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TEORIA DE COLAS
Luis Fernando Morales Melchor
TEORIA DE COLAS
• Las LINEAS DE ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS, son
  realidades cotidianas:
     •Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en
     un banco,
     •Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora,
     •Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar
     su camino, ante un semáforo en rojo,
     •Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.

       Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del
       servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.



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TEORIA DE COLAS
• Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las
  áreas de Manufactura como en las de Servicio.

• Los Análisis de Colas relacionan:

     – la longitud de la línea de espera,
     –el promedio de tiempo de espera
     y otros factores como:
     – la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola,

      Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos
      sistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco,
      actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control
      de las operaciones en planta, etc.).

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TEORIA DE COLAS

• Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los pacientes
  que esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas
  esperando reparación, tienen mucho en común.

• Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos
  materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar
  nuevamente.




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TEORIA DE COLAS
             Costos de Servicio y Costos de Espera

• Los Administradores reconocen el equilibrio que debe haber entre el
  COSTO DE proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo
  DE ESPERA del cliente o de la máquina que deben ser atendidos.

• Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente
  cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se
  retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más.

• Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de
  cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros
  significativos en el COSTO DEL SERVICIO


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TEORIA DE COLAS

           Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio

      Costo


                                                       COSTO TOTAL
                                                       ESPERADO


  Costo                                                    Costo por proporcionar
  Total                                                        el SERVICIO
  Mínimo




                                                                Costo por TIEMPO
                                                                DE ESPERA


               Nivel Óptimo de Servicio              Nivel de Servicio




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TEORIA DE COLAS
             Costos de Servicio vs Nivel de Servicio

• Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL
  DE SERVICIO. Los Administradores de ciertos centros de servicio
  pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales
  que son asignadas a incrementar la atención cuando crecen
  excesivamente los clientes.

     – En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es
       necesario.
     – En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata
       personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año.



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TEORIA DE COLAS

• Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo perdido en las
  líneas de espera.

• Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los operarios
  que están esperando que compongan sus equipos o puede ser
  simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal
  servicio y colas muy largas.

• En ciertos servicios (IESS, Bancos, Cedulación) el costo de la espera
  puede ser intolerablemente alto.



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TEORIA DE COLAS
                         COLAS MAS COMUNES
             SITIO        ARRIBOS EN COLA                   SERVICIO

Supermercado              Compradores                Pago en cajas

Peaje                     Vehículos                  Pago de peaje

Consultorio               Pacientes                  Consulta

Sistema de Cómputo        Programas a ser corridos   Proceso de datos
Compañía de teléfonos     Llamadas                   Efectuar comunicación

Banco                     Clientes                   Depósitos y Cobros

Mantenimiento             Máquinas dañadas           Reparación

Muelle                    Barcos                     Carga y descarga

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TEORIA DE COLAS
             Características de una LINEA DE ESPERA

• Una cola de espera está compuesta de tres elementos:
      1. Arribos o ingresos al sistema
      2. Disciplina en la cola
      3. Servicio

• Estos tres componentes tienen ciertas características que deben ser
  examinadas antes de desarrollar el aspecto matemático de los modelos
  de cola.




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TEORIA DE COLAS
             Características de una LINEA DE ESPERA

• 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:
  La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para el servicio
  tiene tres características principales:
        a. Tamaño de la población que arriba
        b. Patrón de llegada a la cola
        c. Comportamiento de las llegadas.

     1.a.Tamaño de la Población:
     El tamaño de la población puede ser:
                  infinito (ilimitado) o
                 limitado (finito).

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TEORIA DE COLAS
             Características de una LINEA DE ESPERA
                  1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

     1.a. Tamaño de la Población:
         Infinito (ilimitado): Cuando el número de clientes o arribos    en
         un momento dado es una pequeña parte de los arribos potenciales.
         Para propósitos prácticos poblaciones ilimitadas pueden
         considerarse a los vehículos que se acercan a un caseta de peaje, los
         aficionados a un partido del mundial de Fútbol, clientes en un
         supermercado.

    LA MAYORÍA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBO INFINITO.
    Población de arribo limitada o finita: cuando se tienen muy pocos
    servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientes en un consultorio
    médico


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TEORIA DE COLAS
             Características de una LINEA DE ESPERA
                 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

    1.b. Patrón de arribo al sistema:
     – Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada (un
        paciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria.
     – Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son
        independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida
        exactamente.
     – Frecuentemente en problemas de colas, el número de arribos por
        unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la
        Distribución de Poisson que es una distribución discreta de
        probabilidad.



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TEORIA DE COLAS
             Características de una LINEA DE ESPERA
                1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

• DISTRIBUCION DE POISSON:

                             x
                    e
              Px                 para _ x        0,1,2,3,4,...
                        x!

• P(x) = Probabilidad de x arribos
• .x= número de arribos por unidad de tiempo
• = rata promedio de arribo
  .e = 2.71828



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TEORIA DE COLAS
                                    DISTRIBUCION DE POISSON

                              DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO                                   =2
                     0.3000


                     0.2500


                     0.2000
 PROBABILIDAD




                     0.1500                                                                                             DISTRIBUCION


                     0.1000


                     0.0500


                     0.0000
                                0       1        2        3         4        5        6        7        8        9
                DISTRIBUCION 0.1353   0.2707   0.2707   0.1804    0.0902   0.0361   0.0120   0.0034   0.0009   0.0002
                                                         ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO



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TEORIA DE COLAS
                                  DISTRIBUCION DE POISSON

                               DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO
                                                                     =4


                                  0.2500


                                  0.2000
             PROBABILIDAD




                                  0.1500
                                                                                                  DISTRIBUCION

                                  0.1000


                                  0.0500


                                  0.0000
                                            0      1      2      3        4   5      6      7      8      9
                            DISTRIBUCION 0.0183 0.0733 0.1465 0.1954 0.1954 0.1563 0.1042 0.0595 0.0298 0.0132
                                                              ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO




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TEORIA DE COLAS
             Características de una LINEA DE ESPERA
                 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

1.c. Comportamiento de los arribos:
    La mayoría de los modelos de colas asume que los clientes son
    pacientes o sea que esperan en la cola hasta ser servidos y no se pasan
    entre colas. Desafortunadamente, la vida es complicada y la gente se
    reniega. Aquellos que se impacientan por la espera, se retiran de la cola
    sin completar su transacción.

    Esta situación sirve para acentuar el estudio de la teoría de colas y el
    análisis de las líneas de espera, ya que un cliente no servido es un
    cliente perdido y hace mala propaganda de ese negocio.



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TEORIA DE COLAS
             CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA:

• La LINEA DE ESPERA es el segundo componente de un sistema de
  colas. La longitud de la cola puede ser también LIMITADA o
  ILIMITADA.
   – Cola LIMITADA es aquella que por aspectos físicos no puede
      incrementarse a tamaños infinitos. Puede ser el caso de una
      peluquería que tiene pocos barberos y sillas para atender.

     – Estudiaremos los modelos de colas asumiendo colas de longitud
       infinita. Una cola es ILIMITADA cuando su tamaño no tiene
       restricción como es el caso de una caseta de peaje que sirve a los
       vehículos que arriban.


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TEORIA DE COLAS
             CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA:


• Una segunda característica de las líneas de espera se refiere a la
  DISCIPLINA EN LA COLA mediante la cual los clientes reciben el
  servicio. La mayoría de los sistemas usan la regla Primero En Entrar
  Primero En Salir (First In First Out) [PEPS (FIFO)]. Se denomina
  también FIFS (First In First Served).
• En las áreas de emergencia de hospitales sin embargo se omite esta
  regla dependiendo de la gravedad de las lesiones de las personas que
  arriban por auxilio médico.
• En supermercados, personas con menos de 10 artículos tienen la caja
  express que atiende a este tipo de clientes. Pero en la cola se les atiende
  con la política PEPS.


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TEORIA DE COLAS
             CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA
                     Características del Servicio


El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO. En él son
    importantes dos propiedades básicas:
     1. La configuración del sistema de servicio.
     2. El patrón de tiempos de servicio

CONFIGURACIONES BASICAS PARA EL SERVICIO:
  Los sistemas para el servicio son clasificados en función del numero de
  canales (servidores) y el número de fases (número de paradas que
  deben hacerse durante el servicio).
      Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor. Ejemplos
      de ello son los cajeros para automovilistas o los establecimientos
      de comida rápida.
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TEORIA DE COLAS
             CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA
                 Configuraciones básicas para el Servicio

     – Sistema de cola multi-canal: Son principalmente los cajeros de un
       banco en los cuales hay una sola cola y varias personas atendiendo a
       los clientes en diversas cajas.

     – Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el cliente recibe el
       servicio de una sola estación y luego abandona el sistema. Un
       restaurant de comida rápida en el cual la persona que toma la orden
       también le entrega el alimento y cobra, es un sistema de una sola
       fase

     – Sistema multifase: cuando se pone la orden en una estación, se paga
       en una segunda y se retira lo adquirido en una tercera


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TEORIA DE COLAS
             Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas
                   Configuraciones básicas para el Servicio


                     COLA

ARRIBOS                                              SERVIDOR   SALIDAS




                      SISTEMA UN CANAL, UNA FASE



                     COLA
                                   SERVICIO          SERVICIO
 ARRIBOS                                                        SALIDAS
                                    FASE 1            FASE 2




                      UN SOLO CANAL, MULTIFASE

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TEORIA DE COLAS
              Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas
                    Configuraciones básicas para el Servicio




                                                         CANAL 1
                 COLA


                                                                   SALIDAS
                                                         CANAL 2
ARRIBOS


                                                         CANAL 3




                           SISTEMA MULTICANAL UNA FASE




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TEORIA DE COLAS
              Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas
                    Configuraciones básicas para el Servicio




                                                  FASE 1    FASE 2
                 COLA
                                                 CANAL 1   CANAL 1


ARRIBOS                                                              SALIDAS

                                                  FASE 1    FASE 2
                                                 CANAL 2   CANAL 2




                        SISTEMA MULTICANAL MULTIFASE



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TEORIA DE COLAS
             Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas
                    Distribución del Tiempo de Servicio

•     Los patrones de servicio son similares a los patrones de llegada.
      Pueden ser constantes o aleatorios.
I.    Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de
      tiempo atender a cada cliente. Es común con servicios dados por
      medio de máquinas (Lavadora automática de carros).
II.   Si el tiempo de servicio es distribuído aleatoriamente – que es el caso
      más común – se lo representa por la DISTRIBUCION DE
      PROBABILIDAD EXPONENCIAL NEGATIVA de la forma e- x
      para x 0. Esta es una hipótesis matemática muy conveniente,
      cuando los arribos siguen la distribución de Poisson.



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TEORIA DE COLAS
             Medición del Rendimiento de las Colas
•   Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para
    balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea.
•   Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:
     1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la cola
     2. Longitud de cola promedio
     3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo de
         espera + tiempo de servicio).
     4. Número de clientes promedio en el sistema.
     5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío
     6. Factor de utilización del sistema
     7. Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes en el
         sistema.



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TEORIA DE COLAS
             Notación de los Modelos de Colas

• Reconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall (1953)
  propuso un sistema de notación para sistemas de servidores paralelos
  que ha sido adoptado universalmente.
• Una versión resumida de esta convención está basada en el formato
  A/B/c/N/K. Estas letras representan las siguientes características del
  sistema:
   – A = Distribución de tiempo entre arribos.
   – B = Distribución del tiempo de servicio.
   Los siguientes son símbolos comunes para A y B:
       M = exponencial o Markov (1)
       D = constante o determinística

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TEORIA DE COLAS
              Notación de los Modelos de Colas

                • Ek = Erlang de orden k
                • P H = Tipo fase
                • H = Hiperexponencial
                • G = Arbitrario o general
                • GI = General independiente
     –         .c = número de servidores paralelos
     –         N = Capacidad del sistema
     –         K = Tamaño de la población.
     Nota(1): A causa de las suposiciones de distribución exponencial en los
               procesos de arribo, estos modelos son llamados
               MARKOVIANOS

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TEORIA DE COLAS
             Notación de los Modelos de Colas

• Por ejemplo: M/M/1/ / significa un solo servidor, capacidad de cola
  ilimitada y población infinita de arribos potenciales. Los tiempos entre
  arribos y los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente.
• Cuando N y K son infinitos, pueden ser descartados de la notación.
  M/M/1/ / es reducido a M/M/1.




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TEORIA DE COLAS
               Variedad de Modelos de Colas

• Existe una cantidad enorme de Modelos de Colas que pueden
  utilizarse. Nos vamos a concentrar en 4 de los modelos más usados.
  Modelos más complejos pueden ser desarrollados mediante el uso de la
  Simulación y se los encuentra en textos especializados sobre el tema.
• Los 4 modelos de colas a estudiar asumen:
              o Arribos según la Distribución de Poisson
              o Disciplina PEPS
              o Una sola fase de servicio.
   – Modelo A: Un canal, Arribos según la Distribución de Poisson;
       Tiempos de Servicio exponenciales



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TEORIA DE COLAS
               Variedad de Modelos de Colas

     – Modelo B: Multicanal
     – Modelo C: Tiempo de Servicio constante
     – Modelo D: Población Limitada

• Modelo A: Modelo de Colas de un solo canal, con arribos que siguen la
  distribución de Poisson y Tiempos de Servicio Exponenciales: (Modelo
  M/M/1)
• Los casos más comunes de problemas de colas incluyen la línea de
  espera de canal único o servidor único. En este caso los arribos crean
  una sola cola a ser servida por una sola estación.



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TEORIA DE COLAS
                     Modelo A: M/M/1

• Asumimos que existen las siguientes condiciones:
  1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada arribo
     espera a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola.
  2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el
     promedio de arribos, no cambia con el tiempo.
  3. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad
     de Poisson y proceden de una población muy grande o infinita.
  4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son
     independientes entre sí, pero su rata promedio es conocida.




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TEORIA DE COLAS
        Modelo A: (M/M/1) – Modelo B: (M/M/S)

     5. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de
        probabilidad exponencial negativa.
     6. La rata de servicio es más rápida que la rata de arribo.
     Tabla 5.3 Render Pág. 192
• Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S)
• Dos o más servidores o canales están disponibles para atender a los
  clientes que arriban.
• Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al
  servidor que queda libre.
• Asumimos que los arribos siguen la distribución de probabilidad de
  Poisson y los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente.


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TEORIA DE COLAS
             Modelo B: (M/M/S) Modelo C: (M/D/1)

• Los servicios se los hace de acuerdo a la política primero en llegar
  primero en ser servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la
  misma rata.
• Modelo C: Modelo de Tiempo de Servicio Constante (M/D/1)
• Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantes en lugar de
  exponencialmente distribuídos. Cuando los clientes son atendidos o
  equipos son procesados con un ciclo fijo como es el caso de una
  lavadora de carros automatizada o ciertos entretenimientos en los
  parques de diversiones, el asumir servicio constante es adecuado.




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TEORIA DE COLAS
                Modelo D: Población limitada

• Modelo D: Modelo de Población limitada.-
• Este modelo puede ser usado por ejemplo si estamos considerando
  reparaciones de equipo en una fábrica que tiene 5 máquinas. Este
  modelo permite cualquier número de reparadores a ser considerados.
• La razón por la cual este modelo difiere de los otros tres es que ahora
  hay una relación de dependencia entre la longitud de la cola y la rata de
  arribo. La situación extrema sería si en la fábrica tenemos 5 máquinas,
  todas se han dañado y necesitan reparación; siendo en este caso la rata
  de arribo CERO. En general, si la línea de espera crece, la rata de
  llegada tiende a cero




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RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS
                 DESCRITOS
MODELO     NOMBRE     N° DE   N° DE      PATRÓN        PATRÓN     TAMAÑO DE LA   DISCIPLINA
                     CANAL    FASES        DE             DE       POBLACIÓN      DE COLA
                       ES                ARRIBO        SERVICIO



  A      SIMPLE      UNO      UNA       POISSON       EXPONEN     INFINITA       PEPS
         M/M/1                                        CIAL


  B      MULTI-      MULTI    UNA       POISSON       EXPONEN     INFINITA       PEPS
         CANAL       CANAL                            CIAL
         M/M/S

  C      SERVICIO    UNO      UNA       POISSON       CONSTAN     INFINITA       PEPS
         CONSTANTE                                    TE
         (M/D/1)

  D      POBLACION   UNO      UNA       POISSON       EXPONEN     FINITA         PEPS
         LIMITADA                                     CIAL




  10/06/2012                          Luis F. Morales M.                                36
FÓRMULAS PARA COLAS
       MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1
       Número promedio de arribos por período de tiempo
    Número promedio de gente o cosas servidos por período de tiempo
  n número de unidades en el sistema

  LS    Número promedio de unidades (clientes) en el sistema LS

       Factor de utilizació n del sistema

  WS     Tiempo promedio que una unidad permanece en el sistema
        (tiempo de espera    tiempo de servicio)
             1
  WS


10/06/2012                       Luis F. Morales M.                   37
FÓRMULAS PARA COLAS
        MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1
                                                                  2

   Lq     Número promedio de unidades en la cola                          LS

   Wq     Tiempo promedio que una unidad espera en la cola                       WS

   Pn     Probabilid ad de que " n" clientes estén en el sistema
                            n
                                         n
   Pn      1                    1

   Po     Probabilid ad de cero unidades en el sistema (la unidad de servicio está vacía)

   Po     1             1

   Pn k       Probabilid ad de que más de " k" unidades estén en el sistema
                  k 1

   Pn k



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FÓRMULAS PARA COLAS
         MODELO B: SISTEMA MULTICANAL O
                       M/M/S
    M     número de canales abiertos
         tasa promedio de arribo
         tasa promedio de servicio en cada canal
    Po    Probabilid ad de que existan CERO personas o unidades en el sistema
                                       1
    Po                         n                    M
                                                                   para M
             n M 1
                     1                 1                  M
              n 0    n!                M!                M


    Ls    número promedio de personas o unidades en el sistema :
                                   M



    LS                                     2
                                               Po
             M       1 .!. M


10/06/2012                                              Luis F. Morales M.      39
FÓRMULAS PARA COLAS
           MODELO B: SISTEMA MULTICANAL O
                         M/M/S
Ws   Tiempo promedio que una unidad permanece en el sistema,
     (en la cola y siendo servida (atendida) )
                       M


                                    1   LS
WS                         2
                               Po
      M 1! M
Lq   Número promedio de personas o unidades en la línea o cola, en espera de servicio

Lq   LS           LS

Wq   Tiempo promedio que una persona o unidad se
     tarda en la cola esperando por servicio
            1 Lq
Wq    WS

     10/06/2012                          Luis F. Morales M.                     40
FÓRMULAS PARA COLAS
      MODELO C: SERVICIO CONSTANTE O
              MODELO M/D/1

                                                                       2

             Longitud promedio de la cola,              Lq
                                                              2

             Tiempo promedio de espera en la cola,      Wq
                                                              2

             Número promedio de clientes en el sistema, LS        Lq

                                                                           1
             Tiempo promedio de espera en el sistema,    WS       Wq




10/06/2012                        Luis F. Morales M.                           41
FORMULAS PARA COLAS
        MODELO D: POBLACIÓN LIMITADA

   NOTACIÓN :
   D Probabilid ad de que una unidad tenga que esperar en la cola
   F Factor de eficiencia
   H Número promedio de unidades siendo servidas
   J Número promedio de unidades que no están en cola o en el sector de servicio
   L Número promedio de unidades esperando el servicio
   M Número de canales de servicio
   N Número de clientes potenciale s
   T Tiempo de servicio promedio
   U Tiempode servicio entre requerimie ntos de atención a la unidad
   W Tiempo promedio que una unidad espera en la cola
   X Factor de servicio




10/06/2012                         Luis F. Morales M.                              42
FORMULAS PARA COLAS
         MODELO D: POBLACIÓN LIMITADA


 FÓRMULAS :
                                                          T
 Factor de Servicio .......................      X
                                                       T U
 Número promedio en espera ........               L    N1 F
                                                        LT U T1 F
 Tiempo promedio de espera ........               W
                                                         N L   XF
 Número promedio en funcionami ento J                   NF 1 X
 Número promedio siendo servido         H               FNX
 Cuantía de la Población ............. N              J L H


10/06/2012                               Luis F. Morales M.         43

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Teoria de colas_luis_morales

  • 1. TEORIA DE COLAS Luis Fernando Morales Melchor
  • 2. TEORIA DE COLAS • Las LINEAS DE ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidades cotidianas: •Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco, •Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora, •Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo, •Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 2
  • 3. TEORIA DE COLAS • Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio. • Los Análisis de Colas relacionan: – la longitud de la línea de espera, –el promedio de tiempo de espera y otros factores como: – la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola, Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.). 10/06/2012 Luis F. Morales M. 3
  • 4. TEORIA DE COLAS • Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común. • Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 4
  • 5. TEORIA DE COLAS Costos de Servicio y Costos de Espera • Los Administradores reconocen el equilibrio que debe haber entre el COSTO DE proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de la máquina que deben ser atendidos. • Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más. • Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO 10/06/2012 Luis F. Morales M. 5
  • 6. TEORIA DE COLAS Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio Costo COSTO TOTAL ESPERADO Costo Costo por proporcionar Total el SERVICIO Mínimo Costo por TIEMPO DE ESPERA Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio 10/06/2012 Luis F. Morales M. 6
  • 7. TEORIA DE COLAS Costos de Servicio vs Nivel de Servicio • Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE SERVICIO. Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atención cuando crecen excesivamente los clientes. – En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario. – En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 7
  • 8. TEORIA DE COLAS • Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo perdido en las líneas de espera. • Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los operarios que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas. • En ciertos servicios (IESS, Bancos, Cedulación) el costo de la espera puede ser intolerablemente alto. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 8
  • 9. TEORIA DE COLAS COLAS MAS COMUNES SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO Supermercado Compradores Pago en cajas Peaje Vehículos Pago de peaje Consultorio Pacientes Consulta Sistema de Cómputo Programas a ser corridos Proceso de datos Compañía de teléfonos Llamadas Efectuar comunicación Banco Clientes Depósitos y Cobros Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación Muelle Barcos Carga y descarga 10/06/2012 Luis F. Morales M. 9
  • 10. TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA • Una cola de espera está compuesta de tres elementos: 1. Arribos o ingresos al sistema 2. Disciplina en la cola 3. Servicio • Estos tres componentes tienen ciertas características que deben ser examinadas antes de desarrollar el aspecto matemático de los modelos de cola. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 10
  • 11. TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA • 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para el servicio tiene tres características principales: a. Tamaño de la población que arriba b. Patrón de llegada a la cola c. Comportamiento de las llegadas. 1.a.Tamaño de la Población: El tamaño de la población puede ser: infinito (ilimitado) o limitado (finito). 10/06/2012 Luis F. Morales M. 11
  • 12. TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: 1.a. Tamaño de la Población: Infinito (ilimitado): Cuando el número de clientes o arribos en un momento dado es una pequeña parte de los arribos potenciales. Para propósitos prácticos poblaciones ilimitadas pueden considerarse a los vehículos que se acercan a un caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial de Fútbol, clientes en un supermercado. LA MAYORÍA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBO INFINITO. Población de arribo limitada o finita: cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientes en un consultorio médico 10/06/2012 Luis F. Morales M. 12
  • 13. TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: 1.b. Patrón de arribo al sistema: – Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada (un paciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria. – Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente. – Frecuentemente en problemas de colas, el número de arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la Distribución de Poisson que es una distribución discreta de probabilidad. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 13
  • 14. TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: • DISTRIBUCION DE POISSON: x e Px para _ x 0,1,2,3,4,... x! • P(x) = Probabilidad de x arribos • .x= número de arribos por unidad de tiempo • = rata promedio de arribo .e = 2.71828 10/06/2012 Luis F. Morales M. 14
  • 15. TEORIA DE COLAS DISTRIBUCION DE POISSON DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO =2 0.3000 0.2500 0.2000 PROBABILIDAD 0.1500 DISTRIBUCION 0.1000 0.0500 0.0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 DISTRIBUCION 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 0.0120 0.0034 0.0009 0.0002 ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO 10/06/2012 Luis F. Morales M. 15
  • 16. TEORIA DE COLAS DISTRIBUCION DE POISSON DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO =4 0.2500 0.2000 PROBABILIDAD 0.1500 DISTRIBUCION 0.1000 0.0500 0.0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 DISTRIBUCION 0.0183 0.0733 0.1465 0.1954 0.1954 0.1563 0.1042 0.0595 0.0298 0.0132 ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO 10/06/2012 Luis F. Morales M. 16
  • 17. TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: 1.c. Comportamiento de los arribos: La mayoría de los modelos de colas asume que los clientes son pacientes o sea que esperan en la cola hasta ser servidos y no se pasan entre colas. Desafortunadamente, la vida es complicada y la gente se reniega. Aquellos que se impacientan por la espera, se retiran de la cola sin completar su transacción. Esta situación sirve para acentuar el estudio de la teoría de colas y el análisis de las líneas de espera, ya que un cliente no servido es un cliente perdido y hace mala propaganda de ese negocio. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 17
  • 18. TEORIA DE COLAS CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA: • La LINEA DE ESPERA es el segundo componente de un sistema de colas. La longitud de la cola puede ser también LIMITADA o ILIMITADA. – Cola LIMITADA es aquella que por aspectos físicos no puede incrementarse a tamaños infinitos. Puede ser el caso de una peluquería que tiene pocos barberos y sillas para atender. – Estudiaremos los modelos de colas asumiendo colas de longitud infinita. Una cola es ILIMITADA cuando su tamaño no tiene restricción como es el caso de una caseta de peaje que sirve a los vehículos que arriban. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 18
  • 19. TEORIA DE COLAS CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA: • Una segunda característica de las líneas de espera se refiere a la DISCIPLINA EN LA COLA mediante la cual los clientes reciben el servicio. La mayoría de los sistemas usan la regla Primero En Entrar Primero En Salir (First In First Out) [PEPS (FIFO)]. Se denomina también FIFS (First In First Served). • En las áreas de emergencia de hospitales sin embargo se omite esta regla dependiendo de la gravedad de las lesiones de las personas que arriban por auxilio médico. • En supermercados, personas con menos de 10 artículos tienen la caja express que atiende a este tipo de clientes. Pero en la cola se les atiende con la política PEPS. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 19
  • 20. TEORIA DE COLAS CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA Características del Servicio El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO. En él son importantes dos propiedades básicas: 1. La configuración del sistema de servicio. 2. El patrón de tiempos de servicio CONFIGURACIONES BASICAS PARA EL SERVICIO: Los sistemas para el servicio son clasificados en función del numero de canales (servidores) y el número de fases (número de paradas que deben hacerse durante el servicio). Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor. Ejemplos de ello son los cajeros para automovilistas o los establecimientos de comida rápida. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 20
  • 21. TEORIA DE COLAS CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA Configuraciones básicas para el Servicio – Sistema de cola multi-canal: Son principalmente los cajeros de un banco en los cuales hay una sola cola y varias personas atendiendo a los clientes en diversas cajas. – Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el cliente recibe el servicio de una sola estación y luego abandona el sistema. Un restaurant de comida rápida en el cual la persona que toma la orden también le entrega el alimento y cobra, es un sistema de una sola fase – Sistema multifase: cuando se pone la orden en una estación, se paga en una segunda y se retira lo adquirido en una tercera 10/06/2012 Luis F. Morales M. 21
  • 22. TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas Configuraciones básicas para el Servicio COLA ARRIBOS SERVIDOR SALIDAS SISTEMA UN CANAL, UNA FASE COLA SERVICIO SERVICIO ARRIBOS SALIDAS FASE 1 FASE 2 UN SOLO CANAL, MULTIFASE 10/06/2012 Luis F. Morales M. 22
  • 23. TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas Configuraciones básicas para el Servicio CANAL 1 COLA SALIDAS CANAL 2 ARRIBOS CANAL 3 SISTEMA MULTICANAL UNA FASE 10/06/2012 Luis F. Morales M. 23
  • 24. TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas Configuraciones básicas para el Servicio FASE 1 FASE 2 COLA CANAL 1 CANAL 1 ARRIBOS SALIDAS FASE 1 FASE 2 CANAL 2 CANAL 2 SISTEMA MULTICANAL MULTIFASE 10/06/2012 Luis F. Morales M. 24
  • 25. TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas Distribución del Tiempo de Servicio • Los patrones de servicio son similares a los patrones de llegada. Pueden ser constantes o aleatorios. I. Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente. Es común con servicios dados por medio de máquinas (Lavadora automática de carros). II. Si el tiempo de servicio es distribuído aleatoriamente – que es el caso más común – se lo representa por la DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL NEGATIVA de la forma e- x para x 0. Esta es una hipótesis matemática muy conveniente, cuando los arribos siguen la distribución de Poisson. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 25
  • 26. TEORIA DE COLAS Medición del Rendimiento de las Colas • Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea. • Los principales factores que se evalúan en estos modelos son: 1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la cola 2. Longitud de cola promedio 3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio). 4. Número de clientes promedio en el sistema. 5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío 6. Factor de utilización del sistema 7. Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes en el sistema. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 26
  • 27. TEORIA DE COLAS Notación de los Modelos de Colas • Reconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall (1953) propuso un sistema de notación para sistemas de servidores paralelos que ha sido adoptado universalmente. • Una versión resumida de esta convención está basada en el formato A/B/c/N/K. Estas letras representan las siguientes características del sistema: – A = Distribución de tiempo entre arribos. – B = Distribución del tiempo de servicio. Los siguientes son símbolos comunes para A y B: M = exponencial o Markov (1) D = constante o determinística 10/06/2012 Luis F. Morales M. 27
  • 28. TEORIA DE COLAS Notación de los Modelos de Colas • Ek = Erlang de orden k • P H = Tipo fase • H = Hiperexponencial • G = Arbitrario o general • GI = General independiente – .c = número de servidores paralelos – N = Capacidad del sistema – K = Tamaño de la población. Nota(1): A causa de las suposiciones de distribución exponencial en los procesos de arribo, estos modelos son llamados MARKOVIANOS 10/06/2012 Luis F. Morales M. 28
  • 29. TEORIA DE COLAS Notación de los Modelos de Colas • Por ejemplo: M/M/1/ / significa un solo servidor, capacidad de cola ilimitada y población infinita de arribos potenciales. Los tiempos entre arribos y los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente. • Cuando N y K son infinitos, pueden ser descartados de la notación. M/M/1/ / es reducido a M/M/1. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 29
  • 30. TEORIA DE COLAS Variedad de Modelos de Colas • Existe una cantidad enorme de Modelos de Colas que pueden utilizarse. Nos vamos a concentrar en 4 de los modelos más usados. Modelos más complejos pueden ser desarrollados mediante el uso de la Simulación y se los encuentra en textos especializados sobre el tema. • Los 4 modelos de colas a estudiar asumen: o Arribos según la Distribución de Poisson o Disciplina PEPS o Una sola fase de servicio. – Modelo A: Un canal, Arribos según la Distribución de Poisson; Tiempos de Servicio exponenciales 10/06/2012 Luis F. Morales M. 30
  • 31. TEORIA DE COLAS Variedad de Modelos de Colas – Modelo B: Multicanal – Modelo C: Tiempo de Servicio constante – Modelo D: Población Limitada • Modelo A: Modelo de Colas de un solo canal, con arribos que siguen la distribución de Poisson y Tiempos de Servicio Exponenciales: (Modelo M/M/1) • Los casos más comunes de problemas de colas incluyen la línea de espera de canal único o servidor único. En este caso los arribos crean una sola cola a ser servida por una sola estación. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 31
  • 32. TEORIA DE COLAS Modelo A: M/M/1 • Asumimos que existen las siguientes condiciones: 1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada arribo espera a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola. 2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el promedio de arribos, no cambia con el tiempo. 3. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad de Poisson y proceden de una población muy grande o infinita. 4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son independientes entre sí, pero su rata promedio es conocida. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 32
  • 33. TEORIA DE COLAS Modelo A: (M/M/1) – Modelo B: (M/M/S) 5. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de probabilidad exponencial negativa. 6. La rata de servicio es más rápida que la rata de arribo. Tabla 5.3 Render Pág. 192 • Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S) • Dos o más servidores o canales están disponibles para atender a los clientes que arriban. • Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al servidor que queda libre. • Asumimos que los arribos siguen la distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 33
  • 34. TEORIA DE COLAS Modelo B: (M/M/S) Modelo C: (M/D/1) • Los servicios se los hace de acuerdo a la política primero en llegar primero en ser servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la misma rata. • Modelo C: Modelo de Tiempo de Servicio Constante (M/D/1) • Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantes en lugar de exponencialmente distribuídos. Cuando los clientes son atendidos o equipos son procesados con un ciclo fijo como es el caso de una lavadora de carros automatizada o ciertos entretenimientos en los parques de diversiones, el asumir servicio constante es adecuado. 10/06/2012 Luis F. Morales M. 34
  • 35. TEORIA DE COLAS Modelo D: Población limitada • Modelo D: Modelo de Población limitada.- • Este modelo puede ser usado por ejemplo si estamos considerando reparaciones de equipo en una fábrica que tiene 5 máquinas. Este modelo permite cualquier número de reparadores a ser considerados. • La razón por la cual este modelo difiere de los otros tres es que ahora hay una relación de dependencia entre la longitud de la cola y la rata de arribo. La situación extrema sería si en la fábrica tenemos 5 máquinas, todas se han dañado y necesitan reparación; siendo en este caso la rata de arribo CERO. En general, si la línea de espera crece, la rata de llegada tiende a cero 10/06/2012 Luis F. Morales M. 35
  • 36. RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS DESCRITOS MODELO NOMBRE N° DE N° DE PATRÓN PATRÓN TAMAÑO DE LA DISCIPLINA CANAL FASES DE DE POBLACIÓN DE COLA ES ARRIBO SERVICIO A SIMPLE UNO UNA POISSON EXPONEN INFINITA PEPS M/M/1 CIAL B MULTI- MULTI UNA POISSON EXPONEN INFINITA PEPS CANAL CANAL CIAL M/M/S C SERVICIO UNO UNA POISSON CONSTAN INFINITA PEPS CONSTANTE TE (M/D/1) D POBLACION UNO UNA POISSON EXPONEN FINITA PEPS LIMITADA CIAL 10/06/2012 Luis F. Morales M. 36
  • 37. FÓRMULAS PARA COLAS MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1 Número promedio de arribos por período de tiempo Número promedio de gente o cosas servidos por período de tiempo n número de unidades en el sistema LS Número promedio de unidades (clientes) en el sistema LS Factor de utilizació n del sistema WS Tiempo promedio que una unidad permanece en el sistema (tiempo de espera tiempo de servicio) 1 WS 10/06/2012 Luis F. Morales M. 37
  • 38. FÓRMULAS PARA COLAS MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1 2 Lq Número promedio de unidades en la cola LS Wq Tiempo promedio que una unidad espera en la cola WS Pn Probabilid ad de que " n" clientes estén en el sistema n n Pn 1 1 Po Probabilid ad de cero unidades en el sistema (la unidad de servicio está vacía) Po 1 1 Pn k Probabilid ad de que más de " k" unidades estén en el sistema k 1 Pn k 10/06/2012 Luis F. Morales M. 38
  • 39. FÓRMULAS PARA COLAS MODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S M número de canales abiertos tasa promedio de arribo tasa promedio de servicio en cada canal Po Probabilid ad de que existan CERO personas o unidades en el sistema 1 Po n M para M n M 1 1 1 M n 0 n! M! M Ls número promedio de personas o unidades en el sistema : M LS 2 Po M 1 .!. M 10/06/2012 Luis F. Morales M. 39
  • 40. FÓRMULAS PARA COLAS MODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S Ws Tiempo promedio que una unidad permanece en el sistema, (en la cola y siendo servida (atendida) ) M 1 LS WS 2 Po M 1! M Lq Número promedio de personas o unidades en la línea o cola, en espera de servicio Lq LS LS Wq Tiempo promedio que una persona o unidad se tarda en la cola esperando por servicio 1 Lq Wq WS 10/06/2012 Luis F. Morales M. 40
  • 41. FÓRMULAS PARA COLAS MODELO C: SERVICIO CONSTANTE O MODELO M/D/1 2 Longitud promedio de la cola, Lq 2 Tiempo promedio de espera en la cola, Wq 2 Número promedio de clientes en el sistema, LS Lq 1 Tiempo promedio de espera en el sistema, WS Wq 10/06/2012 Luis F. Morales M. 41
  • 42. FORMULAS PARA COLAS MODELO D: POBLACIÓN LIMITADA NOTACIÓN : D Probabilid ad de que una unidad tenga que esperar en la cola F Factor de eficiencia H Número promedio de unidades siendo servidas J Número promedio de unidades que no están en cola o en el sector de servicio L Número promedio de unidades esperando el servicio M Número de canales de servicio N Número de clientes potenciale s T Tiempo de servicio promedio U Tiempode servicio entre requerimie ntos de atención a la unidad W Tiempo promedio que una unidad espera en la cola X Factor de servicio 10/06/2012 Luis F. Morales M. 42
  • 43. FORMULAS PARA COLAS MODELO D: POBLACIÓN LIMITADA FÓRMULAS : T Factor de Servicio ....................... X T U Número promedio en espera ........ L N1 F LT U T1 F Tiempo promedio de espera ........ W N L XF Número promedio en funcionami ento J NF 1 X Número promedio siendo servido H FNX Cuantía de la Población ............. N J L H 10/06/2012 Luis F. Morales M. 43