SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 104
Descargar para leer sin conexión
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
36
Επαναληπτικά Θέµατα
Μαθηµατικών
Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης
(µε τις λύσεις τους)
Πηγή θεµάτων:
Κώστας Μπιρµπίλης
6972 700 516
Ασηµακόπουλος Γιώργος
http://gsimos.weebly.com/
Χειρόγραφη επίλυση θεµάτων:
Παύλος Τρύφων
http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
pavtrifon@gmail.com
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
ΘΕΜΑ 1
Έστω η συνεχής συνάρτηση :(0, )f R+∞ → τέτοια ώστε για κάθε 0x > να ισχύει:
( )
1
1
( )
( 1)
x
f t
t
f x dt
t e
+
=
+∫ .
α) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0x > ισχύει:
( )
( ) lnf x
e f x x x+ = + .
β) Να αποδείξετε ότι: ( ) lnf x x= για κάθε 0x > .
γ) Να βρείτε το µέγιστο της συνάρτησης g , µε ( ) ( ) ( ), 0
e
g x f x f x
x
= ⋅ > .
δ) Αν 0<α<β<γ, να αποδείξετε ότι ισχύει:
( ) ( ) ( ) ( )f f f fβ α γ β
β α γ β
− −
>
− −
.
ΘΕΜΑ 2
Έστω οι δύο φορές παραγωγίσιµες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν:
( ) ( ) 0f fα α′= = και ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x′′ ′′= για κάθε [ , ]x α β∈ .
α) Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x′ ′= για κάθε [ , ]x α β∈ .
β) Αν ισχύει ( ) 0g x ≠ για κάθε [ , ]x α β∈ να αποδείξετε ότι ισχύει ( ) 0f x = , για
κάθε [ , ]x α β∈ .
ΘΕΜΑ 3
Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση :[ , ]f Rα β → , µε ( )f α α= και ( )f β β= ,
όπου 0<α<β. Να αποδείξετε ότι:
α) υπάρχει εφαπτόµενη ευθεία της fC η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y x=
β) υπάρχει 0 ( , )x α β∈ τέτοιο, ώστε: 0 0( )f x xα β= + − .
γ) υπάρχουν 1 2ξ ξ< τέτοια, ώστε 1 2( ) ( ) 1f fξ ξ′ ′⋅ = .
δ) αν υπάρχει η f ′′ στο [α, β] και είναι συνεχής, ώστε
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
( ) 0xf x dx
β
α
′′ =∫ τότε η εξίσωση: ( ) ( ) 1xf x f x′′ ′+ = έχει λύση στο (α, β).
ΘΕΜΑ 4
Έστω η συνεχής συνάρτηση : Rf R→ για την οποία
ισχύει:
(0)
( )
0
1
( )
1
x
f
f t
f x e dt
e
= − +
+∫ για κάθε x R∈ .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη.
β) Να αποδείξετε ότι ισχύει: ( ) ( )f fβ α β α− ≤ − για κάθε , Rα β ∈ .
γ) Να αποδείξετε ότι:
1
2
0
1
( ) ( (0)) (0) 1
2
f x dx f f= − −∫ .
ΘΕΜΑ 5
Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ , µε παράγωγο f ′ συνεχή στο R
και (0) 0f ′ > , για την οποία ισχύει: ( ) ( )f y f x y x− ≥ − για κάθε ,x y R∈
α) Να αποδείξετε ότι ( ) 1f x′ ≥ για κάθε x R∈
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 2016f x = έχει ακριβώς µια πραγµατική ρίζα.
γ) Να αποδείξετε ότι, αν (0) 0f ≥ , τότε η εξίσωση
1
( ) ( )
x
xf x f t dt= ∫
έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα (0,1).
ΘΕΜΑ 6
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στοR, παραγωγίσιµη στο 0 και για κάθε x R∈
ισχύει:
xf(x)-
1
( )
x
f t dt∫ = xex
-ex
+ x2
+e + 2.
Α) Να αποδείξετε ότι:
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
i) η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει
x · f ′(χ) =xex
+ 2χ.
ii) f(x) = ex
+2x + l , . x R∈
Β) Αν g (x) = xex
+ 2x +1, x R∈ , να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από
τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g και τις ευθείες x = 0 και χ = 1.
ΘΕΜΑ 7
Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ µε (0) 0f > , για την οποία ισχύει:
( ) ( ) ( )f t dt f f
β
α
α β′ ′≤ −∫ για κάθε , Rα β ∈ .
α) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )f x f x′′ = − για κάθε x R∈ .
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση : Rg R→ µε τύπο
2 2
( ) ( ( )) ( ( ))g x f x f x′= + είναι σταθερή.
γ) Να βρείτε το
( )
lim
x
f x
x→+∞
.
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 0x R∈ τέτοιο,
ώστε να ισχύει: 0 0( )f x x= .
ΘΕΜΑ 8
∆ίνεται η συνάρτηση f (χ) = ln 1, 0 ( 0).x x xλ λ− + > >
i. Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.
ii. Έστω Μ το σηµείο πού αντιστοιχεί στο µέγιστο της Cf.
Να βρείτε, για τις διάφορες τιµές του λ, τη καµπύλη στην οποία κινείται το Μ.
iii. Να βρείτε τη µικρότερή τιµή του λ, ώστε να ισχύει ln 1,x xλ≤ − για κάθε χ>0.
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
ΘΕΜΑ 9
Έστω η συνεχής συνάρτηση : Rf R→ για την οποία ισχύει:
( )
( ) 2 ,
x
f t
o
f x te dt x R−
= ∀ ∈∫ .
i. Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R
ii. Αποδείξτε οτι ο τύπος της f είναι
( )f x =
2
ln( 1),x x R+ ∈ .
iii. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο
τιµών της.
iv. Αποδείξτε ότι: 20160
( )
lim
x
f x
x→
= +∞.
v. Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της f στα οποία οι εφαπτοµένες να
είναι κάθετες.
ΘΕΜΑ 10
Έστω µία συνεχής συνάρτηση f: ( )0, R+∞ → για την οποία ισχύει
2
1
( )
( ) 1
x
x
f t x
f x dt
x+
−
= + ∫ , για κάθε χ>0.
A) Να αποδείξετε ότι:
i. Η f είναι παραγωγίσιµη
ii. Ο τύπος της f είναι: f(x) = lnx + l , x>0
iii. Η γραφική παράσταση της f στρέφει τα κοίλα κάτω.
iv. Για κάθε τριάδα αριθµών α, β, γ µε 0 < α < β < γ ισχύει:
( ) ( ) ( ) ( )f f f fβ α γ β
β α γ β
− −
>
− −
B) Να βρείτε το εµβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση
της f, τη γραφική παράσταση της g(χ)=χ και την ευθεία χ=λ (0<λ<1).
Στη συνέχεια να βρείτε το
0
lim ( )E
λ
λ+
→
.
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
ΘΕΜΑ 11
Θεωρούµε τη συνάρτηση f: [α, β] —> R παραγωγίσιµη, µε συνεχή πρώτη παράγωγο,
[ ]0, ( ) , ( ) 0, ,f f x xα β α β α β′≠ ≠ = < ∀ ∈ .
Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη και να βρεθεί το πεδίο ορισµού της
1
f −
Β) Αν η
1
f −
είναι συνεχής και ισχύει
( )
1
( )
( ) ( ) 0
f
f a
f t dt f t dt
β β
α
−
+ =∫ ∫
i) Nα βρεθεί το ( )f β
ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 ∈ (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο
A(x0, f(x0 ) να είναι κάθετη στην ευθεία (ε): χ - y + 2016 = 0
Γ) Να αποδείξετε ότι
i) Υπάρχει µοναδικό ξ ∈ (α,β), τέτοιο ώστε f (ξ) = ξ.
ii) Υπάρξουν ξ1,ξ2 ∈ (α,β) τέτοια ώστε 1 2( ) ( ) 1f fξ ξ′ ′⋅ = .
ΘΕΜΑ 12
∆ίνεται η συνάρτηση
2
( ) 1,f x x x R= + ∈ .
Α) Να βρεθούν τα όρια: κ= lim
( )x
x
f x
συν
→+∞
, λ=
0
lim
( ) 1x
x x
f x
ηµ
→
−
−
, µ=
0
lim
( ) 1x
x
f x
ηµ
+
→ −
Β) α) Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.
β) Αν
1 2 1
0
, 0,1,2,3,...
( )
v
v
x
I dx v
f x
+
= =∫
i) Να βρεθούν τα ολοκληρώµατα 0I , 1I
ii) Ν' αποδειχθεί ότι (2ν +1) vI 12 2 , 2,3,...vIν ν−= − =
και µετά να βρεθεί το 3I .
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
ΘΕΜΑ 13
(α) ∆ίνεται η συνάρτηση
, 0
( )
0 , 0
x x
f x x
x
π
συν

≠
= 
 =
i) ∆είξτε ότι η f είναι συνεχής στο χ=0.
ii) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f.
iii) Αποδείξτε ότι ( ) ( ) , 0xf x f x x
x
π
π ηµ′ − = ⋅ ≠ .
β) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [1,2] , παραγωγίσιµη στο (1,2) , g(1)= -1 , g(2)=0
και ( )g
x
π
συνχ χηµχ′ ≤ + , για κάθε ,
2
x
π
π
 
∈ 
 
.
Να βρείτε τη συνάρτηση g.
γ) Για κάθε 2x ≥ αποδείξτε ότι 1 ( 1) .
1 2
x x
x x
π π π
συν συν< + − <
+
ΘΕΜΑ 14
(α) Να αποδειχθεί ότι 2
1
1
1 4
dt
t
εϕχ
π
χ
−
= +
+∫ , για κάθε ( , )
2 2
π π
χ ∈ − .
(β) Να λυθεί στο R η ανίσωση
2
2 20
1
1 4 1
1 lim
1 1x
dt dt
t t
χ χ
χ π →
−
+ < ⋅
+ +∫ ∫
(γ) Αν f,g συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηµα [0,α] µε
( ) ( ) , ( ) ( )f x f a x g x g a x λ= − + − = , Rλ ∈ , να αποδειχθεί ότι
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
2
a a a
f x g x dx f x g x dx f x dx
λ
α α= − − =∫ ∫ ∫
(δ) Υπολογίστε το ολοκλήρωµα 2
0 1
dx
π
χηµχ
συν χ+∫ .
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
ΘΕΜΑ 15
(α) Να βρεθεί το 2
lim
x
x
e
x→+∞
(β) Για την παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση f ισχύει ( ) ( ),f x f x′ ≠ για κάθε x R∈ .
Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση
( )
1x
f x
e
= έχει το πολύ µια ρίζα στο R .
(γ) ∆ίνονται οι µιγαδικοί 1 2 3, ,z z z µε 1 2 3 4z z z+ + = και τις εικόνες τους σηµεία του
κύκλου µε κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνας ρ=2.
i) Αποδείξτε ότι 1
1
4
z
z
=
ii) Αποδείξτε ότι
1 2 3
1 1 1
1
z z z
+ + =
iii) Να δειχθεί ότι η εξίσωση
2 2 2
1 2 3
x
x z x z x z e+ + + + + = έχει µία µόνο λύση στο R.
ΘΕΜΑ 16
(α) Να αποδειχθεί ότι ln 1x x− ≥ , για κάθε χ>0.
(β) Οι όχθες ενός ποταµού ακολουθούν τις γραµµές y x= και lny x= . Να βρεθεί το
µήκος της µικρότερης γέφυρας µεταξύ των δύο ποταµών που µπορεί να κατασκευασθεί.
(γ) ∆ίνεται η συνάρτηση ( )
ln
x
xe
f x
x x
−
=
−
, χ>0. Να βρεθεί το πεδίο τιµών της.
(δ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση 3 ( ln )x
x e x x= − έχει δύο λύσεις στο (0, ).+∞
ΘΕΜΑ 17
Για τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει
( ) ( )
0 0
( ) 2 ( ) 2
x x
f t f x t
f x x t e dt xe dt− − −
+ − =∫ ∫ , για κάθε x R∈ .
(α) Αποδείξτε ότι
2
( ) ln( 1) ,f x x x R= + ∈
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
(β) Αποδείξτε ότι ( ) 1f x′ ≤ , για κάθε x R∈ .
(γ) Να δειχθεί ότι υπάρχουν µόνο δύο σηµεία της γραφικής παράστασης της f στα οποία
οι εφαπτοµένες της να είναι κάθετες µεταξύ τους.
(δ) Να βρείτε τη µονοτονία της συνάρτησης ( ) ( ) ,g x f x x x R= − ∈ και στη
συνέχεια να λύσετε στο R την εξίσωση
2
1.x
e x= +
ΘΕΜΑ 18
∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση f στο R µε την ιδιότητα
2 (0) (1)
( ) 3 1 ,
2
f f
f x x x
+
≤ − + + για κάθε x R∈ .
(α) Να αποδειχθεί ότι (0) (1) 2.f f− =
(β) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει (0,1)ox ∈ τέτοιο, ώστε
3
( ) (1) .
2
of x f− =
(γ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν 1 2, (0,1)ξ ξ ∈ µε 1 2ξ ξ< και
1 2
1 3
2
( ) ( )f fξ ξ
+ = −
′ ′
.
(δ) Να αποδειχθεί ότι (0) (1) 2.f f′ ′− = −
ΘΕΜΑ 19
(α) ∆ίνεται η συνάρτηση
2 2
1
, 0
g( )
(2 )
ln , 0
x x
e x
x
x
x
x
x
λ
ηµ
λ
+
+ ≤ +
= 
 ⋅ >

(λ>0).
Να αποδειχθεί ότι µια µόνο συνάρτηση από τις συναρτήσεις g είναι συνεχής στο R.
Μεταξύ ποιων ακέραιων βρίσκεται τότε η τιµή του λ;
(β) ∆ίνεται η συνάρτηση 2
ln
( ) , 0.
1
x
f x x
x
= >
+
i) Να αποδειχθεί ότι παρουσιάζει µέγιστο το Μ, για το οποίο ισχύει
1 1
.
8 2
M< <
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
ii) Να αποδειχθεί ότι 2
ln
0 0
1a
x
dx a
x
β
β= ⇔ =
+∫ , για κάθε α,β>0 και α β≠
(όταν αυτοί δεν είναι ίσοι µε το 1).
ΘΕΜΑ 20
Για τη συνάρτηση f ισχύει 3 3
( ) ( ) 27f x f x x+ = , για κάθε x R∈ .
(α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.
(β) Να διαταχτούν σε σειρά οι αριθµοί (ξεκινώντας από το µεγαλύτερο)
f(ln 2)), ( ( 1)) , f(1).f f −
(γ) Να δειχθεί ότι 2
( )
lim 0
x
f x
x→+∞
= και να βρεθεί το όριο
( )
lim .
x
f x
x→+∞
(δ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο µηδέν.
ΘΕΜΑ 21
∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση :(0, )f R+∞ → µε f(1)=0 και
0
( ) ( ) 2 ln
lim ,
h
f x h f x h x
h x x→
+ − − −
= για κάθε χ>0.
(α) Να αποδειχθεί ότι
ln
( ) , 0.
x
f x x
x
= >
(β) Να βρεθούν το πεδίο τιµών και οι ασύµπτωτες της f.
(γ) Για βρεθεί για ποιους φυσικούς αριθµούς ν ισχύει ( ) ( )
1
1 .
ν
ν
ν ν
+
> +
(δ) Αν ( ) 2 ( 2 ln ), 0,g x x x x= − + > να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ευθείες 1 2,ε ε
εφαπτόµενες της γραφικής παράστασης της g παράλληλες µεταξύ τους και τη γωνία που
σχηµατίζουν µε τον άξονα χ΄χ 0, .
4
π
ω
 
∈ 
 
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
ΘΕΜΑ 22
∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ για την οποία ισχύει ( ) 0,f x ≠ για κάθε
χ R∈ και ( )
2( )
3
1
1 ,
( )
f x
e x
f x
− = − για κάθε χ R∈ .
(α) Να βρεθεί η µονοτονία της f και να αποδειχθεί ότι
1
(1) 1.
2
f< <
(β) Να αποδειχθεί ότι ( ) 0f x > στο R και
5 9
5
( ) ( )
x x
x x
f t dt f t dt<∫ ∫ , για κάθε χ 1.≥
(γ) Να λυθεί στο R η ανίσωση
1
1
( ) .
2 x
x
f t dt
−
< ∫
ΘΕΜΑ 23
∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ για την οποία ισχύει
( ) ( ) ( ),xy
f x y e f x f y+ = για κάθε χ,y R∈ ,
f ′ συνεχής στο µηδέν,
( ) 0,f x ≠ για κάθε χ R∈ ,
(0) 0f ′ = .
(α) Να αποδειχθεί ότι ( ) 0f x > στο R.
(β) Να αποδειχθεί ότι
2
2
( ) e , .
x
f x x R= ∈
(γ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα ( )
1
2
0
1 ( ) .I x f x dx= +∫
(δ) Ε(β) είναι το εµβαδόν της επιφάνειας που καθορίζεται από την fC για 0,x ≥ τον
άξονα ψ΄ψ και την ευθεία ε: ψ=β>1. Αν η ευθεία ε τη χρονική στιγµή που β=e2
κινείται
µε ταχύτητα 3m/sec, να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής του Ε(β) τη χρονική στιγµή αυτή.
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
ΘΕΜΑ 24
∆ίνεται ο µιγαδικός , 0, .z x yi x y R= + ≠ ∈
(α) Αν ο αριθµός
z
z
είναι φανταστικός να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του
z στο µιγαδικό επίπεδο.
(β) Να δειχθεί ότι ο
z z
z z
+ είναι πραγµατικός και µάλιστα βρίσκεται στο διάστηµα
( 2,2].−
(γ) Να δειχθεί ότι
( )
1
2
0
1
Im Im( ) ln 1 .
Im( )
z
dx z
z z
  
= ⋅ +       
∫
(δ) Να δειχθεί ότι
1 1
.z i i z
z z
+ + + ≥ +
ΘΕΜΑ 25
Έστω Α(u) , Β(z) , Γ(w) οι εικόνες των µιγαδικών u,z,w µε Β το µέσο του ΑΓ.
Επίσης ισχύουν:
2011
10
23 1
(1 ) 32 16
u
i i
i
= − +
−
1 2 2.w i− − =
(α) Να δειχθεί ότι 9 2u i= − + .
(β) Να δειχθεί ότι 4 2 1.z i+ − =
(γ) Να δειχθεί ότι 4 6.z w≤ − ≤
(δ) Έστω συνάρτηση f στο R µε την ιδιότητα
3 2 201137
( ) ( ) ( ) 1,
4
f x z w f x f x x x+ − + = + −
για κάθε χ R∈ . Να δειχθεί ότι υπάρχει (0,1) ( ) 0.o ox ώ f xστε∈ =
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
ΘΕΜΑ 26
∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση :[0, )f R+∞ → µε f(0)=0 µε την f ′ γνήσια αύξουσα στο
(0, )+∞ . Θεωρούµε επίσης τις συναρτήσεις
( )
( ) , 0
f x
g x x
x
= > και
2
( ) ( ) , 0.
x
F x g t dt x= >∫
(α) Να βρεθεί η µονοτονία της συνάρτησης g.
(β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση F είναι κυρτή.
(γ) Να αποδειχθεί ότι
4
3
(3) (x) .F g dx< ∫
(δ) Αν 1 2 1 2, 0 4,x x x xµε> + = να βρεθεί πότε η παράσταση 1 2(x ) (x )F F+ έχει ελάχιστη
τιµή και να βρεθεί η τιµή αυτή.
ΘΕΜΑ 27
∆ίνονται οι συναρτήσεις :(0, )f R+∞ → µε ( )
2
1
1
( ) ln ln ( ) .
( )
e x
x
f x x t dt g x dt
f t
και= =∫ ∫
(α) Να αποδειχθεί ότι ( ) ln , 0f x x x= > . Στη συνέχεια να βρεθεί η εφαπτοµένη της
συνάρτησης f στο χ=e και να διαπιστωθεί ότι ln , 0.e x x ά xγια κ θε≤ >
(β) Να αποδειχθεί ότι
( )1
1 2
2
1 2
ln ln
2
,
x
x x
x
x x e
 
 
  ≤
−
για κάθε 1 2 1 2, 0 .x x x xµε> ≠
(γ) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτηση g και η µονοτονία της.
(δ) Να βρεθεί το όριο
( )
2
1
( )
lim .
1x
g x
x
+
→ −
ΘΕΜΑ 28
Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ µε (0) 0f = και
2
( ) ,x
f x xe≥
για κάθε χ R∈ .
(α) Να αποδειχθεί ότι (0) 1.f ′ =
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
(β) Να βρεθεί το όριο
2
0
( )
lim .
x
f x
x xηµ→
 
 
 
(γ) Να βρεθεί το ολοκλήρωµα
1
0
.x
xe dx∫
(δ) Αν επιπλέον ισχύει
1
0
( ) 1x
f x e dx−
=∫ , να βρείτε το
1
.
2
f
 
 
 
ΘΕΜΑ 29
∆ίνεται η συνάρτηση
ln( )
( ) , ( ).
x
f x x R
x
λ
λ λ
λ
−
= > ∈
−
(α) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f και η παράγωγος της συνάρτησης g , µε
( )2
( ) ln , .g x x xλ λ= − >
(β) Να βρεθεί για ποιες τιµές του λ η εξίσωση ln( ) (x ) ,x xλ λ λ λ− = − > έχει δύο
ακριβώς λύσεις.
(γ) Να βρεθεί το εµβαδόν της επιφάνειας που καθορίζεται από τη γραφική παράσταση
της f, τον οριζόντιο άξονα χ΄χ και τις ευθείες χ=λ+1 , χ=λ+4.
(δ) Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός µ>1 ώστε
1
( ) 2.f x dx
λ µ
λ
+
+
=∫
ΘΕΜΑ 30
Για τις παραγωγίσιµες στο
1
( , )
3
−∞ συναρτήσεις ,f g ισχύουν:
1
( ) ( ) 0, .
3
f x g x άγια κ θε χ⋅ ≠ <
(0) (0) 1f g= = −
3
( ) ( ) ( )f x g x f x′ = −
3
( ) ( )g ( ).g x f x x′ = −
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
(α) Να βρεθεί η µονοτονία της συνάρτησης f .
(β) Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις ,f g είναι ίσες στο
1
( , ).
3
−∞
(γ) Να αποδειχθεί ότι 3
1
( ) .
1 3
f x
x
= −
−
(δ) Να βρεθεί το εµβαδόν E της επιφάνειας του χωρίου που περικλείεται από τη
γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( ),h x xf x= τον οριζόντιο άξονα χ΄χ και την
ευθεία 1x = − .
ΘΕΜΑ 31
∆ίνεται ο µιγαδικός αριθµός
5
, .
1
i
z R
i
λ
λ
λ
+
= ∈
+
(α) Αν ο z είναι φανταστικός αποδείξτε ότι
2016
1.z =
(β) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού z .
(γ) Αν η εικόνα του µιγαδικού oz ανήκει στον γεωµετρικό τόπο του ερωτήµατος β),
αποδείξτε ότι
2
3
3
1
0
oz i
dx
x x
+
−
=
+∫ .
ΘΕΜΑ 32
∆ίνεται η συνάρτηση f µε
2
ln , 0
( )
0 , 0
x x ax x
f x
x
 + ≠
= 
=
για την οποία ισχύει
2 1
ln , 0.x x ax f ά x
e
για κ θε
 
+ ≥ ≠ 
 
Α]
α1. Εξετάστε την f ως προς τη συνέχεια στο πεδίο ορισµού της.
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
α2. Να αποδείξετε ότι για κάθε 0x ≠ ισχύει ( ) 2 ln .f x x x x a′ = + +
α3. Αποδείξτε ότι (0) 0.fα ′= =
Β]
β1. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα.
β2. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα κοίλα στο διάστηµα (0, )+∞ και να
βρείτε το σηµείο καµπής.
β3. Να βρείτε την εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (1, (1))f και
στη συνέχεια να αποδείξετε ότι ( )
2
100
1
1
( ) .
101
f x dx >∫
β4. Να αποδείξετε ότι 2 (1 ) f(1 2h) , 0.f h ό hπου+ < + >
ΘΕΜΑ 33
Έστω 2z ≠ µιγαδικός αριθµός. Αν για την συνάρτηση f , µε
( ) 1
2
2016 , 0
( )
2 1
, 0
x
z x
e x
xf x
z
x x
x
ηµ
ηµ
 −
+ ⋅ <

= 
− ⋅ >

γνωρίζουµε ότι υπάρχει το 0
lim ( ),
x
f x
→
α) Αποδείξτε ότι 1z = .
β) Να βρεθεί η εξίσωση της γραµµής που βρίσκονται οι εικόνες των µιγαδικών
2
2
z i
w
iz
−
=
+
.
γ) Αν z a iβ= + , ,a Rβ ∈ , να δείξετε ότι η εξίσωση
20163 2
( ) 0x z a x z wβ+ − − = έχει
µοναδική ρίζα στο διάστηµα (0,1).
δ) Αν E το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f και τις
ευθείες , (0 )x m x n m n= = < < , αποδείξτε ότι 3 3 .E m n+ <
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
ΘΕΜΑ 34
Έστω z µιγαδικός αριθµός, µη µηδενικός. Ορίζουµε τη συνάρτηση A µε τύπο
( ) 1 , .A x i xz x R= + − ∈
α) Αν *
Rθ ∈ , αποδείξτε ότι ( ) ( ) .A A z Rθ θ= − ⇔ ∈
β) Αν ισχύει (1) i zA + = να βρεθεί ο µιγαδικός z .
γ) Αν 3z = , να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του (1) (2).A A+
δ) Αν ισχύει 0
( )
lim 1
x
A x
x→
= − , να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο
µιγαδικό επίπεδο.
ε) Αποδείξτε ότι η ευθεία
Im( )
1
z
y z x
z
 
= ⋅ + −  
 
είναι πλάγια ασύµπτωτη της
συνάρτησης A στο .+∞
ΘΕΜΑ 35
∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) (2 ) , (0, ).f x x x x x x xπ συν π ηµ π= − + − ∈
α) Να δειχθεί ότι η f έχει ελάχιστο 0m < και µέγιστο 0M > .
β) Να λυθεί η εξίσωση ( ) 0 , (0, ).f x x π= ∈
γ) Να δειχθεί ότι 2
1 4
, (0, ).
( )
x
ά x
x x
ηµ
για κ θε π
π π π
< ≤ ∈
−
δ) Να βρεθεί το ολοκλήρωµα
2
2 2
6
( )
( x)
f x
dx
x
π
π π
Ι =
−∫ .
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
ΘΕΜΑ 36
Θεωρούµε µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [0, )+∞ µε f ′ γνησίως φθίνουσα στο
[0, )+∞ και (0) 0.f ′ = ∆ίνεται επιπλέον ότι ( ) 0 , 0.f x ά xγια κ θε> >
Ορίζουµε τη συνάρτηση F µε
0
, 0
( )
(x)
1
, 0
(0)
x
x
x
f t dt
F
x
f

>

= 

 =

∫
α) Να δειχθεί ότι (0) 0.f >
β) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση F είναι συνεχής στο 0.
γ) Να βρείτε το όριο
0
3 20
( ) (0) 1
lim x
x
f t dt f x x
L
x x
συν
→
+ + −
=
−
∫
.
δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0x > ισχύει
1
( ) .
( )
F x
f x
<
ε) Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα.
στ) Αν , 0a β > µε
0 0
( ) ( )f t dt f t dt
βα
β α=∫ ∫ , αποδείξτε ότι .α β=
ζ) Να αποδείξετε ότι
1 1
0 0
( ) ( ) ( ) .F t dt F e tF t dt′< −∫ ∫
e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/
ΛΥΣΕΙΣ
Τ Ν
ΘΕΜΑΤ Ν
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

3o επαναληπτικό διαγώνισμα 2017
3o επαναληπτικό διαγώνισμα 20173o επαναληπτικό διαγώνισμα 2017
3o επαναληπτικό διαγώνισμα 2017Athanasios Kopadis
 
Η άσκηση της ημέρας - Σεπτέμβριος 2016
Η άσκηση της ημέρας - Σεπτέμβριος 2016Η άσκηση της ημέρας - Σεπτέμβριος 2016
Η άσκηση της ημέρας - Σεπτέμβριος 2016Μάκης Χατζόπουλος
 
Oefe gkat 2001 2015 problems and solutions
Oefe gkat 2001 2015 problems and solutionsOefe gkat 2001 2015 problems and solutions
Oefe gkat 2001 2015 problems and solutionsChristos Loizos
 
θεματα πανελλαδικων παραγωγοι
θεματα πανελλαδικων παραγωγοιθεματα πανελλαδικων παραγωγοι
θεματα πανελλαδικων παραγωγοιChristos Loizos
 
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_fThemata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_fChristos Loizos
 
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείουEπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείουAthanasios Kopadis
 
100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word
100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word
100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε wordΜάκης Χατζόπουλος
 
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakis
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakisCgen sxol 2015-2016_papagrigorakis
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakisChristos Loizos
 
Odhgos epanalipsis 2015-2016
Odhgos epanalipsis 2015-2016Odhgos epanalipsis 2015-2016
Odhgos epanalipsis 2015-2016Christos Loizos
 
Ασκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ Λυκείου
Ασκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ ΛυκείουΑσκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ Λυκείου
Ασκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]
5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]
5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]Μάκης Χατζόπουλος
 
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakisDiagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakisChristos Loizos
 
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 20161ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016Christos Loizos
 
Diagwnisma prosomoiwshs 2016
Diagwnisma prosomoiwshs 2016Diagwnisma prosomoiwshs 2016
Diagwnisma prosomoiwshs 2016Christos Loizos
 

La actualidad más candente (20)

3o επαναληπτικό διαγώνισμα 2017
3o επαναληπτικό διαγώνισμα 20173o επαναληπτικό διαγώνισμα 2017
3o επαναληπτικό διαγώνισμα 2017
 
Η άσκηση της ημέρας - Σεπτέμβριος 2016
Η άσκηση της ημέρας - Σεπτέμβριος 2016Η άσκηση της ημέρας - Σεπτέμβριος 2016
Η άσκηση της ημέρας - Σεπτέμβριος 2016
 
Oefe gkat 2001 2015 problems and solutions
Oefe gkat 2001 2015 problems and solutionsOefe gkat 2001 2015 problems and solutions
Oefe gkat 2001 2015 problems and solutions
 
θεματα πανελλαδικων παραγωγοι
θεματα πανελλαδικων παραγωγοιθεματα πανελλαδικων παραγωγοι
θεματα πανελλαδικων παραγωγοι
 
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_fThemata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
 
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείουEπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
Eπαναληπτικές ασκήσεις αλγεβρα α λυκείου
 
100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word
100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word
100 επαναληπτικα θεματα στις παραγωγους σε word
 
5. παράγωγοι α' (2013)
5. παράγωγοι α' (2013)5. παράγωγοι α' (2013)
5. παράγωγοι α' (2013)
 
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakis
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakisCgen sxol 2015-2016_papagrigorakis
Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakis
 
1000+1 exercises
1000+1 exercises1000+1 exercises
1000+1 exercises
 
Odhgos epanalipsis 2015-2016
Odhgos epanalipsis 2015-2016Odhgos epanalipsis 2015-2016
Odhgos epanalipsis 2015-2016
 
14η ανάρτηση
14η ανάρτηση14η ανάρτηση
14η ανάρτηση
 
Maths g lykeiou_raptis
Maths g lykeiou_raptisMaths g lykeiou_raptis
Maths g lykeiou_raptis
 
30 ασκήσεις Kεφάλαιο 1 ανάλυσης
30 ασκήσεις  Kεφάλαιο 1  ανάλυσης30 ασκήσεις  Kεφάλαιο 1  ανάλυσης
30 ασκήσεις Kεφάλαιο 1 ανάλυσης
 
Ασκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ Λυκείου
Ασκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ ΛυκείουΑσκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ Λυκείου
Ασκήσεις πολλαπλού τύπου για τη Γ Λυκείου
 
5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]
5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]
5+1 θέματα για τους μαθητές της Γ Λυκείου [νέα ύλη 2020]
 
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakisDiagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
 
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 20161ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016
1ο επαναληπτικό διαγώνισμα 2015 2016
 
Diagwnisma prosomoiwshs 2016
Diagwnisma prosomoiwshs 2016Diagwnisma prosomoiwshs 2016
Diagwnisma prosomoiwshs 2016
 
Askisi 5
Askisi 5Askisi 5
Askisi 5
 

Destacado

Μεγάλη συλλογή ασκήσεων στα ολοκληρώματα (678 λυμένες ασκησεις!!)
Μεγάλη συλλογή ασκήσεων στα ολοκληρώματα (678 λυμένες ασκησεις!!)Μεγάλη συλλογή ασκήσεων στα ολοκληρώματα (678 λυμένες ασκησεις!!)
Μεγάλη συλλογή ασκήσεων στα ολοκληρώματα (678 λυμένες ασκησεις!!)Παύλος Τρύφων
 
Διαγώνισμα στα διανύσματα - Μουσικό Λύκειο Πειραιά (ομάδα B)
Διαγώνισμα στα διανύσματα - Μουσικό Λύκειο Πειραιά (ομάδα B)Διαγώνισμα στα διανύσματα - Μουσικό Λύκειο Πειραιά (ομάδα B)
Διαγώνισμα στα διανύσματα - Μουσικό Λύκειο Πειραιά (ομάδα B)Μάκης Χατζόπουλος
 
Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10
Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10
Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10Μάκης Χατζόπουλος
 
Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016
Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016
Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό Λογισμό
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό ΛογισμόΔιαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό Λογισμό
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό ΛογισμόΜάκης Χατζόπουλος
 
Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017Μάκης Χατζόπουλος
 
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017Μάκης Χατζόπουλος
 
Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη
Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαληΑνάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη
Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαληΜάκης Χατζόπουλος
 

Destacado (16)

Andreas patsis
Andreas patsisAndreas patsis
Andreas patsis
 
Μεγάλη συλλογή ασκήσεων στα ολοκληρώματα (678 λυμένες ασκησεις!!)
Μεγάλη συλλογή ασκήσεων στα ολοκληρώματα (678 λυμένες ασκησεις!!)Μεγάλη συλλογή ασκήσεων στα ολοκληρώματα (678 λυμένες ασκησεις!!)
Μεγάλη συλλογή ασκήσεων στα ολοκληρώματα (678 λυμένες ασκησεις!!)
 
1 10
1 101 10
1 10
 
23η ανάρτηση
23η ανάρτηση23η ανάρτηση
23η ανάρτηση
 
Διαγώνισμα στα διανύσματα - Μουσικό Λύκειο Πειραιά (ομάδα B)
Διαγώνισμα στα διανύσματα - Μουσικό Λύκειο Πειραιά (ομάδα B)Διαγώνισμα στα διανύσματα - Μουσικό Λύκειο Πειραιά (ομάδα B)
Διαγώνισμα στα διανύσματα - Μουσικό Λύκειο Πειραιά (ομάδα B)
 
Λύσεις 51 _ 95 - Μπάρλας
Λύσεις 51 _ 95 - ΜπάρλαςΛύσεις 51 _ 95 - Μπάρλας
Λύσεις 51 _ 95 - Μπάρλας
 
λυσεις 1 50
λυσεις 1 50λυσεις 1 50
λυσεις 1 50
 
Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10
Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10
Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10
 
Διαγώνισμα ΕΠΑΛ 2017
Διαγώνισμα ΕΠΑΛ 2017Διαγώνισμα ΕΠΑΛ 2017
Διαγώνισμα ΕΠΑΛ 2017
 
Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200
 
Ekfoniseis liseis 1-200
Ekfoniseis liseis 1-200Ekfoniseis liseis 1-200
Ekfoniseis liseis 1-200
 
Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016
Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016
Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016
 
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό Λογισμό
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό ΛογισμόΔιαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό Λογισμό
Διαγώνισμα στο κεφάλαιο 2ο: Διαφορικό Λογισμό
 
Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Φεβρουάριος 2017
 
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
Η άσκηση της ημέρας - Ιανουάριος 2017
 
Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη
Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαληΑνάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη
Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη
 

Similar a 36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)Παύλος Τρύφων
 
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)Athanasios Kopadis
 
Σημειώσεις Γ Λυκείου 2016 - 17 του Κώστα Νικολετόπουλου
Σημειώσεις Γ Λυκείου 2016 - 17 του Κώστα ΝικολετόπουλουΣημειώσεις Γ Λυκείου 2016 - 17 του Κώστα Νικολετόπουλου
Σημειώσεις Γ Λυκείου 2016 - 17 του Κώστα ΝικολετόπουλουΜάκης Χατζόπουλος
 
Simeioseis nikoletopoulos g_lykeiou
Simeioseis nikoletopoulos g_lykeiouSimeioseis nikoletopoulos g_lykeiou
Simeioseis nikoletopoulos g_lykeiouChristos Loizos
 
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε wordΜάκης Χατζόπουλος
 
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε wordΜάκης Χατζόπουλος
 
Cpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_b
Cpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_bCpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_b
Cpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_bChristos Loizos
 
Στεργίου - Νάκης - Μαργαρώνης ασκήσεις + λύσεις στο lisari [νέα ύλη 2020]
Στεργίου - Νάκης - Μαργαρώνης ασκήσεις + λύσεις στο lisari [νέα ύλη 2020]Στεργίου - Νάκης - Μαργαρώνης ασκήσεις + λύσεις στο lisari [νέα ύλη 2020]
Στεργίου - Νάκης - Μαργαρώνης ασκήσεις + λύσεις στο lisari [νέα ύλη 2020]Μάκης Χατζόπουλος
 
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_lThemata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_lChristos Loizos
 
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ ΛυκείουΗ εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
44 aristaaaaa copy
44 aristaaaaa copy44 aristaaaaa copy
44 aristaaaaa copyXrimak Makis
 
Γιώργος Μιχαηλίδης-Επαναληπτικές ασκήσεις Γ Λυκείου
Γιώργος Μιχαηλίδης-Επαναληπτικές ασκήσεις Γ ΛυκείουΓιώργος Μιχαηλίδης-Επαναληπτικές ασκήσεις Γ Λυκείου
Γιώργος Μιχαηλίδης-Επαναληπτικές ασκήσεις Γ ΛυκείουΔημήτρης Μοσχόπουλος
 
14ο λύκειο περιστερίου μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-6
14ο λύκειο περιστερίου   μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-614ο λύκειο περιστερίου   μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-6
14ο λύκειο περιστερίου μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-6Christos Loizos
 
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_20172ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017Christos Loizos
 

Similar a 36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!) (20)

36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
 
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)
27 επαναληπτικά θέματα (2017 2018)
 
Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200
 
θεώρημα Rolle θεώρημα μέσης τιμής
θεώρημα Rolle   θεώρημα μέσης τιμήςθεώρημα Rolle   θεώρημα μέσης τιμής
θεώρημα Rolle θεώρημα μέσης τιμής
 
Σημειώσεις Γ Λυκείου 2016 - 17 του Κώστα Νικολετόπουλου
Σημειώσεις Γ Λυκείου 2016 - 17 του Κώστα ΝικολετόπουλουΣημειώσεις Γ Λυκείου 2016 - 17 του Κώστα Νικολετόπουλου
Σημειώσεις Γ Λυκείου 2016 - 17 του Κώστα Νικολετόπουλου
 
Simeioseis nikoletopoulos g_lykeiou
Simeioseis nikoletopoulos g_lykeiouSimeioseis nikoletopoulos g_lykeiou
Simeioseis nikoletopoulos g_lykeiou
 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
 
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
 
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
100 επαναληπτικα θεματα στισ παραγωγουσ σε word
 
Cpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_b
Cpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_bCpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_b
Cpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_b
 
1
11
1
 
Στεργίου - Νάκης - Μαργαρώνης ασκήσεις + λύσεις στο lisari [νέα ύλη 2020]
Στεργίου - Νάκης - Μαργαρώνης ασκήσεις + λύσεις στο lisari [νέα ύλη 2020]Στεργίου - Νάκης - Μαργαρώνης ασκήσεις + λύσεις στο lisari [νέα ύλη 2020]
Στεργίου - Νάκης - Μαργαρώνης ασκήσεις + λύσεις στο lisari [νέα ύλη 2020]
 
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_lThemata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
 
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ ΛυκείουΗ εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
Η εκδίκηση των αρχείων από τη Γ Λυκείου
 
44 aristaaaaa copy
44 aristaaaaa copy44 aristaaaaa copy
44 aristaaaaa copy
 
Γιώργος Μιχαηλίδης-Επαναληπτικές ασκήσεις Γ Λυκείου
Γιώργος Μιχαηλίδης-Επαναληπτικές ασκήσεις Γ ΛυκείουΓιώργος Μιχαηλίδης-Επαναληπτικές ασκήσεις Γ Λυκείου
Γιώργος Μιχαηλίδης-Επαναληπτικές ασκήσεις Γ Λυκείου
 
Exan26f''x cl
Exan26f''x clExan26f''x cl
Exan26f''x cl
 
14ο λύκειο περιστερίου μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-6
14ο λύκειο περιστερίου   μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-614ο λύκειο περιστερίου   μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-6
14ο λύκειο περιστερίου μαθηματικά γ΄ κατεύθυνσης 2015-6
 
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_20172ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017
2ο διαγώνισμα προσομοίωσης_2016_2017
 
Της παραμονης
Της παραμονηςΤης παραμονης
Της παραμονης
 

Más de Παύλος Τρύφων (20)

82 problems
82 problems82 problems
82 problems
 
Livadeia 2019
Livadeia 2019Livadeia 2019
Livadeia 2019
 
Summa
SummaSumma
Summa
 
Livadia 2018
Livadia 2018Livadia 2018
Livadia 2018
 
30h anartisi
30h anartisi30h anartisi
30h anartisi
 
29h anartisi
29h anartisi29h anartisi
29h anartisi
 
28h anartisi
28h anartisi28h anartisi
28h anartisi
 
27h anartisi
27h anartisi27h anartisi
27h anartisi
 
25h anartisi
25h anartisi25h anartisi
25h anartisi
 
24h anartisi
24h anartisi24h anartisi
24h anartisi
 
20η ανάρτηση
20η ανάρτηση20η ανάρτηση
20η ανάρτηση
 
19η ανάρτηση
19η ανάρτηση19η ανάρτηση
19η ανάρτηση
 
18η ανάρτηση
18η ανάρτηση18η ανάρτηση
18η ανάρτηση
 
17η ανάρτηση
17η ανάρτηση17η ανάρτηση
17η ανάρτηση
 
16η ανάρτηση
16η ανάρτηση16η ανάρτηση
16η ανάρτηση
 
15η ανάρτηση
15η ανάρτηση15η ανάρτηση
15η ανάρτηση
 
13η ανάρτηση
13η ανάρτηση13η ανάρτηση
13η ανάρτηση
 
12η ανάρτηση
12η ανάρτηση12η ανάρτηση
12η ανάρτηση
 
11η ανάρτηση
11η ανάρτηση11η ανάρτηση
11η ανάρτηση
 
10η ανάρτηση
10η ανάρτηση10η ανάρτηση
10η ανάρτηση
 

36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνησεις+λυσεις!)

  • 1. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ 36 Επαναληπτικά Θέµατα Μαθηµατικών Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης (µε τις λύσεις τους) Πηγή θεµάτων: Κώστας Μπιρµπίλης 6972 700 516 Ασηµακόπουλος Γιώργος http://gsimos.weebly.com/ Χειρόγραφη επίλυση θεµάτων: Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ pavtrifon@gmail.com
  • 2. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ ΘΕΜΑ 1 Έστω η συνεχής συνάρτηση :(0, )f R+∞ → τέτοια ώστε για κάθε 0x > να ισχύει: ( ) 1 1 ( ) ( 1) x f t t f x dt t e + = +∫ . α) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0x > ισχύει: ( ) ( ) lnf x e f x x x+ = + . β) Να αποδείξετε ότι: ( ) lnf x x= για κάθε 0x > . γ) Να βρείτε το µέγιστο της συνάρτησης g , µε ( ) ( ) ( ), 0 e g x f x f x x = ⋅ > . δ) Αν 0<α<β<γ, να αποδείξετε ότι ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )f f f fβ α γ β β α γ β − − > − − . ΘΕΜΑ 2 Έστω οι δύο φορές παραγωγίσιµες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν: ( ) ( ) 0f fα α′= = και ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x′′ ′′= για κάθε [ , ]x α β∈ . α) Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x′ ′= για κάθε [ , ]x α β∈ . β) Αν ισχύει ( ) 0g x ≠ για κάθε [ , ]x α β∈ να αποδείξετε ότι ισχύει ( ) 0f x = , για κάθε [ , ]x α β∈ . ΘΕΜΑ 3 Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση :[ , ]f Rα β → , µε ( )f α α= και ( )f β β= , όπου 0<α<β. Να αποδείξετε ότι: α) υπάρχει εφαπτόµενη ευθεία της fC η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y x= β) υπάρχει 0 ( , )x α β∈ τέτοιο, ώστε: 0 0( )f x xα β= + − . γ) υπάρχουν 1 2ξ ξ< τέτοια, ώστε 1 2( ) ( ) 1f fξ ξ′ ′⋅ = . δ) αν υπάρχει η f ′′ στο [α, β] και είναι συνεχής, ώστε
  • 3. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ ( ) 0xf x dx β α ′′ =∫ τότε η εξίσωση: ( ) ( ) 1xf x f x′′ ′+ = έχει λύση στο (α, β). ΘΕΜΑ 4 Έστω η συνεχής συνάρτηση : Rf R→ για την οποία ισχύει: (0) ( ) 0 1 ( ) 1 x f f t f x e dt e = − + +∫ για κάθε x R∈ . α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη. β) Να αποδείξετε ότι ισχύει: ( ) ( )f fβ α β α− ≤ − για κάθε , Rα β ∈ . γ) Να αποδείξετε ότι: 1 2 0 1 ( ) ( (0)) (0) 1 2 f x dx f f= − −∫ . ΘΕΜΑ 5 Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ , µε παράγωγο f ′ συνεχή στο R και (0) 0f ′ > , για την οποία ισχύει: ( ) ( )f y f x y x− ≥ − για κάθε ,x y R∈ α) Να αποδείξετε ότι ( ) 1f x′ ≥ για κάθε x R∈ β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 2016f x = έχει ακριβώς µια πραγµατική ρίζα. γ) Να αποδείξετε ότι, αν (0) 0f ≥ , τότε η εξίσωση 1 ( ) ( ) x xf x f t dt= ∫ έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα (0,1). ΘΕΜΑ 6 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στοR, παραγωγίσιµη στο 0 και για κάθε x R∈ ισχύει: xf(x)- 1 ( ) x f t dt∫ = xex -ex + x2 +e + 2. Α) Να αποδείξετε ότι:
  • 4. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ i) η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει x · f ′(χ) =xex + 2χ. ii) f(x) = ex +2x + l , . x R∈ Β) Αν g (x) = xex + 2x +1, x R∈ , να βρεθεί το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g και τις ευθείες x = 0 και χ = 1. ΘΕΜΑ 7 Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ µε (0) 0f > , για την οποία ισχύει: ( ) ( ) ( )f t dt f f β α α β′ ′≤ −∫ για κάθε , Rα β ∈ . α) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )f x f x′′ = − για κάθε x R∈ . β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση : Rg R→ µε τύπο 2 2 ( ) ( ( )) ( ( ))g x f x f x′= + είναι σταθερή. γ) Να βρείτε το ( ) lim x f x x→+∞ . δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 0x R∈ τέτοιο, ώστε να ισχύει: 0 0( )f x x= . ΘΕΜΑ 8 ∆ίνεται η συνάρτηση f (χ) = ln 1, 0 ( 0).x x xλ λ− + > > i. Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. ii. Έστω Μ το σηµείο πού αντιστοιχεί στο µέγιστο της Cf. Να βρείτε, για τις διάφορες τιµές του λ, τη καµπύλη στην οποία κινείται το Μ. iii. Να βρείτε τη µικρότερή τιµή του λ, ώστε να ισχύει ln 1,x xλ≤ − για κάθε χ>0.
  • 5. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ ΘΕΜΑ 9 Έστω η συνεχής συνάρτηση : Rf R→ για την οποία ισχύει: ( ) ( ) 2 , x f t o f x te dt x R− = ∀ ∈∫ . i. Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R ii. Αποδείξτε οτι ο τύπος της f είναι ( )f x = 2 ln( 1),x x R+ ∈ . iii. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιµών της. iv. Αποδείξτε ότι: 20160 ( ) lim x f x x→ = +∞. v. Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της f στα οποία οι εφαπτοµένες να είναι κάθετες. ΘΕΜΑ 10 Έστω µία συνεχής συνάρτηση f: ( )0, R+∞ → για την οποία ισχύει 2 1 ( ) ( ) 1 x x f t x f x dt x+ − = + ∫ , για κάθε χ>0. A) Να αποδείξετε ότι: i. Η f είναι παραγωγίσιµη ii. Ο τύπος της f είναι: f(x) = lnx + l , x>0 iii. Η γραφική παράσταση της f στρέφει τα κοίλα κάτω. iv. Για κάθε τριάδα αριθµών α, β, γ µε 0 < α < β < γ ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )f f f fβ α γ β β α γ β − − > − − B) Να βρείτε το εµβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τη γραφική παράσταση της g(χ)=χ και την ευθεία χ=λ (0<λ<1). Στη συνέχεια να βρείτε το 0 lim ( )E λ λ+ → .
  • 6. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ ΘΕΜΑ 11 Θεωρούµε τη συνάρτηση f: [α, β] —> R παραγωγίσιµη, µε συνεχή πρώτη παράγωγο, [ ]0, ( ) , ( ) 0, ,f f x xα β α β α β′≠ ≠ = < ∀ ∈ . Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη και να βρεθεί το πεδίο ορισµού της 1 f − Β) Αν η 1 f − είναι συνεχής και ισχύει ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 f f a f t dt f t dt β β α − + =∫ ∫ i) Nα βρεθεί το ( )f β ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 ∈ (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο A(x0, f(x0 ) να είναι κάθετη στην ευθεία (ε): χ - y + 2016 = 0 Γ) Να αποδείξετε ότι i) Υπάρχει µοναδικό ξ ∈ (α,β), τέτοιο ώστε f (ξ) = ξ. ii) Υπάρξουν ξ1,ξ2 ∈ (α,β) τέτοια ώστε 1 2( ) ( ) 1f fξ ξ′ ′⋅ = . ΘΕΜΑ 12 ∆ίνεται η συνάρτηση 2 ( ) 1,f x x x R= + ∈ . Α) Να βρεθούν τα όρια: κ= lim ( )x x f x συν →+∞ , λ= 0 lim ( ) 1x x x f x ηµ → − − , µ= 0 lim ( ) 1x x f x ηµ + → − Β) α) Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. β) Αν 1 2 1 0 , 0,1,2,3,... ( ) v v x I dx v f x + = =∫ i) Να βρεθούν τα ολοκληρώµατα 0I , 1I ii) Ν' αποδειχθεί ότι (2ν +1) vI 12 2 , 2,3,...vIν ν−= − = και µετά να βρεθεί το 3I .
  • 7. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ ΘΕΜΑ 13 (α) ∆ίνεται η συνάρτηση , 0 ( ) 0 , 0 x x f x x x π συν  ≠ =   = i) ∆είξτε ότι η f είναι συνεχής στο χ=0. ii) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f. iii) Αποδείξτε ότι ( ) ( ) , 0xf x f x x x π π ηµ′ − = ⋅ ≠ . β) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [1,2] , παραγωγίσιµη στο (1,2) , g(1)= -1 , g(2)=0 και ( )g x π συνχ χηµχ′ ≤ + , για κάθε , 2 x π π   ∈    . Να βρείτε τη συνάρτηση g. γ) Για κάθε 2x ≥ αποδείξτε ότι 1 ( 1) . 1 2 x x x x π π π συν συν< + − < + ΘΕΜΑ 14 (α) Να αποδειχθεί ότι 2 1 1 1 4 dt t εϕχ π χ − = + +∫ , για κάθε ( , ) 2 2 π π χ ∈ − . (β) Να λυθεί στο R η ανίσωση 2 2 20 1 1 4 1 1 lim 1 1x dt dt t t χ χ χ π → − + < ⋅ + +∫ ∫ (γ) Αν f,g συναρτήσεις συνεχείς στο διάστηµα [0,α] µε ( ) ( ) , ( ) ( )f x f a x g x g a x λ= − + − = , Rλ ∈ , να αποδειχθεί ότι 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 a a a f x g x dx f x g x dx f x dx λ α α= − − =∫ ∫ ∫ (δ) Υπολογίστε το ολοκλήρωµα 2 0 1 dx π χηµχ συν χ+∫ .
  • 8. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ ΘΕΜΑ 15 (α) Να βρεθεί το 2 lim x x e x→+∞ (β) Για την παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση f ισχύει ( ) ( ),f x f x′ ≠ για κάθε x R∈ . Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ( ) 1x f x e = έχει το πολύ µια ρίζα στο R . (γ) ∆ίνονται οι µιγαδικοί 1 2 3, ,z z z µε 1 2 3 4z z z+ + = και τις εικόνες τους σηµεία του κύκλου µε κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνας ρ=2. i) Αποδείξτε ότι 1 1 4 z z = ii) Αποδείξτε ότι 1 2 3 1 1 1 1 z z z + + = iii) Να δειχθεί ότι η εξίσωση 2 2 2 1 2 3 x x z x z x z e+ + + + + = έχει µία µόνο λύση στο R. ΘΕΜΑ 16 (α) Να αποδειχθεί ότι ln 1x x− ≥ , για κάθε χ>0. (β) Οι όχθες ενός ποταµού ακολουθούν τις γραµµές y x= και lny x= . Να βρεθεί το µήκος της µικρότερης γέφυρας µεταξύ των δύο ποταµών που µπορεί να κατασκευασθεί. (γ) ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ln x xe f x x x − = − , χ>0. Να βρεθεί το πεδίο τιµών της. (δ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση 3 ( ln )x x e x x= − έχει δύο λύσεις στο (0, ).+∞ ΘΕΜΑ 17 Για τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει ( ) ( ) 0 0 ( ) 2 ( ) 2 x x f t f x t f x x t e dt xe dt− − − + − =∫ ∫ , για κάθε x R∈ . (α) Αποδείξτε ότι 2 ( ) ln( 1) ,f x x x R= + ∈
  • 9. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ (β) Αποδείξτε ότι ( ) 1f x′ ≤ , για κάθε x R∈ . (γ) Να δειχθεί ότι υπάρχουν µόνο δύο σηµεία της γραφικής παράστασης της f στα οποία οι εφαπτοµένες της να είναι κάθετες µεταξύ τους. (δ) Να βρείτε τη µονοτονία της συνάρτησης ( ) ( ) ,g x f x x x R= − ∈ και στη συνέχεια να λύσετε στο R την εξίσωση 2 1.x e x= + ΘΕΜΑ 18 ∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση f στο R µε την ιδιότητα 2 (0) (1) ( ) 3 1 , 2 f f f x x x + ≤ − + + για κάθε x R∈ . (α) Να αποδειχθεί ότι (0) (1) 2.f f− = (β) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει (0,1)ox ∈ τέτοιο, ώστε 3 ( ) (1) . 2 of x f− = (γ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν 1 2, (0,1)ξ ξ ∈ µε 1 2ξ ξ< και 1 2 1 3 2 ( ) ( )f fξ ξ + = − ′ ′ . (δ) Να αποδειχθεί ότι (0) (1) 2.f f′ ′− = − ΘΕΜΑ 19 (α) ∆ίνεται η συνάρτηση 2 2 1 , 0 g( ) (2 ) ln , 0 x x e x x x x x x λ ηµ λ + + ≤ + =   ⋅ >  (λ>0). Να αποδειχθεί ότι µια µόνο συνάρτηση από τις συναρτήσεις g είναι συνεχής στο R. Μεταξύ ποιων ακέραιων βρίσκεται τότε η τιµή του λ; (β) ∆ίνεται η συνάρτηση 2 ln ( ) , 0. 1 x f x x x = > + i) Να αποδειχθεί ότι παρουσιάζει µέγιστο το Μ, για το οποίο ισχύει 1 1 . 8 2 M< <
  • 10. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ ii) Να αποδειχθεί ότι 2 ln 0 0 1a x dx a x β β= ⇔ = +∫ , για κάθε α,β>0 και α β≠ (όταν αυτοί δεν είναι ίσοι µε το 1). ΘΕΜΑ 20 Για τη συνάρτηση f ισχύει 3 3 ( ) ( ) 27f x f x x+ = , για κάθε x R∈ . (α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. (β) Να διαταχτούν σε σειρά οι αριθµοί (ξεκινώντας από το µεγαλύτερο) f(ln 2)), ( ( 1)) , f(1).f f − (γ) Να δειχθεί ότι 2 ( ) lim 0 x f x x→+∞ = και να βρεθεί το όριο ( ) lim . x f x x→+∞ (δ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο µηδέν. ΘΕΜΑ 21 ∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση :(0, )f R+∞ → µε f(1)=0 και 0 ( ) ( ) 2 ln lim , h f x h f x h x h x x→ + − − − = για κάθε χ>0. (α) Να αποδειχθεί ότι ln ( ) , 0. x f x x x = > (β) Να βρεθούν το πεδίο τιµών και οι ασύµπτωτες της f. (γ) Για βρεθεί για ποιους φυσικούς αριθµούς ν ισχύει ( ) ( ) 1 1 . ν ν ν ν + > + (δ) Αν ( ) 2 ( 2 ln ), 0,g x x x x= − + > να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ευθείες 1 2,ε ε εφαπτόµενες της γραφικής παράστασης της g παράλληλες µεταξύ τους και τη γωνία που σχηµατίζουν µε τον άξονα χ΄χ 0, . 4 π ω   ∈   
  • 11. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ ΘΕΜΑ 22 ∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ για την οποία ισχύει ( ) 0,f x ≠ για κάθε χ R∈ και ( ) 2( ) 3 1 1 , ( ) f x e x f x − = − για κάθε χ R∈ . (α) Να βρεθεί η µονοτονία της f και να αποδειχθεί ότι 1 (1) 1. 2 f< < (β) Να αποδειχθεί ότι ( ) 0f x > στο R και 5 9 5 ( ) ( ) x x x x f t dt f t dt<∫ ∫ , για κάθε χ 1.≥ (γ) Να λυθεί στο R η ανίσωση 1 1 ( ) . 2 x x f t dt − < ∫ ΘΕΜΑ 23 ∆ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ για την οποία ισχύει ( ) ( ) ( ),xy f x y e f x f y+ = για κάθε χ,y R∈ , f ′ συνεχής στο µηδέν, ( ) 0,f x ≠ για κάθε χ R∈ , (0) 0f ′ = . (α) Να αποδειχθεί ότι ( ) 0f x > στο R. (β) Να αποδειχθεί ότι 2 2 ( ) e , . x f x x R= ∈ (γ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα ( ) 1 2 0 1 ( ) .I x f x dx= +∫ (δ) Ε(β) είναι το εµβαδόν της επιφάνειας που καθορίζεται από την fC για 0,x ≥ τον άξονα ψ΄ψ και την ευθεία ε: ψ=β>1. Αν η ευθεία ε τη χρονική στιγµή που β=e2 κινείται µε ταχύτητα 3m/sec, να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής του Ε(β) τη χρονική στιγµή αυτή.
  • 12. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ ΘΕΜΑ 24 ∆ίνεται ο µιγαδικός , 0, .z x yi x y R= + ≠ ∈ (α) Αν ο αριθµός z z είναι φανταστικός να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο. (β) Να δειχθεί ότι ο z z z z + είναι πραγµατικός και µάλιστα βρίσκεται στο διάστηµα ( 2,2].− (γ) Να δειχθεί ότι ( ) 1 2 0 1 Im Im( ) ln 1 . Im( ) z dx z z z    = ⋅ +        ∫ (δ) Να δειχθεί ότι 1 1 .z i i z z z + + + ≥ + ΘΕΜΑ 25 Έστω Α(u) , Β(z) , Γ(w) οι εικόνες των µιγαδικών u,z,w µε Β το µέσο του ΑΓ. Επίσης ισχύουν: 2011 10 23 1 (1 ) 32 16 u i i i = − + − 1 2 2.w i− − = (α) Να δειχθεί ότι 9 2u i= − + . (β) Να δειχθεί ότι 4 2 1.z i+ − = (γ) Να δειχθεί ότι 4 6.z w≤ − ≤ (δ) Έστω συνάρτηση f στο R µε την ιδιότητα 3 2 201137 ( ) ( ) ( ) 1, 4 f x z w f x f x x x+ − + = + − για κάθε χ R∈ . Να δειχθεί ότι υπάρχει (0,1) ( ) 0.o ox ώ f xστε∈ =
  • 13. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ ΘΕΜΑ 26 ∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση :[0, )f R+∞ → µε f(0)=0 µε την f ′ γνήσια αύξουσα στο (0, )+∞ . Θεωρούµε επίσης τις συναρτήσεις ( ) ( ) , 0 f x g x x x = > και 2 ( ) ( ) , 0. x F x g t dt x= >∫ (α) Να βρεθεί η µονοτονία της συνάρτησης g. (β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση F είναι κυρτή. (γ) Να αποδειχθεί ότι 4 3 (3) (x) .F g dx< ∫ (δ) Αν 1 2 1 2, 0 4,x x x xµε> + = να βρεθεί πότε η παράσταση 1 2(x ) (x )F F+ έχει ελάχιστη τιµή και να βρεθεί η τιµή αυτή. ΘΕΜΑ 27 ∆ίνονται οι συναρτήσεις :(0, )f R+∞ → µε ( ) 2 1 1 ( ) ln ln ( ) . ( ) e x x f x x t dt g x dt f t και= =∫ ∫ (α) Να αποδειχθεί ότι ( ) ln , 0f x x x= > . Στη συνέχεια να βρεθεί η εφαπτοµένη της συνάρτησης f στο χ=e και να διαπιστωθεί ότι ln , 0.e x x ά xγια κ θε≤ > (β) Να αποδειχθεί ότι ( )1 1 2 2 1 2 ln ln 2 , x x x x x x e       ≤ − για κάθε 1 2 1 2, 0 .x x x xµε> ≠ (γ) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτηση g και η µονοτονία της. (δ) Να βρεθεί το όριο ( ) 2 1 ( ) lim . 1x g x x + → − ΘΕΜΑ 28 Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση : Rf R→ µε (0) 0f = και 2 ( ) ,x f x xe≥ για κάθε χ R∈ . (α) Να αποδειχθεί ότι (0) 1.f ′ =
  • 14. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ (β) Να βρεθεί το όριο 2 0 ( ) lim . x f x x xηµ→       (γ) Να βρεθεί το ολοκλήρωµα 1 0 .x xe dx∫ (δ) Αν επιπλέον ισχύει 1 0 ( ) 1x f x e dx− =∫ , να βρείτε το 1 . 2 f       ΘΕΜΑ 29 ∆ίνεται η συνάρτηση ln( ) ( ) , ( ). x f x x R x λ λ λ λ − = > ∈ − (α) Να βρεθεί το σύνολο τιµών της f και η παράγωγος της συνάρτησης g , µε ( )2 ( ) ln , .g x x xλ λ= − > (β) Να βρεθεί για ποιες τιµές του λ η εξίσωση ln( ) (x ) ,x xλ λ λ λ− = − > έχει δύο ακριβώς λύσεις. (γ) Να βρεθεί το εµβαδόν της επιφάνειας που καθορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τον οριζόντιο άξονα χ΄χ και τις ευθείες χ=λ+1 , χ=λ+4. (δ) Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός µ>1 ώστε 1 ( ) 2.f x dx λ µ λ + + =∫ ΘΕΜΑ 30 Για τις παραγωγίσιµες στο 1 ( , ) 3 −∞ συναρτήσεις ,f g ισχύουν: 1 ( ) ( ) 0, . 3 f x g x άγια κ θε χ⋅ ≠ < (0) (0) 1f g= = − 3 ( ) ( ) ( )f x g x f x′ = − 3 ( ) ( )g ( ).g x f x x′ = −
  • 15. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ (α) Να βρεθεί η µονοτονία της συνάρτησης f . (β) Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις ,f g είναι ίσες στο 1 ( , ). 3 −∞ (γ) Να αποδειχθεί ότι 3 1 ( ) . 1 3 f x x = − − (δ) Να βρεθεί το εµβαδόν E της επιφάνειας του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( ),h x xf x= τον οριζόντιο άξονα χ΄χ και την ευθεία 1x = − . ΘΕΜΑ 31 ∆ίνεται ο µιγαδικός αριθµός 5 , . 1 i z R i λ λ λ + = ∈ + (α) Αν ο z είναι φανταστικός αποδείξτε ότι 2016 1.z = (β) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού z . (γ) Αν η εικόνα του µιγαδικού oz ανήκει στον γεωµετρικό τόπο του ερωτήµατος β), αποδείξτε ότι 2 3 3 1 0 oz i dx x x + − = +∫ . ΘΕΜΑ 32 ∆ίνεται η συνάρτηση f µε 2 ln , 0 ( ) 0 , 0 x x ax x f x x  + ≠ =  = για την οποία ισχύει 2 1 ln , 0.x x ax f ά x e για κ θε   + ≥ ≠    Α] α1. Εξετάστε την f ως προς τη συνέχεια στο πεδίο ορισµού της.
  • 16. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ α2. Να αποδείξετε ότι για κάθε 0x ≠ ισχύει ( ) 2 ln .f x x x x a′ = + + α3. Αποδείξτε ότι (0) 0.fα ′= = Β] β1. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. β2. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα κοίλα στο διάστηµα (0, )+∞ και να βρείτε το σηµείο καµπής. β3. Να βρείτε την εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (1, (1))f και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι ( ) 2 100 1 1 ( ) . 101 f x dx >∫ β4. Να αποδείξετε ότι 2 (1 ) f(1 2h) , 0.f h ό hπου+ < + > ΘΕΜΑ 33 Έστω 2z ≠ µιγαδικός αριθµός. Αν για την συνάρτηση f , µε ( ) 1 2 2016 , 0 ( ) 2 1 , 0 x z x e x xf x z x x x ηµ ηµ  − + ⋅ <  =  − ⋅ >  γνωρίζουµε ότι υπάρχει το 0 lim ( ), x f x → α) Αποδείξτε ότι 1z = . β) Να βρεθεί η εξίσωση της γραµµής που βρίσκονται οι εικόνες των µιγαδικών 2 2 z i w iz − = + . γ) Αν z a iβ= + , ,a Rβ ∈ , να δείξετε ότι η εξίσωση 20163 2 ( ) 0x z a x z wβ+ − − = έχει µοναδική ρίζα στο διάστηµα (0,1). δ) Αν E το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες , (0 )x m x n m n= = < < , αποδείξτε ότι 3 3 .E m n+ <
  • 17. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ ΘΕΜΑ 34 Έστω z µιγαδικός αριθµός, µη µηδενικός. Ορίζουµε τη συνάρτηση A µε τύπο ( ) 1 , .A x i xz x R= + − ∈ α) Αν * Rθ ∈ , αποδείξτε ότι ( ) ( ) .A A z Rθ θ= − ⇔ ∈ β) Αν ισχύει (1) i zA + = να βρεθεί ο µιγαδικός z . γ) Αν 3z = , να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του (1) (2).A A+ δ) Αν ισχύει 0 ( ) lim 1 x A x x→ = − , να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο. ε) Αποδείξτε ότι η ευθεία Im( ) 1 z y z x z   = ⋅ + −     είναι πλάγια ασύµπτωτη της συνάρτησης A στο .+∞ ΘΕΜΑ 35 ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) (2 ) , (0, ).f x x x x x x xπ συν π ηµ π= − + − ∈ α) Να δειχθεί ότι η f έχει ελάχιστο 0m < και µέγιστο 0M > . β) Να λυθεί η εξίσωση ( ) 0 , (0, ).f x x π= ∈ γ) Να δειχθεί ότι 2 1 4 , (0, ). ( ) x ά x x x ηµ για κ θε π π π π < ≤ ∈ − δ) Να βρεθεί το ολοκλήρωµα 2 2 2 6 ( ) ( x) f x dx x π π π Ι = −∫ .
  • 18. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ ΘΕΜΑ 36 Θεωρούµε µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [0, )+∞ µε f ′ γνησίως φθίνουσα στο [0, )+∞ και (0) 0.f ′ = ∆ίνεται επιπλέον ότι ( ) 0 , 0.f x ά xγια κ θε> > Ορίζουµε τη συνάρτηση F µε 0 , 0 ( ) (x) 1 , 0 (0) x x x f t dt F x f  >  =    =  ∫ α) Να δειχθεί ότι (0) 0.f > β) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση F είναι συνεχής στο 0. γ) Να βρείτε το όριο 0 3 20 ( ) (0) 1 lim x x f t dt f x x L x x συν → + + − = − ∫ . δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0x > ισχύει 1 ( ) . ( ) F x f x < ε) Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα. στ) Αν , 0a β > µε 0 0 ( ) ( )f t dt f t dt βα β α=∫ ∫ , αποδείξτε ότι .α β= ζ) Να αποδείξετε ότι 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) .F t dt F e tF t dt′< −∫ ∫
  • 19. e-τάξη µου Παύλος Τρύφων http://blogs.sch.gr/pavtryfon/ ΛΥΣΕΙΣ Τ Ν ΘΕΜΑΤ Ν