FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ESCUELA : NOMBRES: Ciencias de la Computación Ing. Ricardo Blacio BIMESTRE: Primero PERIODO: Abril – Agosto 2011

Recta de números reales Notación científica a= c x 10 n , donde 1<=c<10 y n es un entero 57700 en notación científica es 5.77 X 10 4 0.00032 en notación científica es 3.2 X 10 -4 Ejemplo: 0 1 ⁄2 1 -1 -2 2 3 ∏ R - R ⁺

Exponentes y radicales Leyes (exponentes) a 0 = 1 (a/b) n = a n /b n a -n = 1/a n a m /a n = a m-n a m a n = a m+n a m /a n = 1/a n-m (a m ) n = a mn a -m /b -n = b n /a m (ab) n = a n b n (a/b) -n = (b/a) n Leyes (radicales) n √a.b = n √a n √b n √(a/b) = n √a / n √b m √ n √a = mn √a Exponentes racionales a 1/n = n √a a m/n = ( n √a) m = n √a m

Monomio ax n Polinomio a n x n + a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 Operaciones: Suma, Resta, Multiplicación, División Expresiones algebraicas Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural Es una expresión algebraica que se forma de la suma o resta de dos o más monomios.

Expresiones fraccionarias Expresión racional del tipo p/q donde p y q son polinomios Fórmulas de Productos (x + y)(x – y) = (x 2 -y 2 ) (x ± y) 2 = (x 2 ± 2xy+y 2 ) (x ± y) 3 =(x 3 ±3x 2 y+3xy 2 ±y 3 ) Fórmulas de factorización ( x 2 - y 2 ) =(x + y)(x – y) (x 3 - y 3 ) = (x - y)(x 2 + xy+y 2 ) (x 3 + y 3 ) = (x + y)(x 2 -xy+y 2 ) Cociente El denominador es cero si: Dominio 6x 2 - 5x + 4 x 2 - 9 x = ±3 Toda x ≠ ±3 x 3 – 3x 2 y + 4y 2 y – x 3 y = x 3 Toda x y y tales que y ≠ x 3

Simplifique la expresión:

Resolver la ecuación aplicando la fórmula cuadrática: 6x 2 + x - 12 = 0 a b c

Ecuación con radical: 25 x = 4x 2 -12x + 9 4x 2 - 37x + 9 = 0 x = 9 x = 1/4

Resuelva la desigualdad: 1/4x + 7 ≤ 1/3x - 2 1/4x + 7 - 7 ≤ 1/3x – 2 - 7 1/4x ≤ 1/3x – 9 1/4x - 1/3x ≤ 1/3x - 1/3x – 9 -1/12x ≤ – 9 x ≥ 108 [ 108 , ∞ )

x 2 ( 3 – x ) = 0 x 2 = 0 3 – x = 0 x 1 = 0 x 2 = 3 x + 2 = 0 x 3 = - 2 Ambos valores forman parte de la solución , por cuanto la condición dice ≤ 0. - ∞ -2 0 3 + ∞ (- ∞, - 2) (- 2, 0) (0 , 3) (3 , + ∞) Resuelva la desigualdad: ≤ 0 Solución: (- ∞ , -2) U {0} U [ 3 , ∞ ) Puntos críticos: Intervalo (- ∞ , -2 ) -3 (- 2 , 0 ) -1 (0 , 3 ) 1 (3 , + ∞ ) 4 x 2 ( 3 – x ) + + + - x + 2 - + + + Resultado - + + -

3. Funciones y gráficas Sistema de coordenadas rectangulares P(a,b) a b O Fórmula de la distancia entre dos puntos d(P 1 ,P 2 )= √(x 2 −x 1 ) 2 +(y 2 −y 1 ) 2 y x II I III IV El punto medio M de un segmento entre P 1 y P 2 M= x 2 +x 1 , y 2 +y 1 2 2

Intersección con x Intersección con y

Circunferencias: La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h) 2 +(y−k) 2 =r 2 Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma: x 2 + y 2 = r 2

Encuentre el centro y radio de la circunferencia x 2 + y 2 -10x +18 = 0 (x 2 – 10 x + _ _ )+ y 2 = -18 (x 2 – 10 x + 25 )+ y 2 = -18 +25 (x – 5) 2 + y 2 = 7 (x – h) 2 + (y - k) 2 = r 2 h=5 y k = 0 Concluimos que la circunferencia tiene centro (5,0) y radio √7

Gráficas de Funciones Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica

Sea I un intervalo del dominio de una función f: f es creciente en I si f (x1) < f (x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I. f es decreciente en I si f (x1) > f (x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I. f es constante en I si f (x1) = f (x2) para toda x1 y x2. Función creciente, decreciente o constante

Al reemplazar la variable x por –x: Si f (-x) = f (x) la función es par Si f (-x) = - f (x) la función es impar Si f es par entonces es simétrica al eje vertical y. Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen. Paridad de una función

Encuentre el dominio y la imagen de f si: Dominio: todos los reales excepto cuando x = -3 Imagen: El intervalo abierto (0,+∞) Creciente : (- ∞, -3 ) Decreciente: (-3 , +∞) Dominio Imagen x y 0 1/9 1 1/16 2 1/25 -1 1/4 -2 1 -3 No existe --- ---

Tipos de Funciones Funciones Lineales Del tipo f(x) = ax + b a ≠ 0 Se llaman así porque su gráfica es una línea recta Funciones Cuadráticas Del tipo f(x) = ax 2 + bx + c a ≠0 Su gráfica es una parábola

Operaciones con funciones Son cuatro las operaciones fundamentales con funciones: suma, resta, multiplicación y división

La función resultante será (f o g)(x) = f(g(x)) y en caso de (g o f)(x) = g(f(x)) Composición de funciones Se denota con “o” y se da entre dos o más funciones

1. Intersección con x hacer y = 0 Ejercicios. Trace la gráfica de f a.- 0 = - 2 No hay intersección con x 2. Asíntota vertical x + 1 = 0 x = - 1 3. Intersección con y hacer x = 0 = - 2

4. Asíntota horizontal 1 1 < 2 Entonces el eje x es la asíntota horizontal Teorema 1 5. No aplica Este paso se da cuando se tiene el teorema 2 en el paso anterior. 6. Trazar la gráfica x y 1 -1/2 2 -2/9 3 -1/8 -2 -2 -3 -1/2

Asíntota vertical Asíntota horizontal Intersección con y

1. Intersección con x hacer y = 0 b.- 0 = 3x 2 2. Asíntota vertical 16 – x 2 = 0 3. Intersección con y hacer x = 0 = 0 x = 0 – x 2 = - 16 x 2 = 16 x 2 = ± 4

4. Asíntota horizontal 2 = 2 La recta y=a m /b n es la asíntota horizontal Teorema 2 5. Determinar si la asíntota horizontal corta la gráfica y=3 /-1 y= -3 f(x) = c 3x 2 = - 48 + 3x 2 0 = - 48 La gráfica no cruza la asíntota horizontal y = -3 porque f(x) = - 3 no tiene solución real.

6. Trazar la gráfica Asíntota vertical Asíntota horizontal Intersección con x, y x y 1 1/5 2 1 3 27/7 --- --- --- ---

x 2 - 2x – 8 = 0 x 2 - 2x – 8 = 0 (x - 4) (x + 2) = 0 x = 4 x = - 2 - x + 2= 0 - x = - 2 x = 2 = - 4 c.- 1. Intersección con x hacer y = 0 2. Asíntota vertical 3. Intersección con y hacer x = 0

1 2 > 1 4. Asíntota horizontal No hay asíntota horizontal Teorema 3 5. No aplica 6. Asíntota oblicua Una función racional tiene una asíntota oblicua cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. 1

x 2 - 2x – 8 - x + 2 - x 2 + 2x - 8 - x Uno de los métodos más usados es la división sintética para hallar la ecuación de la asíntota oblicua. Este cociente es la ecuación de la asíntota. y = - x x y 0 0 1 -1 2 -2 -1 1 -2 2 --- ---

Asíntota vertical Intersección con y Asíntota oblicua Intersección con x 6. Trazar la gráfica