1.
B
C
a
b
c
A
Utilizaremos letras
mayúsculas como A, B y C,
para representar a los ángulos
de un triángulo, y letras
minúsculas a, b y c, para
representar los lados opuestos
correspondientes.

2.
A
B
C
c
a
b
A
B
C
c
a
b
Si ABC es un triángulo con lados a, b y c,

3.
B
C
A
c
a
b h
A
B
C
c
a
b
h
Una idea de la demostración:
¿Cómo continuar?

4.
C
A
B
c
a
b
Aplicaciones:
Ejemplo 1
En el triángulo de la figura, C=102.3 grados,
B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los
ángulos y lados restantes.

5.
C
A
B
a
c
b
h
C
A
B
h
a
b
c
Ejemplo 2 (Área de un triángulo oblicuo).
Área = 1/2(base)(altura) = (1/2) c(b Sen A) = (1/2)bc SenA.
De manera similar se obtienen las fórmulas:
Área = (1/2) ab sen C = (1/2) ac sen B.
La idea de la demostración de la ley de los senos
sugiere una fórmula para el área de triángulos
oblicuos

6.
N A
B
C
52
40
8 kms.
D
S
E
O
Ejemplo 3. Una carrera de veleros se inicia en el punto A se debe
llegar al punto B localizado a 52 grados al suroeste. Después se
debe ir hasta el punto C que está a 40 grados al sureste y
finalmente regresar al punto de partida, como se muestra en la
figura. El punto C se encuentra exactamente a 8 kms al sur del
punto A. Calcule la distancia total del recorrido.
Solución: Como las líneas BD y AC son
paralelas, entonces <DBC=<BCA. Entonces
el otro ángulo del triángulo es
B = 180-52-40 = 88 grados.
Por la ley de los senos tenemos que:
a/Sen 52 = b/Sen 88.
Pero b=8, entonces
a = (8/Sen 88)Sen 52 = 6.308 kms.

7.
Forma estándar Forma alternativa
a2 = b2 + c2 –2bc cos A Cos A = (1/2bc) (b2 + c2 – a2)
b2 = a2 + c2 –2ac cos B Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2)
c2 = a2 + b2 –2ab cos C Cos C = (1/2ab) (a2 + b2 – c2)
Observe que si A=90, entonces a es la hipotenusa de un triángulo
rectángulo y de la primera relación se obtiene
que
a2 = b2 + c2
Entonces el Teorema de Pitágoras es un caso particular de la ley
de los cosenos.
En un triángulo de ángulos A, B, C y lados a, b, c, se cumplen
las siguientes relaciones:

8.
Ejemplo 4. Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos
lados son a = 80 mts., b = 19 mts., c=14 mts.
Solución.
B
b=19 mts.
C
c=14 mts.
A
a=8 mts.

9.
Dos nadadores se encuentran a 250 m
uno de otro. Ambos están nadando
hacia el mismo punto, que se halla a
423m del primero y a 360m del
otro.¿Qué ángulo forman las
direcciones de ambos?
Rta/  = 36,8o

10.
Un barco está a 15 km directamente al
sur de un puerto. Si el barco navega al
nordeste 4,8 km, ¿a qué distancia se
encuentra del puerto?
P
B
C
PBC = 450
PC = ?
PB = 15 km
BC = 4,8km

11.
Las distancias que hay entre tres ciudades (A, B y
C) colocadas en los vértices de un triángulo son
AB = 165 km , AC = 72 km y BC = 185 km . La
segunda está al Este de la primera y la tercera está
al Norte de la recta que une a las dos primeras. ¿En
qué dirección estará la tercera vista desde la
primera?

N
S
E
O
NE
NO
SE
SO
A B
C
165 km

12.
Una ciudad está a 15 km al Este de otra. Una
tercera ciudad a 10 km de la primera en dirección
nordeste aproximadamente y a 14 km de la
segunda en dirección noroeste aproximadamente.
Halla la dirección exacta a que se encuentra la
tercera ciudad respecto a cada una de las dos
primeras. N
S
E
O
NE
NO
SE
SO
15 km
C

A B