2. .

3. Matemática Básica
Volume único – Módulo 1 Dirce Uesu Pesco
5ª edição
Roberto Geraldo Tavares Arnaut
Apoio:

4. Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira – Rio de Janeiro, RJ – CEP 20943-001
Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725
Presidente
Masako Oya Masuda
Vice-presidente
Mirian Crapez
Coordenação do Curso de Matemática
UFF - Regina Moreth
UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca
Material Didático
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Departamento de Produção
Dirce Uesu Pesco
Roberto Geraldo Tavares Arnaut EDITORA PROGRAMAÇÃO VISUAL
Tereza Queiroz Giuseppe Toscano
COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO
Cristine Costa Barreto COORDENAÇÃO EDITORIAL CAPA
Jane Castellani Eduardo Bordoni
COORDENAÇÃO DE LINGUAGEM
Maria Angélica Alves Sami Souza
COORDENAÇÃO DE
PRODUÇÃO PRODUÇÃO GRÁFICA
Jorge Moura Fábio Rapello Alencar
Copyright © 2005, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio
eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.
A745m
Pesco, Dirce Uesu.
Matemática básica. v. único / Dirce Uesu Pesco; Roberto Geraldo
Tavares Arnaut. 5.ed. – Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2009.
324p.; 21 x 29,7 cm.
ISBN: 978-85-7648-424-0
1. Fatoração. 2. Equação do 1° grau. 3. Equação do 2º grau.
4. Progressão aritmética. 5. Progressão geométrica. 6. Análise
combinatória. I.Título.
2009/2 CDD: 510
Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.

5. Governo do Estado do Rio de Janeiro
Governador
Sérgio Cabral Filho
Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia
Alexandre Cardoso
Universidades Consorciadas
UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO
NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO RIO DE JANEIRO
Reitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho Reitor: Aloísio Teixeira
UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL
RIO DE JANEIRO DO RIO DE JANEIRO
Reitor: Ricardo Vieiralves Reitor: Ricardo Motta Miranda
UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO
Reitor: Roberto de Souza Salles DO RIO DE JANEIRO
Reitora: Malvina Tania Tuttman

7. Matemática Básica Volume único – Módulo 1
SUMÁRIO Apresentação e Objetivos ____________________________________ 7
Aula 1 – Frações _____________________________________________ 11
Aula 2 – Números Decimais _____________________________________ 37
Aula 3 – Potenciação __________________________________________ 53
Aula 4 – Radiciação___________________________________________ 59
Aula 5 – Fatoração ___________________________________________ 69
Aula 6 – Equação do 1º grau ____________________________________ 77
Aula 7 – Sistema de Equações do 1º grau___________________________ 81
Aula 8 – Equação do 2º grau ____________________________________ 85
Aula 9 – Inequação do 1º grau___________________________________ 93
Aula 10 – Progressão Aritmética ________________________________ 103
Aula 11 – Progressão Geométrica _______________________________ 115
Aula 12 – Conjuntos _________________________________________ 129
Aula 13 – Introdução às Funções _______________________________ 141
Aula 14 – Funções Compostas e Inversa __________________________ 159
Aula 15 – Função do 1º grau___________________________________ 171
Aula 16 – Função Quadrática __________________________________ 183
Aula 17 – Função Modular ____________________________________ 195
Aula 18 – Função Exponencial _________________________________ 205
Aula 19 – Função Logaritmo ___________________________________ 215
Aula 20 – Trigonometria ______________________________________ 231
Aula 21 – Funções Trigonométricas ______________________________ 243
Aula 22 – Relações Fundamentais e Redução ao 1º Quadrante _________ 263
Aula 23 – Transformações_____________________________________ 277
Aula 24 – Equações Trigonométricas _____________________________ 291
Aula 25 – Funções Circulares Inversas ____________________________ 305
Aula 26 – Inequações Trigonométricas ___________________________ 313

9. Apresenta¸˜o e Objetivos
ca
Prezado(a) aluno(a), gostar´ıamos de dar boas-vindas nesta que pode
ser considerada a primeira disciplina do seu Curso de Licenciatura em Ma-
tem´tica da UFF/CEDERJ/UAB. Vocˆ est´ iniciando uma jornada que mu-
a e a
dar´ a sua vida. Vocˆ agora ´ parte de uma universidade p´blica, que lhe
a e e u
oferece a oportunidade de obter uma forma¸˜o de excelente qualidade.
ca
Estamos felizes por iniciar esta caminhada juntos em dire¸˜o a este
ca
t˜o nobre objetivo que ´ a forma¸˜o de quadros docentes com qualidade em
a e ca
nosso Estado, para atua¸˜o nos Ensinos Fundamental e M´dio. Para atingir
ca e
t˜o precioso objetivo, planejamos um curso aberto, com a maior flexibilidade
a
poss´
ıvel, e favorecendo o processo individual de constru¸˜o de sua autonomia.
ca
A proposta do curso ´ a forma¸˜o de qualidade diversificada, permitindo
e ca
planejar caminhadas futuras em P´s-gradua¸˜es, sem limites na escalada do
o co
processo de conhecimento, na perspectiva maior da educa¸ao autˆnoma, cujo
c˜ o
lema ´ aprender ao longo da vida.
e
Em todo o curso de Gradua¸˜o do CEDERJ, apoiado na metodologia
ca
da Educa¸˜o a Distˆncia, a orienta¸˜o de estudos ´ uma forte componente.
ca a ca e
Vocˆ, provavelmente, est´ cursando esta disciplina por orienta¸˜o da
e a ca
coordena¸˜o do curso, que ponderou oportuna uma recupera¸˜o de estudos
ca ca
centrada em conte´dos importantes de Matem´tica, pelos quais vocˆ passou
u a e
no Ensino M´dio. N˜o considere esta tarefa menor. Em nenhuma ´rea
e a a
do conhecimento os conte´dos est˜o t˜o encadeados e dependentes uns dos
u a a
outros como em Matem´tica.
a
Se construirmos um bom alicerce, o edif´ ser´ s´lido!
ıcio a o
Como in´ ıcio de percurso nesta boa jornada, teremos o tempo de cami-
nhar e de descansar e tamb´m de enfrentar algumas ladeiras. Faz parte do
e
´
jogo! E imposs´ chegar a lugares significativos, sem subir uma ladeira!
ıvel
Mas, uma vez no alto do morro, poderemos contemplar o horizonte que des-
cortina a bela paisagem panorˆmica.
a
Como ter sucesso fazendo uma gradua¸˜o na modalidade a distˆncia?
ca a
Vocˆ j´ conhece as enormes vantagens que essa modalidade de ensino
e a
oferece e com certeza seu compromisso com o curso ´ grande. Sua forma¸˜o
e ca
inicia nesta disciplina com a constru¸˜o de uma s´lida base de conhecimentos
ca o
matem´ticos e com o desenvolvimento de h´bitos necess´rios para ter sucesso
a a a
na empreitada. Essa bagagem toda, adquirida nesta disciplina, lhe ser´ ex-
a
7 CEDERJ

10. tremamente util, tanto na vida profissional quanto na vida pessoal. Mas ´
´ e
importante salientar algumas daquelas caracter´
ısticas t˜o necess´rias para se
a a
ter sucesso nessa forma de aprendizagem.
Entre outras coisas pode-se mencionar a importˆncia de se ter for¸a
a c
de vontade, autodisciplina e dedica¸˜o. Organiza¸˜o tamb´m ´ fundamental.
ca ca e e
Vamos nomear algumas sugest˜es que ser˜o uteis:
o a ´
´
• Estude regularmente. E preciso que vocˆ fa¸a uma agenda de trabalho
e c
que lhe garanta um tempo espec´ıfico para o estudo. Isso significa que
vocˆ n˜o pode estudar somente quando “tiver” tempo. Somos n´s os
e a o
respons´veis pelo nosso tempo.
a
• Consulte a tutoria para tirar d´vidas. A sua presen¸a `s se¸˜es de
u c a co
tutoria e a forma¸˜o de grupos de estudo s˜o ferramentas poderosas
ca a
que vocˆ disp˜e para progredir no curso.
e o
• Busque apoio na execu¸˜o das atividades propostas. A tutoria a distˆncia
ca a
tem um papel importante a cumprir no seu programa de estudos. Ela
lhe dar´ uma maior agilidade para debelar d´vidas e isso ´ um privil´gio
a u e e
acess´ aos alunos do ensino a distˆncia.
ıvel a
• Estamos sempre trabalhando para que o material did´tico disponibili-
a
zado seja de qualidade e lhe dˆ um caminho seguro para a constru¸˜o
e ca
do seu conhecimento.
• O trabalho semanal com os EPs, Exerc´ ıcios Programados, que ser˜oa
disponibilizados todas as semanas, e a posterior an´lise dos correspon-
a
dentes gabaritos, o ajudar˜o a estar em dia com os estudos. Esse tra-
a
balho lhe permitir´ tra¸ar um mapa do curso, pelo qual vocˆ precisa
a c e
navegar. Ele lhe indicar´ os temas semanais que vocˆ precisa estudar,
a e
determinar´ os exerc´
a ıcios t´
ıpicos que vocˆ n˜o deve deixar de fazer,
e a
marcando um ritmo de estudo e progresso que vocˆ deve tentar manter.
e
Matem´tica, uma grande op¸˜o!
a ca
Vamos falar agora um pouco sobre Matem´tica, que j´ foi chamada
a a
“a rainha das ciˆncias”.
e
A Matem´tica desempenha um papel fundamental no desenvolvimento
a
cient´ıfico e tecnol´gico de nossa sociedade. Assim, maior ´ a nossa respon-
o e
sabilidade de contribuir para uma boa forma¸˜o nessa ´rea.
ca a
CEDERJ 8

11. H´ muita coisa a respeito da Matem´tica que a maioria das pessoas
a a
desconhece. O conhecimento delas pode mudar muito a nossa perspectiva
dessa ciˆncia, sempre respeitada, mas nem sempre devidamente estimada.
e
E, como vocˆ sabe, a motiva¸˜o ´ fundamental para o aprendizado.
e ca e
No intuito de contribuir positivamente a esse respeito, ressaltamos al-
guns pontos importantes para sua reflex˜o.
a
• A matem´tica n˜o lida apenas com n´meros, ela lida com n´meros,
a a u u
formas, rela¸˜es, argumenta¸˜es, enfim, lida com diversas id´ias e suas
co co e
inter-rela¸˜es.
co
• Estabelecer a verdade ´ o fim principal de qualquer tipo de ciˆncia.
e e
Chegar `quilo a que chamamos “verdade cient´
a ıfica”. Fundamental a
respeito disso ´ a maneira como, no ˆmbito de cada atividade cient´
e a ıfica,
se estabelece a verdade.
Na Matem´tica, a “verdade” ´ estabelecida a partir de um conjunto de
a e
afirma¸˜es, chamadas de axiomas. Uma vez estabelecidas essas “verda-
co
des fundamentais”, usamos regras da l´gica para deduzir ou estabelecer
o
´
todas as outras verdades. E o que chamamos “m´todo dedutivo”. Em
e
outras ciˆncias, a no¸˜o de verdade ´, em geral, estabelecida por expe-
e ca e
´
rimentos. E por isso que, em muitos casos, uma nova teoria toma o
lugar da anterior, que j´ n˜o consegue explicar os fenˆmenos que prevˆ
a a o e
ou em fun¸˜o do desenvolvimento de novas t´cnicas. Isso n˜o ocorre
ca e a
na Matem´tica, onde o conhecimento ´ sempre acumulativo. Esse fato
a e
distingue a Matem´tica das demais ciˆncias.
a e
• A principal atividade dos matem´ticos ´ resolver problemas. Podemos
a e
afirmar at´ que um matem´tico feliz ´ um matem´tico que acabou de
e a e a
resolver um bom problema e, ao fazer isso, descobriu mais uma por¸˜o
ca
de novos problemas para pensar.
• Matem´tica tamb´m ´ sinˆnimo de diversidade. Em muitas l´
a e e o ınguas a
palavra matem´tica ´ usada no plural. H´ tantas ramifica¸˜es e sub-
a e a co
a
´reas na matem´tica contemporˆnea que ´ imposs´
a a e ıvel acompanhar o
desenvolvimento em todas as frentes de pesquisa. A matem´tica en-
a
contra inspira¸˜o para seu desenvolvimento nas mais diversas ´reas de
ca a
atua¸˜o humana. Uma boa id´ia pode surgir tanto em um problema mo-
ca e
tivado intrinsecamente na matem´tica como em uma situa¸ao pr´tica,
a c˜ a
ocorrida em algum campo fora dela.
9 CEDERJ

12. O que nos oferece a Matem´tica B´sica
a a
Nesta disciplina, Matem´tica B´sica, vocˆ ir´ rever alguns conceitos
a a e a
do Ensino Fundamental e M´dio. A diferen¸a aqui estar´ na forma da abor-
e c a
dagem que ser´ dada. Al´m de rever esses conceitos, de maneira efetiva,
a e
vocˆ construir´ uma atitude matem´tica profissional. A Matem´tica deixar´
e a a a a
de ser um conjunto de regras e conven¸˜es e se desenvolver´ num conjunto
co a
sustentado de conhecimentos que se relacionam e se sustentam. Esperamos
que ao final deste semestre vocˆ tenha sucesso e se sinta bastante confiante
e
para enfrentar os futuros desafios de seu curso.
Para orientar seu estudo, a disciplina ´ apresentada em dois volumes,
e
cada um apresentando o conte´do program´tico sob a forma de aulas. Neste
u a
Volume I, que inicia a disciplina Matem´tica B´sica, revisaremos conte´dos
a a u
importantes do Ensino M´dio, entre as quais se destacam: Fra¸˜es, N´meros
e co u
Decimais, Potencia¸˜o, Radicia¸˜o, Equa¸˜es do Primeiro e Segundo Graus,
ca ca co
Inequa¸˜es, Progress˜es Aritm´tica e Geom´trica e Conjuntos.
co o e e
Elementos integrantes em todas as aulas s˜o os exemplos e as atividades
a
a serem resolvidas. Eles formam parte do conte´do e pontuam o encadea-
u
mento da disciplina. Assim, ´ importante que vocˆ entenda bem o desenvol-
e e
vimento dos exerc´ıcios e resolva todas as atividades.
Bom estudo!! Conte sempre com nossa ajuda e nosso est´
ımulo.
Sucesso!
Roberto Geraldo Arnaut, Celso Costa,
M´rio Olivero, Regina Moreth e Dirce Uesu Pesco.
a
CEDERJ 10

13. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
Aula 1 – Fra¸˜es
co
Os n´ meros est˜o no ˆmago de todas as coisas.
u a a
Pit´goras
a
Introdu¸˜o
ca
A Matem´tica, na forma como conhecemos hoje, teve seu in´
a ıcio no
Per´ıodo de Ouro da Antiga Gr´cia. Parte primordial deste desenvolvimento
e
se deve a um grupo de matem´ticos que foi liderado por Pit´goras, autor de
a a
frases famosas, como a que abre essa aula.
Os gregos foram particularmente felizes ao estruturar os conhecimentos
matem´ticos desenvolvidos pelas civiliza¸˜es que os precederam, arrumando-
a co
os essencialmente nos moldes que praticamos at´ hoje. Eles tinham uma vis˜o
e a
predominantemente geom´trica desses conhecimentos, mas deram tamb´m os
e e
primeiros passos no estudo dos n´meros. A palavra Aritm´tica, por exemplo,
u e
´ de origem grega.
e
Ao relermos a frase de Pit´goras mais uma vez, somos levados a conside-
a
rar a seguinte quest˜o: que tipo de n´ meros ele tinha em mente ao pronunciar
a u
frase t˜o lapidar?
a
A quest˜o procede, pois o conceito de n´ mero, como vemos hoje, de-
a u
morou muito tempo para se estabelecer e recebeu contribui¸˜es de muitas
co
culturas, por gera¸˜es e gera¸˜es de matem´ticos.
co co a
Por exemplo, os gregos n˜o tinham uma nota¸˜o espec´
a ca ıfica para repre-
sentar os n´ meros, usavam letras, tais como os romanos depois deles.
u
A Matem´tica, assim como as ciˆncias em geral, n˜o teria se desenvol-
a e a
vido da maneira como observamos hoje sem a contribui¸˜o inestim´vel das
ca a
culturas hindu e ´rabe, que nos legaram os algarismos hindu-ar´bicos, assim
a a
como o sistema num´rico posicional.
e
N´ meros Naturais
u
Mas calma, voltemos um pouco, aos n´ meros tais como foram inici-
u
almente concebidos. Na forma mais primitiva, quando dizemos n´meros,
u
estamos nos referindo aos n´ meros chamados naturais, cujo conjunto repre-
u
sentamos pela letra N:
N = { 1, 2, 3, 4, . . . }
Os pontinhos indicam que podemos continuar assim, outro n´mero e
u
outro ainda, indefinidamente. Ou seja, o conjunto N ´ um manancial ines-
e
got´vel dessa mat´ria prima que usamos na confec¸˜o da Matem´tica.
a e ca a
11 CEDERJ

14. Fra¸oes
c˜
Preferimos n˜o incluir o zero nesse conjunto, uma vez que o zero,
a
n´ mero t˜o importante nas nossas vidas e na Matem´tica, custou bastante
u a a
para se estabelecer.
A propriedade fundamental geradora dos N´ meros Naturais ´ a que
u e
cada um deles tem um sucessor. Essa no¸˜o ´ formalizada nos dois axiomas
ca e
conhecidos como Axiomas de Peano. O primeiro estabelece a existˆncia do
e
n´ mero natural 1 (afinal, ´ preciso come¸ar de alguma coisa) e o segundo
u e c
afirma que todo n´ mero natural tem um sucessor. Assim, come¸amos com
u c
1, cujo sucessor ´ 2, seguido do 3, e assim por diante.
e
O que mais podemos fazer com os naturais?
´
E claro que a seq¨ˆncia de n´ meros naturais serve primordialmente
ue u
para contar coisas, tais como carneiros, frutas, flechas, dias e tudo o mais.
Mas queremos mais do que isso. Veja, n˜o se deixe enganar pela simplicidade
a
desses n´ meros.
u
O que torna os n´ meros inteiros objetos matem´ticos de grande inte-
u a
resse ´ o fato de podermos operar com eles, somando-os e multiplicando-os.
e
Munido dessas duas opera¸˜es, o conjunto dos n´ meros naturais passa a apre-
co u
sentar quest˜es v´rias. Algumas delas continuam a desafiar mentes brilhantes
o a
at´ hoje.
e
Um teorema not´vel
a
Esse especial interesse matem´tico pelos n´ meros naturais ocorre es-
a u
pecialmente devido ` multiplica¸˜o. Nesse contexto surge um dos primeiros
a ca
resultados matem´ticos profundos com que tomamos contato. Do ponto de
a
vista da multiplica¸˜o, os n´ meros maiores do que 1 se dividem em duas
ca u
categorias: primos e compostos, dependendo de seus divisores. O teorema
que mencionamos afirma que todo n´ mero natural, maior do que dois, se
u
decomp˜e em fatores primos e, mais ainda, a decomposi¸˜o ´ unica, a menos
o ca e ´
da ordem dos fatores.
Em linguagem informal, o teorema afirma que, do ponto de vista da
multiplica¸˜o, todos os n´ meros podem ser montados a partir de
ca u
pe¸as b´sicas, os n´ meros primos, como um infinito brinquedo lego. Assim,
c a u
6 = 2 × 3, 30 = 2 × 3 × 5, 121 = 112 , 660 = 22 × 3 × 5 × 11 e 47 = 47,
pois 47 ´, ele pr´prio, um n´ mero primo.
e o u
Esse resultado matem´tico era conhecido pelos antigos gregos (vocˆ
a e
sabe o que ´ o crivo de Erat´stenes?) mas s´ foi rigorosamente demonstrado
e o o
12
bem posteriormente, por Gauss, um dos maiores matem´ticos de todos os
a
CEDERJ

15. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
tempos. Seu nome cient´ ıfico ´ Teorema Fundamental da Aritm´tica. Mas,
e e
n˜o se preocupe com isso agora, haver´ tempo para ele no futuro. Mas,
a a
para que vocˆ n˜o fique apenas lendo, temos aqui duas atividades. Vocˆ
e a e
encontrar´ as solu¸˜es no fim da aula.
a co
Atividade 01
Explique de maneira convincente o porque dos n´ meros 1134 e 53172
u
serem divis´
ıveis por 9.
Atividade 02
Por que ´ dif´ decompor o n´ mero 97343 em fatores primos?
e ıcil u
Dois velhos conhecidos . . .
Atrav´s da decomposi¸˜o em fatores primos podemos chegar a dois
e ca
importantes conceitos associados a dois n´ meros dados, digamos a e b: o
u
m´ınimo m´ltiplo comum, mmc(a, b), e o maior divisor comum, mdc(a, b).
u
Para que servem esses n´ meros?
u
Deve haver uma boa resposta para essa pergunta, uma vez que nos
ensinam a determin´-los desde os primeiros passos na escola... Bem, eles
a
servem para efetuar certas opera¸˜es de maneira ´tima!
co o
Como calcul´-los?
a
Se sabemos a decomposi¸˜o em fatores primos dos n´ meros a e b, ´
ca u e
muito f´cil: para o mmc basta tomar os fatores primos que comparecem em
a
pelo menos um dos dois n´ meros (levando em conta a maior potˆncia, caso
u e
ele compare¸a tanto em a como em b); para o mdc basta tomar os primos
c
que aparecem simultaneamente nos dois n´ meros (levando em conta a menor
u
potˆncia, caso ele compare¸a tanto em a como em b). Veja dois exemplos na
e c
tabela a seguir.
a b mdc(a, b) mmc(a, b)
6=2×3 15 = 3 × 5 3 2 × 3 × 5 = 30
1050 = 2 × 3 × 52 × 7 3
280 = 2 × 5 × 7 70 = 2 × 5 × 7 4200 = 23 × 3 × 52 × 7
Como os antigos matem´ticos faziam?
a
Os antigos gregos j´ conheciam algoritmos para calcular o mdc e o mmc
a
de pares de n´ meros. A id´ia do algoritmo se baseia no seguinte fato:
u e
Se r ´ o resto quando a ´ dividido por b, ent˜o mdc(a, b) = mdc(b, r).
e e a
Assim, usando divis˜es sucessivas, chegamos ao mdc. Veja, por exem-
o
plo, como calculamos o maior divisor comum de 72 e 30.
13 CEDERJ

16. Fra¸oes
c˜
Num diagrama de trˆs linhas, colocamos os n´ meros 72 e 30 na linha
e u
do meio. Ao alto de 30 colocamos a parte inteira da divis˜o (Algoritmo de
a
Euclides) de 72 por 30 e sob o 72 colocamos o resto desta divis˜o.
a
2
72 30
12
No segundo passo, colocamos o resto da primeira divis˜o ao lado do 30
a
e repetimos a opera¸˜o:
ca
2 2
72 30 12
12 6
Como todo algoritmo, basta prosseguir repetindo os passos at´ . . .
e
2 2 2
72 30 12 6
12 6 0
O que aconteceu de diferente nessa etapa do algoritmo? Vocˆ notou
e
que o resto desta vez ´ igual a zero. Bom, isso indica que chegamos ao fim
e
do processo e o n´ mero obtido nesta etapa, 6, ´ o mdc: mdc(72, 30) = 6.
u e
3 2
Realmente, 72 = 2 × 3 e 30 = 2 × 3 × 5 e, portanto, mdc(72, 30) = 2 × 3.
Pratique o algoritmo calculando mdc(450, 105).
Agora, um algoritmo para o c´lculo do mmc. Ele lembra bastante
a
o conhecido algoritmo de decomposi¸˜o em fatores primos. A diferen¸a ´
ca c e
que efetuamos a decomposi¸˜o dos dois n´ meros simultaneamente. Veja, na
ca u
pr´tica, o c´lculo de mmc(132, 124).
a a
132 126 2
66 63 2
33 63 3
11 21 3 mmc(132, 126) = 22 × 32 × 7 × 11 = 2772
11 7 7
11 1 11
1 1
Vocˆ pode usar essa t´cnica para calcular o mmc de mais do que dois
e e
n´ meros. S´ para ter certeza, vocˆ n˜o gostaria de calcular mmc(297, 140, 90)?
u o e a
CEDERJ 14

17. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
Por que representamos os inteiros pela letra Z?
Os n´ meros naturais n˜o nos permitem representar certas situa¸˜es im-
u a co
portantes, como as que envolvem perdas e preju´
ızos. Mais ainda, h´ situa¸˜es
a co
nas quais sentimos a necessidade de estender os n´ meros naturais a um con-
u
junto, digamos assim, mais completo. Por exemplo, a equa¸ao x + 5 = 3
c˜
n˜o tem solu¸˜o no conjunto dos n´ meros naturais. Assim, a Matem´tica
a ca u a
demanda o que chamamos conjunto dos n´meros inteiros:
u
Z = { . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }.
Vocˆ sabe por que representamos os inteiros pela letra Z no lugar de
e
algo como I?
Bem, como vocˆ deve saber, a Teoria de Conjuntos foi criada por Georg
e
Cantor, que falava alem˜o. A palavra para n´ meros em alem˜o ´ Zahlen.
a u a e
Atividade 03
Quais das seguintes equa¸˜es podem ser resolvidas no ˆmbito dos n´ meros
co a u
naturais? E no ˆmbito dos n´ meros inteiros?
a u
a) x + 2 = 7 c) 3x + 7 = 4 e) 2x + 5 = 7
b) x + 4 = 1 d) 2x + 4 = 8 f) 2x + 6 = 13
Os N´ meros Racionais
u
Como vocˆ deve ter notado, ao fazer a atividade anterior, h´ situa¸˜es
e a co
nas quais nem mesmo o conjunto dos inteiros permite considerar. Em con-
trapartida aos n´ meros inteiros dever´
u ıamos considerar os n´ meros quebrados,
u
n˜o ´ mesmo?
a e
Realmente, h´ situa¸˜es tanto no ˆmbito da Matem´tica quanto no
a co a a
caso de situa¸˜es, digamos assim, do dia-a-dia, nas quais lan¸amos m˜o da
co c a
no¸˜o de propor¸˜o. Veja o exemplo a seguir.
ca ca
Exemplo 01
Na figura a seguir, determine o comprimento do segmento AB.
B
N˜o ´ preciso ser gˆnio para concluir que o
a e e
comprimento do segmento AB ´ 4 unida-
e
des de comprimento, pois o fato de que,
em triˆngulos semelhantes, lados corres-
a
pondentes s˜o proporcionais. Assim, AB
a
2
´ 4 unidades de comprimento, pois 1 est´
e a
O A para 2 assim como 2 est´ para 4.
a
1 1
Essa essˆncia da propor¸˜o ´ que queremos registrar numericamente.
e ca e 15 CEDERJ

18. Fra¸oes
c˜
Exemplo 02
Desde os prim´rdios os cozinheiros, os construtores e tantos outros pro-
o
fissionais tˆm usado essa no¸˜o de propor¸˜o em seus afazeres. Algo como:
e ca ca
“cinco medidas de ´gua para duas medidas de arroz” ou “uma medida de
a
cimento para seis de areia”. Seguindo essa receita podemos variar a quanti-
dade daquilo que queremos preparar, seja arroz para duas pessoas, seja arroz
para uma fam´ de doze pessoas, contanto que mantenhamos a propor¸˜o
ılia ca
5 : 2 (cinco por dois).
O que ´ um n´mero racional?
e u
Tornando uma hist´ria longa mais curta, queremos nos referir nume-
o
ricamente a propor¸˜es tais como as que foram exemplificadas: 1 : 2, 5 : 2
co
ou 1 : 6 e assim por diante. Isto ´, propor¸˜es nas quais comparamos dois
e co
n´ mero inteiros. Para isso, ´ claro, precisamos de dois n´ meros inteiros, a e
u e u
b, com a propriedade importante de que b = 0, e representamos a propor¸˜o ca
a
a : b pela nota¸˜o .
ca
b
Tudo muito bem, com o seguinte cuidado: devemos levar em conta que,
por exemplo, 1 : 2 e 2 : 4 representam a mesma propor¸˜o. Assim, na vers˜o
ca a
1 2
num´rica, e s˜o iguais.
e a
2 4
Ufa! Podemos ent˜o dizer que um n´ mero racional ´ representado por
a u e
a
uma fra¸˜o do tipo , na qual a e b s˜o n´ meros inteiros com b = 0 e que
ca a u
b
duas fra¸˜es representam o mesmo n´ mero se, e somente se, satisfazem a
co u
seguinte rela¸˜o de igualdade:
ca
a c
= ⇐⇒ a · d = c · b.
b d
Assim, obtemos o conjunto representado por Q, como uma esp´cie de e
n
extens˜o dos inteiros. Ou seja, se estabelecermos que, se n ∈ Z, ent˜o n = ,
a a
1
temos Z ⊂ Q.
Atividade 04
Use a defini¸˜o anterior de igualdade de n´ meros racionais para verificar
ca u
3 −3
que = .
−5 5
−a a a
Assim, de um modo geral, = , que denotamos por − .
b −b b
Atividade 05
2 1
Determine o valor de x tal que = .
x−1 3
CEDERJ 16

19. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
Nota¸˜o
ca
Dado um par de n´ meros inteiros a e b, com b = 0, obtemos o n´ mero
u u
a
racional e chamamos a de numerador e b de denominador. A palavra
b
fra¸˜o tamb´m ´ usada, mas serve para contextos mais gerais, nos quais
ca e e
numeradores e denominadores s˜o outros objetos matem´ticos e n˜o apenas
a a a
π
n´ meros inteiros. Por exemplo, vocˆ deve ter ouvido falar da fra¸˜o ou da
u e ca
√ 2
2
fra¸˜o
ca . Mas, por enquanto, tomaremos o termo fra¸˜o por sinˆnimo de
ca o
2
n´ mero racional.
u
Leitura de uma fra¸˜o
ca
Na tabela abaixo indicamos, para cada n´ mero de partes iguais em que
u
foi dividida a unidade, o nome de cada parte.
N´ mero de
u Nome de N´ mero de
u Nome de
partes cada parte partes cada parte
2 −→ meio 9 −→ nono
3 −→ ter¸o
c 10 −→ d´cimo
e Curiosidade
4 −→ quarto 11 −→ onze avos Os homens da idade da Pedra
n˜o usavam fra¸oes. O con-
a c˜
5 −→ quinto 12 −→ doze avos ceito de fra¸ao tornou-se ne-
c˜
6 −→ sexto 13 −→ treze avos cess´rio com a evolu¸ao dos
a c˜
conhecimentos.
7 −→ s´timo
e 100 −→ cent´simoe
Os antigos eg´ ıpcios tinham
8 −→ oitavo 1000 −→ mil´simoe uma nota¸ao especial de
c˜
fra¸ao com numerador 1. A
c˜
Para efetuar a leitura de uma fra¸˜o vocˆ deve ler o numerador e, em
ca e 1
fra¸ao , por exemplo, era in-
c˜
seguida, o nome de cada parte. Este ultimo depende do n´ mero de partes
´ u 3
dicada colocando-se sobre o
em que foi dividida a unidade, isto ´, do denominador da fra¸˜o.
e ca inteiro 3 um sinal oval alon-
gado: ; os babilˆnios usa-
o
Exemplos: vam fra¸oes com denomina-
c˜
1 1 dores 60, 602 , 603 , etc; j´ os
a
lˆ-se “um meio”
e lˆ-se “um quinze avos”
e romanos usavam fra¸oes com
c˜
2 15
denominador 12.
3 7 A nossa maneira atual de re-
lˆ-se “trˆs quintos”
e e lˆ-se “sete d´cimos”
e e
5 10 presentar fra¸ao, por meio de
c˜
uma barra, surgiu no s´culo
e
8 49
lˆ-se “oito onze avos”
e lˆ-se “quarenta e nove cent´simos”
e e XVI.
11 100
Exerc´
ıcios
1. Qual a fra¸˜o representada pela parte sombreada de cada figura?
ca
a) b)
c) d)
17 CEDERJ

20. Fra¸oes
c˜
7
2. Jo˜o acertou
a dos 15 problemas de uma prova. Responda:
15
a) quantos problemas ele acertou?
b) quantos problemas ele errou?
c) que fra¸˜o representa o n´ mero de problemas que ele errou?
ca u
3. Uma estante ´ formada por 9 prateleiras. Se enchermos 3 prateleiras
e
de livros, que fra¸˜o da estante n˜o foi aproveitada?
ca a
4. Escreva como vocˆ lˆ as fra¸˜es:
e e co
3 2 11 27 51
a) b) c) d) e)
5 10 50 100 1000
5. Determine
2 1 3 5
a) de 20 b) de 40 c) de 32 d) de 14
5 4 4 7
1
6. Se de um n´ mero ´ 5, qual ´ esse n´ mero?
u e e u
3
3 1
7. Se de um n´ mero ´ 30, quanto ´ desse n´ mero?
u e e u
5 5
3
8. Uma escola tem 40 professores, dos quais s˜o mulheres. Determine
a
8
o n´ mero de professoras dessa escola.
u
Gabarito
3 3 1 5
1. a) b) c) d)
4 5 2 9
8
2. a) 7 b) 8 c)
15
6
3.
9
4. a) trˆs quintos
e b) dois d´cimos
e c) onze cinq¨ enta avos
u
d) vinte e sete cent´simos
e e) cinq¨ enta e um mil´simos
u e
5. a) 8 b) 10 c) 24 d) 10
6. 15
7. 10
8. 15
CEDERJ 18

21. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
Tipos de Fra¸˜es
co
Observe os seguintes exemplos:
1o ) Tomamos uma unidade, dividimos em quatro partes iguais e tomamos
uma delas.
1
4
1
Encontramos essa fra¸˜o
ca em que o numerador ´ menor que o
e
4
denominador.
Fra¸˜es assim s˜o chamadas de fra¸˜es pr´prias.
co a co o
2o ) Tomamos outras duas unidades, dividimos cada uma delas em quatro
partes iguais e tomamos cinco delas.
5
4
5
Encontramos uma fra¸˜o
ca em que o numerador ´ maior que o
e
4
denominador.
Fra¸˜es assim s˜o chamadas fra¸˜es impr´prias.
co a co o
5 1
Note que ´ o mesmo que uma unidade inteira e mais da unidade.
e
4 4
5 1 5 1
Por isso dizemos que ´ o mesmo que 1 inteiro e . Indicamos: = 1 + .
e
4 4 4 4
1 1
Outra maneira de indicar 1 + ´ 1 .
e
4 4
1
A forma 1 lˆ-se “um inteiro e um quarto”.
e
4
1
A forma 1 , composta de uma parte inteira e outra fracion´ria, ´ cha-
a e
4
5
mada forma mista para representar .
4
Podemos passar uma fra¸˜o impr´pria para a forma mista sem recorrer
ca o
a desenhos ou figuras.
19 CEDERJ

22. Fra¸oes
c˜
21
Exemplo: Passar para a forma mista.
6
21
Devemos descobrir quantas unidades inteiras est˜o contidas em
a e
6
quantos sextos sobram depois da separa¸˜o dessas unidades.
ca
Descobrimos isso dividindo 21 por 6
21 6
21
3 3 → unidades inteiras contidas em
6
↑
n´ mero de sextos
u
que sobram
21 3
Ent˜o
a =3 .
6 6
Transformar um n´ mero misto em fra¸˜o impr´pria.
u ca o
Exemplos:
2 2 3 2 5
1) 1 =1+ = + =
3 3 3 3 3
3 3 5 5 3 10 3 13
2) 2 =1+1+ = + + = + =
5 5 5 5 5 5 5 5
1 4 4 4 4 4 1 20 1 21
3) 5 = + + + + + = + =
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
3o ) Tomamos duas unidades, dividimos cada uma delas em quatro partes
iguais e tomamos as oito partes.
8
4
8
Encontramos uma fra¸˜o
ca em que o numerador ´ m´ ltiplo do de-
e u
4
8
nominador. Fra¸˜es assim s˜o chamadas fra¸˜es aparentes. Note que ´ o
co a co e
4
mesmo que 2 unidades inteiras, isto ´, 2 inteiros.
e
8
Indicamos: = 2
4
A fra¸˜o aparente ´ uma outra forma de representar o n´ mero natural 2.
ca e u
3 4 5 23
, , , s˜o fra¸˜es aparentes que representam o n´ mero natural 1.
a co u
3 4 5 23
CEDERJ 20

23. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
As fra¸˜es podem ser classificadas em trˆs categorias.
co e
* Fra¸˜es Pr´prias → s˜o aquelas em que o numerador ´ menor que o
co o a e
denominador
* Fra¸˜es Impr´prias → s˜o aquelas em que o numerador ´ maior ou
co o a e
igual ao denominador.
* Fra¸˜es Aparentes → s˜o as fra¸˜es impr´prias em que o numerador ´
co a co o e
m´ ltiplo do denominador.
u
As fra¸˜es aparentes podem ser escritas na forma de n´ mero natural.
co u
As fra¸˜es impr´prias e n˜o aparentes podem ser escritas na forma mista.
co o a
Exerc´
ıcios
1. Classifique cada uma das fra¸˜es em pr´prias (P), impr´prias (I) ou
co o o
aparentes (A).
8 18 2 32 57
a) b) c) d) e)
4 1 13 5 2
2. Escreva na forma mista as seguintes fra¸˜es impr´prias:
co o
3 8 13 31 57
a) b) c) d) e)
2 3 4 6 11
3. Transforme cada n´ mero misto em fra¸˜o impr´pria:
u ca o
1 1 3 1 3
a) 3 b) 4 c) 1 d) 5 e) 6
4 3 5 2 8
4
4. Em uma cidade, dos 280 ve´
ıculos existentes s˜o autom´veis e os
a o
5
demais s˜o caminh˜es. Quantos caminh˜es h´ nessa cidade?
a o o a
3
5. Jos´ possui R$ 480,00 e isto equivale a de sua d´
e ıvida na lanchonete
4
de Manoel. Quanto Jos´ deve a lanchonete?
e
Gabarito
1. a) A b) A c) P d) I e) I
1 2 1 1 2
2. a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 5
2 3 4 6 11
13 13 8 11 51
3. a) b) c) d) e)
4 3 5 2 8
21 CEDERJ

24. Fra¸oes
c˜
4
4. Observe que se s˜o autom´veis e o restante s˜o caminh˜es ent˜o
a o a o a
5
5
representamos todos os ve´ıculos por
5
5 4 1
A fra¸˜o que representa o n´ mero de caminh˜es ´ − =
ca u o e
5 5 5
N´ mero total de ve´
u ıculos: 280
1 1
de 280 – n´ mero total de caminh˜es → 280 = 56
u o
5 5
3
5. Vamos representar a d´
ıvida de Jos´ por x. Logo, temos que
e x = 480
4
Ent˜o
a
3x = 4 · 480 = 1920
x = 1920 : 3 = 640
Portanto, Jos´ deve R$ 640,00 a lanchonete.
e
Fra¸˜es Equivalentes
co
Note estas a¸˜es:
co
A¸˜o 1
ca A¸˜o 2
ca A¸˜o 3
ca
Dividir uma pizza em Dividir uma pizza em Dividir uma pizza em
duas partes iguais e quatro partes iguais e oito partes iguais e comer
comer uma parte comer duas partes quatro partes iguais
As a¸˜es acima s˜o diferentes, entretanto, as fra¸˜es obtidas represen-
co a co
tam a mesma parte do todo. Por esse motivo, dizemos que essas fra¸˜es se
co
1 2 4
equivalem, isto ´, as fra¸˜es ,
e co e s˜o equivalentes.
a
2 4 8
Fra¸˜es equivalentes s˜o fra¸˜es que representam a mesma parte do todo.
co a co
Obten¸˜o de fra¸˜es equivalentes
ca co
1
Vamos obter fra¸˜es equivalentes ` fra¸˜o
co a ca ?
3
1·1 1 1·2 2 1·3 3 1·4 4
= = = =
3·1 3 3·2 6 3·3 9 3·4 12
1 2 3 4 1
Assim, , , , s˜o algumas das fra¸˜es equivalentes a .
a co
3 6 9 12 3
CEDERJ 22

25. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
Para encontrar essas fra¸˜es equivalentes, multiplicamos o numerador
co
1
e o denominador da fra¸˜o por uma mesmo n´ mero natural diferente de
ca u
3
zero.
a
Note que para obter uma fra¸˜o equivalente ` fra¸˜o (b = 0) basta
ca a ca
b
dividir (se poss´
ıvel) ou multiplicar o numerador e o denominador por um
mesmo n´ mero natural, desde que ele seja diferente de zero.
u
Simplifica¸˜o de fra¸˜es
ca co
6 1 1
Uma fra¸˜o equivalente a
ca ´ . A fra¸˜o foi obtida dividindo-se
e ca
12 2 2
6
ambos os termos da fra¸˜o
ca por 6.
12
1 6
Dizemos que a fra¸˜o ´ uma fra¸˜o simplificada de
ca e ca
2 12
Uma fra¸˜o que n˜o pode ser simplificada ´ chamada de irredut´
ca a e ıvel.
1
Por exemplo, a fra¸˜o n˜o pode ser simplificada, porque 1 e 2 n˜o pos-
ca a a
2
1
suem fator comum (mdc(1,2)=1). Podemos dizer, ent˜o, que ´ a fra¸˜o
a e ca
2
6
irredut´ de
ıvel .
12
Exerc´
ıcios
1
1. Quais das fra¸˜es s˜o equivalentes a
co a ?
5
2 3 4 5 7 12
a) b) c) d) e) f)
10 12 18 25 30 60
2. Quais das fra¸˜es abaixo s˜o irredut´
co a ıveis?
1 7 15 24 12
a) b) c) d) e)
3 8 45 36 60
3. Encontre a fra¸˜o de denominador 20 equivalente a cada uma das se-
ca
guintes fra¸˜es:
co
1 3
a) c)
5 2
1 400
b) d)
4 2000
4. As letras abaixo representam n´ meros. Quais s˜o esses n´ meros?
u a u
4 a b 32 2 c
a) = b) = c) =
6 18 5 20 5 50
23 CEDERJ

26. Fra¸oes
c˜
Gabarito
1. a, d, f
2. a,b
4 5 30 4
3. a) b) c) d)
20 20 20 20
4. a) a = 12 b) b = 8 c)c = 20
Redu¸˜o de fra¸˜es a um mesmo denominador
ca co
4 4 1
Observe as fra¸˜es , e . Elas tˆm denominadores diferentes. Vamos
co e
3 5 6
procurar trˆs fra¸˜es, equivalentes `s trˆs fra¸˜es dadas, tendo todas o mesmo
e co a e co
denominador. O novo denominador ´ m´ ltiplo de 3, 5 e 6. O menor n´ mero
e u u
´ o mmc(3,5,6) que ´ 30.
e e
4 4
Estamos, ent˜o, com o problema - obter fra¸˜es equivalentes a , e
a co
3 5
1
tendo todas elas denominador 30.
6
4 ? 4 40
= ⇒ o numerador ´ 4 · 10 = 40 ⇒
e =
3 30 3 30
4 ? 4 24
= ⇒ o numerador ´ 4 · 6 = 24 ⇒
e =
5 30 5 30
1 ? 1 5
= ⇒ o numerador ´ 1 · 5 = 5
e ⇒ =
6 30 6 30
Para reduzirmos duas ou mais fra¸˜es ao menor denominador comum:
co
1o ) Calculamos o mmc dos denominadores, esse mmc ser´ o menor denomi-
a
nador comum;
2o ) Multiplicamos o numerador de cada fra¸˜o pelo quociente entre o deno-
ca
minador comum e o denominador inicial da fra¸˜o.
ca
Exerc´
ıcios
1. Reduza ao mesmo denominador comum.
3 5 12 3
a) e b) e
2 3 5 11
2 1 7 2 1 5
c) , e d) , e
5 3 6 7 6 9
2. Jo˜o e Maria v˜o repartir entre si um prˆmio da Loteria Federal. Jo˜o
a a e a
2
ir´ receber do prˆmio e Maria R$ 1.500.000,00. Qual o valor total
a e
5
do prˆmio?
e
CEDERJ 24

27. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
Gabarito
9 10 132 15 12 10 35 36 21 70
1. a) e b) e c) , e d) , e
6 6 55 55 30 30 30 126 126 126
2. A fra¸˜o que representa o valor do prˆmio que ser´ recebido por Maria
ca e a
5 2 3
´ − = do total. Como ela ir´ receber R$ 1.500.000,00, ent˜o o
e a a
5 5 5
3
valor total do prˆmio (x) pode ser determinado por x = 1.500.000, 00.
e
5
Da´ı,
3x = 5 · 1.500.000, 00 = 7.500.000, 00
x = 7.500.000, 00 : 3 = 2.500.000, 00
Compara¸˜o de Fra¸˜es
ca co
Comparar duas fra¸˜es significa estabelecer se elas s˜o iguais, ou n˜o.
co a a
Se forem diferentes, estabelecer qual delas ´ a maior.
e
1a Situa¸˜o: As fra¸˜es tˆm denominadores iguais.
ca co e
2 4
Exemplo: e
5 5
2 2 4 Usamos o s´ ımbolo “<” que
5 ´ menor que
e significa “´ menor que” e o
e
5 5
s´
ımbolo “>” que significa “´
e
2 4 maior que”
4
<
5 5 5
Quando duas fra¸˜es tem denominadores iguais, a maior delas ´ a que
co e
tem maior numerador.
2a Situa¸˜o: As fra¸˜es tˆm denominadores diferentes.
ca co e
6 4
Vamos comparar as fra¸˜es
co e .
7 5
Vamos reduzir as fra¸˜es ao mesmo denominador. mmc(7,5)=35
co
30 28
e
35 35
30 28 6 4
Da´ como
ı > temos que > .
35 35 7 5
Quando vamos comparar duas fra¸˜es que tˆm denominadores diferentes,
co e
reduzimos ao mesmo denominador e aplicamos a regra anterior.
25 CEDERJ

28. Fra¸oes
c˜
Exerc´
ıcios
1. Compare entre si as fra¸˜es:
co
7 1 1 1 2 3 3 5 41 43
a) e b) e c) e d) 2 e2 e) e
5 5 6 13 5 7 6 7 13 15
9 3 7
2. Qual o maior elemento do conjunto A = , , , 2
5 4 3
3 4 5 1 1
3. Coloque em ordem crescente as fra¸˜es:
co , , , e
5 7 8 2 4
2 7
4. Em certa classe, dos alunos foram reprovados em Matem´tica e
a
5 9
em Portuguˆs. Que mat´ria reprovou mais?
e e
5
5. Num campeonato nacional o Fluminense ganhou dos pontos que
7
11
disputou, enquanto o Vasco ganhou . Qual dos dois obteve melhores
16
resultados?
Gabarito
7 1 1 1 3 2 3 5 41 43
1. a) > b) > c) > d) 2 <2 e) >
5 5 6 13 7 5 6 7 13 15
7
2.
3
1 1 4 3 5
3. , , , ,
4 2 7 5 8
2 18 7 35 35 18
4. Portuguˆs, pois mmc(5, 9) = 45,
e = e = e >
5 45 9 45 45 45
5 80 11 77 80 77
5. Fluminense, pois mmc(7, 16) = 112, = e = e >
7 112 16 112 112 112
Adi¸˜o e subtra¸˜o de n´ meros fracion´rios
ca ca u a
1o Caso: Denominadores iguais
3 1
No mercado gastei do que possuia em alimentos e em material de
5 5
limpeza. Quanto gastei da importˆncia que possuia?
a
Vamos representar graficamente.
gasto em alimentos gasto com material de limpeza
3 1
5 5
3 1 4
Da´ + = (s´ observar o gr´fico)
ı o a
26
5 5 5
CEDERJ

29. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
A soma de fra¸˜es com denominadores iguais ´ uma fra¸˜o cujo denomi-
co e ca
nador ´ igual ao das parcelas e cujo numerador ´ a soma dos numeradores
e e
das parcelas.
4 1
No mercado gastei do que possuia em alimentos e em material de
6 6
limpeza. Quanto gastei a mais em alimentos?
Vamos representar graficamente.
gasto com gasto com material
4 1
alimentos: de limpeza:
6 6
Observando o gr´fico vem:
a
4 1 3
− =
6 6 6
A diferen¸a entre duas fra¸˜es com denominadores iguais ´ uma fra¸˜o
c co e ca
cujo denominador ´ igual ao das fra¸˜es dadas e cujo numerador ´ a
e co e
diferen¸a dos numeradores.
c
2o Caso: Denominadores diferentes
Quando as fra¸˜es tem denominadores diferentes temos que, em pri-
co
meiro lugar, obter fra¸˜es equivalentes que tenham denominadores iguais.
co
4 5
Exemplo: +
10 6
4 8 12 16 20 24 4
, , , , , . . . s˜o fra¸˜es equivalentes a
a co .
10 20 30 40 50 60 10
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 5
, , , , , , , , , . . . s˜o fra¸˜es equivalentes a .
a co
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 6
Procurando as fra¸˜es equivalentes que tem o mesmo denominador e
co
usando a regra anterior vem:
12 25 37 24 50 74 37
+ = ou + = =
30 30 30 60 60 60 30
Note que mmc(10,6)=30. Devemos, usando o mmc, determinar a fra¸˜o
ca
equivalente com denominador 30.
Quando vamos somar ou subtrair fra¸˜es que tem denominadores di-
co
ferentes, devemos primeiro reduz´
ı-las ao mesmo denominador e, depois,
aplicar a regra anterior.
27 CEDERJ

30. Fra¸oes
c˜
Exerc´
ıcios
1. Calcule:
3 1 5 2 3
a) + c) 3 − e) 4 +6
4 4 6 7 7
13 5 1 2 1
b) − d) 2 + + f) 5 − 4
4 4 4 4 9
2. Calcule:
1 1 1 4 2 6 3
a) + c) + + e) +
3 4 5 3 9 5 4
4 3 11 13 3 1
b) − d) + f) −
3 4 60 72 7 3
3. Calcule o valor de cada express˜o abaixo:
a
4 1 5 1
a) − + −
3 5 4 3
1 1 4 1
b) 1 + − − −
3 5 3 2
1 1 1
c) 3 + 2 − 4
4 2 6
1 1 7 1 1
d) 3 −1 + 2 − − 2 −2
11 4 4 2 3
1 1
4. No s´ de Daniel, da planta¸˜o ´ de milho, ´ de feij˜o e o restante
ıtio ca e e a
3 5
´ de arroz. Qual ´ a fra¸˜o correspondente ` planta¸˜o de arroz?
e e ca a ca
11
5. O censo revelou que, do total da popula¸˜o brasileira,
ca s˜o brancos,
a
20
10
s˜o morenos e negros e a fra¸˜o restante ´ de ra¸a amarela.
a ca e c
25
Qual a fra¸˜o da popula¸˜o brasileira corresponde ` ra¸a amarela?
ca ca a c
Gabarito
13 11 75 8
1. a) 1 b) 2 c) d) e) f)
6 4 7 9
7 7 79 131 39 2
2. a) b) c) d) e) f)
12 12 45 360 20 21
123 9 19 80
3. a) b) c) d)
60 30 12 33
CEDERJ 28

31. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
1 1 5 3 8
4. + = + = .
3 5 15 15 15
15 15 8 7
A planta¸˜o inteira corresponde a
ca logo, temos de arroz − =
15 15 15 15
5
5.
100
Multiplica¸˜o e divis˜o de n´ meros fracion´rios
ca a u a
Multiplica¸˜o
ca
Jo˜o tem um terreno quadrado de lados medindo 1 km. Ele precisa
a
cercar uma parte desse terreno para o pasto de seu gado. Para isso, vai usar
3 3
de um lado e do outro. Que fra¸˜o do terreno ser´ o pasto? Qual ser´
ca a a
4 5
a ´rea desse pasto?
a
3 3
Como v˜o ser usados de um lado e do
a
4 5
9
outro, o pasto ser´ a do terreno. (Observe
20
o gr´fico)
a
Mas o terreno ´ quadrado e a ´rea de um quadrado ´: A = 1 km · 1 km =
e a e
2
1 km .
9 9
Como o pasto ´ igual a
e do terreno, sua ´rea ´
a e de 1 km2 , ou
20 20
9
seja, km2 . Assim, a ´rea do pasto, que ´ um retˆngulo, pode ser obtida
a e a
20
aplicando a f´rmula: Aretˆngulo = b · h onde b → base e h → altura.
o a
3 3 3 3 9
Da´ Aretˆngulo =
ı a · km2 . Temos que · = .
4 5 4 5 20
Portanto para multiplicar duas fra¸˜es, basta multiplicar os numerado-
co
res entre si e os denominadores entre si.
Exemplos:
3 5 3·5 15 5 3 7 21
1) · = = = 2) · = =1
4 6 4·6 24 8 7 3 21
Observa¸˜o: Podemos evitar a simplifica¸˜o do produto de fra¸˜es se tomar-
ca ca co
mos o cuidado de cancelar os fatores comuns ao numerador e denominador
das fra¸˜es que v˜o ser multiplicadas.
co a
Exemplos:
8
4 40 32
1) · =
1 7
5 7
1 105
50
3 5
2) · =
12 2
5
1 42
29 CEDERJ

32. Fra¸oes
c˜
Exerc´
ıcios
1. Calcule
1
a) O triplo de
7
4
b) A metade de
5
c) A ter¸a parte de 18
c
4 11
d) Os de
7 5
2. Calcule os produtos
1 4 2 3
a) · c) ·
3 3 3 8
2 3 1
b) · d) 9 ·
7 5 9
3. Calcule o valor das express˜es:
o
1 3 1 3
a) · + ·
2 5 6 4
3 5 8 7
b) + · −
5 3 7 8
1 5 2 5 2
c) 1 + · − · −
2 4 3 2 5
18 1 24 5 7
d) · + · · −1
35 5 15 49 3
2 2
4. Jos´ comeu
e de uma barra de chocolate e Jo˜o comeu do restante.
a
5 3
a) Quem comeu mais?
b) Que fra¸˜o do chocolate sobrou?
ca
Gabarito
3 2 44
1. a) b) c) 6 d)
7 5 35
4 6 1
2. a) b) c) d) 1
9 35 4
17 17 9 2136
3. a) b) c) d)
40 28 40 8575
4. a) Os dois comeram a mesma quantidade de chocolate, pois Jos´ comeu
e
2 2 5 2 3 2 3 2
e Jo˜o comeu do restante
a − = que significa de = .
5 3 5 5 5 3 5 5
2 2 4 5 4 1
b) Jos´ e Jo˜o comeram + = e sobrou − = .
e a
5 5 5 5 5 5
CEDERJ 30