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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ESCUELA DE ECONOMÍA,[object Object]
Funci0nes de variable real,[object Object]
Funciones de Variable Real,[object Object],Definición: ,[object Object],Es una aplicación de un subconjunto:,[object Object],	El DOMINIO de una función es el conjunto de los números reales donde esta definida la función: ,[object Object]
La IMAGEN de una función es el conjunto de números reales que se obtiene al aplicar  f a su dominio: ,[object Object],	Definimos:,[object Object]
	Definición: sea f: A->B una función biyectiva, entonces existe una única función que llamaremos función inversa de,[object Object],                            que verifica:,[object Object],¿Que es biyectiva? ,[object Object],Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva ej.:,[object Object]
 	Es inyectiva cuando los elementos que tienen origen tienen un único origen.,[object Object],	Es sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen. Ej: ,[object Object]
Aplicación inyectiva y no sobreyectiva:,[object Object],Aplicación no inyectiva y sobreyectiva:,[object Object]
Monotonía de la función de variable real,[object Object],La función es monótona creciente si:,[object Object],La función es monótona decreciente si:,[object Object]
Paridad,[object Object],Sea una función real de variable real, diremos que:,[object Object],f es par si f(x)=f(-1),[object Object],f es impar si f(x)=-f(-x),[object Object]
Una función de variable real esta acotada esta acotada superiormente e inferiormente si:,[object Object],Una función es periódica si:,[object Object]
Cero de una función ,[object Object],	Donde una función toma el valor de cero (0),[object Object],	En este ejemplo -2 y 2 son los ceros de la función ,[object Object],Ej.: ,[object Object]
FUNCIÓN DEFINIDAS POR TRAMOS,[object Object]
REGLA DE CORRESPONDENCIA ,[object Object],Es aquella ecuación que nos permite relacionar los elementos del dominio con los elementos del rango.,[object Object], Ejemplo: y = x  B } y  A 3 + 1 f = { (x ; y) / x,[object Object]
Funciones variables
Composición de funciones,[object Object]
Funciones variables
Funciones variables
FUNCIONES ESPECIALES: Dom f = R Ran f = {c } ,[object Object],VALOR ABSOLUTO,[object Object],en matemáticas, el valor absoluto o módulo[1] de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.,[object Object],El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los números reales, cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.,[object Object],El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, dist,[object Object],ancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos,[object Object],Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:,[object Object],1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.,[object Object],2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.,[object Object],3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. ,[object Object],4 Representamos la función resultante.,[object Object]
SUMA FUNCIONES POLINOMIALES ,[object Object],Sumar varios polinomios es formar un nuevo polinomio cuyos términos sean todos y cada uno de los términos de los polinomios dados.,[object Object]
EJEMPLO:,[object Object],X³ - 5X² + 2X – 6,[object Object],2X³+ 3X² - 4X + 3,[object Object],X² - 2X + 1,[object Object],3X³ - X² - 4 X – 2 ,[object Object],Cuando los polinomios dados contienen términos semejantes es mejor exponerlos uno debajo de otro de modo que los términos semejantes queden en columna.,[object Object]
RESTA FUNCIONES POLINOMIALES ,[object Object],Para restar un polinomio de otro se cambia el signo del polinomio que ha de ser restado y el resultado se suma algebraicamente al otro polinomio.,[object Object]
EJEMPLO:,[object Object],Restar X³- 5X + 6 de X⁴ + X² + 2,[object Object],(X⁴ + X² + 2) – (X³- 5X + 6),[object Object], ,[object Object],X⁴       X³       X²       X¹     X⁰,[object Object],X⁴           + X²          + 2,[object Object],      – X³          + 5X  – 6,[object Object],X⁴  –  X³ + X² + 5X –  4 ,[object Object]
MULTIPLICACIÓN FUNCIONES POLINOMIALES ,[object Object],Para multiplicar dos polinomios se aplica también la ley distributiva. Resulta así un nuevo polinomio, cuyos términos son los productos de cada termino del primer polinomio por cada termino del segundo polinomio.,[object Object]
EJEMPLO:,[object Object],Multiplicar  X² - 5X + 2 por 2X – 3,[object Object], ,[object Object],     X³       X²       X¹     X⁰,[object Object],  x³            -5x + 2,[object Object],                + 2X  – 3,[object Object],2X³ - 10X² + 4X    m,[object Object],[object Object],2X³ - 13X² + 19X -6,[object Object]
DIVISIÓN FUNCIONES POLINOMIALES ,[object Object],Dividir un polinomio A(x) por otro polinomio B(x), cuyo grado sea igual o menor que el de A(x), es hallar otros dos polinomios C(x) y R(x) se cumplan las siguientes condiciones:,[object Object],		1.- A(x) = B(x)*C(x)+R(x),[object Object],		2.- El grado de R(x) < que el grado de B(x),[object Object],Donde:,[object Object],[object Object]
 B(x) Divisor
 C(x) Cociente Entero
 R(x) Resto,[object Object]
TEOREMA DEL FACTOR  ,[object Object],El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma  (x-a) si y solo si P(x=a)=0.,[object Object],Al valor x=a se le llama raíz o cero de P(x).Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio.,[object Object]
EJEMPLO:,[object Object],X⁴–2X³+X²+X–1 tiene por factor (x-1) ,[object Object],X⁴–2X³+X²+X–1 es divisible (x-1) sí y sólo si P(x=1) = 0,[object Object],P(X)= 1⁴–2.1³+1²+1–11=,[object Object],             1-2+1+1-1=0,[object Object],(X-1)ES UN FACTOR,[object Object], ,[object Object]
TEOREMA DEL RESIDUO  ,[object Object],Teorema que establece que si un polinomio de X, f(x),se divide entre (x-a),donde a cualquier numero real o complejo , entonces el residuo es f(a),[object Object]
EJEMPLO:,[object Object],Si f(x)=  X² +x- 2 se divide entre (x-2),el residuo es Si f(2)=  2² +2 = 4  este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio de una de las siguientes formas equivalentes :,[object Object],Si f(x)= ( x- 2 )(x+3)+4,[object Object],Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(X) se divide entre (X-2),[object Object], ,[object Object]
FUNCIÓN EXPONECIAL,[object Object]
Resolver inecuaciones exponenciales,[object Object],Resolver la inecuación :,[object Object]
Para tal propósito tratemos de expresar al número 8 como potencia de base 2.,[object Object],Luego o lo que es lo mismo, . Recuerda que las exponenciales de base a>1 son crecientes de,[object Object],modo que en este caso las exponenciales tienen base 2>1 y por tanto, la desigualdad dada se cumplirá para: 3-2x>-3 de donde -2x>-6 es decir 2x<6 o lo que es lo mismo x<3,[object Object]
Resolver inecuaciones logaritmicas,[object Object],Resolver la siguiente inecuación :,[object Object],log (3-x)>1 ,[object Object]
Observe que 3-x>0 para tener definido el miembro izquierdo. ,[object Object],Es decir: x<3,[object Object],Ahora log (3-x)>1 ,[object Object],log (3-x)>log1010 ,[object Object],y recordaremos que el logaritmo es una función creciente para la base a>1,[object Object],Luego para que esa desigualdad se cumpla basta con que 3-x>10, es decir, -x>7 o sea x<-7y la parte común entre las x que cumplen esa condición (x<-7) y los de los valores admisibles (x<3) es el conjunto de la x reales tales que x<-7,[object Object],            S = ,[object Object]
Regla de correspondencia de la inversa de una función de variable real ,[object Object],Es aquella ecuación que nos permite relacionar los elementos del dominio con los elementos del rango. ,[object Object],Ejemplo: y = x 3 + 1 f = { (x ; y) / x  A  y  B },[object Object],Ejemplo: ,[object Object],  f (5) = 5 2 f (4) = 4 2 f (2) = 2 2 ,[object Object],Entonces: f (x) = x 2 ; x  {2 ; 4 ; 5},[object Object]

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Funciones variables

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