SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 102
Descargar para leer sin conexión
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
CONJUNTOS I 
1. Si: A  ;a;a;a,b; 
Indicar las proposiciones que son 
verdaderas. 
I. a  A  {a, b}  A 
II. {}  A  {}  A 
III.   A    A 
A) solo I B) solo II 
C) solo III D) II y IV 
E) II y III 
RESOLUCIÓN 
A  ;a;a;a,b; 
I. a  A  {a, b}  A 
F F = F 
II. {}  A  {}  A 
F V = V 
III.   A    A 
V V = V 
I y III son verdaderas 
RPTA.: D 
2. Dados los conjuntos: 
  
    
A x N 2x 13 
B x A x² 2x A 
   
    
Indicar si es verdadero o falso, las 
siguientes proposiciones. 
I.  x  A / x²  5 > 4 
II.  x  (A  B) / 2x + 5 < 8 
III.  x  (A  B) / x²  B 
A) VVF B) FVF C) VFV 
D) VFF E) VVV 
RESOLUCIÓN 
  
  
    
A x N 2x 13 
A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 
B x A x² 2x A 
   
  
    
x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 
x²  2x = 0 ;1; 0 ; 3 ; 8; 15; 24 
 B = {1; 4; 5; 6} 
I.  x  A / x²  5 > 4 
(V) 
II.  x  (A  B)/2x + 5 < 8 
(F) 
III.  x  (A  B) / x²  B 
(V) 
RPTA.: C 
3. Sea A n Z n 600     
Calcule la suma de elementos del 
conjunto B; si 
  3 B  a  2 a  A  a A 
A) 1000 B) 1296 C) 1312 
D) 1424 E) 1528 
RESOLUCIÓN 
    
  3 
a es cubo perfecto 
A n Z n 600 1,2,3,4,5,...,600 
B a 2 a A a A 
     
  
  
       
  
 
a = 1³ ; 2³; 3³; ...; 8³ 
        
  
2 
B 1³ 2 ; 2³ 2 ; 3³ 2 ;....; 8³ 2 
elementos 8 x 9 
2 8 
de B 2 
1312 
  
  
       
  
    
      
    
 
 
Nota: 
  
3 
2 
N 
n n 1 
S 
2 
   
   
  
RPTA.: C 
4. Halle el cardinal del conjunto B e 
indicar el número de subconjuntos 
ternarios que tiene.
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
     
CONJUNTOS 
LÓGICA 
B x Z x 8 x 2 
siendo : p q p q A B 
      
  
        
  
  
A) 48 B) 42 C) 63 
D) 56 E) 45 
RESOLUCIÓN 
B x Z x 8 x 2       
(x > 8)  (x = 2) 
 (x> 8)  (x = 2) 
 x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 
 n(B) = 8 
#Subconjuntos 8 8! 
C 
Ternarios de B 3 3! 5! 
6x7x8 
56 
6 
  
    
  
  
RPTA.: D 
5. Dados los conjuntos unitarios 
A = {a + b; a + 2b3; 12} y 
B = {xy ; yx ; 16}; 
halle el valor de (x + y + a² + b) 
A) 81 B) 92 C) 96 
D) 87 E) 90 
RESOLUCIÓN 
A y B son unitarios: 
* A = {a + b; a + 2b  3; 12} 
a + b = 12 
a + 2b  3 = 12 
a + 2b = 15 
como: a + b = 12 
b = 3  a = 9 
* B = {xy; yx; 16} 
xy = yx = 24 
 x = 2 ; y = 4 
 x + y + a² + b = 90 
RPTA.: E 
6. Calcular el número de subconjuntos 
binaros del conjunto D, si: 
D = {(x² 1)Z / 0 < x  4} 
A) 132 B) 126 C) 105 
D) 124 E) 120 
RESOLUCIÓN 
D = {(x² 1)Z / 0 < x  4} 
0 < x  4  0 < x²  16 
 1 <x²  1 15 
D = {0; 1; 2; 3; ...;15}  n(D)= 16 
  
#Subconjuntos 16 16! 
C 
Binarios de D 2 2! 14! 
15x16 
2 
  
    
  
 15x8 
120 
 
 
RPTA.: E 
7. Si: 
n [P(A)]= 128; n[P(B)]= 32 y 
n [P(AB)] = 8 
Halle el cardinal de P(AB) sumado 
con el cardinal de: 
C =   
5 
3x 1 Z x 
3 
   
     
  
A) 521 B) 517 C) 519 
D) 512 E) 520 
RESOLUCIÓN 
* nP(A) = 128 = 27  n(A) = 7 
nP(B) = 32 = 25  n(B) = 5 
nP(AB) = 8 = 23  n(AB) = 3 
 n(AB) = 7 + 5  3 = 9 
´
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
 nP(AB) = 29 = 512 
* C =   
5 
3x 1 Z x 
3 
   
     
  
5 
x 
3 
5 
x 3 1 3 1 
3 
 
   
(3x + 1) < 6 
C = {1; 2; 3; 4; 5} 
n(C) = 5 
 nP(AB) + n(C) = 517 
RPTA.: B 
8. Oscar compra 9 baldes de pinturas 
de diferentes colores. Los mezcla en 
igual proporción. ¿Cuántos nuevos 
matices se pueden obtener? 
A) 512 B) 246 C) 247 
D) 503 E) 502 
RESOLUCIÓN 
# de colores = 9 
# de nuevos matices= 29  1  9 
= 512  10 
= 502 
RPTA.: E 
9. El conjunto A tiene 200 
subconjuntos no ternarios. ¿Cuántos 
subconjuntos quinarios tendrá? 
A) 64 B) 56 C) 48 
D) 21 E) 35 
RESOLUCIÓN 
Sea n(A) = x 
  
    
  
     
  
  
 
  
  
 
  
    
  
  
x x 
3 
x 
x 
Subconjuntos 
2 C 200 
no ternarios 
x! 
2 200 
3! x 3 
x 2 x 1 x 
2 200 
6 
x 8 
Luego : 
#Subconjuntos 8 8! 
C 
Quinarios 5 5! x 3! 
8 x 7 x 6 
56 
6 
RPTA.: B 
10. Si el conjunto “C” tiene (P + 1) 
elementos y (2P + 3) subconjuntos 
propios; además: 
n(A) = 4P + 2 ; n(B) = 3P + 6 y 
n(AB) = 2P  2 
Halle n(AB) 
A) 14 B) 16 C) 18 
D) 17 E) 20 
RESOLUCIÓN 
n(C) = P + 1 
# subconjuntos 
2P 3 
propios de C 
  
  
    
  
  
P + 1 
2P + 1  1 = 2P + 3 
P = 2 
Luego: 
n(A) = 4(2) + 2 = 10 
n(B) = 3(2) + 6 = 12 
n(AB) = 2 
8 2 10 
A = 10 B = 12
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
n (AB) = 18 
RPTA.: C 
11. Sean los conjuntos A  E ; B  E y 
C  E; E conjunto universal, tal que: 
E = {x Z+ / x < 10} 
A = x E x  7 
AB = {x  E / x  9  x > 2} 
BC = {3} 
BC = {x  E / x  7} 
AC = A B C   
Determinar n(A) + n(B) + n(C) 
A) 9 B) 12 C) 10 
D) 13 E) 11 
RESOLUCIÓN 
E={xZ+/x<10} = 
{1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
A  x E/x  7  1,2,3,4,5,6 
 A = {7, 8, 9} 
De: 
A C  A B  C  A B  C   
A  B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
B  C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
n(A) + n(B) + n(C) = 3 + 5 + 3 = 11 
RPTA.: E 
12. Sean A, B y C tres conjuntos no 
vacíos que cumplen las condiciones: 
* A  B  B  A 
* si x  C  x  B 
Determinar el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones. 
I) A y B son disjuntos 
II) (A  B)  C 
III) C  (A  B) 
IV) C  (A  B) 
A) FVVF B) FFVV C) FFFF 
D) VFVF E) FFFV 
RESOLUCIÓN 
A  B  B  A 
x  C  x  B 
Graficando las dos condiciones: 
I) A y B son disjuntos (F) 
II) (A  B)  C (F) 
III) C  (A  B) (F) 
IV) C  (A  B) (V) 
RPTA.: E 
13. Sean A y B dos conjuntos finitos 
tales que: 
* A  B =  
* n(B) = 2 . n(A) 
* B tiene 128 subconjuntos. 
El número de subconjuntos de B 
excede al número de subconjuntos 
propios de A en 993. 
¿Cuántos subconjuntos propios tiene 
A ? 
A) 281 B) 2101 C) 2111 
D) 2121 E) 2131 
RESOLUCIÓN 
Sean n(A) = x  n(B) = 2x 
´ 
´ ´ ´ 
´ 
. 1 
. 3 . 2 
. 4 
. 5 
. 6 
. 7 
. 8 
. 9 
C 
A B 
´ 
C 
B 
A
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
# subconjuntos # subconjuntos 
993 
de B propios de A 
    
      
    
22x  (2x1) = 993 
2x(2x1) = 992 = 25 x 31 
x = 5 
Luego: 
# subconjuntos de 7 B  128  2 
12 #subconjuntos propios de A  2 1 
RPTA.: D 
14. Dados los conjuntos: 
  
3x 5 
A x N / N 
4 
x 1 x 
B N / N 
2 2 
C x N /2x 25 
   
     
  
   
     
  
   
Halle: n[(AB)C ] 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6 
RESOLUCIÓN 
* 
3x 5 
A x N/ N 
4 
   
     
  
3x 5 4N 5 
N x 
4 3 
  
   
N = 2; 5; 8 ...... 
X = 1; 5; 9 ...... 
A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....} 
* 
x 1 x 
B N/ N 
2 2 
   
     
  
NATURAL 
x 1 x 1 
No existe natural 
2 2 2 
 
    
B =  
* C  x N/2x  25 
C = {13, 14, 15, 16, 17, .....} 
n(AB)  C  A  B (DIFERENCIA 
SIMÉTRICA) 
n (A  C ) = n(A  C) 
= n {1, 5, 9} 
= 3 
RPTA.: B 
15. Para los conjuntos A, B y C 
afirmamos: 
I. Si A  B  C  C  B  A 
II. A  A   
III. A  B  A B 
IV. Si A  B B  A 
V. A  B  A  B  A 
Son verdaderas: 
A) todas 
B) solo II y III 
C) todas excepto V 
D) solo II, III, IV y V 
E) solo I, II y V 
RESOLUCIÓN 
I. Si A  B  C  C  B  A (V) 
II. A  A   (V) 
III. A  B  A B (V) 
IV. Si A  B B  A (V) 
V. A  B  A  B  A (V) 
RPTA.: A 
16. Si A y B son dos conjuntos finitos, 
tal que, el número de subconjuntos 
de A y de B suman 320, los 
conjuntos A y B tienen 2 elementos 
comunes; determine n(AB) 
A) 14 B) 13 C) 12 
´ 
´ ´ ´ ´ 
´ ´ 
´ ´ 
´ ´ 
2 
5 10 
A = 5 B = 10 
U 
´ ´ ´ ´ 
´ ´ 
´ ´ 
´ ´
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
D) 11 E) 10 
RESOLUCIÓN 
320 = n(PA) + n (PB) 
320 = 2n(A) + 2n(B) 
320 = 26 + 28 
Luego: 
n(A) = 6 n(B) = 8 
 n(AB) = 10 
RPTA.: E 
17. Sean A, B y C conjuntos no vacíos 
diferentes dos a dos, tales que: 
B A ; C B 
A C 
    
   
Al simplificar: 
[B(C  A)]  [A  (B  C)] se 
obtiene: 
A) A B) B C) A  B 
D) A  C E)  
RESOLUCIÓN 
B A ; C B ; A C 
A B ; C B ; A C 
       
       
Graficando y enumerando las 
regiones: 
B  C  A  A  B  C 
[2]  [1; 3] =  
RPTA.: E 
18. Sean A y B dos conjuntos 
cualesquiera, simplificar: 
A B A B   A B 
A) A  B B) A  B 
C) A B D) A B 
E)  
RESOLUCIÓN 
Graficando los conjuntos A y B 
A B A B  A B 
  
         
  
  
(A  B) (BA) 
    
      
1,2,3 2,3 
1,2,3 1,4 1 A B 
 
    
RPTA.: A 
19. En el gráfico, las zonas sombreadas 
están representadas por: 
B 
C 
D 
A 
´ 
´ ´ ´ 
´ 
´ ´ 
´´ ´ 
4 2 6 
A B 
2 
B 
C 
A 
1 
2 3 
´ ´ ´ ´ 
2 1 3 
4 
A B 
´ 
´
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
I) [A(BC)]  [C  D] 
II) (A  B)  (B  C) 
III) [(A  D)  C]  [A  (BC)] 
A) solo I B) solo II 
C) solo I y II D) solo II y 
III 
E) todos 
RESOLUCIÓN 
I) [A(BC)]  [C  D] 
[{1,2,3}  {2,6,5}]  {7} = 
{1,3,7}: si 
II) (A  B)  (B  C) 
{1,2,3,4,5,6,7}  {2,5,6} = 
{1,3,4,7} no 
III) [(A  D)  C]  [A  (BC)] 
{1,2,5}  {1,3} = {1} no 
RPTA.: A 
20. Dado 3 conjuntos A; B y C: 
Si n(A) = m ; n(B) = m + r 
n(C) = m + 2r ; además: 
n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896 
Se sabe además que A, B y C son 
disjuntos. 
Calcule n(A  B  C) 
A) 16 B) 22 C) 24 
D) 32 E) 48 
RESOLUCIÓN 
n(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 
2r 
A B C nP  nP  nP  896 
2m + 2m+r + 2m+2r = 896 
2m [1 + 2r + 22r] = 896 = 27 x 7 
m = 7 
r = 1 
A B C 
 7 8 9 
n(A  B  C) = 24 
RPTA.: C 
CONJUNTOS II 
21. Se hizo una encuesta a 50 personas 
sobre preferencias respecto a dos 
revistas A y B. Se observa que los 
que leen las dos revistas son el 
doble de los que leen solo A, el triple 
de los que leen solo B y el cuádruplo 
de los que no leen ninguna de las 
dos revistas. ¿Cuántas personas leen 
la revista A? 
A) 24 B) 30 C) 32 
D) 36 E) 40 
RESOLUCIÓN 
6x + 12x + 4x + 3x = 50  x = 2 
n(A) = 18(2) = 36 
RPTA.: D 
B 
C 
D 
A 
1 2 3 
4 
5 
6 
7 
6x 12x 4x 
A = 18x B 
3x 
U = 50
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
22. A una ceremonia asistieron 24 
señoritas con cartera, 28 varones 
con corbata, 40 portaban casaca, 17 
varones con corbata no tenían 
casaca, 9 señoritas portaban casaca 
pero no tenían cartera. ¿Cuántos 
varones con casaca no llevaron 
corbata, si 16 señoritas no llevaron 
cartera ni casaca y 28 señoritas no 
llevaron casaca? 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 11 E) 12 
RESOLUCIÓN 
40 = 11 + 9 + 12 + x  x = 8 
RPTA.: A 
23. De los residentes de un edificio se ha 
observado que 29 de ellos trabajan y 
56 son mujeres, de los cuales 12 
estudian pero no trabajan. De los 
varones 32 trabajan o estudian y 21 
no trabajan ni estudian, ¿cuántas 
mujeres no estudian ni trabajan, si 
36 varones no trabajan? 
A) 32 B) 30 C) 28 
D) 26 E) 34 
RESOLUCIÓN 
X = 56 – 24 
X = 32 
RPTA.: A 
24. En una clase de 50 alumnos, se 
practica tres deportes: Atletismo, 
Básquet y Fulbito. 
* Los que practican atletismo o fulbito 
pero no básquet son 30. 
* Los que practican básquet o fulbito 
pero no atletismo son 27. 
* Los que practican atletismo y fulbito 
son 7. 
* Los que practican fulbito pero no 
atletismo o básquet son 15. 
* Los que no practican estos deportes 
son la cuarta parte de los que 
practican básquet y fulbito pero no 
atletismo. 
* 4 practican atletismo y básquet pero 
no fulbito. 
* Los que practican básquet pero no 
atletismo o fulbito son 4. 
¿Cuántos practican solo dos deportes 
o no practican ninguno? 
A) 21 B) 17 C) 19 
D) 2 E) 18 
RESOLUCIÓN 
50 = 15 + 8 + (7x) + x + 8 + x 
+ 4 + 4 + 2 
X = 50  48 = 2 
17 11 12 12 
Corbata = 28 
Casaca = 40 Cartera = 24 
16 
x 9 
H = M = 
U = 
M 
H 
56 
T(29) 
E 21 
12 
12 
17 15 
x 
8 + x 
4 
4 
B 
A 
F 
2 
8 
x 
7 - x 
U = 50 
15
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
 solo 2 deportes o ninguno de los 
tres: 5 + 4 + 8 + 2 = 19 
RPTA.: C 
25. Dado los conjuntos A; B y C 
contenidos en el universo de 98 
elementos, tal que: 
n(A  B) = 21 
n(B  C) = 25 
n(C  A) = 32 
3n (ABC) = n(ABC) 
Hallar: ABC 
A) 93 B) 95 C) 87 
D) 77 E) 91 
RESOLUCIÓN 
Diagrama de Ven –Euler para 
visualizar: 
Planteando tenemos: 
98 = 4x + 21 + 25 + 32 
20 = 4x 
5 = x 
Piden: A B  C 
U  A B  C  98  5  93 
RPTA.: A 
26. Usando las leyes del álgebra de 
conjuntos, simplificar: 
A  B B  A B  C 
A) AC B) BC 
C) U D) (A  B)C 
E) (A  B)C 
RESOLUCIÓN 
[(AB)B] =  
[(AB)C]C = (AB)CC 
{[(AB)B][(AB)C]}C 
{}C = U 
RPTA.: C 
27. En un condominio de 100 personas, 
85 son casados, 70 son abonados de 
teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son 
empresarios. ¿Cuál es el mínimo 
número de personas que al mismo 
tiempo son casados, poseen 
teléfono, tienen bicicleta y son 
empresarios? 
A) 15 B) 10 C) 20 
D) 24 E) 15 
RESOLUCIÓN 
Tomando por partes: 
= 10 
RPTA.: B 
28. En una encuesta a los estudiantes se 
determinó que: 
* 68 se portan bien 
* 160 son habladores 
* 138 son inteligentes 
* 55 son habladores y se portan bien 
* 48 se portan bien y son inteligentes 
* 120 son habladores e inteligentes 
* 40 son habladores, inteligentes y se 
portan bien. 
´ 
´ 
´ 
A B 
C 
x 
3x 
98 
15 55 
30 
45 30 
25 
70 10 
20 
70 
30 
15 45 
CASADOS 
TELÉFONO 75 
25 
CASADOS 
Y 
TELÉFONO 
85 55 
AUTO 
80 
20 
70 30 
CASADOS, 
TELÉFONO Y AUTO 
EMPRESARIOS
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
¿Cuántos estudiantes son 
inteligentes solamente? 
A) 10 B) 20 C) 40 
D) 12 E) 8 
RESOLUCIÓN 
Solo inteligentes = 10 
RPTA.: A 
29. Un club consta de 78 personas, de 
ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 
23 voley. Además 6 figuran en los 3 
deportes y 10 no practican ningún 
deporte. Si “x” es el total de 
personas que practican exactamente 
un deporte, “y” es el total de 
personas que practican exactamente 
2 deportes, entonces el valor de 
(xy) es: 
A) 9 B) 10 C) 12 
D) 15 E) 16 
RESOLUCIÓN 
a + b + c = y 
x : solo un deporte 
Del universo: 
44ab+b+17bc+32+10 = 78 
a + b + c = 25 = y 
También: 
x + y + 6 + 10 = 78  x = 37 
 x  y = 12 
RPTA.: C 
30. Dado el conjunto universal “U” y los 
subconjuntos A, B y C; se tiene los 
siguientes datos: 
n(U) = 44 n(BC) = 12 
n(AC) = 14 n[(ABC) ]=6 
n(ABC) = 5 n(B) = 17 
n(A) = 21 n(ABC ) =3 
Hallar n(C) 
A) 31 B) 27 C) 29 
D) 26 E) 28 
RESOLUCIÓN 
n(AB C ) =3 
n[(AB)C] =3 
´ 
´ 
40 
80 
25 
15 
5 
8 
10 
HABLADORES: 
160 
INTELIGENTES: 
138 
PORTAN 
BIEN: 68 
U = 
a 
c 
6 
b 
44 – a – b 
17 – b – c 
V = 23 
B = 32 
F = 50 
10 
U = 78
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
21 + 2 + 7 + 6 + x = 44  x = 8 
n(C) = 9 + 5 + 7 + 8 = 29 
RPTA.: C 
31. En un grupo de 80 estudiantes, se 
encuentra que las cantidades que 
estudiaban las diversas lenguas eran 
en número de 72, distribuidas de la 
siguiente manera: 
* Alemán solamente 25 
* Español solamente 12 
* Francés pero no alemán ni español, 
15 
* Alemán y francés 10 
* Alemán y español 8 
Además los que estudiaban español 
y francés eran tantos como los que 
estudiaban alemán y español. 
Determinar cuántos estudiaban 2 
lenguas solamente o estudiaban las 
3 lenguas. 
A) 14 B) 20 C) 12 
D) 8 E) 18 
RESOLUCIÓN 
Dos lenguas solamente ó tres 
lenguas 
= (80)  (25 + 15 + 12 + 8) 
= 20 
RPTA.: B 
32. En una encuesta realizada a 100 
trabajadores de una fábrica se obtuvo 
la siguiente información: todos los 
hombres tenían más de 20 años, 25 
de las mujeres eran casadas mientras 
que 15 de los trabajadores casados 
tenían más de 20 años y 10 de las 
mujeres casadas tenían más de 20 
años. Si hay 60 que tienen más de 20 
años, hallar la diferencia entre el 
número de trabajadores con menos de 
20 años y el número de mujeres 
solteras con menos de 20 años. 
A) 5 B) 10 C) 15 
D) 18 E) 8 
RESOLUCIÓN 
A: personas con más de 20 años 
B: hombres 
C: casados 
Por datos: 
x + y = 25 
x + z = 15 
x = 10 
y = 15 
z = 5 
* Trabajadores con menos de 20 años: 
15 + 25 = 40 
* Mujeres solteras con menos de 20 
años = 25 
40  25 = 15 
RPTA.: C 
33. ¿Qué operación representa el gráfico? 
4 3 2 
9 
5 
7 
x C 
A = 21 B = 17 
6 
U = 44 
25 8 - x 12 
10 - x 
x 
15 
F 
A E 
8 
U = 80 
8 - x 
y 
C 
B 
A(60) 
a b z x 
25 
U(100)
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
A) [(AC)(BC)]  C 
B) [(AB)(BA)]C 
C) C (AB) 
D) (CA)  (CB) 
E) A B  C 
RESOLUCIÓN 
RPTA.: C 
34. En un colegio hay 35 niños. Cada uno 
de ellos tiene una bandera que puede 
ser monócroma, bicolor o tricolor, 
habiéndose usado únicamente 3 
colores: rojo, amarillo y azul. El 
número de banderas bicolor es el 
doble del número de banderas 
monocromas, mientras que el número 
de banderas que tienen el color rojo 
es igual al número de banderas que 
tienen el color azul e igual al número 
de banderas que tienen el color 
amarillo. Si sólo 8 niños tienen 
banderas tricolor y dos alumnos 
banderas color amarillo. ¿Cuántas 
banderas bicolor rojo – azul hay? 
A) 2 B) 3 C) 5 
D) 7 E) 10 
RESOLUCIÓN 
Datos: 
a + b + x + y + z = 25 ......(1) 
x + y + z = 2(a + b + c) ....(2) 
(2) en (1) 
a + b + 2 (a + b + 2) = 25 
3(a + b) = 21 
a + b = 7 
Dato: 
a + x + y = y + z + b = x + z + c 
a + 18  z = 18  x + b = 18y+ c 
De donde: 
a = z y + c 
b = x  y + c 
Sumando: 7 = x + z  2y + 4 
7 = 18  y  2y + 4 
3y = 15 
y = 5 
RPTA.: C 
35. A cuántas personas le gusta 2 cursos 
solamente si la cantidad de personas 
que le gusta aritmética pero no 
álgebra ni física es el doble de los que 
les gusta álgebra, pero no aritmética 
ni física y además a los que les gusta 
física pero no aritmética ni álgebra es 
el triple de los que les gusta álgebra 
pero no aritmética ni física y a los que 
les gusta los 3 cursos es la cuarta 
parte de los que les gusta aritmética 
pero no álgebra ni física, si a 24 
personas le gusta solamente un curso 
y además el total de personas que 
gusta de al menos un curso es 36. 
A) 5 B) 8 C) 12 
D) 4 E) 10 
RESOLUCIÓN 
C 
A B 
´ 
a y b 
z 
8 
x 
c = 2 
Amarilo 
Azul 
Rojo 
U = 35 
A 
4y n 2y 
p 
y 
m 
6y 
F 
x
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
A: aritmética 
X: álgebra 
F: física 
Datos: 
A  (xF) = 2[x  (AF)] 
F  (Ax) = 3[x(AF)] 
        
1 
A x F A x F 
4 
AxF = y 
Por dato: 
4y + 2y + 6y = 24 
12y = 24 
y = 2 
13y + m + n + p = 36 .... dato 
13 x 2 + m + n + p = 36 
m + n + p = 10 
RPTA.: E 
36. A, B y C son conjuntos contenidos en 
un mismo universo, simplifique la 
siguiente expresión: 
E = {{[(A  B)  (A  B )]  (A  B )}  
(C  A)}  {((A  C)  (A  C)} 
A) AC B) B C) A 
D) AC E) C 
RESOLUCIÓN 
E={{[(AB)(ABC)](ABC)}(CA)} 
(AC) 
A(B(ABC)............................... 
A(BA) 
(AB)  (ABC) 
[(AB)A]  [(AB)BC] 
A  (ABC) 
A  (CAC) 
(AC)  
(AC) 
(AC) 
RPTA.: A 
37. De 60 personas se sabe: 
* 6 hombres tienen 20 años 
* 18 hombres no tienen 21 años 
* 22 hombres no tienen 20 años 
* Tantas mujeres tienen 20 años como 
hombres tienen 21 años. 
¿Cuántas mujeres no tienen 20 
años? 
A) 18 B) 20 C) 24 
D) 22 E) 28 
RESOLUCIÓN 
= 22 
RPTA.: E 
38. De un grupo de personas se sabe lo 
siguiente: 
* Algunos provincianos son casados. 
* Todos los profesores no son 
provincianos. 
* Ninguno de los que tienen hijos es 
profesor 
* Todos los casados tienen hijos 
* 9 personas no son provincianas, ni 
casadas, pero tienen hijos. 
* Hay 12 profesores y son tantos como 
el número de casados 
* De los 25 provincianos, 15 tienen 
hijos. 
* 5 casados no son limeños 
* 10 limeños no son profesores ni 
tienen hijos. 
´ ´ 6 
x = 10 
x = 10 
H M 
60 28 32 
21+ 
21 
20 
20 -
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
¿Cuántas personas conforman el 
grupo y cuántos no tienen hijos, ni 
son profesores? 
A) 63 y 20 B) 57 y 10 
C) 59 y 23 D) 64 y 9 
E) 63 y 22 
RESOLUCIÓN 
Total = 63 
No tienen hijos ni son 
profesores = 20 
RPTA.: A 
39. En una academia de 100 alumnos, 
se rindieron 3 simulacros con los 
siguientes resultados: 40 aprobaron 
el primero; 39 el segundo; y 48 el 
tercero. 10 aprobaron 3 simulacros. 
21 ninguno; 9 los dos primeros, pero 
no el tercero; 19 el tercero, pero no 
los dos primeros. 
¿Cuántos aprobaron por los menos 
dos exámenes? 
A) 19 B) 38 C) 24 
D) 27 E) 29 
RESOLUCIÓN 
x + y + 10 + 19 = 48 
x + y + 19 = 38 
RPTA.: B 
40. En una ciudad el 60% de los 
habitantes comen pescado; el 50% 
come carne; el 40% de los que 
comen carne también comen 
pescado. ¿Qué porcentaje de los 
habitantes no comen pescado ni 
comen carne? 
A) 15% B) 23% C) 20% 
D) 10% E) 30% 
RESOLUCIÓN 
  
40 
50% 20% 
100 
60% + 30% + x = 100% 
X = 10% 
RPTA.: D 
NUMERACIÓN I 
41. Calcule “a” si: 
  
  7. 
9 
p 
a n 2c 1 aa 
3 
  
    
  
Además   
  
n 
p 
c 
5p7 4c3 
2 
  
   
  
7 
5 
9 
10 10 
12 
10 
LIMA 
PROVINCIA 
HIJOS HIJOS HIJOS 
= 25 
CASADOS SOLTEROS 
9 
x y 
19 
P = 40 S = 39 
T = 48 
U = 100 
21 
10 
P = 60% C = 50% 
x 
U = 100% 
40% 20% 30%
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6 
RESOLUCIÓN 
        n p 9 7 
c p 
5p7 4c3 ; a n 2c 1 aa 
2 3 
    
       
    
n  7 p  4 n  9 c  3 
C= par p  3ó6 
 n = 8 ; p  6 ; c  2 
Luego: 
9 7 a28  5aa 
81a  2 9  8  245  7a  a 
81a  26  245  8a 
73.a  219a  3 
RPTA.: B 
42. ¿Cuántos valores puede tomar “k” en 
  
n 
n 
k 
0,125 
kk 
 ? 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
RESOLUCIÓN 
  
  
n 
n 
k 1 
0,125 
kk 8 
  
Descomponiendo 
k 1 k 
kn k 8 
   
 k(1  n) 
1 
8 
 
1 1 
n 1 8 
n 1 8 
     
 
n  7 
Pero k  n  7 
k  1;2;3;4;5;6 
K puede tomar 6 valores 
RPTA.: C 
43. Si: 
           7 
n 5 
n n 1 n 2 n 3 n 4 abcd 
 
     
Halle: a  b  c  d 
A) 10 B) 12 C) 13 
D) 11 E) 14 
RESOLUCIÓN 
(n 5) (7) n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) abcd       
n  5  7 
n  1 
12345(6)  abcd7 
1 2 3 4 5 
6 6 48 306 1860 
1 8 51 310 1865 
a=5 
7 7 1865  5303  abcd b=3 
C=0 
D=3 
a + b + c + d = 11 
RPTA.: B 
44. Halle m n  p , si n n 1 110 ,81  y 
(n 1) 1mp  son números consecutivos. 
A) 15 B) 14 C) 13 
D) 12 E) 11 
RESOLUCIÓN 
n n 1 n 1 110 ;81 ;1mp   
Por dato: n n 1 110 1 81    
  2 n  n  1  8 n  1  1 
    2 n  7n  8  0 n  8 n  1  0 
n - 8 n=8 
n 1 
8 9 7 110 ;81 ;1mp 
72 ; 73 ; 74
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
74 7 
4 10 7 
3 1 
7 7 1mp  134 m  3;p  4;n  8 
m n  p  15 
RPTA.: A 
45. Sabiendo que : a7bn  aoc9; 
además 6d6n  mbmb5. Halle el 
valor de (m + b + d). 
A) 2 B) 4 C) 3 
D) 6 E) 8 
RESOLUCIÓN 
a7bn aoc9 
  
 
7  n  9 n  8 
También por dato: 
6d68  mbmb5 
  
2 2 
6  8  d 8  6  mb 5 .5 mb5 
390  8d  26 mb5 
195  4d  13.mb5 
0 15 
5 5 d  0 mb  15  30 
 m = 3; b = 0 
m b  d  3 
RPTA.: C 
46. Calcule el valor de “n” si “m” es 
máximo en: 
  
...1818 n 
18. 18  123 
“m” veces 
A) 8 B) 9 C) 11 
D) 14 E) 10 
RESOLUCIÓN 
Propiedad tenemos: 
  
...1818 n 
18. 18  n  8 m  123 
Pensando: 
m  14 (mayor valor) 
n  8 14  123 
n  123 112 
n  11 
RPTA.: C 
47. Si: 
        9 3 
a b  1 c  2 c  b 1 10 xy 12 
Calcule: a  b  c  x  y 
A) 9 B) 10 C) 11 
D) 12 E) 13 
RESOLUCIÓN 
Caso Especial: 2 b b 
        9 3 
a b  1 c  2 c  b 1 /10 / xy /12 
           9 9 
a b  1 c  2 c  b 1 3 3x  y 5 
Igualando: 
* c = 5 
* b  1  3;b  2 
* a  b 1;a  1 
*c  2  3x  y 
5  2  3x  y 
7  3x  y ; x = 2 y = 1 
Pide: a  b  c  x  y  11 
RPTA.: C 
48. En la siguiente expresión: 
“m” es máximo 
n > 8 
“m” veces
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
m n 8 M  4n6  54  3mn 
Halle M. 
A) 42 B) 532 C) 24 
D) 220 E) 44 
RESOLUCIÓN 
Analizando: 
n 54 n  5 
m 4n6 m  6 
m  n 
8 3mn 5  n  m 8 
 m  7 y n  6 
7 6 8 M  466  54  376 
M  244  34  254 
 M = 24 
RPTA.: C 
49. Si se cumple que: 
abn 
abcaaa  17a29 
Calcule el valor de “n” 
A)3 B)4 C)6 
D)9 E)5 
RESOLUCIÓN 
abcaaaabn  17a29 x  29 
 cambio de variable 
x 29 x 29 abca  17a abc .x  a  17 .29  a 
abcx.x  36.29 
Si   9 x  9  abc9  116  138 
a=1 ; b=3; c=8 
Luego: 
13n x  11  9 
n 1  3  9n  5 
RPTA.: E 
50. Halle a  b  c m n, sabiendo que: 
aban  bcnm 
Sabiendo que: m < 9 y b > 4 
A) 27 B)3 C)-5 
D) -3 E)5 
RESOLUCIÓN 
4  b  a  n m (Ordenando) 
4  5 6  7  8 
Luego: 7 8 656  517 
 a  b  c m n  6  5  1  7  3 
  3 
RPTA.: D 
51. Calcule la suma de las dos últimas 
cifras del numeral:     n 
16 12 13 8 , al 
expresarlo en el sistema de base 
n  1 . 
A) 6 B) 7 C) 5 
D) 4 E) 3 
RESOLUCIÓN 
       n N 1612 13 8 Base n  1 
         
    
         
     
     
    
    
  
n n 
n n 
n n n n 
n n 
n n 
n n 
n n 
n 
16 12 13 8 n 1 11 
11 1576 11 
5 12 11 143 11 
5 5 47 
7 13 44 
7 7 36 
68 33 
66 3 
2 
  
 N  ...32(n1) 
x
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
 de las 2 últimas cifras = 5 
RPTA.: C 
52. Si se cumple: 
  
x 
2m 1 
9 6 12 
abcd 
m m m  
      
       
      
Calcule a  b  c  d m x 
A) 8 B) 10 C) 12 
D) 13 E) 15 
RESOLUCIÓN 
  
x 
2m 1 
abcd 
m 
12 
m 
6 
m 
9 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“m” divide a 9; 6 y 12 por tanto m 
= 3 
Reemplazando. 
5 x 324  abcd a mayor valor aparente 
menor base  x  5 
Se verifica para: x = 4 
Por descomposición: 
324 3 5 2 5 4 89 5 
5       
Por división a base 4: 
89 4 
1 22 4 
2 5 4 
1 1 
5 4 x 324  1121  abcd 
a  1;b  1;c  2;d  1;x  4 
m  3 
a  b  c  d  x m  12 
RPTA.: C 
53. Calcule : a  n m 
Si: n m 120a  64a  2553 
A) 12 B) 14 C) 16 
D) 18 E) 19 
RESOLUCIÓN 
120an  64a  2553m 
1200  640 n  
n³ + 2n² = n² (n+2) = 8²(8+2) 
n 2n (n 2) 8 (8 2) 3 2 2     
n  8 
8 m 64a 120a 2553 ;m 5 
m 8 
   
 
m 6 
  
3 
6 2553  2  6  5  6²  5  6  3  645  64a 
a  5 
a m n  5  6  8  19 
RPTA.: E 
54. Halle “x” en: 
abxn  ccn7, si: c  2 y b  a 
A)0 B) 2 C) 3 
D)5 E) 6 
RESOLUCIÓN 
abxn  ccn7...(I) ; C  2 ; b  a 
n  7 
 2  c  a  b  n  7 c  3 
a  4 
b  5 
n  6 
Luego en I 
Números 
equivalentes
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
6 7 45x  336  174 
6 6  45x  450  x  0 
RPTA.:A 
55. Si se cumple que: 
(2n) numerales 
 n 
14 10 1 
15 11 
14 12 
15 13 
1 n 1 
  
 
¿Cuántas cifras tendrá el menor 
numeral de la base “n”, cuya suma de 
cifras sea 210, cuando se exprese en 
la base 2 n ? 
A) 6 B) 7 C) 8 
D) 9 E) 5 
RESOLUCIÓN 
Aplicando propiedad. 
15  n(4)  (n 1).5  n  0 1  2  3  ...  (n 1) 1 
2 
( 1) 
9 9 
 
  
n n 
n 
  n 18 
2 
n(n 1) 
91 n   
 
  
En base 18 324 2 2 n   
Número  324 18 
210  02 01 00 
Número de cifras =5 
RPTA.:E 
56. Halle a  b  n  ken la siguiente 
expresión: 
k n 9ab  213312 ; donde 2 k  n 
A) 18 B) 24 C) 28 
D) 41 E) 37 
RESOLUCIÓN 
Luego: n k n k 2    
9abn2   213312n 
Transformando de base (n) a base   2 n 
n 21 33 12 
  2 n 
9 a b 
  
  
  
n 
4 
4 
21 9 n 4 ; k 16 
33 a a 15 
12 b b 6 
    
   
   
a  b  n  k  41 
RPTA.: D 
57. El mayor número de 3 cifras 
diferentes de la base n, se escribe en 
base 8 como 4205. Halle n. 
A) 10 B) 11 C) 12 
D) 13 E) 14 
RESOLUCIÓN 
Sea: abcn el mayor a  b  c 
         
n 8 
n 
abc  n 1 n  2 n  3  4205 
pasando a base 10. 
n 1.n (n 2).n n 3 4 8 2 8 0 8 5 2181 2 3 2              
n n 2184 3   
n(n 1) 2184 2   
n(n 1)(n 1)  2184 
n 1nn 1  121314 
n  13 
RPTA.: D
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
7 
7 
7 
7 
7 
7 
1 000 000 
142 857 
20 408 
2 915 
416 
59 
8 
1 
(1) 
(1) 
7 
(3) 
(3) 
(3) 
(3) 
(1) 
58. Se desea repartir S/. 1000000 entre 
un cierto número de personas, de tal 
modo que lo que les corresponda sea: 
S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;… 
y que no más de 6 personas reciban 
la misma suma. ¿Cuántas personas se 
beneficiaron? 
A) 16 B) 15 C) 14 
D) 13 E) 12 
RESOLUCIÓN 
Transformando a base 7: 
7 1 000000  11 333 311 
Número de personas: 
1 1  3  3  3  3 11  16 
N  16 
RPTA.: A 
59. Si se cumple: 
2 8 a10b11b  15c 
Halle: a  b  c 
A)6 B) 7 C)5 
D)9 E) 10 
RESOLUCIÓN 
2 a 10b 11b =15c8 
8 a(4  b)(6  b) =15c8 
* a  1 
* 4  b  5;b  1 
*6  b  c ;c  7 
*a  b  c  9 
RPTA.: D 
60. Si se cumple: abn  ba7 
Halle la suma de cifras de n ; si es el 
máximo valor posible. 
A) 37 B) 13 C) 11 
D) 21 E) 10 
RESOLUCIÓN 
Descomponiendo: 
na  b  7b  a 
1 
a 
6b 
n   
a  7 y b  7 
a  1;b  6 
n  37  3  7  10 
RPTA.: D 
NUMERACIÓN II 
61. Si el término ab avo de la siguiente 
serie aritmética es ba. 
Calcule “a +b” si: 30;…;48;51… 
A) 6 B) 7 C) 8 
D) 9 E) 10 
RESOLUCIÓN 
30;…;48;51… 
Razón: 3. 
Término 1: 30 
Término n:     1 1 t t n n razón 
t ab  ba ab  30   1 3  
Descomponiendo: 
30+3xab-3=ba 
30+3(10a+b)-3=10b+a 
27+29 x a = 7 x b 
1 8
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
a=1; b=8 
a+b=9 
RPTA.: D 
62. Dada la siguiente progresión 
aritmética: 
aa0;ab(a  2);a(b  1)3b;.....3a05 
“n” términos 
Halle: a+b+n 
A) 15 B) 16 C) 17 
D) 18 E) 19 
RESOLUCIÓN 
“n” términos 
aa0;ab(a  2);a(b  1)3b;.....3a05 
r  ab(a  2)  aa0  a(b  1)(3b)  ab(a  2) 
r = 10b+a+2-10a=10(b-1)+3b-10b-a-2 
r =10b-9a+2=3b-a+8 
7b = 8a+6  r = 13 
2 1 
n= 1 16 
13 
305 110 
  
 
a + b + n=19 
RPTA.: E 
63. ¿Cuántos términos tiene la siguiente 
progresión aritmética: 
x x x x 233 ;242 ;301 ;........;1034 
A) 26 B) 17 C) 20 
D) 19 E) 22 
RESOLUCIÓN 
Cálculo de la razón R: 
x x x x 242  233  301  242 
Descomponiendo polinómicamente 
    2 2 2x  4x  2  2x  3x  3  
    2 2 3x  1  2x  4x  2 
x = 5  R = x - 1  R = 4 
5 5 5 5 233 ;242 ;301 ;.........;1034 
+ 4 + 4 
5 5 1034 233 
n 1 
4 
 
  
n = 20 
RPTA.: C 
64. En la numeración de las páginas 
impares de un libro se han empleado 
440 tipos de imprenta. ¿Cuántas 
páginas puede tener el libro? 
A) 165 B) 330 C) 320 
D) 145 E) 325 
RESOLUCIÓN 
Suponiendo la última página con 
numeración PAR. 
Cantidad de cifras de las páginas 
impares: 
1, 3, 5, 7, 9, 
5#s 
5 x 1 = 5 cifras 
11, 13, 15, 17,……., 97, 99 
45#s 
45x2=90cifras 
101, 103, 105, 107,………. 
440-(5+90) = 345 cifras 
Se han utilizado 345 cifras para 
escribir números de3 cifras: 
3 cifras = 115 
3 
345 
 
números de 3 cifras
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
Total de páginas impares 
= 5+45+115=165 páginas. 
Total de páginas =330 
RPTA.: B 
65. Al escribir la secuencia adjunta que 
tiene 113 términos. ¿cuantas cifras 
en total se han utilizado? 
67 70 73 76 66 ,69 ;72 ;75 ;........... 
A) 664 B) 665 C) 620 
D) 653 E) 655 
RESOLUCIÓN 
abc 1 
67 70 97 100 103 66 ,69 ;...96 ;99 ;102 ...abc 
 
11#s 1# 101#s 
11 x 4 1 x 5 101.6 
RPTA.: E 
66. Las 72 primeras páginas de un libro 
utilizan 69 tipos de imprenta menos 
en su numeración que las utilizadas 
por las 72 últimas ¿Cuántas páginas 
tiene el libro? 
A) 159 B) 157 C) 148 
D) 195 E) 185 
RESOLUCIÓN 
La numeración de las páginas será: 
1, 2, 3, 4,……., 71, 72,…….., 
“x” Cifras utilizadas 
n  72, n  71, n  70........, N 
“(x+69)” cifras utilizadas 
(La cantidad de cifras del 1 al 72) = 
(72+1)2-11=135 
La cantidad de cifras utilizadas en las 
72 últimas páginas será: 
135+69=204 
Entonces si al total de cifras desde 
1ª “N”, le quitamos el total de cifras 
utilizadas desde 1 hasta (N-72) es 
igual a 204. 
Asumiendo para N=3 
N  13 111  N  72  12 11  204 
N=159 
RPTA.: A 
67. En la siguiente serie, halle el término 
que ocupa el lugar ante penúltimo. 
3, 9, 17, 27,……., 699 
A) 559 B) 597 C) 647 
D) 649 E) 585 
RESOLUCIÓN 
tn =      2 
1 1 
2 
1 2 
1 r . 
n n 
t n .r 
  
   
En el problema 
    
2 
2 
3 2 
699 3 1 6 
2 
. 
n n 
t n . n 
  
     
2 700  n  3nn  25 
23 
22.21 
t 3 22.6 .2 597 
2 
    
RPTA.:B 
68. ¿Cuántos números de la forma: 
aa  1b b  2 c c /2  d existen? 
A) 960 B) 2160 C) 3200 
D) 3600 E) 2400 
RESOLUCIÓN 
N  aa  1bb  2cc /2 d 
1 2 0 0 
2 3 2 1 
3 4 4 2 
. . 6 . 
. . 8 . 
. . . 
. . . 
7 . .
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
8 9 9 
C#s= 8 x 8 x 5 x 10 =3200 
d= 0; 1; 4; 9; 16;…..; 2 8 ; 2 9 
RPTA.: C 
69. En que sistema de numeración 
existen 136 números de las formas: 
  K a a  b b 
A) 16 B) 17 C) 18 
D) 19 E) 20 
RESOLUCIÓN 
a+b= k-1 (máximo) 
a=1; b=0; 1; 2; 3…;k-2 k-1 
a=2; b=0; 1; 2; .…;k-3 k-2 
a=3; b=0; 1; 2; .…;k-4 k-3 
. . 
. . 
. . 
a=k-2; b=0,12 
a=k-1; b=0 1 
 #s = 
k 1 k 
136 
2 
 
 
k 1k  8 17  2 
k=17 
RPTA.: B 
70. ¿Cuántos números de tres cifras 
existen, que tengan por lo menos 
una cifra par y por lo menos una 
cifra impar? 
A) 500 B) 625 C) 675 
D) 635 E) 600 
RESOLUCIÓN 
Sabemos: 
a b c 
9x10x10=900 números de 3 cifras 
Para hallar los números de3 cifras 
que tengan al menos 1 cifra impar y 
1 cifra par, al total de números de 3 
cifras se le debe restar los números 
de 3 cifras pares e impares luego: 
# de 3 cifras pares 
a b c 
2 0 0 
4 2 2 
6 4 4 
8 6 6 
8 8 
4 x 5 x 5 = 100#s 
# de 3 cifras impares 
a b c 
1 1 1 
3 3 3 
5 5 7 
7 7 5 
9 9 9 
5 x 5 x 5 = 125 #s 
Entonces: 900-(100+125)675 #s 
RPTA.: C 
71. ¿Cuántos números capicúas existe 
entre 800 y 80000? 
A) 900 B) 800 C) 700 
D) 750 E) 810 
RESOLUCIÓN 
800 < ”capicúas”< 80000 
Capicúas 
a b a ; a b b a ; 
8 0 1 0 
9 1 2 1 
2 3 2 
. . . 
. . . 
. . . 
9 9 9 
2x10 = 20 9x10=90 
a b c b a 
1 0 0 
2 1 1 
1 2 2 
. . . 
. . . 
. . .
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
7 9 9 
7x10x10=700 
C#s Capicúas= 20+90+700=810 
RPTA.: B 
72. ¿Cuántos números de 10 cifras hay 
en base 16 tal que el producto de 
sus cifras sea 30? 
A) 990 B) 800 C) 720 
D) 500 E) 600 
RESOLUCIÓN 
Casos: I II 
Producto de =30= 2x3x5 = 5x6 
cifras 
III IV 
=15 x 2 =10 x 3 
Caso I : 10x9x8 = 720#s 
Caso II : 10x9 = 90#s 
Caso III : 10x9 = 90#s 
Caso IV : 10x9 = 90#s 
Total = 990#s 
RPTA.: A 
73. ¿En que sistema de numeración hay 
66 números capicúas de 5 cifras, 
que exactamente tenga 2 veces la 
cifra 2 en su escritura? 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9 
RESOLUCIÓN 
Nro capicúa: abcba 
Tenga 2 cifras “2” 
En su escritura: 
x 2 b c b 2 x a 2 c 2 a 
0 0 1 0 
1 1 3 1 
3 3 . 3 
. . . . 
. . . . 
. . . . 
  
  
  
 1 
1 
1 
1 
 
 
 
 
x 
x 
x 
x 
  
  
  
 1 
1 
2 
1 
 
 
 
 
x 
x 
x 
x 
      2 
x 1  x  2 x 1  66 
x 1 x 1  x  2  66  6 11 
x 12x  3  7 12  7  3 
x  7 
RPTA.: C 
74. Se escriben en forma consecutiva los 
números enteros positivo uno a 
continuación del otro hasta emplear 
2226 cifras. ¿Cuál es la cifra que 
ocupa el último lugar? 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9 
RESOLUCIÓN 
2226 cifras 
1,2,…9; 10,11,….99,100,……U 
9 #s 90 #s 
Cifras: 9x1 90x2 2037 cifras 
2037 3 
679 # s de 3 cifras 
 679  U 100  1U  778 
Última cifra =8 
RPTA.: D 
75. Un libro se empieza a enumerar 
desde una primera página y se 
observa que 58 números comienzan 
con la cifra 7. ¿Cuántos números 
escritos terminan con la cifra 7? 
A) 76 B) 67 C) 70 
D) 74 E) 73 
RESOLUCIÓN 
La numeración de las páginas que 
comienzan con la cifra 7 será: 
1,2,3,….,7,…..,70,71,…,78,79…, 
1#s 10#s 
700,701,702,..,746 
47#s
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
El libro tiene 746 páginas 
La secuencia de las páginas que 
terminan con la cifra 7 será: 
7,17,27,37,47,…….,717,727,737 
Total de números que terminan en la 
cifra 7: 
Total= 
737 7 
1 74 
10 
 
  
Total= 74 números 
RPTA.: D 
76. Se han arrancado las 50 últimas 
hojas de un libro, notándose que el 
número de tipos de imprenta que se 
han utilizado en su numeración, ha 
disminuido en 361. ¿Cuántos tipos 
de imprenta se han utilizado en la 
numeración de las hojas que 
quedaron. 
A) 2 661 B) 2 771 C) 2 769 
D) 2 772 E) 2 774 
RESOLUCIÓN 
En total de páginas =100 
Si las 100 páginas arrancadas fueran 
todas de 4 cifras, faltarían en total 
400 tipos de imprenta, pero sólo 
faltan 361, esto indica que algunas 
páginas son de 3 cifras. 
Si cada página de 4 cifras 
reemplazamos por una de 3 cifras, 
la cantidad de tipos disminuye en 1. 
Cantidad de páginas de 3 cifras = 
400 -361 =39 
La última página de 3 cifras es la 
999 
La última página de 3 cifras que 
quedaron es =999-39=960 
Cantidad de tipos=3(960+1)-111=2 
772 
Total de tipos = 2 772 
RPTA.: D 
77. Si de los números del 1 a 1000, no 
se marca ni un solo número que 
contenga la cifra 4 ó la cifra 7 
¿Cuántos números se marcan? 
A) 506 B) 510 C) 511 
D) 512 E) 515 
RESOLUCIÓN 
Sin 4 ó 7 del 1 al 1000, por análisis 
combinatorio tenemos: 
* De 1 cifra:(1,2,3,5,6,8,9)=7#s 
* De 2 cifras: a b 
7 x 8 = 56 #s 
* De 3 cifras: a b c 
7 x8x 8=448 #s 
* De 4 cifras: (1000) 1# 
Luego : 7 +56 +448+1 =512#s 
RPTA.: D 
78. Un libro tiene entre 100 y 1500 
páginas, si en las 40 últimas páginas 
utiliza 155 cifras ¿Cuántas cifras 
tendría si se enumerara en el 
sistema octal? 
A) 3555 B) 4005 C) 3750 
D) 4125 E) 4325 
RESOLUCIÓN 
x números de 3 cifras 
x+y=40 x=5 
y números de 4 cifras 
3x+4y=155 y= 35 
Última página =1034 = 8 2012 
# cifras =   8 8 
4 2013 1111  3555 
RPTA.: A
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
79. Sea la P.A.: 
4a6;.....;68b;6c b  2;70d 
donde el término del trigésimo lugar 
de la P.A. es 68b. 
Halle (a + b + c + d). 
A) 26 B) 24 C) 30 
D) 25 E) 13 
RESOLUCIÓN 
4ab;.......;68b;6c b  a;70d 
r=8; c=9 
  30 t  68b  4a6  29. 8 
680  406  10a  232 
42  b  10.ad  4 
8 5 
 a+b+c+d+=26 
RPTA.: A 
80. Halle la diferencia de las bases de 2 
sistemas de numeración; si uno 
tiene 56 números capicúas de 3 
cifras más que el otro, y que la 
suma de dichas bases es 15. 
A) 5 B) 4 C) 3 
D) 6 E) 7 
RESOLUCIÓN 
abaw 
Nros capicúas: 
z xyx 
Además: w+z=15 
Método combinatorio: 
a b a(w) 
1 0 
2 1 
3 2 
. 3 
. . 
. . 
. . 
  
  
  
w 
w 
w . 
w 1 
1 
1  
 
 
z x y x 
1 0 
2 1 
3 2 
. 
. . 
. . 
. . 
  
  
  
z 
z 
z . 
z 1 
1 
1  
 
 
Por dato: 
    56 2 2 w  w  z  z  
    56 2 2 w  z  z  w  
w  zw  z 1  56 
14 
4 
14 
56 
w  z   
RPTA.: B 
81. Una persona empieza a numerar las 
páginas de un libro desde el número 
4000, se detiene en el número que 
representa la cantidad de cifras 
utilizadas. Dar la suma de las cifras 
del último número. 
A) 12 B) 13 C) 11 
D) 14 E) 15 
RESOLUCIÓN 
Sucesión será: 
4000;4001;4002………….…;N 
“N” tipos de imprenta 
Planteando el enunciado: 
(Cantidad de números) x 4 =N 
4N 3999  N
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
3N= 4x 3999 
N= 4(1333) =5332 
N=5332 
Suma de cifras: 5+3+3+2=13 
RPTA.: B 
82. Al enumerar las páginas de un libro 
en base siete se emplean 996 cifras. 
Indicar la suma de las cifras del 
numeral correspondiente a la última 
página. 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
RESOLUCIÓN 
1;2;...6; 7 10 ;…; 7 66 ; 
6 números 7 60 números 
1007…6667 10007 ..abcd7 
7 600 números x números 
6cifras+ 42x2 cifras +294x3 cifras 
+x.4 =996 
4x=996-972 
4x=24 
x=6 números 
7 7 abcd  1005 
1 + 0+ 0+ 5=6 
RPTA.: C 
ADICIÓN - SUSTRACCIÓN 
83. Si : 
a0ca  8abc  b7c8  ccab  24022 
Halle:   2 a b c 
A) 270 B) 256 C) 320 
D) 245 E) 325 
RESOLUCIÓN 
Si: 
a0ca  abc  b0c0  ccab  
24022 - 8000 -708=15314. 
Entonces: a + b + c =14 
(único valor que cumple) 
* 1+(a+ b+ c)+c =.........1 
15 + c=..........1  c = 6 
* 2 + a + c = ...........3 
8 + a = ...........3  a = 5 
* 1+ a + b + c = 15 
1 + 5 + b +6 = 15  b=3 
 2 2 ab  c  5 3  6  270 
RPTA.: A 
84. Halle : a b  c; si n + x =16 y 
x1x  x2x  x3x  ...  x n 1 x  abc4 
A) 13 B) 14 C) 15 
D) 16 E) 19 
RESOLUCIÓN 
n + x = 16 ; (n  1) . x = ... 4 
n = 10 
x = 6 
x (n-1)  4  x=6 
6 9 n=10 
 a + b + c = 14 
RPTA.:B 
“n-1” 
Sumandos 
a 
5 
5 5 
x x 
x 
1 
x 2 
x (n-1) x 
b c 4 
9 0 
...
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
85. Halle en base 10 el valor de “S” si 
sus 15 términos forman una 
progresión aritmética: 
S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n) 
A) 637 B) 625 C) 5481 
D) 675 E) 645 
RESOLUCIÓN 
n (n) n n S  12  21  30  ...  210 
Razón: n n 21  12  n  1 
Último término: 
    n n 12  14 n 1  210 
Resolviendo: n  n    n  2 7 6 0 6 
6 6 6 6 S  12  21  30  ...  210 
S= 8 + 13 + 18 + … + 78 
x 
S   
15 86 
645 
2 
RPTA.:E 
86. Halle la suma de todos los números 
de la forma: aa /2b 2b 
A) 84440 B) 84480 C) 84840 
D) 104480 E) 105480 
RESOLUCIÓN 
1 columna = 0 2 4684  80 
2 columna =0  1  2  3  4  4  40 
3 columna =1 23 45  50 
4 columna = 2  4  6  8 5  100 
RPTA.:E 
87. Si: 102104106.................... n S 
“n” sumandos 
Halle la siguiente suma: 
1 2 3 4 49 S  S  S  S  S  .........  S 
A) 26 615 B) 16 415 
C) 161 450 D) 164 150 
E) 146 150 
RESOLUCIÓN 
1 S  102 
2 S  102  104 
3 S  102  104  106 
. . . . ……….. 
. . . . ……….. 
. . . . ……….. 
. . . . ……….. 
. . . . ……….. 
. . . . ……….. 
. . . . ……….. 
49 S  102  104  106  ……+198 
S = 49(102)+48(104)+47(106)+...1(198) 
S = 2[49(51) + 48(52)+47(53)+...1(99)] 
S = 2[49(10049)+48(10048)+... 
+47(10047)+...+1(1001)] 
S = 2[100(49+48+47+....+1).... 
(49²+48²+47²+...+1²] 
4949 1 4949 1 2 49 1 
S 2 100 
2 6 
164150 
      
      
  
 
S = 164150 
RPTA.: D 
88. Efectuar: 
S = 6 + 66 + 666 + 6666 + ....+ 66...66 
“n” cifras 
:20#s 
S= 
5 4 
a 
2 
8 
105 4 8 
8 
4 
6 
1 
2 
3 
4 
0 
1 
2 
3 
4 
0 
2 
4 
6 
8 
 a 
  
 2 N= b (2b) 
0
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
A) 
n 1 10 9n 
9 
  
B) 
n 1 10 9n 10 
27 
   
C) 
n 10 9n 10 
27 
  
D) 
n 1 10 9n 10 
2 
27 
     
  
  
E) 
n 10 9n 10 
2 
27 
    
  
  
RESOLUCIÓN 
Factorizando el 6: 
S = 6 (1+11+111+1111+... 
+ 11111 ....... 1111 
“n” cifras 
Multiplicando por : 9: 
9 S = 6 (9+ 99+999+9999 + ... 
+ 99999 ....... 9999 
“n” cifras 
        1 2 3 n 3S 
10 1 10 1 10 1 ....... 10 1 
2 
         
  1 n 3S 10 10 1 
n( 1) 
2 (10 1) 
 
   
 
  n 1 2 10 9n 10 
S 
27 
   
 
RPTA.: D 
89. Halle: a bsi: 
C.A.1ab  C.A2ab  C.A.3ab  ... 
C.A.9ab  41ab 
A) 1 B) 6 C) 8 
D) 10 E) 4 
RESOLUCIÓN 
CA 1ab  CA 2ab  ...  CA 9ab  41ab 
      3 3 3 10 1ab  10  2ab  ...  10 9ab  41ab 
  3 9 10  1ab  2ab  ...  9ab  4100  ab 
3 1ab 9ab 
9 10 9 4100 ab 
2 
 
     
9000  500  ab  9  4100  ab 
400  10  ab  ab  40 
a + b = 4 
RPTA.: E 
90. Calcule: k m n si se cumple que: 
  
  
13 13 
k m k 
CA mn 2n 
5 3 8 
       
        
       
A) 27 B) 13 C) 53 
D) 4 E) 25 
RESOLUCIÓN 
  
  
13 13 
k m k 
CA mn 2n 
5 3 8 
        
         
        
Método Práctico: 
m 
12 m m 9 
3 
    
12  n  2n n  4 
k k 
13    k  40 
5 8 
k mn  40  9  4  4 
RPTA.: D 
91. Si: 
m m m m m abc  cba  xyz ,xyz  zyx 
m  defg yd  e  f  g  16; 
Halle el valor de m. 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9 
RESOLUCIÓN 
m m m abc  cba  xyz 
 x  z m 1 
y= m – 1 
  
  
  
m 
m 
m 
x y z 
z y x 
de f g 
 
z+x=m-1=g
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
2y = 2m-2=  m 
1 m 2 
f  m 2 
1  x  z  m  10m  dem 
D = 1 ; e = 0 
Luego: 
d + e + f + g =16 (por dato) 
1 + 0 +m – 2 + m – 1 =16 
2m=18 m  9 
RPTA.: E 
92. Calcule el complemento aritmético 
del número n n M      1 1 9 10 10 
Dar como respuesta la suma de sus 
cifras. 
A) 10n+2 B) 15 C) 18 
D) 9n-1 E) 10n-9 
RESOLUCIÓN 
n n M      1 1 9 10 10 
Se puede expresar: 
n n M       2 1 1 9 10 10 10 
Factor común: 
n 1 n 1 M 10 900 1 901 10         
C.A901000...000  99000...000 
(n+2)cifs. ( n+1)cifs. 
Suma de cifras: 9+9 =18 
RPTA.: C 
93. Si N y M son números de 200 y 150 
cifras respectivamente, y 
CAN  M  CA(N). 
Halle la suma de cifras del 
complemento aritmético de M. 
A) 151 B) 1 C) 50 
D) 9 E) 450 
RESOLUCIÓN 
C.A.N-M  C.A.(N) 
  k n 10  N  M  10  N 
  n K K M  10 10  10 99...9 
k CA(M)  10 .1  100...0 
 Cifras = 1 
RPTA.: B 
94. ¿Cuál es el mayor sistema de 
numeración en el cual se puede 
escribir con tres cifras un número 
entero que en el sistema decimal 
tiene por complemento aritmético a 
otro numeral de 3 cifras iguales? 
A) 26 B) 29 C) 20 
D) 19 E) 22 
RESOLUCIÓN 
Sea “n” el valor máximo de la base, 
que representa al número dado 
como: abcn  N  10 
Además:     10 CA N  XXX 
Cómo 10 N debe ser máximo, por lo 
tanto su CA deberá ser el más 
pequeño posible, luego x=1 
Luego:     10 CA N  111;N  889 
Entonces: 
  
2 
abc n  889 n  889; n  29,7Luego 
el mayor valor de la base será: n = 
29 
RPTA.: B 
95. Si: 
21ab  24ab  27ab  ....  69ab 
es xyz63 
Calcule: (a+b+x+y+z) 
A) 28 B) 27 C) 24 
D) 26 E) 32 
RESOLUCIÓN 
21ab  24ab  27ab  ....  69ab 
es xyz63
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
2100  2400  2700  ....  6900  17 ab 
17#s. 
9000 
2 
17 17 ab xyz63 
  
     
  
Observando: (otras cifras son ceros) 
ab  
17*7  b  .3;b  9 ab  39 
73 *7  a  6  .7;a  3 
9 
63 
4500 17 17 39  xyz63 X=7 
174539  77163  xyz63 Y=7 
a  b  x  y  z  27 Z=1 
RPTA.: B 
96. ¿En que sistema de numeración “n” 
la suma de todos los números 
capicúas de 2 cifras es 330 en base 
“n”? 
A) 6 B) 4 C) 7 
D) 9 E) 8 
RESOLUCIÓN 
Planteando el enunciado. 
         n n n n n 
11  22  33  ...  n 1 n 1  330 
1n  1  2n  1  3n  1  ...n 1 n  1  3nn  1 
Simplificando tendremos: 
1+2+3+4+….+(n-1)=3n 
Suma 
de 
n 
n  n 
  
    
  
1 3 
2 
naturales 
n  1 = 6; n = 7 Heptanal 
RPTA.: C 
97. Halle la suma mínima de los 
siguientes números que se 
encuentran en P.A.: 
S = ab;ac;a  13;a  1 c;....;a  7 c 
De como respuesta la suma de cifras 
de S. 
A) 16 B) 18 C) 20 
D) 21 E) 22 
RESOLUCIÓN 
ab;ac;a  13;a  1C...  a  7c 
5 5 5 
b=3 c=8 
min a  1 
13 88 88 13 
S 1 
2 5 
    
     
  
S  
101 
2 
 16  808 
 Cifras de S=16 
RPTA.: A 
98. Si: 8 8 8 8 aba  ab  ba  ccdd 
Halle el valor de (a+b+c+d). 
A) 15 B) 16 C) 17 
D) 18 E) 19 
RESOLUCIÓN 
Ordenando: 
  aba  8 
  ab 8 
  ba8 
  c cdd8 
8 a  b  a  2d  16  d b=5 
8 b  a  b  2  2d  16  d
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
d=3 
8 a  2  CC  9C 
c= 1 a=7 
a + b + c + d = 16 
RPTA.: D 
99. Halle la suma: 
4 5 6 7 100 13  31  13  31 ...  13 
A) 2 895 B) 7 536 
C) 12 301 D) 10 321 
E) 10 231 
RESOLUCIÓN 
Desdoblando en dos sumas: 
        S     ...  1 4 6 8 100 
13 13 13 13 
S     1 7 9 11 … +103 
2 
103 7 103 7 
S 1 2695 
2 2 
      
        
    
        S     ...  2 5 7 9 99 
31 31 31 31 
S     ...  2 16 22 28 298 
1 
298 16 298 16 
S 1 7536 
2 6 
      
        
    
1 2 S  S  S  2695  7536  10231 
RPTA.: E 
100. Halle: “ a+b+c” si: 
a1b9  a2b9  a3b9  ...  a8b9  48c29 
A) 16 B) 17 C) 15 
D) 20 E) 18 
RESOLUCIÓN 
a1b9  
a b  
. 
. 
. 
2 9 
a8b9 
48c29 
Unidades: 
  
º 
8 b  x2 9  8.b  9 2 b  7 
Decenas: 
8 9 
6 42 4 9 6 c 6 
2 
 
       
Centenas: 
9 8 a 4 48 
8 a 40 a 5 
   
    
a + b + c = 18 
RPTA.: E 
101. Halle la diferencia de las cifras de un 
número de 2 cifras; tal que la suma 
del número con el que resulta de 
invertir sus cifras, sea igual a la 
suma de todos los números de 2 
cifras hasta el inclusive. 
A) 0 B)4 C) 2 
D) 1 E) 3 
RESOLUCIÓN 
Planteando el enunciado: 
Nro. Inicial: ab 
Nro. Invertido: ba 
ab  ba  10 11 12 13  ...  ab 
    10 ab 
11 a b ab 9 
2 
   
       
  
22a  b  10  ab ab  9 
22=10+ab  ab  12 
3 = 12  9
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
Pide la diferencia b  a = 1 
RPTA.: D 
102. Halle la suma de los C.A. de todos 
los números que tienen tres cifras 
impares. 
A) 55 6615 B) 55635 
C) 45 625 D) 55 525 
E) 55 625 
RESOLUCIÓN 
 C. A. abc  
Sumando: 
Unidades: 
25  (9 + 7 + 5 + 3 + 1) = 625 
Decenas: 
25  (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500 
Centenas: 
25  (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500 
55625 
RPTA.: E 
103. Se realiza una reunión de Peruanos 
y Bolivianos para tratar con respecto 
a la agricultura, son 12 en total, los 
peruanos son más que los 
bolivianos, los peruanos llegan y se 
dan los buenos días mutuamente; 
los bolivianos lo mismo, pero los 
peruanos no saludan a los bolivianos 
y lo mismo los bolivianos, si en total 
se efectuaron 31 saludos ¿Cuál es la 
diferencia entre Peruanos y 
Bolivianos? 
A) 2 B) 3 C) 1 
D) 5 E) 4 
RESOLUCIÓN 
P+B=12 
Saludos Peruanos 
1 P-1 
2 P-2 
. . 
P 
P 
   
  
  
1 
2 
. . 
. . 
P-1 1 
Saludos Bolivianos 
1 B-1 
2 B-2 
3 B-3 
. . 
. . 
. . 
B-1 1 
P B 
P B 
      
      
    
1 1 
31 
2 2 
2 2 P  P  B  B  62 
P² + B² (P + B) = 62 
P² + B² = 74 
7² + 5² = 74 
7  5 = 2 
RPTA.: A 
a b c 
1 1 1 
3 3 3 
5 5 5 
7 7 7 
9 9 9 
(9 a)(9 b)(10 c) 
8 8 9 
6 6 7 
4 4 5 
2 2 3 
0 0 1 
   
   
5  5  5 =125 Números 
5  5  5 = 125 
Números 
B 
B 
   
  
  
1 
2
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
104. ¿Cuántos números de la forma 
abcde existe, tales que: 
a  b  c  d  e y la suma de los 
cuadrados de las cifras de segundo y 
quinto orden es igual a la suma de 
los cuadrados de las demás cifras? 
(Las cifras a, b, c, y d forman una 
progresión aritmética). 
A) 1 B) 5 C) 6 
D) 9 E) 4 
RESOLUCIÓN 
abcde;a  b  c  d  e 
2 2 2 2 2 a  d  b  c  e . 
      2 2 2 2 2 d  3r  d  d  2r  d  r  e 
d=d 
c= d+r 
b=d+2r 
a=d+3r 
Resolviendo  e = 2 r 
r  1  e  2 
a b c d e 
6 5 4 3 2 
7 6 5 4 2 
8 7 6 5 2 
9 8 7 6 2 
     
Solo hay 4 números 
Si r  2 e  4 
a b c d e 
     
119 7 5 4 
No hay números 
RPTA.: E 
105. Halle la suma de cifras de la suma 
de todos los números de la forma 
    
a 3 b 1 
a 2 2b 5 
2 3 
      
     
    
A) 15 B) 14 C) 13 
D) 16 E) 17 
RESOLUCIÓN 
b = {1; 4} 
a = {3; 5; 7; 9; 11} 
Ordenado los productos parciales 
U  ( ) 
10 
5 
1 
= 5 0 + 
D  ( ) 
10 
10 
2 
= 5 0 
C  ( ) 
10 
1 
2 
= 5 
M  ( ) 
10 
25 
5 
= 5 0 
UM ( ) 
10 
25 
5 
= 50 
S= 55 1 0 5 0 
Cifras  16 
RPTA.: D 
MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN 
106. Si al multiplicando y multiplicador se 
le disminuye en 2 y 4 
respectivamente, el producto 
UM M C D 
a  2 b   
  
  
1 
3 
 a   
  
  
3 
2 
5 
U 
(2b) 
1 
3 
5 
7 
9 
3 
4 
5 
6 
7 
0 
1 
2 
8 
5 
5 x (2) =10
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
disminuye en 198. Halle la suma de 
los factores de dicha multiplicación si 
su diferencia es 8. 
A) 63 B) 65 C) 67 
D) 66 E) 69 
RESOLUCIÓN 
M x m = P 
(M-2)(m-4) =P-198 
Mm-4M-2m+8= P-198 
206 =4M + m x 2 
103=2M + m 
8= M-m 
111 = 3M; M = 37 
m = 29 
M + m = 66 
RPTA.: D 
107. Si 7 7 7 abcd  2222  ...3125 
Halle el número de divisiones de 
dividendo 
d 
ca 
b 
  
  
  
y residuo ab 
A) 1 B) 2 C) 4 
D) 5 E) 6 
RESOLUCIÓN 
7 7 7 abcd .2222  ...3125 
Multiplicando por 3. 
7 7 7 abcd .2222  ...3125 ; 
Expresando: 7 7 6666  10000 1 
  
  7 7 7 7 7 abcd 10000 1  abcd0000  abcd  ...2411 
entonces a=4 b=2 c=5 d=6 
luego 
 354 = divisor. cociente + 42 
312= divisor. Cociente 
además divisor >42 
 divisor =52,104,78,156,312 
 hay 5 divisiones (tabla de 
divisores) 
RPTA.: D 
108. Calcular la cantidad total de 
números enteros los cuales al ser 
divididos entre 31, producen un 
resto triple que el cociente 
corresponde. 
A) 13 B) 4 C) 10 
D) 11 E) 12 
RESOLUCIÓN 
Sea “N” uno de dichos números: 
N= 31q + 3q 
N= 34q 
Además, sabemos: resto < divisor 
3q  31 
q  31/3 q  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 
Cantidad de valores =10 
RPTA.: C 
109. Si multiplicamos al número abc por 
n0n (0 = cero) observamos que el 
producto total es **435 (cada 
asterisco representa una cifra). Dar 
como respuesta a + b + c; si 
además; a<9. 
A) 17 B) 16 C) 15 
D) 14 E) 13 
RESOLUCIÓN 
n = 5 
c = 7 
b = 8 
a = 1 
+ + 
d 
ca 
b 
  
  
  
Divisor 
ab Cociente 
abc 
non 
. 
. . 
935 
935 
435
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
a + b + c = 16 
RPTA.: B 
110. Si en una división, el residuo por 
exceso, residuo por defecto, divisor 
y cociente son números pares 
consecutivos. ¿Cuál es el valor del 
dividendo? 
A) 25 B) 52 C) 48 
D) 60 E) 56 
RESOLUCIÓN 
Al ser pares consecutivos, entonces 
cada uno es igual al anterior 
incrementado en 2 unidades. 
E R  N ; D R  N  2: d  N  4 N; 
q  N  6 
Sabemos que: 
E D R  R  d 
N  2  N  N  4  N=2 
E R  2 ; D R  4; d  6 ; q=8 
D = 6  8 + 4 = 52 
RPTA.: B 
111. Si: 
abc x 47  ...576 y CA aax 
CAab  CAxyzw . Calcule lo que 
le falta a xyz para que sea un 
número cuadrado (el menor posible). 
A) 36 B) 134 C) 34 
D) 68 E) 45 
RESOLUCIÓN 
 
o 
7 c  10  6  c  8 
o 
7 b  5  10 5  b  0 
o 
7 a  10 2 a  6 
CAaa  CAab  CAxyzw 
CA66  CA60  CAxyzw 
34  40  CAxyzw 
1360  CAxyzw 
1  x  9 x  8 
3  x  9 y  6 
6  z  10z  4 
  0 
xyz  864 
Falta = 900-864 = 36 
RPTA.: A 
112. Calcule el producto total de la 
siguiente multiplicación: 
     6 6 a a 1  a  2 a  3 
Si la diferencia de sus productos 
parciales es 29. 
A) 6 
1033 B) 6 
1003 C) 6 
2002 
D) 6 
2003 E) 6 
2100 
RESOLUCIÓN 
     
x 
a  a  
6 
2 3 a < 3 
  
  
a a 
6 
1 
Productos parciales: 
      6 6 
a  1 a  2 a  3  
     6 6 
a a  2 a  3 
   6 6 
a  2 a  3  29  45 
a  2 
Reemplazando: 
6 45  
6 23 
abc 
47 
...256 
...32 
...576
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
6 223 
6 134 
2003(6) 
Producto: 2003(6) 
RPTA.: D 
113. Si: 
1245124512....(n)       n 
n 1 n 1 ... n 1 
38 cifras 
 ...abcde5n 
Calcule el producto de cifras del 
numeral abcnn1 expresado en base 
12. 
A) 72 B) 148 C) 321 
D) 254 E) 392 
RESOLUCIÓN 
Como tiene 38 cifras termina en 12. 
...124512(n)     n 
... n 1 n 1 
= ...abcde5n ; n 5 
  
º 
2  n  1  n 5 
 2n2 = n+5 
 n = 7 
Reemplazando: 
...124512(7)  
......6666(7) 
...120305(7) 
...120305(7) 
...120305 
...120305 
...120305 
...120305 
...............542155 
    
    
  
7 7 
8 8 
12 
abcde5 542155 
abcn 5427 2839 
2839 1787 
1 7 8 7 392 
 
  
 
    
RPTA.: E 
114. Se obtienen 4 residuos máximos al 
dividir abcde por 43. Halle: 
(a+b+c+d+e) 
A) 51 B) 45 C) 40 
D) 39 E) 42 
RESOLUCIÓN 
ab  43r  42;r  1 
a=8 
ab  85 
b=5 
42c  43(p)  42;p  9 
42c  429 c  9 
42d  43q  42, q  9 
42d  429 d  9 
42e  43z  42  z  9 
42e  429; e  9 
a + b + c + d + e =40 
RPTA.: C 
115. Es una división el residuo por 
exceso es 
3 
1 
del divisor. El menor 
número que se debe sumar al 
dividendo para aumentar en 2 al 
cociente es 52. Al triplicar al 
dividendo, el cociente aumenta en 
36. Halle la suma de las cifras del 
dividendo. 
A) 15 B) 17 C) 20 
D) 23 E) 24 
RESOLUCIÓN 
e r  d r  d 
1 2 
3 3 
abcde 43 
rpqz 
- - 
42c 
- - - 
42d 
- - - 
- -e 42 
42
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
Luego: 
D  dq  d 
2 
3 
* 
D  52  dq  2 
52  dq  d  dq 
2 
3 
 2d 
 d d  r  
4 
52 39 26 
3 
* 
 3q  2  q  36 
 q = 17 
D= 39 x 17 + 26 = 689 
 cifras de D = 23 (6 + 8 + 9) 
RPTA.: D 
116. En una división inexacta por defecto, 
el divisor y el residuo son 34 y 14 
respectivamente, si al divisor se le 
agrega 5 unidades entonces el 
cociente disminuye en 2 unidades. 
Halle el nuevo residuo sabiendo que 
es el menor posible. 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
RESOLUCIÓN 
34q + 14 = 39q – 78 + r 
92 =5q + r 
q=18  r=2; Residuo = 2 
RPTA.: B 
117. En una división entera inexacta la 
suma de los 4 términos es 744, el 
mínimo valor que se debe quitar al 
dividendo para que el cociente 
disminuye en 1 es 49, y el máximo 
valor que se debe agregar al 
dividendo para el cociente aumente 
en 1 es 67. Halle el dividendo. 
A) 608 B) 622 C) 618 
D) 628 E) 632 
RESOLUCIÓN 
 
116 = 2d  d = 58 
En (1) 
58q + r + 58 + q + r = 744 
59q + 2r = 686 
10 48 
 D=58 x 10 +48 = 628 
RPTA.: D 
118. Sea “N” un número que tiene entre 
49 y 57 cifras que multiplicando por 
91 se obtiene un número formado 
por un 1, un 3, etc. Halle la suma de 
cifras de dicho número 
A) 168 B) 156 C) 96 
D) 108 E) 86 
RESOLUCIÓN 
N.91 = 1313… 
D d 
d q 
2 
3 
D + 52 d 
0 q +2 
3D 39 
3x26 3q +2 
0 
D 34 
14 q 
D  34q  14 
D 39 
r q-2 
D  39(q  2)  r 
D d 
r q 
D  d  q  r  744...(I) 
D - 49 d 
d -1 q-1 
D49d(q1) (d1) 
D+67 d 
d -1 q+1 
D  67  d(q  1)  (d  1)
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
Luego deben ser: 4 +6 .8 =52 
cifras. 
 cifras = 9x12 =108 
RPTA.: D 
119. Halle la suma de cifras del menor 
número que multiplicando con 14 de 
un número formado por puras cifras 
3 y en las unidades un 0. 
A) 17 B) 19 C) 26 
D) 27 E) 31 
RESOLUCIÓN 
N. 14 =33…30 
RPTA.: D 
120. Se tiene 943 número consecutivos, 
si se divide el menor de ellos entre 
78 se obtiene 29 de residuo ¿que 
residuo se obtiene al dividir el mayor 
entre este divisor? 
A) 49 B) 25 C) 38 
D) 29 E) 35 
RESOLUCIÓN 
943 números consecutivos: n+1, 
n+2…, n+943 
+ n  943  78k  12  35 
Comparando 
y ; h=k+12 R =35 
RPTA.: E 
121. Si se divide ma 2n 2  entre 
    2 a  2 a 1 ; tanto por defecto 
como por exceso se obtiene; que la 
suma del residuo por defecto más el 
residuo por exceso y más el cociente 
por exceso es 34. Halle (m + n + a), 
si el residuo por defecto excede al 
residuo por exceso en 16. 
A) 16 B) 8 C) 10 
D) 12 E) 20 
RESOLUCIÓN 
a = 3 
divisor: a   a    d 2 2 1 = 18 
Dato: 
  d e r  r  q  1  34 
d 
18 +q +1 =34; q=15 
d e r  r  18 
d e r  r  16 
d r =17 
131313... 
91 
403 
364 
391 
364 
273 
273 
- - - 
91 
N=1443 001443...001443 
4 cifs 6 cifs 6 cifs 
28 
53 
42 
113 
112 
133 
126 
70 
14 
N=238095 
 Cifras =27 
70 
- - 
333……. 
n+1 78 
29 k 
 n  1  78k  29... 1 
n+943 78 
R h 
 n  943  78h  R... 2 
942 78 
6 12 
942  78 12  6... 3 
1 3 4 
2 4
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
e r =1 
m8n  1815  17 
m8n  287 m = 2 
n = 7 
m + n + a =12 
RPTA.: D 
122. Al dividir un número de tres cifras 
diferentes entre su complemento 
aritmético se obtuvo cociente 3 y 
como residuo la última cifra de dicho 
complemento aritmético. Determine 
la suma de cifras del numeral 
primitivo. 
A) 13 B) 14 C) 15 
D) 16 E) 17 
RESOLUCIÓN 
abc  CAabc   c 
  
3 10 
abc    abc   c 
  
3 1000 10 
4 abc  3000  10  c 
o 
4 c  10 c 
o 
5 c  10 
0 
2 cumple sólo para 
c = 4 c = 2 
6 
8 
abc  
4 
3008 
c = 2; b = 5; a = 7 
a+b+c+=14 
RPTA.:B 
123. En una división el dividendo es par, 
el divisor es 2n  1 n  2 , el 
cociente es a  1 3a y el residuo 
b  b   3 4 9 . Calcule la suma de los 
términos de la división si se realiza 
por exceso. 
A) 2 870 B) 2 900 C) 3 000 
D) 3 037 E) 3 039 
RESOLUCIÓN 
3a  10a  3,3 
1  a  4a  2;3 
b  2 
Por algoritmo de la división 
2N  2n  1 n  2  a  1 3a  87 
Par impar impar 
a = 3 
residuo < divisor 
87  2n  1 n  2... 
2n 1  10n  5,5. 
Impar 
n= 1; 3;5 
en  : sólo cumple si n=5 
divisor =97 cociente =29 
residuo=87 dividendo =2900 
e r  10 e q  30 
Piden: 97+30+10+2900 
Piden: 3037 
RPTA.: D 
124. Calcular la cantidad total de 
números enteros los cuales al ser 
divididos entre 31, producen un 
resto triple que el cociente 
correspondiente. 
A) 13 B) 4 C) 10 
D) 11 E) 12 
abc 
r  (10  c) 3 
CA abc 
2N 
r  b  b   3 4 9 
2n  1 n  2 
a  1 3a
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
RESOLUCIÓN 
Sea “N” uno de dichos números: 
N = 31 q + 3 q 
N = 34 q 
Además, sabemos: 
resto < divisor  3q < 31 
q < 31/3 
 q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
Cantidad de valores: 10 
RPTA.: C 
125. En una división le faltan 15 unidades 
al residuo para ser máximo y sería 
mínimo al restarle 18 unidades. 
Determinar el dividendo, si el 
cociente es el doble del residuo por 
exceso. 
A) 1139 B) 1123 C) 1107 
D) 1193 E) 1137 
RESOLUCIÓN 
D = d . q + R 
RMÍNIMO = R  18 = 1  R= 19 
RMÁXIMO = R + 15 = d  1  d = 35 
Además: 
RD + RE = d 
19 + RE = 35  RE = 16 
q = 2RE  q = 32 
D = 35  32 + 19 
D = 1139 
RPTA.: A 
126. Sabiendo: 
n E  A  B ; 7 E tiene (9n+1) cifras 
como mínimo y que “A” y “B” tiene 8 
y 5 cifras respectivamente. Halle 
“n”. 
A) 12 B) 14 C) 8 
D) 10 E) 16 
RESOLUCIÓN 
 A  7 8 10 10  B  4 5 10 10 
n n n  A  7 8 10 10  B  28 7 35 10 10 
n n n A B      7 28 7 3 35 10 10 
Cifras mínimas: 
7n  28  1  9n  1 
n = 14 
RPTA.: B 
127. Si , n M ,M ,M ......,M 1 2 3 son números de 
1,3,5,………., 45 cifras 
respectivamente ¿Cuántas cifras 
puede tener como mínimo el 
producto de dichos números? 
A) 529 B) 526 C) 527 
D) 507 E) 506 
RESOLUCIÓN 
Observamos que la cantidad de 
cifras de los numerales respectivos 
forman una serie aritmética de razón 
2, entonces: 
45  1 
#detérminos 23 ; n 23 
2 
  
   
La cantidad de cifras de: 
M1, M2, M3 
Máx. = 1 + 3 + 5 + ... + 45 = 
(1 + 45) 
23 
529 
2 
 
Min.= 529  23 + 1 = 507 
RPTA.: D 
128. Si: 
A.B 
E 
C 
 
2 
2 Tiene 6x cifras enteras; 
además: “A” tiene x8 cifras; “B” 
tiene x4cifras y “C” tiene x0cifras. 
Halle “x” 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
RESOLUCIÓN
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
Por dato: E tiene “6x” cifras 
 10x  14  6x  10x  18 
 x  5 
RPTA.: B 
129. Halle el valor de “n” si E tiene 15 
cifras, A tiene 18 cifras y B tiene 13 
cifras, siendo: E  n A B 2 3 
A) 4 B) 5 C) 7 
D) 12 E) 15 
RESOLUCIÓN 
En = A² . B³ 
# cifras de En = 
Min = 15n  n + 1 
Máx = 15n 
# cifras de A² . B³ = 
Min= 2(18) +3(13)5+1 
Máx= 2(18) + 3(13) 
 36 + 39 = 15n 
n = 5 
RPTA.: B 
DIVISIBILIDAD I 
130. Si: 
A = 3k + 1 ; B = 3k + 2 
Halle el residuo que deja la 
expresión: 
E = [2A + 22B + 2³] entre 7 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 5 E) 4 
RESOLUCIÓN 
E = (2A + 22B + 8)  7 
E = (23k+1+26k+4+7+1) 
E = (2³)k . 21 + (2³)2k  24 + 1 
E = ( 
º 
7+1)2 + ( 
º 
7+1)( 
º 
7+2)+1 
E = 2 + 2 + 1 + 
º 
7 
E = 
º 
7 + 5  residuo = 5 
RPTA.: D 
131. Una importadora ha comprado 
relojes a S/. 143 c/u, lapiceros a S/. 
91 c/u; pulseras a S/. 77 c/u. Si la 
factura total fue S/. 2213. Halle el 
número de relojes. 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
RESOLUCIÓN 
Planteando el enunciado: 
“a” # de relojes 
143  a + 91  b + 77 x c = 2 2 1 3 
1 2 3 1 
(1) +1 
* Módulo de 
º 
7 : 
[( 
º 
7+3)a+ 
º 
7+ 
º 
7 ] = 3 + 3  4  2¨ 
3a + 
º 
7 = 7 + 1 
7m 1 
a 
3 
 
 
m = 2 ; a = 5 
RPTA.: B 
A.B 
E 
C 
 
2 
2 
Max  x8  2.x4 
Min  x8  2.x4  3  1 
Max  2.x0 
Min  2.x0 2  1 
E Min  x8  2.x4  2  2x0  10x  14 
 
Max  x  x    x      x  
  
8 2 4 2 0 1 1 10 18
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
132. ¿Cuál es el residuo de dividir: 
666...666 (8) entre 13? 
102 cifras 
A) 2 B) 8 C) 3 
D) 5 E) 9 
RESOLUCIÓN 
Calculando restos potenciales de 
base 8 respecto al módulo 13. 
Base 8: 80; 81; 8²; 8³; 84 
1; 8; 12; 5; 1 
1; 5; 1; 5; 1 
Cada 4 cifras se anula: 
102 4 
2 25 
6 6 6 ..... 6 6 6(8) 
  
5 1 100 cifras = 0 
 
º 
30  6  13 r 
º 
13 + 2 = 
º 
13 + r 
 r = 2 
RPTA.: A 
133. Si: 43a43 es la suma de 83 números 
consecutivos, halle el valor de “a”. 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
RESOLUCIÓN 
Sean los 83 números consecutivos: 
n41; ...; n1; n; n+1,...;n+41 
Luego: 
n41 + ....+n+41=43a43 
83n = 43a43 
º 
83 = 43043 + 100a 
º 
83 = 49 + 17a + 
º 
83 
º 
83 = 17a  34 
a = 2 
RPTA.: B 
134. ¿Cuántos términos son múltiplos de 
º 
25 ? 
2; 5; 10; 17; .......; 10001 
A) 12 B) 9 C) 8 
D) 5 E) 6 
RESOLUCIÓN 
Término n ésimo: 
an = n² + 1 ; n = 1,...., 100 
n² +1 = 
º 
25 
n² + 1  50 = 
º 
25 
(n + 7) (n  7) = 
º 
25 
n + 7 = 
º 
25  n = 18; 43; 68; 93 
n  7 = 
º 
25  n = 7 ; 32 ; 57; 82 
# términos = 8 
RPTA.: C 
135. Si al dividir por exceso: 
2304606902b31 con 
º 
23 no deja 
residuo, halle el valor de b. 
A) 1 B) 2 C) 5 
D) 7 E) 8 
RESOLUCIÓN 
Se tiene: 
º 
2304606902b31  23 2b31 
= 
º 
23 + 2031 + 100b 
= 
º 
23 + 7 + 8b 
Como el residuo es “0” 
 7 + 8b = 
º 
23 
b = 2 
RPTA.: B 
136. Halle el residuo de dividir: 
unac2008 
3abc3 por 10 
A) 1 B) 2 C) 5 
D) 6 E) 7
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
RESOLUCIÓN 
  
  
unac2008 4k 
k 
3abc3 ...3 
...1 
 
 
= ...1 
= 
º 
10 + 1 
RPTA.: A 
137. Halle el residuo de dividir: 
nm 
2 4 6 abba  cde1  fgh3 por 2. 
A) 0 B) 1 C) 0.1 
D) FD E) N.A. 
RESOLUCIÓN 
E = 
nm 
2 4 6 abba  cde1  fgh3 ; a = 1 , b=0 
= 
º º º 
nm 2 1 4 1 6 3 
      
         
      
= 
º º º 
2 1 2 1 2 3 
      
         
      
= 
º 
2 + 3 
E = 
º 
2 +1 
RPTA.: B 
138. ¿Cuál es el residuo de dividir la 
siguiente suma: 
E = [26n+3+9k.4k] entre 7? 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
RESOLUCIÓN 
E = 26n+3 + 9k.4k entre 7 
E =  2n 
3 2 . 2³ + (7+2)k.4k 
E = ( 
º 
7+1)( 
º 
7+1) + 2k.4k 
Ojo: 2k.4k = 8k=( 
º 
7+1) 
E = ( 
º 
7+1)+( 
º 
7+1) = 7+2 
RPTA.: B 
139. Sea: 
n! = 
º 
23 + 2; 
(n+1)! = 
º 
23 + 6 
¿Cuál es el residuo de (n+3)! entre 
23? 
A) 3 B) 6 C) 5 
D) 12 E) 13 
RESOLUCIÓN 
RPTA.: Cç 
140. ¿Cuántos términos de la serie: 4; 
11; 22; 37; 56; ....(100 términos) 
son: ( 
º 
13+1)? 
A) 14 B) 15 C) 9 
D) 8 E) 12 
RESOLUCIÓN 
Sucesión de 2º orden: 
c = 1 4; 11; 22; 37; 56;... 
a+b = 3 7 11 15 19 
2a = 4 4 4 4 
 columna 
secundaria 
a = 2 ; b = 1 ; c = 1 
2n² + n + 1 = 
º 
13 + 1 
n(2n+1) = 
º 
13 ; n = 
º 
13k 
#s: {13; 26; 39; 52; 65; 78; 91} (7 nros) 
#s: {2n+1= 13; 6; 19; ...97} (8 nros) 
Total de números 7 + 8 = 15 
RPTA.: B 
141. Halle “a” si (a+b) = 6, además:
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
aabbaabb...ab5 1334  11 9 y el 
exponente tiene 88 cifras. 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 2 
RESOLUCIÓN 
++ 
1334 = 
º 
11+3; calculando restos 
potenciales. 
( 
º 
11+3)5k+b =( 
º 
11+3)5k( 
º 
11+3)b= 
º 
11+9 
=( 
º 
11+ 35k)( 
º 
11+3b) = 
º 
11+9 
=( 
º 
11+3b) = 
º 
11+9 
b = 2 ; a = 5 
RPTA.: B 
142. Si el número  ab1 
135 se convierte en 
base 11. ¿Cuál será la cifra de 
unidades del resultado? 
A) 7 B) 3 C) F.D. 
D) 2 E) 1 
RESOLUCIÓN 
ab1 
ab1 
º º 
º º 
ab1 
135 base 11 
11 3 11 r 
11 3 11 r 
 
  
     
  
   
Restos potenciales de impotencia 3 
con respecto al módulo 11. 
30; 31; 3²; 3³; 34; 35 
1; 3; 9; 5; 4; 1 
º º 
ab0 1 
º k º 
5 
11 3 3 11 r 
11 3 3 11 r 
    
       
º 
11+( 
º 
11+1).3 = 
º 
11+r 
º 
11 + 3 = 
º 
11+r 
r = 3 
RPTA.: B 
143. Halle el resto de dividir E entre 7: 
  
21 
14241423 1425 E  1426 
A) 2 B) 6 C) 3 
D) 1 E) 5 
RESOLUCIÓN 
E = 1426 Impar = 
º 
7 + r 
( 
º 
7 2)Impar = 
º 
7 +r 
º 
7  2k = 
º 
7 + r 
K = múltiplo de 3  k = 3n 
º 
7  23n = 
º 
7  1 = 
º 
7 + r 
º 
7 + 6 = 
º 
7 + r 
r = 6 
Residuo = 6 
RPTA.: B 
144. Halle (d+u), si el número de la 
forma: 
º º 
mcdu  11, tal que md  7 y m + 
c + d + u = u² 
A) 9 B) 13 C) 12 
D) 15 E) 45 
RESOLUCIÓN 
º º 
mcdu  11;md  7;m c  d  u  u²u² =16 
 ++ 3 1 u² = 25 
u² = 36 
c + u  (m+d) = 
º 
11; 
para u = 4 
c  (m+d) = 
º 
11  4 .......... () 
3m+d = 
º 
7 .......................() 
Para u = 4
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
m + c + d = 12 
m + d = 12  c ..................() 
si: c = 4 
m + d = 8 ........................() 
de () y () 
c = 
º 
11 + 4 
c = 4 
de () y () 
m = 3; d = 5 
d + u = 9 
RPTA.: A 
145. ¿Cuántos términos de la siguiente 
sucesión: 2; 6; 12; 20; 30; 
....;14762 al expresarlos en base 5, 
resultan que su cifra de menor orden 
es 1? 
A) 12 B) 24 C) 36 
D) 42 E) 28 
RESOLUCIÓN 
2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; .... 14762 
     
1x2; 2x3;3x4;4x5; 5x6; ....;121x122 
 tn = n (n+1) = 
º 
5 + 1 ; n= 
1,2,...,121 
(por dato en base 5 acaba en 1) 
n² + n = 
º 
5 + 1 + 5 
 n² + n  6 = 
º 
5 
(n+3)(n2) = 
º 
5 
Luego: 
n + 3 = 
º 
5  n = 
º 
5  3 = 
º 
5 + 2 
n  2 = 
º 
5  n = 
º 
5 + 2 
 n = 5k + 2  k = 0; 1; 2; ....23 
n  121 24 valores 
RPTA.: B 
146. En una fiesta infantil el payaso 
“POPI” juega con un grupo no más 
de 150 niños y observa que si los 
agrupa de 7 en 7 le sobran 5 niños; 
si los agrupa de 4 en 4 le faltaría un 
niño para formar un nuevo grupo y 
si los agrupa de 9 en 9 le sobran 2 
niños. Calcule el número de niños 
que hay en dicha fiesta. 
A) 42 B) 130 C) 47 
D) 122 E) 56 
RESOLUCIÓN 
# niños (N)  150 
N = 
º 
7+5 
N = 
º 
4 + 3  N = 
º 
4 + 11 
N = 
º 
9 + 2  N = 
º 
9 + 11 
 N = 
º 
36+11 = 36 k + 11 
k = 1 ; 2 ; 3 
N = 47; 83; 119 
Pero: 
N = 
º 
7 + 5 
 N = 47 
RPTA.: C 
147. En una conferencia a la que 
asistieron 528 personas; se sabe 
que de los varones: la tercera parte 
usan corbata; los 
2 
15 
usan lentes y 
los 
3 
7 
llevan saco. De las mujeres se 
sabe que: la sexta parte usa 
minifalda; las 
3 
4 
usan lentes y las 
2 
9 
tienen ojos azules. Calcule el 
número de personas que usan 
lentes.
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
A) 137 B) 56 C) 81 
D) 420 E) 48 
RESOLUCIÓN 
# personas = 528 
De los varones (V): 
* usan corbata = 
V º 
V 3 
3 
  
* usan lentes = 
2 º 
V V 15 
15 
  
* llevan saco = 
3 º 
V V 7 
7 
  
 V = 
º 
105 = 105x 
De las mujeres (M): 
* usan minifalda = 
M º 
M 6 
6 
  
* usan lentes = 3M/4 M = 
º 
4 
* tienen ojos azules = 
2 º 
M M 9 
9 
  
 M = 
º 
36 = 36y 
 105x + 36y = 528 
  
4 3 
lentes 
lentes 
2(420) 
V 56 
15 
3(108) 
M 81 
4 
 
   
   
 
Personas con lentes: 137 
RPTA.: A 
148. Un comerciante va a la “Galería 
Gamarra” con S/. 3060 para 
comprar polos, camisas y pantalones 
de precios unitarios iguales a S/. 15; 
S/. 24 y S/. 60 respectivamente. Si 
entre pantalones y camisas debe 
comprar más de 10 prendas. Calcule 
cuántas prendas en total compró; si 
la cantidad de polos fue la mayor 
posible; además compró al menos 
uno de cada uno y empleó todo su 
dinero. 
A) 183 B) 172 C) 163 
D) 184 E) 195 
RESOLUCIÓN 
Artículo: camisas; polos, pantalones 
Precios Unitarios 24 ; 15 ; 60 
Nº artículosx ; y ; z 
 
Máximo 
x + z > 10 
Luego: 
24x + 60z + 15y = 3060 ........() 
Por 
º 
5 : 24x + 
º 
5 + 
º 
5 = 
º 
5 
24x = 5  x = 5  xmin = 5 en() 
24  5 + 60z + 15y = 3060 
 20z + 5y = 980  4z + y = 196 
Zmin = 6  ymax = 172 
 x + y + z = 183 
RPTA.: A 
149. El residuo de dividir el número 
657143 entre 25 es ab . Calcule el 
resto de dividir dicho número entre a 
 b 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
RESOLUCIÓN 
657143= ( 
º 
25+7)143 = 
º 
25 + 7143 
= 
º 
25 +(7²)717= 
º 
25 +( 
º 
25 1)71.7 
= 
º 
25 +( 
º 
25 171)7 
= 
º 
25+ 
º 
25 17 = 
º 
25 7 
67143 = 
º 
25 +18 = 
º 
25+ab 
ab = 18
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
 657143=( 
º 
8+1)143= 
º 
8 + 1143= 
º 
8+1 
r = 1 
RPTA.: A 
150. Halle el menor valor de N = cdu , 
sabiendo que es múltiplo de: 
P  c  2 d 1 u  3 
A) 214 B) 316 C) 213 
D) 426 E) 441 
RESOLUCIÓN 
            
o 
cdu  c  2 d  1 u  3  c  2 d  1 u  3 k 
cdu  cdu  213k 213k  k cdu  cdu 
3.71.k= cduk 1 
Dando valores obtenemos: 
(k1) k cdu 
1 2 3 x 71 x 2 = 426 c = 4 
3 4 71 x 4 = 284 c = 2 
71 72 72 x 3 = 216 c = 2 
3.71 214 214 c = 2 
cdu = 426 
RPTA.: D 
151. Halle el mayor número abc , tal que: 
abc 1492 al ser dividido entre 40, deje 
como residuo 24. 
A) 996 B) 249 C) 989 
D) 995 E) 998 
RESOLUCIÓN 
Sabemos que: 
1492 = 
º 
40 + 12 
Aplicando el Binomio de Newton: 
abc 
abc 1492 40 12 
  
    
  
º º 
abc abc 1492  40 12  40 24 
 
º 
abc 12  40 24 
Determinando los restos potenciales 
de 12 respecto al módulo 40, 
hallamos como valor del Gaüssiano 
cuatro, entonces el exponente abc 
deberá ser múltiplo de cuatro, más 
aquel exponente del grupo periódico 
que deja resto potencial 24. 
º 
º 
º 
º 
º 
1 4 
º 
2 4 
º 
3 4 
º 
4 
12 40 12 
12 40 24 
12 40 8 
12 40 16 
 
 
 
  
  
  
  
 
º 
abc  4 2 
además, como debe ser el mayor 
posible abc  1000 
4k + 2 < 1000  k < 
1000 2 
249,5 
4 
 
 
kmáximo = 249 
abc  4249  2  998 
RPTA.: E 
DIVISIBILIDAD II 
152. La suma de trece números enteros 
consecutivos es de la forma 4a9a. 
Halle el mayor de los números. 
A) 363 B) 368 C) 369 
D) 375 E) 374 
RESOLUCIÓN 
De la condición: 
N  6  N  5  N  4  ......  
N  ......  N  5  N  6  4a9a 
Efectuando la suma indicada: 
13N  4a9a 
0 
4a9a  13
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
      
0 
1 4  4 a  3 9  1(a)  13 
a = 7  13 N = 4797 N = 369 
 El mayor número: N  6  375 
RPTA.: D 
153. Si un número de 4 dígitos donde sus 
3 últimas cifras son iguales se le ha 
restado otro que se obtuvo al 
invertir el orden de las cifras del 
primero. Si la diferencia es múltiplo 
de 7. Halle la diferencia. 
A) 777 B) 1 554 C) 2 331 
D) 4 662 E) 6 993 
RESOLUCIÓN 
0 
abbb bbba  7 
Descomponiendo 
0 
999 a  999 b  7 
0 
999(a  b)  7 
 a b  7. 
La diferencia: 999(7)  6993 
RPTA.: E 
154. Si: 
0 
abc  11 
0 
bac  7 
0 
cab  5 
Calcule el menor valor de: 
(a + b + c) 
A) 16 B) 10 C) 15 
D) 12 E) 14 
RESOLUCIÓN 
0 0 
abc 11a  b  c 11 
0 0 
bac  7 2 b  3 a  c  7 
5 5 
0 
cab  b  
De las ecuaciones: a + c =5 
 3 7 3 2 7 1 
0 0 
a  c    a   
a = 3 
c = 3 
 a + b + c = 3 + 5 + 2 = 10. 
RPTA.: B 
155. Se cumple: 
0 
mnp  22 
0 
pnm  7 
0 
mp  9 
Calcule: m x n x p 
A) 72 B) 81 C) 90 
D) 126 E) 162 
RESOLUCIÓN 
22 : 
0 
mnp   p par; 
0 
m n p  11 
(+)(-)(+) 
0 
m n  p 11…………………………… 
0 
pnm  7 ; 
2 3 1 
0 
2p 3n m  7…………………………... 
0 
mp  9 
0 
m p  9 ; p: par. 
m p  9………………………………… 
en 
9 - n = 11 
n = 9 
en 
0 
9  p  27  7 
1 
3 1 
2 
3 
3 2
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
0 
p  36  7 
p = 6 
m = 3 
 mn p  
396 162 
RPTA.: E 
156. ¿Cuántos números capicúas de 5 
cifras no son múltiplos de 495? 
A) 872 B) 890 C) 896 
D) 898 E) 899 
RESOLUCIÓN 
0 
5 b c b 5  99 
1 (10) 1 (10) 1 
0 
510b  c 10b 5  99 
0 
10  20b  c  99 
4 9 
9 8 
Hay 2 números 
0 
495. 
 
a b c b a 
0 0 1 
1 1 2 
2 2 3 
. . . 
. . . 
. . . 
9 9 9 
10 10 9 900#s. 
   
   
Números que no son 
0 
495 
900 - 2 = 898 
RPTA.: D 
157. Si: 
º 
1185a2476032000  19! 
Halle “a” 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
RESOLUCIÓN 
El criterio más preciso es 
0 
9 ; porque 
se analiza todas las cifras. 
Tendremos 
0 
19!9 
1 1 8 5a2 4 7603 
0 
2000  9 
0 
a  3  9 
a = 6 
RPTA.: C 
158. Halle: n  x  p si: 
  
0 
x8 n  5 nx  25 y 
  
0 
n  5 ppxp  7 
A) 15 B) 16 C) 17 
D) 18 E) 20 
RESOLUCIÓN 
  
0 
x8 n  5 nx  25 
  
0 
n  5 ppxp  7 
n  5  1 ; n  6 
Criterio: 
0 
25 
25 ; 7 
0 
nx  n  
0 
7x  25 ; x  5 
0 
2 ppxp  7 
Criterio 
º 
7 
0 
2 pp5p  7 
31 231 
- + 
0 
abcba  495 
0 
5 
0 
99
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
    
0 
3p  15  p  6  7 
 
0 
2p  9  7 
 p + n + x = 18 
RPTA.: D 
159. Sabiendo que: 
abcd  364(d  a  2b  3c) . 
Halle la expresión: ab  cd 
A) 50 B) 52 C) 54 
D) 56 E) 58 
RESOLUCIÓN 
Como 364 = 
0 
7 
 
º 
abcd  7 
 364d  a  2b  3c… 
  
0 
7 d  a  2b  3c  364(d  a  2b  3c) 
  
0 0 
7 363 d  a  2b  3c (d  a  2b  3c)  7 
d  a  2b  3c  21 en 
abcd  364 21  7644  a = 7 
b = 6 
c = 4 
d = 4 
Verificando: 
d-a+2b+3c = 4-7+12+12=21 
 ab + cd = 7 x 6 + 4 x 4 = 58 
RPTA.: E 
160. El número de la forma: aa0bbc al 
ser dividido entre 4; 9 y 25 deja 
como residuo 2; 4 y 7 
respectivamente. Halle “a”. 
A) 6 B) 4 C) 3 
D) 2 E) 0 
RESOLUCIÓN 
M  aa0bbc 
Por lo tanto: 
Propiedad: 
M  m.cm.(4;25)  82 
0 
M  100  82 
entonces: 
aa0 8 8 2 
0 
 9 4 
0 
2a  9 4 
0 
a  9 2; a = 2 
RPTA.: D 
161. Halle el residuo que se obtiene al 
dividir: 
ab5 
ab1ab4 Entre 11. 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 1 E) 6 
RESOLUCIÓN 
0 
M  a b 1 a b 4  11 
- + - + - + 
4  a  b    a  1  b  
0 
 11 
0 
11 3 
ab5 
º º 
ab5 ab5 M 11 3 11 3 
  
      
  
Gaus: modulo: 11 
abcd 
1 2 3 1 
- + 
1 
1 
M 
0 
4 2 
0 
9 4 
0 
25 7 
M 
0 0 
4 2  80  4 82 
º 0 
25 7  75  25 82 
0 
aa0bbc 100 82 
b = 8 
c = 2
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
0 
1 3  11 3 
0 
2 3  11 9 
0 
3 3  11 5 
0 
4 3  11 4 
0 
5 3  11 1 
Cada vez que la potencia de 3 es 
múltiplo de 5 el residuo es 1. 
RPTA.: D 
162. ¿Cuántos capicúas de 4 cifras son 
divisibles por 99 pero no por 15? 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 7 E) 11 
RESOLUCIÓN 
Sea: 
0 
abba  99  15  a  5 
* Caso 1 ab  ba  99 
a + b = 9 
9 0 
8 1 
7 2 
6 3 
4 5 
3 6 
2 7 
1 8 
 Hay ocho números 
* Caso 2 ab  ba  189 
a  9 b = 9 
 Hay un número 
Rpta. 9 números 
RPTA.: B 
163. Halle el residuo de dividir el número 
5678…979899 con 11. 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 2 E) 4 
RESOLUCIÓN 
5 6 7 8 9 10 11 12 … 98 99 
= 
0 
11 99 98 ... 10 56789 
     
     
= 
0 99 10 
11 90 5 7 9 6 8 
2 
   
        
  
= 
0 
11 109.45  7 
= 
0 
11 6 
RPTA.: B 
164. Halle el residuo de dividir el número 
13579…959799 con 9. 
A) 6 B) 7 C) 3 
D) 1 E) 0 
RESOLUCIÓN 
1 3 5 7 …. 95 97 99 
9 1 3 5 ... 99 
0 
      
(Criterio de divisibilidad) 
= 2 
0 
9 50 
(Suma de números impares) 
= 
0 
9  25 
0 
 9  7 
RPTA.: B 
165. Halle el resto de dividir el número: 
4 N  321aaa321aaa Entre 7. 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 0 
RESOLUCIÓN 
N 57 64 21a 64 57 64 21a 4 2        
0 
4 
0 0 
4 
0 
N  57(71)  757(71)  7 
7 57 57 7 114 
0 0 
N      
0 0 0 
N  7 (7 2)  7 2 
 N 7r  2 
RPTA.: B 
166. Se tiene el numeral a53b72c4 es 
divisible por 8 y que al ser dividido 
N = (57) (21a) (57) (21a) 
N = 321 aaa 321 aaa 
(4) 
(64) 
4 
3
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
entre 11, el residuo es 10; y al ser 
dividido entre 9 el residuo es 2. 
Halle el mayor valor de: (a + b + 
c). 
A) 10 B) 12 C) 14 
D) 16 E) 17 
RESOLUCIÓN 
* 
0 
a53b72c4  8 
 
0 0 
2c4  8  8  2c  4  8 
4 2 1 c = 2; 6 
* 
* 
 
0 
a5  3b  72  c4  99 65 
 
0 
a5  3b  c4  7  99  99  2  198 
Si c  6b  2 ; a  9 
 a bc 17 
RPTA.: E 
167. Se sabe que 
  
m 0 
7 mnpq  11 5 
  
n 0 
7 mnpq  11 4 
 p 0 
7 mnpq  11  2 
Calcule el residuo de dividir N entre 
11. Si     4 mnp 
7 N  mnpq 
A) 5 B) 3 C) 8 
D) 2 E) 1 
RESOLUCIÓN 
    4 
7 
mnp 
N  mnpq 
descomponiendo: mnp  16m 4n  p 4 
m n p 
N mnpq mnpq mnpq7 
4 
7 
16 
7    
 m   n  p 
N mnpq mnpq mnpq7 
4 
7 
16 
7    
16 4 
0 º 0 
N 11 5 11 4 11 2 
      
            
      
0 0 0 
16 4 N 11 5 11 4 11 2 
      
          
      
 
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
 11 5 11 3 11 2 
0 0 0 
N 
11 30 11 (33 3) 
0 0 
N      
11 3 
0 
N   
Resto: 3 
RPTA.: B 
168. Halle el residuo de dividir con 10 el 
número 
cifras 
abc 
7 
mnp00 
66...66 
  
  
  
  
A) 0 B) 1 C) 3 
D) 6 E) 8 
RESOLUCIÓN 
  
abc 
abc 
7 mnpoo 
cifras 
66...66 
7 1 
mnp00 
  
      
  
  
abc 
abc 0 
7 4k 
cifras 
66...66 
7 1 ;mnp00 4 
mnp00 
  
       
  
   
abc 
abc 
k 
7 4 
cifras 
66...66 
7 1 
mnp00 
  
      
  
   
abc 
abc 
7 k 
cifras 
66...66 
...1 1 
mnp00 
  
      
  
abc 
7 
cifras 
66...66 
...0 
mnp00 
  
     
  
RPTA.: A 
169. ¿Cuántos valores puede tomar “a” si 
el número aaa.............aa9 de 16 
cifras es divisible entre 8? 
A) 2 B) 4 C) 6 
D) 8 E) 7 
RESOLUCIÓN 
16 cifras 
  
0 
N  aaa...aa 9  8 
 
0 0 
8  16a  8: 
0 0 
a53b72c 4  11 10  55  11 65 
- + - + - + - + 
0 0 
a53b72c4  9 2  63  9 65 
a 5 3 b 7 2 c 4
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
se cumple para todo “a” 
 a = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 
 a toma 8 valores 
RPTA.: D 
170. Calcule “a x b”; si 9 4a0567b es 
divisible entre 10 y al ser dividido 
entre 8 el resto es 2. 
A) 4 B) 15 C) 35 
D) 21 E) 5 
RESOLUCIÓN 
*   
0 
9 4a0567b  10 b  a  2  18 
+-+-+- + 
 b  a  2 
*   
0 0 
9 4a0567b  8 2  a  b  22  8 2 
 20 8 4 12 
0 
a b   a b  ó 
Para a b 12 b = 7 
b a  2 a = 5 
 ab  35 
RPTA.: C 
171. Un animalito va de “A” hacia “B” 
dando saltos de 15 cm y regresa 
dando saltos de 16 cm. Después de 
haber recorrido 1,22 m se detiene. 
¿Cuánto le falta para llegar al punto 
A? 
A) 48 cm. 
B) 42 cm. 
C) 52 cm. 
D) 58 cm. 
E) menos de 40 cm. 
RESOLUCIÓN 
15a 16b 122 
Modulo 
0 
3 
3 3 1 3 2 
0 0 0 
   
 
 
 
  b 
3 2 
0 
b   
Reemplazando: 
15a 16(2) 122 
122 32 90 
a 6 
15 15 
 
   
La distancia de A a B es: 
16(6) = 90 cm 
Falta: 90  16(b) = 58 
RPTA.: D 
172. Si 
0 
"n" cifras 
333...  41. Con “n” mínimo. 
¿Cuál será el residuo por exceso que 
se obtiene al dividir entre 26 al 
menor número de 5 cifras diferentes 
de la base n? 
A) 8 B) 12 C) 14 
D) 16 E) 10 
RESOLUCIÓN 
Menor número de 5 cifras diferentes 
en base 5: 
    r 
0 
5 10234 26 
Descomponiendo: 
1 5 0 2 5 3 5 4 694 4 2         
Por defecto = 18 
Por exceso = 8 
I 
b  3k  2 
k = 0 ; b = 2 (sí) 
k = 1 ; b = 5 (No) 
16 
…...… 
16 
15 15 15 
33333 41 
813 
5 cifras. 
26 
674 26 
694 
18
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
RPTA.: A 
173. Un niño si cuenta sus canicas 
agrupándolas de 5 en 5 le faltan 2 
canicas; si las cuentan de 6 en 6 le 
sobran 3; y si las cuentan de 8 en 8 
le faltan 5; por lo que decidió 
agruparlos de 9 en 9, así no le sobra 
ninguna canica. Si la cantidad de 
canicas se encuentra entre 400 y 
650. ¿Cuántas canicas tiene el niño? 
A) 438 B) 480 C) 483 
D) 485 E) 603 
RESOLUCIÓN 
Sea “N” la cantidad de canicas que 
tiene el niño: 
8 3 
6 3 
5 3 
0 
0 
0 
 
  
 
N 
(5;6;8) 3 120 3 
0 0 
N  MCM    
Entonces: 
N  123; 243; 363; 483; 603........ 
Pero: 
0 
N  9  400  N  650 
 El niño tiene 603 canicas. 
RPTA.: C 
174. ¿Cuál es la suma de las cifras del 
mayor número entero de tres cifras, 
tal que si se le resta la suma de sus 
tres cifras el resultado es divisible 
por 13? 
A) 26 B) 20 C) 15 
D) 23 E) 24 
RESOLUCIÓN 
  
0 
abc  a  b  c  13 
431 
 + 
0 
5a  4b  13 
a = 9 
b = 5 
c = 9 
 a  b  c  9  23 
RPTA.: D 
175. ¿Cuántos números de dos cifras hay, 
que al elevarse al cuadrado y al ser 
divididos entre cinco dejan resto 
cuatro? 
A) 18 B) 48 C) 32 
D) 45 E) 36 
RESOLUCIÓN 
0 
0 
0 
5 
ab 5 1 
5 2 
  
 
  
0 
2 0 
0 
5 
ab 5 1 
5 4 
  
 
 
0 
ab  5 2 ó 
0 
ab  5 2 
 Existen36números 
RPTA.: E 
TEORÍA DE LOS NÚMEROS NÚMEROS 
PRIMOS 
176. Sea 6 A  32000...00 
n cifras 
Calcule “n” si A tiene 444 divisores 
compuestos. 
A) 13 B) 11 C) 12 
ab  
12; 17; 22; 27; ……..; 97 
13; 18; 23; 28; ……..; 98 
18 valores 
18 valores
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
D) 15 E) 16 
RESOLUCIÓN 
  
n n A 32 6 20 6 6     
n n A 2 5 2 3 2     
2 3 5 2    n n A 
A CD  444  4 
no compuestos 
A CD  448 
    A CD  n  3 (n 1) (11)  448 
       A CD  n  3 (n 1)  224  13  3 13 1  n 
= 13 
RPTA.: A 
177. En el número a N  30 , la suma de 
sus divisores pares es 2418. 
Determine la cantidad de divisores 
compuestos de N. 
A) 23 B) 22 C) 21 
D) 32 E) 14 
RESOLUCIÓN 
a a a N  2  3 5 
a 1 a a N 2(2 3 5 )     
  
  
  
  
     
       
  
º 
a a 1 a 1 
N,2 
2 1 3 1 5 1 
SD 2 2418 
1 2 4 
Divisores 
º 
2 
      º 
a a 1 a 1 
N,2 
SD 2 1 3 1 5 1 3 26 124   
  
  
  
       
Sólo cumple para a = 2 
2 2 2 N  2 3 5 
CDN  3 3 3  27 
Divisores compuestos de N: 
27 – 4 = 23 
RPTA.: A 
178. Si: x x 2 M 20 30   ; tiene 48 divisores 
positivos múltiplos de 5 y además 
impares. Halle “x” 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
RESOLUCIÓN 
x x 2 M 20 30   
2x x x 2 x 2 x 2 M 2 5 2 3 5       
3 2 2 2 2 2 3 5       x x x M 
 2 2 1 3 2 5 3 5 2       x x x M 
Divisores impares 
0 
5 
      
  
  
    0 
5impares 
CD 48 x 3 2x 2 
      
  
  
    0 
5impares 
CD 24 x 3 x 1 
      
  
  
     0 
5impares 
CD 6 4 3 3 3 1 
x =3 
RPTA.: C 
179. Halle un número divisible por 6; de 3 
cifras y que tenga 21 divisores. 
A) 552 B) 576 C) 522 
D) 288 E) 342 
RESOLUCIÓN 
0 
x y M  abc  6  2  3 
   (M) CD 21 7 3 
Solo cumple: 
x = 6; y =2 
6 2 M  2  3  64 9  576 
RPTA.: B 
180. Si N 2 .5 .3    tiene 16 divisores 
múltiplos de 15 y 16 divisores 
múltiplos de 20. Halle la cantidad de 
divisores cúbicos de N. 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
RESOLUCIÓN 
N 2 .5 .3    
.     0 
1 
15 
N 3 5 2 5 CD 1 16           
.     0 
2 2 1 
20 
N 2 5 2 5 3 CD 1 2 16           
De donde   3 
  4
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
Luego:     1 1 
3 4 3 3 N  2 5 3  2 5 5 3 
    cubicos CD  1  1 1  1  4 
RPTA.: D 
181. Halle cuántos números de la forma 
abab existen, tales que poseen 6 
divisores. 
A) 6 B) 5 C) 4 
D) 3 E) 2 
RESOLUCIÓN 
Efectuando la descomposición 
polinómica se obtendrá: 
N  abab  101ab 
Además: 
    N CD  1  1 2  1 
Como 101 es primo 
 ab = primo² 
Solo cumple: 
ab = 5² ó 7² 
 Hay 2 números 
RPTA.: E 
182. Si 2 3 a b posee 35 divisores y  n 
a b 
posee p9 divisores; halle (n + p) 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 9 E) 10 
RESOLUCIÓN 
2 3 N  a b 35 divisores 
Como: 35  5 7  4  1 6  1 
Dando forma     2 3 
2 2 4 6 N  x y  x y 
Donde: a = x² ; b = y² 
   n n 2 2 2n 2n a b  x y  x y 
Posee: 2n  1 2n  1  p9 
 2 
2n  1  p9  49 
2n 1  7n  3 
p  4 
piden: n  p  7 
RPTA.: C 
183. Sea N = 128 ab, determine (a 
+ b) si la suma de divisores de N, 
es los 
28 
85 
de N (a y b primos). 
A) 10 B) 11 C) 12 
D) 13 E) 14 
RESOLUCIÓN 
7 N  2 a b; aplicando el método y 
simplificando 
           8 
N SD 2 1 a 1 b 1 
  7 5 85 17 5 
2 ab 2 ab 
28 7 
 
     5 7 255 a  1 b  1  17 5 2 ab 
 a y b son 3 y 7 
 a  b  10 
RPTA.: A 
184. Halle el promedio aritmético de los 
divisores del número 360. 
A) 16,25 B) 48,75 
C) 68,15 D) 47,85 
E) 97,5 
RESOLUCIÓN 
3 2 1 360  2  3 5 
Calcule de la suma de divisores de 
360: 
  
4 3 2 
360 
2 1 3 1 5 1 
SD 1170 
2 1 3 1 5 1 
         
          
         
        360 CD  3  1 2  1 1  1  24 
Promedio aritmético = 
1170 
24 
Divisores PA  48,75 
RPTA.: B 
185. Si 31! Tiene n divisores, ¿Cuántos 
divisores tiene 32!? 
A) 
33 
n 
28 
B) 
31 
n 
27
ARITMÉTICA 
GRUPO SAN MARCOS 
C) 
32 
n 
27 
D) 
32 
n 
25 
E) 
33 
n 
31 
RESOLUCIÓN 
26 
31! = 2 NCD31!  27n  n 
divisiones sucesivas para obtener la 
descomposición del primo 2 en 31! 
  31 
32! 32!  31! 32  2 NCD  32n 
  31 
32! 
32n 
32! 31! 32 2 N CD 
27 
    
RPTA.: C 
186. Un número tiene 24 divisores y el 
triple de éste, 30 divisores. ¿Cuántos 
divisores tiene el triple del cuadrado 
del mismo? 
A) 80 B) 90 
C) 100 D) 120 
E) 140 
RESOLUCIÓN 
El número entero considerado 
admite como factor primo a tres: 
a p p 
N N  3 m n .... CD  
a  1 p  1 q  1....  24 ........(1) 
a 1 p q 3 N 3 m n ....    
N  CD  a  2 p  1 q  1...  30......(2) 
De (1) y (2), a =3 
Reemplazando en (1) 
p = 1, q = 2 
3 1 2 N  3 m n 2 7 2 4 3N  3 m n 
      2 3N 
CD  7  1 2  1 4  1  120 
2 3N 
CD  120 
RPTA.: D 
187. En el número 226800, ¿determine 
cuántos divisores terminan en las 
cifras 1, 3, 7 ó 9? 
A) 6 B) 8 C) 10 
D) 12 E) 14 
RESOLUCIÓN 
4 4 2 1 226 800  2 3 5 7 
        226800 CD  4  1 4  1 2 1 1 1  150 
        0 
2 
CD  3  1 4  1 2  1 1  1  120 
        0 
5 
CD  4  1 4  1 1  1 1  1  100 
        0 
10 
CD  3  1 4  1 1  1 1  1  80 
CD que terminan en la cifra 1, 3, 7 ó 9 = 
10 0 0 0 
2 5 10 
226800  
 
 
 
CD  CD CD CD 
 Son 10 divisores 
RPTA.: C 
188. Si el número. x 2y M  10 15 ; tiene el 
quintuple del número de divisores de 
x 2y P  3 6 y este tiene 3 divisores 
más que 2x y R  3 7 . Halle (x + y). 
A) 5 B) 4 C) 7 
D) 8 E) 6 
RESOLUCIÓN 
x 2y x x 2y 2y M  10 15  2 5 3 5  
x 2y 2y x 2 3 5  
x 2y x 2y 2y x 2y 2y P 3 6 3 2 3 3 5     
2x y R  3 7 
Cd (M)  5Cd(P) 
x  1 2y  1 2y  x  1  5x  2y  1 2y  1 
x + 1 = 5; x =4 
Cd(P)  Cd(R)  3 
x  2y  1 2y  1  x  1 y  1  3 
5  2y 2y  1  9y  1  3 
y = 1 
x + y = 5 
RPTA.: A 
189. Determine la suma de las cifras del 
menor número tal que al 
multiplicarlo por 8 se cuadruplique 
su número de divisores; y si su 
cuadrado tiene 21 divisores. 
2 2 2 2 
31 15 7 3 1
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco
Aritmetica san marco

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Aduni repaso algebra 1
Aduni repaso algebra 1Aduni repaso algebra 1
Aduni repaso algebra 1
 
2010 i semana 12
2010   i semana 122010   i semana 12
2010 i semana 12
 
2014 iii 10 ecuaciones
2014 iii 10 ecuaciones2014 iii 10 ecuaciones
2014 iii 10 ecuaciones
 
2010 i semana 16
2010   i semana 162010   i semana 16
2010 i semana 16
 
Solucionario PRE SAN MARCOS- Semana 12 Ciclo 2016
Solucionario PRE SAN MARCOS- Semana 12 Ciclo 2016 Solucionario PRE SAN MARCOS- Semana 12 Ciclo 2016
Solucionario PRE SAN MARCOS- Semana 12 Ciclo 2016
 
Cocientes notables
Cocientes notablesCocientes notables
Cocientes notables
 
Solucionario CEPRE SAN MARCOS - Semana 3 Ciclo 2016 i
Solucionario CEPRE SAN MARCOS - Semana 3 Ciclo 2016 iSolucionario CEPRE SAN MARCOS - Semana 3 Ciclo 2016 i
Solucionario CEPRE SAN MARCOS - Semana 3 Ciclo 2016 i
 
Semana 06 2016 2
Semana 06 2016 2Semana 06 2016 2
Semana 06 2016 2
 
Aduni repaso geometria 1
Aduni repaso geometria 1Aduni repaso geometria 1
Aduni repaso geometria 1
 
Semana 02 2016 2
Semana 02 2016 2Semana 02 2016 2
Semana 02 2016 2
 
Semana 05 2016 2
Semana 05 2016 2Semana 05 2016 2
Semana 05 2016 2
 
Balotario de preguntas de aritmetica
Balotario de preguntas de aritmeticaBalotario de preguntas de aritmetica
Balotario de preguntas de aritmetica
 
Semana 3 cs numeracion i
Semana 3 cs numeracion iSemana 3 cs numeracion i
Semana 3 cs numeracion i
 
Conjuntos i
Conjuntos iConjuntos i
Conjuntos i
 
Semana 10 2016 2
Semana 10 2016 2Semana 10 2016 2
Semana 10 2016 2
 
Solucionario PRE SAN MARCOS- Semana 17 Ciclo 2016 1
Solucionario PRE SAN MARCOS- Semana 17 Ciclo 2016 1Solucionario PRE SAN MARCOS- Semana 17 Ciclo 2016 1
Solucionario PRE SAN MARCOS- Semana 17 Ciclo 2016 1
 
Semana 09 2016 2
Semana 09 2016 2Semana 09 2016 2
Semana 09 2016 2
 
Aduni repaso hm 1
Aduni repaso hm 1Aduni repaso hm 1
Aduni repaso hm 1
 
Semana02 ord-2013-i
Semana02 ord-2013-iSemana02 ord-2013-i
Semana02 ord-2013-i
 
Solucionario PRE SAN MARCOS- Semana 9 ciclo 2016 1
Solucionario PRE SAN MARCOS- Semana 9 ciclo 2016 1Solucionario PRE SAN MARCOS- Semana 9 ciclo 2016 1
Solucionario PRE SAN MARCOS- Semana 9 ciclo 2016 1
 

Destacado (20)

Un problema sobre conjuntos
Un problema sobre conjuntosUn problema sobre conjuntos
Un problema sobre conjuntos
 
Practica sobre problemas con conjuntos
Practica sobre problemas con conjuntosPractica sobre problemas con conjuntos
Practica sobre problemas con conjuntos
 
Ejercicios resueltos de conjuntos
Ejercicios resueltos de conjuntosEjercicios resueltos de conjuntos
Ejercicios resueltos de conjuntos
 
Cuestionario
CuestionarioCuestionario
Cuestionario
 
Teoriadeconjuntos
TeoriadeconjuntosTeoriadeconjuntos
Teoriadeconjuntos
 
Aritmetica
AritmeticaAritmetica
Aritmetica
 
TeoríA de Conjuntos
TeoríA de ConjuntosTeoríA de Conjuntos
TeoríA de Conjuntos
 
Aritmética y algebra
Aritmética y algebra Aritmética y algebra
Aritmética y algebra
 
Cap 2 conjuntos
Cap 2 conjuntosCap 2 conjuntos
Cap 2 conjuntos
 
Problemas De Aplicacion 1
Problemas De Aplicacion 1Problemas De Aplicacion 1
Problemas De Aplicacion 1
 
problemas-matematicas-uni
problemas-matematicas-uniproblemas-matematicas-uni
problemas-matematicas-uni
 
Aritmetica 5° 2 b
Aritmetica 5° 2 bAritmetica 5° 2 b
Aritmetica 5° 2 b
 
Aritmetica 4° 4 b
Aritmetica 4° 4 bAritmetica 4° 4 b
Aritmetica 4° 4 b
 
Aritmetica 5° 1 b
Aritmetica 5° 1 bAritmetica 5° 1 b
Aritmetica 5° 1 b
 
Merito Secciones I BIM
Merito Secciones I BIMMerito Secciones I BIM
Merito Secciones I BIM
 
2 guia conjuntos
2 guia conjuntos2 guia conjuntos
2 guia conjuntos
 
Actividad de aprendizaje n° 01
Actividad de aprendizaje n° 01Actividad de aprendizaje n° 01
Actividad de aprendizaje n° 01
 
Examen bimestral primero solucion
Examen bimestral   primero solucionExamen bimestral   primero solucion
Examen bimestral primero solucion
 
Ejercicios de lógica proposicional
Ejercicios de lógica proposicionalEjercicios de lógica proposicional
Ejercicios de lógica proposicional
 
Aritmetica ceprevi
Aritmetica cepreviAritmetica ceprevi
Aritmetica ceprevi
 

Similar a Aritmetica san marco

Cuatro operaciones aritméticas
Cuatro operaciones aritméticasCuatro operaciones aritméticas
Cuatro operaciones aritméticasJUANCA
 
Algebra preuniversitario-600-ejercicios-resueltos (amor a sofia)
Algebra preuniversitario-600-ejercicios-resueltos (amor a sofia)Algebra preuniversitario-600-ejercicios-resueltos (amor a sofia)
Algebra preuniversitario-600-ejercicios-resueltos (amor a sofia)George Montenegro
 
Examen Cepreuni
Examen CepreuniExamen Cepreuni
Examen CepreuniJaneCh9
 
Productos notables i
Productos notables iProductos notables i
Productos notables iEdgar Sanchez
 
Productos notables i
Productos notables iProductos notables i
Productos notables iEdgar Sanchez
 
Algebra%20(bolet%c3%a dn%20 n%c2%ba%2001%20-%20ab2%20sm%202015)
Algebra%20(bolet%c3%a dn%20 n%c2%ba%2001%20-%20ab2%20sm%202015)Algebra%20(bolet%c3%a dn%20 n%c2%ba%2001%20-%20ab2%20sm%202015)
Algebra%20(bolet%c3%a dn%20 n%c2%ba%2001%20-%20ab2%20sm%202015)Omar Rodriguez Garcia
 
Reforzamiento pre-matemática-2017-i
Reforzamiento pre-matemática-2017-iReforzamiento pre-matemática-2017-i
Reforzamiento pre-matemática-2017-iLuis Cañedo Cortez
 

Similar a Aritmetica san marco (20)

ejercicios cepre.pdf
ejercicios cepre.pdfejercicios cepre.pdf
ejercicios cepre.pdf
 
OLIMPAMER - TROMPETEROS
OLIMPAMER - TROMPETEROSOLIMPAMER - TROMPETEROS
OLIMPAMER - TROMPETEROS
 
Ab1 2016 x_01
Ab1 2016 x_01Ab1 2016 x_01
Ab1 2016 x_01
 
Ab1 2016 x_01
Ab1 2016 x_01Ab1 2016 x_01
Ab1 2016 x_01
 
Cuatro operaciones aritméticas
Cuatro operaciones aritméticasCuatro operaciones aritméticas
Cuatro operaciones aritméticas
 
Algebra preuniversitario-600-ejercicios-resueltos (amor a sofia)
Algebra preuniversitario-600-ejercicios-resueltos (amor a sofia)Algebra preuniversitario-600-ejercicios-resueltos (amor a sofia)
Algebra preuniversitario-600-ejercicios-resueltos (amor a sofia)
 
01 conjuntos 2
01 conjuntos 201 conjuntos 2
01 conjuntos 2
 
Examen Cepreuni
Examen CepreuniExamen Cepreuni
Examen Cepreuni
 
1RA SEMANA
1RA SEMANA 1RA SEMANA
1RA SEMANA
 
OLIMPAMER - PRECURSORES DE LA INDEPENDENCIA
OLIMPAMER - PRECURSORES DE LA INDEPENDENCIAOLIMPAMER - PRECURSORES DE LA INDEPENDENCIA
OLIMPAMER - PRECURSORES DE LA INDEPENDENCIA
 
Productos notables i
Productos notables iProductos notables i
Productos notables i
 
Productos notables i
Productos notables iProductos notables i
Productos notables i
 
ARITMÉTICA
ARITMÉTICAARITMÉTICA
ARITMÉTICA
 
Solucion pd2 operaciones con conjuntos
Solucion pd2   operaciones con conjuntosSolucion pd2   operaciones con conjuntos
Solucion pd2 operaciones con conjuntos
 
Solucion pd2 operaciones con conjuntos
Solucion pd2   operaciones con conjuntosSolucion pd2   operaciones con conjuntos
Solucion pd2 operaciones con conjuntos
 
OLIMPAMER - JOSE A. ENCINAS
OLIMPAMER - JOSE A. ENCINASOLIMPAMER - JOSE A. ENCINAS
OLIMPAMER - JOSE A. ENCINAS
 
Algebra%20(bolet%c3%a dn%20 n%c2%ba%2001%20-%20ab2%20sm%202015)
Algebra%20(bolet%c3%a dn%20 n%c2%ba%2001%20-%20ab2%20sm%202015)Algebra%20(bolet%c3%a dn%20 n%c2%ba%2001%20-%20ab2%20sm%202015)
Algebra%20(bolet%c3%a dn%20 n%c2%ba%2001%20-%20ab2%20sm%202015)
 
Algebra 1
Algebra 1Algebra 1
Algebra 1
 
Reforzamiento pre-matemática-2017-i
Reforzamiento pre-matemática-2017-iReforzamiento pre-matemática-2017-i
Reforzamiento pre-matemática-2017-i
 
Ficha 7
Ficha 7Ficha 7
Ficha 7
 

Último

Sanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitarias
Sanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitariasSanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitarias
Sanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitariasJilvertHuisaCenteno
 
Sales binarias y oxisales química inorganica
Sales binarias y oxisales química inorganicaSales binarias y oxisales química inorganica
Sales binarias y oxisales química inorganicakiaranoemi
 
Sales Básicas Quimica, conocer como se forman las sales basicas
Sales Básicas Quimica, conocer como se forman las sales basicasSales Básicas Quimica, conocer como se forman las sales basicas
Sales Básicas Quimica, conocer como se forman las sales basicasPaulina Cargua
 
FOTOCELDAS Y LOS DIFERENTES TIPOS QUE EXISTEN.pdf
FOTOCELDAS Y LOS DIFERENTES TIPOS QUE EXISTEN.pdfFOTOCELDAS Y LOS DIFERENTES TIPOS QUE EXISTEN.pdf
FOTOCELDAS Y LOS DIFERENTES TIPOS QUE EXISTEN.pdfDanielAlejandroAguir2
 
FOLIACIONES Y LINEACIONES GEOLOGÍA ESTRUCTURAL
FOLIACIONES Y LINEACIONES GEOLOGÍA ESTRUCTURALFOLIACIONES Y LINEACIONES GEOLOGÍA ESTRUCTURAL
FOLIACIONES Y LINEACIONES GEOLOGÍA ESTRUCTURALRiveraPemintelAlejan
 
SESIÓN 1 - Tema 1 - Conceptos Previos.pdf
SESIÓN 1 - Tema 1 - Conceptos Previos.pdfSESIÓN 1 - Tema 1 - Conceptos Previos.pdf
SESIÓN 1 - Tema 1 - Conceptos Previos.pdfElenaNagera
 
Accidente mortal con un Torno mecánico.pptx
Accidente mortal con un Torno mecánico.pptxAccidente mortal con un Torno mecánico.pptx
Accidente mortal con un Torno mecánico.pptxBuddyroi
 
GeoS4344444444444444444444444444444444.pdf
GeoS4344444444444444444444444444444444.pdfGeoS4344444444444444444444444444444444.pdf
GeoS4344444444444444444444444444444444.pdffredyflores58
 
ENSAYO DE PENETRACIÓN ESTÁTICA CTP ULTRADEFINITIVO.pptx
ENSAYO DE PENETRACIÓN ESTÁTICA CTP ULTRADEFINITIVO.pptxENSAYO DE PENETRACIÓN ESTÁTICA CTP ULTRADEFINITIVO.pptx
ENSAYO DE PENETRACIÓN ESTÁTICA CTP ULTRADEFINITIVO.pptxjosetuanama2
 
PPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdf
PPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdfPPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdf
PPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdfDarwinJPaulino
 
R. Contraloria 432-2023-CG obras x AD.pdf
R. Contraloria 432-2023-CG obras x AD.pdfR. Contraloria 432-2023-CG obras x AD.pdf
R. Contraloria 432-2023-CG obras x AD.pdfrudy cabezas
 
04-circuitos-comparadores de amplificadores operacionales.pptx
04-circuitos-comparadores de amplificadores operacionales.pptx04-circuitos-comparadores de amplificadores operacionales.pptx
04-circuitos-comparadores de amplificadores operacionales.pptxHenryApaza12
 
Sistema de Base de Datos para renta de trajes
Sistema de Base de Datos para renta de trajesSistema de Base de Datos para renta de trajes
Sistema de Base de Datos para renta de trajesjohannyrmnatejeda
 
Capacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacional
Capacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacionalCapacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacional
Capacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacionalamador030809
 
MATEMATICA BÁSICA FUNCIONES LOGARITMICAS
MATEMATICA BÁSICA FUNCIONES LOGARITMICASMATEMATICA BÁSICA FUNCIONES LOGARITMICAS
MATEMATICA BÁSICA FUNCIONES LOGARITMICASSALVADOR ALTEZ PALOMINO
 
30-Planos-de-Casas-para-construir en.pdf
30-Planos-de-Casas-para-construir en.pdf30-Planos-de-Casas-para-construir en.pdf
30-Planos-de-Casas-para-construir en.pdfpauljean19831977
 
Análisis de Varianza- Anova y pruebas de estadística
Análisis de Varianza- Anova y pruebas de estadísticaAnálisis de Varianza- Anova y pruebas de estadística
Análisis de Varianza- Anova y pruebas de estadísticaJoellyAlejandraRodrg
 
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdfSESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdfEsvinAlvares
 
GeoS33333333333333333333333333333333.pdf
GeoS33333333333333333333333333333333.pdfGeoS33333333333333333333333333333333.pdf
GeoS33333333333333333333333333333333.pdffredyflores58
 
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOSEJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOSLuisLopez273366
 

Último (20)

Sanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitarias
Sanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitariasSanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitarias
Sanidad en alpacas, enfermedades infecciosas y parasitarias
 
Sales binarias y oxisales química inorganica
Sales binarias y oxisales química inorganicaSales binarias y oxisales química inorganica
Sales binarias y oxisales química inorganica
 
Sales Básicas Quimica, conocer como se forman las sales basicas
Sales Básicas Quimica, conocer como se forman las sales basicasSales Básicas Quimica, conocer como se forman las sales basicas
Sales Básicas Quimica, conocer como se forman las sales basicas
 
FOTOCELDAS Y LOS DIFERENTES TIPOS QUE EXISTEN.pdf
FOTOCELDAS Y LOS DIFERENTES TIPOS QUE EXISTEN.pdfFOTOCELDAS Y LOS DIFERENTES TIPOS QUE EXISTEN.pdf
FOTOCELDAS Y LOS DIFERENTES TIPOS QUE EXISTEN.pdf
 
FOLIACIONES Y LINEACIONES GEOLOGÍA ESTRUCTURAL
FOLIACIONES Y LINEACIONES GEOLOGÍA ESTRUCTURALFOLIACIONES Y LINEACIONES GEOLOGÍA ESTRUCTURAL
FOLIACIONES Y LINEACIONES GEOLOGÍA ESTRUCTURAL
 
SESIÓN 1 - Tema 1 - Conceptos Previos.pdf
SESIÓN 1 - Tema 1 - Conceptos Previos.pdfSESIÓN 1 - Tema 1 - Conceptos Previos.pdf
SESIÓN 1 - Tema 1 - Conceptos Previos.pdf
 
Accidente mortal con un Torno mecánico.pptx
Accidente mortal con un Torno mecánico.pptxAccidente mortal con un Torno mecánico.pptx
Accidente mortal con un Torno mecánico.pptx
 
GeoS4344444444444444444444444444444444.pdf
GeoS4344444444444444444444444444444444.pdfGeoS4344444444444444444444444444444444.pdf
GeoS4344444444444444444444444444444444.pdf
 
ENSAYO DE PENETRACIÓN ESTÁTICA CTP ULTRADEFINITIVO.pptx
ENSAYO DE PENETRACIÓN ESTÁTICA CTP ULTRADEFINITIVO.pptxENSAYO DE PENETRACIÓN ESTÁTICA CTP ULTRADEFINITIVO.pptx
ENSAYO DE PENETRACIÓN ESTÁTICA CTP ULTRADEFINITIVO.pptx
 
PPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdf
PPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdfPPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdf
PPT - MODIFICACIONES PRESUPUESTARIAS - Anexo II VF.pdf
 
R. Contraloria 432-2023-CG obras x AD.pdf
R. Contraloria 432-2023-CG obras x AD.pdfR. Contraloria 432-2023-CG obras x AD.pdf
R. Contraloria 432-2023-CG obras x AD.pdf
 
04-circuitos-comparadores de amplificadores operacionales.pptx
04-circuitos-comparadores de amplificadores operacionales.pptx04-circuitos-comparadores de amplificadores operacionales.pptx
04-circuitos-comparadores de amplificadores operacionales.pptx
 
Sistema de Base de Datos para renta de trajes
Sistema de Base de Datos para renta de trajesSistema de Base de Datos para renta de trajes
Sistema de Base de Datos para renta de trajes
 
Capacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacional
Capacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacionalCapacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacional
Capacitación Anexo 6 D.s. 023 seguridad y salud ocupacional
 
MATEMATICA BÁSICA FUNCIONES LOGARITMICAS
MATEMATICA BÁSICA FUNCIONES LOGARITMICASMATEMATICA BÁSICA FUNCIONES LOGARITMICAS
MATEMATICA BÁSICA FUNCIONES LOGARITMICAS
 
30-Planos-de-Casas-para-construir en.pdf
30-Planos-de-Casas-para-construir en.pdf30-Planos-de-Casas-para-construir en.pdf
30-Planos-de-Casas-para-construir en.pdf
 
Análisis de Varianza- Anova y pruebas de estadística
Análisis de Varianza- Anova y pruebas de estadísticaAnálisis de Varianza- Anova y pruebas de estadística
Análisis de Varianza- Anova y pruebas de estadística
 
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdfSESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
 
GeoS33333333333333333333333333333333.pdf
GeoS33333333333333333333333333333333.pdfGeoS33333333333333333333333333333333.pdf
GeoS33333333333333333333333333333333.pdf
 
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOSEJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
 

Aritmetica san marco

  • 1. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS CONJUNTOS I 1. Si: A  ;a;a;a,b; Indicar las proposiciones que son verdaderas. I. a  A  {a, b}  A II. {}  A  {}  A III.   A    A A) solo I B) solo II C) solo III D) II y IV E) II y III RESOLUCIÓN A  ;a;a;a,b; I. a  A  {a, b}  A F F = F II. {}  A  {}  A F V = V III.   A    A V V = V I y III son verdaderas RPTA.: D 2. Dados los conjuntos:       A x N 2x 13 B x A x² 2x A        Indicar si es verdadero o falso, las siguientes proposiciones. I.  x  A / x²  5 > 4 II.  x  (A  B) / 2x + 5 < 8 III.  x  (A  B) / x²  B A) VVF B) FVF C) VFV D) VFF E) VVV RESOLUCIÓN         A x N 2x 13 A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 B x A x² 2x A          x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 x²  2x = 0 ;1; 0 ; 3 ; 8; 15; 24  B = {1; 4; 5; 6} I.  x  A / x²  5 > 4 (V) II.  x  (A  B)/2x + 5 < 8 (F) III.  x  (A  B) / x²  B (V) RPTA.: C 3. Sea A n Z n 600     Calcule la suma de elementos del conjunto B; si   3 B  a  2 a  A  a A A) 1000 B) 1296 C) 1312 D) 1424 E) 1528 RESOLUCIÓN       3 a es cubo perfecto A n Z n 600 1,2,3,4,5,...,600 B a 2 a A a A                    a = 1³ ; 2³; 3³; ...; 8³           2 B 1³ 2 ; 2³ 2 ; 3³ 2 ;....; 8³ 2 elementos 8 x 9 2 8 de B 2 1312                              Nota:   3 2 N n n 1 S 2         RPTA.: C 4. Halle el cardinal del conjunto B e indicar el número de subconjuntos ternarios que tiene.
  • 2. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS      CONJUNTOS LÓGICA B x Z x 8 x 2 siendo : p q p q A B                     A) 48 B) 42 C) 63 D) 56 E) 45 RESOLUCIÓN B x Z x 8 x 2       (x > 8)  (x = 2)  (x> 8)  (x = 2)  x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8  n(B) = 8 #Subconjuntos 8 8! C Ternarios de B 3 3! 5! 6x7x8 56 6           RPTA.: D 5. Dados los conjuntos unitarios A = {a + b; a + 2b3; 12} y B = {xy ; yx ; 16}; halle el valor de (x + y + a² + b) A) 81 B) 92 C) 96 D) 87 E) 90 RESOLUCIÓN A y B son unitarios: * A = {a + b; a + 2b  3; 12} a + b = 12 a + 2b  3 = 12 a + 2b = 15 como: a + b = 12 b = 3  a = 9 * B = {xy; yx; 16} xy = yx = 24  x = 2 ; y = 4  x + y + a² + b = 90 RPTA.: E 6. Calcular el número de subconjuntos binaros del conjunto D, si: D = {(x² 1)Z / 0 < x  4} A) 132 B) 126 C) 105 D) 124 E) 120 RESOLUCIÓN D = {(x² 1)Z / 0 < x  4} 0 < x  4  0 < x²  16  1 <x²  1 15 D = {0; 1; 2; 3; ...;15}  n(D)= 16   #Subconjuntos 16 16! C Binarios de D 2 2! 14! 15x16 2          15x8 120   RPTA.: E 7. Si: n [P(A)]= 128; n[P(B)]= 32 y n [P(AB)] = 8 Halle el cardinal de P(AB) sumado con el cardinal de: C =   5 3x 1 Z x 3           A) 521 B) 517 C) 519 D) 512 E) 520 RESOLUCIÓN * nP(A) = 128 = 27  n(A) = 7 nP(B) = 32 = 25  n(B) = 5 nP(AB) = 8 = 23  n(AB) = 3  n(AB) = 7 + 5  3 = 9 ´
  • 3. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS  nP(AB) = 29 = 512 * C =   5 3x 1 Z x 3           5 x 3 5 x 3 1 3 1 3     (3x + 1) < 6 C = {1; 2; 3; 4; 5} n(C) = 5  nP(AB) + n(C) = 517 RPTA.: B 8. Oscar compra 9 baldes de pinturas de diferentes colores. Los mezcla en igual proporción. ¿Cuántos nuevos matices se pueden obtener? A) 512 B) 246 C) 247 D) 503 E) 502 RESOLUCIÓN # de colores = 9 # de nuevos matices= 29  1  9 = 512  10 = 502 RPTA.: E 9. El conjunto A tiene 200 subconjuntos no ternarios. ¿Cuántos subconjuntos quinarios tendrá? A) 64 B) 56 C) 48 D) 21 E) 35 RESOLUCIÓN Sea n(A) = x                                  x x 3 x x Subconjuntos 2 C 200 no ternarios x! 2 200 3! x 3 x 2 x 1 x 2 200 6 x 8 Luego : #Subconjuntos 8 8! C Quinarios 5 5! x 3! 8 x 7 x 6 56 6 RPTA.: B 10. Si el conjunto “C” tiene (P + 1) elementos y (2P + 3) subconjuntos propios; además: n(A) = 4P + 2 ; n(B) = 3P + 6 y n(AB) = 2P  2 Halle n(AB) A) 14 B) 16 C) 18 D) 17 E) 20 RESOLUCIÓN n(C) = P + 1 # subconjuntos 2P 3 propios de C             P + 1 2P + 1  1 = 2P + 3 P = 2 Luego: n(A) = 4(2) + 2 = 10 n(B) = 3(2) + 6 = 12 n(AB) = 2 8 2 10 A = 10 B = 12
  • 4. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS n (AB) = 18 RPTA.: C 11. Sean los conjuntos A  E ; B  E y C  E; E conjunto universal, tal que: E = {x Z+ / x < 10} A = x E x  7 AB = {x  E / x  9  x > 2} BC = {3} BC = {x  E / x  7} AC = A B C   Determinar n(A) + n(B) + n(C) A) 9 B) 12 C) 10 D) 13 E) 11 RESOLUCIÓN E={xZ+/x<10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A  x E/x  7  1,2,3,4,5,6  A = {7, 8, 9} De: A C  A B  C  A B  C   A  B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B  C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} n(A) + n(B) + n(C) = 3 + 5 + 3 = 11 RPTA.: E 12. Sean A, B y C tres conjuntos no vacíos que cumplen las condiciones: * A  B  B  A * si x  C  x  B Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I) A y B son disjuntos II) (A  B)  C III) C  (A  B) IV) C  (A  B) A) FVVF B) FFVV C) FFFF D) VFVF E) FFFV RESOLUCIÓN A  B  B  A x  C  x  B Graficando las dos condiciones: I) A y B son disjuntos (F) II) (A  B)  C (F) III) C  (A  B) (F) IV) C  (A  B) (V) RPTA.: E 13. Sean A y B dos conjuntos finitos tales que: * A  B =  * n(B) = 2 . n(A) * B tiene 128 subconjuntos. El número de subconjuntos de B excede al número de subconjuntos propios de A en 993. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A ? A) 281 B) 2101 C) 2111 D) 2121 E) 2131 RESOLUCIÓN Sean n(A) = x  n(B) = 2x ´ ´ ´ ´ ´ . 1 . 3 . 2 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 C A B ´ C B A
  • 5. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS # subconjuntos # subconjuntos 993 de B propios de A               22x  (2x1) = 993 2x(2x1) = 992 = 25 x 31 x = 5 Luego: # subconjuntos de 7 B  128  2 12 #subconjuntos propios de A  2 1 RPTA.: D 14. Dados los conjuntos:   3x 5 A x N / N 4 x 1 x B N / N 2 2 C x N /2x 25                        Halle: n[(AB)C ] A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 RESOLUCIÓN * 3x 5 A x N/ N 4           3x 5 4N 5 N x 4 3      N = 2; 5; 8 ...... X = 1; 5; 9 ...... A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....} * x 1 x B N/ N 2 2           NATURAL x 1 x 1 No existe natural 2 2 2      B =  * C  x N/2x  25 C = {13, 14, 15, 16, 17, .....} n(AB)  C  A  B (DIFERENCIA SIMÉTRICA) n (A  C ) = n(A  C) = n {1, 5, 9} = 3 RPTA.: B 15. Para los conjuntos A, B y C afirmamos: I. Si A  B  C  C  B  A II. A  A   III. A  B  A B IV. Si A  B B  A V. A  B  A  B  A Son verdaderas: A) todas B) solo II y III C) todas excepto V D) solo II, III, IV y V E) solo I, II y V RESOLUCIÓN I. Si A  B  C  C  B  A (V) II. A  A   (V) III. A  B  A B (V) IV. Si A  B B  A (V) V. A  B  A  B  A (V) RPTA.: A 16. Si A y B son dos conjuntos finitos, tal que, el número de subconjuntos de A y de B suman 320, los conjuntos A y B tienen 2 elementos comunes; determine n(AB) A) 14 B) 13 C) 12 ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 2 5 10 A = 5 B = 10 U ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´
  • 6. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS D) 11 E) 10 RESOLUCIÓN 320 = n(PA) + n (PB) 320 = 2n(A) + 2n(B) 320 = 26 + 28 Luego: n(A) = 6 n(B) = 8  n(AB) = 10 RPTA.: E 17. Sean A, B y C conjuntos no vacíos diferentes dos a dos, tales que: B A ; C B A C        Al simplificar: [B(C  A)]  [A  (B  C)] se obtiene: A) A B) B C) A  B D) A  C E)  RESOLUCIÓN B A ; C B ; A C A B ; C B ; A C               Graficando y enumerando las regiones: B  C  A  A  B  C [2]  [1; 3] =  RPTA.: E 18. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, simplificar: A B A B   A B A) A  B B) A  B C) A B D) A B E)  RESOLUCIÓN Graficando los conjuntos A y B A B A B  A B                (A  B) (BA)           1,2,3 2,3 1,2,3 1,4 1 A B      RPTA.: A 19. En el gráfico, las zonas sombreadas están representadas por: B C D A ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ 4 2 6 A B 2 B C A 1 2 3 ´ ´ ´ ´ 2 1 3 4 A B ´ ´
  • 7. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS I) [A(BC)]  [C  D] II) (A  B)  (B  C) III) [(A  D)  C]  [A  (BC)] A) solo I B) solo II C) solo I y II D) solo II y III E) todos RESOLUCIÓN I) [A(BC)]  [C  D] [{1,2,3}  {2,6,5}]  {7} = {1,3,7}: si II) (A  B)  (B  C) {1,2,3,4,5,6,7}  {2,5,6} = {1,3,4,7} no III) [(A  D)  C]  [A  (BC)] {1,2,5}  {1,3} = {1} no RPTA.: A 20. Dado 3 conjuntos A; B y C: Si n(A) = m ; n(B) = m + r n(C) = m + 2r ; además: n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896 Se sabe además que A, B y C son disjuntos. Calcule n(A  B  C) A) 16 B) 22 C) 24 D) 32 E) 48 RESOLUCIÓN n(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 2r A B C nP  nP  nP  896 2m + 2m+r + 2m+2r = 896 2m [1 + 2r + 22r] = 896 = 27 x 7 m = 7 r = 1 A B C  7 8 9 n(A  B  C) = 24 RPTA.: C CONJUNTOS II 21. Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A? A) 24 B) 30 C) 32 D) 36 E) 40 RESOLUCIÓN 6x + 12x + 4x + 3x = 50  x = 2 n(A) = 18(2) = 36 RPTA.: D B C D A 1 2 3 4 5 6 7 6x 12x 4x A = 18x B 3x U = 50
  • 8. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 22. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 RESOLUCIÓN 40 = 11 + 9 + 12 + x  x = 8 RPTA.: A 23. De los residentes de un edificio se ha observado que 29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de los cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones 32 trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian, ¿cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan? A) 32 B) 30 C) 28 D) 26 E) 34 RESOLUCIÓN X = 56 – 24 X = 32 RPTA.: A 24. En una clase de 50 alumnos, se practica tres deportes: Atletismo, Básquet y Fulbito. * Los que practican atletismo o fulbito pero no básquet son 30. * Los que practican básquet o fulbito pero no atletismo son 27. * Los que practican atletismo y fulbito son 7. * Los que practican fulbito pero no atletismo o básquet son 15. * Los que no practican estos deportes son la cuarta parte de los que practican básquet y fulbito pero no atletismo. * 4 practican atletismo y básquet pero no fulbito. * Los que practican básquet pero no atletismo o fulbito son 4. ¿Cuántos practican solo dos deportes o no practican ninguno? A) 21 B) 17 C) 19 D) 2 E) 18 RESOLUCIÓN 50 = 15 + 8 + (7x) + x + 8 + x + 4 + 4 + 2 X = 50  48 = 2 17 11 12 12 Corbata = 28 Casaca = 40 Cartera = 24 16 x 9 H = M = U = M H 56 T(29) E 21 12 12 17 15 x 8 + x 4 4 B A F 2 8 x 7 - x U = 50 15
  • 9. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS  solo 2 deportes o ninguno de los tres: 5 + 4 + 8 + 2 = 19 RPTA.: C 25. Dado los conjuntos A; B y C contenidos en el universo de 98 elementos, tal que: n(A  B) = 21 n(B  C) = 25 n(C  A) = 32 3n (ABC) = n(ABC) Hallar: ABC A) 93 B) 95 C) 87 D) 77 E) 91 RESOLUCIÓN Diagrama de Ven –Euler para visualizar: Planteando tenemos: 98 = 4x + 21 + 25 + 32 20 = 4x 5 = x Piden: A B  C U  A B  C  98  5  93 RPTA.: A 26. Usando las leyes del álgebra de conjuntos, simplificar: A  B B  A B  C A) AC B) BC C) U D) (A  B)C E) (A  B)C RESOLUCIÓN [(AB)B] =  [(AB)C]C = (AB)CC {[(AB)B][(AB)C]}C {}C = U RPTA.: C 27. En un condominio de 100 personas, 85 son casados, 70 son abonados de teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios. ¿Cuál es el mínimo número de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono, tienen bicicleta y son empresarios? A) 15 B) 10 C) 20 D) 24 E) 15 RESOLUCIÓN Tomando por partes: = 10 RPTA.: B 28. En una encuesta a los estudiantes se determinó que: * 68 se portan bien * 160 son habladores * 138 son inteligentes * 55 son habladores y se portan bien * 48 se portan bien y son inteligentes * 120 son habladores e inteligentes * 40 son habladores, inteligentes y se portan bien. ´ ´ ´ A B C x 3x 98 15 55 30 45 30 25 70 10 20 70 30 15 45 CASADOS TELÉFONO 75 25 CASADOS Y TELÉFONO 85 55 AUTO 80 20 70 30 CASADOS, TELÉFONO Y AUTO EMPRESARIOS
  • 10. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS ¿Cuántos estudiantes son inteligentes solamente? A) 10 B) 20 C) 40 D) 12 E) 8 RESOLUCIÓN Solo inteligentes = 10 RPTA.: A 29. Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley. Además 6 figuran en los 3 deportes y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es el total de personas que practican exactamente un deporte, “y” es el total de personas que practican exactamente 2 deportes, entonces el valor de (xy) es: A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 16 RESOLUCIÓN a + b + c = y x : solo un deporte Del universo: 44ab+b+17bc+32+10 = 78 a + b + c = 25 = y También: x + y + 6 + 10 = 78  x = 37  x  y = 12 RPTA.: C 30. Dado el conjunto universal “U” y los subconjuntos A, B y C; se tiene los siguientes datos: n(U) = 44 n(BC) = 12 n(AC) = 14 n[(ABC) ]=6 n(ABC) = 5 n(B) = 17 n(A) = 21 n(ABC ) =3 Hallar n(C) A) 31 B) 27 C) 29 D) 26 E) 28 RESOLUCIÓN n(AB C ) =3 n[(AB)C] =3 ´ ´ 40 80 25 15 5 8 10 HABLADORES: 160 INTELIGENTES: 138 PORTAN BIEN: 68 U = a c 6 b 44 – a – b 17 – b – c V = 23 B = 32 F = 50 10 U = 78
  • 11. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 21 + 2 + 7 + 6 + x = 44  x = 8 n(C) = 9 + 5 + 7 + 8 = 29 RPTA.: C 31. En un grupo de 80 estudiantes, se encuentra que las cantidades que estudiaban las diversas lenguas eran en número de 72, distribuidas de la siguiente manera: * Alemán solamente 25 * Español solamente 12 * Francés pero no alemán ni español, 15 * Alemán y francés 10 * Alemán y español 8 Además los que estudiaban español y francés eran tantos como los que estudiaban alemán y español. Determinar cuántos estudiaban 2 lenguas solamente o estudiaban las 3 lenguas. A) 14 B) 20 C) 12 D) 8 E) 18 RESOLUCIÓN Dos lenguas solamente ó tres lenguas = (80)  (25 + 15 + 12 + 8) = 20 RPTA.: B 32. En una encuesta realizada a 100 trabajadores de una fábrica se obtuvo la siguiente información: todos los hombres tenían más de 20 años, 25 de las mujeres eran casadas mientras que 15 de los trabajadores casados tenían más de 20 años y 10 de las mujeres casadas tenían más de 20 años. Si hay 60 que tienen más de 20 años, hallar la diferencia entre el número de trabajadores con menos de 20 años y el número de mujeres solteras con menos de 20 años. A) 5 B) 10 C) 15 D) 18 E) 8 RESOLUCIÓN A: personas con más de 20 años B: hombres C: casados Por datos: x + y = 25 x + z = 15 x = 10 y = 15 z = 5 * Trabajadores con menos de 20 años: 15 + 25 = 40 * Mujeres solteras con menos de 20 años = 25 40  25 = 15 RPTA.: C 33. ¿Qué operación representa el gráfico? 4 3 2 9 5 7 x C A = 21 B = 17 6 U = 44 25 8 - x 12 10 - x x 15 F A E 8 U = 80 8 - x y C B A(60) a b z x 25 U(100)
  • 12. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS A) [(AC)(BC)]  C B) [(AB)(BA)]C C) C (AB) D) (CA)  (CB) E) A B  C RESOLUCIÓN RPTA.: C 34. En un colegio hay 35 niños. Cada uno de ellos tiene una bandera que puede ser monócroma, bicolor o tricolor, habiéndose usado únicamente 3 colores: rojo, amarillo y azul. El número de banderas bicolor es el doble del número de banderas monocromas, mientras que el número de banderas que tienen el color rojo es igual al número de banderas que tienen el color azul e igual al número de banderas que tienen el color amarillo. Si sólo 8 niños tienen banderas tricolor y dos alumnos banderas color amarillo. ¿Cuántas banderas bicolor rojo – azul hay? A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 10 RESOLUCIÓN Datos: a + b + x + y + z = 25 ......(1) x + y + z = 2(a + b + c) ....(2) (2) en (1) a + b + 2 (a + b + 2) = 25 3(a + b) = 21 a + b = 7 Dato: a + x + y = y + z + b = x + z + c a + 18  z = 18  x + b = 18y+ c De donde: a = z y + c b = x  y + c Sumando: 7 = x + z  2y + 4 7 = 18  y  2y + 4 3y = 15 y = 5 RPTA.: C 35. A cuántas personas le gusta 2 cursos solamente si la cantidad de personas que le gusta aritmética pero no álgebra ni física es el doble de los que les gusta álgebra, pero no aritmética ni física y además a los que les gusta física pero no aritmética ni álgebra es el triple de los que les gusta álgebra pero no aritmética ni física y a los que les gusta los 3 cursos es la cuarta parte de los que les gusta aritmética pero no álgebra ni física, si a 24 personas le gusta solamente un curso y además el total de personas que gusta de al menos un curso es 36. A) 5 B) 8 C) 12 D) 4 E) 10 RESOLUCIÓN C A B ´ a y b z 8 x c = 2 Amarilo Azul Rojo U = 35 A 4y n 2y p y m 6y F x
  • 13. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS A: aritmética X: álgebra F: física Datos: A  (xF) = 2[x  (AF)] F  (Ax) = 3[x(AF)]         1 A x F A x F 4 AxF = y Por dato: 4y + 2y + 6y = 24 12y = 24 y = 2 13y + m + n + p = 36 .... dato 13 x 2 + m + n + p = 36 m + n + p = 10 RPTA.: E 36. A, B y C son conjuntos contenidos en un mismo universo, simplifique la siguiente expresión: E = {{[(A  B)  (A  B )]  (A  B )}  (C  A)}  {((A  C)  (A  C)} A) AC B) B C) A D) AC E) C RESOLUCIÓN E={{[(AB)(ABC)](ABC)}(CA)} (AC) A(B(ABC)............................... A(BA) (AB)  (ABC) [(AB)A]  [(AB)BC] A  (ABC) A  (CAC) (AC)  (AC) (AC) RPTA.: A 37. De 60 personas se sabe: * 6 hombres tienen 20 años * 18 hombres no tienen 21 años * 22 hombres no tienen 20 años * Tantas mujeres tienen 20 años como hombres tienen 21 años. ¿Cuántas mujeres no tienen 20 años? A) 18 B) 20 C) 24 D) 22 E) 28 RESOLUCIÓN = 22 RPTA.: E 38. De un grupo de personas se sabe lo siguiente: * Algunos provincianos son casados. * Todos los profesores no son provincianos. * Ninguno de los que tienen hijos es profesor * Todos los casados tienen hijos * 9 personas no son provincianas, ni casadas, pero tienen hijos. * Hay 12 profesores y son tantos como el número de casados * De los 25 provincianos, 15 tienen hijos. * 5 casados no son limeños * 10 limeños no son profesores ni tienen hijos. ´ ´ 6 x = 10 x = 10 H M 60 28 32 21+ 21 20 20 -
  • 14. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS ¿Cuántas personas conforman el grupo y cuántos no tienen hijos, ni son profesores? A) 63 y 20 B) 57 y 10 C) 59 y 23 D) 64 y 9 E) 63 y 22 RESOLUCIÓN Total = 63 No tienen hijos ni son profesores = 20 RPTA.: A 39. En una academia de 100 alumnos, se rindieron 3 simulacros con los siguientes resultados: 40 aprobaron el primero; 39 el segundo; y 48 el tercero. 10 aprobaron 3 simulacros. 21 ninguno; 9 los dos primeros, pero no el tercero; 19 el tercero, pero no los dos primeros. ¿Cuántos aprobaron por los menos dos exámenes? A) 19 B) 38 C) 24 D) 27 E) 29 RESOLUCIÓN x + y + 10 + 19 = 48 x + y + 19 = 38 RPTA.: B 40. En una ciudad el 60% de los habitantes comen pescado; el 50% come carne; el 40% de los que comen carne también comen pescado. ¿Qué porcentaje de los habitantes no comen pescado ni comen carne? A) 15% B) 23% C) 20% D) 10% E) 30% RESOLUCIÓN   40 50% 20% 100 60% + 30% + x = 100% X = 10% RPTA.: D NUMERACIÓN I 41. Calcule “a” si:     7. 9 p a n 2c 1 aa 3         Además     n p c 5p7 4c3 2        7 5 9 10 10 12 10 LIMA PROVINCIA HIJOS HIJOS HIJOS = 25 CASADOS SOLTEROS 9 x y 19 P = 40 S = 39 T = 48 U = 100 21 10 P = 60% C = 50% x U = 100% 40% 20% 30%
  • 15. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 RESOLUCIÓN         n p 9 7 c p 5p7 4c3 ; a n 2c 1 aa 2 3                n  7 p  4 n  9 c  3 C= par p  3ó6  n = 8 ; p  6 ; c  2 Luego: 9 7 a28  5aa 81a  2 9  8  245  7a  a 81a  26  245  8a 73.a  219a  3 RPTA.: B 42. ¿Cuántos valores puede tomar “k” en   n n k 0,125 kk  ? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 RESOLUCIÓN     n n k 1 0,125 kk 8   Descomponiendo k 1 k kn k 8     k(1  n) 1 8  1 1 n 1 8 n 1 8       n  7 Pero k  n  7 k  1;2;3;4;5;6 K puede tomar 6 valores RPTA.: C 43. Si:            7 n 5 n n 1 n 2 n 3 n 4 abcd       Halle: a  b  c  d A) 10 B) 12 C) 13 D) 11 E) 14 RESOLUCIÓN (n 5) (7) n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) abcd       n  5  7 n  1 12345(6)  abcd7 1 2 3 4 5 6 6 48 306 1860 1 8 51 310 1865 a=5 7 7 1865  5303  abcd b=3 C=0 D=3 a + b + c + d = 11 RPTA.: B 44. Halle m n  p , si n n 1 110 ,81  y (n 1) 1mp  son números consecutivos. A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11 RESOLUCIÓN n n 1 n 1 110 ;81 ;1mp   Por dato: n n 1 110 1 81      2 n  n  1  8 n  1  1     2 n  7n  8  0 n  8 n  1  0 n - 8 n=8 n 1 8 9 7 110 ;81 ;1mp 72 ; 73 ; 74
  • 16. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 74 7 4 10 7 3 1 7 7 1mp  134 m  3;p  4;n  8 m n  p  15 RPTA.: A 45. Sabiendo que : a7bn  aoc9; además 6d6n  mbmb5. Halle el valor de (m + b + d). A) 2 B) 4 C) 3 D) 6 E) 8 RESOLUCIÓN a7bn aoc9    7  n  9 n  8 También por dato: 6d68  mbmb5   2 2 6  8  d 8  6  mb 5 .5 mb5 390  8d  26 mb5 195  4d  13.mb5 0 15 5 5 d  0 mb  15  30  m = 3; b = 0 m b  d  3 RPTA.: C 46. Calcule el valor de “n” si “m” es máximo en:   ...1818 n 18. 18  123 “m” veces A) 8 B) 9 C) 11 D) 14 E) 10 RESOLUCIÓN Propiedad tenemos:   ...1818 n 18. 18  n  8 m  123 Pensando: m  14 (mayor valor) n  8 14  123 n  123 112 n  11 RPTA.: C 47. Si:         9 3 a b  1 c  2 c  b 1 10 xy 12 Calcule: a  b  c  x  y A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 RESOLUCIÓN Caso Especial: 2 b b         9 3 a b  1 c  2 c  b 1 /10 / xy /12            9 9 a b  1 c  2 c  b 1 3 3x  y 5 Igualando: * c = 5 * b  1  3;b  2 * a  b 1;a  1 *c  2  3x  y 5  2  3x  y 7  3x  y ; x = 2 y = 1 Pide: a  b  c  x  y  11 RPTA.: C 48. En la siguiente expresión: “m” es máximo n > 8 “m” veces
  • 17. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS m n 8 M  4n6  54  3mn Halle M. A) 42 B) 532 C) 24 D) 220 E) 44 RESOLUCIÓN Analizando: n 54 n  5 m 4n6 m  6 m  n 8 3mn 5  n  m 8  m  7 y n  6 7 6 8 M  466  54  376 M  244  34  254  M = 24 RPTA.: C 49. Si se cumple que: abn abcaaa  17a29 Calcule el valor de “n” A)3 B)4 C)6 D)9 E)5 RESOLUCIÓN abcaaaabn  17a29 x  29  cambio de variable x 29 x 29 abca  17a abc .x  a  17 .29  a abcx.x  36.29 Si   9 x  9  abc9  116  138 a=1 ; b=3; c=8 Luego: 13n x  11  9 n 1  3  9n  5 RPTA.: E 50. Halle a  b  c m n, sabiendo que: aban  bcnm Sabiendo que: m < 9 y b > 4 A) 27 B)3 C)-5 D) -3 E)5 RESOLUCIÓN 4  b  a  n m (Ordenando) 4  5 6  7  8 Luego: 7 8 656  517  a  b  c m n  6  5  1  7  3   3 RPTA.: D 51. Calcule la suma de las dos últimas cifras del numeral:     n 16 12 13 8 , al expresarlo en el sistema de base n  1 . A) 6 B) 7 C) 5 D) 4 E) 3 RESOLUCIÓN        n N 1612 13 8 Base n  1                                           n n n n n n n n n n n n n n n n n 16 12 13 8 n 1 11 11 1576 11 5 12 11 143 11 5 5 47 7 13 44 7 7 36 68 33 66 3 2    N  ...32(n1) x
  • 18. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS  de las 2 últimas cifras = 5 RPTA.: C 52. Si se cumple:   x 2m 1 9 6 12 abcd m m m                     Calcule a  b  c  d m x A) 8 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15 RESOLUCIÓN   x 2m 1 abcd m 12 m 6 m 9               “m” divide a 9; 6 y 12 por tanto m = 3 Reemplazando. 5 x 324  abcd a mayor valor aparente menor base  x  5 Se verifica para: x = 4 Por descomposición: 324 3 5 2 5 4 89 5 5       Por división a base 4: 89 4 1 22 4 2 5 4 1 1 5 4 x 324  1121  abcd a  1;b  1;c  2;d  1;x  4 m  3 a  b  c  d  x m  12 RPTA.: C 53. Calcule : a  n m Si: n m 120a  64a  2553 A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 19 RESOLUCIÓN 120an  64a  2553m 1200  640 n  n³ + 2n² = n² (n+2) = 8²(8+2) n 2n (n 2) 8 (8 2) 3 2 2     n  8 8 m 64a 120a 2553 ;m 5 m 8     m 6   3 6 2553  2  6  5  6²  5  6  3  645  64a a  5 a m n  5  6  8  19 RPTA.: E 54. Halle “x” en: abxn  ccn7, si: c  2 y b  a A)0 B) 2 C) 3 D)5 E) 6 RESOLUCIÓN abxn  ccn7...(I) ; C  2 ; b  a n  7  2  c  a  b  n  7 c  3 a  4 b  5 n  6 Luego en I Números equivalentes
  • 19. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 6 7 45x  336  174 6 6  45x  450  x  0 RPTA.:A 55. Si se cumple que: (2n) numerales  n 14 10 1 15 11 14 12 15 13 1 n 1    ¿Cuántas cifras tendrá el menor numeral de la base “n”, cuya suma de cifras sea 210, cuando se exprese en la base 2 n ? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 RESOLUCIÓN Aplicando propiedad. 15  n(4)  (n 1).5  n  0 1  2  3  ...  (n 1) 1 2 ( 1) 9 9    n n n   n 18 2 n(n 1) 91 n      En base 18 324 2 2 n   Número  324 18 210  02 01 00 Número de cifras =5 RPTA.:E 56. Halle a  b  n  ken la siguiente expresión: k n 9ab  213312 ; donde 2 k  n A) 18 B) 24 C) 28 D) 41 E) 37 RESOLUCIÓN Luego: n k n k 2    9abn2   213312n Transformando de base (n) a base   2 n n 21 33 12   2 n 9 a b       n 4 4 21 9 n 4 ; k 16 33 a a 15 12 b b 6           a  b  n  k  41 RPTA.: D 57. El mayor número de 3 cifras diferentes de la base n, se escribe en base 8 como 4205. Halle n. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 RESOLUCIÓN Sea: abcn el mayor a  b  c          n 8 n abc  n 1 n  2 n  3  4205 pasando a base 10. n 1.n (n 2).n n 3 4 8 2 8 0 8 5 2181 2 3 2              n n 2184 3   n(n 1) 2184 2   n(n 1)(n 1)  2184 n 1nn 1  121314 n  13 RPTA.: D
  • 20. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 7 7 7 7 7 7 1 000 000 142 857 20 408 2 915 416 59 8 1 (1) (1) 7 (3) (3) (3) (3) (1) 58. Se desea repartir S/. 1000000 entre un cierto número de personas, de tal modo que lo que les corresponda sea: S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;… y que no más de 6 personas reciban la misma suma. ¿Cuántas personas se beneficiaron? A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12 RESOLUCIÓN Transformando a base 7: 7 1 000000  11 333 311 Número de personas: 1 1  3  3  3  3 11  16 N  16 RPTA.: A 59. Si se cumple: 2 8 a10b11b  15c Halle: a  b  c A)6 B) 7 C)5 D)9 E) 10 RESOLUCIÓN 2 a 10b 11b =15c8 8 a(4  b)(6  b) =15c8 * a  1 * 4  b  5;b  1 *6  b  c ;c  7 *a  b  c  9 RPTA.: D 60. Si se cumple: abn  ba7 Halle la suma de cifras de n ; si es el máximo valor posible. A) 37 B) 13 C) 11 D) 21 E) 10 RESOLUCIÓN Descomponiendo: na  b  7b  a 1 a 6b n   a  7 y b  7 a  1;b  6 n  37  3  7  10 RPTA.: D NUMERACIÓN II 61. Si el término ab avo de la siguiente serie aritmética es ba. Calcule “a +b” si: 30;…;48;51… A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 RESOLUCIÓN 30;…;48;51… Razón: 3. Término 1: 30 Término n:     1 1 t t n n razón t ab  ba ab  30   1 3  Descomponiendo: 30+3xab-3=ba 30+3(10a+b)-3=10b+a 27+29 x a = 7 x b 1 8
  • 21. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS a=1; b=8 a+b=9 RPTA.: D 62. Dada la siguiente progresión aritmética: aa0;ab(a  2);a(b  1)3b;.....3a05 “n” términos Halle: a+b+n A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 RESOLUCIÓN “n” términos aa0;ab(a  2);a(b  1)3b;.....3a05 r  ab(a  2)  aa0  a(b  1)(3b)  ab(a  2) r = 10b+a+2-10a=10(b-1)+3b-10b-a-2 r =10b-9a+2=3b-a+8 7b = 8a+6  r = 13 2 1 n= 1 16 13 305 110    a + b + n=19 RPTA.: E 63. ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética: x x x x 233 ;242 ;301 ;........;1034 A) 26 B) 17 C) 20 D) 19 E) 22 RESOLUCIÓN Cálculo de la razón R: x x x x 242  233  301  242 Descomponiendo polinómicamente     2 2 2x  4x  2  2x  3x  3      2 2 3x  1  2x  4x  2 x = 5  R = x - 1  R = 4 5 5 5 5 233 ;242 ;301 ;.........;1034 + 4 + 4 5 5 1034 233 n 1 4    n = 20 RPTA.: C 64. En la numeración de las páginas impares de un libro se han empleado 440 tipos de imprenta. ¿Cuántas páginas puede tener el libro? A) 165 B) 330 C) 320 D) 145 E) 325 RESOLUCIÓN Suponiendo la última página con numeración PAR. Cantidad de cifras de las páginas impares: 1, 3, 5, 7, 9, 5#s 5 x 1 = 5 cifras 11, 13, 15, 17,……., 97, 99 45#s 45x2=90cifras 101, 103, 105, 107,………. 440-(5+90) = 345 cifras Se han utilizado 345 cifras para escribir números de3 cifras: 3 cifras = 115 3 345  números de 3 cifras
  • 22. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS Total de páginas impares = 5+45+115=165 páginas. Total de páginas =330 RPTA.: B 65. Al escribir la secuencia adjunta que tiene 113 términos. ¿cuantas cifras en total se han utilizado? 67 70 73 76 66 ,69 ;72 ;75 ;........... A) 664 B) 665 C) 620 D) 653 E) 655 RESOLUCIÓN abc 1 67 70 97 100 103 66 ,69 ;...96 ;99 ;102 ...abc  11#s 1# 101#s 11 x 4 1 x 5 101.6 RPTA.: E 66. Las 72 primeras páginas de un libro utilizan 69 tipos de imprenta menos en su numeración que las utilizadas por las 72 últimas ¿Cuántas páginas tiene el libro? A) 159 B) 157 C) 148 D) 195 E) 185 RESOLUCIÓN La numeración de las páginas será: 1, 2, 3, 4,……., 71, 72,…….., “x” Cifras utilizadas n  72, n  71, n  70........, N “(x+69)” cifras utilizadas (La cantidad de cifras del 1 al 72) = (72+1)2-11=135 La cantidad de cifras utilizadas en las 72 últimas páginas será: 135+69=204 Entonces si al total de cifras desde 1ª “N”, le quitamos el total de cifras utilizadas desde 1 hasta (N-72) es igual a 204. Asumiendo para N=3 N  13 111  N  72  12 11  204 N=159 RPTA.: A 67. En la siguiente serie, halle el término que ocupa el lugar ante penúltimo. 3, 9, 17, 27,……., 699 A) 559 B) 597 C) 647 D) 649 E) 585 RESOLUCIÓN tn =      2 1 1 2 1 2 1 r . n n t n .r      En el problema     2 2 3 2 699 3 1 6 2 . n n t n . n        2 700  n  3nn  25 23 22.21 t 3 22.6 .2 597 2     RPTA.:B 68. ¿Cuántos números de la forma: aa  1b b  2 c c /2  d existen? A) 960 B) 2160 C) 3200 D) 3600 E) 2400 RESOLUCIÓN N  aa  1bb  2cc /2 d 1 2 0 0 2 3 2 1 3 4 4 2 . . 6 . . . 8 . . . . . . . 7 . .
  • 23. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 8 9 9 C#s= 8 x 8 x 5 x 10 =3200 d= 0; 1; 4; 9; 16;…..; 2 8 ; 2 9 RPTA.: C 69. En que sistema de numeración existen 136 números de las formas:   K a a  b b A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 RESOLUCIÓN a+b= k-1 (máximo) a=1; b=0; 1; 2; 3…;k-2 k-1 a=2; b=0; 1; 2; .…;k-3 k-2 a=3; b=0; 1; 2; .…;k-4 k-3 . . . . . . a=k-2; b=0,12 a=k-1; b=0 1  #s = k 1 k 136 2   k 1k  8 17  2 k=17 RPTA.: B 70. ¿Cuántos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar? A) 500 B) 625 C) 675 D) 635 E) 600 RESOLUCIÓN Sabemos: a b c 9x10x10=900 números de 3 cifras Para hallar los números de3 cifras que tengan al menos 1 cifra impar y 1 cifra par, al total de números de 3 cifras se le debe restar los números de 3 cifras pares e impares luego: # de 3 cifras pares a b c 2 0 0 4 2 2 6 4 4 8 6 6 8 8 4 x 5 x 5 = 100#s # de 3 cifras impares a b c 1 1 1 3 3 3 5 5 7 7 7 5 9 9 9 5 x 5 x 5 = 125 #s Entonces: 900-(100+125)675 #s RPTA.: C 71. ¿Cuántos números capicúas existe entre 800 y 80000? A) 900 B) 800 C) 700 D) 750 E) 810 RESOLUCIÓN 800 < ”capicúas”< 80000 Capicúas a b a ; a b b a ; 8 0 1 0 9 1 2 1 2 3 2 . . . . . . . . . 9 9 9 2x10 = 20 9x10=90 a b c b a 1 0 0 2 1 1 1 2 2 . . . . . . . . .
  • 24. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 7 9 9 7x10x10=700 C#s Capicúas= 20+90+700=810 RPTA.: B 72. ¿Cuántos números de 10 cifras hay en base 16 tal que el producto de sus cifras sea 30? A) 990 B) 800 C) 720 D) 500 E) 600 RESOLUCIÓN Casos: I II Producto de =30= 2x3x5 = 5x6 cifras III IV =15 x 2 =10 x 3 Caso I : 10x9x8 = 720#s Caso II : 10x9 = 90#s Caso III : 10x9 = 90#s Caso IV : 10x9 = 90#s Total = 990#s RPTA.: A 73. ¿En que sistema de numeración hay 66 números capicúas de 5 cifras, que exactamente tenga 2 veces la cifra 2 en su escritura? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 RESOLUCIÓN Nro capicúa: abcba Tenga 2 cifras “2” En su escritura: x 2 b c b 2 x a 2 c 2 a 0 0 1 0 1 1 3 1 3 3 . 3 . . . . . . . . . . . .        1 1 1 1     x x x x        1 1 2 1     x x x x       2 x 1  x  2 x 1  66 x 1 x 1  x  2  66  6 11 x 12x  3  7 12  7  3 x  7 RPTA.: C 74. Se escriben en forma consecutiva los números enteros positivo uno a continuación del otro hasta emplear 2226 cifras. ¿Cuál es la cifra que ocupa el último lugar? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 RESOLUCIÓN 2226 cifras 1,2,…9; 10,11,….99,100,……U 9 #s 90 #s Cifras: 9x1 90x2 2037 cifras 2037 3 679 # s de 3 cifras  679  U 100  1U  778 Última cifra =8 RPTA.: D 75. Un libro se empieza a enumerar desde una primera página y se observa que 58 números comienzan con la cifra 7. ¿Cuántos números escritos terminan con la cifra 7? A) 76 B) 67 C) 70 D) 74 E) 73 RESOLUCIÓN La numeración de las páginas que comienzan con la cifra 7 será: 1,2,3,….,7,…..,70,71,…,78,79…, 1#s 10#s 700,701,702,..,746 47#s
  • 25. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS El libro tiene 746 páginas La secuencia de las páginas que terminan con la cifra 7 será: 7,17,27,37,47,…….,717,727,737 Total de números que terminan en la cifra 7: Total= 737 7 1 74 10    Total= 74 números RPTA.: D 76. Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que el número de tipos de imprenta que se han utilizado en su numeración, ha disminuido en 361. ¿Cuántos tipos de imprenta se han utilizado en la numeración de las hojas que quedaron. A) 2 661 B) 2 771 C) 2 769 D) 2 772 E) 2 774 RESOLUCIÓN En total de páginas =100 Si las 100 páginas arrancadas fueran todas de 4 cifras, faltarían en total 400 tipos de imprenta, pero sólo faltan 361, esto indica que algunas páginas son de 3 cifras. Si cada página de 4 cifras reemplazamos por una de 3 cifras, la cantidad de tipos disminuye en 1. Cantidad de páginas de 3 cifras = 400 -361 =39 La última página de 3 cifras es la 999 La última página de 3 cifras que quedaron es =999-39=960 Cantidad de tipos=3(960+1)-111=2 772 Total de tipos = 2 772 RPTA.: D 77. Si de los números del 1 a 1000, no se marca ni un solo número que contenga la cifra 4 ó la cifra 7 ¿Cuántos números se marcan? A) 506 B) 510 C) 511 D) 512 E) 515 RESOLUCIÓN Sin 4 ó 7 del 1 al 1000, por análisis combinatorio tenemos: * De 1 cifra:(1,2,3,5,6,8,9)=7#s * De 2 cifras: a b 7 x 8 = 56 #s * De 3 cifras: a b c 7 x8x 8=448 #s * De 4 cifras: (1000) 1# Luego : 7 +56 +448+1 =512#s RPTA.: D 78. Un libro tiene entre 100 y 1500 páginas, si en las 40 últimas páginas utiliza 155 cifras ¿Cuántas cifras tendría si se enumerara en el sistema octal? A) 3555 B) 4005 C) 3750 D) 4125 E) 4325 RESOLUCIÓN x números de 3 cifras x+y=40 x=5 y números de 4 cifras 3x+4y=155 y= 35 Última página =1034 = 8 2012 # cifras =   8 8 4 2013 1111  3555 RPTA.: A
  • 26. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 79. Sea la P.A.: 4a6;.....;68b;6c b  2;70d donde el término del trigésimo lugar de la P.A. es 68b. Halle (a + b + c + d). A) 26 B) 24 C) 30 D) 25 E) 13 RESOLUCIÓN 4ab;.......;68b;6c b  a;70d r=8; c=9   30 t  68b  4a6  29. 8 680  406  10a  232 42  b  10.ad  4 8 5  a+b+c+d+=26 RPTA.: A 80. Halle la diferencia de las bases de 2 sistemas de numeración; si uno tiene 56 números capicúas de 3 cifras más que el otro, y que la suma de dichas bases es 15. A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7 RESOLUCIÓN abaw Nros capicúas: z xyx Además: w+z=15 Método combinatorio: a b a(w) 1 0 2 1 3 2 . 3 . . . . . .       w w w . w 1 1 1    z x y x 1 0 2 1 3 2 . . . . . . .       z z z . z 1 1 1    Por dato:     56 2 2 w  w  z  z      56 2 2 w  z  z  w  w  zw  z 1  56 14 4 14 56 w  z   RPTA.: B 81. Una persona empieza a numerar las páginas de un libro desde el número 4000, se detiene en el número que representa la cantidad de cifras utilizadas. Dar la suma de las cifras del último número. A) 12 B) 13 C) 11 D) 14 E) 15 RESOLUCIÓN Sucesión será: 4000;4001;4002………….…;N “N” tipos de imprenta Planteando el enunciado: (Cantidad de números) x 4 =N 4N 3999  N
  • 27. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 3N= 4x 3999 N= 4(1333) =5332 N=5332 Suma de cifras: 5+3+3+2=13 RPTA.: B 82. Al enumerar las páginas de un libro en base siete se emplean 996 cifras. Indicar la suma de las cifras del numeral correspondiente a la última página. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 RESOLUCIÓN 1;2;...6; 7 10 ;…; 7 66 ; 6 números 7 60 números 1007…6667 10007 ..abcd7 7 600 números x números 6cifras+ 42x2 cifras +294x3 cifras +x.4 =996 4x=996-972 4x=24 x=6 números 7 7 abcd  1005 1 + 0+ 0+ 5=6 RPTA.: C ADICIÓN - SUSTRACCIÓN 83. Si : a0ca  8abc  b7c8  ccab  24022 Halle:   2 a b c A) 270 B) 256 C) 320 D) 245 E) 325 RESOLUCIÓN Si: a0ca  abc  b0c0  ccab  24022 - 8000 -708=15314. Entonces: a + b + c =14 (único valor que cumple) * 1+(a+ b+ c)+c =.........1 15 + c=..........1  c = 6 * 2 + a + c = ...........3 8 + a = ...........3  a = 5 * 1+ a + b + c = 15 1 + 5 + b +6 = 15  b=3  2 2 ab  c  5 3  6  270 RPTA.: A 84. Halle : a b  c; si n + x =16 y x1x  x2x  x3x  ...  x n 1 x  abc4 A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 19 RESOLUCIÓN n + x = 16 ; (n  1) . x = ... 4 n = 10 x = 6 x (n-1)  4  x=6 6 9 n=10  a + b + c = 14 RPTA.:B “n-1” Sumandos a 5 5 5 x x x 1 x 2 x (n-1) x b c 4 9 0 ...
  • 28. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 85. Halle en base 10 el valor de “S” si sus 15 términos forman una progresión aritmética: S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n) A) 637 B) 625 C) 5481 D) 675 E) 645 RESOLUCIÓN n (n) n n S  12  21  30  ...  210 Razón: n n 21  12  n  1 Último término:     n n 12  14 n 1  210 Resolviendo: n  n    n  2 7 6 0 6 6 6 6 6 S  12  21  30  ...  210 S= 8 + 13 + 18 + … + 78 x S   15 86 645 2 RPTA.:E 86. Halle la suma de todos los números de la forma: aa /2b 2b A) 84440 B) 84480 C) 84840 D) 104480 E) 105480 RESOLUCIÓN 1 columna = 0 2 4684  80 2 columna =0  1  2  3  4  4  40 3 columna =1 23 45  50 4 columna = 2  4  6  8 5  100 RPTA.:E 87. Si: 102104106.................... n S “n” sumandos Halle la siguiente suma: 1 2 3 4 49 S  S  S  S  S  .........  S A) 26 615 B) 16 415 C) 161 450 D) 164 150 E) 146 150 RESOLUCIÓN 1 S  102 2 S  102  104 3 S  102  104  106 . . . . ……….. . . . . ……….. . . . . ……….. . . . . ……….. . . . . ……….. . . . . ……….. . . . . ……….. 49 S  102  104  106  ……+198 S = 49(102)+48(104)+47(106)+...1(198) S = 2[49(51) + 48(52)+47(53)+...1(99)] S = 2[49(10049)+48(10048)+... +47(10047)+...+1(1001)] S = 2[100(49+48+47+....+1).... (49²+48²+47²+...+1²] 4949 1 4949 1 2 49 1 S 2 100 2 6 164150                S = 164150 RPTA.: D 88. Efectuar: S = 6 + 66 + 666 + 6666 + ....+ 66...66 “n” cifras :20#s S= 5 4 a 2 8 105 4 8 8 4 6 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 2 4 6 8  a    2 N= b (2b) 0
  • 29. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS A) n 1 10 9n 9   B) n 1 10 9n 10 27    C) n 10 9n 10 27   D) n 1 10 9n 10 2 27          E) n 10 9n 10 2 27         RESOLUCIÓN Factorizando el 6: S = 6 (1+11+111+1111+... + 11111 ....... 1111 “n” cifras Multiplicando por : 9: 9 S = 6 (9+ 99+999+9999 + ... + 99999 ....... 9999 “n” cifras         1 2 3 n 3S 10 1 10 1 10 1 ....... 10 1 2            1 n 3S 10 10 1 n( 1) 2 (10 1)        n 1 2 10 9n 10 S 27     RPTA.: D 89. Halle: a bsi: C.A.1ab  C.A2ab  C.A.3ab  ... C.A.9ab  41ab A) 1 B) 6 C) 8 D) 10 E) 4 RESOLUCIÓN CA 1ab  CA 2ab  ...  CA 9ab  41ab       3 3 3 10 1ab  10  2ab  ...  10 9ab  41ab   3 9 10  1ab  2ab  ...  9ab  4100  ab 3 1ab 9ab 9 10 9 4100 ab 2       9000  500  ab  9  4100  ab 400  10  ab  ab  40 a + b = 4 RPTA.: E 90. Calcule: k m n si se cumple que:     13 13 k m k CA mn 2n 5 3 8                       A) 27 B) 13 C) 53 D) 4 E) 25 RESOLUCIÓN     13 13 k m k CA mn 2n 5 3 8                          Método Práctico: m 12 m m 9 3     12  n  2n n  4 k k 13    k  40 5 8 k mn  40  9  4  4 RPTA.: D 91. Si: m m m m m abc  cba  xyz ,xyz  zyx m  defg yd  e  f  g  16; Halle el valor de m. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 RESOLUCIÓN m m m abc  cba  xyz  x  z m 1 y= m – 1       m m m x y z z y x de f g  z+x=m-1=g
  • 30. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 2y = 2m-2=  m 1 m 2 f  m 2 1  x  z  m  10m  dem D = 1 ; e = 0 Luego: d + e + f + g =16 (por dato) 1 + 0 +m – 2 + m – 1 =16 2m=18 m  9 RPTA.: E 92. Calcule el complemento aritmético del número n n M      1 1 9 10 10 Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 10n+2 B) 15 C) 18 D) 9n-1 E) 10n-9 RESOLUCIÓN n n M      1 1 9 10 10 Se puede expresar: n n M       2 1 1 9 10 10 10 Factor común: n 1 n 1 M 10 900 1 901 10         C.A901000...000  99000...000 (n+2)cifs. ( n+1)cifs. Suma de cifras: 9+9 =18 RPTA.: C 93. Si N y M son números de 200 y 150 cifras respectivamente, y CAN  M  CA(N). Halle la suma de cifras del complemento aritmético de M. A) 151 B) 1 C) 50 D) 9 E) 450 RESOLUCIÓN C.A.N-M  C.A.(N)   k n 10  N  M  10  N   n K K M  10 10  10 99...9 k CA(M)  10 .1  100...0  Cifras = 1 RPTA.: B 94. ¿Cuál es el mayor sistema de numeración en el cual se puede escribir con tres cifras un número entero que en el sistema decimal tiene por complemento aritmético a otro numeral de 3 cifras iguales? A) 26 B) 29 C) 20 D) 19 E) 22 RESOLUCIÓN Sea “n” el valor máximo de la base, que representa al número dado como: abcn  N  10 Además:     10 CA N  XXX Cómo 10 N debe ser máximo, por lo tanto su CA deberá ser el más pequeño posible, luego x=1 Luego:     10 CA N  111;N  889 Entonces:   2 abc n  889 n  889; n  29,7Luego el mayor valor de la base será: n = 29 RPTA.: B 95. Si: 21ab  24ab  27ab  ....  69ab es xyz63 Calcule: (a+b+x+y+z) A) 28 B) 27 C) 24 D) 26 E) 32 RESOLUCIÓN 21ab  24ab  27ab  ....  69ab es xyz63
  • 31. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 2100  2400  2700  ....  6900  17 ab 17#s. 9000 2 17 17 ab xyz63          Observando: (otras cifras son ceros) ab  17*7  b  .3;b  9 ab  39 73 *7  a  6  .7;a  3 9 63 4500 17 17 39  xyz63 X=7 174539  77163  xyz63 Y=7 a  b  x  y  z  27 Z=1 RPTA.: B 96. ¿En que sistema de numeración “n” la suma de todos los números capicúas de 2 cifras es 330 en base “n”? A) 6 B) 4 C) 7 D) 9 E) 8 RESOLUCIÓN Planteando el enunciado.          n n n n n 11  22  33  ...  n 1 n 1  330 1n  1  2n  1  3n  1  ...n 1 n  1  3nn  1 Simplificando tendremos: 1+2+3+4+….+(n-1)=3n Suma de n n  n         1 3 2 naturales n  1 = 6; n = 7 Heptanal RPTA.: C 97. Halle la suma mínima de los siguientes números que se encuentran en P.A.: S = ab;ac;a  13;a  1 c;....;a  7 c De como respuesta la suma de cifras de S. A) 16 B) 18 C) 20 D) 21 E) 22 RESOLUCIÓN ab;ac;a  13;a  1C...  a  7c 5 5 5 b=3 c=8 min a  1 13 88 88 13 S 1 2 5            S  101 2  16  808  Cifras de S=16 RPTA.: A 98. Si: 8 8 8 8 aba  ab  ba  ccdd Halle el valor de (a+b+c+d). A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 RESOLUCIÓN Ordenando:   aba  8   ab 8   ba8   c cdd8 8 a  b  a  2d  16  d b=5 8 b  a  b  2  2d  16  d
  • 32. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS d=3 8 a  2  CC  9C c= 1 a=7 a + b + c + d = 16 RPTA.: D 99. Halle la suma: 4 5 6 7 100 13  31  13  31 ...  13 A) 2 895 B) 7 536 C) 12 301 D) 10 321 E) 10 231 RESOLUCIÓN Desdoblando en dos sumas:         S     ...  1 4 6 8 100 13 13 13 13 S     1 7 9 11 … +103 2 103 7 103 7 S 1 2695 2 2                           S     ...  2 5 7 9 99 31 31 31 31 S     ...  2 16 22 28 298 1 298 16 298 16 S 1 7536 2 6                   1 2 S  S  S  2695  7536  10231 RPTA.: E 100. Halle: “ a+b+c” si: a1b9  a2b9  a3b9  ...  a8b9  48c29 A) 16 B) 17 C) 15 D) 20 E) 18 RESOLUCIÓN a1b9  a b  . . . 2 9 a8b9 48c29 Unidades:   º 8 b  x2 9  8.b  9 2 b  7 Decenas: 8 9 6 42 4 9 6 c 6 2         Centenas: 9 8 a 4 48 8 a 40 a 5        a + b + c = 18 RPTA.: E 101. Halle la diferencia de las cifras de un número de 2 cifras; tal que la suma del número con el que resulta de invertir sus cifras, sea igual a la suma de todos los números de 2 cifras hasta el inclusive. A) 0 B)4 C) 2 D) 1 E) 3 RESOLUCIÓN Planteando el enunciado: Nro. Inicial: ab Nro. Invertido: ba ab  ba  10 11 12 13  ...  ab     10 ab 11 a b ab 9 2             22a  b  10  ab ab  9 22=10+ab  ab  12 3 = 12  9
  • 33. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS Pide la diferencia b  a = 1 RPTA.: D 102. Halle la suma de los C.A. de todos los números que tienen tres cifras impares. A) 55 6615 B) 55635 C) 45 625 D) 55 525 E) 55 625 RESOLUCIÓN  C. A. abc  Sumando: Unidades: 25  (9 + 7 + 5 + 3 + 1) = 625 Decenas: 25  (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500 Centenas: 25  (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500 55625 RPTA.: E 103. Se realiza una reunión de Peruanos y Bolivianos para tratar con respecto a la agricultura, son 12 en total, los peruanos son más que los bolivianos, los peruanos llegan y se dan los buenos días mutuamente; los bolivianos lo mismo, pero los peruanos no saludan a los bolivianos y lo mismo los bolivianos, si en total se efectuaron 31 saludos ¿Cuál es la diferencia entre Peruanos y Bolivianos? A) 2 B) 3 C) 1 D) 5 E) 4 RESOLUCIÓN P+B=12 Saludos Peruanos 1 P-1 2 P-2 . . P P        1 2 . . . . P-1 1 Saludos Bolivianos 1 B-1 2 B-2 3 B-3 . . . . . . B-1 1 P B P B                 1 1 31 2 2 2 2 P  P  B  B  62 P² + B² (P + B) = 62 P² + B² = 74 7² + 5² = 74 7  5 = 2 RPTA.: A a b c 1 1 1 3 3 3 5 5 5 7 7 7 9 9 9 (9 a)(9 b)(10 c) 8 8 9 6 6 7 4 4 5 2 2 3 0 0 1       5  5  5 =125 Números 5  5  5 = 125 Números B B        1 2
  • 34. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 104. ¿Cuántos números de la forma abcde existe, tales que: a  b  c  d  e y la suma de los cuadrados de las cifras de segundo y quinto orden es igual a la suma de los cuadrados de las demás cifras? (Las cifras a, b, c, y d forman una progresión aritmética). A) 1 B) 5 C) 6 D) 9 E) 4 RESOLUCIÓN abcde;a  b  c  d  e 2 2 2 2 2 a  d  b  c  e .       2 2 2 2 2 d  3r  d  d  2r  d  r  e d=d c= d+r b=d+2r a=d+3r Resolviendo  e = 2 r r  1  e  2 a b c d e 6 5 4 3 2 7 6 5 4 2 8 7 6 5 2 9 8 7 6 2      Solo hay 4 números Si r  2 e  4 a b c d e      119 7 5 4 No hay números RPTA.: E 105. Halle la suma de cifras de la suma de todos los números de la forma     a 3 b 1 a 2 2b 5 2 3                A) 15 B) 14 C) 13 D) 16 E) 17 RESOLUCIÓN b = {1; 4} a = {3; 5; 7; 9; 11} Ordenado los productos parciales U  ( ) 10 5 1 = 5 0 + D  ( ) 10 10 2 = 5 0 C  ( ) 10 1 2 = 5 M  ( ) 10 25 5 = 5 0 UM ( ) 10 25 5 = 50 S= 55 1 0 5 0 Cifras  16 RPTA.: D MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN 106. Si al multiplicando y multiplicador se le disminuye en 2 y 4 respectivamente, el producto UM M C D a  2 b       1 3  a       3 2 5 U (2b) 1 3 5 7 9 3 4 5 6 7 0 1 2 8 5 5 x (2) =10
  • 35. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS disminuye en 198. Halle la suma de los factores de dicha multiplicación si su diferencia es 8. A) 63 B) 65 C) 67 D) 66 E) 69 RESOLUCIÓN M x m = P (M-2)(m-4) =P-198 Mm-4M-2m+8= P-198 206 =4M + m x 2 103=2M + m 8= M-m 111 = 3M; M = 37 m = 29 M + m = 66 RPTA.: D 107. Si 7 7 7 abcd  2222  ...3125 Halle el número de divisiones de dividendo d ca b       y residuo ab A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 RESOLUCIÓN 7 7 7 abcd .2222  ...3125 Multiplicando por 3. 7 7 7 abcd .2222  ...3125 ; Expresando: 7 7 6666  10000 1     7 7 7 7 7 abcd 10000 1  abcd0000  abcd  ...2411 entonces a=4 b=2 c=5 d=6 luego  354 = divisor. cociente + 42 312= divisor. Cociente además divisor >42  divisor =52,104,78,156,312  hay 5 divisiones (tabla de divisores) RPTA.: D 108. Calcular la cantidad total de números enteros los cuales al ser divididos entre 31, producen un resto triple que el cociente corresponde. A) 13 B) 4 C) 10 D) 11 E) 12 RESOLUCIÓN Sea “N” uno de dichos números: N= 31q + 3q N= 34q Además, sabemos: resto < divisor 3q  31 q  31/3 q  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 Cantidad de valores =10 RPTA.: C 109. Si multiplicamos al número abc por n0n (0 = cero) observamos que el producto total es **435 (cada asterisco representa una cifra). Dar como respuesta a + b + c; si además; a<9. A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13 RESOLUCIÓN n = 5 c = 7 b = 8 a = 1 + + d ca b       Divisor ab Cociente abc non . . . 935 935 435
  • 36. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS a + b + c = 16 RPTA.: B 110. Si en una división, el residuo por exceso, residuo por defecto, divisor y cociente son números pares consecutivos. ¿Cuál es el valor del dividendo? A) 25 B) 52 C) 48 D) 60 E) 56 RESOLUCIÓN Al ser pares consecutivos, entonces cada uno es igual al anterior incrementado en 2 unidades. E R  N ; D R  N  2: d  N  4 N; q  N  6 Sabemos que: E D R  R  d N  2  N  N  4  N=2 E R  2 ; D R  4; d  6 ; q=8 D = 6  8 + 4 = 52 RPTA.: B 111. Si: abc x 47  ...576 y CA aax CAab  CAxyzw . Calcule lo que le falta a xyz para que sea un número cuadrado (el menor posible). A) 36 B) 134 C) 34 D) 68 E) 45 RESOLUCIÓN  o 7 c  10  6  c  8 o 7 b  5  10 5  b  0 o 7 a  10 2 a  6 CAaa  CAab  CAxyzw CA66  CA60  CAxyzw 34  40  CAxyzw 1360  CAxyzw 1  x  9 x  8 3  x  9 y  6 6  z  10z  4   0 xyz  864 Falta = 900-864 = 36 RPTA.: A 112. Calcule el producto total de la siguiente multiplicación:      6 6 a a 1  a  2 a  3 Si la diferencia de sus productos parciales es 29. A) 6 1033 B) 6 1003 C) 6 2002 D) 6 2003 E) 6 2100 RESOLUCIÓN      x a  a  6 2 3 a < 3     a a 6 1 Productos parciales:       6 6 a  1 a  2 a  3       6 6 a a  2 a  3    6 6 a  2 a  3  29  45 a  2 Reemplazando: 6 45  6 23 abc 47 ...256 ...32 ...576
  • 37. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 6 223 6 134 2003(6) Producto: 2003(6) RPTA.: D 113. Si: 1245124512....(n)       n n 1 n 1 ... n 1 38 cifras  ...abcde5n Calcule el producto de cifras del numeral abcnn1 expresado en base 12. A) 72 B) 148 C) 321 D) 254 E) 392 RESOLUCIÓN Como tiene 38 cifras termina en 12. ...124512(n)     n ... n 1 n 1 = ...abcde5n ; n 5   º 2  n  1  n 5  2n2 = n+5  n = 7 Reemplazando: ...124512(7)  ......6666(7) ...120305(7) ...120305(7) ...120305 ...120305 ...120305 ...120305 ...............542155           7 7 8 8 12 abcde5 542155 abcn 5427 2839 2839 1787 1 7 8 7 392         RPTA.: E 114. Se obtienen 4 residuos máximos al dividir abcde por 43. Halle: (a+b+c+d+e) A) 51 B) 45 C) 40 D) 39 E) 42 RESOLUCIÓN ab  43r  42;r  1 a=8 ab  85 b=5 42c  43(p)  42;p  9 42c  429 c  9 42d  43q  42, q  9 42d  429 d  9 42e  43z  42  z  9 42e  429; e  9 a + b + c + d + e =40 RPTA.: C 115. Es una división el residuo por exceso es 3 1 del divisor. El menor número que se debe sumar al dividendo para aumentar en 2 al cociente es 52. Al triplicar al dividendo, el cociente aumenta en 36. Halle la suma de las cifras del dividendo. A) 15 B) 17 C) 20 D) 23 E) 24 RESOLUCIÓN e r  d r  d 1 2 3 3 abcde 43 rpqz - - 42c - - - 42d - - - - -e 42 42
  • 38. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS Luego: D  dq  d 2 3 * D  52  dq  2 52  dq  d  dq 2 3  2d  d d  r  4 52 39 26 3 *  3q  2  q  36  q = 17 D= 39 x 17 + 26 = 689  cifras de D = 23 (6 + 8 + 9) RPTA.: D 116. En una división inexacta por defecto, el divisor y el residuo son 34 y 14 respectivamente, si al divisor se le agrega 5 unidades entonces el cociente disminuye en 2 unidades. Halle el nuevo residuo sabiendo que es el menor posible. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN 34q + 14 = 39q – 78 + r 92 =5q + r q=18  r=2; Residuo = 2 RPTA.: B 117. En una división entera inexacta la suma de los 4 términos es 744, el mínimo valor que se debe quitar al dividendo para que el cociente disminuye en 1 es 49, y el máximo valor que se debe agregar al dividendo para el cociente aumente en 1 es 67. Halle el dividendo. A) 608 B) 622 C) 618 D) 628 E) 632 RESOLUCIÓN  116 = 2d  d = 58 En (1) 58q + r + 58 + q + r = 744 59q + 2r = 686 10 48  D=58 x 10 +48 = 628 RPTA.: D 118. Sea “N” un número que tiene entre 49 y 57 cifras que multiplicando por 91 se obtiene un número formado por un 1, un 3, etc. Halle la suma de cifras de dicho número A) 168 B) 156 C) 96 D) 108 E) 86 RESOLUCIÓN N.91 = 1313… D d d q 2 3 D + 52 d 0 q +2 3D 39 3x26 3q +2 0 D 34 14 q D  34q  14 D 39 r q-2 D  39(q  2)  r D d r q D  d  q  r  744...(I) D - 49 d d -1 q-1 D49d(q1) (d1) D+67 d d -1 q+1 D  67  d(q  1)  (d  1)
  • 39. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS Luego deben ser: 4 +6 .8 =52 cifras.  cifras = 9x12 =108 RPTA.: D 119. Halle la suma de cifras del menor número que multiplicando con 14 de un número formado por puras cifras 3 y en las unidades un 0. A) 17 B) 19 C) 26 D) 27 E) 31 RESOLUCIÓN N. 14 =33…30 RPTA.: D 120. Se tiene 943 número consecutivos, si se divide el menor de ellos entre 78 se obtiene 29 de residuo ¿que residuo se obtiene al dividir el mayor entre este divisor? A) 49 B) 25 C) 38 D) 29 E) 35 RESOLUCIÓN 943 números consecutivos: n+1, n+2…, n+943 + n  943  78k  12  35 Comparando y ; h=k+12 R =35 RPTA.: E 121. Si se divide ma 2n 2  entre     2 a  2 a 1 ; tanto por defecto como por exceso se obtiene; que la suma del residuo por defecto más el residuo por exceso y más el cociente por exceso es 34. Halle (m + n + a), si el residuo por defecto excede al residuo por exceso en 16. A) 16 B) 8 C) 10 D) 12 E) 20 RESOLUCIÓN a = 3 divisor: a   a    d 2 2 1 = 18 Dato:   d e r  r  q  1  34 d 18 +q +1 =34; q=15 d e r  r  18 d e r  r  16 d r =17 131313... 91 403 364 391 364 273 273 - - - 91 N=1443 001443...001443 4 cifs 6 cifs 6 cifs 28 53 42 113 112 133 126 70 14 N=238095  Cifras =27 70 - - 333……. n+1 78 29 k  n  1  78k  29... 1 n+943 78 R h  n  943  78h  R... 2 942 78 6 12 942  78 12  6... 3 1 3 4 2 4
  • 40. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS e r =1 m8n  1815  17 m8n  287 m = 2 n = 7 m + n + a =12 RPTA.: D 122. Al dividir un número de tres cifras diferentes entre su complemento aritmético se obtuvo cociente 3 y como residuo la última cifra de dicho complemento aritmético. Determine la suma de cifras del numeral primitivo. A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 RESOLUCIÓN abc  CAabc   c   3 10 abc    abc   c   3 1000 10 4 abc  3000  10  c o 4 c  10 c o 5 c  10 0 2 cumple sólo para c = 4 c = 2 6 8 abc  4 3008 c = 2; b = 5; a = 7 a+b+c+=14 RPTA.:B 123. En una división el dividendo es par, el divisor es 2n  1 n  2 , el cociente es a  1 3a y el residuo b  b   3 4 9 . Calcule la suma de los términos de la división si se realiza por exceso. A) 2 870 B) 2 900 C) 3 000 D) 3 037 E) 3 039 RESOLUCIÓN 3a  10a  3,3 1  a  4a  2;3 b  2 Por algoritmo de la división 2N  2n  1 n  2  a  1 3a  87 Par impar impar a = 3 residuo < divisor 87  2n  1 n  2... 2n 1  10n  5,5. Impar n= 1; 3;5 en  : sólo cumple si n=5 divisor =97 cociente =29 residuo=87 dividendo =2900 e r  10 e q  30 Piden: 97+30+10+2900 Piden: 3037 RPTA.: D 124. Calcular la cantidad total de números enteros los cuales al ser divididos entre 31, producen un resto triple que el cociente correspondiente. A) 13 B) 4 C) 10 D) 11 E) 12 abc r  (10  c) 3 CA abc 2N r  b  b   3 4 9 2n  1 n  2 a  1 3a
  • 41. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS RESOLUCIÓN Sea “N” uno de dichos números: N = 31 q + 3 q N = 34 q Además, sabemos: resto < divisor  3q < 31 q < 31/3  q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Cantidad de valores: 10 RPTA.: C 125. En una división le faltan 15 unidades al residuo para ser máximo y sería mínimo al restarle 18 unidades. Determinar el dividendo, si el cociente es el doble del residuo por exceso. A) 1139 B) 1123 C) 1107 D) 1193 E) 1137 RESOLUCIÓN D = d . q + R RMÍNIMO = R  18 = 1  R= 19 RMÁXIMO = R + 15 = d  1  d = 35 Además: RD + RE = d 19 + RE = 35  RE = 16 q = 2RE  q = 32 D = 35  32 + 19 D = 1139 RPTA.: A 126. Sabiendo: n E  A  B ; 7 E tiene (9n+1) cifras como mínimo y que “A” y “B” tiene 8 y 5 cifras respectivamente. Halle “n”. A) 12 B) 14 C) 8 D) 10 E) 16 RESOLUCIÓN  A  7 8 10 10  B  4 5 10 10 n n n  A  7 8 10 10  B  28 7 35 10 10 n n n A B      7 28 7 3 35 10 10 Cifras mínimas: 7n  28  1  9n  1 n = 14 RPTA.: B 127. Si , n M ,M ,M ......,M 1 2 3 son números de 1,3,5,………., 45 cifras respectivamente ¿Cuántas cifras puede tener como mínimo el producto de dichos números? A) 529 B) 526 C) 527 D) 507 E) 506 RESOLUCIÓN Observamos que la cantidad de cifras de los numerales respectivos forman una serie aritmética de razón 2, entonces: 45  1 #detérminos 23 ; n 23 2      La cantidad de cifras de: M1, M2, M3 Máx. = 1 + 3 + 5 + ... + 45 = (1 + 45) 23 529 2  Min.= 529  23 + 1 = 507 RPTA.: D 128. Si: A.B E C  2 2 Tiene 6x cifras enteras; además: “A” tiene x8 cifras; “B” tiene x4cifras y “C” tiene x0cifras. Halle “x” A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 RESOLUCIÓN
  • 42. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS Por dato: E tiene “6x” cifras  10x  14  6x  10x  18  x  5 RPTA.: B 129. Halle el valor de “n” si E tiene 15 cifras, A tiene 18 cifras y B tiene 13 cifras, siendo: E  n A B 2 3 A) 4 B) 5 C) 7 D) 12 E) 15 RESOLUCIÓN En = A² . B³ # cifras de En = Min = 15n  n + 1 Máx = 15n # cifras de A² . B³ = Min= 2(18) +3(13)5+1 Máx= 2(18) + 3(13)  36 + 39 = 15n n = 5 RPTA.: B DIVISIBILIDAD I 130. Si: A = 3k + 1 ; B = 3k + 2 Halle el residuo que deja la expresión: E = [2A + 22B + 2³] entre 7 A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 4 RESOLUCIÓN E = (2A + 22B + 8)  7 E = (23k+1+26k+4+7+1) E = (2³)k . 21 + (2³)2k  24 + 1 E = ( º 7+1)2 + ( º 7+1)( º 7+2)+1 E = 2 + 2 + 1 + º 7 E = º 7 + 5  residuo = 5 RPTA.: D 131. Una importadora ha comprado relojes a S/. 143 c/u, lapiceros a S/. 91 c/u; pulseras a S/. 77 c/u. Si la factura total fue S/. 2213. Halle el número de relojes. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 RESOLUCIÓN Planteando el enunciado: “a” # de relojes 143  a + 91  b + 77 x c = 2 2 1 3 1 2 3 1 (1) +1 * Módulo de º 7 : [( º 7+3)a+ º 7+ º 7 ] = 3 + 3  4  2¨ 3a + º 7 = 7 + 1 7m 1 a 3   m = 2 ; a = 5 RPTA.: B A.B E C  2 2 Max  x8  2.x4 Min  x8  2.x4  3  1 Max  2.x0 Min  2.x0 2  1 E Min  x8  2.x4  2  2x0  10x  14  Max  x  x    x      x    8 2 4 2 0 1 1 10 18
  • 43. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 132. ¿Cuál es el residuo de dividir: 666...666 (8) entre 13? 102 cifras A) 2 B) 8 C) 3 D) 5 E) 9 RESOLUCIÓN Calculando restos potenciales de base 8 respecto al módulo 13. Base 8: 80; 81; 8²; 8³; 84 1; 8; 12; 5; 1 1; 5; 1; 5; 1 Cada 4 cifras se anula: 102 4 2 25 6 6 6 ..... 6 6 6(8)   5 1 100 cifras = 0  º 30  6  13 r º 13 + 2 = º 13 + r  r = 2 RPTA.: A 133. Si: 43a43 es la suma de 83 números consecutivos, halle el valor de “a”. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN Sean los 83 números consecutivos: n41; ...; n1; n; n+1,...;n+41 Luego: n41 + ....+n+41=43a43 83n = 43a43 º 83 = 43043 + 100a º 83 = 49 + 17a + º 83 º 83 = 17a  34 a = 2 RPTA.: B 134. ¿Cuántos términos son múltiplos de º 25 ? 2; 5; 10; 17; .......; 10001 A) 12 B) 9 C) 8 D) 5 E) 6 RESOLUCIÓN Término n ésimo: an = n² + 1 ; n = 1,...., 100 n² +1 = º 25 n² + 1  50 = º 25 (n + 7) (n  7) = º 25 n + 7 = º 25  n = 18; 43; 68; 93 n  7 = º 25  n = 7 ; 32 ; 57; 82 # términos = 8 RPTA.: C 135. Si al dividir por exceso: 2304606902b31 con º 23 no deja residuo, halle el valor de b. A) 1 B) 2 C) 5 D) 7 E) 8 RESOLUCIÓN Se tiene: º 2304606902b31  23 2b31 = º 23 + 2031 + 100b = º 23 + 7 + 8b Como el residuo es “0”  7 + 8b = º 23 b = 2 RPTA.: B 136. Halle el residuo de dividir: unac2008 3abc3 por 10 A) 1 B) 2 C) 5 D) 6 E) 7
  • 44. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS RESOLUCIÓN     unac2008 4k k 3abc3 ...3 ...1   = ...1 = º 10 + 1 RPTA.: A 137. Halle el residuo de dividir: nm 2 4 6 abba  cde1  fgh3 por 2. A) 0 B) 1 C) 0.1 D) FD E) N.A. RESOLUCIÓN E = nm 2 4 6 abba  cde1  fgh3 ; a = 1 , b=0 = º º º nm 2 1 4 1 6 3                      = º º º 2 1 2 1 2 3                      = º 2 + 3 E = º 2 +1 RPTA.: B 138. ¿Cuál es el residuo de dividir la siguiente suma: E = [26n+3+9k.4k] entre 7? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN E = 26n+3 + 9k.4k entre 7 E =  2n 3 2 . 2³ + (7+2)k.4k E = ( º 7+1)( º 7+1) + 2k.4k Ojo: 2k.4k = 8k=( º 7+1) E = ( º 7+1)+( º 7+1) = 7+2 RPTA.: B 139. Sea: n! = º 23 + 2; (n+1)! = º 23 + 6 ¿Cuál es el residuo de (n+3)! entre 23? A) 3 B) 6 C) 5 D) 12 E) 13 RESOLUCIÓN RPTA.: Cç 140. ¿Cuántos términos de la serie: 4; 11; 22; 37; 56; ....(100 términos) son: ( º 13+1)? A) 14 B) 15 C) 9 D) 8 E) 12 RESOLUCIÓN Sucesión de 2º orden: c = 1 4; 11; 22; 37; 56;... a+b = 3 7 11 15 19 2a = 4 4 4 4  columna secundaria a = 2 ; b = 1 ; c = 1 2n² + n + 1 = º 13 + 1 n(2n+1) = º 13 ; n = º 13k #s: {13; 26; 39; 52; 65; 78; 91} (7 nros) #s: {2n+1= 13; 6; 19; ...97} (8 nros) Total de números 7 + 8 = 15 RPTA.: B 141. Halle “a” si (a+b) = 6, además:
  • 45. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS aabbaabb...ab5 1334  11 9 y el exponente tiene 88 cifras. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2 RESOLUCIÓN ++ 1334 = º 11+3; calculando restos potenciales. ( º 11+3)5k+b =( º 11+3)5k( º 11+3)b= º 11+9 =( º 11+ 35k)( º 11+3b) = º 11+9 =( º 11+3b) = º 11+9 b = 2 ; a = 5 RPTA.: B 142. Si el número  ab1 135 se convierte en base 11. ¿Cuál será la cifra de unidades del resultado? A) 7 B) 3 C) F.D. D) 2 E) 1 RESOLUCIÓN ab1 ab1 º º º º ab1 135 base 11 11 3 11 r 11 3 11 r              Restos potenciales de impotencia 3 con respecto al módulo 11. 30; 31; 3²; 3³; 34; 35 1; 3; 9; 5; 4; 1 º º ab0 1 º k º 5 11 3 3 11 r 11 3 3 11 r            º 11+( º 11+1).3 = º 11+r º 11 + 3 = º 11+r r = 3 RPTA.: B 143. Halle el resto de dividir E entre 7:   21 14241423 1425 E  1426 A) 2 B) 6 C) 3 D) 1 E) 5 RESOLUCIÓN E = 1426 Impar = º 7 + r ( º 7 2)Impar = º 7 +r º 7  2k = º 7 + r K = múltiplo de 3  k = 3n º 7  23n = º 7  1 = º 7 + r º 7 + 6 = º 7 + r r = 6 Residuo = 6 RPTA.: B 144. Halle (d+u), si el número de la forma: º º mcdu  11, tal que md  7 y m + c + d + u = u² A) 9 B) 13 C) 12 D) 15 E) 45 RESOLUCIÓN º º mcdu  11;md  7;m c  d  u  u²u² =16  ++ 3 1 u² = 25 u² = 36 c + u  (m+d) = º 11; para u = 4 c  (m+d) = º 11  4 .......... () 3m+d = º 7 .......................() Para u = 4
  • 46. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS m + c + d = 12 m + d = 12  c ..................() si: c = 4 m + d = 8 ........................() de () y () c = º 11 + 4 c = 4 de () y () m = 3; d = 5 d + u = 9 RPTA.: A 145. ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión: 2; 6; 12; 20; 30; ....;14762 al expresarlos en base 5, resultan que su cifra de menor orden es 1? A) 12 B) 24 C) 36 D) 42 E) 28 RESOLUCIÓN 2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; .... 14762      1x2; 2x3;3x4;4x5; 5x6; ....;121x122  tn = n (n+1) = º 5 + 1 ; n= 1,2,...,121 (por dato en base 5 acaba en 1) n² + n = º 5 + 1 + 5  n² + n  6 = º 5 (n+3)(n2) = º 5 Luego: n + 3 = º 5  n = º 5  3 = º 5 + 2 n  2 = º 5  n = º 5 + 2  n = 5k + 2  k = 0; 1; 2; ....23 n  121 24 valores RPTA.: B 146. En una fiesta infantil el payaso “POPI” juega con un grupo no más de 150 niños y observa que si los agrupa de 7 en 7 le sobran 5 niños; si los agrupa de 4 en 4 le faltaría un niño para formar un nuevo grupo y si los agrupa de 9 en 9 le sobran 2 niños. Calcule el número de niños que hay en dicha fiesta. A) 42 B) 130 C) 47 D) 122 E) 56 RESOLUCIÓN # niños (N)  150 N = º 7+5 N = º 4 + 3  N = º 4 + 11 N = º 9 + 2  N = º 9 + 11  N = º 36+11 = 36 k + 11 k = 1 ; 2 ; 3 N = 47; 83; 119 Pero: N = º 7 + 5  N = 47 RPTA.: C 147. En una conferencia a la que asistieron 528 personas; se sabe que de los varones: la tercera parte usan corbata; los 2 15 usan lentes y los 3 7 llevan saco. De las mujeres se sabe que: la sexta parte usa minifalda; las 3 4 usan lentes y las 2 9 tienen ojos azules. Calcule el número de personas que usan lentes.
  • 47. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS A) 137 B) 56 C) 81 D) 420 E) 48 RESOLUCIÓN # personas = 528 De los varones (V): * usan corbata = V º V 3 3   * usan lentes = 2 º V V 15 15   * llevan saco = 3 º V V 7 7    V = º 105 = 105x De las mujeres (M): * usan minifalda = M º M 6 6   * usan lentes = 3M/4 M = º 4 * tienen ojos azules = 2 º M M 9 9    M = º 36 = 36y  105x + 36y = 528   4 3 lentes lentes 2(420) V 56 15 3(108) M 81 4         Personas con lentes: 137 RPTA.: A 148. Un comerciante va a la “Galería Gamarra” con S/. 3060 para comprar polos, camisas y pantalones de precios unitarios iguales a S/. 15; S/. 24 y S/. 60 respectivamente. Si entre pantalones y camisas debe comprar más de 10 prendas. Calcule cuántas prendas en total compró; si la cantidad de polos fue la mayor posible; además compró al menos uno de cada uno y empleó todo su dinero. A) 183 B) 172 C) 163 D) 184 E) 195 RESOLUCIÓN Artículo: camisas; polos, pantalones Precios Unitarios 24 ; 15 ; 60 Nº artículosx ; y ; z  Máximo x + z > 10 Luego: 24x + 60z + 15y = 3060 ........() Por º 5 : 24x + º 5 + º 5 = º 5 24x = 5  x = 5  xmin = 5 en() 24  5 + 60z + 15y = 3060  20z + 5y = 980  4z + y = 196 Zmin = 6  ymax = 172  x + y + z = 183 RPTA.: A 149. El residuo de dividir el número 657143 entre 25 es ab . Calcule el resto de dividir dicho número entre a  b A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN 657143= ( º 25+7)143 = º 25 + 7143 = º 25 +(7²)717= º 25 +( º 25 1)71.7 = º 25 +( º 25 171)7 = º 25+ º 25 17 = º 25 7 67143 = º 25 +18 = º 25+ab ab = 18
  • 48. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS  657143=( º 8+1)143= º 8 + 1143= º 8+1 r = 1 RPTA.: A 150. Halle el menor valor de N = cdu , sabiendo que es múltiplo de: P  c  2 d 1 u  3 A) 214 B) 316 C) 213 D) 426 E) 441 RESOLUCIÓN             o cdu  c  2 d  1 u  3  c  2 d  1 u  3 k cdu  cdu  213k 213k  k cdu  cdu 3.71.k= cduk 1 Dando valores obtenemos: (k1) k cdu 1 2 3 x 71 x 2 = 426 c = 4 3 4 71 x 4 = 284 c = 2 71 72 72 x 3 = 216 c = 2 3.71 214 214 c = 2 cdu = 426 RPTA.: D 151. Halle el mayor número abc , tal que: abc 1492 al ser dividido entre 40, deje como residuo 24. A) 996 B) 249 C) 989 D) 995 E) 998 RESOLUCIÓN Sabemos que: 1492 = º 40 + 12 Aplicando el Binomio de Newton: abc abc 1492 40 12         º º abc abc 1492  40 12  40 24  º abc 12  40 24 Determinando los restos potenciales de 12 respecto al módulo 40, hallamos como valor del Gaüssiano cuatro, entonces el exponente abc deberá ser múltiplo de cuatro, más aquel exponente del grupo periódico que deja resto potencial 24. º º º º º 1 4 º 2 4 º 3 4 º 4 12 40 12 12 40 24 12 40 8 12 40 16             º abc  4 2 además, como debe ser el mayor posible abc  1000 4k + 2 < 1000  k < 1000 2 249,5 4   kmáximo = 249 abc  4249  2  998 RPTA.: E DIVISIBILIDAD II 152. La suma de trece números enteros consecutivos es de la forma 4a9a. Halle el mayor de los números. A) 363 B) 368 C) 369 D) 375 E) 374 RESOLUCIÓN De la condición: N  6  N  5  N  4  ......  N  ......  N  5  N  6  4a9a Efectuando la suma indicada: 13N  4a9a 0 4a9a  13
  • 49. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS       0 1 4  4 a  3 9  1(a)  13 a = 7  13 N = 4797 N = 369  El mayor número: N  6  375 RPTA.: D 153. Si un número de 4 dígitos donde sus 3 últimas cifras son iguales se le ha restado otro que se obtuvo al invertir el orden de las cifras del primero. Si la diferencia es múltiplo de 7. Halle la diferencia. A) 777 B) 1 554 C) 2 331 D) 4 662 E) 6 993 RESOLUCIÓN 0 abbb bbba  7 Descomponiendo 0 999 a  999 b  7 0 999(a  b)  7  a b  7. La diferencia: 999(7)  6993 RPTA.: E 154. Si: 0 abc  11 0 bac  7 0 cab  5 Calcule el menor valor de: (a + b + c) A) 16 B) 10 C) 15 D) 12 E) 14 RESOLUCIÓN 0 0 abc 11a  b  c 11 0 0 bac  7 2 b  3 a  c  7 5 5 0 cab  b  De las ecuaciones: a + c =5  3 7 3 2 7 1 0 0 a  c    a   a = 3 c = 3  a + b + c = 3 + 5 + 2 = 10. RPTA.: B 155. Se cumple: 0 mnp  22 0 pnm  7 0 mp  9 Calcule: m x n x p A) 72 B) 81 C) 90 D) 126 E) 162 RESOLUCIÓN 22 : 0 mnp   p par; 0 m n p  11 (+)(-)(+) 0 m n  p 11…………………………… 0 pnm  7 ; 2 3 1 0 2p 3n m  7…………………………... 0 mp  9 0 m p  9 ; p: par. m p  9………………………………… en 9 - n = 11 n = 9 en 0 9  p  27  7 1 3 1 2 3 3 2
  • 50. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 0 p  36  7 p = 6 m = 3  mn p  396 162 RPTA.: E 156. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras no son múltiplos de 495? A) 872 B) 890 C) 896 D) 898 E) 899 RESOLUCIÓN 0 5 b c b 5  99 1 (10) 1 (10) 1 0 510b  c 10b 5  99 0 10  20b  c  99 4 9 9 8 Hay 2 números 0 495.  a b c b a 0 0 1 1 1 2 2 2 3 . . . . . . . . . 9 9 9 10 10 9 900#s.       Números que no son 0 495 900 - 2 = 898 RPTA.: D 157. Si: º 1185a2476032000  19! Halle “a” A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 RESOLUCIÓN El criterio más preciso es 0 9 ; porque se analiza todas las cifras. Tendremos 0 19!9 1 1 8 5a2 4 7603 0 2000  9 0 a  3  9 a = 6 RPTA.: C 158. Halle: n  x  p si:   0 x8 n  5 nx  25 y   0 n  5 ppxp  7 A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 20 RESOLUCIÓN   0 x8 n  5 nx  25   0 n  5 ppxp  7 n  5  1 ; n  6 Criterio: 0 25 25 ; 7 0 nx  n  0 7x  25 ; x  5 0 2 ppxp  7 Criterio º 7 0 2 pp5p  7 31 231 - + 0 abcba  495 0 5 0 99
  • 51. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS     0 3p  15  p  6  7  0 2p  9  7  p + n + x = 18 RPTA.: D 159. Sabiendo que: abcd  364(d  a  2b  3c) . Halle la expresión: ab  cd A) 50 B) 52 C) 54 D) 56 E) 58 RESOLUCIÓN Como 364 = 0 7  º abcd  7  364d  a  2b  3c…   0 7 d  a  2b  3c  364(d  a  2b  3c)   0 0 7 363 d  a  2b  3c (d  a  2b  3c)  7 d  a  2b  3c  21 en abcd  364 21  7644  a = 7 b = 6 c = 4 d = 4 Verificando: d-a+2b+3c = 4-7+12+12=21  ab + cd = 7 x 6 + 4 x 4 = 58 RPTA.: E 160. El número de la forma: aa0bbc al ser dividido entre 4; 9 y 25 deja como residuo 2; 4 y 7 respectivamente. Halle “a”. A) 6 B) 4 C) 3 D) 2 E) 0 RESOLUCIÓN M  aa0bbc Por lo tanto: Propiedad: M  m.cm.(4;25)  82 0 M  100  82 entonces: aa0 8 8 2 0  9 4 0 2a  9 4 0 a  9 2; a = 2 RPTA.: D 161. Halle el residuo que se obtiene al dividir: ab5 ab1ab4 Entre 11. A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) 6 RESOLUCIÓN 0 M  a b 1 a b 4  11 - + - + - + 4  a  b    a  1  b  0  11 0 11 3 ab5 º º ab5 ab5 M 11 3 11 3           Gaus: modulo: 11 abcd 1 2 3 1 - + 1 1 M 0 4 2 0 9 4 0 25 7 M 0 0 4 2  80  4 82 º 0 25 7  75  25 82 0 aa0bbc 100 82 b = 8 c = 2
  • 52. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS 0 1 3  11 3 0 2 3  11 9 0 3 3  11 5 0 4 3  11 4 0 5 3  11 1 Cada vez que la potencia de 3 es múltiplo de 5 el residuo es 1. RPTA.: D 162. ¿Cuántos capicúas de 4 cifras son divisibles por 99 pero no por 15? A) 8 B) 9 C) 10 D) 7 E) 11 RESOLUCIÓN Sea: 0 abba  99  15  a  5 * Caso 1 ab  ba  99 a + b = 9 9 0 8 1 7 2 6 3 4 5 3 6 2 7 1 8  Hay ocho números * Caso 2 ab  ba  189 a  9 b = 9  Hay un número Rpta. 9 números RPTA.: B 163. Halle el residuo de dividir el número 5678…979899 con 11. A) 5 B) 6 C) 7 D) 2 E) 4 RESOLUCIÓN 5 6 7 8 9 10 11 12 … 98 99 = 0 11 99 98 ... 10 56789           = 0 99 10 11 90 5 7 9 6 8 2              = 0 11 109.45  7 = 0 11 6 RPTA.: B 164. Halle el residuo de dividir el número 13579…959799 con 9. A) 6 B) 7 C) 3 D) 1 E) 0 RESOLUCIÓN 1 3 5 7 …. 95 97 99 9 1 3 5 ... 99 0       (Criterio de divisibilidad) = 2 0 9 50 (Suma de números impares) = 0 9  25 0  9  7 RPTA.: B 165. Halle el resto de dividir el número: 4 N  321aaa321aaa Entre 7. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0 RESOLUCIÓN N 57 64 21a 64 57 64 21a 4 2        0 4 0 0 4 0 N  57(71)  757(71)  7 7 57 57 7 114 0 0 N      0 0 0 N  7 (7 2)  7 2  N 7r  2 RPTA.: B 166. Se tiene el numeral a53b72c4 es divisible por 8 y que al ser dividido N = (57) (21a) (57) (21a) N = 321 aaa 321 aaa (4) (64) 4 3
  • 53. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS entre 11, el residuo es 10; y al ser dividido entre 9 el residuo es 2. Halle el mayor valor de: (a + b + c). A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 17 RESOLUCIÓN * 0 a53b72c4  8  0 0 2c4  8  8  2c  4  8 4 2 1 c = 2; 6 * *  0 a5  3b  72  c4  99 65  0 a5  3b  c4  7  99  99  2  198 Si c  6b  2 ; a  9  a bc 17 RPTA.: E 167. Se sabe que   m 0 7 mnpq  11 5   n 0 7 mnpq  11 4  p 0 7 mnpq  11  2 Calcule el residuo de dividir N entre 11. Si     4 mnp 7 N  mnpq A) 5 B) 3 C) 8 D) 2 E) 1 RESOLUCIÓN     4 7 mnp N  mnpq descomponiendo: mnp  16m 4n  p 4 m n p N mnpq mnpq mnpq7 4 7 16 7     m   n  p N mnpq mnpq mnpq7 4 7 16 7    16 4 0 º 0 N 11 5 11 4 11 2                         0 0 0 16 4 N 11 5 11 4 11 2                                      11 5 11 3 11 2 0 0 0 N 11 30 11 (33 3) 0 0 N      11 3 0 N   Resto: 3 RPTA.: B 168. Halle el residuo de dividir con 10 el número cifras abc 7 mnp00 66...66         A) 0 B) 1 C) 3 D) 6 E) 8 RESOLUCIÓN   abc abc 7 mnpoo cifras 66...66 7 1 mnp00             abc abc 0 7 4k cifras 66...66 7 1 ;mnp00 4 mnp00               abc abc k 7 4 cifras 66...66 7 1 mnp00              abc abc 7 k cifras 66...66 ...1 1 mnp00           abc 7 cifras 66...66 ...0 mnp00          RPTA.: A 169. ¿Cuántos valores puede tomar “a” si el número aaa.............aa9 de 16 cifras es divisible entre 8? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 7 RESOLUCIÓN 16 cifras   0 N  aaa...aa 9  8  0 0 8  16a  8: 0 0 a53b72c 4  11 10  55  11 65 - + - + - + - + 0 0 a53b72c4  9 2  63  9 65 a 5 3 b 7 2 c 4
  • 54. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS se cumple para todo “a”  a = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8  a toma 8 valores RPTA.: D 170. Calcule “a x b”; si 9 4a0567b es divisible entre 10 y al ser dividido entre 8 el resto es 2. A) 4 B) 15 C) 35 D) 21 E) 5 RESOLUCIÓN *   0 9 4a0567b  10 b  a  2  18 +-+-+- +  b  a  2 *   0 0 9 4a0567b  8 2  a  b  22  8 2  20 8 4 12 0 a b   a b  ó Para a b 12 b = 7 b a  2 a = 5  ab  35 RPTA.: C 171. Un animalito va de “A” hacia “B” dando saltos de 15 cm y regresa dando saltos de 16 cm. Después de haber recorrido 1,22 m se detiene. ¿Cuánto le falta para llegar al punto A? A) 48 cm. B) 42 cm. C) 52 cm. D) 58 cm. E) menos de 40 cm. RESOLUCIÓN 15a 16b 122 Modulo 0 3 3 3 1 3 2 0 0 0         b 3 2 0 b   Reemplazando: 15a 16(2) 122 122 32 90 a 6 15 15     La distancia de A a B es: 16(6) = 90 cm Falta: 90  16(b) = 58 RPTA.: D 172. Si 0 "n" cifras 333...  41. Con “n” mínimo. ¿Cuál será el residuo por exceso que se obtiene al dividir entre 26 al menor número de 5 cifras diferentes de la base n? A) 8 B) 12 C) 14 D) 16 E) 10 RESOLUCIÓN Menor número de 5 cifras diferentes en base 5:     r 0 5 10234 26 Descomponiendo: 1 5 0 2 5 3 5 4 694 4 2         Por defecto = 18 Por exceso = 8 I b  3k  2 k = 0 ; b = 2 (sí) k = 1 ; b = 5 (No) 16 …...… 16 15 15 15 33333 41 813 5 cifras. 26 674 26 694 18
  • 55. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS RPTA.: A 173. Un niño si cuenta sus canicas agrupándolas de 5 en 5 le faltan 2 canicas; si las cuentan de 6 en 6 le sobran 3; y si las cuentan de 8 en 8 le faltan 5; por lo que decidió agruparlos de 9 en 9, así no le sobra ninguna canica. Si la cantidad de canicas se encuentra entre 400 y 650. ¿Cuántas canicas tiene el niño? A) 438 B) 480 C) 483 D) 485 E) 603 RESOLUCIÓN Sea “N” la cantidad de canicas que tiene el niño: 8 3 6 3 5 3 0 0 0     N (5;6;8) 3 120 3 0 0 N  MCM    Entonces: N  123; 243; 363; 483; 603........ Pero: 0 N  9  400  N  650  El niño tiene 603 canicas. RPTA.: C 174. ¿Cuál es la suma de las cifras del mayor número entero de tres cifras, tal que si se le resta la suma de sus tres cifras el resultado es divisible por 13? A) 26 B) 20 C) 15 D) 23 E) 24 RESOLUCIÓN   0 abc  a  b  c  13 431  + 0 5a  4b  13 a = 9 b = 5 c = 9  a  b  c  9  23 RPTA.: D 175. ¿Cuántos números de dos cifras hay, que al elevarse al cuadrado y al ser divididos entre cinco dejan resto cuatro? A) 18 B) 48 C) 32 D) 45 E) 36 RESOLUCIÓN 0 0 0 5 ab 5 1 5 2      0 2 0 0 5 ab 5 1 5 4     0 ab  5 2 ó 0 ab  5 2  Existen36números RPTA.: E TEORÍA DE LOS NÚMEROS NÚMEROS PRIMOS 176. Sea 6 A  32000...00 n cifras Calcule “n” si A tiene 444 divisores compuestos. A) 13 B) 11 C) 12 ab  12; 17; 22; 27; ……..; 97 13; 18; 23; 28; ……..; 98 18 valores 18 valores
  • 56. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS D) 15 E) 16 RESOLUCIÓN   n n A 32 6 20 6 6     n n A 2 5 2 3 2     2 3 5 2    n n A A CD  444  4 no compuestos A CD  448     A CD  n  3 (n 1) (11)  448        A CD  n  3 (n 1)  224  13  3 13 1  n = 13 RPTA.: A 177. En el número a N  30 , la suma de sus divisores pares es 2418. Determine la cantidad de divisores compuestos de N. A) 23 B) 22 C) 21 D) 32 E) 14 RESOLUCIÓN a a a N  2  3 5 a 1 a a N 2(2 3 5 )                           º a a 1 a 1 N,2 2 1 3 1 5 1 SD 2 2418 1 2 4 Divisores º 2       º a a 1 a 1 N,2 SD 2 1 3 1 5 1 3 26 124                Sólo cumple para a = 2 2 2 2 N  2 3 5 CDN  3 3 3  27 Divisores compuestos de N: 27 – 4 = 23 RPTA.: A 178. Si: x x 2 M 20 30   ; tiene 48 divisores positivos múltiplos de 5 y además impares. Halle “x” A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN x x 2 M 20 30   2x x x 2 x 2 x 2 M 2 5 2 3 5       3 2 2 2 2 2 3 5       x x x M  2 2 1 3 2 5 3 5 2       x x x M Divisores impares 0 5               0 5impares CD 48 x 3 2x 2               0 5impares CD 24 x 3 x 1                0 5impares CD 6 4 3 3 3 1 x =3 RPTA.: C 179. Halle un número divisible por 6; de 3 cifras y que tenga 21 divisores. A) 552 B) 576 C) 522 D) 288 E) 342 RESOLUCIÓN 0 x y M  abc  6  2  3    (M) CD 21 7 3 Solo cumple: x = 6; y =2 6 2 M  2  3  64 9  576 RPTA.: B 180. Si N 2 .5 .3    tiene 16 divisores múltiplos de 15 y 16 divisores múltiplos de 20. Halle la cantidad de divisores cúbicos de N. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN N 2 .5 .3    .     0 1 15 N 3 5 2 5 CD 1 16           .     0 2 2 1 20 N 2 5 2 5 3 CD 1 2 16           De donde   3   4
  • 57. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS Luego:     1 1 3 4 3 3 N  2 5 3  2 5 5 3     cubicos CD  1  1 1  1  4 RPTA.: D 181. Halle cuántos números de la forma abab existen, tales que poseen 6 divisores. A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 RESOLUCIÓN Efectuando la descomposición polinómica se obtendrá: N  abab  101ab Además:     N CD  1  1 2  1 Como 101 es primo  ab = primo² Solo cumple: ab = 5² ó 7²  Hay 2 números RPTA.: E 182. Si 2 3 a b posee 35 divisores y  n a b posee p9 divisores; halle (n + p) A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 10 RESOLUCIÓN 2 3 N  a b 35 divisores Como: 35  5 7  4  1 6  1 Dando forma     2 3 2 2 4 6 N  x y  x y Donde: a = x² ; b = y²    n n 2 2 2n 2n a b  x y  x y Posee: 2n  1 2n  1  p9  2 2n  1  p9  49 2n 1  7n  3 p  4 piden: n  p  7 RPTA.: C 183. Sea N = 128 ab, determine (a + b) si la suma de divisores de N, es los 28 85 de N (a y b primos). A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 RESOLUCIÓN 7 N  2 a b; aplicando el método y simplificando            8 N SD 2 1 a 1 b 1   7 5 85 17 5 2 ab 2 ab 28 7       5 7 255 a  1 b  1  17 5 2 ab  a y b son 3 y 7  a  b  10 RPTA.: A 184. Halle el promedio aritmético de los divisores del número 360. A) 16,25 B) 48,75 C) 68,15 D) 47,85 E) 97,5 RESOLUCIÓN 3 2 1 360  2  3 5 Calcule de la suma de divisores de 360:   4 3 2 360 2 1 3 1 5 1 SD 1170 2 1 3 1 5 1                                     360 CD  3  1 2  1 1  1  24 Promedio aritmético = 1170 24 Divisores PA  48,75 RPTA.: B 185. Si 31! Tiene n divisores, ¿Cuántos divisores tiene 32!? A) 33 n 28 B) 31 n 27
  • 58. ARITMÉTICA GRUPO SAN MARCOS C) 32 n 27 D) 32 n 25 E) 33 n 31 RESOLUCIÓN 26 31! = 2 NCD31!  27n  n divisiones sucesivas para obtener la descomposición del primo 2 en 31!   31 32! 32!  31! 32  2 NCD  32n   31 32! 32n 32! 31! 32 2 N CD 27     RPTA.: C 186. Un número tiene 24 divisores y el triple de éste, 30 divisores. ¿Cuántos divisores tiene el triple del cuadrado del mismo? A) 80 B) 90 C) 100 D) 120 E) 140 RESOLUCIÓN El número entero considerado admite como factor primo a tres: a p p N N  3 m n .... CD  a  1 p  1 q  1....  24 ........(1) a 1 p q 3 N 3 m n ....    N  CD  a  2 p  1 q  1...  30......(2) De (1) y (2), a =3 Reemplazando en (1) p = 1, q = 2 3 1 2 N  3 m n 2 7 2 4 3N  3 m n       2 3N CD  7  1 2  1 4  1  120 2 3N CD  120 RPTA.: D 187. En el número 226800, ¿determine cuántos divisores terminan en las cifras 1, 3, 7 ó 9? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 RESOLUCIÓN 4 4 2 1 226 800  2 3 5 7         226800 CD  4  1 4  1 2 1 1 1  150         0 2 CD  3  1 4  1 2  1 1  1  120         0 5 CD  4  1 4  1 1  1 1  1  100         0 10 CD  3  1 4  1 1  1 1  1  80 CD que terminan en la cifra 1, 3, 7 ó 9 = 10 0 0 0 2 5 10 226800     CD  CD CD CD  Son 10 divisores RPTA.: C 188. Si el número. x 2y M  10 15 ; tiene el quintuple del número de divisores de x 2y P  3 6 y este tiene 3 divisores más que 2x y R  3 7 . Halle (x + y). A) 5 B) 4 C) 7 D) 8 E) 6 RESOLUCIÓN x 2y x x 2y 2y M  10 15  2 5 3 5  x 2y 2y x 2 3 5  x 2y x 2y 2y x 2y 2y P 3 6 3 2 3 3 5     2x y R  3 7 Cd (M)  5Cd(P) x  1 2y  1 2y  x  1  5x  2y  1 2y  1 x + 1 = 5; x =4 Cd(P)  Cd(R)  3 x  2y  1 2y  1  x  1 y  1  3 5  2y 2y  1  9y  1  3 y = 1 x + y = 5 RPTA.: A 189. Determine la suma de las cifras del menor número tal que al multiplicarlo por 8 se cuadruplique su número de divisores; y si su cuadrado tiene 21 divisores. 2 2 2 2 31 15 7 3 1