Cybernetics

1. „Norii nu sunt sfere, munţii nu sunt conuri, liniile de coastă nu sunt cercuri, iar
scoarţa copacilor nu este netedă şi nici fulgerul nu cade in linii drepte.”
Benoit Mandelbrot
CAPITOLUL 1
FRACTALI ŞI GEOMETRIA FRACTALĂ
Introducere
Geometria fractală este o matematică în care liniile drepte pur şi
simplu nu există. Şi natura este un loc în care linia dreaptă este o
excepţie. Dacă am vrea să ştim, de exemplu, care este lungimea linei de
coastă a Marii Britanii, am spune, probabil, câteva mii sau milioane de
kilometri. De fapt, această linie de coastă este infinit de lungă. Acest
lucru sună oarecum ciudat, dar suntem atât de obişnuiţi să măsurăm
distanţele în linii drepte încât uităm cât de aproximativă este această
procedură.
1

2. Dacă am merge de-a lungul plajei de coastă timp de câteva minute,
am constata cu surprindere că limita exactă dintre apă şi pământ poate fi
foarte greu delimitată. Orice distanţă am lua în considerare, prin studierea
doar unei fracţiuni din aceasta, am observa că noile forme obţinute
determină ca fracţiunea respectivă să devină tot mai lungă, un fenomen
care poate continua la nesfârşit, găsind de fiecare dată noi forme care
extind lungimea limitei dintre pământ şi apă. În realitate, limita dintre
pământ şi apă se poate curba uşor şi dacă privim cu atenţie pietrele şi
nisipul, devine evident faptul că sute de mici denivelări dau impresia unei
suprafaţe care pare să ţeasă această limită, după un tipar aparent aleator.
Şi, de fapt, există chiar şi mai multe denivelări dacă ne-am uita la
microscop.
Această proprietate este întâlnită peste tot în natură, variind de la
dimensiunile atomice până la dimensiunea întregului univers. Aceasta
este esenţa geometriei fractale. Cu cât observăm mai în detaliu un obiect
fractal, cu atât devine mai evident faptul că părţile sale componente au
aceleaşi proprietăţi ca şi întregul obiect. Nu există linie dreaptă în natură,
așa că o distanța este în realitate nelimitată.
Dar ce este, de fapt, un fractal şi cum a apărut ştiinţa care îl
studiază, geometria fractală? Benoit Mandelbrot (1924-2010) este
considerat
tatăl
geometriei
fractale.
El
însuşi,
într-o
lucrare
autobiografică, se numea fractalist. Dar mulţi fractali şi descoperirea lor
2

3. au legătură cu matematica şi cu mari matematicieni din perioada
anterioară lui Mandelbrot, cum ar fi Georg Cantor (1854-1919) (1872),
Giuseppe Peano (1858-1932) (1890), David Hilbert (1865-1942)
(1891), Helge von Koch (1870-1924) (1904), Waclaw Sierpinski
(1882-1969) (1916), Gaston Julia (1893-1979) (1918), sau Felix
Hausdorff (1868-1942) (1919), pentru a numi doar câţiva fractalişti fără
ca ei să fie conştienți de acest lucru (în cea de-a doua paranteză este anul
în care aceştia au descoperit fractalii care le poartă numele). Aceste
descoperiri au jucat un rol-cheie în formulatea teoriei şi conceptelor lui
Mandelbrot despre noua geometrie fractală. Ȋn acelaşi timp, trebuie spus
că ei nu şi-au considerat descoperirile ca fiind o nouă percepţie sau o
nouă geometrie a naturii.
1.1Example de fractali naturali
Relativ recent, o ştire a fost publicată în mai multe jurnale
ştiinţifice: „Cercetătorii au descoperit că genomul uman are o structură
foarte bine organizată. Fragmente mici din ADN sunt cuprinse în
globule, aceste globule sunt cuprinse în globule mai mari şi aşa mai
departe. Cercetătorii consideră această “globulă de globule de globule”
ca fiind un fractal, ceea ce înseamnă că este organizat în aşa fel încât
găsim acelaşi tipar, indiferent de cât de în detaliu am intra în structura
3

4. genomului uman. Această formă fractală este «extrem de densă, dar nu
are noduri»” (Science News, Nov 21, 2011) (Figura 1.1).
Corpul uman are între 75 şi 300 de miliarde de celule şi fiecare
celulă are un genom ca cel reprezentat în Figura 1.1. Dacă cineva ar
putea extinde acest genom trăgând de ambele capete, lungimea obţinută
ar fi de 2 metri şi jumătate. Această lungime trebuie comparată cu
diametrul unei celule, care este de aproximativ 10-100 microni, adică 10 -6
m sau 1/1.000.000 dintr-un metru. Practic, o celulă este invizibilă pentru
ochiul liber, dar conţine în structura sa un obiect fractal de dimensiuni
impresionante, dacă le comparăm cu cele ale unei singure celule. Şi asta
se repetă pentru absolut toate celulele din corpul uman.
Figura 1.1
4

5. Geometria fractală explică modul în care o structură poate deveni
infinit de complexă și variată, dând impresia falsă de asimetrie, haos și
deconectare atunci când în realitate totul este intercorelat. Aceste
concepte explică dezvoltarea vieții, lasând însă loc şi pentru existența
unei scântei divine, pentru cei care caută acest lucru. De unde şi cum a
apărut genomul uman, cu proprietățile sale uluitoare? Este rezultatul
evoluției de-a lungul a miliarde de ani, sau a fost creat de o forță
inteligentă? Sunt întrebări la care nu s-a răspuns în mod clar, argumenta,
fără putință de tăgadă. În esență, în natură totul este conectat. Un fluture
care dă din aripi, generază un efect în întreaga planetă și chiar dincolo de
acesta. O astfel de afirmație nu poate fi înțeleasă decât apelând la
geometria fractală.
Pe planeta noastră abundă fractalii. Lanţurile muntoase sunt un
frumos exemplu de fractali. Se pot găsi aceleaşi tipare în Munţii Stâncoşi,
Anzi, Alpi, Carpați sau Himalaya. (Figura 1.2).
5

6. Figura 1.2
În Figura 1.2 este reprezentată o fotografie a NASA ce arată
vârfurile acoperite de zăpadă și crestele Munților Himalaya de Est.
Construcțiile naturii respectă aceleași legi de bază, atât la nivel macro,
cât și la nivel micro. Dacă nu am şti că sunt reprezentați lanțuri de
munți, am putea crede că avem de-a face cu crengi răspândite pe o
suprafată acoperită de zăpadă, sau cu râuri şi afluenții acestora
fotografiați de la înălțime.
Geometria fractală poate fi aplicată prognozelor meteo. O idee
veche de 80 de ani - justificată de metodele moderne de colectare şi
analiză a datelor - sugerează că vremea ar putea fi mult mai simplă decât
pare. Ce implicaţii are acest fapt pentru exactitatea previziunilor
6

7. meteorologice viitoare? Vom fi vreodată în stare să interpretăm şi să
prognozăm renumitul Efect de fluture? Vom vedea… (Figura 1.3)
Figura 1.3
Norul din imaginea reprezentată în Figura 1.3 este un obiect fractal
care are proprietățile oricărui astfel de obiect întâlnit în natură: mun ți,
ape, paduri, ramuri, vase de sânge etc.
Corpul uman nu reprezintă altceva decât un exemplu de obiect
fractal. Structura ADN-ului nostru, celulele, organele, sistemul circulator,
sistemul nervos, sistemul osos etc., toate respectă legile de bază ale
7

8. geometriei fractale. Un exemplu în acest sens este respectarea regulii de
aur a proporțiilor. Există multe exemple în acest sens, dar una evidentă
este cea a proporțiilor mâinii umane. Dacă ne uităm la orice deget, vom
vedea că articulațiile cresc ca dimensiuni spre palmă. Această creștere
respectă proporția fractală, mai precis raportul de 1 la 1.618. Aceeași
rată de creștere apare între degete și mâna noastră, între mâna noastră și
antebraț, între antebraț și lungimea totală a brațului etc.. Aceste
proporții se menține indiferent de zonele corpului nostru. Cu cât o
persoană arată mai sănătoasă și mai atractivă, cu atât aceste proporții
sunt mai apropiate de proporția regulă de aur. Același lucru îl întâlnim în
picturi, sculpturi sau catedrale, artiştii renascentişti cunoscând bine
proprietățile extraordinare ale proporției de aur (Figura 1.4)
8

9. Figura 1.4
Orice compoziție care respectă proporția fractală este în mod
natural atrăgătoare pentru ochi. Există, de asemenea în corpul uman,
dovezi ale naturii fractale de tip "auto-similitudine". Plămânul este un
excelent exemplu, cu un design clar care se repetă la diferite niveluri de
analiză (alveolele pulmonare reproduce fiecare lobul plămânului). Căile
respiratorii se divid și se subdivid la nesfârşît ca ramurile unui copac, sau
ca afluenții unui râu. Fiecare segment de plămân se împarte în bronhii,
9

10. apoi în bronhiole și în cele din urmă în alveole, unde are loc schimbul de
gaze între sânge şi oxigenul atmosferic.
Dacă ducem acest raținament mai departe, s-ar putea ca o boală să
fie un semn că o progresie din corpul uman nu respectă regula fractală?
În cazul în care un ficat a devenit congestionat datorită acțiunii metalelor
grele sau al depunerii de grăsimi pe suprafața sa, nu am putea să îl
readucem la starea sa perfectă prin întoarcerea la propor țiile fractale
originale? Unii medici cred că acest lucru este posibil. Atunci când un
calculator nu mai merge bine, îl reinstalăm cu versiunea originală sau cu
una îmbunătățită. Corpul uman este un uriaş bio-computer, astfel de ce
nu aplicăm același concept, folosind un limbaj pe care știm că îl înțelege
acesta - geometria fractală? La urma urmei, noi suntem făcuți din unul
dintre cei mai impresionanți fractali - ADN-ul, deci pur și simplu trebuie
să vorbim într-o limbă pe care acesta o înțelege.
Dacă am putea face chiar o ușoară ajustare a unui proces într-un
mod pozitiv, chiar și un corp bolnav ar avea potențialul de a se vindeca.
În cazul în care organul în sine nu este deteriorat dincolo de limita de
reparații, o imbunătățire cu 1% în cazul unui organ după mai multe
cicluri de regenerare celulară ne-ar putea duce în cele din urmă înapoi la
designul nostru perfect original, sau cel puțin la reducerea timpului de
recuperare naturală.
10

11. Un om de știință foarte intuitiv, Annie Maysmith, descrie procesul
de vindecare fractal, după cum urmează: "Corpul nostrum știe cel mai
bine. Este mult prea complex și interconectat pentru ca creierul să
înțeleagă. Ecuațiile fractale ilustrează această complexitate. Ele pun
corpul în mișcare și îi corectează eventualele blocaje. Vindecarea
fractală funcționează. Încearcă şi ai să vezi. Probabil nu putem înțelege
complexitatea la această scală. Dar putem simți atunci când corpul
nostru răspunde. Aceasta este starea de homeostazie."
Acesta este un rezumat bun al principalului conform căruia nu avem
nevoie să înțelegem pe deplin cum funcționează acest proces, avem
nevoie doar să îl lăsăm să funcționeze cu o minte deschisă și să îi simțim
răspunsul.
1.2
Fractali artificiali
Atunci când au fost descoperite mulţimea lui Cantor, curba Koch,
curba Peano, mulţimea Julia, covorul lui Sierpinski, buretele lui Menger
etc., au fost considerate ca fiind obiecte excepţionale, contra-exemple,
„monştrii ai matematicii”. Poate că acest lucru este puţin exagerat.
Descoperirea lor a fost accidentală, mulţi dintre fractalii artificiali
apărând în încercarea de a explora pe deplin conţinutul şi limitele
noțiunilor fundamentale de matematică (de exemplu, „continuu” sau
„curbă”). Mulţimea lui Cantor, covorul lui Sierpinski şi buretele lui
11

12. Menger ies în evidenţă, în special datorită rolului esențial jucat în
dezvoltarea geometriei fractale.
1.2.1 Mulțimea lui Cantor
Georg Cantor (1845-1918) a fost un matematician german de la
Universitatea din Halle, de unde a dat omenirii o lucrare fundamentală în
bazele matematicii, cunoscută sub numele de teoria mulţimilor.
Georg Cantor, 1845–1918
12

13. Mulţimea lui Cantor (obiect fractal cunoscut astăzi ca fiind primul
de acest fel descris de un matematician) a fost descoperită în 1872 şi
publicată în 1883 ca exemplu de mulţime cu proprietăți excepţionale. În
impresionanta galerie a fractalilor artificiali, mulţimea lui Cantor este una
dintre cele mai importante, chiar dacă este mai puţin atrăgătoare vizual şi
mai îndepărtată de o interpretare naturală imediată. Acum este cunoscut
faptul că mulţimea lui Cantor joacă un rol-cheie în mai multe ramuri ale
matematicii şi reprezintă modelul ascuns din spatele multor altor fractali
(de exemplu, mulţimea Julia).
Mulţimea lui Cantor este în esență o mulţime infinită de puncte în
intervalul unitate [0, 1]. Concret, acestă mulțime de numere, denumită
mulțimea lui Cantor, cuprinde elementele 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9,
8/9, 1/27, 2/27, etc.
Să explicăm construcţia clasică a mulţimii lui Cantor. Vom începe
cu intervalul [0, 1], apoi vom lua un interval (deschis), de exemplu (1/3;
2/3), vom exclude treimea din mijloc a intervalului [0, 1], dar nu şi
numerele 1/3 şi 2/3. Se obţin două intervale [0, 1/3] şi [2/3, 1] de lungime
1/3 fiecare şi astfel se completează un pas din construcţia de bază.
Procedeul se repetă, deci se consideră intervalele rămase [0, 1/3] şi [2/3,
1], se exclude treimea din mijloc a intervalelor şi se obţin patru intervale
de lungime 1/9. Şi se continuă în acest fel. Cu alte cuvinte, este vorba de
un proces iterativ care generează o secvenţă de intervale (închise) – unul
13

14. după primul pas, două după al doilea pas, patru după al treilea pas, opt
după al patrulea pas, etc. Figura 1.5 vizualizează procesul de construcţie
a mulţimii lui Cantor.
Figura 1.5
Mulţimea lui Cantor este o mulţime de puncte care se obţin în
urma efectuării paşilor de excludere de infinit de multe ori. Cum se
explică acest infinit de multe ori? Să încercăm. Un punct spunem că
aparţine mulţimii lui Cantor dacă putem garanta că, indiferent cât de des
vom efectua procesul de excludere, punctul nu va fi exclus.
Evident 0; 1; 1/3; 2/3; 1/9; 2/9; 7/9; 8/9; 1/27; 2/27, ... sunt
exemple de astfel de puncte, deoarece aceste sunt punctele aflate la
capetele intervalelor care sunt create la fiecare pas, şi, prin urmare, ele
14

15. trebuie să rămână. Toate aceste puncte au ceva în comun, şi anume sunt
puteri ale lui 3 – sau, mai degrabă, puteri ale lui 1/3. Putem fi tentaţi să
credem că orice punct din mulţimea lui Cantor este de acest tip, adică un
punct final al unuia dintre intervalele generate în proces. Această
concluzie este categoric greşită. Nu vom putea oferi argumentaţia
completă, dar vom discuta subiectul într-o oarecare măsură.
Dacă mulţimea lui Cantor ar fi fost formată doar din punctele
finale ale intervalelor generate în proces, le-am putea enumera cu
uşurinţă, așa cum este arătat în Figura 1.6.
Figura 1.6
Asta ar presupune ca mulţimea lui Cantor să fie o mulţime
numărabilă, dar este cunoscută ca fiind nenumărabilă, deoarece nu există
15

16. nicio modalitate de a enumera punctele din mulţimea lui Cantor. Astfel,
trebuie să existe mult mai multe puncte care nu sunt puncte finale ale
intervalelor generate în proces.
1.2.2 Triunghiul şi Covorul lui Sierpinski
Următorul fractal clasic este cu aproximativ 40 de ani mai tânăr
decât mulţimea lui Cantor. Acesta a fost introdus de către marele
matematician polonez Waclaw Sierpinski (1882-1969), în 1916.
Waclaw Sierpinski, 1882–1969
16

17. Sierpinski a fost profesor la Lvov şi Varşovia. A fost unul dintre
cei mai influenţi matematicieni ai timpului său din Polonia şi s-a bucurat
de o reputaţie mondială. De fapt, unul din craterele descoperit pe Lună a
fost numit după el.
Construcţia geometrică de bază a triunghiului lui Sierpinski se
realizează după cum urmează. Vom începe cu un triunghi în plan şi apoi
vom aplica o schemă repetitivă de operaţiuni (când spunem triunghi, ne
referim la un triunghi întunecat, completat). Se aleg punctele din mijlocul
celor trei laturi. Împreună cu vârfurile triunghiului iniţial, aceste puncte
din mijlocul laturilor vor definesc patru triunghiuri congruente din care
excludem triunghiul central. Astfel se completează un pas din construcţia
de bază. Cu alte cuvinte, după primul pas avem trei triunghiuri
congruente ale căror laturi au exact jumătate din dimensiunea laturilor
triunghiului iniţial şi care se ating în trei puncte care sunt vârfurile
comune a două triunghiuri adiacente. Aplicăm aceeaşi procedură pentru
cele trei triunghiuri rămase şi repetăm pasul de bază de câte ori dorim. Se
începe cu un triunghi şi apoi se obţin 3, 9, 27, 81, 243, ... triunghiuri,
fiecare dintre ele fiind o versiune înjumătăţită a triunghiurilor din pasul
anterior. Figura 1.7 prezintă câţiva pași ai acestui proces.
Triunghiul lui Sierpinski este mulţimea de puncte din plan care
rămân în cazul în care acest proces este realizat de un număr infinit de
ori. Sunt uşor de enumerat câteva puncte care cu siguranţă aparţin
17

18. triunghiului lui Sierpinski, şi anume, laturile fiecărui triunghi obţinut în
proces. Se poate observa caracteristica de auto-similaritate, cu toate că,
nu suntem încă pregătiţi să o discutăm în detaliu. Aceasta este realizată în
procesul de construcţie, de exemplu, fiecare din cele trei laturi de la
fiecare pas este o versiune mai redusă – cu factorul 2 – a întregii structuri
din etapa anterioară.
Figur
Figura 1.7.
Auto-similaritatea, este o proprietate a limitei procesului de
construcţie geometrică, şi care va fi studiată în capitolul 2. Vom explica
18

19. atunci cum triunghiul lui Sierpinski se obține printr-un proces iterativ de
eliminare care se aplică la fel de uşor ca şi pentru mulţimea lui Cantor.
Sierpinski a adăugat şi un alt obiect la galeria fractalilor clasici, covorul lui
Sierpinski, care la prima vedere arată ca o variaţie a unei teme cunoscute (Figura
1.8). Vom începe cu un pătrat în plan şi vom subdiviza în nouă pătrate mici
congruente, din care îl excludem pe cel din centru, şi aşa mai departe. Obiectul
obţinut în urma aplicării acestui proces infinit de multe ori poate fi văzut ca o
generalizare a mulţimii lui Cantor. Într-adevăr, dacă ne uităm la intersecţia dintre o
linie paralelă cu baza pătratului iniţial şi care trece exact prin centrul celorlaltor laturi,
observăm exact construirea mulţimii lui Cantor. Vom vedea în cele ce
urmează că atât complexitatea covorului, cât şi a triunghiului pot părea la
prima vedere, în esenţă la fel, dar există, de fapt, multe diferenţe între ele.
19

20. Figura 1.8
1.2.3
Curba lui Koch
Helge von Koch a fost un matematician suedez care, în 1904, a
introdus ceea ce este cunoscut astăzi cu numele de curba lui Koch.
Îmbinarea capetelor curbei lui Koch rotite corespunzător determină
o figură care, din motive evidente, poartă numele de curba fulg de
zăpadă sau insula lui Koch (figura 1.9). Se cunosc puţine lucruri despre
20

21. Helge von Koch, ale cărui contribuţii matematice, cu siguranţă, nu fac
parte din aceeaşi categorie ca şi cele ale cunoscuţilor matematicieni
Cantor, Peano, Hilbert, Sierpinski sau Hausdorff. Dar construcţia lui
Koch îşi are locul pur şi simplu pentru că ea conduce la multe
generalizări interesante şi care trebuie să-l fi inspirat pe Mandelbrot.
Curba lui Koch este la fel de greu de înţeles ca şi mulţimea lui Cantor sau
covorul lui Sierpinski. Cu toate acestea, problemele cu această curbă sunt
de altă natură. Întâi de toate – aşa cum numele îi spune – este o curbă, dar
acest lucru nu se observă imediat din construcţie. În al doilea rând,
această curbă nu conţine linii drepte sau segmente, cu toate că le-am
putea vedea ca linii atent îmbinate. Mai degrabă, această curbă aduce
mult cu complexitatea liniei de coastă, încreţituri în încreţituri în
încreţituri, şi aşa mai departe.
În continuare vom prezenta construcţia geometrică a curbei lui
Koch. Vom începe cu o linie dreaptă. Acest obiect iniţial poartă numele
de iniţiator. Împărţim acest obiect în trei părţi egale, apoi înlocuim
treimea din mijloc cu un triunghi echilateral de la care excludem baza.
Astfel se completează un pas din construcţia de bază. Aceată figură
micşorată, formată din patru segmente, va fi reutilizată în următorii paşi.
Aceasta poartă numele de generator. Astfel, procedeul se repetă, luăm
fiecare segment rezultat, îl împărţim în trei părţi egale, şi aşa mai departe.
Figura 1.9 ilustrează primii paşi. Auto-similaritatea apare în procesul de
21

22. construcţie, de exemplu, fiecare din cele patru segmente de la un pas este
o reprezentare redusă – cu factorul 3 – a întregii curbe de la pasul
22

23. anterior.
23

24. Figura 1.9
De fapt, Koch a vrut să ofere un nou exemplu la o descoperire
făcută întâi de matematicianul germen Karl Weierstrass (1815-1897),
care, în 1872, a determinat o criza minoră în matematică. Acesta a descris
o curbă care nu putea fi diferenţiată, şi anume, o curbă care nu admite o
tangentă la oricare din punctele sale. Capacitatea de a diferenţia (de
exemplu, pentru a calcula panta unei curbe de la un punct la altul) este un
element central al calculului, care a fost inventat de către Newton şi
Leibniz, cu aproximativ 200 de ani înainte de Weierstrass. Ideea de pantă
este destul de intuitivă şi merge mână în mână cu noţiunea de tangentă
(Figura 1.9 b.).
Dacă o curbă are un vârf, atunci apare o problemă. Nu există nicio
modalitate de a trasa unic o tangentă. Curba lui Koch este un exemplu de
curbă care este realizată din multiple vârfuri, şi astfel nu există nicio
modalitate de a construi o tangenta la oricare dintre punctele sale.
Să ne întoarcem la curba lui Koch şi să discutăm despre lungimea
acesteia. La fiecare pas se obţine o curbă. După primul pas, rămânem cu
o curbă care este alcătuită din patru segmente de aceeaşi lungime, după al
doilea pas avem 4 × 4, şi apoi 4 × 4 × 4 segmente după al treilea pas, şi
aşa mai departe. Dacă linia iniţială are lungimea L, atunci, după primul
pas obținem un segment de lungimea L × 1/3, după al doilea pas un
segment de lungimea L × (1/3)2 şi aşa mai departe.
24

25. Deoarece la fiecare pas se obţine o curbă formată din segmente, nu
apar probleme în măsurarea lungimii acestor curbe. După primul pas,
lungimea este 4 × L × 1/3, şi aşa mai departe. Astfel, putem observa că de
la un pas la altul lungimea curbelor creşte cu un factor de 4/3. Apar astfel
câteva probleme. În primul rând, curba lui Koch este obiectul care se
obţine dacă se repetă paşii de construcţie infinit de multe ori. Dar ce
înseamnă acest lucru? Mai mult, chiar dacă am putea răspunde la această
întrebare, de ce rezultatul este o curbă? Sau, cum se face că aceste curbe
obţinute la fiecare pas nu se intersecteză?
În figura 1.10 se observă două curbe care se pot diferenţia cu greu.
Dar ele sunt diferite. Cea de sus prezintă rezultatul costrucţiei după 5
paşi, în timp ce cealaltă curbă prezintă rezultatul obţinut după 20 de paşi.
Deoarece lungimea segmentelor este redată de numărul de paşi, este
evident că orice schimbare în construcţie este puţin vizibilă, cu excepţia
cazului în care se lucrează la microscop. Astfel, în scopuri practice,
suntem tentaţi să ne mulţumim cu o imagine a unui pas, sau orice altceva
care poate păcăli ochiul. Dar un astfel de obiect nu este curba lui Koch.
Acesta ar avea o lungime finită şi ar arăta segmentele la dimensiune
suficient de mare. Este de importanţă crucială distincţia dintre obiectele
obţinute la fiecare pas din construcţie şi obiectul final. Vom ridica
această problemă, care, desigur, apare şi la fractalii clasici prezentaţi
anterior, în capitolele următoare.
25

26. Figura 1.10
Fulgul de zăpadă al lui Koch are, evident, unele asemănări cu
fulgii de zăpadă reali, unele asemănări fiind prezentate în figura 1.11.
Figura 1.11
26

27. 1.2.4
Curbe de umplere a spaţiilor (Peano)
Vorbind despre dimensiuni, intuitiv, percepem liniile ca fiind tipice
obiectelor unidimensionale şi planele tipice obiectelor bidimensionale. În
1890 Giuseppe Peano (1858-1932) şi imediat după aceea, în 1891, David
Hilbert (1862-1943), au adus în discuţie curbele care apar în plan şi care,
în mod dramatic demonstrează că ideea naivă pe care o avem despre
curbe este foarte limitată. De asemeena, au adus în discuţie ideea de
curbe care „umplu” un plan, de exemplu, având o secţiune din plan,
există o curbă care întâlneşte fiecare punct din această secţiune. Figura
1.12 prezintă primii paşi din procesul iterativ de construcţie curbei
iniţiale a lui Peano.
Figura 1.12
27

28. În natură, organizarea structurilor de umplere a spaţiilor este una
din pietrele de temelie fundamentale ale fiinţelor vii. Un organ trebuie să
fie „aprovizionat” cu substanţele adiţionale necesare, cum sunt apa şi
oxigenul. În multe cazuri, aceste substanţe vor fi transportate prin
intermediul sistemului venos pentru a ajunge în fiecare punct din
interiorul organului. De exemplu, rinichii sunt locul unde se întrepătrund
sub forma unui arbore trei astfel de sisteme: sistemul arterial, sistemul
venos şi sistemul urinar (a se vedeaFigura 1.13). Fiecare dintre acestea
are acces la fiecare parte a rinichilor. Fractalii rezolvă problema modului
de organizare a unei astfel de structuri complicate într-un mod eficient.
Desigur, nu acesta a fost obiectul de interes al lui Peano şi Hilbert cu
aproape 100 de ani în urmă. Acest interes a apărut recent, în urma lucrării
lui Mandelbrot, omniprezenţa fractalilor devenind evidentă.
Curba lui Peano se obţine printr-o altă variantă a construcţiei lui
Koch. Vom începe cu un singur segment de linie, iniţiatorul, iar apoi vom
înlocui segmentul cu o curbă generatoare aşa cum se arată în figura 1.14.
Generatorul are două puncte de auto-intersecţie, mai exact, curba se
atinge în două puncte. Se observă că această curbă generatoare se
potriveşte perfect într-un pătrat, care în figură este indicat cu linii
punctate. Acesta este pătratul ale cărui puncte vor fi atinse prin curba lui
Peano.
28

29. Figura 1.13
Să descriem pasul următor. Luăm fiecare parte de linie dreaptă a
curbei de la primul pas şi o înlocuim cu generatorul micşorat
corespunzător. Evident, factorul de scalare este 3. Acesta este pasul doi.
Există un număr total de 32 de puncte de auto-intersecţie în curbă.
Procesul se repetă, astfel că, la fiecare pas, segmentele sunt micşorate cu
factorul 3. Datorită acestei reduceri, segmentele au lungimi care scad
foarte repede. Deoarece fiecare segment este înlocuit cu nouă segmente
care au o treime din lungimea segmentului anterior, putem calcula cu
uşurinţă lungimea curbelor la fiecare pas. Presupunând că lungimea
segmentului de linie iniţial, adică a iniţiatorului, este 1, atunci la pasul 1
obţinem: 9 × 1/3 = 3, şi la pasul 2: 92×1/32 = 9. La pasul k, lungimea
29

30. curbei este 3k. Ca regulă generală, la fiecare pas al construcţiei, lungimea
curbei rezultate creşte prin factorul 3.
Construcţia curbei lui Peano, ca şi construcţia curbei lui Koch,
aduce cu sine o serie de dificultăţi, care nu au apărut sau au fost ascunse
în construcţiile anterioare. De exemplu, considerăm conceptul intuitiv de
auto-similaritate. Pentru construcţia curbei lui Koch, am putea spune că
această curbă finală (de exemplu, curba pe care o vedeţi pe un terminal
grafic după mai multe etape) are similitudini cu fiecare dintre paşii
precedenţi. Dacă ne uităm la curba lui Peano, la fel de intuitiv, fiecare
pas are similitudini cu paşii anteriori, dar dacă ne uităm la curba finală
(de exemplu, curba rezultată după mulţi paşi pe un terminal grafic), vom
vedea un pătrat „completat” care nu se aseamănă deloc cu primii paşi ai
construcţiei. Cu alte cuvinte, fie curba lui Peano nu este auto-similară, fie
trebuie să fim mult mai atenţi la ceea ce înseamnă auto-similaritatea. De
fapt, curba lui Peano este perfect auto-similară. Problema este în a
„vedea” obiectul final ca o curbă, deoarece, în orice reprezentare grafică
„pare” mai mult o porţiune din plan.
30

31. Figura 1.14
1.2.5
Mulțimile Julia
Gaston Julia (1893-1978) avea numai 25 de ani când a publicat
capodopera sa de 199 de pagini în 1918, care l-a făcut celebru în
matematica din acele timpuri. Ca soldat francez în Primul Război
31

32. Mondial, G. Julia a fost grav rănit, în urma rănilor pierzâdu-şi nasul. Între
mai multe operaţii dureroase, el şi-a desfăşurat cercetările matematice în
spital. Mai târziu, a devenit academician şi profesor la École
Polytechnique din Paris.
Gaston Julia (1893 - 1978)
Deşi Julia a fost un matematician de renume mondial în anii 1920,
lucrarea lui a fost, în esenţă, uitată până când Mandelbrot a readus-o la
lumină la finele anilor şaptezeci, prin cercetările întreprinse în domeniul
32

33. geometriei fractale. Mandelbrot s-a familiarizat cu lucrările lui Julia prin
intermediul unchiului său, Szolem Mandelbrojt, care a fost profesor de
matematică la Paris şi succesorul la catedră al lui Jacques Salomon
Hadamard la prestigiosul Collège de France. Cu ajutorul graficii
computerizate, mai târziu Mandelbrot a arătat că munca lui Julia este
sursa unora din cei mai frumoşi fractali cunoscuţi astăzi. În acest sens,
am putea spune că lucrarea scrisă de Julia este plină de fractali clasici,
care au trebuit să aştepte să fie treziţi la viață de computere. În prima
jumătate a acestui secol, Julia s-a bucurat de o celebritate mondială.
Pentru a răspândi rezultatele sale, Hubert Cremer a organizat un seminar
la Universitatea din Berlin, în 1925, sub auspicile Erhard Schmidt şi
Ludwig Bieberbach. Lista participanţilor arăta aproape ca un fragment
din „Who’s Who” în matematică la acel moment. Printre ei se numărau
Richard D. Brauer, Heinrich Hopf şi Kurt Reidemeister. Cremer a scris
un eseu pe această temă, care conţine o primă vizualizare a mulţimii Julia
(Figura 1.15).
Mulţimile Julia se află situate în planul complex şi sunt esenţiale
pentru înţelegerea iteraţiilor polinoamelor complexe de forma z 2 + c sau
z3 + c etc. Să luăm ca exemplu z 2 + c. Iterarea înseamnă că păstrăm c fix
şi alegem o anumită valoare pentru z şi obţinem z2+c. Cu alte cuvinte,
pentru o valoare fixă, dar arbitrară a lui c, vom genera o secvență de
numere complexe: z → z2+c → (z2+c)2 + c → ((z2+c)2+c)2 + c →…
33

34. Această secvență trebuie să aibă una din cele două proprietăți: a)
Fie secvența devine nelimitată: elementele secvenței nu lasă nici un cerc
în jurul originii; b)Sau secvența rămâne mărginită: există un cerc în jurul
originii, care nu e ocupat de secvență.
Colecția de puncte, care duce la primul tip de comportament se
numește mulțimea de evacuare, în timp ce colecția de puncte care duce
la al doilea tip de comportament este numită mulțime prizonier pentru c.
De exemplu, pentru un c dat şi pentru z suficient de mare, z 2+c este
chiar mai mare decât z. Pe de altă parte, dacă vom alege z astfel încât z =
z2+c, atunci iterația rămâne staționară. Pornind cu o astfel de secvență z
produsă prin iterare, va fi constantă z, z, z, ... Cu alte cuvinte, nu se poate
ca setul prizonier să fie gol. Ambele mulțimi acoperă o parte din planul
complex și se completează reciproc. Astfel, limita mulțimii prizonier
este simultan și limita mulțimii de evacuare și este mulțimea Julia
pentru c (sau, mai degrabă, pentru z2+c). Figura 1.15. prezintă câteva
mulțimi Julia, obținute prin experimente de calculator.
34

35. Figura 1.15
1.2.6 Arborii Pitagorieni
Pitagora, care a murit la începutul secolului al cincilea î.Hr., a
fost recunoscut de contemporanii săi, iar mai tarziu chiar de Aristotel, ca
fondator al unei confrerii religioase în sudul Italiei, având în vedere
faptul că pitagorienii au jucat un rol politic în secolul al șaselea î.Hr.
Legarea numelui său de cunoscuta teoremă a lui Pitagora este însă falsă.
35

36. De fapt, teorema a fost cunoscută cu mult timp înainte de perioada în
care a trăit Pitagora.
Teorema ne permite să construim pentru orice număr întreg o
spirală a rădăcinii pătrate. Ȋn Figura 1.16 se explică această idee.
Figura 1.16
Se începe cu un segment egal cu unitatea la care se ataşează un
triunghi dreptunghic cu catetele egale cu 1. Următorul triunghi
dreptunghic din spirală va avea o catetă egală cu ipotenuza triunghiului
precedent şi cealaltă catetă egală cu 1. Construcția continuă oricât de
mult obținându-se o spirală fractală.
O altă construcție interesantă care dă familia de arbori pitagorieni
este legată de construirea spiralei rădăcinii pătrate. Rezultatele obținute
de această construcție de-a lungul mai multor etape este prezentată în
figura 1.17.
36

37. Figura 1.17
Pasul 1: Desenați un pătrat.
Pasul 2: Atașați un triunghi dreptunghic la una dintre laturile sale de-a
lungul ipotenuzei acestuia (aici cu două laturi egale).
Pasul 3: Atașați două pătrate de-a lungul laturilor libere ale triunghiului.
Pasul 4: Atașați două triunghiuri dreptunghice.
Pasul 5: Atașați patru pătrate.
Pasul 6: Atașați patru triunghiuri dreptunghice.
Pasul 7: Atașați opt pătrate. ş.a.m.d.
Odată ce s-a înțeles mecanismul care stă la baza acestor
construcții de bază, le putem modifica în diverse moduri. De exemplu,
37

38. triunghiurile dreptunghice care intervin în procesul de construire a
spiralei rădăcinilor pătrate nu trebuie să fie neapărat triunghiuri isoscele.
Ele pot fi orice tipuri de triunghiuri dreptunghice. Dar odată ce vom
permite astfel de variații, vom avea de fapt un grad suplimentar de
libertate. Triunghiurile alese pot fi întotdeauna atașate în acelaşi sens,
sau am putea răsturna orientarea lor după fiecare pas. Figura 1.18 arată
două posibilități.
Figura 1.18
Figura 1.19 arată rezultatele acestor construcții, după aproximativ
50 de pași. Ceea ce este remarcabil este faptul că singurul lucru pe care lam schimbat este orientarea triunghiurilor, nu dimensiunea lor.
Rezultatele finale, însă, sunt extrem de diferite. În primul caz vom vedea
38

39. triunghiurile dreptunghice care intervin în procesul de construire a
spiralei rădăcinilor pătrate nu trebuie să fie neapărat triunghiuri isoscele.
Ele pot fi orice tipuri de triunghiuri dreptunghice. Dar odată ce vom
permite astfel de variații, vom avea de fapt un grad suplimentar de
libertate. Triunghiurile alese pot fi întotdeauna atașate în acelaşi sens,
sau am putea răsturna orientarea lor după fiecare pas. Figura 1.18 arată
două posibilități.
Figura 1.18
Figura 1.19 arată rezultatele acestor construcții, după aproximativ
50 de pași. Ceea ce este remarcabil este faptul că singurul lucru pe care lam schimbat este orientarea triunghiurilor, nu dimensiunea lor.
Rezultatele finale, însă, sunt extrem de diferite. În primul caz vom vedea
39

40. un fel de frunze în spirală, în timp ce al doilea ne amintește de o ferigă
sau o frunză de pin. Este interesant faptul că în construcția din partea de
jos din figura 1.19, vedem o tulpină principală de la care radiază ramuri
în dreapta, stânga, dreapta, stânga, deci un model.
40

41. Figura 1.19
41

42. Se pot vedea o spirală asemănătoare cu un melc şi o tulpină
majoră, care are ramuri din care se desprind alte ramificații ce creează
imaginea unei ferigi. Ambele forme derivă din același principiu
feedback. Deşi ele se deosebesc foarte mult, aparțin aceleaşi familii
fractale, deosebirea esențială fiind introdusă de o mică modificare legată
de orientarea dispunerii triunghiurilor. Aceasta este o modalitate prin
care fractalii au putut fi utilizați pentru a reprezenta diferite plante In
botanică. Biologul Aristide Lindenmayer (1925-1989) a introdus
conceptul de sisteme L care permit realizarea de imagini ale copacilor, de
exemplu.
Să continuăm să studiem construcțiile noastre introducând alte
modificări. De ce să nu utilizăm orice fel de triunghi? Pentru a păstra o
oarecare ordine în reprezentarea fractalului, ar trebui să luăm triunghiuri
similare. Aceasta deschide ușa la o mare varietate de forme fascinante,
care variază de la plante, la cine știe ce. În figura 1.20. am atașat
triunghiuri echilaterale, și observăm că construcția obținută devine
periodică.
42

43. Figura 1.20
Trecerea de la triunghi echilateral la triunghiuri isoscele cu
unghiuri mai mari decât 90 ° oferă altă surpriză - o formă care seamană
cu un brocoli (a se vedea figura 1.21).
Figura 1.21
43

44. Aceste construcții ridică o serie de întrebări interesante. Când
construcția duce la o suprapunere? Prin ce lege lungimile laturilor
triunghiurilor sau pătratelor scad în proces? Mai mult decât atât, avem
exemple frumoase de structuri care sunt auto-similare, și anume, fiecare
structură împarte construcția în două ramuri majore, iar acestea din nou
se împart în două alte ramuri principale, și așa mai departe, și fiecare
dintre aceste ramuri este o versiune mai redusă de întreaga structură.
Galeria noastră de fractali artificiali se încheie aici, deși nu am
discutat despre contribuțiile lui Henry Poincare, Karl Weierstrass, Felix
Klein, LF Richardson, sau AS Besicovitch. Toate acestea ar merita mai
mult spațiu decât le-am putea oferi aici, dar sugerăm cititorului interest
de această temă lucrările lui Mandelbrot.
1.2.7 Mulțimea lui Mandelbrot
Mulțimea descoperită de Mandelbrot este cu siguranță cel mai
popular fractal, probabil, chiar cel mai popular obiect de matematică
contemporană. Unii oameni susțin că acesta nu este doar cel mai frumos,
dar şi obiectul cel mai complex care a fost văzut, sau făcut vizibil.
Deoarece Mandelbrot a realizat experimentul său extraordinar în 1979,
acesta a fost duplicat de zeci de mii de oameni de știință amatori din
întreaga lume. Acestora le-a plăcut să se îngroape într-o varietate
nesfârşită de imagini care se pot dezvolta pe un ecran de computer.
44

45. Uneori, mai multe ore sunt necesare pentru producerea lor, dar acest
lucru este prețul pe care trebuie plătit pentru aventura de a găsi ceva nou
și fascinant.
Benoit Mandelbrot (1924 -2010)
Complexitatea mulțimii Mandelbrot este într-o clasă cu totul diferită
față de cea a mulțimilor Julia. Pe de o parte, mulțimea Mandelbrot are
un interior solid, fără nici o structură, iar pe de altă parte, se învecinează
cu o structură foarte complexă, cu o infinitate de forme diferite. Pentru o
primă impresie a acestei varietăți, oferim o selecție de imagini din jurul
limitei (Figura 1.22), precum și o secvență mărită (Figura 1.23).
45

46. Figura 1.22
46

47. Figura 1.23
47

48. Prima caracteristică remarcabilă a mulțimii Mandelbrot sunt
mugurii mici, care sunt aliniați de-a lungul regiunii centrale, mari, în
formă de inimă. Acești muguri au o semnificație pentru mulțimile Julia
asociate. Să privim corpul principal al mulțimii amplasat în centru.
Această mulțime intersectează axa reală în intervalul
(-0.75, 0.25). Amintim că mulțimea Julia pentru c = 0 este un cerc cu un
punct fix la origine. Acest punct fix se numeşte super atractor; punctul
critic fiind egal cu punctul fix. Este o realitate faptul că parametrii c pe
linia dintre (-0.75, 0.25) sunt exact acei parametrii reali pentru care unul
dintre punctele fixe de z → z2+c este un atractor. Prin urmare, nu este de
mirare că regiunea în formă de inimă este mulțimea tuturor parametrilor
(complecşi) c, pentru care unul dintre cele două puncte fixe ale z → z 2+c
este atractor.
Putem determina o relație explicită pentru a descrie conturul
"inimii" lui Mandelbrot, folosind criteriul derivat după cum urmează. Pe
contur observăm că derivata unuia din punctele fixe este egală cu 1, în
valoare absolută. Presupunem că z este un punct fix astfel încât, z →z 2 +
c, care rezolvă z2 – z + c = 0. Derivata lui z este 2z, pe care o scriem în
coordonate polare: 2z = r eiφ, cu r ≥ 0 și 0 ≤ φ < 2π. Combinând cele
două ecuații de mai sus obținem că:
 reiϕ

 2

2

reiϕ
 −
+c = 0

2

(1)
Această ultimă ecuație se rezolvă pentru c:
48

49. c=
1 iϕ 1 2 2iϕ
re − r e
2
4
(2)
Dat fiind faptul că un număr arbitrar re iϕ apare în relație, acest rezultat
corespunde unui parametru c astfel încât derivata lui z → z 2 + c într-unul
din cele două puncte fixe corespunde numărului dat.
De exemplu, pentru a obține o reprezentare a interiorului centrului
inimii mulțimii lui Mandelbrot, scriem c = x + yi, şi putem împăr ți
componentele reale și imaginare din ecuația de mai sus (pentru r = 1):
x=
cos φ cos 2φ
−
2
4
(3)
y=
sin φ sin 2φ
−
2
4
(4)
Aceste ecuații finale produc un punct complex pentru orice
argument φ dat. O astfel de reprezentare a unei curbe se numește
parametrizare (φ fiind parametrul curbei în acest caz). Aici sunt exemple
de puncte de pe curba cu 5 valori ale lui φ:
θ
0
2π/5
2π/4
2π/3
π
x
0.25
0.35676
0.25
-0.125
-0,75
y
0
0.32858
0.5
0.64952
0
2π
Rezultă că pentru valorile parametrului ϕ + k , k = 2,3,4,5,6,... unul dintre
principalii muguri ai mulțimii Mandelbrot este atașat la forma centrală
de inimă. În plus, perioada de atractivitate a ciclurilor care apar țin
49

50. acestor muguri este dată de numărul k din φ = 2π / k. Ca o ultimă
remarcă, punctele fixe pentru z → z2 + c sunt de forma:
z1,2 =
1 ± 1 − 4c
2
și derivatele în aceste puncte fixe sunt
1 ± 1 −4c
. Din această
reprezentare rezultă că, dacă o derivată este în interiorul cercului unitate,
atunci cealaltă trebuie să fie în afara lui. Astfel, în cazul în care un punct
fix este atractor, atunci celălalt trebuie să fie repelor. De asemenea, în
cazul în care un punct fix este indiferent, atunci celălalt trebuie să fie
repelor (cu excepția cazului în care punctele fixe sunt identice, adică,
pentru cazul c = ¼)
Acum ne întoarcem la mulțimea lui Mandelbrot. La capătul din
stânga al regiunii în formă de inimă (în cazul în care numărul itera ției
poate fi văzut) există un mugure. Este un disc perfect cu raza 0,25
centrat. Figura 1.24 prezintă două mulțimi Julia pentru parametrii.
Figura 1.24
50

51. Pentru astfel de parametri, nici unul dintre cele două puncte fixe nu
poate fi atractor, pentru că c este în afara centrului formei de inimă al lui
M. Acum, ce este dinamica iterației în cadrul mulțimii prizonier stabilită
în acest caz? Să verificăm acest lucru cu un experiment. Vom alege două
puncte inițiale aproape de punctele fixe
z1, 2 =
1± 5
2
care sunt egale aproximativ cu: z1 = +1.61803398… şi
z2 =
-0.61803398…
În primul rând, iterația confirmă faptul că nici unul dintre punctele
fixe nu este atractor. Tabelul 1 următor conține primele 16 iterații ale
celor două puncte inițiale (punctele fixe, sunt rotunjite la două zecimale).
Orbita 1
x
1.62
1.6244
1.63868
1.68523
1.84009
2.38593
4.69268
21.69268
440.89443
194386.8964
Orbita 2
y
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
x
-0.62
-0.6156
-0.62104
-0.61431
-0.62262
-0.61235
-0.62503
-0.60933
-0.62871
-0.60472
-0.63431
-0.59765
y
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
51

52. 0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-0.64282
-0.58679
-0.65568
-0.57008
-0.54437
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Tabelul 1
În timp ce iterația primei orbite duce la infinit, itera ția celei de-a doua
dezvăluie dinamica esențială în mulțimea prizonier. Tabelul 2 listează
alte 18 iterații ale acestei orbite.
Orbita 1
x
-0.70367
-0.50485
-0.74512
-0.44479
-0.80216
-0.35654
-0.87288
-0.23808
-0.94332
Orbita 2
y
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
x
-0.11015
-0.98787
-0.02412
-0.99942
-0.00116
-1
0
-1
0
y
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Tabelul 2
Orbita atractoare a perioadei a doua:
0 → -1 → 0 → …
devine dominantă şi toate valorile inițiale din interiorul mul țimii
prizonier sunt atrase de această orbită și mulțimea Julia este limita
acestui bazin de atracție. De fapt, pentru toți parametrii c din interiorul
"perioadei cu două discuri" al setului Mandelbrot, se obține o orbită
atractoare de perioadă doi, iar mulțimea Julia este limita bazinului său de
52

53. atracție. Rețineți că în acest disc de parametrii, valoarea c = -1 este
specială. Aici punctul critic coincide cu unul din punctele periodice. Prin
urmare, acest punct se numește super-atractor.
Următorii muguri mari atașați la marginea centrului în formă de
inimă al mulțimii lui Mandelbrot corespund perioadei trei de
comportament; apoi sunt muguri ai căror parametrii aparțin ciclurilor
atractoare de perioadă 4, și așa mai departe. Figura 1.25 arată mulțimile
Julia care leagă bazinele de atracție pentru perioada de 3 și perioada de 4
cicluri.
Figura 1.25
Figura 1.26 dă o privire de ansamblu asupra comportamentului periodic
asociat mugurilor, sau atomilor, așa cum îi numește Mandelbrot în
lucrările sale.
53

54. Figura 1.26
În mod clar aceștia sunt strict organizați. Fiecare mugur poartă pe
marginea sa un alt set complet de muguri mici, cu secvențe
corespunzătoare de cicluri de atractori periodici. Rețineți că există o
regulă uimitoare pentru perioadele corespunzătoare mugurilor.
Doi muguri ai perioadelor p și q pe cardioidă (o cardioidă este o
curbă plană trasată de un punct de pe perimetrul unui cerc, care se rotește
în jurul unui cerc fix de aceeași rază) determină perioada celui mai mare
mugur dintre ele ca fiind p + q. Norme similare sunt adevărate și pentru
mugurii de pe muguri.
Acum, să analizăm punctele de pe cardioidă. Punctul fix, care a
fost atractor pentru parametrii din regiunea în formă de inimă, pierde
acest drept de proprietate pe cardioidă. Aici punctul fix corespunzător
54

55. este denumit indiferent. Cu alte cuvinte, iterația z → z 2 + c nu este în
punctul fix nici atractor și nici repelor, ci este legat de o rota ție.
Mulțimea prizonier asociată este dramatic diferită dacă rotația este dată
de un număr rațional sau irațional.
Mai mult decât atât, atunci când rotația este irațională, mai multe
cazuri pot fi distinse. În cele ce urmează nu vom încerca să discutăm
despre această clasificare. Mai degrabă, vom alege unele cazuri
particulare pentru a demonstra complexitatea care evoluează în
înțelegerea mulțimilor prizonier. Pentru punctele în care sunt atașați
mugurii acestei rotații, este dat un unghi φ = 2πα, care este un multiplu
rațional al 2π. De exemplu, avem α = ½ în punctul în care este ata șată
"perioada de doi" și avem α = 1/3 în punctul în care este atașat "perioada
de trei" deasupra cardioidei. Figura 1.27 prezinta mulțimile Julia pentru
aceste două exemple.
Figura 1.27
55

56. Dar ce se întâmplă dacă punctul fix este indiferent și unghiul de
rotație (a derivatei) este irațional? Acest lucru este într-adevăr un caz
complicat și conduce la mulțimi Julia, care sunt doar într-o mica măsură
înțelese. Pentru o clipă, ne vom axa pe acele cazuri care sunt mai
accesibile. Știm că orice număr irațional poate fi aproximat printr-o
secvență de numere raționale. Unele secvențe se apropie de un număr
irațional mai rapid decât altele. Unele numere iraționale admit secvențe
aproximate care converg foarte repede, altele recunosc doar secvențe
care converg destul de lent. Se pare că aceste diferențe contează
substanțial pentru caracterul unui set Julia corespunzător unui unghi α.
Dacă există un număr irațional, astfel încât orice secvență
aproximată de numere raționale converge foarte lent (într-un sens
precis), atunci mulțimea prizonier este numit “Discul lui Siegel”. Se pare
că printre toate numerele iraționale există unul care iese în eviden ță ca
fiind cel care este cel mai dificil de aproximat prin numere raționale.
Acest număr este considerat “media de aur”:
α = ( 5 −1) / 2 .
Figura 1.28
prezintă discul lui Siegel.
56

57. Figura 1.28
Rețineți că în acest caz, punctul fix indiferent se află în interiorul
mulțimii prizonier, în timp ce se știe că pentru cazul rațional indiferent
acesta este pe graniță. Astfel, în cazul în care αn, n = 1,2,… este o
secvență de numere raționale, care se apropie de media de aur, mulțimile
Julia asociate sunt fundamental diferite față de cel corespunzător limitei
α.
Ceea ce am studiat până acum au fost mulțimi Julia care
corespund cazului atractor și super-atractor, cazului rațional indiferent și
cazului discului Siegel. Toate aceste cazuri sunt caracterizate prin faptul
că mulțimea prizonier nu are interiorul vid. În afară de aceste mul țimi
prizonier, care sunt complet deconectate (cu valorile parametrilor care nu
sunt în M) și de cele care au un interior nevid, există, de asemenea,
cazuri limită: mulțimi prizonier cu nici un punct interior, dar care, cu
toate acestea, sunt încă conectate.
57

58. Acestea au de obicei mai multe ramuri, la toate nivelurile de detalii
și sunt numite dendrite. Cea mai populară este cu siguranță dendrita
pentru mugur, mulțimea prizonier pentru intervalul real [-2, 2] fiind în
această clasă. Ȋn figurile 1.29 și 1.30 se dau mai multe exemple în acest
sens. În timp ce aceste mulțimi Julia sunt destul de ușor de calculat și de
desenat, această clasă de dendrite Julia conțin, de asemenea, o infinitate
de monștri pentru care, probabil, este imposibil să se ofere o reprezentare
grafică explicită.
Figura 1.29
Figura 1.30
58

59. 1.3
Similaritate și auto-similaritate în fractali
Auto-similaritatea extinde una dintre cele mai fructuoase noțiuni
de geometrie elementară: similitudinea. Două obiecte sunt similare dacă
au
aceeași
formă,
indiferent
de
dimensiunile
lor.
Unghiurile
corespunzătoare, cu toate acestea, trebuie să rămână egale, și segmentele
corespunzătoare
de
linie
trebuie
să
aibă
același
factor
de
proporționalitate. De exemplu, atunci când o fotografie este extinsă,
acesta este mărită cu același factor în ambele direcții orizontale și
verticale. Chiar și un segment de linie oblic, non-orizontal, non-vertical,
între două puncte de pe origine va fi extins cu același factor. Numim
acest factor de extindere factorul de scalare. Transformarea obiectelor
prin factorul de scalare se numește transformare similară. Luați în
considerare o fotografie, care este extinsă cu un factor de 3. Rețineți că
zona imaginii extinse este de cateva ori mai mare ca originalul. Mai
general, în cazul în care avem un obiect cu o zonă de extindere și cu un
factor de scalare, obiectul rezultat va avea o suprafață care este câteva ori
mai mare decât originalul. Dar cazul scalării obiectelor tridimensionale?
Dacă luăm un cub și îl mărim cu un factor de scalare de trei, aceasta
devine de trei ori mai lung, de trei ori mai adânc, și de trei ori mai înalt
ca originalul. Observăm că zona fiecărei fețe a cubului este extinsă de
câteva ori față de cea a cubului inițial. Deoarece acest lucru este valabil
59

60. pentru toate cele șase fețe ale cubului, suprafața totală a extinderii este
de nouă ori față de original. Mai general, pentru obiecte de orice formă,
suprafața totală a unui obiect crește în urma scalării cu pătratul factorului
de scalare. Ce spuneți despre volum? Cubul extins are trei straturi,
fiecare cu 3*3 = 9 cuburi mici. În general, volumul unei creșteri scalare a
unui obiect reprezintă cubul factorului de scalare.
Aceste observații elementare au reprezentat obiectul de studio al
lui Galileo Galilei (1564-1642), în 1638 în publicația lui: "Dialogurile
referitoare la două noi științe". De fapt, Galileo a sugerat că 100 de metri
ar fi limita maxima a înălțimii unui copac. Arborii Sequoia gigantea, care
traiesc numai in vestul Statelor Unite și, prin urmare, nu erau cunoscuți
de Galileo Galilei, au totuşi o înălțime de 120 de metri. Ra ționamentul
lui Galileo a fost însă corect; cei mai înalți arbori sequoia gigantea se
adaptează prin forma lor la moduri care le permit să depăşească această
limită de înălțime.
Care a fost raționamentul lui Galilei? Greutatea unui copac este
proporțională cu volumul său. Extinderea un copac printr-un factor
“s”arată că greutatea sa va fi mărită cu un factor de scalare egal cu s3. În
același timp, secțiunea transversală a tulpinii sale va fi scalată doar cu s2.
Astfel, presiunea din interior ar putea fi scalată cu un factor egal cu s3/s2.
Asta înseamnă că, în cazul în care copacul crește dincolo de o anumită
limită, puterea lemnului nu va fi suficientă pentru a suporta presiunea
60

61. rezultată prin creşterea în înălțime. Această tensiune între volum și
suprafață explică şi de ce o zonă de munte nu depășește o înălțime
maximă de 7 - 8 km, sau de ce diferite creaturi raspund diferit atunci
când cad de la înălțime. De exemplu, un șoarece poate scăpa nevătămat
după o cădere de la o înălțime de zece ori mai mare decât greutatea lui,
iar un om poate fi rănit după o cădere de la o înăl țime echivalentă cu
greutatea lui. Într-adevăr, energia care trebuie absorbită în urma
impactului cu solul este proporțională cu greutatea, și anume,
proporțională cu volumul obiectului care cade. Această energie trebuie să
fie absorbită de suprafața obiectului. Cu cât crește volumul obiectului,
suprafața necesară pentru a absorbi energia căderii de la aceeași înălțime
cu volumul crește.
O spirală desenată pe un plan pare să crească în mod continuu,
odată ce este rotită în jurul valorii din centrul său. De fapt, spirala
logaritmică este specială datorită faptului că creşterea pare că are loc în
toate direcțiile odată cu rotirea spiralei. Figura 1.31 ilustrează acest
fenomen remarcabil, care, ca atare, este un alt exemplu de structură autosimilară.
61

62. Figura 1.31
Figura arată ca un amonit, care este un bun exemplu de spirală
logaritmică în natură. Cu alte cuvinte, un amonit crește în conformitate
cu o lege de similitudine. Acesta crește în așa fel încât forma sa este
păstrată (Figura 1.32).
62

63. Figura 1.32
Cele mai multe ființe vii, cu toate acestea, cresc printr-o lege diferită de cea de
similitudine. Un adult nu este pur și simplu un copil mărit la o anumită scală. Cu alte
cuvinte, atunci când ne întrebăm despre similitudinea dintre un copil și părinții săi nu
vorbim despre (termenul matematic) de similitudine geometrică! În creștere de la
copil la adult, părți diferite ale corpului cresc cu un factor de scalare diferit. Ȋn ceea
ce privește dimensiunea corpului, capul unui copil este mult mare decât al unui adult.
Chiar și proporțiile caracteristicilor faciale sunt diferite: la un copil, vârful nasului
este la aproximativ jumătatea faței, la un adult, nasul este aproximativ la două treimi
deasupra bărbiei. Figura 1.33 ilustrează acest lucru.
Figura 1.33
Dacă măsurăm lungimea brațului sau dimensiunea capului pentru oamenii de diferite
vârste și comparăm cu înălțimea corpului, observăm că oamenii nu cresc într-un mod
care respectă similitudinea geometrică. Brațul, care la naștere este o treime din
63

64. lugimea corpului, la maturitate este aproape de două cincimi. Figura 1.34 arată
modificări ale formei atunci când normalizăm înălțimea.
Figura 1.34
În rezumat, legea de creștere este departe de a fi o lege de
similitudine. O modalitate de a obține o perspectivă în legitățile creșterii,
de exemplu dimensiunea capului față de înălțimea corpului, este trasarea
raportului dintre aceste două cantități și vârstă.
Putem discerne două etape diferite: una care corespunde
dezvoltarii timpurii, până la vârsta de aproximativ trei ani, și o alta care
corespunde dezvoltării după această dată. În prima perioadă avem o
creștere proporțională, numită uneori creștere izometrică. După vârsta
64

65. de trei ani, raportul scade în mod semnificativ, indicând faptul că
înălțimea corpului este în creștere relativ mai rapidă decat marimea
capului. Aceasta se numește o creștere alometrică. La aproximativ 30
de ani procesul de creștere este oprit și raportul este constant din nou. De
fapt, fenomenul bine-cunoscut de creștere nonproporțională de mai sus
este central în geometria fractală, așa cum vom vedea mai târziu.
Ce este auto-similaritatea? Intuitiv, acest lucru pare clar; cuvântul
de auto-similar cu greu are nevoie de o definiție - este auto-explicativ.
Cu toate acestea, vorbind în termeni preciși matematici auto-similaritatea
este într-adevăr o noțiune mult mai dificilă. De exemplu, în orice obiect
fizic existent, auto-similaritatea se poate obține doar pentru câteva ordine
de mărime. Coborând pe scală, materia se descompune într-o colec ție de
molecule, atomi și particule elementare. După ce a ajuns la acest stadiu,
desigur, devine ridicol să se ia în considerare reprezentările la nivel de
atomi sau molecule ale obiectului complet. De asemenea, într-o structură
ca un broccoli o parte nu poate fi niciodată exact egală cu întregul. Unele
variații trebuie să fie înregistrate. Astfel, este deja clar în acest moment
că există mai multe variante de definiții matematice pentru autosimilaritate.
65

66. Figura 1.35: Broccoli Romanesco
66

67. În orice caz, ne place să ne gândim la fractalii matematici ca
obiecte care posedă detalii recunoscute la toate nivelurile microscopice spre deosebire de obiecte fizice reale. Atunci când se analizează cazurile
de fractali în care copiile de dimensiuni mici au varia ții, avem a șanumita statistică de auto-similaritate. Mai mult decât atât, copiile
miniaturale pot fi distorsionate în alte moduri, de exemplu, oarecum
denaturate. Pentru acest caz, există noțiunea de auto-afinitate. Pentru a
exemplifica conceptul, vom alege curba Koch, care este deja cunoscută.
Putem găsi similitudini (transformări de similaritate) în curba Koch?
Curba Koch pare să fie alcătuită din patru părți identice. Să ne uităm la
unul dintre acestea, spre exemplu cea de la extrema stângă. Ne luăm un
obiectiv cu zoom variabil și observăm că, la exact ×3 putere de mărire,
partea pare a fi identică cu curba. Fiecare dintre părțile mici se sparg în
patru bucăți identice din nou, și fiecare dintre ele par a fi identice cu
curba Koch atunci când vom aplica o lupă de × 9, și așa mai departe la
infinit. Aceasta este proprietatea de auto-similaritate în forma matematică
cea mai pură. În cazul în care copiile întregului apar în toate etapele, sunt
exacte, nu sunt denaturate în nici un fel, diferite grade de autosimilaritate sunt posibile.
1.4
Natura fractală a minții umane
67

68. Legătura dintre geometria fractală și dezvoltarea fizică a
organismului uman este larg acceptată și este rezonabil să utilizăm aceste
principii pentru a influența sănătatea noastră la nivel fizic. Una din cele
mai mari provocări este justificarea utilizării fractalilor pentru a sprijini
vindecarea emoțională și energetică. Pentru ca aceasta să funcționeze,
energia subtilă trebuie să se miște cu o simetrie care este conformă cu
aceste proporții naturale. Există vreo justificare pentru acest punct de
vedere? Credem că există. Sistemul nervos central și creierul sunt
exemple uimitoare de creștere fractală, cu o rețea de căi neuronale, care
sunt cheia pentru amintirile și emoțiile noastre.
Nu putem, însă, afirma ca aceste căi dețin amintirile sau emoțiile
noastre. Această idee este încă un subiect de dezbatere. Autori recenți
precum Rupert Sheldrake, sugerează că amintirile și emoțiile sunt
ținute în domeniul punctului zero și creierul nostru este doar unealta pe
care o folosim pentru a le extrage. Studiile cu scanere IRM au arătat că
diferite zone ale creierului se activează atunci când accesăm memoria.
Există, de asemenea, munca de o viață a pionierilor din domeniu,
cum ar fi: Bohm, Pribram și Talbot, care sugerează că creierul uman
este, de fapt, de natură holografică, un concept care explică capacitatea
incredibilă a creierului pentru stocarea de date. Indiferent de locul unde
emoțiile noastre sunt de fapt stocate, știm că creierul este calea spre ele,
și este fractal prin natura sa. Atât structura fizică a creierului, cât undelor
68

69. cerebrale, masurate prin EEG (electroencefalograma) au proprietăți
fractale.
Mikiten, Salvingaros și Hing-Sing Yu consideră că, complexitatea
creierului ascunde o simplă origine fractală: "Teza noastră esențială este
că, atunci când un sistem fractal generează un nou sistem, are aceleași
atribute și caracteristici ca și generatorul - mai ales legăturile
ierarhice. Astfel, asociațiile mentale, care par să solicite dimensiuni
enorme de cod (și, prin urmare, să fie numite complexe) pot fi, de fapt,
manipulate de coduri foarte scurte. Dacă aşa este situația, atunci mintea
umană ar putea folosi codificarea fractală ca modalitate standard de
codificare a lanțurilor enorme de gânduri, toate legate într-o singură
entitate fractală".
Alți cercetători, cum ar fi Alan Watts, au studiat modul în care
funcționează creierul uman sub influența drogurilor și au identificat un
răspuns fractal în construcțiile sale. Există dovezi suplimentare pentru
acest tip de gândire. Richard Taylor studiază ecuațiile fractale într-un
efort de a înțelege cum și de ce unele dintre ele ne oferă un impuls
mental, în special cele care sunt cel mai des întâlnite în natură. El
investighează dacă recunoașterea fractalilor este învățată sau instinctivă.
Dacă putem înțelege cu adevărat relația noastră cu ei, putem începe să le
utilizăm proprietățile în proiectarea obiectelor artificiale, cum ar fi clădiri
69

70. și orașe. Ȋn orice caz, teoria conform căreia creierul nostru lucrează întrun mod fractal este în curs de investigare.
Va exista întotdeauna un mister cu privire la modul în care
funcționează creierul uman, dar acest lucru nu ar trebui să ne oprească
din încercarea de a ne depăși limitele. Cheia constă în utilizarea practică
a acestor concepte fractale pentru îngrijirea sănătății şi chiar pentru
vindecare. În cazul în care acceptăm structura fractală a creierului nostru,
este logic să trasgem concluzia că traumele și emoțiile noastre trebuie să
se încadreze în aceste structuri fractale. Nu spunem că emoția în sine este
un fractal, doar modul în care aceasta este utilizată în creier pentru a
determina convingerile și comportamentele.
Apare un alt aspect interesant. În cazul în care mințile noastre sunt
fractale în natură, și fractali sunt nelimitați, riscăm să ne supraîncărcăm
căile noastre neuronale și să distrugem calculatorul nostru intern. Acest
lucru este deosebit de relevant pentru cei care își fac griji în mod
constant, sau sunt sub stress, acest lucru putând duce la asociații false în
mintea unui om și la gânduri potențial obsesive sau compulsive. Supapa
de siguranță pentru acest lucru pare a fi Rapid Eye Movement (REM), fie
în timpul zilei prin visarea cu ochii deschiși, fie pe timp de noapte prin
somn. La nivel fizic, creșterea dendritei și a căilor sinaptice din creier
sunt controlate de separarea sinaptică, care păstrează totul în ordine.
70

71. Aceste concepte ale creierului fracta sunt similare cu incendiile
tufișurilor și ierarhia în prădurile din natură, care opresc specii de plante
și de animale de la creșterea fractală nelimitată. Mergând mai departe,
avem nevoie de a explora ceea ce se întâmplă atunci când un proces de
gândire se repetă. În cazul în care o experiență este revizuită destul de
des, repetarea continuă a aceleiași căi fractale ar putea determina crearea
unui rețele neuronale fixe, care ar fi apoi conectată în creier.
Sintetizând punctele cheie și supozițiile teoriei privind natura
fractală a creierului uman, putem afirma că:
1. Amintirile noastre sunt organizate ca puncte simple, neconectate de
referință.
2. Creierele noastre accesează continuu amintiri, cautând experiențe
care pot acționa ca un punct de referință pentru determinarea
comportamentului viitor.
3. Căile neuronale din creier, care prelucrează aceste amintiri sunt
fractale în natură.
4. În cazul în care un fractal se repetă destul de des, comportamentul
asociat lui devine greu conectat la rețeaua noastră neuronală.
5. Ca rezultat al acestui lucru, ne pierdem capacitatea de alegere cu
privire la modul în care răspundem la experiențe viitoare, mai ales atunci
când se accesează partea primitivă a creierului nostru.
6. Experiențele percepute bune pot crea dependență.
71

72. 7. Experiențele percepute rele pot crea fobie.
8. Experiențele de viață suficient de rele pot duce la convingeri
negative.
9. Chiar și emoțiile negative izolate trebuie vindecate.
1.5
Natura Fractală a Piețelor
Principalele aplicații ale fractalilor în economie sunt reprezentate de
variația prețurilor pe piețele financiare care tranzacționează: titluri de
valoare, mărfuri, rate de schimb valutar, sau rate ale dobânzii.
Volatilitatea prețurilor de pe aceste piețe este demult cunoscută.
Punctul de plecare constă în prețurile activelor financiare, care sunt
în mare parte imprevizibile. Cel mai bun lucru care se poate face este de
a evalua șansele pentru sau împotriva unor rezultate dorite sau temute.
Aceste șanse vor fi, de asemenea, utilizate ca input-uri pentru deciziile
legate de politica economică sau schimbări instituționale. Rezolvarea
acestor probleme este primul pas, dar departe de a fi ultimul!
Considerăm că "schimbările întâmplătoare" este un sinonim pentru
"prețuri care cresc un pic sau scad un pic". Termenul tehnic pentru acest
concept este "mers aleator simplu." Concepția conform căreia nu există
nicio alternativă, este întărită de modelul Bachelier (modelul "monedei
ce se clatină"), care datează din 1900. Acesta este cel mai vechi model
utilizat pe scară largă pentru variația de preț.
72

73. Termenul de "întâmplare" are un sens mult mai larg, care permite
modelului de aruncare a monedei să fie înlocuit cu alternative. Vom
argumenta că alternativa "multifractală" pe care o prezentăm este foarte
potrivită. Modelul multifractal nu face parte din matematica ezoterică și
nu trebuie să i se permită să rămână parte a științei pure. Consecințele
sale practice sunt multe și foarte grave. În primul rând, spiritul
jurământului lui Hipocrate, "să nu faci rău", merită să fie generalizat în
finanțe și este cel mai bine exprimat în termeni nautici. Atunci când o
navă a fost construită pentru a naviga lacuri liniștite pe vreme bună, a o
trimite peste ocean în sezonul taifun este vătămare gravă. În mod similar,
modelul "monedei ce se clatină" al prețurilor financiare ar putea fi iubit
de matematicieni, dar ea neagă existența turbulențelor, deci este
periculos (Taleb).
Mai multe alternative ale modelului sunt disponibile, dar alternativa
multifractală diferă de celelalte într-un mod "calitativ", care are
consecințe imediate în finanțe și politică economică. Modelul „monedei
ce se clatină” exemplifică o ușoară "stare de dezordine". Dacă probele au
fost de acord cu acest model - dar nu au fost în totalitate- variabilitatea în
finanțe ar putea fi la fel de ușor de controlat ca variabilitatea din fizică.
Cu toate acestea, modelul nu trebuie criticat prea tare. Este întotdeauna
cel mai bine să începi cu cel mai simplu model posibil și să îl păstrezi
până când acesta începe să aducă mai mult rău decât valoare. În timpul
73

74. său, el a jucat un rol fundamental și pozitiv în conștientizarea dificultă ții
chiar și a celor mai simple forme de dezordine. Dar creatorii de politici
economice și profesioniștii din domeniul financiar nu se mulțumesc cu
atât, așa cum vom vedea. Pentru ei conteaza foarte mult că modelul este
foarte departe de a ține contabilitatea pentru unele fapte esențiale .
Încă o dată, istoria volatilității prețurilor este plină de "uragane
financiare", în timp ce modelul “monedei ce se clatină” susține că
acestea practic nu pot să se întâmple. Constructorii de nave și proprietarii
acestora nu pot prezice datele și amploarea uraganelor, pe care nava lor
le va întâlni pe durata de viață. Dar ei stiu că uraganele vor apărea.
Instrumentele necesare pentru dobândirea informațiilor cu privire la
intensitatea uraganelor financiare sunt deja disponibile. Ele aparțin
geometriei fractale și multifractale, o disciplină bine cunoscută pentru
descrierea formelor de coastă, a norilor și a distribuției galaxiilor.
Geometria fractală descrie, de asemenea, creșterea și prăbușirea
prețurilor financiare.
74