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  1. 1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN. CURSO DE NIVELACIÓN DE CARRERA MATEMÁTICA NIVELACIÓN UNIDAD 4 – ESTADÍSTICA CLASE 12.1 – MEDIDAS DE DISPERSIÓN
  2. 2. CLASE 12.1 Medidas de dispersión Rango Desviación Varianza
  3. 3. CONTENIDOS UNIDAD 1 ALGEBRA UNIDAD 2 PROPORCIONALIDAD UNIDAD 3 MATEMÁTICA FINANCIERA UNIDAD 4 ESTADÍSTICA Ecuaciones aplicaciones Proporcionalidad Directa Proporcionalidad Inversa Interés simple Descuento simple Medidas de tendencia central aplicaciones Sistemas de ecuaciones y aplicaciones Regla de tres simple aplicaciones Interés compuesto Descuento compuesto Medidas de posición Ecuaciones cuadráticas aplicaciones Regla de tres compuesta aplicaciones Anualidades aplicaciones Medidas de dispersión aplicaciones
  4. 4. CREDITS: This presentation template was created by Slidesgo, including icons by Flaticon, and infographics & images by Freepik CRITERIOS DE EVALUACIÓN INDICADOR NOTA SOBRE 20 PORCENTAJE DE LA NOTA FINAL PONDERACIÓN Evaluación formativa – Aprendizaje y actividades Colaborativas (grupales) 20 30% 6 puntos Evaluación formativa – trabajo individual 20 35% 7 puntos Evaluación sumativa final 20 35% 7 puntos Total 20 100% 20 puntos
  5. 5. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Definición A través del cálculo de diferentes fórmulas, arrojar un valor numérico que ofrezca información sobre el grado de variabilidad de una variable, son números que indican si una variable se mueve mucho, poco, más o menos que otra. Características Muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Nos informa sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución. Cuanto mayor sea ese valor, mayor sea la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será la media Indican si esos datos están próximos entre sí o sí están dispersos.
  6. 6. Diferencias entre medidas de dispersión y tendencia central Medidas de dispersión  Permite apreciar la distancia de los valores de la variable al valor central.  Son más sensibles a variaciones.  Pueden ser medidas relativas o absolutas.  Cuantifican la separación de los valores de una distribución.  Permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia central. Medidas de tendencia central  Permite apreciar que tanto se asimilan los datos entre sí.  Menos sensibles a la variación.  Se puede calcular aunque el intervalo carezca de límite.  Estudia las características de los valores centrales.  Fragmenta la cantidad de datos en partes iguales. Tipos • Rango • Desviación media y estándar • Varianza • Coeficiente de variación
  7. 7. Tipos de Medida de Dispersión Rango Es igual a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de una población o muestra estadística. Desviación media Es igual a la suma de los valores absolutos de las diferencias de los datos y la media de la muestra, todo dividido por el tamaño de la muestra. 𝑹 = 𝑿𝒎á𝒙 − 𝑿𝒎í𝒏 𝑫𝒙 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙𝒊 − 𝒙 𝑵
  8. 8. Rango 𝑹 = 𝑿𝒎á𝒙 − 𝑿𝒎í𝒏 R Rango 𝑿𝒎á𝒙 Es el valor máximo de la muestra o población. 𝑿𝒎í𝒏 Es el valor mínimo de la muestra o población estadística. 𝒙 Variable sobre la que se pretenden calcular la varianza. Desviación media 𝑫𝒙 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙𝒊 − 𝒙 𝑵 𝑫𝒙 Desviación media 𝒙𝒊 Observación número 𝑋𝑖 puede tomará valores entre 1 y n. 𝐍 Número de observaciones. 𝒙 Es la media aritmética de la variable X.
  9. 9. Las ganancias de la primera mitad del año pasado de un estudiante que vende dulces a sus amigos, son las siguientes: Proceso 1. Identificar el valor máximo y mínimo Rango 𝑹 = 𝑿𝒎á𝒙 − 𝑿𝒎í𝒏 Máximo Mínimo $ 34,50 $ 12,50 2. Reemplazar los datos en la ecuación 𝑅 = 34,50 − 12,50 Respuesta: El rango de ganancia en la primera mitad del año pasado es de $22 𝑹 = 𝟐𝟐 Ejemplos Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Ganancia en dólares 16,80 34,50 17,30 12,50 14,10 18,60
  10. 10. 𝒙𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙 𝒙𝒊 − 𝒙 3 3 − 5 = −2 −2 = 𝟐 5 5 − 5 = 0 0 = 𝟎 8 8 − 5 = 3 3 = 𝟑 6 6 − 5 = 1 1 = 𝟏 2 2 − 5 = −3 −3 = 𝟑 4 4 − 5 = −1 −1 = 𝟏 7 7 − 5 = 2 2 = 𝟐 5 5 − 5 = 0 0 = 𝟎 12 Calcular la desviación media del siguiente grupo de datos 3, 5, 8, 6, 2, 4, 7 y 5 1. Se calcula la media aritmética de los datos 𝑥 = 3 + 5 + 8 + 6 + 2 + 4 + 7 + 5 8 𝑥 = 40 8 Desviación media 𝑫𝒙 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙𝒊 − 𝒙 𝑵 2. Se calcula la media aritmética de los datos 𝒙 = 𝟓 𝐷𝑥 = 12 8 𝑫𝒙 = 𝟏, 𝟓 Respuesta: La desviación media del grupo de datos es 1,5.
  11. 11. Varianza 𝝈2 La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. Ecuación Datos no agrupados Datos agrupados También es un valor número que cuantifica el grado de dispersión de los valores de una variable respecto a su media aritmética. 𝜎2 = 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑁 𝜎2 = 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥 2 ∗ 𝑓𝑖 𝑁
  12. 12. Varianza 𝝈𝟐 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 ∙ 𝒇𝒊 𝑵 𝐱 Variable sobre la que se pretenden calcular la varianza. 𝒙𝒊 Observación número 𝑋𝑖 puede tomará valores entre 1 y n. 𝐍 Número de observaciones. 𝒙 Es la media aritmética de la variable X. Desviación estándar 𝝈 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 ∙ 𝒇𝒊 𝑵 𝐱 Variable sobre la que se pretenden calcular la varianza. 𝐱𝐢 Observación número 𝑋𝑖 puede tomará valores entre 1 y n. 𝐍 Número de observaciones. 𝐱 Es la media aritmética de la variable X.
  13. 13. 𝒙 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊 𝑵 𝑥 = 1 203 30 𝒙 = 𝟒𝟎, 𝟏 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 ∙ 𝑓𝑖 = 1 203 𝑁 = 30 2. Se sustituyen los datos en la ecuación conocida. 𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 ∙ 𝒇𝒊 165 -12,6 158,76 952,56 438 -3,6 12,96 155,52 364 5,4 29,16 233,28 109 14,4 207,36 414,72 127 23,4 547,56 1 095,12 1 203 2 851,2 1. Se calcula la media aritmética Se realiza una encuesta a un grupo de estudiantes acerca del precio que pagarían mensualmente por su servicio de internet, para lo cual se presenta la siguiente tabla de datos. Calcular la varianza, la desviación estándar. Interval o 𝒙𝒊 𝒇𝒊 [23,32) 27,5 6 [32, 41) 36,5 12 [41, 50) 45,5 8 [50, 59) 54,5 2 [59, 68] 63,5 2 TOTAL 30
  14. 14. 3 . Calcular la varianza 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥 2 ∙ 𝑓𝑖 = 2 851,2 𝝈𝟐 = 𝟗𝟓, 𝟎𝟒 4. Se sustituyen los datos en la ecuación . 𝑁 = 30 Varianza 𝝈𝟐 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 ∙ 𝒇𝒊 𝑵 𝜎2 = 2 851,2 30 Respuestas: De la encuesta a los estudiantes, la varianza es de 95,04. Interval o 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 ∙ 𝒇𝒊 [23,32) 27,5 6 165 -12,6 158,76 952,56 [32, 41) 36,5 12 438 -3,6 12,96 155,52 [41, 50) 45,5 8 364 5,4 29,16 233,28 [50, 59) 54,5 2 109 14,4 207,36 414,72 [59, 68] 63,5 2 127 23,4 547,56 1 095,12 TOTAL 30 1 203 2 851,2 Se realiza una encuesta a un grupo de estudiantes acerca del precio que pagarían mensualmente por su servicio de internet, para lo cual se presenta la siguiente tabla de datos. Calcular la varianza, la desviación estándar.
  15. 15. 5 . Calcular la desviación estándar 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥 2 ∙ 𝑓𝑖 = 2 851,2 𝝈 = 𝟗, 𝟕𝟒𝟗 6. Se sustituyen los datos en la ecuación anterior. 𝑁 = 30 Desviación Estándar o Típica 𝝈 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 ∙ 𝒇𝒊 𝑵 𝜎 = 2 851,2 30 Respuestas: De la encuesta a los estudiantes, la desviación estándar es de 9,749. Se realiza una encuesta a un grupo de estudiantes acerca del precio que pagarían mensualmente por su servicio de internet, para lo cual se presenta la siguiente tabla de datos. Calcular la varianza, la desviación estándar. Interval o 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 ∙ 𝒇𝒊 [23,32) 27,5 6 165 -12,6 158,76 952,56 [32, 41) 36,5 12 438 -3,6 12,96 155,52 [41, 50) 45,5 8 364 5,4 29,16 233,28 [50, 59) 54,5 2 109 14,4 207,36 414,72 [59, 68] 63,5 2 127 23,4 547,56 1 095,12 TOTAL 30 1 203 2 851,2
  16. 16. Coeficiente de variación Definición Razón que existe entre la desviación típica de una distribución y su media aritmética Utilidad Comparar la dispersión de distribuciones que tienen diferentes medias. Comparar la variabilidad entre dos grupos de datos referidos a distintos sistemas de unidades de medida. Ecuación 𝑪𝑽 = 𝝈 𝒙 ∗ 𝟏𝟎𝟎%
  17. 17. Respuestas: De la encuesta realizada a los estudiantes, el coeficiente de variación es de 24,31% Se realiza una encuesta a un grupo de estudiantes acerca del precio que pagarían mensualmente por su servicio de internet, para lo cual se presenta la siguiente tabla de datos. Calcular el coeficiente de variación. Interval o 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 ∙ 𝒇𝒊 [23,32) 27,5 6 165 -12,6 158,76 952,56 [32, 41) 36,5 12 438 -3,6 12,96 155,52 [41, 50) 45,5 8 364 5,4 29,16 233,28 [50, 59) 54,5 2 109 14,4 207,36 414,72 [59, 68] 63,5 2 127 23,4 547,56 1 095,12 TOTAL 30 1 203 2 851,2 7. Calcular el coeficiente de variación 𝒙 = 40,1 𝑪𝑽 = 𝟐𝟒, 𝟑𝟏% 8. Se sustituyen los datos en la ecuación anterior. 𝝈 = 9,749 Coeficiente de variación 𝑪𝑽 = 𝝈 𝒙 ∙ 𝟏𝟎𝟎 % 𝐶𝑉 = 9,749 40,1 ∙ 100 %
  18. 18. BIBLIOGRAFÍA • Universidad Nacional Mayor de San Marcos. (2006). Medidas de posición y de dispersión. Obtenido de: https://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/2006/Estadistica_Descrip /03_cap3.pdf • Liceo Bicentenario Cauquenes. (2020). Estadística – Medidas de Dispersión (Parte 1). Obtenido de: http://www.daemcauquenes.cl/escuelavirtual/index.php/boton/file/LICEO%2 0BICENTENARIO/III%20MEDIO/MATEMATICA/Gu%C3%ADa%20Estad%C3%ADsti ca%20%28Medidas%20de%20dispersi%C3%B3n%29%20Tercero%20Medio.pdf
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