Análise de Carregamento Hidrodinâmico Em Estruturas Flutuantes - Parte II A Resposta

Análise de Carregamento Hidrodinâmico em
Estruturas Flutuantes
Parte II – A Resposta

João Henrique VOLPINI Mattos
Engenheiro Naval
Regional Sales Manager - Maritime & Offshore Solutions (South America), DNV Software

Setembro 2012

Hidromecânica do
Navio

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Graus de Liberdade de Unidade Flutuante
FORÇAS E VELOCI-
MOVIMENTO ÍND. DESCRIÇÃO POSIÇÃO VISUALIZAÇÃO
MOMENTOS DADES
Translação
Avanço (surge) 1 X u x
longitudinal

Translação
Deriva (sway) 2 Y v y
lateral

Afundamento Translação
3 Z w z
(heave) vertical

Rotação em
Jogo/balanço
(roll)
4 torno do eixo K p ϕ
longitudinal

Rotação em
Caturro/arfagem
(pitch)
5 torno do eixo M q θ
transversal
Rotação em
Guinada (yaw) 6 torno do eixo N r ψ
vertical


Comportamento de Unidade Flutuante em Ondas
 O comportamento hidromecânico afeta :
- Segurança dos passageiros, tripulantes, carga e da própria Intolerável
unidade.

Aceleração (g)
- Conforto dos passageiros e tripulantes. Mal estar
- Carregamento dinâmico sobre a estrutura da unidade
flutuante, sua carga e equipamentos.
- Velocidade e consumo de combustível.
- Capacidade de manobra em operações marítimas. Imperceptível

 Exemplos : T (s)
- Movimentos de jogo combinado com vento lateral
podem causar ângulos de banda perigosos ou mesmo
emborcamento.
- Ondas de popa de aproximadamente o mesmo
comprimento do navio causam grandes ângulos de
jogo.
- Acelerações transversais devidas ao efeito combinado
do jogo e deriva causam deslocamento da carga e
rompimento dos dispositivos que as seguram.
- Movimentos verticais de unidades de perfuração
podem causar avaria da coluna de perfuração.


Números Complexos


Números Complexos 1 Johann Carl Friedrich Gauss
Matemático e físico alemão 1777-1855
Jean-Robert Argand
Matemático suiço 1768-1822

 Começaram a ser utilizados no século XVI na resolução de equações do
terceiro grau, onde se notou que os resultados levavam a raízes quadradas
de números negativos.
 Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma
z = x + iy
onde x e y são reais e i denota a unidade imaginária, que tem a propriedade
i2=-1 Plano complexo ou Plano de Argand

 O plano complexo (Diagrama de Argand) é um
plano cartesiano utilizado para representar núme-
ros complexos geometricamente, permitindo
“algebrizar” vetores bidimensionais.
Na forma cartesiana z = ( x, y ) = x + iy
e na forma polar z = r (cos θ + i sin θ ) = re iθ
onde (módulo de z) r = z = x 2 + y 2


Números Complexos 2 René Descartes
Matemático e físico francês 1596-1650
Leonhard Euler
Matemático suiço 1707-1783

 A álgebra de números complexos permite que grandezas que variem
senoidalmente (ou cossenoidalmente) em função do tempo sejam
interpretados por vetores bidimensionais (fasores), sendo muito mais fácil
operar com números complexos de diferentes módulos e argumentos do
que com funções trigonométricas.
 Propriedades interessantes :
– Multiplicação por i envolve
uma rotação de 90°

– Multiplicação por i2 envolve

– Multiplicação por i3 envolve


Números Complexos 3
Operações elementares
Sejam z e w números complexos dados por z=(a,b)=reiθ e w =(c,d)=heiφ
então :
 Identidade  Oposto
z = w⇔ a = ceb = d ou − z = − a − (ib)
r = h eθ = ϕ  Real
 Adição Re( z ) = a = r cos θ
z + w = w + z = (a + b) + i (b + d )  Imaginário
 Multiplicação Img( z ) = b = r sin θ
i (θ +ϕ )
zw = wz = (ac − bd ) + i (bc + ad ) = rhe  Argumento
 Conjugado a
z = a − ib = re -iθ θ = acos 
z
 Inverso  
1 a − ib z 1 - iθ
= 2 = 2 = e
z a +b 2
z r


Fourrier
&
Cia

Análise de
Sinais


Análise de Sinais
 Na análise no domínio do tempo, os sinais físicos ou séries temporais de
dados ambientais são observados ao longo do tempo. Os valores da
função observada são números reais contínuous ou discretos, dependendo
do modo como a observação é feita.
 Na análise no domínio da frequência este dados são observados com
relação à uma faixa de frequências. Esta análise também pode incluir
informações do deslocamento de fase aplicada a cada frequência, mas isto
normalmente é descartado.
 Uma função pode ser convertida
entre os domínios do tempo e da
frequência através de um par de
operadores matemáticos conhecido
como transformada integral.

Medições no domínio do tempo Medições no domínio da frequência


Série de Fourier 1 Jean-Baptiste Joseph Fourier
Matemático francês 1768-1830

 A série de Fourier é a representação de uma função periódica integrável
como uma soma de funções periódicas de seno e cosseno.
 Suponha uma função periódica f(t) com período T,
tal que f(t+T) = f(t).

 Fourier diz que f(t) pode ser representada por Onda “dente de serra”

∞
  2πnt   2πnt 
f (t ) = ∑  An cos  + Bn sin  
n =0   T   T 

Primeiras 5 aproximações de Fourier
 2πnt 
T
2
T∫
An = 2
T f (t ) cos dt
−
 T 
onde 2

2 T  2πnt  2π
Bn = ∫ 2T f (t ) sin  dt = 2πf = ω0
T −2  T  T

Espectro dos Coeficientes


Série de Fourier 3

1 1 𝑛𝜋𝑛
∞
 Algumas expansões em série de Fourier mais comuns :
− 1/𝜋 � sin
2 𝑛 𝐿
– Onda dente de serra :
𝑛=1

4 1 𝑛𝜋𝑛
∞

� sin
𝜋 𝑛 𝐿
– Onda quadrada :
𝑛=1,3,5,…

8 −1 𝑛𝜋𝑛
∞ 𝑛−1 �
2
� sin
𝜋2 𝑛2 𝐿
𝑛=1,3,5,…
– Onda triangular :


Série de Fourier 4 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Matemático alemão 1805-1859

 A série de Fourier também pode ser expressa em termos exponenciais.
 Pela fórmula de Euler e inx = cos(nx) + i sin( nx)
∞
 Então a expansão de Fourier pode ser representada por f (t ) = ∑ Cn einω0t
n = −∞
T
1
onde Cn =
T ∫−
2
T
2
f (t ) e inω0t dt

 A relação entre os coeficientes de Fourier na forma trigonométrica e expo-
nencial é 1
An = Cn + C− n n = 0, 1, 2, ... ( An − iBn ) n≥0
e Cn= 2
Bn = i (Cn − C− n ) n = 1, 2, ... 1
( A−n + iB−n ) n < 0
2
 Na engenharia, particularmente quando a variável t representa o tempo, a
sequência de coeficientes é chamada de representação no domínio da
frequência, adotando-se a notação F[n] ou Fn ao invés de Cn, enfatizando
que o domínio desta função é um conjunto discreto de frequências.


Transformada de Fourier Paul Adrien Maurice Dirac
Físico britânico 1902-1984

 A Série de Fourier é útil na modelagem a análise do espectro de funções
periódicas, mas como fazer quando o fenômeno é não-periódico ?
 A saída é permitir que T se torne infinitamente grande, e a série e os coefi-
cientes de Fourier se reduzem a
1 ∞

Transformada
f (t ) =
2π ∫
−∞
F (iω0 ) e iω0t dω0
Transformada de Fourier
Inversa de Fourier ∞
F (iω0 ) = ∫ f (t ) e − iω 0 t
dt
−∞

 Enquanto a Série de Fourier converte uma
função periódica contínua no domínio do tempo
para amplitudes no domínio da frequência em
frequências discretas, a Transformada de
Fourier converte uma função não-periódica
contínua no domínio do tempo em uma função
contínua no domínio da frequência.


Transformada Discreta de Fourier
Se quisermos encontrar o espectro de frequências de uma função que foi
“sampleada”, a Transformada Contínua de Fourier não é muito útil, pois não
se dispõe de uma função analítica para a função (ex.: análise de sinais
sonoros, de amplitude das ondas oceânicas, etc.)
 DTF (Discrete Fourier Transform) : Utilizada quando as amostras são cole-
tadas a intervalos aleatórios. Ela avalia apenas componentes da frequên-
cias suficientes para reconstruir o segmento que está sendo analizado,
decompondo –a em amplitudes de diferentes frequências.
N −1 2πi
−
X k = ∑ xn e
kn
N
k = 0 ,...,N-1
n =0

 DTFT (Discrete-time Fourier Transform) : Utilizada quando as amostras
são coletadas a uma frequência constante.
∞
X (ω ) = ∑x
n = −∞
n e − i ωn xn representam os valores amostrados


Transformada Rápida de Fourier James W. Cooley
Matemático americano 1926-
John Wilder Tukey
Estatístico americano 1915-2000

A Transformada Rápida de Fourier (FFT – Fast Fourier Transform) é um
algorítmo eficiente para calcular a DFT e sua inversa.
 O cálculo da DFT diretamente da sua definição é impraticável na maioria
dos casos por ser muito lento (proporcional a N2).
 Existem vários algoritmos para a FFT, sendo o mais conhecido o de
Cooley-Tukey, que divide a transformada sucessivamente em dois
pedaços de tamanho N/2 (e portanto é limitado a que o número de
amostras seja uma potência de 2).
 Este algoritmo apresenta um esforço
computacional da ordem de Nlog(N).

Para uma amostra com 128 elementos, isto significa
uma diferença de 60x no esforço computacional


Vibração


Idealização Sistema Massa-Mola
 Sistema com 1 grau de liberdade
 Resposta do sistema m(t ) = F0 sen(ωt ) − kx(t )
x
k
 Frequência natural de vibração ωn =
m

Força
k

Resposta livre

m
Resposta forçada

x
Fexc(t) = F0sen(ωt)


Idealização Sistema Massa-Mola-Amortecedor
 Todo sistema mecânico tem algum nível de
amortecimento. amortecimento
viscoso

 Resposta do sistema
m(t ) = F0 sen(ωt ) − cx(t ) − kx(t )
x 
k Força excitação

c
Força amortecimento
Resposta livre

Regime Regime
m transiente permanente
Resposta forçada

x
Fexc(t) = F0sen(ωt)


Amortecimento
 Coeficiente de amortecimento crítico cc = 2mωn = 2 km

c ξ > 1 : Superamortecimento (não há oscilação)
 Fator de amortecimento ξ = ξ = 1 : Criticamente amortecido (não há oscilação)
cc ξ < 1 : Subamortecimento

 Frequência natural amortecida ωd = ωn 1 − ς 2

kX/F0
ξ
ξ

ξ

ξ

x1
ξ = ln
x2
ω / ω0
Efeito do amortecimento em vibração livre Efeito do amortecimento em vibração forçada


Períodos Naturais de Oscilação Típicos* (s)

MODO FPSO SPAR TLP SEMI
Avanço (surge) >100 >100 >100 >100
Deriva (sway) >100 >100 >100 >100
Afundamento (heave) 5 – 12 20 – 35 <5 20 – 50
Balanço (roll) 5 – 30 50 – 90 <5 30 – 60
Caturro (pitch) 5 – 30 50 – 90 <5 30 – 60
Guinada (yaw) >100 >100 >100 >100
* Ancorados


Ressonância
 Ressonância é a tendência de um sistema a oscilar em máxima amplitude
em certas frequências, conhecido como 'frequências ressonantes'. Nessas
frequências, até mesmo forças periódicas pequenas podem produzir
vibrações de grande amplitude, pois o sistema armazena energia.

Tacoma Narrows Bridge (1940)

A Vibração do Arroz


Quiz
1. Qual o período natural de vibração de um sistema massa-mola ideal no qual a
massa do corpo é de 100g e a constante da mola é de 0.274gf/mm ?
k 0.274
ωn = = = 0.0523rad/s
m 100

2π 2π
Τ= = = 120s
ωn 0.0523
2. Considerando apenas o efeito hidrostático, qual seria a frequência natural de
vibração no movimento de afundamento (heave) de uma barcaça retangular
oceânica com dimensões de L = 100m, B =20 m, T = 5m ?
k 2050
m = ρVsubmerso = 1.025 x100 x 20 x5 = 10250 t ωn = = = 0.447 rad/s
m 10250

k = ρAlinha d 'água = 1.025 x100 x 20 = 2050 tf/m ωn 0.477
fn = = = 0.0711Hz (Τ = 14s)
2π 2π


Os
Movimentos


Tipos de Movimentos
 Movimento na frequência da onda (wave-frequency motion) :
Movimento linearmente excitado na faixa de frequências de
onda com energia significativa. Períodos na faixa 5-20s.
 Movimento de alta frequência (high-frequency motion) :
Significativo em TLPs, é devido a oscilações de ressonância
em afundamento, arfagem e balanço. Os tendões das TLPs
são excitados por efeitos não lineares das ondas. Períodos na
faixa 2-4s.
 Movimento de deriva lenta (slow-drift motion) : Aparecem em
unidades flutuantes ancoradas sob o efeito de ondas e
correnteza. As frequências naturais nos movimentos no plano
horizontal (avanço, deriva e guinada) são bastante baixas, e
amortecimento também é muito baixo, de modo que o
carregamento de baixa frequência das ondas podem gerar
excursões lentas mas bastante amplas.
 Movimento de deriva média (mean drift) : Devido ao
componente permanente de carregamento de segunda ordem
de ondas, o corpo tende a se mover e alinhar na direção das
ondas.

Equação do Movimento (Corpo Rígido Flutuante)
(M ij + Aij )  j + Bij x j + Cij x j = Fi (t )
x  3

onde 6

Mij = massa oscilante / momento de inércia
Aij = massa adicional induzida na direção i devido à
aceleração em j
Bij = amortecimento sofrido na direção i devido à
velocidade na direção j 1
Cij = restauração na direção i devido ao 4 5 2

deslocamento na direção j

na direção j ...
Algo acontece
Fi = forças de excitação na direção i
x j , x j , j = deslocamento, velocidade e aceleração
 x
da embarcação na direção j
i,j = 1, ... 6 denotam os 6 graus de liberdade
P 11 P12  P 
16
Ex: C53 = restauração em pitch devido      
ao deslocamento em heave
Pij =  
     
 
... que tem uma consequência na direção i  P61 P62  P66 


Matrizes da Equação do Movimento
 Para uma unidade tendo simetria a bombordo/estibordo, e considerando a
origem do sistema de coordenadas coincidente com o centro de flutuação :
M 0 0 0 Mzc 0   A11 0 A13 0 A15 0 
 0
 M 0 − Mzc 0 0  
0
 A22 0 A24 0 A36 

 0 0 M 0 0 0  A 0 A33 0 A35 0 
M ij =   Aij =  31 
 0 − Mzc 0 I4 0 − I 46  0 A42 0 A44 0 A46 
 Mzc 0 0 0 I5 0   A51 0 A53 0 A55 0 
   

 0 0 0 − I 64 0 I6   0
 A62 0 A64 0 A66 

 B11 0 B13 0 B15 0  0 0 0 0 0 0
0
 B22 0 B24 0 B36 

0 0 0 0 0 0
 
B 0 B33 0 B35 0  0 0 C33 0 C35 0
Bij =  31  Cij =  
0 B42 0 B44 0 B46  0 0 0 C44 0 0
 B51 0 B53 0 B55 0  0 0 C53 0 C55 0
   

0 B62 0 B64 0 
B66  0
 0 0 0 0 0



Forças
Hidrodinâmicas


Tipos de Forças em um Escoamento Permanente
 Forças potenciais FORÇAS FORÇAS
FORMA
- Devido à aceleração e desaceleração POTENCIAIS VISCOSAS
das partículas do fluido ao mudar sua ≈ 0% ≈ 100%
trajetória.
≈ 10% ≈ 90%

≈ 80% ≈ 20%

≈ 100% ≈ 0%

 Forças viscosas
- Devido ao aparecimento da camada
limite, com cisalhamento entre as
partículas do fluido.


Forças Hidrodinâmicas Lineares em Ondas
 A teoria linear pode descrever o carregamento hidrodinâmico em estados
de mar calmo a médio (dependendo do tamanho da embarcação).
 A linearidade implica que o carregamento e movimentos são proporcionais
às amplitudes das ondas.
 A linearidade permite a superposição : os carregamentos e respostas em
mar irregular podem ser obtidos por sua combinação linear das respostas
ao mar regular ou senoidal.
 Devido à hipótese linear, a análise pode ser executada tanto no domínio do
tempo quanto da frequência.
Fhid = Fexc + Frad + Frest

Equações
Cargas
ondas Lineares do movimento
Lineares
Movimento


Forças Hidrodinâmicas Não Lineares
 Uma vez que temos um modelo linear no domínio do tempo, cargas não
lineares podem ser adicionadas pela hipótese de superposição de forças :

Equações
Cargas
ondas Lineares do movimento
Lineares
Movimento

Cargas
Não-Lineares

 O modelo linear não deve ser encarado como uma limitação : na verdade
ele é a base sobre a qual podemos construir modelos não-lineares
baseado na hipótese da superposição de forças.


Forças Atuantes em uma Unidade Flutuante
m.a = Fexc - c.v - k.x

forças de radiação e
força resultante no forças de restauração (massa
sistema flutuante excitação adicional, amortecimento e
hidrostática)

M.a = Fm + Ffk + Fd – A.a – B.v – B2.v.|v| - C.x
amortecimento viscoso


Forças de Excitação
Forças atuantes sobre a unidade quando ela tem seu movimento restringido,
ao mesmo tempo em que é sujeita à ondas incidentes.
 1ª Ordem • Ffk : Força de Froude-Krilov
- Forças grandes - Considera a pressão devido à
- Mesma frequência da onda ação da onda não perturbada
- Relacionada à elevação da onda pelo corpo.
- Proporcional à amplitude da onda (linear) • Fd : Força de Difração
- Considera a modificação da
pressão da onda devido à
presença do corpo.

 2ª Ordem
- Forças pequenas • Fm : Força de Morison
- Baixa frequência - Considera a parte viscosa da força.
- Relacionadas ao grupo de ondas
- Proporcional ao quadrado da amplitude da onda


William Froude
Engenheiro inglês 1810-1879

Excitação : Força de Froude-Krylov Alexei Nikolaievich Krylov
Engenheiro naval russo 1863-1945

É a força induzida pelo campo de pressões gerado pelas ondas não pertur-
badas pelo corpo (o corpo é suficientemente pequeno para não influenciar
as ondas).

∫∫
Integração da pressão da água ao longo
Ffk = - p n ds da superfície molhada média do corpo
Sw
Onde Ffk = força de Froude-Krilov
Sw = área da superfície molhada do corpo flutuante
p = pressão da onda não perturbada p = ρ g ekz ζa sin (ωt - kx)
n = vetor normal ao corpo, apontando para a direção da água

 Esta expressão é corrigida através de coeficientes que são determinados
experimentalmente
 Importante quando a amplitude do movimento é grande.
 Em termos práticos ela pode ser aplicada quando a dimensão do corpo é
bem menor que o comprimento de onda.
 Se for integrada ao longo da superfície molhada instantânea do corpo, pode
ser considerada não linear.

Excitação : Força de Difração
Difração é o fenômeno que ocorre quando as on-
das contornam um objeto cuja dimensão é da mes-
ma ordem de grandeza do seu comprimento. A Gibraltar
onda ao contornar um obstáculo sofre uma varia-
ção na trajetória, podendo então se combinar com
outras linhas de fluxo e dessa forma produzir máxi-
mos e mínimos diferentes daqueles que iriam ocor-
rer se o corpo não estivesse presente.
 Como resultado a pressão da onda é
modificada devido à presença do cor-
po. Deve ser tratada com cuidado
especialmente quando λ < 5 D.
 Integral da pressão ao longo do corpo,
com condições de contorno associa-
das à presença do corpo e diferentes
das condições para massa adicional e
teoria potencial.

Excitação : Força de Morison 1
Formulação semi-empírica para a força em um corpo submetido a um fluxo
semi empírica
oscilatório, aplicável a corpos com dimensões muito menores que o compri-
mento da onda (D < 0.05ʎ) - a onda “não sente” a estrutura. ʎ
Força horizontal
por unidade de
comprimento H
componente inercial componente viscosa

du 1
Fm = ρ . A.Cm . + .ρ .D.Cd .u. u u(z,t)
dt 2 z
d
Área
seccional
Coeficiente Coeficiente D
de massa de arrasto
adicional Diâmetro

(soma de uma componente inercial em fase com a aceleração local do fluxo e uma componente viscosa de arrasto proporcional
ao quadrado da velocidade do fluxo)

Inicialmente desenvolvida para força de onda em cilindro vertical fixo, posteriormente
ampliada para cilindro inclinado, cilindro livre, cilindro livre em correnteza, cilindro
livre em ondas e cilindro livre em ondas e correnteza.


Excitação : Força de Morison 2
 Aplicações : Risers, umbilicais, linhas de ancoragem, jaquetas, pilares,
pernas de jackups, bracings, etc.
 Fatores que afetam Cm e Cd
- Número de Reynolds (para escoamento com velocidade constante) : Re = v.D / ν
- Número de Keulegan-Carpenter (para escoamento oscilatório) : KC = vm.T / D
- Rugosidade : ∆ = k / D
Onde D = diâmetro [m]
T = período da onda ou de oscilação [s]
k = altura da rugosidade [m]
v = velocidade total do escoamento [m/s]
ν = viscosidade cinemática do fluido [m2/s]
vm = velocidade orbital máxima da partícula [m/s]
- Efeitos de parede
- Vibração induzida por vórtices (VIV)
- Comprimento finito
- Distância à superfície livre
- Efeito de sombra
- Forma da seção transversal

Quiz
 Em um cilindro vertical com massa desprezível, diâmetro D=1m e compri-
mento submerso L=5m, em água salgada, em movimento oscilatório com
amplitude de ζ=1m e período de T=10s, qual é a força medida no topo ?

𝜔=
Considere Cd=1 e Cm=2.
2𝜋
= 0.628
𝑇
𝐴 = 𝜋𝐷2 /4 =0.785
 du 1 
F =  ρ . A.Cm . + .ρ .D.Cd .u. u  L

x=ζ.sin(𝜔t) 𝑢= = ζ.cos(𝜔t)
 
= -ζ.sin(𝜔t)
𝑑𝑑
dt 2
𝑑𝑑
𝑑𝑑 𝑑𝑑
F = −8.04 sin(0.628t ) + 2.563 cos(0.628t ) cos(0.628t )
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10


Regimes de Forças das Ondas
 Regiões I e II 50

- Sem separação apreciável do escoa- VI GRANDE ARRASTO

mento, efeitos viscosos confinados à
camada limite, solução do problema via
10

teoria potencial. 5 V
- Em I ignore a difração, aproximação de H INÉRCIA E ARRASTO
Cm ≠ 0 Cd ≠ 0
FK pode ser utilizada. D DEEP WATER
BREAKING WAVE
CURVE
- Em II considere os efeitos de difração 1 POUCO ARRASTO

da onda. 0.5
III
GRANDE INÉRCIA
IV
 Regiões III e IV
- Algum arrasto, porém inércia é mais ARRASTO DESPREZÍVEL

importante. 0.1 DIFRAÇÃO
DESPREZÍVEL
- Em III ignore a difração. 0.05 I II
 Região V TOTALMENTE INERCIAL
REGIÃO DE
DIFRAÇÃO
Cd = 0
 Efeitos viscosos e potenciais importan-
tes. Utilize Morrison. 0,01
0.01 0.05 0.1 0.5 1
π
D 5 10
λ


Forças de Radiação e Restauração
Forças atuantes sobre a unidade quando ela é forçada a oscilar em águas
tranquilas.
 A.a : Massa adicional
- Proporcional à aceleração do corpo.
Forças de inércia potenciais
 B.v : Amortecimento potencial
- Proporcional à velocidade do corpo.

 B2.v.|v| : Amortecimento viscoso
- Proporcional ao quadrado da velocidade

 C.x : Forças de restauração hidrostática
- Proporcional ao deslocamento da embarcação em relação à sua posição original


Forças Potenciais de Radiação
As forças de radiação aparecem devido ao movimento da embarcação : a
mudança no momento do fluido devido ao movimento do casco altera a
distribuição de pressões ao longo do casco, induzindo as ondas.
 Estas forças tem duas componentes :
- Proporcional às acelerações
- Proporcional às velocidades


O Problema a Ser Resolvido
Hipótese básica : fluido invíscido

onda incidente corpo em movimento

onda irradiada e refratada
U
Conservação da massa Equações de campo dentro do fluido

Equações : Conservação do momento Equações do movimento do corpo

Condições de contorno


Equação da Continuidade (Conservação da Massa)
1 Dρ  A variação da massa em um
 Equação geral de Navier-Stokes : +∇•v = 0 volume infinitesimal é igual
ρ Dt à massa que nele entra menos
a massa que sai.
Dρ A densidade é constante.
=0
 Hipótese 1: Fluido incompressível Dt
então
 O divergente de velocidades é nulo.
∇•v = 0 (água que entra = água que sai)


∇×v = 0 O rotacional de velocidades é nulo.
 Hipótese 2 : Movimento irrotacional  então A velocidade pode ser expressa como o
v = ∇ϕ gradiente de uma função potencial.

 Hipóteses 1 e 2 dão a seguinte equação do domínio do fluido :

∇ ϕ ( x, y , z , t ) = 0
2 O Laplaciano do campo de potencial de
velocidades é nulo.


Condições de Contorno
∂ϕ
 No leito do oceano (z = -h) : vn = =0 A velocidade do fluido normal ao fundo é nula.
∂n

 No infinito : ϕ = ϕ rad A onda não sofre perturbação no infinito.

∂ 2ϕ ∂ϕ
 Na superfície livre (z = 0) : + g. =0
∂z ∂z
– Condição de contorno cinemática : uma partícula do fluido que está na
superfície livre lá permanece.
– Condição de contorno dinâmica : A pressão atmosférica é considerada
nula pois uma pressão constante não exerce força resultante sobre o
corpo.

∂ϕ A velocidade normal do fluido se iguala
 No corpo : = Vn a velocidade normal do corpo.
∂n


Cálculo das Forças de Radiação
 Forças e momentos são obtidos integrando a pressão sobre a superfície
molhada média Sw
3

  ∂ϕ 
 − ∫∫  rad (n )i .ds i = 1,2,3 6

 S w  ∂t 
τ rad ,i 
  ∂ϕ 
 − ∫∫  rad (r × n )i −3 .ds i = 4,5,6
 S w  ∂t 
1
4 5 2

força ou momento

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Forças de Radiação para Movimento Regular
Se o movimento da embarcação na direção i for harmônico podendo ser des-
crito por :
ξ i = ξ cos(ωt )
Então, após integrar a pressão sobre a superfície do casco, as forças de ra-
diação na direção j devido ao movimento na direção i tomam a seguinte for-
ma :
τ rad , j = − Aij (ω )ξi − Bij (ω )ξ i
 
 Os coeficientes que multiplicam às acelerações são chamados de
coeficientes de massa adicional, embora nem todos tenham unidade de
massa (alguns são inércia). Os termos de massa adicional nos dão as
forças devido às acelerações do fluido a medida em que a embarcação
oscila.
 Os coeficientes proporcionais às velocidades são chamados de
coeficientes de amortecimento potencial, e representam a energia
transportada para longe com as ondas geradas pelo movimento do casco.


Massa Adicional e Amortecimento 1
Relembrando, devido ao aumento movimento forçado do corpo, teremos :

 A.a : Massa adicional Mesmo na ausência de on-
da incidente, um corpo em
- O movimento do corpo em aceleração irá mover
movimento cria ondas e
algum volume do fluido. portanto, forças de inércia
potenciais.
 B.v : Amortecimento potencial
- Energia transportada para longe devido às ondas
geradas pelo movimento do corpo.

Massa adicional e amortecimento em
afundamento para barcaça retangular simétrica

 Os coeficientes de massa adicional e
amortecimento dependem da :
- Forma da embarcação
- Velocidade de avanço
- Profundidade da água


Massa Adicional e Amortecimento 2
 As matrizes de massa adicional e amortecimento têm dimensões 6 x 6, por-
tanto temos 36 coeficientes de massa adicional e 36 de amortecimento a
serem calculados.
 Se a estrutura não tem velocidade de avanço (ou sua velocidade é longitu-
dinal), e tem um plano de simetria longitudinal, metade dos coeficientes é
nulo.
 Se a estrutura tem velocidade nula e não há correnteza, as matrizes de
massa adicional e amortecimento são simétricas.
Aij (ω ) = A ji (ω )

Bij (ω ) = B ji (ω )


Forças de Amortecimento Viscoso
 Em um fluido real, a fricção também causa amortecimento, vórtices e o
fenômeno da separação da camada limite.
 B2.v.|v| : Amortecimento viscoso
- Importante quando a amplitude do movimento é grande.
- Devido à geração de vórtices e fricção.
- Proporcional ao quadrado da velocidade.


Forças de Restauração
 C.x : Forças de restauração
- Em um contexto físico, forças de restauração são forças variáveis que tentam
levar um sistema perturbado de volta ao seu equilíbrio.
- As forças são proporcionais ao deslocamento do corpo em torno do seu equilíbrio.
- Forças hidrostáticas
- Linhas de ancoragem
- Risers e umbilicais
para pequenos
- Cabos de reboque deslocamentos

- Mangotes de transferência
- Etc.

 Algumas forças de restauração podem
ser idealizadas de modo diferente :
- Leme
- Estabilizadores ativos
- Impelidores laterais


Propriedades Hidrostáticas do Casco Metacentro
dx

y y Centro de
gravidade
C
L F x
Centro de
carena

x

 Área da linha d’água Awl = 2 ∫ y.dx
 Volume de deslocamento da embarcação ∇
 Centro de flutuação F (centro de flutuação) : xF = ∫ x. y.dx
Awl
 Momento de inércia longitudinal I L = 2 ∫ x . y.dx
2

2
 Momento de inércia transversal I T = ∫ y 3 dx
3
 Raios metacêntricos BM L = I L ∇ BM T = I T ∇


Forças de Restauração Hidrostáticas
 Não há restauração no plano horizontal.

- C33 : Restauração do heave devido ao heave C33 = ρgAwl

- C35 : Restauração do heave devido ao pitch C35 = ρgxF Awl

M

- C44 : Restauração do roll devido ao roll C44 = ρg∇GM

- C53 : Restauração do pitch devido ao heave C53 = −C35

- C55 : Restauração do pitch devido ao pitch
C55 = ρg∇GM L


Quiz
Avalie os períodos naturais de uma semi-submersível com as seguintes caracterís-
ticas :
• 6 colunas cilíndricas (3 por bordo) com 10m de diâmetro
• 2 pontões retangulares com 15m largura, 6m altura e 90m comprimento
• Calado 21m
• GMT=GML=1.5m
• Raio de giração x = y = 15m
• Cmad22=0.7. Cmad44=Cmad55=0.3
• K33=ρgAwl
• K44=ΔgGM


Determinando
T
a Resposta

Teste de Modelo em Peersless Pool (Londres – 1761)


Teoria da Radiação-Refração John Nicholas Newman
Engenheiro naval americano 1935-

 As partes estruturais tem dimensões comparáveis ao comprimento da
onda (grandes volumes).
 Efeitos viscosos são negligenciados.
 É incluída a distorção nas ondas devido à presença da estrutura.
 São criadas ondas devido ao movimento da estrutura.
 Teoria linear.


Teoria Linear
 Assume que a amplitude da onda é “pequena”.
 Expande todas as condições de superfície livre em torno no nível médio do
mar e mantém somente os termos proporcionais à amplitude da onda.
 O movimento da estrutura é da mesma ordem de grandeza da amplitude
da onda.
 Expande todas as condições da estrutura em torno de sua posição média e
mantém somente os termos proporcionais ao movimento da embarcação.
⇒ A grade computacional (modelo de painéis) é a mesma o tempo todo.

Modelo linear – vista superior Modelo linear – vista inferior Modelo não-linear – vista inferior


Análise no Domínio da Frequência
 As cargas induzidas por um mar irregular podem ser obtidas por
superposição linear de componentes regulares.
 Assumindo um regime permanente, com todos os efeitos transientes
negligenciados, as cargas e a resposta dinâmica da estrutura está
oscilando harmonicamente com a mesma frequência de encontro das
ondas incidentes.
 Este tipo de análise é conhecida como “análise no domínio da frequência”,
e os resultados são apresentados em função da frequência de encontro.

2
S(f)

RAO(f)

Z(f)
f f f


Operador de Amplitude de Resposta 1
O RAO (Response Amplitude Operator), também conhecido como Função de
Transferência, é um conjunto de estatísticas da unidade flutuante,
normalmente calculados para todos os seus movimentos, em todas as
direções e frequências de onda ω.
 Efetivamente é utilizado para determinar o efeito que um determinado
estado de mar acarretará sobre o movimento da unidade.
 RAO só tem sentido se assumirmos que os movimentos da unidade são
lineares, ou seja, proporcionais à altura da onda, e que o princípio da
superposição funciona.
 Pode ser obtido de :
- Predições numéricas (software)
- Experimentos em tanques de prova


 Se considerarmos a equação do movimento [M + A(ω )] + B(ω ) x + Cx = F (ω )
x 
x F0
então RAO(ω ) = =
ζ a C − [ M + A(ω )]ω 2 + iB (ω )ω
 RAO é a resposta à onda unitária como função do período de onda e sua
direção.

2
Entrada : MAR X RAO Saída : MOVIMENTO


 Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes
para avaliar as acelerações e movimentos em um ponto da embarcação.
 Exemplo : a aceleração vertical em um ponto do bordo da embarcação
depende da conjugação dos movimentos de heave, pitch e roll. Está difícil
embarcar na
 Precisamos também dos ângulos de fase das baleeira !
respostas de modo a combiná-las adequada-
mente.
 A função de transferência RAO é mais facilmente
tratada como uma variável complexa
Entrada cos(ωt ) = Re(eiωt )
Saída Re( H (ω , β )eiωt )

H (ω , β ) = F (ω , β )eiδ (ω , β ) = FR + iFC


RAOs de Forças e Movimentos 1

τ exc
RAO de
ς (t ) RAO de
Carregamento
Carregamento para ς i (t )
Movimento

Combinação
Movimento
Elevação da superfície do mar

ς (t ) RAO de Movimento ς i (t )


RAOs de Forças e Movimentos 2
 RAOs de forças são representados por F(j,ω).
 RAOs de movimentos são representados por H(j,ω).

RAOs de forças
sobre barcaça.

RAOs de movimentos
sobre barcaça.


RAO de Forças
 Para uma onda regular
ς i = ς cos(ωt + ϕς )
as forças lineares de excitação serão :

τ exc ,i = τ i (ω ) cos[ωt + ϕτi (ω )]

 A amplitude e fase das forças de excitação dependem de :
- Ângulo de encontro (frequência das ondas, velocidade da embarcação, ângulo de
aproamento relativo às ondas)
- Amplitude das ondas
- Velocidade de avanço


Frequência de Encontro Johann Cristian Andreas Doppler
Físico austríaco 1803-1853

Quando estudamos o comportamento de embarcações é importante
considerar a frequência no qual ela encontra as ondas fe. Esta frequência
depende da velocidade das ondas c, da velocidade da embarcação U e da
direção das ondas em relação à embarcação β.

λ velocidade relativa de encontro = c − U cos β
λ λ
c λ Te = =
cos β velocidade relativa de encontro c − U cos β
2π
ωe = (c − U cos β )
β
U λ
c
ω2
ωe = ω − U cos β em águas profundas
g

 Portanto, frequência de encontro é a frequência
das ondas experimentada pelo navio.


Espectro de Encontro
Do ponto de vista da embarcação, o espectro da onda é transformado quando
ela se encontra em movimento. Entretanto, a energia total do oceano deve ser
constante, seja visto de um observador estacionário ou um que esteja se
movendo.
∞ ∞

∫ S (ω )dω = ∫ S (ω )dω
0 0
e e

S (ω )
S (ωe ) =
dωe
dω
S (ω ) em águas
S (ωe ) =
2ωU profundas
1− cos β
g ω [rad/s]


Outros Efeitos da Velocidade de Avanço Ernest Oliver Tuck
Matemático australiano 1939-2009

 Afundamento
 Mudança no trim
Sem velocidade de avanço
 Queda da pressão no corpo paralelo

Velocidade de avanço 13 nós

RAO Heave PSV


Recomendações para Análise no Domínio da Frequência
 Para uma análise no domínio da frequência pelo menos 30 frequências
devem ser analisadas.
 Um espaçamento entre frequências não maior que ζω0 deve ser utilizada
 Na região da ressonância um menor espaçamento ainda deve ser utilizado.


Carregamento Não-Linear de Ondas
 Existem alguns problemas relacionados à interação ondas-estrutura que
não podem ser descritos unicamente pela teoria linear.
 Os problemas não lineares tentam descrever mais precisamente as
condições na superfície livre e no corpo em valores instantâneos ao invés
de valores médios.
 Um modo conveniente de resolver este tipo de problema é utilizando a
análise de perturbação.
 Na teoria de segunda ordem os problemas são resolvidos até a segunda
ordem da amplitude da onda incidente, ou seja, termos potenciais e de
pressão proporcionais à amplitude e ao quadrado da amplitude da onda
são considerados.
 Os efeitos do carregamento de segunda ordem são importantes para
estruturas que são mantidas em posição através de linhas de ancoragem
ou sistemas de DP, ou para embarcações que sigam trajetórias definidas.


Efeitos Não-Lineares de Onda
 Forças de deriva média : Determina a posição de equilíbrio de sistemas na-
corados (juntamente com o efeito de vento e correnteza). São importantes
no projeto de linhas de ancoragem e sistemas de posicionamento dinâmi-
co.
 Forças de deriva lenta : Estas forças tem frequências muito menores que a
frequência de elevação das ondas. Elas podem excitar modos de resso-
nância na posição horizontal da embarcação, com períodos típicos de 1 a 2
minutos.
 Forças de alta frequência : Estas forças tem componentes em frequências
superiores à frequência das ondas, podendo excitar modos de ressonância
na estrutura, com períodos de 2 a 4 segundos.
Força

Componente de baixa frequência

Componente médio
Componente de alta frequência
Tempo


Evidências do Carregamento Não-Linear 1
 Uma maneira simples de evidenciar os efeitos de segunda ordem no
problema é olhando o termo quadrático na equação de Bernoulli :
δφ 1
p+ρ + 2 ρ∇φ .∇φ = C
δt
então ∇φ .∇φ = V1 + V2 + V3
2 2 2

 Considere o caso onde ∇φ .∇φ = V 2 + V 2 + V 2
2 2 1 2 3
então V 2 = 1 + 2
A A Componente médio
Componentes de variação rápida
1
2 2
2 2
cos(2ω1t ) + cos(2ω2t )
A1 A2
Componente de
+
variação lenta
2 2
+ A1 A2 cos[(ω1 − ω2 )t ] + A1 A2 cos[(ω1 + ω2 )t ]

Evidências do Carregamento Não-Linear 2
 Ancoragem em SPM de petroleiro 200.000 TDW

Em mar irregular as forças de deriva contém
componentes com frequências coincidindo
com a frequência natural dos movimentos ho-
rizontais de navios ancorados. Como o amor-
tecimento destes movimentos é pequeno,
sua amplitude tende a ser grande.


Análise no Domínio do Tempo
 Se o sistema é linear, de modo que seu comportamento seja linearmente
dependente do seu deslocamento, velocidade e aceleração, então seu
comportamento pode ser estudado no domínio da frequência.
 Entretanto, há casos mais complicados que violam estas hipóteses linea-
res, tais como amortecimento viscoso, forças e momentos devido à cor-
renteza, vento, ancoragem, sem mencionar os efeitos de segunda ordem
das ondas.
 Nestes casos, o princípio da super-
posição não se aplica, e somos for-
çados a solucionar as equações do
movimento em função do tempo.
 É importante para predição de car-
gas extremas, slamming, slow drift,
ringing e análise acoplada.


Massa Adicional
 Em fluidodinâmica, massa adicional ou massa virtual é a inércia adicionada
ao sistema pois um corpo acelerando movimenta algum volume de fluido a
medida em que se move.
 Por simplicidade ela é modelada como algum volume do fluido se movendo
com o corpo, mas na realidade “todo” o fluido é acelerado em vários graus.
 O coeficiente de massa adicional é a massa adicional dividida pelo volume
do fluido deslocado.

 Para embarcações, a massa adicional pode facilmente atingir de 25 a 35%
da massa da embarcação, representando uma inércia significativa.


Método das Faixas (Teoria Potencial 2D) Odd Magnus Faltisen
Matemático norueguês 1944-

 Para corpos esbeltos o movimento do fluido pode ser formulado como um
problema 2D, onde a variação do fluxo no plano trasversal da embarcação
é muito maior que a variação na sua direção longitudinal.
 O princípio da teoria das faixas envolve a divisão da parte submersa do
corpo em um número de fatias definido. Então, os coeficientes para massa
adicional podem ser calculados para cada fatia e então integrados ao longo
do comprimento do corpo para obter os coeficientes 3D.
 Como calcular os coeficientes para
uma seção transversal de um casco
real ?

Plano de Balisas Cargueiro Convencional – Série BSRA


Transformação Conforme 1
É uma técnica matemática usada para relacionar
o escoamento conhecido de um fluido (seja
matematicamente ou experimentalmente) em
torno de uma forma conhecida com o escoamento
em torno de outra forma a qual se quer analisar.
 Ela envolve uma função de transformação utilizando nú-
meros complexos, que preserva os ângulos e formas
locais infinitesimais.

 a a a a 
X = y + iz =a 0 + ζ + a1 + 2 + 3 + 4 + ... + nn−1 

 ζ ζ2 ζ3 ζ  


Transformação Conforme 2 Johan M. J. Journeé
Engenheiro naval holandês 1941-

 Primeira aproximação (Lewis 1929)
- A transformação era aproximada por dois coeficientes da seção : a proporção en-
tre a meia boca e o calado e o coeficiente de área da seção.

Bs
H0 = Bs /2
Ts
A
σs = s As
BsTs Ts

 Aproximações atuais seção real seções de Lewis

- Outras formulações para as seções, onde centróides da área e momentos de vá-
rias ordens são utilizados.

 Vantagens e desvantagens :
- Soluções suaves em toda a faixa de frequência, sem irregularidades.
- Cantos vivos não são bem representados.
- Seções com coeficiente de área seccional muito baixa não são bem representa-
dos.
- Não trata áreas seccionais totalmente submersas, como proa bulbosa.

Método dos Painéis (Teoria Potencial 3D) William John Macqueorn Rankine
Engenheiro escocês 1820-1872

 É um método numérico para o cálculo do escoamento potencial em torno
de um corpo, onde o potencial de velocidades é representado por uma
distribuição de singularidades (fontes-dipolos) sobre a superfície molhada
do corpo.
 Originalmente desenvolvido para quando não havia velocidade de avanço,
posteriormente foi aperfeiçoado distribuindo-se fontes de Rankine sobre a
superfície do corpo e a superfície livre do fluido.
 O métodos dos painéis divide a superfície do navio e do fluido ao redor em
elementos discretos (painéis). Em cada um destes elementos uma
distribuição de fontes e sumidouros é definida, satisfazendo a equação de
Laplace.


Recomendações DNV RP-C205 Sobre os Painéis
 O comprimento da diagonal dos painéis deve ser menor que 1/6 do menor
comprimento de onda analisado (1/8 segundo Faltisen).
 Uma malha mais densa deve ser aplicada em áreas com mudanças
bruscas de geometria (cantos vivos).
 Quando modelando estruturas finas de paredes com água em ambos os
lados o tamanho do painel não deve exceder 3 a 4 vezes a espessura da
parede.
 Uma malha mais densa deve ser aplicada na região da linha d’água
quando calculando forças de deriva de ondas.
 Devem ser realizados testes de convergência através do aumento
progressivo do número de painéis.
 No cálculo de elevação da superfície da água e velocidades do fluido uma
malha mais densa, da ordem de 1/10 do menor comprimento de onda, deve
ser utilizada.


Cuidados Adicionais Thor I. Fossen
Engenheiro naval norueguês 1963-

 Interação entre vários corpos (por ex., FPSO e
aliviador lado a lado).

 Águas rasas ou restritas (aumento da massa adicional
e efeitos de difração não lineares).

 Efeitos do moonpool. Dependendo das suas
dimensões, o RAO de heave pode ser fortemente
influenciado pelo movimento do fluido dentro do
moonpool.
 Sloshing nos tanques. Dependendo dos movimentos
do corpo na ressonância e da oscilação do fluido nos
tanques, pressões de amplificação dinâmica nas
paredes do fluido podem ocorrer.


Bibliografia Recomendada
 F. M. Lewis. (1929) “The Inertia of Water Surrounding a Vibrating Ship”,
Transactions, SNAME.
 Faltinsen, O.M. (1990) “Sea Loads on Ships and Offshore Structures”, Cambridge
University Press, Cambridge, UK
 Newman, J.N. (1977) “Marine Hydrodynamics”, MIT Press, Cambridge, MA, USA
 Sarpkaya, T (1979) “Mechanics of Wave Forces on Offshore Structures”, Van
Nostrand Reinhold Company, New York, USA
 Jensen, J.J. (2001) “Load and Global Response of Ships”, Elsevier Science Ltd.,
Oxford, UK
 Chakrabarti, S.K. (2003) “Hydrodynamics of Offshore Structures”, WIT Press,
Southampton, UK
 Fossen, T.I. (1994) “Guindance and Control of Ocean Vehicles”, John Wiley & Sons,
Chichester, England


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Análise de Carregamento Hidrodinâmico Em Estruturas Flutuantes - Parte II A Resposta

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