1. Pré-vestibulinho
Matemática
Matemática para Vestibulinho
Prof. Wlad
Conteúdo programático
1. Conjuntos ............................................................................................................................. 02
2.Números naturais, inteiros, racionais e irracionais.................................................................... 08
3. Potenciação, radiciação........................................................................................................... 13
4. Expressões algébricas............................................................................................................. 14
5. Produtos notáveis e fatorações............................................................................................... 16
6. Razões e proporções............................................................................................................... 17
7. Regra de Três ......................................................................................................................... 20
8. Porcentagem. Problemas de aplicações................................................................................... 23
9. Equações de 1º e 2º graus. Problemas de aplicações................................................................ 27
10. Sistemas de equações de 1º grau........................................................................................... 30
11. Plano cartesiano ................................................................................................................... 32
12. Função do 1º Grau ............................................................................................................... 33
13. Função exponencial ............................................................................................................. 35
14. Elementos fundamentais da geometria plana e semelhança de figuras planas........................ 37
15. Relações métricas no triângulo retângulo.............................................................................. 43
16. Razões trigonométricas ........................................................................................................ 46
17. Áreas de figuras planas......................................................................................................... 50
18. Sólidos Geométricos .......................................................................................................... 53
19. Análise combinatória e probabilidade.................................................................................... 56
20. Noções de estatística............................................................................................................ 58
21. Lógica e seqüências ............................................................................................................. 63
Anexos .................................................................................................................................... 67
EDIÇÃO 2010
Resumo teórico 1

2. Pré-vestibulinho
Matemática
a) Extensão ou Enumeração
1. CONJUNTOS
Quando o conjunto é representado por uma listagem
1.1. Introdução ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos
entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.
a) Conjunto
Exemplos:
A noção de conjunto em Matemática é praticamente
a mesma utilizada na linguagem cotidiana:  Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa,
agrupamento, classe, coleção. Por exemplo: Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
 Conjunto dos meses com menos de 31 dias:
 Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto; {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
 Conjunto dos números inteiros pares;  Conjunto dos números pares inteiros maiores do
 Conjunto dos dias da semana; que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18;
20}.
b) Elemento
Observações:
Cada membro ou objeto que entra na formação do
conjunto. Assim: 1. Na representação por extensão cada elemento
deve ser escrito apenas uma vez;
 V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto 2. É uma boa prática adotar a separação dos
acima; elementos em conjuntos numéricos como
 2, 4, 6 são elementos do segundo; sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões
 Sábado, Domingo do terceiro; com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
3. Esta representação pode, também, ser adotada
para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei
c) Pertinência entre elemento e conjunto de formação de seus elementos e colocando-se
reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
4. Representação semelhante pode ser adotada para
Por exemplo, V é um elemento do conjunto das
conjuntos finitos com um grande número de
letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele
elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.
conjunto. Enquanto que v não pertence.
b) Propriedade dos Elementos
Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe
sejam entendidos (evidentes) por todos.
Representação em que o conjunto é descrito por uma
propriedade característica comum a todos os seus
Notação
elementos. Simbolicamente:
Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra
A = {x | x tem a Propriedade P}
maiúscula A, B, C, …
Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, … e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a
propriedade P.
Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é
um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por: Exemplos:
 A = {x | x é um time de futebol do Campeonato
Brasileiro de 2006};
 B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}.
Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x
Último exemplo do item a) acima;
não pertence a A) escrevemos:
 C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.
c) Diagrama de Euler-Venn
1.2. Representações de Conjuntos Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha
fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura
abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os
elementos do conjunto.
Resumo teórico 2

3. Pré-vestibulinho
Matemática
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A
pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B
pertence a A:
Conjunto Unitário e Conjunto Vazio
Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia Observações:
de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a
existência de conjunto com apenas um elemento,
1. A título de ilustração: O A invertido na expressão
chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem
acima significa “para todo”;
qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).
2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a
noção de ordem não interfere na igualdade de
O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjuntos;
conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa. 3. É evidente que para A ser diferente de B é
suficiente que um elemento de A não pertença a B
Exemplos de Conjuntos Unitários: ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b,
c, d}.
 Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias:
{fevereiro};
 Conjunto dos números inteiros maiores do que 10
e menores do que 12: {11}; Subconjunto
 Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.
Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se,
Exemplos de Conjuntos Vazios: e somente se, todo elemento x pertencente a A também
pertence a B:
 { x | x > 0 e x < 0 } = Ø;
 Conjunto dos meses com mais de 31 dias;

2
{ x | x = -1 e x é um número real} = Ø.
onde a notação significa “A é subconjunto de B”
Conjunto Universo ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da
notação no sentido inverso é feita como “B contém A”.
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos
envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é Observe que a abertura do sinal de inclusão fica
simbolizado pela letra U. sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de
diagrama é representado como:
Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma
equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R
(conjunto dos números reais); se estamos interessados em
determinar os deputados federais envolvidos com o
mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos
todos os deputados federais da atual legislatura.
Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através
de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que
estamos trabalhando, escrevendo:
Resumo teórico 3

4. Pré-vestibulinho
Matemática
Exemplos: Observações:
 {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6} 1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição,
 Ø C {a, b}; que os elementos de P(E) são conjuntos;
 {a, b} C {a, b}; 2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos
 {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está símbolos pertence (não pertence) e contido (não
contido”, uma vez que o elemento b do primeiro contido);
conjunto não pertence ao segundo. 3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e
{{a}} é um subconjunto de P(A);
Observe que na definição de igualdade de conjuntos está 4. Se definirmos n(E) como sendo o número de
n(E)
explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice- elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2 . A
versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em propriedade é válida para conjuntos finitos;
3
A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais 5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 2 , n(B)
2 1
devemos provar que: = 2 e n(P(B)) = 4 = 2 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 2 .
Propriedades da Inclusão 1.3. Operações entre conjuntos
Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as
seguintes propriedades: ►União : 
1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer Conjunto união são todos os elementos dos
conjunto; conjuntos relacionados.
2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio
(propriedade Reflexiva);
3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade A  B = { x  A ou x  B }
Anti-Simétrica);
4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é Exemplo 1:
subconjunto de um outro e este é subconjunto de Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4,} e B = {0, 2, 4, 5} a
um terceiro, então o primeiro é subconjunto do união desses dois conjuntos é :
terceiro (propriedade Transitiva).
Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das A  B = { 0, 1, 2, 3, 4 ,5 }
demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto,
provar a primeira:
Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um
subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um
elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D.
Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a
sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está
contido em D é sempre verdadeira.
A B
Conjunto das Partes
Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E - P(E) - o Exemplo 2:
conjunto formado por todos os subconjuntos de E: Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união
desses conjuntos é:
Exemplos: A  B = { 0, 1, 2, 3, 4 ,5 }
nesse caso podemos dizer que A  B = B
 Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b},
{a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
 Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
 Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.
Resumo teórico 4

5. Pré-vestibulinho
Matemática
► Intersecção:  Exemplo 1:
Os elementos que fazem parte do conjunto A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 8 } a diferença dos conjuntos é:
intersecção são os elementos comuns aos conjuntos
relacionados.
A B={ xA e xB} A–B
Exemplo 1:
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 8}, se
A – B = { 1, 2 }
pedimos a intersecção deles teremos:
A  B = { 2, 3 } , dizemos que A “inter” B é igual a 2 e
3.
B–A
B–A={8}
A B
Exemplo 2:
Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se
pedirmos a intersecção deles teremos:
Exemplo 2:
A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {8, 9, 10} a diferença dos conjuntos
é:
A – B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Exemplo 3:
A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}a diferença dos conjuntos é:
A–B= 
►Complementar
B  C = { } ou B  C =  Dados dois conjuntos A e B em que A  B, chamamos
de complementar de A em B
então B e C são conjuntos distintos.
, o conjunto formado pelos elementos de que pertencem a
B que não pertencem a A
►Diferença entre dois conjuntos.
AB  = B - A
Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou
diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos
de A que não pertencem a B.
O conjunto diferença é representado por A - B
Resumo teórico 5

6. Pré-vestibulinho
Matemática
► Número de elementos da união de
Exemplo 1:
A = { 1, 2 , 3} e B = { 1, 2, 3, 4, 5} então = B – A = { 4, conjuntos
5}
Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A e
n(B) o número de elementos do conjunto B, temos:
n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B )
Exemplo1:
n(A) = 5
Exercícios resolvidos
n (B) = 5
1. Se A = { 1, 2, 3, 4 , 5} e B = { 2, 3, 7} e C = { 2, 4, 6} ,
determine: n(A  B ) = 2
a) A  B
A  B = { 1, 2, 3, 4 , 5}  { 2, 3, 7} = { 1, 2, 3, 4 , 5, 7} Sendo n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ), então
n ( A  B ) = 5 + 5 – 2. Logo n ( A  B ) = 8
b) A  B
A B = { 1, 2, 3, 4 , 5}  { 2, 3, 7} = { 2, 3}
c) ( A  B )  ( B C)
Exemplo2:
A  B = { 1, 2, 3, 4 , 5, 7}
B  C = { 2, 3, 7 }
n(A) = 3
(A B)  (B C) n (B) = 4
{ 1, 2, 3, 4 , 5, 7}  { 2, 3, 7 } = { 2, 3, 4, 7 }
n(A  B ) = 
2. Se A = { 1, 2, 3, 4 , 5 }, B = { 2, 3, 6} e C = { 1, 2, 4 },
encontre:
Sendo n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ), então
a) B – C
B – C = { 2, 3, 6 } – { 1, 2, 4 } = { 3, 6 }
b)
Exercícios resolvidos
A - C = { 1, 2, 3, 4 , 5} - { 1, 2, 4 } = { 3, 5 }
1. Determine n (D  M ) sendo D = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
e M = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 }
Resumo teórico 6

7. Pré-vestibulinho
Matemática
n(D) = 8
n (M) = 8
n(A  B ) = 4
Sendo n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ), então
n ( A  B ) = 8 + 8 – 4. Logo n ( A  B ) = 12
2. Em uma universidade, 80% dos alunos lêem o jornal A e
60% o jornal B. Sabendo que todo aluno lê pelo menos um
dos jornais, qual o percentual de alunos que lêem ambos
os jornais?
Solução
Como todos os alunos lêem pelo menos um jornal,
n ( A  B )= 100% . Então:
n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B)
100% = 80% + 60% – n(A  B)
n(A  B) = 140% - 100%
n(A  B) = 40%
Resumo teórico 7

8. Pré-vestibulinho
Matemática
a
2. NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, = x |x = , a ; b e b≠0
b
RACIONAIS E IRRACIONAIS.
10 6
Inteiro: - 10, − , + 6, +
1 1
2.1.Conjunto dos Números Naturais ( )
1 132
Decimal exato: 0,1 ; ; 1,32 =
= { 0,1,2,3,4,.. } 10 100
*= { 0,1,2,3,4,.. } Dízima periódica:
7
a) 0,777... =
O conjunto dos números é fechado em relação as 9
operações de adição e multiplicação; isto é a adição de
dois números naturais é um outro número natural e a 6 2
b) 1,666 ... = 1 + 0,666... = 0,666... = =
multiplicação de dois números naturais terá como 9 3
resultado também um número natural. 2 3+2 5
1+ = =
3 3 3
Representação geométrica dos números naturais
36− 3 33 11
c) 0, 366... = = =
90 90 30
Cuidado! : Nem todo número racional é inteiro.
������
Ex.: ������
= 0,5 é racional mas não é inteiro!
2.2. Números inteiros ( )
= { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2 , 3, ...}
2.4. Conjunto dos Números Irracionais ( I )
Subconjuntos de
Os números irracionais apresentam infinitas casas
* = { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } decimais e não periódicas, são números que não podem ser
escritos na forma de uma fração.
+ = { 0, 1, 2, 3, ... }
Exs: , 2 , 3 ,  , etc...
*+ = { 0, 1, 2, 3, ... }
Obs.: As raízes quadradas de números que não são
- = { ..., -4, -3, -2, -1, 0 } quadrados perfeitos são também chamadas de números
irracionais.
*- = { ..., -4, -3, -2, -1 }
Representação geométrica dos números inteiros
2.5. Números Reais ( )
A união dos conjuntos dos números racionais e
irracionais chama-se conjunto dos números, que será
indicado por ” ”
2.3. Conjunto dos Números Racionais ( )
= { números racionais}  { números irracionais }
Todo número que pode ser escrito na forma de fração
Resumo teórico 8

9. Pré-vestibulinho
Matemática
momento, a letra relativa à posição da cadeira ocupada por
Bruna é
(A) D.
(B) I.
(C) K.
(D) P.
Exercícios
1.(SENAI 2008) Num jantar de comemoração, no final do
ano passado, todos os participantes resolveram pedir o
mesmo prato e a mesma sobremesa. No final do jantar
pagaram um total de R$ 450,00 pelo prato principal e R$
250,00 pela sobremesa. Se cada sobremesa custou R$ 5,00
a menos do que o prato principal, então o grupo era
formado por
a. 20 pessoas.
b. 30 pessoas.
c. 40 pessoas.
d. 50 pessoas. (E) R.
e. 60 pessoas.
3.(Trajano 2007) Quando estava lendo uma reportagem
sobre a sua banda favorita, Paula observou que havia um
2.(Trajano 2007) A roda-gigante de um parque de diversões borrão de tinta no texto, como é mostrado a seguir:
tem dezoito cadeiras, igualmente espaçadas ao longo do
seu perímetro e move-se no sentido anti-horário, isto é, no Curiosa, Paula determinou que o número de ingressos
sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. oferecidos para a área vip foi
(A) 260.
(B) 400.
(C) 540.
(D) 760.
(E) 910.
4.(Trajano 2007) Uma equipe de reportagem parte em um
carro em direção a Santos, para cobrir o evento “Música
Boa Só na Praia”. Partindo da cidade de São Paulo, o veículo
deslocou-se com uma velocidade constante de 54 km/h,
durante 1 hora. Parou em um mirante, por 30 minutos, para
gravar imagens da serra e do movimento de automóveis. A
seguir, continuaram a viagem para local do evento, com o
veículo deslocando-se a uma velocidade constante de 36
km/h durante mais 30 minutos. A velocidade escalar média
durante todo o percurso foi, em m/s,
de:................................
Na figura, as letras A, B, C, ... e R indicam as posições em
que as cadeiras ficam cada vez que a roda-gigante pára. (A) 10 m/s. (D) 36 m/s.
Com a roda-gigante parada, Bruna senta-se na cadeira que (B) 12 m/s. (E) 42 m/s.
está na posição A, posição mais baixa da roda-gigante. A (C) 25 m/s.
roda-gigante move-se de uma volta e pára. Nesse
Resumo teórico 9

10. Pré-vestibulinho
Matemática
5.(Trajano 2007) Eduardo e Mônica estavam brincando de adivinhações com números inteiros positivos.
Ao ouvir a resposta de Mônica, Eduardo imediatamente revelou o número original que Mônica havia pensado.
O número que Mônica havia pensado era um
(A) divisor de 12.
(B) divisor de 15.
(C) divisor de 24.
(D) múltiplo de 5.
(E) múltiplo de 12.
Resumo teórico 10

11. Pré-vestibulinho
Matemática
6.(Cotil 2002) As infrações de transito são classificadas de
acordo com o quadro ao lado. Se um condutor de Qual o total de pontos do lutador japonês e do coreano,
automóvel cometer as seguintes infrações: uma grave, duas respectivamente?
medias e 1 leve, quantos pontos seriam registrados na sua
carteira de motorista? E qual seria o valor total pago dessas 1 9
a) e
multas em reais? 1 UFIR = R$ 1,0641 fonte: Receita 2 8
Federal
10 5
b) e
8 8
Infrações Pontos Multa
4 7
Gravíssima 7 180 UFIRs c) e
8 8
Grave 5 120 UFIRs 2 5
d) e
8 8
Média 4 80 UFIRs
4 5
Leve 3 50 UFIRs e) e
8 8
↘ PROBLEMAS COM FRAÇÕES
8.(Cotil 2006) No COTIL , a alunos carentes são oferecidas
6.(Cotil 2005) O medo de atentado terrorista forçou a bolsa-trabalho, cujo valor varia a cada ano. Depois de uma
idealização de um plano de segurança para os jogos rigorosa avaliação, alguns alunos são beneficiados e
Olímpicos de 2004 de Atenas. A segurança reforçada contou prestam serviço à escola em horário oposto ao que
5 1
com milhares de homens e mulheres, sendo policiais , estudam. Em um determinado ano, um estudante recebeu
9 3 uma bolsa. Descubra quanto recebeu, sabendo que no final
militares , segurança particulares e voluntários e outros 5 4
mil homens eram da guarda costeira. O total de homens do mês ele gastou do total e, em seguida, enviou mais
5
que participaram da segurança em Atenas 2004 foi de : 1
, restando-lhe..apenas..R$.7,00.
a) 15 mil 6
b) 25 mil
c) 30 mil a) R$ 150,00 d) R$ 240,00
d) 45 mil b) R$ 180,00 e) R$ 270,00
e) 50 mil c) R$ 210,00
7.(Cotil 2005) O judô olímpico é um dos esportes mais
premiados do Brasil. O primeiro judoca brasileiro a 9.(Cotil 2006) As epidemias que afetam os animanis
conquistar o ouro foi Aurélio Miguel, em 1998. Para quem preocupam não só o Brasil, como também a humanidade.
na pratica o esporte, entender aquele empurra-empurra, Um fazendeiro da região Centro-Oeste do Brasil possuía um
agarra-aguarra e golpes rápidos não é muito fácil. Para rebanho de gado para corte e, num certo mês do ano, viu
compreender um pouco mais da dinâmica desse esporte, seu rebanho ser dizimado por uma dessas epidemias. Na
1
um caminho é aprender a matemática que envolve o primeira semana perdeu do rebanho; na segunda
sistema de pontuação dos golpes, conforme a tabela 3
1 1 1
abaixo: semana, perdeu ; na terceira ; na quarta ,
6 9 12
sobrando apenas 792 cabeças de gado. Quantas cabeças do
Golpe Valor Punição Valor rebanho ele perdeu?
Ippon 1 ponto Shidô 1/8 ponto
Waza-ari 1/2 ponto Chui 1/4 ponto
Yuko 1/4 ponto Keikoku 1/2 ponto 10.(Cotil 2007) Os desertos avançam. O total de áreas
Koka 1/8 ponto Hansoku-make 1 ponto atingidas por seca dobrou em trinta anos. Só na China, as
áreas desérticas avançaram 10.000 quilômetros quadrados
Acompanhe a descrição de uma luta entre um japonês e um por ano, o equivalente ao território do Líbano. A Área total
2
coreano. da Terra é de aproximadamente 510 milhões de km . Sabe-
3 1
se que da superfície da Terra são cobertos por água e
4 3
 O lutador japonês obteve: um koka, um yoko, um waza- do restante é coberto por desertos. A área dos desertos, em
ari e três shidô milhões de quilômetros quadrados corresponde a
aproximadamente:
 O coreano teve o seguinte desempenho: um waza-ari, dois
koka, um Chuí,um shidô e um yoko.
Resumo teórico 11

12. Pré-vestibulinho
Matemática
O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais,
a) 127,5 5
logo sua resposta deveria ser .
b) 170 4
c) 42,5
d) 420,5 d) O aluno A acertou, respondendo com uma adição de
e) 425 frações cuja soma corresponde à resposta correta.
O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais,
5
logo a resposta deveria ser .
11.(PSS-SEE/SP) Um professor de uma escola de música vai 4
comprar um livro para cada um dos 270 alunos.
Pesquisando
preços na internet, encontrou o seguinte: e) O aluno A acertou, pois dividiu as quatro barras em 4
• No site A, o preço de cada livro era R$ 16,75. partes iguais e dividiu o que sobrou aos seus 5
• No site B, o preço de cada livro era R$ 25,00, e na compra amigos. O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partes
de dois livros o terceiro era cortesia. 5
iguais, logo sua resposta deveria ser .
4
Qual a melhor opção para o professor?
a) O site A, pois economizaria R$ 2.227,50 em relação ao
que pagaria no site B. 12.(PSS-SEE/SP) A partir de um valor inicial igual a 16000,
b) O site A, pois economizaria R$ 1.215,00 em relação ao certa população P1 de bactérias dobra a cada 30 minutos.
que pagaria no site B. Simultaneamente, partindo de um valor inicial 8 vezes
c) O site B, pois economizaria R$ 225,50 em relação ao que menor, outra população P2 de bactérias cresce,
pagaria no site A. dobrando de valor a cada 15 minutos. Em qual instante t as
d) O site B, pois economizaria R$ 22,50 em relação ao que duas populações terão o mesmo valor?
pagaria no site A. a) 60 minutos.
e) O site B, pois economizaria R$ 2,25 em relação ao que b) 90 minutos.
pagaria no site A. c) 120 minutos.
3.(PSS-SEE/SP) Um professor de Matemática apresentou o d) 150 minutos.
seguinte problema aos seus alunos: e) 180 minutos.
“Roberto comprou quatro barras de chocolate e dividiu
igualmente aos seus cinco amigos. Qual a fração da barra
que cada um receberá?”
Dois alunos responderam da seguinte maneira à questão do
professor:
3 1
Aluno A: Cada um receberá +
4 20
4
Aluno B: Cada um receberá a fração
5
Considerando as resoluções dos alunos, assinale a
alternativa correta:
a) O aluno A acertou, pois dividiu as quatro barras em 4
partes iguais e dividiu o que sobrou aos seus 5 amigos. O
aluno B também acertou, pois dividiu as barras em 5 partes
4
iguais, representando
5
b) O aluno A errou, respondendo com uma adição de
frações cuja soma não corresponde à resposta correta.
O aluno B acertou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais,
4
representando
5
c) O aluno A errou, respondendo com uma adição de
frações cuja soma não corresponde à resposta correta.
Resumo teórico 12

13. Pré-vestibulinho
Matemática
3.2.1. Propriedades da Radiciação
3. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
3.1. Potenciação Para a  ,b  ,n  *, m  *, temos:
Para a   ,n
n n n
,b 1) a · b = a · b
n
a n a
2) n = ,b≠0
b b
n m m. n
Assim; 3) a = a
 a0 = 1
4) ( a )p = p
n
, *
 a1 = a
5)
 an = a · a · ... · a , se n  2
n fatores Obs.: Para radicais de índice par, devemos ter b  0 e a 
0
 a-n = = a≠0 3.2.2. Potenciação com expoente racional
Sendo p  , n *, temos:
3.1.1. Propriedades da Potenciação
a +  a =
1) a
m
· n
a =a
m+n
p
m
2) a : a = a
n m-n
0 = 0 , para > 0
n
a= 0
m n
3) (a ) = a
m
·n p
0 não é definido para ≤ 0
n
4) (a · m
b) = a
m
·bm
a nem sempre é real se n for par
m m m
5) (a : b) = a : b , b ≠0
a - 
a = se n for ímpar
3.2. Radiciação
Para a    Todas as propriedades da potenciação com expoente inteiro são
,b ,n * , temos:
válidas também para a potenciação com expoente racional.
Assim,
 b = an
n
b =a
Resumo teórico 13

14. Pré-vestibulinho
Matemática
4. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Esses termos semelhantes podem ser reduzidos, basta
São expressões matemáticas que apresentam letras ou
conservar a parte literal e fazer as respectivas operações
apenas letras, as quais são chamadas de variáveis ou
com os coeficientes numéricos. Voltando ao exemplo
incógnitas.
anterior temos:
2 2
2 3
( 3 xy + 6 xy ) e ( - 2 abc + 10 abc ), reduzindo esses
Ex.: 2a b + 3xy – 7a2x3 – 7a2x2 – b2 y2 2
termos temos: 9xy + 8abc
No exemplo acima:
 2; 3; -7 e -1 são chamados de coeficientes numéricos
4.3. Polinômio
Toda expressão racional e inteira é determinada pelo
 a b ; xy ; a x ; a x e b y são chamadas de parte
2 3 2 3 2 2 2 2
número de termos da expressão algébrica.
literal
a) Monômio: polinômio que possui apenas um termo
2a2b + 3xy3 – 7a2x3 – 7a2x2 – b2 y2 2 4
Ex.: 2 x y z
1º termo 2º termo 3º termo 4º termo 5º termo
b) Binômio: polinômio que possui dois termos
Os termos são separados apenas por adição ou subtração. 2 4
Ex.: 3 x y + 2ab
2
c) Trinômio: polinômio que possui três termos
4.1. Classificação das expressões algébricas 2 4 2 3
Ex.: 5 a y + 7xb – 7xy z
a) Racional : Quando não existe variável dentro de uma  Acima de três termos, todos os demais são chamados de
raiz, esses tipos de expressões se subdividem em: Polinômio.
 Inteiras: quando não aparecem variáveis no Cuidado!: Só podemos classificar um polinômio após
denominador reduzirmos todos os termos semelhantes.
2 4
Exs.: 3x + 1 ; 7xy – by 2 2 2
Por exemplo: 4x + 3ab + 4x y – 5x aparentemente é um
2 2
polinômio porém o primeiro e o quarto termo ( 4x e – 5x )
 Fracionárias: quando aparecem variáveis no são semelhantes, podendo ser reduzidos. Após a redução
denominador observamos que o polinômio é um trinômio com esse
2 3 5 2
Exs.: + 5x -2 ; +c aspecto:
x ab
-x2 + 3ab + 4x2y
b) Irracional : Quando existe variável dentro de uma raiz.
2 3
4.4. Grau do Polinômio
Exs.: 3 3x + 5a b ; 2abc – y
O grau de termos é a soma dos expoentes de
suas variáveis, o termo que possuir maior soma de
expoentes determinará o grau do polinômio.
4.2. Termos semelhantes 2 4 2
Ex.: 3a b – 7b + 3 x y z
3 2
Termos que apresentam a mesma parte literal, inclusive os 2 3
1º Termo : 3 a b = 2 + 3 = 5 ( Quinto grau)
expoentes das variáveis. 2
2º Termo : -7 b = 2 ( Segundo grau)
3 2
3º Termo : 3 x y z = 3 + 2 + 1 = 6 ( Sexto grau) <maior>
2 2
Ex.: 3 xy - 2 abc + 6 xy + 10 abc
Podemos observar que esse trinômio é do sexto grau
Termos semelhantes
Resumo teórico 14

15. Pré-vestibulinho
Matemática
4.5. Valor numérico de uma expressão
Toda expressão algébrica tem o seu valor numérico, esse
valor é encontrado a partir do momento em que temos
ou atribuímos valores para as letras. Se em um exercício é
pedido para que calcule o valor numérico da expressão
2
algébrica 2x y é preciso que saibamos ou atribuímos valores
para as letras x e y.
2
Então vamos supor que na equação 2x y, os valores das
letras seja x = -2 e y = 1, agora substituindo esses valores,
chegaremos em um valor numérico.
2
2x y
2 · (-2) ·1
2
2·4·1 =8
 Valor numérico da expressão 2x y
2
Veja mais um exemplo de como achar o valor numérico da
expressão a + ab + 5. O valor numérico desse e de todas as
expressões algébricas irão variar dependendo do valor que
iremos atribuir para as letras.
Nesse exemplo vamos supor que as letras a = 5 e b = -5.
5 + 5 · (-5) + 5
5 – 25 + 5
-20 + 5 = - 15
 Valor numérico da expressão a + ab + 5
Resumo teórico 15

16. Pré-vestibulinho
Matemática
5. PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 5º Caso: Trinômio do 2º grau
2
São expressões da forma x - Sx + P, em que S e P
repre-sentam, respectivamente, a soma e o produto de
dois núme-ros a e b tal que se pode escrever:
5.1. Produtos notáveis
São produtos que aparecem com muita freqüência x2 - Sx + P = ( x –(x1 )) ( x + (x2))
na resolução de equações ou no desenvolvimento de Exs.:
2
expressões. a) x + 7x + 12 = ( x+3) (x+4)
Vejamos alguns casos: S P
2
2 2 2 2 2 b) x -6x +8 = ( x - 2 ) (x - 4)
a) (a + b) = ( a+ b)( a+b ) = a + ab + ba + b = a + 2ab + b
S P
2 2 2 2 2
b) (a - b) = ( a - b)( a – b ) = a - ab - ba + b = a - 2ab + b 2
c) x +2x -8 = ( x - 2 ) (x + 4)
S P
2 2 2 2
c) ( a +b )( a – b ) = a – ab + ba – b = a - b
Resumindo:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
( a +b )( a – b ) = a2 - b2
5.2. Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la em
produto. Vejamos alguns casos.
1º Caso: Fator comum em evidência
2 3 4 2 2
Ex.: 6x + 12x z – 8 x b = 2x (3 + 6xz – 4x b )
2º Caso: Agrupamento
Ex.: xy + xz + ay + az = x( y + z ) + a (y + z ) = (y + z) ( x + a )
3º Caso: Diferença de dois quadrados
2 2
Ex.: x – y = ( x + y ) ( x – y )
4º Caso: Trinômio quadrado perfeito
Exs.:
2 2 2
a) x +2xy + y = ( x + y )
x 2 y = 2xy
2 2 2
b) x -2xy + y = ( x - y )
x -2 y = -2xy
Resumo teórico 16

17. Pré-vestibulinho
Matemática
6. RAZÕES E PROPORÇÕES ������ ������
=  ax d = bxc
������ ������
6.1. Razão
Obs. A recíproca também é verdadeira
Razão é a comparação entre grandezas de mesma
a c
espécie. Essa comparação é representada por uma a· d = b·c  =
fração, onde o numerador é chamado de antecedente e o b d
denominador de conseqüente.
Exs.:
Exs.:
3 a) Calcule o valor de “x”.
a) A razão entre 3 e 7 = ,
7
(onde 3 é antecedente e 7 conseqüente) x 10
= = x · 4 = 2 · 10
2 4
7 4x = 20
Se invertermos , a razão entre 7 e 3 será , x=5
3
(agora 7 é antecedente e 3 conseqüente)
2 1 b) Calcule o valor de “y”.
b) A razão entre 4 e 2 = 2, a razão entre 2 e 4 = =
4 2
9 y
3 8 2 8 27
= = 2 · y = 9 · 0,2
2 0,2
c) A razão entre e = : = 2y = 1,8
2 9 3 9 16
y = 0,9
6.2. Proporção 6.3. Números proporcionais
Duas seqüências de números são proporcionais
É uma igualdade entre duas razões.
quando a razão entre dois números correspondentes de
cada uma das seqüências for sempre a mesma.
Exs.:
Os números proporcionais são divididos em 2 grupos:
A proporção a seguir pode ser representada da seguinte
os diretamente proporcionais e os inversamente
maneira:
proporcionais. Há também um outro grupo que não
pertence a esses chamados números não proporcionais.
6.3.1. Números diretamente proporcionais
Dada uma seqüência
a; b; c; d; ... e a’; b’ ; c’ ; d’; ... então:
Lê-se: 3 está para 2 assim como 9 está para 6 a b c d
Nesta proporção, o 3 e 6 são extremos e o 2 e o 9 são = = = = .... = k onde
a´ b´ c´ d´
meios.
k = constante de proporcionalidade
5.2.1. Propriedade fundamental das proporções
Ex: Considere as seqüências
2; 4; 8; 16; 32 e 3; 6; 12; 24; 48
“O produto dos meios é igual ao produto dos extremos”
2 4 8 16 32 ������
3 6 = = = = =
Ex.: =  2· 6 = 3·4 3 6 12 24 48 ������
2 4
= 12
2
é a constante de proporcionalidade.
Generalizando: 3
Resumo teórico 17

18. Pré-vestibulinho
Matemática
Portanto, podemos afirmar que as duas seqüências 3.(Trajano 2008)
são diretamente proporcionais devido apresentarem
sempre como resultado a razão entre as grandezas
������
relacionadas
������
6.3.2. Números inversamente proporcionais
Dada uma seqüência
a; b; c; d; ... e a’; b’ ; c’ ; d’; ... então:
a b c d
1 = 1 = 1 = 1 = .... = k onde
a´ b´ c´ d´
a · a´ = b · b´ = c · c´ = d · d´ = .... = k
Ex.: Considere as seqüências 2; 4; 8; 16; 32 e 48; 24; 12; 6;
3
2 4 8 16 32
1 = 1 = 1 = 1 = 1 = .... = k onde
48 24 12 6 3
Se o temor de Eva, a personagem da cena apresentada, se
2 · 48 = 4 · 24 = 8 · 12 = 16 · 6 = 32· 3 = 96
confirmar, e os três dias de espera forem venusianos, então
96 é a constante de proporcionalidade. na Terra terão se passado (Obs. Desconsidere o ano bissexto)
Portanto, podemos afirmar que as duas seqüências são
inversamente proporcionais. (A) 1 ano, 10 meses e 19 dias.
(B) 1 ano, 11 meses e 29 dias.
(C) 2 anos e 2 dias.
Exercícios (D) 2 anos e 5 dias.
(E) 2 anos e 9 dias.
1.(SENAI) Dos 1.200 funcionários de uma empresa, 60% têm
idade superior a 30 anos. Se entre o número de homens e o
de mulheres com idade superior a 30 anos a razão é de 3
homens para 2 mulheres, pode-se afirmar que a quantidade
de mulheres com idade superior a 30 anos nessa empresa é 4.(PSS-SEE/SP) O gráfico abaixo indica o preço em reais de
cada bolsa que uma fábrica produz, de acordo com o
a. 288.
b. 296. número de bolsas compradas pelas lojas.
c. 312.
d. 360.
e. 374.
2. (Trajano 2008) É possível combater o vibrião colérico
com o uso de uma solução aquosa de hipoclorito de sódio
(NaClO) a uma concentração mínima de 0,11g/L. A massa de
hipoclorito de sódio necessária para se preparar 10 litros
dessa solução, expressa em miligramas, é
(A) 0,11.
(B) 1,10.
(C) 110.
(D) 1 100.
(E) 11 000.
Resumo teórico 18

19. Pré-vestibulinho
Matemática
Considere as afirmações abaixo:
I. As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.
II. As grandezas envolvidas são inversamente proporcionais.
III. As grandezas não são nem diretamente e nem
inversamente proporcionais.
IV. Analisando a relação existente entre as grandezas
envolvidas, percebemos que, quando há aumento de
uma, ocorre uma diminuição da outra.
Dentre essas afirmações:
a) Apenas a I está correta.
b) Apenas a II está correta.
c) Apenas a III está correta.
d) I e IV estão corretas.
e) III e o IV estão corretas.
Resumo teórico 19

20. Pré-vestibulinho
Matemática
7. REGRA DE TRÊS Velocidade
(Km/h)
Tempo (h)
400 3
7.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES 480 x
Regra de três simples é um processo prático para resolver Identificação do tipo de relação:
problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos
três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos
três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que
espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de contém o x (2ª coluna).
espécies diferentes em correspondência. Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso
diminui.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui),
inversamente proporcionais. podemos afirmar que as grandezas são inversamente
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido
3º) Montar a proporção e resolver a equação. contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e
resolvendo a equação temos:
Exemplos:
2
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m , uma
lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400
2
watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m ,
qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
2
Área (m ) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30
Identificação do tipo de relação: minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela
pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que Solução: montando a tabela:
contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar Camisetas Preço (R$)
aumenta. 3 120
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), 5 x
podemos afirmar que as grandezas são diretamente
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço
sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e aumenta.
resolvendo a equação temos: Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta),
podemos afirmar que as grandezas são diretamente
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação
temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
Logo, a Bianca pagaria R$ 200,00 pelas 5 camisetas.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de
400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto
tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia,
de 480km/h? realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de
serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o
Solução: montando a tabela:
mesmo trabalho?
Resumo teórico 20

21. Pré-vestibulinho
Matemática
Solução: montando a tabela: proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos
igualar a razão que contém o termo x com o produto das
Horas por Prazo para término
outras razões de acordo com o sentido das setas.
dia (dias)
8 20 Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
5 x
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por
dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta),
podemos afirmar que as grandezas são inversamente
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação
temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20
carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por
7.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
A regra de três composta é utilizada em problemas com Homens Carrinhos Dias
mais de duas grandezas, direta ou inversamente 8 20 5
proporcionais. 4 x 16
Exemplos: Observe que:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m de
3 Aumentando o número de homens, a produção de
areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente
para descarregar 125m ?
3 proporcional (não precisamos inverter a razão).
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna Aumentando o número de dias, a produção de
as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as carrinhos aumenta. Portanto a relação também é
grandezas de espécies diferentes que se correspondem: diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o
Horas Caminhões Volume produto das outras razões.
8 20 160 Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
5 x 125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna
que contém o x (2ª coluna).
Logo, serão montados 32 carrinhos.
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela
onde está o x.
Observe que: 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a
diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é altura para 4m, qual será o tempo necessário para
inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). completar esse muro?
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna
número de caminhões. Portanto a relação é diretamente que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes
Resumo teórico 21

22. Pré-vestibulinho
Matemática
para as grandezas diretamente proporcionais com a
incógnita e discordantes para as inversamente
proporcionais, como mostra a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Exercícios complementares
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando
fazer esses exercícios:
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas.
Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?
Resposta: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30
dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20
homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas
de carvão? Resposta: 35 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam
18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo
levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por
dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês,
viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50
km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para
entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de
60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz
5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos.
Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de
largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025
metros.
Resumo teórico 22

23. Pré-vestibulinho
Matemática
E porque ter noção desta distinção?? Ela se torna
8. PORCENTAGEM E PROBLEMAS DE muito importante na resolução de problemas envolvendo
...APLICAÇÃO. dinheiro.
Porcentagem é uma razão centesimal, ou seja, o
denominador é igual a 100.
8.1.1. Porcentagem sobre o preço de custo
25
Ex.: que se indica por 25%
100 Quando o cálculo sobre o preço de lucro (ou prejuízo) é
calculado, em bases percentuais, em cima do preço de
Existem dois métodos para se calcular porcentagem:
custo do produto adquirido, temos o que é chamado de
porcentagem sobre o custo. Este é o processo normal, e que
a) Fração de um valor: Multiplica-se a fração pelo valor. é usado e adotado no mercado comercial.....................
Ex: Calcule 20% de 45 Desta forma, se um comerciante ou pessoa física,
compra um determinado produto por um valor de R$
20 900 200,00 (preço de custo) e este for ser revendido com um
· 45 = =9
lucro de 30%, isto quer dizer que nesta operação o lucro em
100 100
espécie da operação é de R$ 30,00 (lucro) para cada valor
Portanto 20% de 45 é igual a 9 de R$ 100,00 do preço do custo.
b) Regra de Três Simples e direta: Comparação entre duas
grandezas diretamente proporcionais
Acompanhe o raciocínio:
Ex: Calcule 30% de 70
Custo Lucro
Estamos comparando porcentagem e valor. 70 é o valor R$ 100,00 R$ 30,00
total portanto equivale a 100%.
R$ 100,00 R$ 30,00
Custo total = R$ 200,00 Lucro total = R$ 60,00
100 % ............ 70
20% ................ x 100· x = 20 ·70
100 x = 1400
Através de um cálculo da regra de três , temos:
1400
x = R$ 200,00 .............. 100%
100
X .................... 30%
x = 14 200 x 30
X=
100
Obs.: É mais conveniente resolver por regra de três, pois
serve para todos os casos. 6000
X =
100
8.1. PROBLEMAS DE APLICAÇÃO – LUCROS E
......PREJUÍZOS X = R$ 60,00 (valor do lucro total na
operação)
Todo comerciante compra uma certa mercadoria
por um determinado preço, que é chamado de preço de Em toda operação, envolvendo problemas
custo, e em seguida, efetua a revenda do mesmo com lucro relacionados com porcentagem sobre o custo do produto,
ou prejuízo, dependendo do preço que a mercadoria foi as partes obrigatórios de cálculos na operação são:
passada ao mercado consumidor.
Em problemas envolvendo porcentagem sobre compra » Venda
e venda de mercadorias, temos os seguintes casos » Custo
distintos: » Lucro (ou prejuízo, conforme operação)
» porcentagem (%) sobre venda Para que haja uma memorização melhor sobre
» porcentagem (%) sobre custo estes elementos fundamentais de cálculo sobre
porcentagem de custo, observe:
Resumo teórico 23

24. Pré-vestibulinho
Matemática
C = CUSTO C*L=V » 100% + 50% = 150%
V = VENDA R$ 300,00 .............. 100% (custo da operação)
X ...................... 150% (venda da operação)
L = LUCRO
150 x 300
X=
P = PREJUÍZO 100
45000
X= = R$ 450,00
100
Dicas importantes!
Resposta:O valor do produto será de R$ 450,00
1. O preço de custo (ou preço de compra) é sempre igual a
100% (cem por cento)
c) Uma pessoa vendeu um automóvel pelo valor de
R$ 25.000,00, ganhando o valor de 20% (vinte por cento)
2. A venda do produto (com prejuízo na operação) é sobre o custo. Qual foi o lucro desta pessoa nesta
sempre igual ao preço de custo menos o prejuízo, da operação?
seguinte forma:
Solução:
C–P=V ou V=C–P
100% - 30% = 70% 70% = 100% - 30%
C + L = V » 100% + 20% = 120%
3. a venda do produto (com lucro na operação) é sempre 25.000 ................. 120% (venda da operação)
igual à soma do custo mais o lucro, da seguinte forma: X .................... 20% (lucro da operação)
C+L=V ou V=C+L 25000 x 20
100% + 30% = 130% 130% = 100% + X=
120
30%
500.000
X= = R$ 4.166,67 (valor
120
arredondado)
Exs.:
a) Qual o preço que é possível vender um produto que
teve seu custo de R$ 700,00, para se ter um lucro final
de 15%? Resposta: O lucro da operação foi de R$ 4.166,67
Solução:
C*L=V » 100% + 15% = 115% d) Uma geladeira foi vendida com um lucro final de 35%.
Calcule o valor da venda, sabendo que o lucro na operação
foi de R$ 250,00.
R$ 700,00 ................ 100% (custo da operação)
....................X ........................ 115% (venda da operação)
115 x 700
X= Solução:
100
80500 C + L = V -à 100% + 35% = 135%
X= = R$ 805,00
100
250 ................ 35% (lucro da operação)
O valor do produto será de R$ 805,00 X .................... 135% (venda da operação)
135 x 250
b) Qual o preço que é possível vender um produto que teve X=
seu custo de R$ 300,00, para se ter um lucro final de 50%? 35
33750
Solução: X= = R$ 964,29 (valor
35
arredondado)
Resumo teórico 24