Matematicas unidad 1 segunda parte

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Matematicas unidad 1 segunda parte

  1. 1. DESARROLLOACTIVIDAD 1. Sistemas de Ecuaciones LinealesEcuaciones de Primer GradoMétodo de Igualación, sustitución y reducciónLos métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cadauna de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra(Convirtiendo así un problema difícil en uno mas fácil).A las ecuaciones con una sola incógnita, se llega a través de una serie de pasos en los que lasecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuacionesprevias.Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utilice unmétodo ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se utilice otro método ( elde igualación, por ejemplo ).Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta por su solución paraobtener así ecuaciones con menos incógnitas.Método de reducciónConsiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número deincógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita. Multiplicar una ecuación por unnúmero consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número. Sumar dosecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo) es lasuma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman.EjemploMultiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuacionesEl sumar ambas ecuaciones nos da la ecuaciónQue es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución esLa elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumarambas ecuaciones.
  2. 2. Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, seobtieneQue es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .Método de igualaciónEl método de igualación consiste en lo siguiente:Supongamos que tenemos dos ecuaciones:Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresionesalgebraicas ).De las dos igualdades anteriores se deduce queSi resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces laecuaciónNo contendría dicha incógnita.Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a unaecuación con solo una incógnita, digamos .Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otrasecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.EjemploEl sistema de ecuacionesEs equivalente a este otroEl segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda almiembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.Del segundo sistema se deduce queQue es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
  3. 3. Método de sustituciónSupongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la formaEntonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtenerla ecuación:Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.EjemploResolverLa primera ecuación se puede reescribir de la formaPor otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce queSustituyendo por ense tiene queque es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es .Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemosuna ecuación de una sola incógnitaCuya solución es .
  4. 4. Sistema de ecuaciones de Segundo gradoUn sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales que seresolverán simultáneamente. Hallar la solución de un sistema consiste en encontrar unasolución común a todas las ecuaciones del sistema.Llamamos a un sistema de orden m x n si tienem ecuaciones y n variables.Ejemplo 1 2x-y=3 ecuación (1) x+3y =2 ecuación (2)Sistema de orden 2 (ecuaciones 1 y 2 ) y 2 (variables, x y) o para decirlo en forma corta:2 x 2Ejemplo 25 x + 3 y = 10 (1)y=2x-5 (2) x=y+3 (3)¿Cuántas ecuaciones tiene este sistema? _____ ¿Cuántas variables? _____¿Cuál es el orden de este sistema? _______Sistema 2 X 2Un sistema 2 X 2 consiste en dos ecuaciones lineales en dos variables.La solución de este sistema es todo par ordenado que pertenezca al conjunto solución deambas ecuaciones.Ejemplo: La solución del sistema de ecuacioneses (x, y) = (2,4) esto es: x = 2, y = 4. ↓ ↓Para la verificación utilizaremos uno de los siguientes métodos para resolver un sistema 2 X2Método Gráfico, Sustitución, Eliminación o ReducciónA. GráficoLa gráfica de cada ecuación de este sistema es una recta por lo tanto un sistema 2 x 2 consta dedos líneas en un mismo plano. Resolver este sistema por el método gráfico consiste en dibujar
  5. 5. ambas líneas en un Plano Cartesiano e identificar cualquier punto en común, es decir un puntode intersección, dado por un par ordenado de la forma (x, y).Posibles soluciones de un sistema 2x2 Sistema determinado La solución es única, el punto de intersección Sistema inconsistente Ambas líneas tienen la misma inclinación por lo tanto no hay intersección entre ellas, decimos que son líneas paralelas. Este sistema no tiene solución. Sistema dependiente Este sistema consta de dos ecuaciones equivalentes por lo que el conjunto solución es un conjunto infinitoB. Método de SustituciónEste método es recomendable cuando al menos una de las dos ecuaciones es fácil para despejaren una de las variables.Ejemplo 1Sistema de Paso 1. Paso 2. Paso 3.Ecuaciones Despeja para una Sustituye en la Sustitución “hacia ecuación para una otra ecuación yresuelve la atrás” de las dos variables nueva ecuación para la la ecuación variable que queday=3x– La ecuación (1) Conozco x = 7, puedo Sustituye en la ecuación2 (1) para y sustituir en cualquiera (2) la variabley por suy = 5 + 2 x (2) y = 3 x – 2 (1) de las ecuaciones (1) o expresión 3 x – 2 (2) para y. Sustituyo ¡ya está despejada! en (1) 3x–2=5+2x (2) y = 3(7) – 2 Resuelve para x y = 21 – 2 3x–2x=5+2 y = 19 x=7Solución del sistema: (x,y) = (7,19)
  6. 6. Ejemplo 2Paso [1] x ya está despejada en (1) à Paso [2] Sustituye y resuelve: 2 y - ( 3 y – 10 ) = 8 ecuación (2) 2 y - 3 y + 10 = 8 -y = 8 – 10 y = _____ ¿Ya terminé ?Sustituye el valor encontrado para y en la ecuación (1) x = 3 y – 10. x = 3(2) – 10 x = -4 Solución al sistema ( -4 , 2 )C. Método de EliminaciónObjetivo · eliminar una de las dos variables al sumar o restar dos de las ecuaciones del sistema. · los coeficientes de la variable que deseo eliminar deben ser valores opuestos (sumar ecuaciones) o iguales (restar)Ejemplo 1Sistema de Paso [1]: Coeficientes Paso [2]: Sumar (o Paso [3]: SustituciónEcuaciones iguales u restar) ambas “hacia atrás” opuestos(multiplica ecuaciones y resuelve por un # conveniente si es necesario) No es necesario pues Al sumar (1) y (2) Sustituyo x = 2 en los coeficientes obtengo: cualquiera de las de yson opuestos 8 x = 16 ecuaciones. En la (2) x = 16/8 5(2) – 3 y = 10 x= 2 Resuelvo: - 3 y = 10 - 10 -3y=0 y =0 La solución del sistema es (x, y) = (2,0)
  7. 7. Ejemplo 2Los coeficientes no se eliminan al sumar o restar por lo tanto nuestro objetivo será utilizar unade las propiedades de equivalencia de ecuaciones para obtener en ambas ecuaciones el mismocoeficiente. Esto es, puedo multiplicar TODA la ecuación (1) por 3 para que los coeficientes dela x sean opuestos.ProcedimientoPaso [1] Para eliminar la variable x multiplica la ecuación (1) por 3. 3[x - 2y = 7] à 3( x) - 3(2y) = 3(7) 3 x - 6 y = 21 (1 nueva)Paso [2] Sumar ambas: 3 x - 6 y = 21 (1 nueva) -3 x + y = 4 (2) _________________ -5 y = 25 y = -5Sustituye el valor de y en cualquiera de las ecuaciones (1) (2) del sistema. Escojo (1) x – 2(-5) = 7 x + 10 = 7 x = -3La solución del sistema es (x, y) = ( -3, -5).ACTIVIDAD 2ANEXO COPIA DE LA GUIA Y DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS

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