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Capítulo 5
Representación de la posición y
orientación.
n de la orientación.

1
.
Par de rotación
 Mediante la definición de un vector k (kx,ky.kz) y un ángulo de
giro θ , tal que el sistema OUVW corresponde al sistema OXYZ
girado un ángulo θ sobre el eje k

2
Cuaternios
 Cuaternios



n Alta eficiencia computacional
n Utilizados por algunos fabricantes de robots (ABB)

3
Coordenadas homogéneas

4
Matriz transfomración homogénea

5
Aplicación

6
Traslación matrices homogéneas

7
Ejemplo de traslación
 Según la figura el sistema O'UVW está trasladado un vector p(6,-3,8) con
respeto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx , ry ,rz) del vector r
cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw(-2,7,3)

8
Ejemplo de traslación
 Calcular el vector r’xyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11)
según la transformación T(p) con p(6,-3,8)

9
Rotación con matrices homogéneas


Matrices de rotación básicas:

 Cambio de sistema de coordenadas:

10
Ejemplo de rotación
 Según la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor
del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas
del vector r si r = [4,8,12]T

11
rotaciones y traslaciones…
 Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas multiplicando las
matrices correspondientes
 El producto no es conmutativo:


rotar y trasladar no es igual que trasladar y rotar

12
rotaciones y traslaciones
 Rotación seguida de traslación:

 Traslación seguida de rotación:

13
Ejemplo de traslación-rotación
 Un sistema OUVW ha sido girado 90º alrededor del eje OX y
posteriormente trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema
OXYZ. Calcular las coordenadas (rx ,ry ,rz) del vector r con coordenadas
ruvw (-3,4,-11)

14
Ejemplo de traslación-rotación
 Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al
sistema OXYZ y girado 90º alrededor del eje OX. Calcular las coordenadas
(rx , ry , rz) del vector r de coordenadas ruvw (-3,4,-11)

15
Significado geométrico matrices







n,o,a => terna ortonormal que representa la orientación
p =>vector que representa la posición
||n||=||o||=||a||=1
nxo=a
[n o a]-1=[n o a]T

16
Inversa de una matriz de
transformación homogénea

17
Composición matrices homogéneas
 Una transformación compleja puede descomponerse en la aplicación
consecutiva de transformaciones simples (giros básicos y traslaciones)
 Una matriz que representa un giro de un ángulo a sobre el eje OX, seguido
de un giro de ángulo f sobre el eje OY y de un giro de un ángulo q sobre el
eje OZ, puede obtenerse por la composición de las matrices básicas de
rotación

18
Criterios de composición de
matrices
 Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado O'UVW son
coincidentes, la matriz homogénea de transformación será la matriz 4 x 4
unidad, I4
 Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones
definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que
representa cada transformación se deberá premultiplicar sobre las matrices
de las transformaciones previas.
 ¸Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones
definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que
representa cada transformación se deberá postmultiplicar sobre las
matrices de las transformaciones previas.

19
Ejemplo de composición de matrices
 PREMULTIPLICACIÓN
 Obtener la matriz de transformación que representa al sistema O'UVW
obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ángulo -90º
alrededor del eje OX, de una traslación de vector pxyz(5,5,10) y un giro
de 90º sobre el eje OZ

20
Ejemplo de composición de matrices
 POSMULTIPLICACIÖN
 Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes
transformaciones sobre un sistena OXYZ fijo de referencia: traslación de un
vector pxyz(-3,10,10); giro de -90º sobre el eje O'U del sistema
trasladado y giro de 90º sobre el eje O'V del sistema girado

21
Gráficos de transformación

22
Comparación entre métodos de
localización espacial

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Robotica - cinematica2

  • 1. Capítulo 5 Representación de la posición y orientación. n de la orientación. 1
  • 2. . Par de rotación  Mediante la definición de un vector k (kx,ky.kz) y un ángulo de giro θ , tal que el sistema OUVW corresponde al sistema OXYZ girado un ángulo θ sobre el eje k 2
  • 3. Cuaternios  Cuaternios   n Alta eficiencia computacional n Utilizados por algunos fabricantes de robots (ABB) 3
  • 8. Ejemplo de traslación  Según la figura el sistema O'UVW está trasladado un vector p(6,-3,8) con respeto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx , ry ,rz) del vector r cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw(-2,7,3) 8
  • 9. Ejemplo de traslación  Calcular el vector r’xyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11) según la transformación T(p) con p(6,-3,8) 9
  • 10. Rotación con matrices homogéneas  Matrices de rotación básicas:  Cambio de sistema de coordenadas: 10
  • 11. Ejemplo de rotación  Según la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas del vector r si r = [4,8,12]T 11
  • 12. rotaciones y traslaciones…  Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas multiplicando las matrices correspondientes  El producto no es conmutativo:  rotar y trasladar no es igual que trasladar y rotar 12
  • 13. rotaciones y traslaciones  Rotación seguida de traslación:  Traslación seguida de rotación: 13
  • 14. Ejemplo de traslación-rotación  Un sistema OUVW ha sido girado 90º alrededor del eje OX y posteriormente trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx ,ry ,rz) del vector r con coordenadas ruvw (-3,4,-11) 14
  • 15. Ejemplo de traslación-rotación  Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90º alrededor del eje OX. Calcular las coordenadas (rx , ry , rz) del vector r de coordenadas ruvw (-3,4,-11) 15
  • 16. Significado geométrico matrices      n,o,a => terna ortonormal que representa la orientación p =>vector que representa la posición ||n||=||o||=||a||=1 nxo=a [n o a]-1=[n o a]T 16
  • 17. Inversa de una matriz de transformación homogénea 17
  • 18. Composición matrices homogéneas  Una transformación compleja puede descomponerse en la aplicación consecutiva de transformaciones simples (giros básicos y traslaciones)  Una matriz que representa un giro de un ángulo a sobre el eje OX, seguido de un giro de ángulo f sobre el eje OY y de un giro de un ángulo q sobre el eje OZ, puede obtenerse por la composición de las matrices básicas de rotación 18
  • 19. Criterios de composición de matrices  Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado O'UVW son coincidentes, la matriz homogénea de transformación será la matriz 4 x 4 unidad, I4  Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá premultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.  ¸Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá postmultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas. 19
  • 20. Ejemplo de composición de matrices  PREMULTIPLICACIÓN  Obtener la matriz de transformación que representa al sistema O'UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ángulo -90º alrededor del eje OX, de una traslación de vector pxyz(5,5,10) y un giro de 90º sobre el eje OZ 20
  • 21. Ejemplo de composición de matrices  POSMULTIPLICACIÖN  Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes transformaciones sobre un sistena OXYZ fijo de referencia: traslación de un vector pxyz(-3,10,10); giro de -90º sobre el eje O'U del sistema trasladado y giro de 90º sobre el eje O'V del sistema girado 21
  • 23. Comparación entre métodos de localización espacial 23