This slide introduces the decomposition of a rational prime into quadratic primes. このスライドでは、素数（有理素数）を2次体の素数に因数分解することについて紹介しています。

1. 素数の因数分解
onewan
第20回 日曜数学会
2021年1月24日(日)

2. 自己紹介 onewan（わんわん）
・大阪出身、東京在住
・学生時代は工学（応用数理）
・就職後はずっと特許部員
・2017年頃から趣味数学を開始

3. 今回の発表内容
１年前に発表した内容のつづき
・前回の内容は、ニコニコ動画のアーカイブ参照
https://www.nicovideo.jp/watch/sm36461364

4. 復習
➢ 素因数分解とは、素数の積に分解すること
➢ 素数：pが素数である必要十分条件は、1と
p自身でしか割り切れない整数
■割り切れるとは？
➢ 素因数分解では、整数に限定される
➢ 3/2は有理数だが整数ではない
➢ 素数は分解できない
■素因数分解

5. 復習
■体と環
・体：+, -, x, ÷ で閉じてる（例）有理数体
・環：+, -, x で閉じてる （例）整数環
=> 有理数体を拡張して、それに合った整数環を定義する

6. 復習
➢ 有理数に を加えた体
（アイゼンシュタイン数体）
➢ 体 の整数環
（アイゼンシュタイン整数環）
■アイゼンシュタイン数体と整数
・整数を拡張すれば、素数をさらに因数分解出来ることがある！
・具体的には、 で3をさらに2つの元に分解することが出来た
■前回のまとめ
複素平面
単位円
120度
これ

7. 発表のレベル☆☆
- 前提知識は、素因数分解、複素数、＋α
- 意欲的な人が理解出来るレベル

8. 前回は
最小の奇素数３を
分解することに注力した

9. こういうときはどうする？
任意の素数を
分解したい！

10. ２次体
（特に、下２つは、１or -１のいずれか）

11. ２次体
要するに、
・2次体を決める整数 m
・分解したい p
からχd(p)が決まり、分解できるかどうかが決まる
ただし、上記の定理には、UFDという条件がある

12. ２次体
・m<0のとき、2次体を虚2次体という
UFDとなるのは、m=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163の9
個に限られる（Baker-Heegner-Starkの定理）
・m>0のとき、2次体を実2次体という
UFDとなるものは、無数に存在する（ガウス予想）
は、未解決問題！

13. ２次体
（ここから考察）
・p=2はm=-1で分解できる。実際、2=(1+i)(1-i)
・p>2において、下記赤枠について考える
１or -１のいずれか
がUFDとなるmで、 が0 or 1であればpは分解できる。
①mがpの倍数
②mがpの平方剰余
のどちらかになるようにmを取れれば良い。
p=2

14. ２次体
＜疑問＞
・①or②を満たし、UFDとなるmが任意取れるか？
虚2次体は有限個(9個)しかないので、大きなpを取ると満たさな
い可能性がありそう。実2次体に頼る？
mがpの原始根だと、-1となり分解できない。
虚2次体でUFDとなるmすべてが原始根となるような
pがあると分解できない。(考察不足)
がUFDとなるmで、 が0 or 1ならpは分解できるので、
①mがpの倍数
②mがpの平方剰余
となるようにmを取れれば良い。

15. まとめ
● 任意の素数を分解したかったが、必ず分解できるのか分か
らなかった。
● 今回は、UFDの場合に分解できるか考えたが、素イデアル
分解（ゆるにじたいでやった）を考えると、①と②だけ満たせ
ば良く、mは適当にpの倍数を取れば分解できそう。