Potenciación

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Potenciación

  1. 1. Prof. Wenceslao Quispe Ticona Matem´ ticas a ´ POTENCIACION Si se tiene un producto de factores iguales, entonces se puede expresar como una potencia. Ejercicio 0.0.1. Observa el ejemplo y escribe en forma de potencia estos productos: 1) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 4) 9 × 9 = 7) 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 2) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 5) 4 × 4 × 4 × 4 = 8) 2 × 2 = 3) 8 × 8 × 8 = 6) 5 × 5 × 5 = 9) 10 × 10 × 10 = Potenciacion de numeros naturales ´ ´ Ejercicio 0.0.2. Desarrolla y encuentra las potencias. ´ ´ Es la operacion que consiste en multiplicar un numero llamado base por si mismo, tantas veces como lo indica ´ otro llamado exponente; al resultado de esta operacion se le denomina potencia. 1. 33 = 3 × 3 × 3 = 27 10. 35 = 2. 72 = 11. 1200 = Ojo: 52 nos dice en palabras: “multiplica al n´ mero cinco u por s´ mismo dos veces.” ı 3. 54 = 12. 44 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 4. 82 = 13. 83 = 5. 122 = 14. 26 = 6. 32 = 15. 93 = 7. 43 = 16. 123 = 8. 113 = 17. 154 = 9. 25 = 18. 1203 = 52 = 5 × 5 = 25 Ojo: 25 nos dice en palabras: “multiplica al n´ mero dos u por s´ mismo cinco veces.” ı Definicion ´ ´ ´ Si a y n son numeros naturales, la potencia n-esima del ´ numero a se define del siguiente modo: an = a × a × a...a n−veces T´ rminos de la potenciacion e ´ Exponente Base 23 = 8 Potencia Ejercicio 0.0.3. Indica en cada caso cu´ l es la Base y cu´ l el Exponente: a a 52 ⇒ 5 es la base, 2 el exponente 32 ⇒ (−3)5 ⇒ 50 ⇒ − 42 ⇒ 63 ⇒ (−3)4 ⇒ 102 ⇒ ´ ¿Como se leen las potencias? Una potencia se puede leer de distintas formas: 52 = 25 23 = 8 24 = 16 Se lee: Se lee: Se lee: Tambien se lee: Tambien se lee: Tambien se lee: “5 al cuadrado es igual a 25” “2 al cubo es igual a 8” “2 elevado a la cuarta es igual a 16” “2 a la cuarta es igual a 16” “2 a la cuatro es igual a 16” “La cuarta potencia de dos es igual a 16” 1 Cuando el Cuando el 1ra forma 2da forma 3ra forma 4ta forma exponente es dos exponente es tres para cualquier exponente para cualquier exponente para cualquier exponente para cualquier exponente
  2. 2. ´ Potenciacion Matem´ ticas a ´ ´ POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS ´ Observemos las siguientes potenciaciones. En ellas, la base es un numero entero y el exponente es un ´ numero natural. § § § ¤ + (+4)3 = (+4) · (+4) · (+4) = ¦ 64 ¥ ¤ § ¤ § ¤ + (−5)2 = (−5) · (−5) = ¦ 25 ¥ ¤ + (−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = ¦ 16 ¥ − (−3)3 = (−3) · (−3) · (−3) = ¦ 27 ¥ + (+3)4 = (+3) · (+3) · (+3) · (+3) = ¦ 81 ¥ − (−6)3 = (−6) · (−6) · (−6) = ¦ 216 ¥ § ¤ El resultado, es decir, la potencia, se obtiene multiplicando la base por s´ misma de tal manera que en el ı desarrollo la base aparece como factor tantas veces como indica el exponente. ´ El signo de la potencia se obtiene aplicando la regla de los signos de la multiplicacion de enteros: ´ iplicacion mult Ley de signos de la ´ ´ as da mas ´ + · + = + Mas por m da menos enos ´ + · − = − Mas por m ´ por menos da mas − · − = + Menos ´ r mas da menos − · + = − Menos po El signo de la m ultiplicacion tam ´ bien se simbo ´ liza por un pu nto (·): 2·2=4 ´ ´ ´ La potencia n-esima de un numero entero es el resultado de una multiplicacion en la que ´ el numero aparece como factor n veces. an = a × a × a . . . a donde a ∈ Z , n ∈ N, y n mayor que > 1 n−veces (−5)4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625 (−7)3 = (−7) · (−7) · (−7) = −343 ´ REGLA DE SIGNOS DE LA POTENCIACION 1° Regla: Toda potencia de exponente par siempre es positiva. (+) par = + Ejemplo −→ (+2)4 = +16 (−) par = + Ejemplo −→ (−3)2 = +9 2° Regla: Toda potencia de exponente impar tiene el mismo signo de la base. (+)impar = + Ejemplo −→ (+2)3 = +8 (−)impar = − Ejemplo −→ (−2)5 = −32 Ejercicio 0.0.4. Escribe con numeros. ´ a) b) c) d) Positivo 8 elevado al cuadrado. Negativo 2 elevado a la cuarta potencia. Positivo 15 elevado al cubo. Negativo 16 elevado al cuadrado. e) Negativo 15 elevado a la sexta potencia. f) Positivo 7 elevado a la quinta. g) Positivo 3 elevado a la cuarta potencia. h) Negativo 2 elevado a la sexta potencia. 2
  3. 3. Prof. Wenceslao Quispe Ticona Matem´ ticas a Ejercicio 0.0.5. Expresa como un desarrollo de factores y calcula la potencia. f) (−55)2 = a) (−5)3 = (−5) · (−5) · (−5) = -125 b) (−6)4 = g) (+8)3 = c) (−9)5 = h) (−10)3 = d) (+12)3 = e) (+22)3 = i) (+3)5 = Ejercicio 0.0.6. Completa las tablas ´ Potenciacion Base (−2) Exponente ´ Potenciacion Potencia 16 Exponente Potencia 4 (+32) (−3)5 Base 64 16 3 (−8) (+7) 3 Ejercicio 0.0.7. Sin encontrar la potencia determina su signo. a) (−8)6 = + d) (−17)470 = g) (+20)17 = j) (+200)17 = b) (−19)5 = e) (+30)30 = h) (−20)17 = k) (+15)371 = c) (−278)23 = f) (+12)16 = i) (−13)20 = l) (−23)268 = Ejercicio 0.0.8. Completa el cuadro siguiente. Forma potencial Base Exponente (+2) 7 (−10) (−3) Forma desarrollada 4 Potencia 6 (−4) · (−4) · (−4) · (−4) · (−4) 125 Para tener en cuenta: ´ La expresion (− a)n no significa lo mismo que − an . (− a)n = − an • (−7)2 = (−7) · (−7) = +49 • −72 = − (7 · 7) = − (49) = −49 Ejercicio 0.0.9. Calcula las siguientes potencias: a. (−8)2 = +64 e. (−16)3 = i. (+5)3 = b. −82 = f. −26 = j. (−7)2 = c. (−9)3 = g. (−7)3 = k. −92 = d. −93 = h. −64 = l. (−5)−2 = 3
  4. 4. ´ Potenciacion Matem´ ticas a EXPONENTE CERO, EXPONENTE UNO Y EXPONENTE NEGATIVO Exponente cero ´ Un numero entero (distinto de cero) elevado a exponente cero, es igual a uno. Exponente uno ´ Un numero entero (distinto de cero) elevado a exponente uno, es igual a ese mismo ´ numero. a1 = a a0 = 1 donde a = 0 Ejemplos: Ejemplos: 41 = 4 0 2 =1 61 = 6 50 = 1 2501 = 250 1500 = 1 Se conviene en no escribir el exponente 1 porque se lo sobreentiende. 10000 = 1 Ejercicio 0.0.10. Calcula las potencias de exponente cero y exponente uno. 30 = (−4)1 = 650 = 630 = Ejercicio 0.0.11. Observa el ejemplo y resuelve. 1) 2 + 51 + 4 + 30 − 3 = 3541 = (−7)0 = 10000 = 57431 = 2) 4 + 101 − 4 + 3 − 80 = 15240 = (−64)0 = 3) 50 − 7 + 120 − 31 + 4 − 7 = 2+5+4+1−3= 12 − 3 = £   = ¢9 ¡ Exponente negativo ´ Un numero entero (distinto de cero) elevado a un exponente negativo, es igual a 1 dividido entre el ´ numero entero elevado al mismo exponente pero con signo positivo. a−n = 1 an Ejercicio 0.0.12. Resuleve las siguientes potencias. 1. 3−3 = 2. (−3)−2 = donde a = 0, n ∈ N 3. 4−2 = Ejemplos: 1 1 = 4 16 2 1 1 5−2 = 2 = 5 25 1 1 1 = =− (−4)−3 = 3 −64 64 (−4) 2−4 = 4. (−2)−3 = 5. (−1)−5 = 6. 5−2 = Para tener en cuenta. § ¤ ´ • El 1 elevado a cualquier numero entero es igual a 1: ¦ n = 1 ¥ 1 § ¤ ´ • El 0 elevado a cualquier numero entero positivo es igual a 1: ¦ n = 1; n > 0 ¥ 0 § ¤ ´ • Un numero entero (distinto de 0) elevado a 0 es igual a 1: ¦ 0 = 1; n = 0 ¥ n § ¤ ´ ´ • Cualquier numero entero elevado a 1 es igual al mismo numero: ¦ 1 = n ¥ n 4
  5. 5. Prof. Wenceslao Quispe Ticona Matem´ ticas a ´ PROPIEDADES DE LA POTENCIACION ´ FORMULACION ´ Multiplicacion de potencias de la misma base EJEMPLOS Es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. PROPIEDAD • 32 · 33 = 32+3 = 35 § • (−4)−2 · (−4)7 = (−4)−2+7 = (−4)5 ¤ m+n am n ¦ ·a =a ¥ • 22 · 2−3 · 24 · 2−5 = 22+(−3)+4+(−5) = 26−8 = 2−2 Es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes. ´ Division de potencias de la misma base § • 57 ÷ 55 = 57−5 = 52 • 7−5 ÷ 7−4 = 7−5−(−4) = 7−5+4 = 7−1 ¤ • (−2)3 ÷ (−2)−2 = (−2)3−(−2) = (−2)3+2 = (−2)5 n m−n am ¦ ÷a =a ¥ Es igual a la primera base elevada al producto de los exponentes. Potencia de una potencia § ¥ ( am )n = am·n § ¦ ¥ § ¦ 4 2 = (−5)3×2 = (−5)6 = 72×4×2 = 716 • (−2)3 · (−3)3 = [(−2) · (−3)]3 = 63 • (8 ÷ 4)2 = 82 ÷ 42 • [6 ÷ (−4)]3 = 63 ÷ (−4)3 ¤ ¥ ( a ÷ b)n = an ÷ bn 2 • ( 3 · 4 ) 2 = 32 · 42 La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la potencia del divisor. Potencia de ´ una division = 24×3 = 212 • ( 2 · 3 ) 5 = 25 · 35 ¤ ( a · b)n = an · bn 72 • La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. Potencia de una ´ multiplicacion 3 • (−5)3 ¤ ¦ • 24 • 104 ÷ 44 = (10 ÷ 2)4 = 54 Ejercicio 0.0.13. Expresa el resultado en forma de potencia aplicando las propiedades de la potenciaci´ n. o 1) 52 · 55 · 54 = 5 2+5+4 = 511 2 3) (−9) ÷ (−9) = 5) 6) (−2)3 32 · 22 2 5 10) (−2) · (−2) · (−2) 11) (+8)5 ÷ (+8)3 = = 4 = = 7) (−5)3 · (+2)3 = (−2)−3 2 = 2 9) (+6) ÷ (−3) = 5 3 15) 2 2) 86 ÷ 84 = 4) 52 8) 83 ÷ 43 = −4 16) (−6)3 · (+5)3 = = 17) (−8)−2 ÷ (+4)−2 = 12) 45 ÷ 48 = 18) (−2)3 · (−2)4 · (−2)5 = 13) (−3)6 ÷ (−3)6 = 19) ( a · b · c)m = 14) (−5)2 3 20) am · an · a p = = 5
  6. 6. ´ Potenciacion Matem´ ticas a ANALISIS 2 es igual a 23·2 ? ¿Por qu´ 23 · 24 es igual a 23+4 ? e ¿Por qu´ 23 e Recordemos que 23 nos indica que debemos ´ multiplicar el numero 2 por si mismo 3 veces. De ´ manera semejante, la expresion 24 nos indica que ´ debemos multiplicar el numero 2 por s´ mismo 4 ı veces. Entonces, al multiplicar de tiene: ´ Es claro que el numero 2 nos indica que debemos ´ ´ multiplicar el numero que aparece entre parentesis por s´ mismo 2 veces. Pero por la primera propiedad, ı ´ que nos dice que cuando se estan multiplicando potencias con la misma base los exponentes se suman, el exponente resultante debe ser el producto de 3 por 2 Esto es: 23 · 24 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 27 3 veces 23 4 veces 2 = 23 · 23 = 23+3 = 26 2 veces Vemos que en total terminamos multiplicando 7 ´ veces el numero 2, por eso debemos sumar los exponentes: Para simplificar este proceso largo multiplicamos los exponentes 3 por 2 23 23 · 24 = 23+4 = 27 2 = 23·2 = 26 Observa el ejemplo: 84 · 162 = 23 4 · 24 2 = 212 · 28 = 220 Ejercicio 0.0.14. Expresa como una sola potencia aplicando las propiedades de la potenciaci´ n o 1) 34 · 92 = 6) 81−1 · 3−3 = 2) 84 · 162 = 7) 92 · 27 = 3) 54 · 253 = 8) 362 · 6 = 4) 47 · 32 = 9) 100 · 22 = 5) 16−1 · 23 = 10) 81 · 42 = Observa el ejemplo y analiza. 25 · 16 = 52 · 42 Expresamos el 25 como potencia de 52 y 16 como potencia de 42 = (5 · 4)2 Aplicamos la propiedad distributiva reciprocamente ( a · b)n = an · bn = 202 = 400 Multiplicamos dentro del parentesis Encontramos la potencia Ejercicio 0.0.15. Aplica las propiedades de la potenciaci´ n igual que en el ejemplo anterior. o 1) 16 · 9 = 3) 16 · 64 = 5) 25 · 4 = 2) 27 · 8 = 4) 4 · 81 = 6) 36 · 49 = 6
  7. 7. Prof. Wenceslao Quispe Ticona Matem´ ticas a 25 ¿Por qu´ 3 es igual a 25−3 ? e 2 ´ En el numerador, 25 nos indica que debemos multiplicar el numero 2 por si mismo 5 veces. ´ En el denominador, 23 nos indica que debemos multiplicar el numero 2 por si mismo 3 veces. Entonces se tiene: 2·2·2·2·2 25 = 3 2·2·2 2 Cancelando factores en el numerador y el denominador. 2·2·2·2·2 25 ¡ ¡ ¡ = = 2 · 2 = 22 2·2·2 23 ¡ ¡ ¡ De los cinco factores que hab´a en el numerador, se cancelaron 3 con los factores que ı estaban en el denominador. Por eso restamos los exponentes. 25 = 25−3 = 22 23 Ejercicio 0.0.16. Indica la propiedad aplicada en cada numeral 1. 1200 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 01 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. (2 × 3)3 = 23 × 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. 2001 = 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 = 4 2×3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. (20 ÷ 5)3 = 203 ÷ 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 150 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. (30 ÷ 5)2 = 302 ÷ 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 42 Ejercicio 0.0.17. Miscelanea 1) 23 + 32 − 52 = 9) 122 1 17) 42 · (−2)1 · 20 = = 18) 52 · (−2)2 · 22 = 2) 22 + 33 − 4‘2 = 10) 74 ÷ 7−3 = 3) 52 · 22 + 32 − 34 = 11) 63 ÷ (−3)3 = 4) (−2)3 + 52 (−7)1 + (−9)0 = 12) 62 ÷ (2)2 = 5) 24 6) 6−2 4 3 · (−4) = 13) (−5) ÷ (−5) 3 ·6= 2 19) (−3)−2 · (−3)6 · (−3)−4 = 20) (−2)3 · 24 · 2−3 · (−2)2 = −2 = 3 14) (−12) ÷ (−6) = 5 10 13 7) (−2) · (−2) = 15) (−15) 8) 23 · (−2)4 = 16) (−6)2 ÷ (2)2 = ÷ (−15) = 7 21) (−3)2 22) 23 −3 −2 3 = = 42 · 4 − 3 · 45 23) −1 3 2 = 4 ·4 ·4 24) (−2)3 · (−2)−4 · (−2) = [(−2)2 ]3 · (−2)−2

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