1. Fundamentos Matemáticos
Ecuaciones y desigualdades
Ing. Ricardo Blacio

2. Ecuaciones Lineales: son de la forma ax + b = 0; a≠0; (a
y b son R) 1 sol.
2
Ecuaciones
Ej. Resolver la siguiente ecuación
32
1
94
10
32
4
2
uuu
32
1
)32)(32(
10
32
4
uuuu mcd. (2u+3) (2u-3)
3)-(2u3)(2u
32
1
3)-(2u3)(2u
)32)(32(
10
3)-(2u3)(2u
32
4
uuuu
3)-(2u103)(2u4
3-2u10128u
6
25
u

3. Ecuaciones Cuadráticas: su forma: ax2 + bx + c = 0; a≠0
2 sol.
3
Se puede resolver mediante:
Factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y
aplicando la fórmula cuadrática.
Ej. Resolver la ecuación completando el trinomio cuadrado perfecto:
x2 - 8 x + 11 = 0
x2 – 8 x + (b/2)2 = - 11 + (b/2)2
x2 - 8 x + (-8/2)2 = - 11 + (-8/2)2
x2 - 8 x + 16 = - 11 + 16
(x - 4)2 = 5
54x 54x

4. 4
Resolver la ecuación aplicando la fórmula cuadrática:
a
acbb
x
2
42
x2 - 8 x + 11 = 0
)1(2
)11)(1(4)8()8( 2
x
1
a b c
2
44648
x
2
208
x
2
5.28 2
x
2
528
x 54x
a
acbb
x
2
42
Discriminante.
acb 42
Sí
realesraicestieneNoacb
diferentesyrealesraicesDosacb
raízUnaacb
04
04
04
2
2
2
Fórmula cuadrática

5. Otro tipo de ecuaciones como son:
5
Ej. Resolver la siguiente ecuación:
* Ecuaciones con valor absoluto,
* Solución de una ecuación por agrupación
* Ecuaciones con exponentes racionales
* Ecuaciones con radicales
739x
Si a y b son números reales con b > 0,
entonces |a|= b si y sólo si a = b o bien a = -
b
a b

6. 6
xxx 34527
xxx 53427
22
)534()27( xxx
xxxxx 5)5)(34(23427
)5)(34(24927 xxxx
)5)(34(24927 xxxx
22
))5)(34(2()26( xxx
)5)(34(442436 2
xxxx
22
1260168042436 xxxxx
0765224 2
xx /4
019136 2
xx
0
6
)19(6)6(13)6( 2
xx
6
19
1x
12x
No forma parte de la solución
Solución
(a+b)2=a2+2ab+b2

7. 7
Desigualdades
* Se solucionan utilizando las propiedades de las
desigualdades.
* La mayor parte de las desigualdades posee un
infinito número de soluciones.
* La solución de las desigualdades se dan en notación
de intervalos.
* Un intervalo es un conjunto infinito de puntos con
una notación especial. Ejemplos:
initoIntervalobxb
osemiabiertIntervalobxaba
cerradoIntervalobxaba
abiertoIntervalobxaba
inf,
,
,
,

8. 5132 x
151132 x
632 x
33x
/ -2
Propiedades de los valores absolutos:
1. l a l < b equivale a: - b < a < b
2. l a l > b equivale a: a < - b ó a > b
333 x
333333 x
60 x [ 0 , 6 ]
Desigualdades: Lineales, racionales, con valor absoluto,
cuadráticas
Ej. Resolver la siguiente desigualdad:

9. 4
53
2
x
x
Resolver la siguiente desigualdad:
04
53
2
x
x
0
53
)2012(2
x
xx
0
53
2211
x
x
0
53
)2(11
x
x

10. - 11(x + 2) = 0
x1 = -2
3x + 5 = 0
x2 = - 5/3
Este valor forma parte de la
solución , por la condición ≤ 0.
- ∞ -2 -5/3 ∞
(- ∞, - 2) (-2 , -5/3) (-5/3 , ∞)
Intervalo
K (valor de prueba en el
intervalo)
(-∞ , -2)
-3
(-2 , -5/3)
-1,8
(-5/3 , ∞)
1
-11 (x + 2) + - -
3 x + 5 - - +
Resultado - + -
≤ 0
Solución:
(- ∞ , -2] U (-5/3 , ∞)
Puntos críticos:
0
53
)2(11
x
x