UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
CARRERA DE PEDAGOG...
TABLA DE CONTENIDO

Resumen i
Abstract ii
Introducción iii

CAPÍTULO I
1.1 Objetivos del estudio l
1.2 Demostraciones Prev...
CAPÍTULO II

2.1 Desarrollo de los Objetivos

2.1.1 Objetivo Específico l

2.1.2 Objetivo Específico 2

2.1.3 Objetivo Espec...
RESUMEN

En este Seminario de Título se construye un espacio vectorial real

tridimensional,  cuyo conjunto adyacente está...
ABSTRACT

In this Seminar Title is constructed a three-dimensional real vector

Space,  which is adjaeent set of all point...
INTRODUCCIÓN

El hombre desde siempre ha intentado representar de manera gráfica
lo que acontece a su alrededor por ser una...
CAPÍTULO I
Capítulo I

Objetivos Generales

Representar sobre la Esfera Polar cuerpos sólidos de R3.

Objetivos Específicos

l) Defini...
Capítulo I

1.2.1 Demostración que < R4,+ > ,  es un Grupo Abeliano

Para poder realizar cualquier demostración posterior,...
Capítulo I

ii) Asoeiatividad

V u, v y we R4.

Por demostrar:  u + (v+ w):  (u + v)+ w. 

u+(V+W)= (u1,u2,u3,u4)+((vpvz, ...
Capítulo I

iv) Existencia de inverso aditivo único

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Capítulo I

1.2.2 Construcción de R4 como R - espacio vectorial

Ahora demostraremos que R4 es un R — espacio vectorial,  ...
Capítulo I

A continuación probaremos cada una de las afirmaciones anteriores: 

i) a-(u+v)= a-u+a-v , VaeRy Vu, veR4
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Capítulo I

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Capítulo I

1.2.3 Construcción de Norma sobre R4y distancia euclidiana en R4

Definición:  Sea E un espacio vectorial sobre...
Capítulo I

Ahora probaremos que R4 admite un producto interno euclidiano. 

Esta condición es necesaria para ser utilizad...
Capítulo I

ii) VxeR4<x, x>= Oc: >x=0

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Capítulo I

iii) VogfleR,  Vx, y,zeR4, <ax+fly, z> = a<x, z>+fl<y, z>

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Capítulo I

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Capítulo I

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Capítulo I

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Capitulo I

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CAPÍTULO II
Capítulo Il

> Objetivo Específico l:  Definir esfera polar. 

C1 Definición de norma euclidiana en R“. 

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Capítulo II

Ahora definiremos una relación f de la manera de siguiente: 

f: R3—>S, ,

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V
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Capitulo II

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Por lo que u ¡,  uz,  u,  y u4 están definidos. 

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Capítulo H

Si u,  :1, entonces  +1 =  M3 —1=> 1= -1 contradicción. 
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Capítulo II

> Objetivo Específico 2: Determinar una función biyectiva entre el

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Capítulo II

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Capítulo II

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Capítulo II

> Objetivo Esgecíflco 3: Construir un R- espacio vectorial

tridimensional cuyo conjunto adyacente sea Sp. 

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Capítulo H

i) Ley de Cierre. 

V újeSp,  3 WeSp talque üG313=úA

EÏQÏQZ Sean u, ve R3, u= (u¡, u2,u3) ,  v= (v¡, v2,v3). ...
Capítulo II

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“(u+v)+ w112 +1 (u+v)+w”2 +1 (u+v)+w“2 +1 | ...
Capítulo H

21u+u+ruu1r =  2111
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Capítulo H

iv) Existencia de inverso aditivo único. 

VüeSwEWeSp talque ü®Ü= ü*. 

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Capítulo II

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Capítulo II

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«so:  Rxsp-a sp

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Capítulo II

La operación externa ® debe verificar 1o siguiente: 

i) l®(ü®ü)= zï®ü®zï®ü
ii) (a+fl)®ü= a®ü®fi®ú
iii) (a'fl)®ü=...
Capítulo II

ii) (a+fl)®ü= a®ü€l9fl®ü,  v a, fie Ry v üesp. 

: >(a+, B)®ü= 

= (a+fl)®f(u)= 

=  ¡((0a + 13)- u)= 

= f(a. u+...
Capítulo H

iv) 1® ü =  ú ,  1 neutro multiplicativo en IR y V ú e Sp. 

: > 1®ü= 

 Queda demostrado

Por lo que queda de...
Capítulo 11

> Objetivo Específico 4: Definir alguna transformación lineal,  T,  que sea

un isomorfismo entre R3 y SP. 

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Capítulo II

Por lo tanto T es transformación lineal.  Falta probar que T es una

biyección,  es decir: 

i) ker(T) =  {O}...
Capítulo II

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CONCLUSIÓN

Como consecuencia del trabajo realizado en los capítulos anteriores

logramos obtener la transformación T con ...
(2) Triángulos sobre S P. 

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(3) Pirámide sobre SP

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  1. 1. UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA CARRERA DE PEDAGOGÍA EN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN REPRESENTACIÓN DE CUERPOS SÓLIDOS DE R3 EN LA ESFERA POLAR Sp. Seminario de Título para optar al Título de Profesor de Matemática y Computación Mauricio Flores Henríquez Profesor Guía: Dr. Eduardo Montenegro Valenzuela Valparaíso, Chile 2008
  2. 2. TABLA DE CONTENIDO Resumen i Abstract ii Introducción iii CAPÍTULO I 1.1 Objetivos del estudio l 1.2 Demostraciones Previas 2 1.2.1 Demostración que < R4,+ > , es un grupo Abeliano 2 1.2.2 Construcción de R‘ como R - espacio vectorial 5 1.2.3 Construcción de Norma sobre R4 y distancia euclidiana en R4 8
  3. 3. CAPÍTULO II 2.1 Desarrollo de los Objetivos 2.1.1 Objetivo Específico l 2.1.2 Objetivo Específico 2 2.1.3 Objetivo Específico 3 2. l .4 Objetivo Específico 4 Conclusión 20 33 36
  4. 4. RESUMEN En este Seminario de Título se construye un espacio vectorial real tridimensional, cuyo conjunto adyacente está constituido por todos los puntos unitarios de R4 salvo el punto P= (0,0,0,1). Dicho conjunto adyacente será llamado Esfera Polar y anotado SP. ES de observar que S P es acotado por 87: en R4 por lo cual todo conjunto contenido en él es acotado también. Esta última condición es excelente desde el punto de vista de la medición. También se construye un isomorfismo T de R3 en SP. Finalmente se defme la representación de un objeto de R3 sobre SP tales como trazos, triángulos, pirámides, etc.
  5. 5. ABSTRACT In this Seminar Title is constructed a three-dimensional real vector Space, which is adjaeent set of all points unit of R4 except point P = (0, 0, 0,1). The package will be called the Polar Sphere and denoted S P . It should be noted that SP is bounded by 87: in R4 a situation for which there is limited content as well. This last condition is excellent from the point of view of the measurement. It also is built a isomorphism T of R3 in SP. Finally defines the representatíon of an object of R3 on S P , using the isomorphism T and some objects are represented of R3 on SP, such as segment, triangles, pyramids, and so on.
  6. 6. INTRODUCCIÓN El hombre desde siempre ha intentado representar de manera gráfica lo que acontece a su alrededor por ser una manera más sencilla y resumida de entender y comprender lo que Sucede. Para la representación gráfica de distintos acontecimientos, existen diversas formas de trabajar la información, pero todas ellas requieren de la matemática como pilar fundamental para la validación y justificación de dichos supuestos. En este afán de utilizar la geometría como herramienta para facilitar la descripción de sucesos no tratados, desconocidos, o de dificil expresión, nace la inquietud de representar cuerpos sólidos en R3 que son dificiles de ocupar por ser infinitos, llevándolos a un espacio en el cual los cálculos sean mucho más acotados numéricamente hablando, lo cual permitiría trabajar bajo otra concepción, la que llamaremos Esfera Polar (Sp). iii
  7. 7. CAPÍTULO I
  8. 8. Capítulo I Objetivos Generales Representar sobre la Esfera Polar cuerpos sólidos de R3. Objetivos Específicos l) Definir la Esfera Polar SP sobre R4. 2) Determinar una función biyectiva entre el Espacio Real R3 y la Esfera Polar SP, 3) Construir un R- espacio vectorial Tridirnensional cuyo conjunto adyacente sea SP. 4) Defmir alguna transformación lineal, T, que sea un isomorfismo entre R3y SP.
  9. 9. Capítulo I 1.2.1 Demostración que < R4,+ > , es un Grupo Abeliano Para poder realizar cualquier demostración posterior, necesitamos como primer paso demostrar que <R4,+> es un Grupo Abeliano, para lo cual debemos demostrar las siguientes condiciones: Por demostrar: I Ley de Cierre. I Asociatividad. I Existencia de elemento neutro. I Existencia inverso aditivo único. I Conmutatividad. i) Ley de Cierre V u, veR4, El weR4 talque u+v= w. Por demostrar: u+v= w u= (u¡, u2,u3,u4) y V'—‘(VI, V2,V3,V4) u+v= (u¡, u2,u3,u4)+(v¡, v2,v3,v4) = (u¡+v¡, u2+v2,u3+v3,u4+v4) = (w¡, w2,w3,w4) u, +12, = wl e R, por cerradura de R. U+V= W weR4 . . <R4,+> es cerrado.
  10. 10. Capítulo I ii) Asoeiatividad V u, v y we R4. Por demostrar: u + (v+ w): (u + v)+ w. u+(V+W)= (u1,u2,u3,u4)+((vpvz, vaav4)+(wr, WEWEWJ) = (u¡, u2,u3,u4)+(v¡ +w¡, v2+w2,v3 +w3,v4+w4) = (u, +(v, +w1), u2 +(v2 +w2), u3 +(v3 +w3), u4 +(v, , +w4)) = «u, +v¡)+w1,(u2 +v2)+ w2,(u3 +v3)+ w3,(u4 +v4)+w4) = (u, +v¡, u2 +v2,u3 +v3,u4 +v4)+(w¡, w2,w3,w4) = (u+v)+w < R4,+ > es asociativo. iii) Existencia de elemento neutro Vue R4, 3u*e R4 tal que u+u*= u. u+u* = u (”1>”2a”3>”4)+(“1*>u2*>u3*>“4 33): (ulsu2au3iu4) * * * * . _ (u, +ul , u2+u2 , u3+u3 , u4+u4 )-—(u¡, u2,u3,u4) 2 u1+u, *=u, u, +u, *=u, u3+u3*= u3 u4+u4*= u4 = > u¡*= u¡—u, u2*= u2—u2 u3*= u,—u3 u4*= u4—u4 3k. .. *_ _ _ : > u] —0 uz ——0 u3*—O u4*——0 = > u* = (o, o,o, o) El neutro aditivo en R4 existe y es u* = (0,0,0,0).
  11. 11. Capítulo I iv) Existencia de inverso aditivo único VueR4,3lveR4 tal que u+v= u*. (”1>u2a”3=”4)+(V1=V2>V3>V4)= (0202020) (ul +v¡, u2 +v2,u3 +v3,u4 +v4)= (0,0,0,0) : > u, +v¡=0 u2+v2=O u3+v3=0 u4+v4=O : > v1 = —ul v2 = ——u2 v3 = ——u3 v4 = —u4 :3 v = (" ul F142 Tus F144) - - Existe elemento inverso en R4 es v = —u , —u , —u , —u . l 2 3 4 iv) Conmutatividad V u, v eR4, por demostrar u+v= v+u u+v = (u¡, u2,u3,u4)+(v¡, v2,v3,v4) = (u, +v, ,u, +v2,u3 +v3,u4 +v4)= = (v1 +u¡, v2 +u2,v3 +u3,v4 +114): = (v¡, v2,v3,v4)+(u¡, u2,u3,u4)= = v+u . . < R4,+ > es conrnutativo. . . por i), ii), iii), iv) y V) se tiene que < R4,+ > es un Grupo Abeliano. De esta manera queda demostrado que < R4,+ > es un Grupo Abeliano.
  12. 12. Capítulo I 1.2.2 Construcción de R4 como R - espacio vectorial Ahora demostraremos que R4 es un R — espacio vectorial, para lo cual necesitamos que <R4,+> sea un Grupo Abeliano, afirmación que fue probada anteriormente en el punto 1.2.1. Defmiremos el producto escalar 0 Z R x R4 —> R4 (a, (x, y,z, w))I—-> a-(x, y,z, w)= (a»x, a-y, a-z, a-w) Para determinar que R4 es un R - espacio vectorial, se debemos probar que se cumplan algunas condiciones, ya que de no cumplirse R4 no sería un R — espacio vectorial. Debemos probar que: i) a-(u+v)= a-u+a-v ii) (a+fi)-u= a-u+, B-u iii) (a-fl)-u= a-(fl-u) ÍV) l-u= u VmfleRy Vu, veR4
  13. 13. Capítulo I A continuación probaremos cada una de las afirmaciones anteriores: i) a-(u+v)= a-u+a-v , VaeRy Vu, veR4 : >a-(u+v)= = a-[(u1,u, ,u3,u4)+(v, ,v2,v3,v4)]= =a[(u¡+v¡, u2+v2,u3+v3,u4+v4)]= = [a-(u¡ +v¡), a-(u2+v2), oz-(u3+v3), a«(u4+v4)]= =[a-u, +a-v1,a-u2 +0¿-v2,a-u3 +a-v3,a-u4 +a-v4]= =Ka-uha-uba443,0:-u4)+(a-v, ,a-v2,a-v3,a-v4)]= =a-(u1,u2,u3,u4)+a-(v¡, v2,v3,v4)= = a - u + a: - v Queda demostrado ii) (a+,6). u=a. u+p-u , Va, fleRy VueR4 : :>(a+, B)-u = = (0:+, B)-(u¡, u2,u3,u4)= =((“+fi)'un(a+fl)'"2a(0¿+fl)'us>(0t+fl)‘"4)= = (a-u, +/3-u, ,a-u, +, B-u2,a-u3 +fi-u3,a-u4 +5414): =(a-una-u2,a-u3,a-u4)+(fl'ul, fi-u¡, fi-u3,fi-u4)= = a'(”I>u2=”3»u4)+fl'(”1="2=”3=u4)= = a-u+fl-u Queda demostrado
  14. 14. Capítulo I iií)(a-, B)-u= a-(fl-u) , Va, ,üeRyVueR4 j(a. fl)nuz = (a-fl)-(u¡, u2,u3,u4)= =(a. '3.uha. ’3.u2,a. p.u3,a. fi.u4)= =(a-(flve)»: -(fl-uz), a-(fl-u3), a-(fl-u4))= =ü-(fi°u1,fl-u2,fl‘u3,fl'u4)= = a-[, B-(u¡, u2,u3,u4)]= = a.(fl. u) Queda demostrado iv) l-u = u ,1 neutro multiplicativo en R y V u e R4 : >l-u= = l-(u¡, u2,u3,u4)= = (l-u1,1«u2,l-u3,l-u4)= = (u¡, u2,u3,u4)= = u Queda demostrado '. por i), ii), iii) y iv) R4 es un R - espacio vectorial.
  15. 15. Capítulo I 1.2.3 Construcción de Norma sobre R4y distancia euclidiana en R4 Definición: Sea E un espacio vectorial sobre R. Se dice que (E, ) es un espacio nonnado si y solo si, E—> R es una función que satisface las tres propiedades siguientes: i) Vxe E, x[| =O©x= O ii) Vx e E, lxflïaeRllaxlklal-llxll iii) Vx, ye E, l x+yllíllxli+llyll Definición: Sean E un espacio vectorial sobre R y <, >:E-E—>R una función. Se dice que <, > es un producto intemo euclidiano sobre E, si y solo si, se satisface las cuatro condiciones siguientes: i) VxeE, <x, x> 20 ii) VxeE, (<x, x>= O<: >x=0) iii) VagfleR, Vx, yeE, <a‘x+/3y, z>+, B<y, z> iv) Vx, ye E, <x, y>= < y, x>
  16. 16. Capítulo I Ahora probaremos que R4 admite un producto interno euclidiano. Esta condición es necesaria para ser utilizada a continuación para demostrar que R4 posee una Norma Euclidiana, demostración que aparecerá posterior a ésta. Demostración: Defmimos <, >: R4 xR4 —->R como sigue: Sea x= (x1>x2>-Ï3>x4)a y= (y17y2>y3:y4)7 z= (z1sz2>Z3sZ4)€R4 < X, y >= xly¡ + Xzyz + X3y3 + x4y4 Por demostrar: i) VxeR4,<x, x> 20 <x, x>= < (x¡, x2,x3,x4), (x, ,x2,x3,x4)> = x¡-x¡+x2-x¡+x3-x3+x4-x4 = xl3 +xg +x33+xf , como VxeR, x3 20 3x¡3+x23+x33+xÏ 20 Queda demostrado
  17. 17. Capítulo I ii) VxeR4<x, x>= Oc: >x=0 a) <x, x>=0:: >x=0 <x, x>=0 = <(x1,x2,x3,x4), (x¡, x2,x3,x4)> = x¡-x¡+x2-x2+x3-x3+x4-x4 = xl3+xz3+xa3+xf= O , como VxeR, x320 : :>x¡3=0; x23=0; x33=O; xf=0 = >x¡= =0; x2=0; x3=O; x4=O :3(x¡, x2,x3,x4)= (0,O,0,0): >x:0 b) x= O:><x, x>= O x=0 x= (x1,x2,x3,x4)= (O, O,0,O) 34:0; x2=0; x320; x4=0 : >x¡3+x23+x33+xÏ=0 = x¡-x1+x2-x2+x3-x3+x4-x4:0 = <(x¡, x2,x3,x4), (x1,x2,x3,x4)>:0 = <x, x> =0 Queda demostrado 10
  18. 18. Capítulo I iii) VogfleR, Vx, y,zeR4, <ax+fly, z> = a<x, z>+fl<y, z> < ax+fiy, z > = <a(x¡, x2,x3,x4)+fi(y¡, y2,y3,y4), (z¡, z2,z3,z4)> = < (ax1,ax2,a: x3,ax4)+(, By¡, fly2,fly3,fiy4), (z¡, z2,23,24) > = (o: x¡ +fly¡)-z¡ +(0:x2 +fly2)-z2 +(ax3 +fly3)-z3 +(ax4 +fly4)-z4 = (ax¡ -z¡ +fiy, -z¡ +ax2 -z2 +fly2 -z, +ax3 -z3 +fiy3 -z3 «Pax, «z, +fiy4 -z4) = o:(3g -z¡ +x2«z2 +x3 -z3 +x4-z4)+fl(y1-z¡ +y2-z2 +y3-z3 +y4 -z4) = a[< (x1ax2>x3>x4)r(Z1=2222924)>]+fl[< (yl’y2>y3=y4)’(Zl>z2’Z3>Z4) >] = a<x, y>+fl<y, x> Queda demostrado ÍV) Vx, yeR4, <x, y> = <y, x> < x, y> = < (xpxpxs, x4), (y1,y2,y3,y4)> = x1'yi+x2'y2+x3 'y3+x4 ‘yA = y, -x¡ + y, -x¿, _ + y3 -x3 + y, -x4 , por conmutatividad de R . = < (ypyzay3>y4)>(x1ax2ax3ax4) > = <y, x> Queda demostrado 11
  19. 19. Capítulo I Por i), ii), iii) y iv) queda demostrado que <, > es un producto intemo euclidiano sobre R4. Definición de Norma Euclidiana: Sea x e R4, se defme la norma de x como: = ,/ < x, x > Para demostrar que es norma se deben satisfacer las tres propiedades antes mencionadas que son: 1') VxeE, x ¡= o<: >x= o ÍÍ) Vx e E, xaVaeRllaxlhlaHlxll iii) Vx, y e E, ¡xwllíllxllfllrll Por Demostrar que es norma: i) VxeR4, HxH= O <: > x= O a) ]| xH=0:>x=0 “x”: <x, x> = O = ,/ < (x1,x2,x3,x4), (x¡, x2,x3,x4)> = O = ,/x¡3 +x23 +x33 +xÏ =0 12
  20. 20. Capítulo I 3 xl3+xj+x33+xf= O 3 x¡3=O; x23=0; xÏ= O' xÏ= O 3 x1=0; x2=0; x3=O; x4=0 = > (x, ,x, ,x, ,x, )=(o, o,o, o) 3 x= O Queda demostrado. b) x= O3HxH= O x = 0 3 (x¡, x2,x3,x4) = (0,0,0,0) 3 x¡=0; x2=0; x3=0; x4=0 h) 3 x13=O; xj= O;x33=0; x4=O 3 xl3+xz3+xj+xf =0 3,jx¡3+xz3+x33+xf =0 :3V<(xpxzsxsax4)= (x¡>x2>x3>x4)> :0 3|jx| |= <x, x>=0 Queda demostrado. por a) y b) queda demostrado i). 13
  21. 21. Capítulo I ii) VxeR4, V/ leR, ll/ ï-xlIa/ ¿Ïï/ RÏ = J< ¿(xpx2,x3,x4), ¿(x¡, x,, x3,x4) > = ,/<(xx, ,xx, ,xx, ,xx, ),(xx, ,xx, ,xx, ,xx, )> = x13 +353 +x33 +xf = jÁI-J<x, x> = lrïl-llxll Queda demostrado. iii) Vx, y e R4 , x+yll íllxll+llyll | Ix+y"= ,}<x+y, x+y> <: > Hx+ y| |3 = < x+ y, x+ y > , Por propiedad iii) y iv) del producto interno euclidiano. = <x, x+y>+<y, x+y> = <x, x>+<x, y>+<y, x>+<y, y> = <x, x>+2<x, y>+<y, y> 14
  22. 22. Capitulo I = || xH3 + 2 < x, y > +1] y| l3 , por desigualdad de Cauchy — Shwarz sllxlï+2llxlillyll+llyll4 í(llxll+llyll)3 M llx+yllíllxll+llyll Queda demostrado. Con esta demostración comprobamos que R4 posee una Norma Euclidiana. 15
  23. 23. CAPÍTULO II
  24. 24. Capítulo Il > Objetivo Específico l: Definir esfera polar. C1 Definición de norma euclidiana en R“. Sea a un vector de R", a= {a, ,.. .,a, } Llamaremos módulo euclidiano, norma euclidiana o simplemente longitud euclidiana del vector a al valor numérico determinado por el número real no negativo| |a| | = ,/ a,3 + + a, ’ Este módulo satisface las propiedades siguientes: i) j| a[| =0,siysólosi a=0. ii) | |a| [>0, siysólo si meo. iii) = |7t| , si 2, e R. ÍV) "a + b" S "a" HI1)", Si a, b e R“. Una esfera S centrada en el origen y de radio l de R4 es un conjunto de la forma {xe R4 / || x|| =1}. Si P= (0,0,0,1)eR4, entonces la esfera polar, anotada por S , se define por S—{P}. Es decir, P Sp = {xeS/ x:P}= {xeR4/]| x|| =l/ x= tP}. M: Si w= (w, ,w, ,w, ,w4)eS, ,, entonces w, #1. Enefecto: weSp 3watP/ x w,3+wfi+w33+wf = l. Si w, =1=>w,3+wg+w,3 =0 : > w, = w, = w, = 0 2 w = P , lo que es una contradicción. 16
  25. 25. Capítulo II Ahora definiremos una relación f de la manera de siguiente: f: R3—>S, , llvll4+fl l4+1’1v¡l4+1’llvll4+1 V v= <x, y,z)H¡<x, y,z)= [ 2* 24 22 "”"3“‘] ‘to Lema 1: La relación f es función. A continuación se demostrara que f es una función, ya que es nuestro primer requisito para poder seguir adelante con los objetivos propuestos en este trabajo, por lo cual procederemos a la demostración. Demostración: i) Existencia: Para cada v= (x, y,z)eR3 existe un u= (u, ,u, ,u3,u4) tal que f(v)= (ulau2au3su4)' f: R3—)S, , i, 2y __2;__ | |V| |3*1 | |Vl|3+1l| V||3+13l |3+13| |3+1 V = (x, y,z)+-> f(x, y,z)= [ V V = 2x u = 2y IIVÍI3+1 3 IW“ ul 17
  26. 26. Capitulo II 22 Ilvll3 -1 2 344 33 ¡vu +1 u = _ 3 I llvll3 +1 Por lo que u ¡, uz, u, y u4 están definidos. Ahora, se debe cumplir que: || u|| = 1 / u se P , o sea, que u e S, = ,/ u,3 +uf +u33 +uÏ __ 2x 3 2y 3 22 3 x3 +y3+z3—-l 3 ’ x2+ 2 2 3' 2 2 2 4' 2 2 2 '43 2 2 2 y+z+1 x+y+z+1 x+y+z+1 x+y+z+1 4x3 + 4y3 + 422 + (x3 + y3 +22 —1)2 (x3 +y3 +z3 +l)3 (x3 +y3 +z3 +l)3 (x3 +y3 +z3 +l)3 (x3 +y3 +z3 +l)3 _ 4x3 +4y3+4z3 +(x3 +y3 +z3 —1)3 (x3 +y3 +z3 +l)3 _ J4x3 +4y3 +423 +x4 +y4 +z4 —2x3 —2y3 —2z3 +2x3y3 +2x3z3 +2y3z3 +1 (x3 +y3 +z3 +l)3 _ x4+y4+z4+2x3+2y3+2z3+2x3y3+2x3z3+2y3z3+l (x3+y3+z3+l)3 j(x3+y3+z3+l)3 _ = (x2+y2+z2+, )2 zljliuil-l 18
  27. 27. Capítulo H Si u, :1, entonces +1 = M3 —1=> 1= -1 contradicción. '. u, sél3uiP. Por lo que queda comprobado la existencia de los elementos de S, y que el punto P = (0,0,0,1)no pertenece a SP. ii) Unieidad: f= {(v, w)e R3 xSp/ v=(x, y,z)/ w= [ 333 3333 23 4433443_3]} llvll3+fllvll4+fl tu’ ¡’+1 V V : (v, w1)4(v, w2)e f = > w1= wz Si v = (x, y, z) entonces wl= í 2x 2y 22 HVWTÏ] M3 +13 vl3 +I3M3 +l3 v|3+l 2 W2=[ 2x 2y 22 llvlllz-l] uv¡¡3+1’| v[3+1’v¿3+1’| v +1 3w, =w, por i) e ii) f es función. Con esta se demostración podemos afirmar que f es una función, condición necesaria para poder seguir con nuestro trabajo. 19
  28. 28. Capítulo II > Objetivo Específico 2: Determinar una función biyectiva entre el Espacio Real R3 y la Esfera Polar S, 12° Lema 2: La función f es biyectiva. Demostración: i) f es Inyectiva. Va, beR3,a= a,a, a b= b,b, b . 1 2 3 y 12 3 Si f (a): =[ 2b1 2372 2b3 11b113 _4] 2571 202 2da 1133113 _4 a 1111’+1’111112+1’ 11121611 1+1 2a, ___ 2b, A 2a, a +1 b +1 a +1 1| 113 11113 11 113 1112-1 1114-1 1161113 +1 3 1111113 +1 1112-1 1114-1 1161113 +1 3 1111113 +1 f (b), entonces: 1|b113+13 13+13 b1|3+13 | b |3+1 ¡b 2b, 2a, 2b 111m 4 11111111‘ 3 41111211 4 11611131111113 +1161113 -111>113 -1=1I611131111113 - 1161113 +1113 -1 21161113 = 21111113 1161113 =111>113 20
  29. 29. Capítulo II = > Hallz +1=lIbH2 +1 2 H ¡f1 ¡”bíjïl = > Como ¡¡a¡¡2+1=¡¡b¡¡2+1 = > a + + 2a1=2b, = >EEÏJ / b [laífílílbízíl . —.> Como ua¡]’+1=¡¡b| ¡’+1 = > 2a2=2b2 = E / 21; “aífífllbuzíl = > Como | [a}{’+1=ub][2+1 : > 2a3=2b3 = E Luego como: a¡= b¡, a2=b2, a3=b3 : > a= b Por lo tanto f es Inyectiva. ii) f es Epiyectiva. . Z1 u S1u= (u1,u2,u3,u4)eSp, entoncesu4:1, ‘ ; 2 ; u3 eIR 1—u4 1-—u4 1—u4 = >El v= [ u‘ uz , u3 ïeRfltalque f(v)= u. 1—u4 ’1——u4 1-u4 21
  30. 30. Capítulo II 2x 2y 22 = = ——————-= nvum "‘ “ uvnzn "2 “ uvum ” De (4) :3 “vllz -1= u4flvuz + u4 ¡w — zanvrlz = m. +1 (1—u4)| v]|2 =1+u4 1 nvutlij: (m4.) v2+1=l+ú4+1= 2 u u 1—u4 1——u4 1 =1—u4 2 =1_ lIv| I’+1 2 3’ IIvII2+1 ”‘ "1 . "2 . "3 x: ’ y: , Z: 1—u4 1—u4 1—u4 Por lo tanto f es Epíyectiva. por i) y ii) la función es Biyectiva. 3 (3); ¡Mr -1 = uvnr +1 u4 (4) 22
  31. 31. Capítulo II > Objetivo Esgecíflco 3: Construir un R- espacio vectorial tridimensional cuyo conjunto adyacente sea Sp. 03° Lema 3: S p admite una estructura de Grupo Abeliano con la operación 69 definida por: v ü= f(u),17=f(v)eSp, 126917:f(u)€Bf(v)= f(u¡, u2,u3)®f(v1,v2,v3) ___[2(”1+V1)’ 2(”2+V2)’ 2043 +"3) gllu+vii2 "IJ | |u+v| j2+1 | u+v| |2+1 | |u+v| ]2+1 Hu+vH2+1 Por demostrar: K Ley de Cierre. L‘? Asociatividad. W Existencia de elemento neutro. F Existencia inverso aditivo único. P Conmutatividad. 23
  32. 32. Capítulo H i) Ley de Cierre. V újeSp, 3 WeSp talque üG313=úA EÏQÏQZ Sean u, ve R3, u= (u¡, u2,u3) , v= (v¡, v2,v3). Luego ü@‘; =f(u)®f(v)= [ 2(u1+v1) 2(u2+v2) 2<u3+v3> uuwzf-l) flu+vflz +l, “u+v”2 +1’ u+vII2 +1’ u-i-vuz +1 Sea w= (w1,w2,w3,w4)ell{4 tal que _ 2(u¡+v¡) w __ 2(u2+v2) _ 2(u3+v3) _”u+v| ]2—1 “¡yuwflur "¡¡u+vu2+1’ 3_”u+vH2+1, 4_“u+v”2+1 Ahora tiene que demostrar : = W; + wj + w} + wÏ =1 _ w = 4 _ HH+VHZ+Í la operación EB es cerrada. ii) Asociatividad. V 12,6 y weSp, por demostrar: üe9(6®fv)= (úe>ü)®w. = [2(”1 +(V1 +W1 2(”2 +(V2 + wz» 2(”3 +("3 +W3)) iiu+(v+ "¡m2 _l] ][u+(v+w)[2 +1, u+(v+w)lz +1 , u+(v+w)|2 +l’lu+(v+wjlz+l = [2ul+2vl+2w¡ 2u2+2v2+2w2 2u3+2v3+2w3 1|(u+v)+wll2-1 I | (u+v)+w"2 +1’ (u+v)+w| |2 +1’“(u+v)+ wnz +1’ (u +v)+ wflz +1 u+v2—1 Jl H #51 24
  33. 33. Capítulo II = [2(u¡ +v¡)+2w¡ ,2(u2 +v2)+2w2 ,2(u3 +v3)+2w3 , HU+(V+W}IZ *-1J “(u+v)+ w112 +1 (u+v)+w”2 +1 (u+v)+w“2 +1 | (u +v)+ w112 +1 _(2«u1+v1)+ WI) 2((”2 +V2)+w2) 2«”3 +V3)+W3) “(u+v)+ w112 _1] _ “(u+v)+w”2 +1’ | (u+v)+wH2 +1 ’ (u+v)+w“2 +1’| (u+v)+w”2 +1 = (üEB13)€B132 Queda demostrado. iii) Existencia de elemento neutro. VüeSp,3ú*eSp tal que ü®ü*= ü. Í 2(u¡ + 21;) 2(u2 + 11;) 2(u3 + ug) Hu + u “112 -1] _ { Zul 2u2 2143 “V112 *‘ l) ¡¡u+u*n2+1’¡u+u= r¡¡2+1’u+u»= ¡¡2+1’u+u*¡¡2+1 ’ ¡¡u¡¡2+1’¡ ¡ur gm’ ¡m u ll u 2(u¡ +z4; _ Zu! A 2(u2 +u; ) __ 2u2 uu+u*1¡”+f¡1u>r+1 nu+u*1¡2+1'¡zuu2+1 2(u3 + u; ) _ 2u3 Hu+u*1l’+1 nur“ A 1u+u= =1r-1_r¡u1r-1 Hu + u *H2 +1 [M2 +1 uu +u fllïlull“ +uu+u r +2412 —1 =1u +u wrnunz —nu + ur +1412 —1 25
  34. 34. Capítulo H 21u+u+ruu1r = 2111 1u+u*11’11u1=¡1u¡1’ = » 1u+u*ll2|1u1’+1=1lu12+1 2(u¡ + u: ) Zul _ 2 *= ¡¡u+u*12+1 nunm 3 (“N”) 2”‘ ux+uí= ux = > É ————-——2(u2 + ug) = 2112 : > 2(u2 + ug): 2u2 1|u+u*112 +1 11ul12+1 u¿+u; =u¡ : > [E ——————-2(u3 = 2u3 : > 2(u3 +u; )= 2u3 11u+u*|12+1 11u112+1 u3+u; =u3 = :> Ahora, como uf =0,u; =0 y u; =0 : > u*= (0,0,0) : >1|u*|1=0 = > ü* = (0,o, o,—1) El elemento neutro existe y es: ü* = (0,0,0,—1) 26
  35. 35. Capítulo H iv) Existencia de inverso aditivo único. VüeSwEWeSp talque ü®Ü= ü*. 2(u1 + v1) 2(u2 + V2) 2(u3 + V3) 11” + V112 "1 ——————, , , = 0,0,0,—1 1|1u+v1|2 +1 1u+v1|2 +1 1u+v112+1 1u+v1|2+1 ( ) = > 2(u¡+v¡)= O 2u¡= —2v¡ = > a (1) = > 2(u2+v2)=0 2a, =—2v2 3 (2) 3 2(u3+v3)=0 2u3=—2v3 3 (3) 2 =4 3 11u+v112—1=—| |u+v1|2—1 1]u+v1| +1 z, » 211u+v1|2 :0 3 "M1112 = o De (l), (2) y (3) se obtiene que: v = (— u¡, —u2,—u3 Como v = (— u¡, —u2,—u3) 3 "vnz = (- u¡)2 +(— u2)2 +(— u3)2 = uf +uj + u; = 27
  36. 36. Capítulo II 3 ¿___ _2ul “zuz ‘zus 111412-1 121124’ 1m’ 12+r11u112+1 1L! u El inverso aditivo existe. v) Conmutatividad. V ügïeSwpordemostrar ú®f2=6®ü. n®9=[2(u1+"1) 2(”2+V2) 2(”3+V3) 11u+v112_1] 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 |1u+v|1 +1 u+v|1 +1 1u+v1| +1 u+v11 +1 2("1+”1) 20213742) 2(V3+u3) 11v+u112_1 2 = 2 > 2 v+u1[ +1 | |v+u11 +1 | |v+u|1 +1 =13+ü '. por i), ii), iii), iv) y V) se tiene que Sp es un grupo abeliano con la operación 6B definida V 12,0 e Sp como: 139‘; = f(u)®f(v)= f(“1=“2>"3)e fbmvpvs) ___ 2(”1+V1) 2(”2+V2) 2(”3+V3) 11”+v112"1 llu+v1|z+lg u+v112+1,11u+v"2+1’ u+v112+1 28
  37. 37. Capítulo II 02° Lema 4: La operación ®z R xSp e S, definida por: «so: Rxsp-a sp (Á, f(v))r—>¡. ®f(v)= fm) es externa sobre SP, por lo que SP es un R- espacio vectorial con esta operación. Demostración: VGESP, EI/ lelk, 3üeSP: /1®ü= ü. En efecto: 0eSP: >3veIR3 v= ¡(v) = f(v1,v2,v3) = f(¿-u, ,¿-u, ,/1-u3) , como v¡e]Ry 151K, :2 u, eR. =f(2n(u, ,u2,u3)) = Á®f(u¡, u2,u3) = Á®f(u) = Á®ü Queda demostrado que ® es ley de composición externa. 29
  38. 38. Capítulo II La operación externa ® debe verificar 1o siguiente: i) l®(ü®ü)= zï®ü®zï®ü ii) (a+fl)®ü= a®ü®fi®ú iii) (a'fl)®ü= a®(fl®ü) iv) 1®ü ü ( 1 neutro multiplicativo en IR) Vault/ ie IR y VújeSp Probaremos cada una de las afirmaciones anteriores: Si ,1 e R y V 22,9 e Sp, entonces existe u, v e R3 tales que ú = f (u) / 0: ¡’(12). Luego: i) ,1®(ü636)= /1®ü®¿®f2, V/ ïe JR y VüfieSp. : > Á ®(ü 6B 13) = = /1®(f(u)€9 f(v)) = = z1®(f(u+v))= = ¡(a-(uw) = =f(Á-u+Á-v)= = /(2-u)®/ (¿-v)= =Á®f(u)®Á®f(v)= =¿®üe¿®ü= =a®üezso Queda demostrado 30
  39. 39. Capítulo II ii) (a+fl)®ü= a®ü€l9fl®ü, v a, fie Ry v üesp. : >(a+, B)®ü= = (a+fl)®f(u)= = ¡((0a + 13)- u)= = f(a. u+, g.u)= = /(a-u)e> f(fl'u)= = ae ¡(nde fl ®/ (u)= =a®úep®ü Queda demostrado iii) (a. p)®ü= a®(p®ü), VagfleRy VüeSp. : >(oz-¡B)®ü= = (a-fl)®f(ü)= = f((a-fl)-u)= = /(a-/3-u)= = .r(a-(fl»u))= = a®f(fl-u)= = a®(fl®f(u))= =a®(fi®ü) Queda demostrado
  40. 40. Capítulo H iv) 1® ü = ú , 1 neutro multiplicativo en IR y V ú e Sp. : > 1®ü= Queda demostrado Por lo que queda demostrado que SP es un R - espacio vectorial con la operación externa ® definida como: (9: RxSP —>S, , (,1, f(v)) F—> ,1®f(v)= f(u) 32
  41. 41. Capítulo 11 > Objetivo Específico 4: Definir alguna transformación lineal, T, que sea un isomorfismo entre R3 y SP. A continuación definiremos una transformación lineal de R3 a Sp. Para cada u = (x, y,z)e R3 se define T(u)= f (u). Luego se tiene: i) Si a e R, ue R3, entonces T(au)= a®T(u) En efecto: Por Lema 4, se tiene: f(au)= a®f(u) :3 a®T(u) ii) Dado (uy) e R3 T(u+v)= f(u+v) Por Lema 3, se tiene: HU+VHZ +1, u+vH2 +1, u+v“2 +1,Hu+v”2 +1 f(u+v)= [_2iïl_tïn. )_ ¿(‘Lïzl ¿(‘Lil “LÏÏHZQÁ = ¡(un m) = > T(u)e9T(v) 33
  42. 42. Capítulo II Por lo tanto T es transformación lineal. Falta probar que T es una biyección, es decir: i) ker(T) = {O} T: R3—->Sp ker(T)= {xe R3 / T(x)= ü*} Como +121 para todo u e R3, sea u = (u¡, u2,u3), u e ker(T). T(u)= ü* ___ Zui 2u2 2143 _l = (000_1) HuH2+1’ u'2+1’ uH2+1’ u|2+l , y , : >u¡= O ; u2=0; u3=0. u = (o, o,o) ii) Im(T) = SPI un . uz us Si u = (u¡, u2,u3,u4)eSP, entonces u4 :1, , ; 1—u4 1-u4 1—u4 61K = >3 v= ( "1 "2 , "3 ]eR3,ta1queT(v)= u. 1—u4 ’1——u4 1-244 34
  43. 43. Capítulo II 2x 22 . Hvllz-l 2 = "3 (3), IM! +1 <1); 2y <2); , 2 M +1 M +1 IW“ = “4 (4) De (4) : > M2 -1= u4HVH2 +u4 IlVlI2-"4!| v|l2=u4+1 (l-mmvuz =1+u4 ‘lvuz = 1+ 144 1_u4 (Itza) 1+u4 +1: 2 1—u4 1-u4 nuvn: +1 = 1 =1—u4 3 2 = nvtr+1 2 ¡salu1 “t . “z . "3 x: 9 y: 9 Z: 1—u4 1—u4 l-u‘, Por lo tanto Im(T): Sp. “4 Por lo cual queda demostrado que existe una transformación lineal, T, que es un isomorfismo entre R3 y SP. 35
  44. 44. CONCLUSIÓN Como consecuencia del trabajo realizado en los capítulos anteriores logramos obtener la transformación T con la cual es posible construir figuras en R4 a través de figuras de figuras en R3. En efecto: (l)Trazos sobre SP: Si u, ve R3, uatv, entonces el trazo uv= {u+/ l(v—u)/ /t e[O, l]}. Luego, si w e uv, entonces existe ¡t e [0,l] tal que: w: u + ¿(v-u) : > T(w)= T(u)<+a (a ®(T(v)—T(u)))= =T(u)®}t®(T(v)—T(u))= = T(u)T(v) ('> R3 36
  45. 45. (2) Triángulos sobre S P. R3 Auvw (3) Pirámide sobre SP ‘V 37

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