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Redondeo y Truncamiento  Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de losresultados de los cálculos mate...
Para que obtengas información, esta es la conexión:Error De Truncamiento  "Cualquier número real positivo y puede ser norm...
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Análisis numérico 1

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Análisis numérico 1

  1. 1. Análisis numéricoMichelle David Diaz 17228634Definición de Análisis Numérico Es en procedimientos que resuelven situaciones y realizan cálculosaritméticos, tomando en cuenta las características especiales de losinstrumentos de cálculo (como calculadoras, computadoras) que nosayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin decalcular o aproximar alguna cantidad o función, para el estudio de erroresen los cálculos"Definición de Número MáquinaTodas las computadoras trabajan con una cantidad fija de información. Launidad fundamental mediante la cual se representa la información se llamapalabra. Una palabra es una unidad de información constituida por unacadena fija de dígitos binarios o bits que son usados para representar lasinstrucciones de un programa, símbolos alfabéticos, números, etc. Elnúmero de dígitos de una palabra recibe el nombre de longitud de palabra.Por ejemplo:0.0158 se escribe como 0.0158 * 100850000 se escribe como 0.850 * 10635.519 se escribe como 0.35519 * 102En general un número en cualquier base b se puede escribir en la forma± 0.d1d2… * be [3]Cada uno de los di (i = 1,2, …) son dígitos de la base b y e es un númeroentero (positivo, negativo o cero) el cual determina donde se encuentra elpunto decimal.Error Absoluto "El error absolutoes la diferencia entre el valor exacto (un númerodeterminado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado, o sea el valorexacto menos el valor calculado";debido a que la ecuación se dio en
  2. 2. términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, unacolección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse.Cota de Errores Absolutos y Relativos Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el errorabsoluto (ni el relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Sepretende encontrar cotas superiores de esos errores. Cuanta más pequeñasean esas cotas superiores, mejor. Sea f una función derivable en I,[a, b] ÍI, P la solución exacta de la ecuación f(x)=0 y Pn una aproximación a P.Supongamos |f ’(x)| ³ m > 0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b]. Entonces: Esto nos da una cota del error al tomar una aproximación de la soluciónexacta, conociendo una cota inferior del valor absoluto de la derivada.Algunas veces, en la práctica, la exactitud de una raíz aproximada Pn seestima en función de cómo satisfaga f(Pn) = 0; es decir si el número |f(Pn)|es pequeño, se considera entonces Pn una buena aproximación de P; perosi |f(Pn)| es grande, entonces Pn no se considera como una buenaaproximación de la solución exacta P.Fuentes Básicas de Errores Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Errorde truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con elnúmero limitado de dígitos con que se representan los números en una PC(para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer lasformas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo lassumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a lasaproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie deTaylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelosnuméricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso dondeaparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito poruno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).
  3. 3. Redondeo y Truncamiento Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de losresultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clasesfundamentalmente: errores de truncamiento, que resultan de representaraproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores deredondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos.En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado estádada por: Valor verdadero = valor aproximado + error, de donde seobserva que el error numérico está dado por:Ev = valor verdadero - valoraproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error. La deficiencia deltruncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos enla representación decimal completa no tienen relevancia en la versión decortar o truncar; por lo tanto el redondeo produce un error bajo encomparación con el truncamiento.Error De Redondeo Se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina depunto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cadanúmero (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Estosignifica que todos los números en un intervalo local están representadospor un solo número en el sistema numérico de punto flotante. "Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n. n - (k+1) El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 a yy después truncarpara que resulte un número de la forma fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n. El último método comúnmente se designa por redondeo. En estemétodo, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a fl; esto es,redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después delos primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo
  4. 4. Para que obtengas información, esta es la conexión:Error De Truncamiento "Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n. Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de puntoflotante de y, que se representará por fl, se obtiene terminando la mantisade y en k cifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo laterminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . .para obtener fl= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n. Este método es bastante preciso y se llama truncar el número. Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un númeroinfinito de pasos se detiene en un número finito de pasos. Generalmente serefiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximarla suma de una serie infinita. El error de truncamiento, a diferencia del errorde redondeo no depende directamente del sistema numérico que se emplee.Errores De Una Suma Y Una Resta En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchosnúmeros en la computadora. Como cada suma introduce un error,proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores seacumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza alproblema del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticasen registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales.Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los númerosexistan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitarsituaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restarcantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un
  5. 5. número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de erroresrelativos y absolutos poco relevantes.Errores De Una Suma Y Una Resta En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchosnúmeros en la computadora. Como cada suma introduce un error,proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores seacumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza alproblema del cálculo de productos interiores. En la práctica muchascomputadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especialesque más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras sellaman bits de protección y permiten que los números existantemporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones enlas que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casiiguales o la división de un número muy grande entre un número muypequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos yabsolutos poco relevantes.Estabilidad e Inestabilidad La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad loscambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo esnuméricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entradaaumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso numéricoes inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de susetapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente laexactitud del cálculo en su conjunto. El que un proceso sea numéricamente estable o inestable deberíadecidirse con base en los errores relativos, es decir investigar lainestabilidad o mal condicionamiento , lo cual significa que un cambiorelativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce uncambio relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Unafórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen loscálculos.
  6. 6. Condicionamiento Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informalpara indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto depequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está malcondicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandescambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definirun número de condición: "Un número condicionado puede definirse como larazón de los errores relativos". Si el número de condición es grande significa que se tiene un problemamal condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso seestablece un número de condición, es decir para la evaluación de unafunción se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas deecuaciones lineales se establece otro tipo de número de condición; elnúmero condicionado proporciona una medida de hasta qué punto laincertidumbre aumenta

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