严蔚敏 - 数据结构

1. 第七章 图
7.1 抽象数据类型图的定义
7.2 图的存储表示
7.3 图的遍历

2. 图的结构定义 :
图是由一个 顶点集 V(Vertex) 和
一个边 集 R 构成的数据结构。
Graph = (V , R )
其中， R ＝ {<v,w>| v,w∈ V 且 P(v,w)}
<v,w> 表示从 v 到 w 的一条弧
(Arc) ，并称 v 为弧头 (Head) ， w
为弧尾 (Tail) 。
V W

3. 这里的弧为“ 有向边 ” 因此对应图为
有向图 (Digraph) 。
例如 : G1 = (V1, E1)
其中
A
V1={A, B, C, D, E}
B E E1={<A,B>, <A,E>,
C D <B,C>, <C,D>, <D,B>,
<D,A>, <E,C> }

4. 若 <v, w>∈E, 必有 <w, v>∈E,
则称 (v,w) 为顶点 v 和顶点 w 之间存在一
条边 Edge. 无方向的边构成无向图
(Undigraph).
例如 : G2=(V2,VR2) B C
V2={A, B, C, D, E, F}
A D
VR2={(A,B), (A,E),
(B,E), (C,D), (D,F), F E
(B,F), (C,F) }

5. 名词和术语
网、子图
完全图、稀疏图、稠密图
邻接点、度、入度、出度
路径、路径长度、简单路径、简单回路
连通图、连通分量、
强连通图、强连通分量
生成树、生成森林

6. 15 A 9
弧或边带权
11
B 7 21 E Weight 的图分别称
3 作有向网或无向网
C 2 F
Network 。 B
B
设图 G=(V,{VR}) 和 C
图 G′=(V′,{VR′}), A
且 V′⊆V, VR′⊆VR,
则称 G′ 为 G 的 B E
子图。 C F

7. 假设图中有 n 个顶点， e 条边，则
含有 e=n(n-1)/2
条边的无向图称
作完全图；
含有 e=n(n-1)
条弧的有向图称
作 有向完全图
；
若边或弧的个数 e<nlogn ，则称作稀疏图
Spares Graph ，否则称作稠密图 Dense
Graph 。

8. 假若顶点 v 和顶点 w 之间存在一条
边，
边 则称顶点 v 和 w 互为 邻接点
(v,w) 和顶点 v 和 w 相关联。
(Adjacent) ，
和顶点 v 关联的边的数目定义为顶点 v 的度
例如 B C
:
ID(B) = 3 D
A
ID(A) = 2
F E

9. 对有向图，
A 顶点的出度
Outdegree:
B E
以顶点 v 为弧尾的弧
C F 的数目； Indegree:
顶点的入度
例如 以顶点 v 为弧头的弧
: OD(B) = 1 的数目。
ID(B) = 2 顶点的度 ( TD) =
出度 ( OD) + 入度 ( ID)
TD(B) = 3

10. 设图 G=(V,{VR}) 中的一个顶点序列
{ u=vi,0,vi,1, …, vi,m=w} 中， (vi,j-1,vi,j)∈VR 1≤j≤m,
则称从顶点 u 到顶点 w 之间存在一条路径
Path 。
路径上边的数目称作路径长度。
如 : 长度为 3 的路径
{A,B,C,F} 简单路径 : 序列中顶点
不重复出现的路径。
A
简单回路 Cycle: 序列中
B E 第一个顶点和最后一
个顶点相同的路径。
C F

11. B C
若图 G 中任意两个顶
点之间都有路径相通
，则称此图为连通图 A D
；
B C F E
若无向图为非连通图
A D
，则图中各个极大连
通子图称作此图的连
F E
通分量。

12. 对有向图， 若任意两个顶点之间
都存在一条有向路径，则称此有向图为
强连通图。
否则，其各个强连通子图
称作它的强连通分量。
A A
B E B E
C F C F

13. 假设一个连通图有 n 个顶点和 e 条边
，其中 n-1 条边和 n 个顶点构成一个极小
连通子图，称该极小连通子图为此连通图
的生成树 Spanning Tree 。
C 对非连通图，则
B
称由各个连通分
量的生成树的集
A D
合为此非连通图
的生成森林。
F E

14. 图的抽象数据结构
ADT Graph{
数据对象 V: V 是具有相同特性的数据
元素的集合 , 即顶点集 .
数据关系 : R = {VR}
VR = {<v,w>|v,w∈V 且 P(v,w)
<v,w> 表示从 v 到 w 的弧 ,P(v,w) 定义了
弧 <v,w> 的意义或信息 }

15. 基本操
作
结构的建立和销毁
对顶点的访问操作
插入或删除顶点
插入和删除弧
对邻接点的操作
遍历

16. 结构的建立和销
毁
CreatGraph(&G, V, VR):
// 按定义 (V, VR) 构造图
DestroyGraph(&G):
// 销毁图

17. 对顶点的访问操作
LocateVex(G, u);
// 若 G 中存在顶点 u ，则返回该顶点
在
// 图中 “ 位置 ” ；否则返回其它信息。
GetVex(G, v); // 返回 v 的值。
PutVex(&G, v, value);
// 对 v 赋值 value 。

18. 对邻接点的操作
FirstAdjVex(G, v);
// 返回 v 的 “ 第一个邻接点” 。若该顶
点
// 在 G 中没有邻接点，则返回 “ 空 ” 。
A
若 v=‘A’
B E
则
C F irstAdjVex(G,
v) 返回‘ B’

19. 对邻接点的操作
NextAdjVex(G, v, w);
// 返回 v 的（相对于 w 的） “ 下一个
邻接
// 点” 。若 w 是 v 的最后一个邻接点
v
，则 A
// 返回 “ 空 ” 。
w
B E NextAdjVex(G,v,w
)
C F

20. 插入或删除顶点
InsertVex(&G, v);
// 在图 G 中增添新顶点 v 。
DeleteVex(&G, v);
// 删除 G 中顶点 v 及其相关的弧。

21. 插入和删除弧
InsertArc(&G, v, w);
// 在 G 中增添弧 <v,w> ，若 G 是无向
的，
// 则还增添对称弧 <w,v> 。
DeleteArc(&G, v, w);
// 在 G 中删除弧 <v,w> ，若 G 是无向
的，
// 则还删除对称弧 <w,v> 。

22. 遍 历
DFSTraverse(G, v, Visit());
// 从顶点 v 起深度优先遍历图 G ，并对每
// 个顶点调用函数 Visit 一次且仅一次。
BFSTraverse(G, v, Visit());
// 从顶点 v 起广度优先遍历图 G ，并对每
// 个顶点调用函数 Visit 一次且仅一次。

23. 7.2 图的存储表示
一、图的数组 ( 邻接矩阵 ) 存储表示
二、图的邻接表存储表示
三、有向图的十字链表存储表示
四、无向图的邻接多重表存储表示

24. 图的数组 ( 邻接矩阵 ) 存储
表示
图由于结构复杂 , 无法以数据
元素在存储区中的物理位置来表示元素
之间的关系 , 即图没有顺序映像的存储
结构 , 但可借助数组的数据类型表示元
素之间的关系 .

25. 一、邻接矩阵
0 (i,j)∉VR
定义 : 矩阵的元素为 Aij= { 1 (i,j)∈VR
A B C D E F
B C A
0 1 0 0 1 0
B
1 0 0 0 1 1
C
A D 0 0 0 1 0 1
D
0 0 1 0 0 1
E
F E 1 1 0 0 0 0
F
0 1 1 1 0 0
无向图的邻接矩阵为对称矩阵

26. A B C D E
A A 0 1 0 1 0
B
0 0 1 0 0
B D C
0 0 0 0 1
D
C E 0 0 1 0 0
E
1 1 0 0 0
有向图的邻接矩阵为非对称矩阵

27. 邻接矩阵表示法特点
：
1 ）无向图邻接矩阵是对称矩阵，同一条
边表示了两次；
2 ）顶点 v 的度：
无向图中等于二维数组对应行（或列）中
1 的个数；
有向图中 , 统计第 i 行 1 的个数可得顶
点 i 的出度 ，统计第 j 列 1 的个数可
得顶点 j 的入度。

28. 邻接矩阵表示法特点
：
3 ）判断两顶点 v 、 u 是否为邻接点：只需
判二维数组对应分量是否为 1 ；
4 ）顶点不变，在图中增加、删除边：只需
对二维数组对应分量赋值 1 或清 0 ；
A B C D E
A 0 1 0 1 0 A
B 0 0 1 0 0
C 0
1 0 0 0 1 B D
D 0 0 1 0 0 C E
E 1 1 0 0 0

29. 邻接矩阵表示法特点
：
5 ）设存储顶点的一维数组大小为 n,
则 G 占用存储空间： n+n2 ； G 占
用存储空间只与它的顶点数有关，
与边数无关；适用于边稠密的图；

30. typedef struct ArcCell { // 弧的定义
VRType adj; // VRType 是顶点关系类
型 // 对无权
图，用 1 或 0 表示相邻否；
// 对带权图，则为权值类型。
InfoType *info; // 该弧相关信息的指针
} ArcCell,
AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM]
[MAX_VERTEX_NUM];

31. typedef struct { // 图的定义
VertexType // 顶点信息
vexs[MAX_VERTEX_NUM];
AdjMatrix arcs; // 弧的信息
int vexnum, arcnum; // 顶点数，弧
数
GraphKind kind; // 图的种类标志

32. 网络的邻接矩阵
W (i , j ), 若i ≠ j且 < i, j >∈ E或(i, j ) ∈ E

A.edge[i ][ j ] = ∞, 若i ≠ j且 < i, j >∉ E或(i, j ) ∉ E
0, 若i == j

0 15 ∞ 9 ∞ 
15 A 9 ∞ 0 3 ∞ ∞ 
11  
A.edge =∞ ∞ 0 ∞ 2 

B 7 21 D  
3 ∞ ∞ 21 0 ∞ 
C E 11 7 ∞ ∞ 0 
 
2

33. 图的链表表示
l 图的复杂结构使我们考虑用多重链表 . 多重链表
由一个数据域和多个指针域组成的结点表示图中
的一个顶点 , 其中数据域存储顶点的信息 , 指针
域指向其邻接结 . 点但图的结点度数的不一致性
, 可能会导致空间浪费或操作不便 . 实际应用中
, 通常是根据具体的图和需要进行操作 , 设计恰
当的结点结构和表结构 .
l 常用的有邻接表 Adjacentcy List , 邻接多重表
Adjacency Multilist 和十字链表 Orthogonal List 等
结构表示 .

34. 1 2
二、图的邻接表存储表 B C
示 0
3
A D
0 A 1 4
1 B 0 4 5
E 4
5 F
2 C 3 5 同一个顶点发出的边
3 D 2 5 链接在同一个边链表中
，每一个链结点代表一
4 E 0 1 条边 ( 边结点 ), 结点中有
5 F 1 2 3 另一顶点的下标 adjvex
和指针 nextedge 。

35. 有向图的邻接
表 A
0 A 1 4∧
B E 1 B 2∧
C D 2 C 3∧
在有向图的邻接表 3 D 0 1∧
中 , 不易找到指向 4 E 2∧
该顶点的弧。

36. A
有向图的逆邻接
B E
表
在有向图的邻接 C D
表中，对每个顶 0 A 3 ∧
点，链接的是指 3 0 ∧
1 B
向该顶点的弧。
2 C 4 ∧
3 D 2 ∧
4 E 0 ∧

37. 弧的结点结 adjvex nextarc info
构
typedef struct ArcNode {
int adjvex; // 该弧所指向的顶点的位置
struct ArcNode *nextarc;
// 指向下一条弧的指针
InfoType *info; // 存储和弧相关的信息 , 如权
值
} ArcNode;

38. 顶点的结点结 data firstarc
构
typedef struct VNode {
VertexType data; // 顶点信息
ArcNode *firstarc;
// 指向第一条依附该顶点的弧
} VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM];

39. 图的结构定义
typedef struct {
AdjList vertices; // 顶点列表
int vexnum, arcnum; // 顶点数和弧数
int kind; // 图的种类标志
} ALGraph;

40. 邻接表表示法特点：
1 ）对于无向图 |V|=n,|E|=e. 其邻接表需
要 n 个头结点和 2e 条边 .
2 ）顶点 vi 的度：在无向图中等于第 i
个链表中的结点数；在有向图邻接表
中 , 第 i 行的结点数等于顶点 i 的出度
，在有向图逆邻接表中 , 第 i 行的结
点数等于顶点 i 的入度。

41. 邻接表表示法特点：
3 ）在邻接表上容易找到任一顶点的第
一个邻接点和下一个邻接点 . 如要判
定任意两个顶点是否相连 , 需搜寻第
i 个或第 j 个链表 .
4 ）设存储顶点的一维数组大小为
n( 顶点数 n), G 占用存储空间：
n+e ； G 占用存储空间与它的顶点数
和边数有关；适用于边稀疏的图；

42. 三、有向图的十字链表存储表
示
有向图的十字链表 Orthogonal
List 是一种将有向图的邻接表和逆
邻接表结合起来得到的一种链表 .
每条弧对应一个弧结点 , 每个
顶点对应一个顶点结点 .

43. 弧的结点结
构
弧尾顶点位置 弧头顶点位置 弧的
相关信息
指向下一个 指向下一个
有相同弧尾 有相同弧头
的结点 的结点
typedef struct ArcBox { // 弧的结构表示
int tailvex, headvex; InfoType *info;
struct ArcBox *hlink, *tlink;
} VexNode;

44. 顶点的结点结
构
顶点信息数据
指向该顶点的 指向该顶点的
第一条入弧 第一条出弧
typedef struct VexNode { // 顶点的结构表示
VertexType data;
ArcBox *firstin, *firstout;
} VexNode;

45. 有向图的结构表示 ( 十字链表 )
typedef struct {
VexNode xlist[MAX_VERTEX_NUM];
// 顶点结点 ( 表头向量 )
int vexnum, arcnum;
// 有向图的当前顶点数和弧数
} OLGraph;

46. 0 1
A B
2 C D 3
0A 0 1 0 2
1 B
2C 2 0 2 3
3D 3 0 3 1 3 2

47. 建立有向图的十字链表算法
输入 n 个顶点和 e 条弧的信息 , 构
建有向图的十字链表 .
Status CreateDG(OLGraph &G)
// 采用十字链表 , 构造有向图 G ( G . kind =D G )
{ scanf(&G.vexnum,&G.arcnum,&IncInfo);
// 读入图的顶点数和边数及相关信息
for(i=0;i<G.vexnum;++i){ // 构造表头信息
scanf(&G.xlist[i].data); // 输入顶点数据
G.xlist[i].firstin = NULL;
G.xlist[i].firstout = NULL; // 指针初始化
}
...

48. 建立有向图的十字链表算法
For (k=0; k<G.arcnum;++k) { // 输入各弧构造十字链
表
scanf(&v1,&v2); // 输入一条弧的起点和终点
i = LocateVex(G,v1); j= LocateVex(G,v2) ;
// 确定 v1 和 v2 在 G 中的位置
p=(ArcBox*)malloc(sizeof(ArcBox));
*p={i,j,xlist[j].firstin,G.xlist[i].firstout,NULL}; // 对弧点赋值
G.xlist[j].firstin = G.xlist[i].firstout = p;
// 完成在如弧和出弧链头的插入
if(IncInfo) Input(*p->infor); // 若弧含有相关信息 , 则
输入
}} //CreateDG

49. 建立有向图的十字链表算法
l 在建立邻接表或逆邻接表时 , 若输入
的顶点信息即为顶点的编号 , 则时间复
杂度为 O ( n+e ) . 否则要先查找顶点 , 确
定其在图中的位置 , 此时的时间复杂度
为 O ( n* e ) .

50. 四 . 无向图的邻接多重表存储
表示
邻接表中每一条边 (vi,vj) 有两
个结点 , 分别在第 i 个和第 j 个链表中 .
给在面向边的操作中带来不便 , 因为需
要找到表示同一条边的两个结点 . 因此 ,
这种情况下往往采用邻接多重表来存储
图的信息 .

51. 边的结构 mark ivex ilink jvex jlink info
typedef struct Ebox {
VisitIf mark; // 访问标记
int ivex, jvex;
// 该边依附的两个顶点的位
置
struct EBox *ilink, *jlink;
// 分别指向依附这两个顶点的下一
条边

52. 顶点的结构表示 data firstedge
typedef struct VexBox {
VertexType data;
EBox *firstedge; // 指向第一条依附该顶点的边
} VexBox;
无向图的结构表示
typedef struct { // 邻接多重表
VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM];
int vexnum, edgenum;
} AMLGraph;

53. 0A B 1
2C
3 D E 4
0 A 0 1 0 3
1 B
2 C 2 1 2 3
3 D
4 E 4 1 2 4