 + 9 ��    � � − ��4 + 9 ��−    � �                                        ⎥
                            3                   3

                27 ⎢           3√3                  3√3                                           ⎥
                   ⎣                                                                              ⎦


                   ⎡                                                               ⎤
                                                  3                            3
                 1          3 64          3 64                                        1
           ⇒ 𝐿=    ⎢��4 + 9 � � − ��4 + 9 � �                                      ⎥=   (0)
                27 ⎢          27            27                                     ⎥ 27
                   ⎣                                                               ⎦



                           ∴                                   𝐋= 𝟎       Rpta


            𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂
                   𝟖𝒂 𝟑
    9.

            𝒚= 𝟐          𝒚 𝒆𝒍 𝑬𝑱𝑬 𝑿
                𝒙 + 𝟒𝒂 𝟐


           Resolución


                       8𝑎3
            𝑦=               , 𝑦=0
                   𝑥 2 + 4𝑎2


Toribio Córdova Condori                      UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física           20
INTEGRAL DEFINIDA                                         UNFV – BASE 2009




                              2a




           𝑪𝒐𝒎𝒐 𝒍𝒂 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝑬𝑱𝑬 𝒀


                          +∞                 +∞
                                                     8𝑎3                 +∞
                                                                                𝑑𝑥
           ⇒ 𝐴 = 2�            𝑦𝑑𝑥 = 2 �                     𝑑𝑥 = 16𝑎3 �
                      0                     0     𝑥 2 + 4𝑎 2
                                                                        0   𝑥 2 + 4𝑎 2



                                       𝑏
                                               𝑑𝑥                  𝑏
                                                                       𝑑𝑥
           ⇒ 𝐴 = 16𝑎3 lim �                           = 16𝑎3 lim � 2
                              𝑏→+∞ 0       𝑥 2 + 4𝑎 2        𝑏→+∞ 0 𝑥 + (2𝑎)2



                          1          𝑥
           ⇒ 𝐴 = 16𝑎 lim  3
                             𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �
                     𝑏→+∞ 2𝑎        2𝑎
                                                          b

                                                          0




                   16𝑎3              𝑏          0
           ⇒ 𝐴=         lim �𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � ��
                    2 𝑏→+∞          2𝑎          2𝑎


           ⇒ 𝐴 = 8𝑎2 [𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(+∞) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0)]


                      𝝅
           ⇒ 𝐴 = 8𝑎2 � �
                      𝟐

                                   ∴            𝑨 = 4𝑎2 𝝅          Rpta




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INTEGRAL DEFINIDA                                               UNFV – BASE 2009


    10.         Resuelve

               Ln(2 + 2 x)
                1
            ∫0   1 + x²
                           dx


           Resolución

             1      Ln( 2) + Ln(1 + x )       1 Ln ( 2)       1 Ln (1 + x )
            ∫0            1 + x²
                                        dx = ∫
                                              0 1 + x²
                                              
                                                
                                                        dx + ∫
                                                         
                                                              0  1 + x
                                                                      ² 
                                                                            dx
                                                                ∗                   ∗∗

                 1 Ln(2)              1 dx                    1
                                                                          1
                                                                           
            *∫            dx = Ln(2) ∫         = Ln(2)  Arctg             
                 0 1 + x²             0 1 + x²
                                                       
                                                              x          0
                                                                           
                                            π 
            Ln(2)[ Arctg1 − Arctg 0] = Ln(2) 
                                            4
            π
                 Ln(2)
            4


                     1   Ln(1 + x)
            * *∫                   dx
                     0    1 + x²

           Por Partes:


            Ln( x + 1) = u dx
                                = dv
             dx           1+ x2
                  = du
            x +1          Arctgx = v


            ∫ udv = uv − ∫ vdu
                                             1   Arctgx
            Ln( x + 1) Arctgx 0 − ∫
                                        1
                                                        dx
                                             0    x +1
            [Ln(1 + 1) − Ln(0 + 1)][Arctg1 − Arctg 0] − ∫0 Arctgx dx
                                                                     1

                                                                         x +1



                    ∫𝟎                      𝒅𝒙 = Ln(2) + [Ln(2) − Ln(1)] − ∫0
                         𝟏 𝑳𝒏(𝟐+𝟐𝒙)
                              𝟏+𝒙 𝟐
                                                     π                          π        1   Arctgx
                                                                                                    dx   Rpta
                                                     4                          4             x +1




Toribio Córdova Condori                          UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física         22
INTEGRAL DEFINIDA                                           UNFV – BASE 2009




    11.      Resuelve:

                   5
             ∫− 5
                          x² -            5 dx


           Resolución



            ∫ [[x2]] + ∫  x  + ∫  
                            [[2 − ]]dx [[x − 2]]dx
              − 2                                   2                        5

               − 
                           2                                    2                 2
                      dx
               5
                              
                                 I1
                                                   5                       2
                                                          I2                      I3


            I1 = ∫       [[x − 2]]dx = ∫ 2dx + ∫ 1dx + ∫ 0
                          − 2

                           5
                                          2
                                                           − 4

                                                          − 5
                                                                            − 3

                                                                            − 4
                                                                                           − 2

                                                                                           − 3


                   = ∫ [[2 − x ]] = ∫ 0dx + ∫ 1dx + ∫ 1dx + ∫
                            2                             − 1           0                  1      2
                                              2
            I2                  dx                                                                    0dx
                           5                             − 2           − 1             0          1


                   = ∫ [[x − 2]] = ∫ 2dx + ∫ 1dx + ∫ 2dx
                            5                             3            4               3
                                      2
            I3                  dx
                           2                              2            3               4


            I = I1 + I 2 + I 3
            I = 3,48

                                              ∴         𝑰 = 𝟑, 𝟒𝟖      Rpta




    12.       Resuelve:

                   π     (2 x − π ) dx
              ∫  0       Senx + 4

             Resolución

                     π    x −π 2
             2∫                   dx
                     0   Senx + 4


Toribio Córdova Condori                       UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física        23
INTEGRAL DEFINIDA                                      UNFV – BASE 2009


                  Cambio de Variable
                  u = x −π 4
                  x = 0 ⇒ u −π 2
                  x =π ⇒u =π 2

                      π                                 π
                                 u                  x
                  2∫ π2                du = 2 ∫ 2
                                                π         dx
                      −
                          2
                              Cosu + 4         − Cosx + 4
                                                 2                              x es variable nula


          Sea:

                              x
          F( x ) =
                          cos x + 4 Viendo simetrías
          x → −x
                                  x                es anti simétrica con respecto al eje y
          F(− x ) = −                   = − F( x )
                              cos x + 4
              π
                     x             0     x
          ∫0
            2
                  Cosx + 4
                           dx = − ∫ π
                                   − cos x + 4
                                     2
                                               dx
              π
                     x           0     x
          ∫0
            2
                  Cosx + 4
                           dx + ∫ π
                                 − cos x + 4
                                   2
                                             dx = 0
                  π
                       x
          2 ∫π2              dx = 0
                  2
                    Cosx + 4
              π   (2 x − π ) dx = 0
          ∫0      Senx + 4




                                             ∴         ∫𝟎                 𝒅𝒙 = 𝟎
                                                            𝝅    𝟐𝒙−𝝅
                                                                𝒔𝒆𝒏 𝒙+𝟒
                                                                                       Rpta




Toribio Córdova Condori                      UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física       24
INTEGRAL DEFINIDA                                  UNFV – BASE 2009




    13.        Resolver:

                      π
                          Sen²x Cosx
               ∫  0
                   2
                          25 - 16Sen²x
                                       dx


             Resolución

             senx = u
             cos xdx = du
                  π                       π
                           u 2 du                      u 2 du
              ∫
              0
               2

                          25 - 16u 2
                                        =∫ 2
                                          0
                                                  (5)2 - (4u )2

             Sustitución Trigonométrica:


             4u                  4u 
                 = senθ → arcsen  = θ
              5                  5 
                 5
             u = senθ
                 4
                   5
             du = cos θdθ
                   4
                  25          5
               π      sen 2θ . cos θdθ
             ∫02 16 (5)2 − (5senθ )2
                              4

                           π
              64 2 sen 2θ cos θdθ
             125 ∫0 5 2 1 − sen 2θ  (              )
                         
                               
                                        COS ϑ 2


                           π
              64 2 sen θ cos θdθ    2


             125 ∫0    5 cos θ
                   π
              64 2
                 ∫0 sen θ dθ
                       2

             625




Toribio Córdova Condori                 UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física   25
INTEGRAL DEFINIDA                                            UNFV – BASE 2009

              π           π
                           
    64 θ     2     sen2θ 2 
                  −
    625  2           4 0
                           
              0

                                                     π
                       π                              
                                            4u  2 
                  4u  2  2 25 − 16u
                                       2
                                              
         arcsen              5            5  
    64           5  −                             
    625       2                    4                  
                                                      
                       0                              
        
        
                                                     0
                                                       
                                                       
                                                          π
                          π                                
                             2 25 − 16 sen x  4 senx  2 
                                             2 
                 4 senx  2
                                              
         arcsen                  5          5    
    64          5  −                       
    625        2                          4                
                                                           
                          0                                
        
        
                                                          0
                                                            
                                                            
        
                                           2 25 − 16 sen π                                                    
                     π                                              4 sen π                                
                  4 sen 
         arcsen      2               
                                                           2                  2
                                                                                   
                                                                                                                   
                                                                    5          2 25 − 16 sen0  4 sen0   
                  5  arcsen 4 sen0            5                                                   
                                                                                               5   
    64                −   5                                             
                                                                                    −         5                 
                                                                                                                   
        
    625           2         2          −               4                                            4           
                                                                                                                
                                       
                                                                                                                 
                                                                                                                 
                                       
                                                                                                                
                                                                                                                 
                                                2 25 − 16(1)  4(1)   2 25 − 16(0)  4(0)   
         arcsen 4(1)  arcsen 4(0)                                                      
    64 
                                                           5                  5   
                                                                                                 
                  5 −              5   −          5                      5       
                                                                       −                         
    625       2                   2        
                                                             4                      4
                                                                                                   
                                                                                               
                                                                                                
        
                      2(3)  4(1)   2(5)  4(0)   
                                                
    64  53 0    5  5   5  5    64  53   24  
             − −                     −                  =           −
    625  2 2                                                              
                                                           625  2   20  
                            4                4                      
                                                       
                                                       
    64
        (25.3) = 2.59
    625




                     ∴          ∫𝟎                            𝐝𝐱 = 𝟐, 𝟓𝟗
                                     𝛑/𝟐     𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝐱.𝐜𝐨𝐬𝐱
                                           � 𝟐𝟓−𝟏𝟔𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝐱
                                                                                       Rpta




Toribio Córdova Condori                    UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                    26
INTEGRAL DEFINIDA                                                 UNFV – BASE 2009




    14.            Resolver.

                    ∞                            dx
                   ∫ (1 + x )
                    0                    3
                                                  Ln (1 + x )


          Resolución

          1 + x = et
          dx = e t dt

                                                               −1
              ∞    e t dt                    ∞
          ∫                             ∫
                                                     −2t
                          =                      e         t   2
                                                                    dt
            0     e 3t t                 0




          ⇒ 2t = u
          2dt = du
          dt = du 2
                            −1
                                                                             −1
              ∞    u  −u du
                            2    2                                      ∞
          ∫0
                    e
                  2      u
                              =
                                2                                   ∫
                                                                    0
                                                                            u e −u du
                                                                             2




                                 1
               2        ∞          −1

              2    ∫0
                            u    2
                                        e −u du


          Por Gamma


            2 1    2     π
             γ  ⇒    π =
           2 2    2      2




                            ∴           ∫𝟎                                        =�
                                         ∞                     𝐝𝐱                       𝛑
                                                 (𝟏+𝐱) 𝟑 �𝐋𝐧(𝟏+𝐱)                       𝟐
                                                                                            Rpta




Toribio Córdova Condori                           UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física         27
INTEGRAL DEFINIDA                                       UNFV – BASE 2009



    15.             Resolver.

                      ( x − 1)
                        1
                    ∫0 x Lnx dx
               Resolución


                        ( x − 1)          ( x − 1)       1 ( x − 1)
                                                     1
                1
               ∫0         x Lnx
                                 dx = ∫ 2
                                       0    x Lnx
                                                   dx + ∫1
                                                             x Lnx
                                                                    dx
                                       
                                                       2
                                                              A                    B

                              ( x − 1)
                          1
               A=∫        2
                                       dx ; para darle forma del corolario, hacemos:
                         0      x Lnx
               x=-t
               dx=-dt                                             x      t

                                                                  0      0

                                                              1/2       -1/2



                    0       − (t + 1)          0  − ( x + 1)
    → A = ∫−1                            dt = ∫−1              dx
                    2       − t Ln(− t )       2  − x Ln(− x )
    Sea:
                − (t + 1)dt              −1
     f (x) =                   y g (x) =    son continuos para x ∈ [− 1 2 ;0)
                 − t ln (− t )           −x


    sobre [− 1 2 ;0 ) ,         f (x ) 〉0   y   g (x ) 〉0   y además:


    lim f (x ) = ∞ y lim g (x ) = ∞
    x →o             x →o



    luego:
           f (x)            − ( x + 1)
    lim             = lim              =0
    x →o   g (x)        x →o ln(− x )




Toribio Córdova Condori                           UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física   28
INTEGRAL DEFINIDA                                                                          UNFV – BASE 2009

    como:
                                            1 0
        0                                                        2
    ∫−1
     2
            g ( x ) dx = − 2(− x)           2

                                                −1
                                                        =
                                                                  2
                                                                    converge
                                                2



                          0                 0       − ( x + 1)dx
    ⇒ A = ∫−1 f ( x ) dx = ∫−1                                              converge
                          2                 2        − x ln(− x)
                          1   ( x − 1)
    → B = ∫1                           dx
                          2     x Lnx
    Sea:
                    (x − 1)                                              −1
    P( x ) =                           y G( x ) =
                                                                      x(ln x )
                                                                                 1
                          x ln x                                                 3



    f y g son continuos en [− 1 2 ;0 ) ,                                 f (x ) 〉0   y   g ( x ) 〉 0 ∀x ∈ [1             2;1) y además

    lim f (x ) = ∞ y lim g ( x ) = ∞
    x →1−               −
                                     x →1



    luego:
              f (x)                  − x ( x − 1)
    lim−
                          = lim−                        2
    x →1      g (x)           x →1
                                                        3
                                        (ln x)

            como es de la forma %, aplicamos Hospital

                      f (x)                    3 2 1 1 
                                                  3          1
                                                                                                             1                     1      dx
             lim                = lim − (ln x)  x − x 2  = 0 y como
                                               2   2 
                                                             3
                                                                                                         ∫1 g ( x )dx = − ∫1
                                                                                                                                       x(ln x )
                −                                                                                                                                 1
             x →1     g (x)       x →1−
                                                                                                           2                     2              3

            Hacemos:


            u=lnx
            du=1/x dx
                                                                                 0

                                                                                                   ( ( ))
                                                                             2
                      1                         0           du          3u 3                      3              2
            → ∫1 g ( x ) dx = − ∫               1                  =−                       =     ln 1             3
                                                                                                                         converge
                                             ln                1
                                                                          2                       2      2
                    2                           2              3
                                                            u                    ln(1 / 2 )

                               1                    1       ( x − 1)
            → B = ∫1 f ( x ) dx = ∫1                                 dx     converge
                               2                    2         x Lnx


Toribio Córdova Condori                                              UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física                                29
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        como
        I=A + B


                              ∴   I = converge                    Rpta


    16.        Mediante Gamma.

                 π

              ∫ [LnCsc(2t )]                    Cos (2t )dx
               4                         n −1
              0




             Resolución
                     π

                ∫0 [LnCsc(2t )] d (sen2t )
              1 4              n −1

              2
             sen 2t = u
             t →0           π
                        t →
                            4
             u→0
                        u →1

              1 1
              2
                     [ ( )]
                ∫0 Ln u
                        −1        n −1
                                         d (u )

             u = e− y
                                    u → 0 u →1
             du = −e − y dy y → ∞ y → 0


              1 o
              2
                          [
                ∫∞ − − Ln e
                            y
                                   ( )]         n −1
                                                       e − y dy

              1 ∞ n−1 − y
              2 ∫0
                   y e dy


                Γ(n )
              1



             ∴           ∫𝟎 [ 𝑳𝒏𝑪𝒔𝒄( 𝟐𝒕)] 𝒏−𝟏 𝑪𝒐𝒔( 𝟐𝒕) 𝒅𝒙 =                    𝚪(𝒏) Rpta
              2

                          𝝅
                          𝟒
                                                                           𝟏
                                                                           𝟐




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    17.      Resolver con Beta o Gamma

                      5             dx
             ∗∫
                  2            (x + 2)(5 − x )

           Resolución

           Dando la forma de la función Beta
                                −1              −1

            ∫ (x − 2) (5 − x )
             5
                                2               2    dx
             2



           Hacemos:

            x−2=u                     x→2             x→5
            x=u+2                     u →5            u →3
            dx = du

                          −1              −1

            ∫2 (u ) 2 (3 − u ) 2 du
              3



           Hacemos otro cambio
                       u→0                                u→3
            u = 3t
                                      t →o                y →1
            du = 3dt
                      −1         −1                  −1
                              (t ) 2 (3 − 3t ) 2 3dt
              1
            ∫0
                  3   2


                          −1              −1

            ∫ (t ) (1 − t )                    dt = ∫ (t )           (1 − t )
              1                                           1   4                 4
                                                                −1                −1
                          2               2                   2                 2      dt
             0                                            0

            I =B 1 ;1
                  2 2
                          (           )
                                                     Γ(m )Γ(n )
                                  B(m; n ) =
           Propiedad:                                Γ(m + n )




Toribio Córdova Condori                         UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física         31
INTEGRAL DEFINIDA                                               UNFV – BASE 2009


             I =B 1 ;1 =(                 )        2
                                                    ( )( )
                                                Γ 1 Γ 1
                                                        2
                   2 2                             Γ(1)
                                     ( 2) = π
                                     Γ1
            Sabemos: Γ(1) = 1


             I =π

                                          ∴         ∫𝟐                 = 𝝅
                                                     𝟓       𝒅𝒙
                                                         �(𝒙+𝟐)(𝟓−𝒙)
                                                                                Rpta



    18.         Resolver
                    1            x3
             ∗∫                               dx
                    0       x3           
                        1 -
                         5 x             
                                          
                                         

            Resolución
                                                                                   −1
                    x3                               x3
                                                          dx = ∫ x 1 − x 5 
                1                               1                  1     14
             ∫0  x 3                  dx = ∫
                                                                                        2
                                                                           
                                                                       3
                                                                                            dx
                                            0                            
                                               1 - x 5 
                                                     14         0
                                                      
                1 - 5 x                              
                                    


            Haciendo la sustitución:
           14                             5
          x 5 =t → x=t                     14


          14 9 5                                x →1 x → o
             x dx = dt                          t →1 y → o
           5
                5 −914
          dx =    t    dt
               14

                                      5 −914
          ∫ t (1 − t )
          1 15              −1
              14                 2      t dt
          0                          14



                                   10 1  5
            ∫0 t (1 − t ) 2 dt = B 7 ; 2  14
          5 1 37         −1

         14                              



Toribio Córdova Condori                         UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física         32
INTEGRAL DEFINIDA                                  UNFV – BASE 2009

                       10   1 
                     Γ Γ 
          5  10 1 
           B ;  =    
                         7       2 5
         14  7 2         27  14
                        Γ 
                           14 
          3 3 1             3
           Γ Γ            Γ 
          7 7 2 5    5 6 7
                       =              π
           13  13  14 14 13  13 
             Γ             Γ 
           14  14             14 



          5 Γ(3 7 )
                       π
          91 Γ(13 14 )



                  ∴         ∫𝟎                𝒅𝒙 =                √   𝛑
                              𝟏     𝒙𝟑               𝟓   𝚪(𝟑⁄ 𝟕)
                                  (𝟏−
                                        𝒙𝟑           𝟗𝟏 𝚪(𝟏𝟑⁄ 𝟏𝟒)
                                        𝟓 )
                                                                           Rpta
                                        √𝒙




    19.      Hallar la longitud de la curva:

                      1   1
               θ=      r + 
                      2   r       entre r=2 y r=4

          Resolución

          Parametrizando:
                         1   1
           r →t    → θ = 1 + 
                         2    t
           dr → dt
                   dθ   1    1 
           dr         = 1 − 2 
              =1   dt   2   t 
           dt
           t ∈ [2;4]

          Sabemos:




Toribio Córdova Condori            UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física    33
INTEGRAL DEFINIDA                                           UNFV – BASE 2009



                                      2  dθ 
                                     2                       2
                        4     dr 
            L=      ∫
                    2
                                  +r 
                              dt 
                                              dt
                                         dt 
                                                                 2
                                        1   1 
                    ∫ (1)
                        4
            L=                      + t  − 2  dt
                                2        2
                    2
                                         2 2t 
                                             2               2
                        4    1 t   1 
            L=      ∫
                    2
                              +  +
                             2 2
                                          dt
                                     2t 
                                             2
                        4     t 2 +1
            L=      ∫
                    2         4t 2  dt
                             
                             
                                     
                                     
                  t 2 +14    4 1     1
            L=  ∫2 2t dt = ∫2 2 t + 2t dt
                                1  t 2                                        1
                                           4
                1 4     1
            L = ∫  t + dt =   + ln t
                                                                                = [6 + ln 2]
                                                                              4

                2 2     t     2  2  2
                                         
                                                                              2
                                                                                 2
                                                                               
                    ln 2
            L = 3+
                      2


                                     ∴           𝐋= 𝟑+
                                                                 𝐋𝐧𝟐
                                                                     𝟐
                                                                          Rpta




    20.     Hallar la siguiente integral


                𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙                                 𝝅
                                                               𝒄𝒐𝒔𝒙
                𝝅

             �           𝒅𝒙                       𝑺𝒊 �                 𝒅𝒙 = 𝒎
                𝟐


              𝟎   𝒙+ 𝟏                               𝟎       (𝒙 + 𝟐) 𝟐



           Resolución
                                                                                  𝑥=0 → 𝑦=0
           1 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥                                             2𝑥 = 𝑦
                𝜋

            �        𝑑𝑥 ;                                                              𝜋
           2 0 𝑥+1                                               𝑑𝑥 =             𝑥=     →   𝑦= 𝜋
                                                                         𝑑𝑦
                                                     •

                                                                         2             2
                                                     •




Toribio Córdova Condori                  UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física            34
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  • 1. Universidad Nacional Federico Villarreal MATEMATICA Facultad de Educación Matemática - Física PURA CALCULO INTEGRAL Toribio Córdova C. TEMA: INTEGRAL DEFINIDA
  • 2. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 ∫ �|𝒙| 𝟑 𝒆−𝒙 + 𝒙 �𝟐|𝒙 − 𝟑| + 𝟐�� 𝒅𝒙 𝟐 𝟒 𝟏 −𝟏 1. Resolución 1 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = |𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + � 2 4 0 1 1 ⇒ � 𝑓(𝑥) + � 𝑓(𝑥) + � 𝑓(𝑥) −1 0 2 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼1 = ∫−1 �|𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + 2�� 𝑑𝑥 0 4 1 • −1 ≤ 𝑥 ≤0 −1 ≤ 𝑥 ≤ 0 − 1 − 3 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −3 ⇒ |𝑥| = −𝑥 − 4 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −3 ⇒ |𝑥 − 3| = 3 − 𝑥 0 1 ⇒ 𝐼1 = � �(−𝑥)3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2(3 − 𝑥) + �� 𝑑𝑥 2 4 −1 𝐼1 = ∫−1 �−𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 � 2 − 2𝑥�� 𝑑𝑥 0 4 13 −1 ≤ 𝑥 ≤0 0 ≤ −2𝑥 ≤2 13 13 13 ≤ −2 𝑥 ≤2+ 2 2 2 13 13 17 ≤ −2 𝑥 ≤ 2 2 2 𝟏𝟑 ⇒ � − 𝟐𝒙� = 𝟔 𝟐 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 2
  • 3. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 0 0 0 ⇒ 𝐼1 = � �−𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥(6)� 𝑑𝑥 = − � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 + � 𝑥𝑑𝑥 4 4 −1 −1 −1 A 0 𝐴 = � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 4 −1 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = −𝑥 4 ⟶ 𝑑𝑢 = −4𝑥 3 𝑑𝑥 𝑆𝑖 𝑥=1 ⟶ 𝑢 = −1 𝑥=0 ⟶ 𝑢=0 0 1 −𝑥 4 1 0 𝑢 1 𝑢 ⇒ 𝐴=� 𝑒 (−4𝑥 3 𝑑𝑥) = � 𝑒 (𝑑𝑢) = 𝑒 −1 −4 −4 −1 −4 0 -1 1 1 𝐴 = − (𝑒 0 − 𝑒 −1 ) = − (1 − 𝑒 −1 ) 4 4 1 𝑥2 1 ⇒ 𝐼1 = − �− (1 − 𝑒 −1 )� + 6 = (1 − 𝑒 −1 ) + 3(02 − (−1)2 ) 4 2 4 0 -1 1 11 𝑒 −1 𝐼1 = (1 − 𝑒 −1 ) + 3(−1) = − − 4 4 4 𝟏𝟏 𝒆−𝟏 ⇒ 𝑰𝟏 = − − 𝟒 𝟒 𝐼2 = ∫0 �|𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + 2�� 𝑑𝑥 1 4 1 • 0≤ 𝑥≤1 0≤ 𝑥 ≤1 ⇒ |𝑥| = 𝑥 − 3 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −2 ⇒ |𝑥 − 3| = 3 − 𝑥 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 3
  • 4. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 0 1 ⇒ 𝐼2 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2(3 − 𝑥) + �� 𝑑𝑥 2 4 −1 0 13 𝐼1 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 � − 2𝑥�� 𝑑𝑥 2 4 −1 0≤ 𝑥 ≤1 −2 ≤ −2𝑥 ≤0 13 13 13 −2≤ −2 𝑥 ≤ 2 2 2 9 13 13 ≤ −2 𝑥 ≤ 2 2 2 𝟏𝟑 ⇒� − 𝟐𝒙� = 𝟒 𝟐 1 1 1 ⇒ 𝐼2 = � �𝑥 𝑒 3 −𝑥 4 + 𝑥(4)� 𝑑𝑥 = � 𝑥 𝑒 3 −𝑥 4 𝑑𝑥 + 4 � 𝑥𝑑𝑥 0 0 0 B 1 𝐵 = � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 4 0 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = −𝑥 4 ⟶ 𝑑𝑢 = −4𝑥 3 𝑑𝑥 𝑆𝑖 𝑥=0 ⟶ 𝑢=0 𝑥=1 ⟶ 𝑢=1 −1 1 −𝑥 4 1 0 𝑢 1 𝑢 ⇒ 𝐵=� − 𝑒 (−4𝑥 𝑑𝑥) = � 𝑒 (𝑑𝑢) = 3 𝑒 4 4 −1 4 0 0 -1 1 0 1 𝐵= (𝑒 − 𝑒 −1 ) = (1 − 𝑒 −1 ) 4 4 1 𝑥2 1 ⇒ 𝐼2 = (1 − 𝑒 −1 ) + 4 = (1 − 𝑒 −1 ) + 2(12 − 02 ) 4 2 4 1 0 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 4
  • 5. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 1 1 −1 9 𝑒 −1 𝐼2 = − 𝑒 +2 = − 4 4 4 4 9 𝑒 −1 ⇒ 𝑰𝟐 = − 4 4 𝐼3 = ∫1 �|𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + 2�� 𝑑𝑥 2 4 1 • 1≤ 𝑥≤2 1≤ 𝑥 ≤2 ⇒ |𝑥| = 𝑥 1−3 ≤ 𝑥−3≤2−3 −2 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −1 ⇒ |𝑥 − 3| = 3 − 𝑥 2 1 ⇒ 𝐼3 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2(3 − 𝑥) + �� 𝑑𝑥 2 4 1 2 13 𝐼3 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 � − 2𝑥�� 𝑑𝑥 2 4 1 1≤ 𝑥 ≤2 −4 ≤ −2𝑥 ≤ −2 13 13 13 −4≤ −2 𝑥 ≤ −2 2 2 2 5 13 9 ≤ −2 𝑥 ≤ 2 2 4 𝟏𝟑 ⇒� − 𝟐𝒙� = 𝟐 𝟐 2 2 2 ⇒ 𝐼3 = � �𝑥 𝑒 3 −𝑥 4 + 𝑥(2)� 𝑑𝑥 = � 𝑥 𝑒 3 −𝑥 4 𝑑𝑥 + 2 � 𝑥𝑑𝑥 1 1 1 C Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 5
  • 6. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 2 𝑐 = � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 4 1 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = −𝑥 4 ⟶ 𝑑𝑢 = −4𝑥 3 𝑑𝑥 𝑆𝑖 𝑥=1 ⟶ 𝑢 = −1 𝑥=2 ⟶ 𝑢 = −16 2 1 −𝑥 4 1 −16 𝑢 ⇒ 𝐶=� − 𝑒 (−4𝑥 3 𝑑𝑥) = − � 𝑒 (𝑑𝑢) 1 4 4 −1 1 −1 𝑢 1 𝑢 1 −1 𝐶 = � 𝑒 (𝑑𝑢) = 𝑒 = (𝑒 − 𝑒 −16 ) 4 −16 4 4 -1 -16 1 𝑥2 1 −1 ⇒ 𝐼3 = (𝑒 −1 − 𝑒 −16 ) + 2 = (𝑒 − 𝑒 −16 ) + 2(22 − 12 ) 4 2 4 2 1 −1 1 𝐼3 = (𝑒 − 𝑒 −16 ) + 3 4 𝑒 −1 𝑒 −16 ⇒ 𝑰𝟑 = − +3 4 4 11 𝑒 −1 9 𝑒 −1 𝑒 −1 𝑒 −16 ⇒ 𝐼 = �− − �+� − �+� − + 3� 4 4 4 4 4 4 ∴ 𝑰 = − (𝒆−𝟏 + 𝒆−𝟏𝟔 ) 𝟓 𝟏 𝟐 𝟒 Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 6
  • 7. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 𝑰 = ∫ �𝒔𝒆𝒏 � 𝝅𝒙� − 𝒔𝒆𝒏�𝒙 𝟐 � � 𝒅𝒙 √𝟐 √𝟐 𝝅 −𝟏 𝟐 𝟐 2. Resolución −1 ≤ 𝑥 ≤ √2 0 ≤ 𝑥2 ≤ 2 ⇒ ⟦ 𝑥2 ⟧ = 0 √2 √2 𝜋 ⇒ 𝐼=� �𝑠𝑒𝑛 � 𝜋𝑥� − 𝑠𝑒𝑛0. � 𝑑𝑥 −1 2 2 √2 √2 ⇒ 𝐼=� 𝑠𝑒𝑛 � 𝜋𝑥� 𝑑𝑥 −1 2 √2 √2 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝜋𝑥 ⟶ 𝑑𝑢 = 𝜋𝑑𝑥 2 2 𝑆𝑖 𝑥 = √2 ⟶ 𝑢= 𝜋 √2 𝑥 = −1 ⟶ 𝑢= 𝜋 2 2 √2 √2 √2 2 𝜋 ⇒ 𝐼= � 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 � 𝜋𝑑𝑥� == � 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑢 √2𝜋 −1 2 2 √2𝜋 −√2𝜋 2 2 ⇒ 𝐼=− 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝜋 √2𝜋 √2π − 2 2 √2𝜋 2 √2𝜋 ⇒ 𝐼=− (𝑐𝑜𝑠𝜋 − 𝑐𝑜𝑠 )=− (−1 − 𝑐𝑜𝑠 ) √2𝜋 2 √2𝜋 2 ∴ 𝑰= (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 ) √𝟐 √𝟐𝝅 𝝅 𝟐 Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 7
  • 8. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 𝟑� 𝑰= ∫ � 𝒚𝟐 � 𝒅𝒚 𝟐 𝟒−𝒚 𝟐 𝟐 √𝟐 3. Resolución 4 − 𝑦2 3� 2 2 𝐼=� � 2 � 𝑑𝑦 √2 𝑦 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑐𝑎: 𝑝 � 𝑥 (𝑎 + 𝑏𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑚 𝑛 3 𝑚 = −2 , 𝑎 = 4 , 𝑏 = −1 , 𝑛 = 2 , 𝑝 = 2 𝑚+1 −2 + 1 3 + 𝑝= + =1 ∈ℤ 𝑛 2 2 𝑡2 𝑦2 = 4 − 𝑦2 𝑡 2 = 4𝑦 −2 − 1 → 2𝑡𝑑𝑡 = −8𝑦 −3 𝑑𝑦 𝑡𝑑𝑡 = −4𝑦 −3 𝑑𝑦 𝑡𝑑𝑡 ⇒ 𝐼 = � 𝑦 −2 (𝑡 2 𝑦 2 ) 2� � 3� −4𝑦 −3 1 𝑦 −2 𝑡 3 𝑦 3 1 1 ⇒ 𝐼=− � . 𝑡 == − � 𝑦 4 𝑡 4 𝑑𝑡 = − �(𝑦 2 )2 𝑡 4 𝑑𝑡 4 𝑦 −3 4 4 1 4 2 1 16 𝑡4 ⇒ 𝐼 = − �� 2 � 𝑡 𝑑𝑡 == − � 2 4 𝑡 𝑑𝑡 = −4 � 2 4 𝑑𝑡 4 𝑡 +1 4 (𝑡 + 1)2 (𝑡 + 1)2 𝑆𝑒𝑎 ∶ 1 + 𝑡𝑔2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑡 = 𝑡𝑔𝜃 ⟶ 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑡𝑔4 𝜃 𝑡𝑔4 𝜃 ⟹ 𝐼 = −4 � 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 = −4 � 𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑐 4 𝜃 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 8
  • 9. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 𝑡𝑔2 𝜃(𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1) ⟹ 𝐼 = −4 � 𝑑𝜃 − 4 � 𝑡𝑔2 𝜃(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 ⟹ 𝐼 = −4 �(𝑡𝑔2 𝜃 − 𝑡𝑔2 𝜃. 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)𝑑𝜃 = −4 � �𝑡𝑔2 𝜃 − . 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃� 𝑑𝜃 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 ⟹ 𝐼 = −4 �(𝑡𝑔2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)𝑑𝜃 = −4 �� 𝑡𝑔2 𝜃𝑑𝜃 − � 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑑𝜃� 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 ⟹ 𝐼 = −4 �(𝑡𝑔𝜃 − 𝜃) − � − �� = −4 �𝑡𝑔𝜃 − 𝜃 − + � 2 4 2 4 3𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 ⟹ 𝐼 = −4 �𝑡𝑔𝜃 − + � 2 4 � 𝑡2 + 1 t 1 3 2 𝑡 1 ⟹ 𝐼 = −4 �𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + . . � 2 4 √𝑡 2 + 1 √𝑡 2 + 1 3 𝑡 ⟹ 𝐼 = −4 �𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + � 2 2(𝑡 2 + 1) 𝑃𝑒𝑟𝑜: 𝑡2 𝑦2 = 4 − 𝑦2 4 𝑡2 = −1 𝑦2 4 − 𝑦2 𝑡2 = 𝑦2 �𝟒 − 𝒚 𝟐 ⟹ 𝒕= 𝒚 �4−𝑦 2 �4 − 𝑦2 3 �4 − 𝑦2 1 ⟹ 𝐼 = −4 � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + � 𝑦 𝑦 2 𝑦 2 4 𝑦2 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 9
  • 10. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 �4 − 𝑦 2 3 �4 − 𝑦 2 𝑦�4 − 𝑦 2 ⇒ 𝐼 = −4 � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + � 𝑦 2 𝑦 8 0 3 0 √2 3 √2 √2. √2 ⇒ 𝐼 = −4 � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 � � + 2(0)� − � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + � 𝑦 2 𝑦 √2 2 √2 8 3 𝜋 1 5 3𝜋 ⇒ 𝐼 = −4 �0 − (1 − . + )� = 4 � − � 2 4 4 4 8 ∴ 𝑰= 𝟓− 𝟑𝝅 𝟐 Rpta 𝑰 = ∫𝟎 𝟑 𝒅𝒙 �|𝒙−𝟏| 4. 𝟑 Resolución 3 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥 𝐼=� =� +� +� �|𝑥 − 1| �|𝑥 − 1| �|𝑥 − 1| �|𝑥 − 1| 3 3 3 3 0 0 1 2 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼1 = ∫ 1 𝑑𝑥 0 �|𝑥−1| 3 • 0≤ 𝑥≤1 −1 ≤ 𝑥 − 1 ≤ 0 ⟹ |𝑥 − 1| = 1 − 𝑥 1 𝑑𝑥 ⟹ 𝐼1= � √1 − 𝑥 3 0 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 1 − 𝑥 ⟶ 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥 𝑆𝑖 𝑥=1 ⟶ 𝑢=0 𝑥=0 ⟶ 𝑢=1 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 10
  • 11. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 0 −𝑑𝑢 1 −𝑑𝑢 1 3 2 ⟹ 𝐼1= � =� = � 𝑢 3 𝑑𝑢 = 𝑢3 −1 √𝑢 √𝑢 2 1 3 3 1 0 0 3 0 ⟹ 𝐼1= (1 − 0) 2 3 ⇒ 𝑰𝟏 = 2 𝐼2 = ∫1 2 𝑑𝑥 �|𝑥−1| • 3 1≤ 𝑥≤2 0≤ 𝑥−1≤1 ⟹ |𝑥 − 1| = 𝑥 − 1 2 𝑑𝑥 ⟹ 𝐼2= � √𝑥 − 1 3 1 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥 − 1 ⟶ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑆𝑖 𝑥=1 ⟶ 𝑢=0 𝑥=2 ⟶ 𝑢=1 1 𝑑𝑢 1 3 2 ⟹ 𝐼2= � = � 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢3 −1 √𝑢 2 3 1 3 0 0 3 0 ⟹ 𝐼2= (1 − 0) 2 3 ⇒ 𝑰𝟐 = 2 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 11
  • 12. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 𝐼3 = ∫2 3 𝑑𝑥 �|𝑥−1| • 3 2≤ 𝑥≤3 1≤ 𝑥−1≤2 ⟹ |𝑥 − 1| = 𝑥 − 1 2 𝑑𝑥 ⟹ 𝐼3= � √𝑥 − 1 3 1 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥 − 1 ⟶ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑆𝑖 𝑥=3 ⟶ 𝑢=2 𝑥=2 ⟶ 𝑢=1 2 𝑑𝑢 2 3 2 ⟹ 𝐼3= � = � 𝑢 3 𝑑𝑢 = 𝑢3 −1 √𝑢 3 2 2 1 1 1 3 2 ⟹ 𝐼3= (23 − 1) 2 3 3 ⇒ 𝑰𝟑 = ( √4 − 1) 2 𝑹𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒔𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆: 3 3 3√4 3 3 𝐼= + + − 2 2 2 2 ∴ 𝑰 = �𝟏 + √ 𝟒� 𝟑 𝟑 𝟐 Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 12
  • 13. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 a𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝑰𝒎𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒂 𝒙 𝒂 5. ∞ � � − � 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆. 𝟏 𝒙 𝟐 − 𝟑𝒂 𝒙 + 𝒂 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 "a" y calcular EL VALOR DE LA INTEGRAL. Resolución ∞ 𝑥 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎 𝐼=� � − � 𝑑𝑥 = lim � � 2 − � 𝑑𝑥 1 𝑥 2 − 3𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑏→+∞ 1 𝑥 − 3𝑎 𝑥 + 𝑎 1 2𝑎 𝐼 = 𝑙𝑖𝑚 � 𝐿𝑛|𝑥 2 − 3𝑎| − 𝐿𝑛|𝑥 + 𝑎|� 𝑏→+∞ 2 2 b 1 1 𝐼 = 𝑙𝑖𝑚 (𝐿𝑛|𝑥 2 − 3𝑎| − 𝐿𝑛|𝑥 + 𝑎|2𝑎 ) 𝑏→+∞ 2 b 1 |𝑥 2 − 3𝑎| 1 |𝑏 2 − 3𝑎| |1 − 3𝑎| 1 𝐼= 𝑙𝑖𝑚 𝐿𝑛 = 𝑙𝑖𝑚 �𝐿𝑛 − 𝐿𝑛 � 2 𝑏→+∞ |𝑥 + 𝑎|2𝑎 2 𝑏→+∞ |𝑏 + 𝑎|2𝑎 |1 + 𝑎|2𝑎 b 1 |𝑏 2 − 3𝑎||1 + 𝑎|2𝑎 �𝑏 2 −3𝑎� 1 1 𝐼= 𝑙𝑖𝑚 �𝐿𝑛 |1−3𝑎| � = 𝑙𝑖𝑚 �𝐿𝑛 � |𝑏+𝑎|2𝑎 2 𝑏→+∞ 2 𝑏→+∞ |𝑏 + 𝑎|2𝑎 |1 − 3𝑎| |1+𝑎|2𝑎 1 |𝑏 2 − 3𝑎| |1 + 𝑎|2𝑎 𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 � 2 𝑏→+∞ |𝑏 + 𝑎|2𝑎 |1 − 3𝑎| 𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑏 → +∞ 𝑆𝑖 𝑎 = 1 1 |𝑏 2 − 3| (2)2 1 |𝑏 2 − 3| 4 ⇒ 𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 . � = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 . � 2 𝑏→+∞ |𝑏 + 1|2 |1 − 3| 2 𝑏→+∞ |𝑏 + 1|2 2 �𝑏 2 −3� ⇒ 𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 𝑏2 |𝑏+1|2 � 𝑏→+∞ 𝑏2 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 13
  • 14. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 �1 − � |1 − 0| 3 ⇒ 𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 𝑏2 � = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 � = 𝐿𝑛(1) 𝑏→+∞ |1 + 0|2 �1 + 𝑏� 𝑏→+∞ 1 2 ∴ 𝑰= 𝟎 Rpta 𝑰 = ∫𝟎 ∞ 𝒙𝒅𝒙 𝒙 𝟔 +𝟏 6. Resolución ∞ 𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑥𝑑𝑥 𝐼=� = lim � 6 0 𝑥6 + 1 𝑏→+∞ 0 𝑥 + 1 𝑥𝑑𝑥 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒𝑚𝑜𝑠: � 𝑥6 +1 𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥 ⇒� =� 2 3 𝑥6 +1 (𝑥 ) + 1 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥 2 ⟶ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥 1 2𝑥𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 ⇒� = � 2 3 = � 3 = � … (⊿) 𝑥6 + 1 2 (𝑥 ) + 1 2 𝑢 + 1 2 (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) 1 𝐴 𝐵𝑢 + 𝐶 ⇒ = + 2 (𝑢 + 1)(𝑢 2 − 𝑢 + 1) 𝑢+1 𝑢 − 𝑢+1 𝐴(𝑢2 − 𝑢 + 1) + (𝑢 + 1)(𝐵𝑢 + 𝐶) ⇒= (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) ⇒ 1 = 𝐴(𝑢2 − 𝑢 + 1) + (𝑢 + 1)(𝐵𝑢 + 𝐶) 1 = (𝐴 + 𝐵) 𝑢2 + (𝐵 + 𝐶 − 𝐴)𝑢 + (𝐴 + 𝐶) Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 14
  • 15. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 𝐴+ 𝐵=0 1 1 2 𝐵+ 𝐶− 𝐴=0 ⇒ 𝐴= , 𝐵=− , 𝐶= 3 3 3 𝐴+ 𝐶 =1 𝑑𝑢 𝑑𝑢 − 𝑢+3 1 1 2 ⇒� =� 3 +� 2 3 (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) 𝑢+1 𝑢 − 𝑢+1 1 𝑑𝑢 1 𝑢−2 ⇒ � − � 2 𝑑𝑢 … … (∗) 3 𝑢+1 3 𝑢 − 𝑢+1 𝑢−2 1 2𝑢 − 4 R ⇒ 𝑅=� 𝑑𝑢 = � 2 𝑑𝑢 𝑢2 − 𝑢 + 1 2 𝑢 − 𝑢+1 1 2𝑢 − 1 𝑑𝑢 ⇒ 𝑅= �� 2 𝑑𝑢 − 3 � 2 � 2 𝑢 − 𝑢+1 𝑢 − 𝑢+1 1 𝑑𝑢 ⇒ 𝑅= �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 3 � � 2 �𝑢 − 2� + 4 1 2 3 1 1 𝑢−2 1 ⇒ 𝑅 = �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 3 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 2 √3 √3 2 2 1 2𝑢 − 1 ⇒ 𝑅= �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 2√3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 2 √3  𝑹𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 (∗) 𝑑𝑢 1 1 1 2𝑢 − 1 ⇒� = 𝐿𝑛|𝑢 + 1| − . �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 2√3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) 3 3 2 √3 1 1 √3 2𝑢 − 1 = 𝐿𝑛|𝑢 + 1| − 𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � � 3 6 3 √3 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 15
  • 16. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 1 1 √3 2𝑢 − 1 = 𝐿𝑛|𝑢 + 1|2 − 𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � � 6 6 3 √3 𝑑𝑢 1 |𝑢 + 1|2 √3 2𝑢 − 1 ⇒� = 𝐿𝑛 2 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � � (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) 6 |𝑢 − 𝑢 + 1| 3 √3  𝑹𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 (⊿) 𝑥𝑑𝑥 1 1 |𝑢 + 1|2 √3 2𝑢 − 1 ⇒� 6 = � 𝐿𝑛 2 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 𝑥 + 1 2 6 |𝑢 − 𝑢 + 1| 3 √3 𝑪𝒐𝒎𝒐 … . . 𝒖 = 𝒙 𝟐 𝑥𝑑𝑥 1 1 |𝑥 2 + 1|2 √3 2𝑥 2 − 1 ⇒ 𝐼=� = � 𝐿𝑛 4 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 𝑥 6 + 1 2 6 |𝑥 − 𝑥 2 + 1| 3 √3 1 1 |𝑥 2 + 1|2 √3 2𝑥 2 − 1 ⇒ 𝐼 = lim � 𝐿𝑛 4 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 𝑏→∞ 2 6 |𝑥 − 𝑥 2 + 1| 3 √3 b 0 1 1 |𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1| √3 2𝑥 2 − 1 ⇒ 𝐼= lim � 𝐿𝑛 4 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 2 𝑏→∞ 6 |𝑥 − 𝑥 2 + 1| 3 √3 b 0 1 1 |𝑏 4 + 2𝑏 2 + 1| √3 2𝑏 2 − 1 1 √3 −1 ⇒ 𝐼= lim � 𝐿𝑛 4 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� − � 𝐿𝑛(1) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 2 𝑏→∞ 6 |𝑏 − 𝑏 2 + 1| 3 √3 6 3 √3 1 1 �1 + + √3� 2𝑏 2 − 1 √3 5𝜋 2 1 ⇒ 𝐼 = lim � 𝐿𝑛 𝑏2 + 𝑏4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� − �0 + . � 2 𝑏→∞ 6 �1 − 2 + 𝑏4 � 1 3 √3 3 6 𝑏2 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 16
  • 17. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 1 1 √3 5√3𝜋 ⇒ 𝐼 = � 𝐿𝑛(1) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(+∞) − � 2 6 3 18 1 √3 𝜋 5√3𝜋 1 −2√3𝜋 ⇒ 𝐼= � . − �= � � 2 3 2 18 2 18 ∴ 𝑰= −√𝟑𝝅 𝟏𝟖 Rpta 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝟏 7. 𝒚= �𝒙� 𝒙 𝟐 − 𝟏 − 𝑳𝒏(𝒙 + � 𝒙 𝟐 − 𝟏)� 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒙 = 𝒂 𝒚 𝒙 = 𝒂 + 𝟏 𝟐 Resolución 𝑏 𝑆𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒: 𝐿 = � ‖𝑓´(𝑡)‖𝑑𝑡 𝑎 𝑆𝑒𝑎 𝑥 = 𝑡 1 ⇒ 𝑦 = �𝑡� 𝑡 2 − 1 − 𝐿𝑛(𝑡 + � 𝑡 2 − 1)� 2 1 ⇒ 𝑓(𝑡) = �𝑡, �𝑡� 𝑡 2 − 1 − 𝐿𝑛 �𝑡 + � 𝑡 2 − 1��� 2 • 𝑓1 (𝑡) = 𝑡 → 𝑓1´ (𝑡) = 1 𝑓2 (𝑡) = 2 �𝑡√𝑡 2 − 1 − 𝐿𝑛�𝑡 + √𝑡 2 − 1�� 1 • 1 2𝑡 1+ 2 2𝑡 𝑓2´ (𝑡) = �� 𝑡 2 − 1 + 𝑡. − 2√𝑡 −1 � 2 2√𝑡 2−1 𝑡 + √𝑡 2 − 1 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 17
  • 18. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 1 𝑡2 √𝑡 2 −1+𝑡 𝑓2´ (𝑡) = �� 𝑡 2 − 1 + − � √𝑡 2 −1 2 √𝑡 2 − 1 𝑡 + √𝑡 2 − 1 1 𝑡2 √𝑡 2 − 1 + 𝑡 𝑓2´ (𝑡) = �� 𝑡 2 − 1 + − � 2 √𝑡 2 − 1 √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1� 1 (𝑡 2 − 1)�𝑡 + √𝑡 2 − 1� + 𝑡 2 �𝑡 + √𝑡 2 − 1� − �𝑡 + √𝑡 2 − 1� 𝑓2´ (𝑡) = � � 2 √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1� 1 𝑡 3 + 𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − 𝑡 − √𝑡 2 − 1 + 𝑡 3 + 𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − √𝑡 2 − 1 − 𝑡 𝑓2 (𝑡) = � ´ � 2 √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1� 1 2𝑡 3 + 2𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − 2√𝑡 2 − 1 − 2𝑡 𝑓2´ (𝑡) = � � 2 √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1� 𝑡 3 + 𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − √𝑡 2 − 1 − 𝑡 (𝑡 2 − 1)�𝑡 + √𝑡 2 − 1� 𝑓2´ (𝑡) = = √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1� √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1� 𝑡2 − 1 𝑓2´ (𝑡) = ⇒ 𝑓2´ (𝑡) = � 𝑡 2 − 1 √𝑡 2 −1 ⇒ 𝑓´(𝑡) = (1, � 𝑡 2 − 1) 𝑎+1 𝑎+1 ⇒ 𝐿=� ��1, � 𝑡 2 − 1�� 𝑑𝑡 = � �(1)2 + �� 𝑡 2 − 1� 𝑑𝑡 2 𝑎 𝑎 𝑎+1 𝑎+1 𝑎+1 𝑡2 ⇒ 𝐿=� �1 + 𝑡 2 − 1 𝑑𝑡 = � � 𝑡 2 𝑑𝑡 = � 𝑡 𝑑𝑡 = 2 a+1 𝑎 𝑎 𝑎 1 1 a ⇒ 𝐿 = [(𝑎 + 1)2 − (𝑎)2 ] = [𝑎2 + 2𝑎 + 1 − 𝑎2 ] 2 2 ∴ 𝑳 = (𝟏 + 𝟐𝒂) 𝟏 𝟐 Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 18
  • 19. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒓𝒄𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒂 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝟒 8. 𝒙= 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟑 . 𝟑 Resolución 𝑏 𝑆𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒: 𝐿 = � ‖𝑓´(𝑡)‖𝑑𝑡 𝑎 4 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎: 𝑥= 3 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎: 𝑦2 = 𝑥3 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒑𝒕𝒂𝒏𝒅𝒐: 4 3 8 𝑦 = 𝑥 2 3 → 𝑦 =� � 2 → 𝑦=± 3 3√3  Sea y=t ⇒ 𝑡2 = 𝑥3 → 𝑥 = � 𝑡2 3 ⇒ 𝑓(𝑡) = ( � 𝑡 2 , 𝑡) 3 2 ⇒ 𝑓´(𝑡) = ( , 1) 3√ 𝑡 3 2 2 2 8 8 ⇒ 𝐿=� �( , 1)� 𝑑𝑡 = � �� � + (1)2 𝑑𝑡 3√3 3√3 3√ 𝑡 3√ 𝑡 3 3 − − 8 8 3√3 3√3 4 4 + 9√𝑡 2 8 8 � 3 3 ⇒ 𝐿 = � � 3 + 1𝑑𝑡 = � 𝑑𝑡 3√3 3√3 − 8 3 3 9√𝑡 2 − 8 3 3 9 √𝑡 2 √ √ Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 19
  • 20. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 1 8 ⇒ 𝐿=� �4 + 9 3 𝑡 2 𝑑𝑡 � 3√3 − 8 3√ 𝑡 3√3 2 −1� 𝑑𝑡 6𝑑𝑡 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 4 + 9 � 𝑡2 → 𝑢 = 4 + 9𝑡 → 𝑑𝑢 = 9. 𝑡 3 → 𝑑𝑢 = 3 2� 3 3 3 √𝑡 1 3√3 6𝑑𝑡 1 8 ⇒ 𝐿 = � �4 + 9 � 𝑡 2 � 3 � = � √ 𝑢𝑑𝑢 6 −8 18 3 3√3 √𝑡 1 1 𝑢2 1 3 ⇒ 𝐿= � 𝑢2 𝑑𝑢 = . 3 = � 𝑢3 1 18 18 27 2 8 1 ⇒ 𝐿= ��4 + 9 3 𝑡 2 � � 3 3√3 27 − 8 3√3 ⎡ ⎤ 3 3 1 8 2 8 2 ⇒ 𝐿= ⎢��4 + 9 �� � � − ��4 + 9 ��− � � ⎥ 3 3 27 ⎢ 3√3 3√3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 3 3 1 3 64 3 64 1 ⇒ 𝐿= ⎢��4 + 9 � � − ��4 + 9 � � ⎥= (0) 27 ⎢ 27 27 ⎥ 27 ⎣ ⎦ ∴ 𝐋= 𝟎 Rpta 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝟖𝒂 𝟑 9. 𝒚= 𝟐 𝒚 𝒆𝒍 𝑬𝑱𝑬 𝑿 𝒙 + 𝟒𝒂 𝟐 Resolución 8𝑎3 𝑦= , 𝑦=0 𝑥 2 + 4𝑎2 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 20
  • 21. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 2a 𝑪𝒐𝒎𝒐 𝒍𝒂 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝑬𝑱𝑬 𝒀 +∞ +∞ 8𝑎3 +∞ 𝑑𝑥 ⇒ 𝐴 = 2� 𝑦𝑑𝑥 = 2 � 𝑑𝑥 = 16𝑎3 � 0 0 𝑥 2 + 4𝑎 2 0 𝑥 2 + 4𝑎 2 𝑏 𝑑𝑥 𝑏 𝑑𝑥 ⇒ 𝐴 = 16𝑎3 lim � = 16𝑎3 lim � 2 𝑏→+∞ 0 𝑥 2 + 4𝑎 2 𝑏→+∞ 0 𝑥 + (2𝑎)2 1 𝑥 ⇒ 𝐴 = 16𝑎 lim 3 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � � 𝑏→+∞ 2𝑎 2𝑎 b 0 16𝑎3 𝑏 0 ⇒ 𝐴= lim �𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 2 𝑏→+∞ 2𝑎 2𝑎 ⇒ 𝐴 = 8𝑎2 [𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(+∞) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0)] 𝝅 ⇒ 𝐴 = 8𝑎2 � � 𝟐 ∴ 𝑨 = 4𝑎2 𝝅 Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 21
  • 22. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 10. Resuelve Ln(2 + 2 x) 1 ∫0 1 + x² dx Resolución 1 Ln( 2) + Ln(1 + x ) 1 Ln ( 2) 1 Ln (1 + x ) ∫0 1 + x² dx = ∫ 0 1 + x²    dx + ∫    0 1 + x  ²  dx ∗ ∗∗ 1 Ln(2) 1 dx  1 1  *∫ dx = Ln(2) ∫ = Ln(2)  Arctg  0 1 + x² 0 1 + x²   x 0  π  Ln(2)[ Arctg1 − Arctg 0] = Ln(2)  4 π Ln(2) 4 1 Ln(1 + x) * *∫ dx 0 1 + x² Por Partes: Ln( x + 1) = u dx = dv dx 1+ x2 = du x +1 Arctgx = v ∫ udv = uv − ∫ vdu 1 Arctgx Ln( x + 1) Arctgx 0 − ∫ 1 dx 0 x +1 [Ln(1 + 1) − Ln(0 + 1)][Arctg1 − Arctg 0] − ∫0 Arctgx dx 1 x +1 ∫𝟎 𝒅𝒙 = Ln(2) + [Ln(2) − Ln(1)] − ∫0 𝟏 𝑳𝒏(𝟐+𝟐𝒙) 𝟏+𝒙 𝟐 π π 1 Arctgx dx Rpta 4 4 x +1 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 22
  • 23. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 11. Resuelve: 5 ∫− 5 x² - 5 dx Resolución ∫ [[x2]] + ∫  x  + ∫   [[2 − ]]dx [[x − 2]]dx − 2 2 5  −  2 2 2 dx 5      I1  5 2 I2 I3 I1 = ∫ [[x − 2]]dx = ∫ 2dx + ∫ 1dx + ∫ 0 − 2 5 2 − 4 − 5 − 3 − 4 − 2 − 3 = ∫ [[2 − x ]] = ∫ 0dx + ∫ 1dx + ∫ 1dx + ∫ 2 − 1 0 1 2 2 I2 dx 0dx 5 − 2 − 1 0 1 = ∫ [[x − 2]] = ∫ 2dx + ∫ 1dx + ∫ 2dx 5 3 4 3 2 I3 dx 2 2 3 4 I = I1 + I 2 + I 3 I = 3,48 ∴ 𝑰 = 𝟑, 𝟒𝟖 Rpta 12. Resuelve: π (2 x − π ) dx ∫ 0 Senx + 4 Resolución π x −π 2 2∫ dx 0 Senx + 4 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 23
  • 24. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 Cambio de Variable u = x −π 4 x = 0 ⇒ u −π 2 x =π ⇒u =π 2 π π u x 2∫ π2 du = 2 ∫ 2 π dx − 2 Cosu + 4 − Cosx + 4 2 x es variable nula Sea: x F( x ) = cos x + 4 Viendo simetrías x → −x x es anti simétrica con respecto al eje y F(− x ) = − = − F( x ) cos x + 4 π x 0 x ∫0 2 Cosx + 4 dx = − ∫ π − cos x + 4 2 dx π x 0 x ∫0 2 Cosx + 4 dx + ∫ π − cos x + 4 2 dx = 0 π x 2 ∫π2 dx = 0 2 Cosx + 4 π (2 x − π ) dx = 0 ∫0 Senx + 4 ∴ ∫𝟎 𝒅𝒙 = 𝟎 𝝅 𝟐𝒙−𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝒙+𝟒 Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 24
  • 25. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 13. Resolver: π Sen²x Cosx ∫ 0 2 25 - 16Sen²x dx Resolución senx = u cos xdx = du π π u 2 du u 2 du ∫ 0 2 25 - 16u 2 =∫ 2 0 (5)2 - (4u )2 Sustitución Trigonométrica: 4u  4u  = senθ → arcsen  = θ 5  5  5 u = senθ 4 5 du = cos θdθ 4 25 5 π sen 2θ . cos θdθ ∫02 16 (5)2 − (5senθ )2 4 π 64 2 sen 2θ cos θdθ 125 ∫0 5 2 1 − sen 2θ ( )     COS ϑ 2 π 64 2 sen θ cos θdθ 2 125 ∫0 5 cos θ π 64 2 ∫0 sen θ dθ 2 625 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 25
  • 26. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 π π   64 θ 2 sen2θ 2  − 625  2 4 0   0 π  π     4u  2   4u  2  2 25 − 16u 2    arcsen   5  5   64   5  −   625  2 4     0    0   π  π    2 25 − 16 sen x  4 senx  2  2   4 senx  2    arcsen   5  5     64   5  −  625  2 4     0    0       2 25 − 16 sen π     π   4 sen π    4 sen   arcsen 2    2  2        5   2 25 − 16 sen0  4 sen0     5  arcsen 4 sen0    5             5    64   −  5      −  5      625  2 2 − 4 4                          2 25 − 16(1)  4(1)   2 25 − 16(0)  4(0)     arcsen 4(1)  arcsen 4(0)         64        5     5      5 −  5   −  5  5   −  625  2 2    4 4              2(3)  4(1)   2(5)  4(0)            64  53 0    5  5   5  5    64  53   24    − − −  =  − 625  2 2      625  2   20     4 4          64 (25.3) = 2.59 625 ∴ ∫𝟎 𝐝𝐱 = 𝟐, 𝟓𝟗 𝛑/𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝐱.𝐜𝐨𝐬𝐱 � 𝟐𝟓−𝟏𝟔𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝐱 Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 26
  • 27. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 14. Resolver. ∞ dx ∫ (1 + x ) 0 3 Ln (1 + x ) Resolución 1 + x = et dx = e t dt −1 ∞ e t dt ∞ ∫ ∫ −2t = e t 2 dt 0 e 3t t 0 ⇒ 2t = u 2dt = du dt = du 2 −1 −1 ∞  u  −u du 2 2 ∞ ∫0   e 2 u = 2 ∫ 0 u e −u du 2 1 2 ∞ −1 2 ∫0 u 2 e −u du Por Gamma 2 1 2 π γ  ⇒ π = 2 2 2 2 ∴ ∫𝟎 =� ∞ 𝐝𝐱 𝛑 (𝟏+𝐱) 𝟑 �𝐋𝐧(𝟏+𝐱) 𝟐 Rpta Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 27
  • 28. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 15. Resolver. ( x − 1) 1 ∫0 x Lnx dx Resolución ( x − 1) ( x − 1) 1 ( x − 1) 1 1 ∫0 x Lnx dx = ∫ 2 0 x Lnx dx + ∫1 x Lnx dx     2 A B ( x − 1) 1 A=∫ 2 dx ; para darle forma del corolario, hacemos: 0 x Lnx x=-t dx=-dt x t 0 0 1/2 -1/2 0 − (t + 1) 0 − ( x + 1) → A = ∫−1 dt = ∫−1 dx 2 − t Ln(− t ) 2 − x Ln(− x ) Sea: − (t + 1)dt −1 f (x) = y g (x) = son continuos para x ∈ [− 1 2 ;0) − t ln (− t ) −x sobre [− 1 2 ;0 ) , f (x ) 〉0 y g (x ) 〉0 y además: lim f (x ) = ∞ y lim g (x ) = ∞ x →o x →o luego: f (x) − ( x + 1) lim = lim =0 x →o g (x) x →o ln(− x ) Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 28
  • 29. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 como: 1 0 0 2 ∫−1 2 g ( x ) dx = − 2(− x) 2 −1 = 2 converge 2 0 0 − ( x + 1)dx ⇒ A = ∫−1 f ( x ) dx = ∫−1 converge 2 2 − x ln(− x) 1 ( x − 1) → B = ∫1 dx 2 x Lnx Sea: (x − 1) −1 P( x ) = y G( x ) = x(ln x ) 1 x ln x 3 f y g son continuos en [− 1 2 ;0 ) , f (x ) 〉0 y g ( x ) 〉 0 ∀x ∈ [1 2;1) y además lim f (x ) = ∞ y lim g ( x ) = ∞ x →1− − x →1 luego: f (x) − x ( x − 1) lim− = lim− 2 x →1 g (x) x →1 3 (ln x) como es de la forma %, aplicamos Hospital f (x) 3 2 1 1  3 1 1 1 dx lim = lim − (ln x)  x − x 2  = 0 y como 2 2  3 ∫1 g ( x )dx = − ∫1 x(ln x ) − 1 x →1 g (x) x →1−   2 2 3 Hacemos: u=lnx du=1/x dx 0 ( ( )) 2 1 0 du 3u 3 3 2 → ∫1 g ( x ) dx = − ∫ 1 =− = ln 1 3 converge ln   1 2 2 2 2 2 3 u ln(1 / 2 ) 1 1 ( x − 1) → B = ∫1 f ( x ) dx = ∫1 dx converge 2 2 x Lnx Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 29
  • 30. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 como I=A + B ∴ I = converge Rpta 16. Mediante Gamma. π ∫ [LnCsc(2t )] Cos (2t )dx 4 n −1 0 Resolución π ∫0 [LnCsc(2t )] d (sen2t ) 1 4 n −1 2 sen 2t = u t →0 π t → 4 u→0 u →1 1 1 2 [ ( )] ∫0 Ln u −1 n −1 d (u ) u = e− y u → 0 u →1 du = −e − y dy y → ∞ y → 0 1 o 2 [ ∫∞ − − Ln e y ( )] n −1 e − y dy 1 ∞ n−1 − y 2 ∫0 y e dy Γ(n ) 1 ∴ ∫𝟎 [ 𝑳𝒏𝑪𝒔𝒄( 𝟐𝒕)] 𝒏−𝟏 𝑪𝒐𝒔( 𝟐𝒕) 𝒅𝒙 = 𝚪(𝒏) Rpta 2 𝝅 𝟒 𝟏 𝟐 Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 30
  • 31. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 17. Resolver con Beta o Gamma 5 dx ∗∫ 2 (x + 2)(5 − x ) Resolución Dando la forma de la función Beta −1 −1 ∫ (x − 2) (5 − x ) 5 2 2 dx 2 Hacemos: x−2=u x→2 x→5 x=u+2 u →5 u →3 dx = du −1 −1 ∫2 (u ) 2 (3 − u ) 2 du 3 Hacemos otro cambio u→0 u→3 u = 3t t →o y →1 du = 3dt −1 −1 −1 (t ) 2 (3 − 3t ) 2 3dt 1 ∫0 3 2 −1 −1 ∫ (t ) (1 − t ) dt = ∫ (t ) (1 − t ) 1 1 4 4 −1 −1 2 2 2 2 dt 0 0 I =B 1 ;1 2 2 ( ) Γ(m )Γ(n ) B(m; n ) = Propiedad: Γ(m + n ) Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 31
  • 32. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 I =B 1 ;1 =( ) 2 ( )( ) Γ 1 Γ 1 2 2 2 Γ(1) ( 2) = π Γ1 Sabemos: Γ(1) = 1 I =π ∴ ∫𝟐 = 𝝅 𝟓 𝒅𝒙 �(𝒙+𝟐)(𝟓−𝒙) Rpta 18. Resolver 1 x3 ∗∫ dx 0  x3  1 -  5 x     Resolución −1 x3 x3 dx = ∫ x 1 − x 5  1 1 1 14 ∫0  x 3 dx = ∫ 2   3 dx  0    1 - x 5  14 0    1 - 5 x      Haciendo la sustitución: 14 5 x 5 =t → x=t 14 14 9 5 x →1 x → o x dx = dt t →1 y → o 5 5 −914 dx = t dt 14 5 −914 ∫ t (1 − t ) 1 15 −1 14 2 t dt 0 14  10 1  5 ∫0 t (1 − t ) 2 dt = B 7 ; 2  14 5 1 37 −1 14   Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 32
  • 33. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009  10   1  Γ Γ  5  10 1  B ;  =     7 2 5 14  7 2   27  14 Γ   14  3 3 1 3 Γ Γ  Γ  7 7 2 5 5 6 7 = π 13  13  14 14 13  13  Γ  Γ  14  14   14  5 Γ(3 7 ) π 91 Γ(13 14 ) ∴ ∫𝟎 𝒅𝒙 = √ 𝛑 𝟏 𝒙𝟑 𝟓 𝚪(𝟑⁄ 𝟕) (𝟏− 𝒙𝟑 𝟗𝟏 𝚪(𝟏𝟑⁄ 𝟏𝟒) 𝟓 ) Rpta √𝒙 19. Hallar la longitud de la curva: 1 1 θ= r +  2 r entre r=2 y r=4 Resolución Parametrizando: 1 1 r →t → θ = 1 +  2 t dr → dt dθ 1 1  dr = 1 − 2  =1 dt 2 t  dt t ∈ [2;4] Sabemos: Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 33
  • 34. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 2  dθ  2 2 4  dr  L= ∫ 2   +r   dt   dt  dt  2 1 1  ∫ (1) 4 L= + t  − 2  dt 2 2 2  2 2t  2 2 4 1 t   1  L= ∫ 2 +  + 2 2  dt  2t  2 4  t 2 +1 L= ∫ 2  4t 2  dt     t 2 +14 4 1 1 L= ∫2 2t dt = ∫2 2 t + 2t dt 1  t 2   1 4 1 4 1 L = ∫  t + dt =   + ln t   = [6 + ln 2] 4 2 2 t 2  2  2  2  2   ln 2 L = 3+ 2 ∴ 𝐋= 𝟑+ 𝐋𝐧𝟐 𝟐 Rpta 20. Hallar la siguiente integral 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 𝝅 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝝅 � 𝒅𝒙 𝑺𝒊 � 𝒅𝒙 = 𝒎 𝟐 𝟎 𝒙+ 𝟏 𝟎 (𝒙 + 𝟐) 𝟐 Resolución 𝑥=0 → 𝑦=0 1 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑥 = 𝑦 𝜋 � 𝑑𝑥 ; 𝜋 2 0 𝑥+1 𝑑𝑥 = 𝑥= → 𝑦= 𝜋 𝑑𝑦 • 2 2 • Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 34