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Fisica ii

Este documento presenta conceptos clave sobre la rotación de cuerpos rígidos, incluyendo desplazamiento angular, velocidad angular, aceleración angular, relaciones entre movimiento rotacional y lineal, energía cinética rotacional y momento de inercia, y aplicaciones de la segunda ley de Newton al movimiento rotacional. El documento también incluye ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.

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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA
ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS”
FISICA II 1
UNIDAD III ROTACION DE CUERPOS RIGIDOS
OBJETIVOS
 Definirá el desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular, y aplicara
estos conceptos a la resolución de problemas físicos.
 Ofrecerá analogías que relacionen los parámetros del movimiento rotacional (ϴ,ω,α) con los
parámetros del movimiento lineal, y resolverá problemas de aceleración angular, la resolución de
problemas sobre la aceleración lineal.
 Escribirá y aplicara las relaciones entre la velocidad o aceleración lineal y la velocidad o
aceleración angular.
 Definirá el momento de inercia de un cuerpo y describirá en qué forma pueden utilizarse esta
cantidad y la velocidad angular para calcular la energía cinética rotacional.
 Aplicara los conceptos de la segunda ley de Newton, trabajo rotacional, potencia rotacional y
cantidad de movimiento angular a la resolución de problemas físicos.
Desplazamiento angular
El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación.
Una medida más fácil de aplicar el desplazamiento angular es el radian (rad).
Un ángulo de 1 rad es un ángulo central cuyo arco s es igual en longitud al radio R.
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ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS”
FISICA II 2
Es más común que el radian se defina por la siguiente ecuación:
R
s

El factor de conversión que permite relacionar radianes con grados se encuentra considerando un
arco de longitud (s) igual a la circunferencia de un circulo 2πR.
Dicho ángulo en radianes se obtiene de la ecuación:
rad
R
R


 2
2




Así tenemos,
radrev 23601 
D e donde observamos que


 3.57
2
360
1

rad
ϴ: desplazamiento angular
S: es el arco de un círculo descrito
R:es el razón de dos distancias(radio)
Rad: es una cantidad sin unidades.
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FISICA II 3
EJERCICIOS EN CLASE
1. Si la longitud del arco s es 6 ft y el radio es de 10 ft, calcule el desplazamiento angular ϴ en
radianes, grados y revoluciones.
2. Un punto situado en el borde de un disco giratorio cuyo radio es de 8 m se mueve a través de un
ángulo de 37° . Calcule la longitud del arco descrito por el punto.
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ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS”
FISICA II 4
VELOCIDAD ANGULAR
Velocidad angular se le llama a la razón de cambio del desplazamiento angular con respecto al
tiempo.
Por lo tanto, si un objeto gira a través de un ángulo (ϴ) en un tiempo ( t ), su velocidad angular
media está dada por:
t

 
La velocidad angular puede expresarse en revoluciones por minuto o revoluciones por segundo
en la mayoría de los problemas físicos es necesario utilizar radianes por segundo.
Puesto que la velocidad de rotación en gran número de problemas técnicos se expresa en
términos de la frecuencia de revoluciones, la siguiente relación será de utilidad:
f 2
EJERCICIOS EN CLASE
1. La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66 cm y da 40 revoluciones en 1 min. (a) ¿Cuál es
su velocidad angular?, (b) ¿Qué distancia lineal se desplazara la rueda?
ω:(letra griega omega) velocidad rotacional.
f:frecuencia
t:tiempo
ω:se mide en radianes por segundo.
f:Se mide en revoluciones por segundo.
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FISICA II 5
ACELERACION ANGULAR
Al igual que el movimiento lineal, el movimiento rotacional puede ser uniforme o acelerado. La
rapidez de la rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión
resultante. Por ejemplo, si la velocidad angular cambia de un valor inicial (ωo) a un valor final (ωf) en un
tiempo (t), la aceleración angular es:
t
of 



La letra griega α (alfa) denota la aceleración angular.
Una forma más útil para esta ecuación es:
tof  
Ahora que hemos introducido el concepto de velocidades angulares iniciales y finales, podemos
expresar la velocidad angular media en términos de sus valores iniciales y finales:
2
of 



Al sustituir esta igualdad para ϖ en la ecuación, se obtiene una expresión más útil para el
desplazamiento angular:
tt
of
2




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FISICA II 6
EJERCICIOS EN CLASE
1. Un volante aumenta su velocidad de rotación de 6 a 12 rev/s en 8s. ¿Cuál es su aceleración
angular?
2. Una rueda de esmeril que gira inicialmente con una velocidad angular de 6 rad/s recibe una
aceleración constante de 2 rad/s2
. (a) ¿Cuál será su desplazamiento angular en 3 s?, (b)
¿Cuántas revoluciones habrá dado?, (c) ¿Cuál es su velocidad angular final?

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  • 1. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 1 UNIDAD III ROTACION DE CUERPOS RIGIDOS OBJETIVOS  Definirá el desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular, y aplicara estos conceptos a la resolución de problemas físicos.  Ofrecerá analogías que relacionen los parámetros del movimiento rotacional (ϴ,ω,α) con los parámetros del movimiento lineal, y resolverá problemas de aceleración angular, la resolución de problemas sobre la aceleración lineal.  Escribirá y aplicara las relaciones entre la velocidad o aceleración lineal y la velocidad o aceleración angular.  Definirá el momento de inercia de un cuerpo y describirá en qué forma pueden utilizarse esta cantidad y la velocidad angular para calcular la energía cinética rotacional.  Aplicara los conceptos de la segunda ley de Newton, trabajo rotacional, potencia rotacional y cantidad de movimiento angular a la resolución de problemas físicos. Desplazamiento angular El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación. Una medida más fácil de aplicar el desplazamiento angular es el radian (rad). Un ángulo de 1 rad es un ángulo central cuyo arco s es igual en longitud al radio R.
  • 2. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 2 Es más común que el radian se defina por la siguiente ecuación: R s  El factor de conversión que permite relacionar radianes con grados se encuentra considerando un arco de longitud (s) igual a la circunferencia de un circulo 2πR. Dicho ángulo en radianes se obtiene de la ecuación: rad R R    2 2     Así tenemos, radrev 23601  D e donde observamos que    3.57 2 360 1  rad ϴ: desplazamiento angular S: es el arco de un círculo descrito R:es el razón de dos distancias(radio) Rad: es una cantidad sin unidades.
  • 3. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 3 EJERCICIOS EN CLASE 1. Si la longitud del arco s es 6 ft y el radio es de 10 ft, calcule el desplazamiento angular ϴ en radianes, grados y revoluciones. 2. Un punto situado en el borde de un disco giratorio cuyo radio es de 8 m se mueve a través de un ángulo de 37° . Calcule la longitud del arco descrito por el punto.
  • 4. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 4 VELOCIDAD ANGULAR Velocidad angular se le llama a la razón de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo. Por lo tanto, si un objeto gira a través de un ángulo (ϴ) en un tiempo ( t ), su velocidad angular media está dada por: t    La velocidad angular puede expresarse en revoluciones por minuto o revoluciones por segundo en la mayoría de los problemas físicos es necesario utilizar radianes por segundo. Puesto que la velocidad de rotación en gran número de problemas técnicos se expresa en términos de la frecuencia de revoluciones, la siguiente relación será de utilidad: f 2 EJERCICIOS EN CLASE 1. La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66 cm y da 40 revoluciones en 1 min. (a) ¿Cuál es su velocidad angular?, (b) ¿Qué distancia lineal se desplazara la rueda? ω:(letra griega omega) velocidad rotacional. f:frecuencia t:tiempo ω:se mide en radianes por segundo. f:Se mide en revoluciones por segundo.
  • 5. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 5 ACELERACION ANGULAR Al igual que el movimiento lineal, el movimiento rotacional puede ser uniforme o acelerado. La rapidez de la rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión resultante. Por ejemplo, si la velocidad angular cambia de un valor inicial (ωo) a un valor final (ωf) en un tiempo (t), la aceleración angular es: t of     La letra griega α (alfa) denota la aceleración angular. Una forma más útil para esta ecuación es: tof   Ahora que hemos introducido el concepto de velocidades angulares iniciales y finales, podemos expresar la velocidad angular media en términos de sus valores iniciales y finales: 2 of     Al sustituir esta igualdad para ϖ en la ecuación, se obtiene una expresión más útil para el desplazamiento angular: tt of 2    
  • 6. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 6 EJERCICIOS EN CLASE 1. Un volante aumenta su velocidad de rotación de 6 a 12 rev/s en 8s. ¿Cuál es su aceleración angular? 2. Una rueda de esmeril que gira inicialmente con una velocidad angular de 6 rad/s recibe una aceleración constante de 2 rad/s2 . (a) ¿Cuál será su desplazamiento angular en 3 s?, (b) ¿Cuántas revoluciones habrá dado?, (c) ¿Cuál es su velocidad angular final?
  • 7. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 7 RELACION ENTRE LOS MOVIMIENTO ROTACIONAL Y LINEAL. El eje de rotación de un cuerpo rígido que gira se puede definir como la línea de partículas que permanecen estacionarias durante la rotación. Se puede tratar de una línea a través del cuerpo, como en el caso de un trompo, o puede ser una línea a través del espacio, como un aro en rotación. En cualquier caso, nuestra experiencia nos dice que cuanto más lejos está la partícula del eje de rotación, mayor es su velocidad lineal. Este hecho se expreso, mediante la formula fRv 2 La partícula de la figura gira a través de un arco s que se describe como Rs  Si la distancia es recorrida en un tiempo (t), la velocidad lineal de la partícula está dada por: t R t s v   Puesto que ϴ/t=ω, la velocidad lineal se puede expresar como una función de la velocidad angular. Rv 
  • 8. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 8 Consideremos de nuevo una partícula que se mueve en un circulo de radio ( R ) y supongamos que la velocidad lineal cambia de cierto valor inicial vo al valor final vf en un tiempo t. La aceleración tangencial aT de dicha partícula está dada por t vv a of T   Podemos expresar también la aceleración tangencial en términos de un cambio en la velocidad angular: R tt RR a ofof T      O bien RaT  Donde α representa la aceleración angular. Debemos distinguir entre la aceleración tangencial, y entre la aceleración centrípeta definida por: R v ac 2  La aceleración tangencial representa un cambio en la velocidad lineal, mientras que la aceleración centrípeta representa tan solo un cambio en la dirección del movimiento. La aceleración resultante puede determinarse calculando el vector suma de las aceleraciones tangencial y centrípeta.
  • 9. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 9 EJERCICIOS EN CLASE 1. Un eje de tracción tiene una velocidad angular de 60 rad/s. ¿a qué distancia del eje deben colocarse unos contrapesos para que estos tengan una velocidad lineal de 12 m/s? 2. Calcule la aceleración resultante de una partícula que se mueve en un circulo de radio 0.5 m en el instante en que su velocidad angular es 3 rad/s y su aceleración angular es 4 rad/s2.
  • 10. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 10 ENERGIA CINETICA ROTACIONAL; MOMENTO DE INERCIA. Hemos visto que una partícula que se mueve en un circulo de radio ( R ) tiene una velocidad lineal dada por Rv  Si la partícula tiene una masa ( m ), tendrá una energía cinética que se obtiene por 222 2 1 2 1 RmmvEk  Un cuerpo rígido como se muestra en la figura anterior se puede considerar formado por muchas partículas de diferentes masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación O. La energía cinética total de un cuerpo será entonces la suma de las energías cinéticas de cada partícula que forma del cuerpo. Así, 22 2 1 rmEk  Puesto que la constante ½ y la velocidad angular ( ω ) son las mismas para todas las partículas, se puede reorganizar la ecuación anterior y obtener   22 2 1 mrEk  La cantidad entre paréntesis, Σmr2 , tiene el mismo valor para un cuerpo dado independientemente de su estado de movimiento. Se define esta cantidad como el momento de inercia y se representa por I:  2 33 2 22 2 11 rmrmrmI
  • 11. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 11 O bien 2 mrI  La unidad del SI para I es el kilogramo-metro al cuadrado y la unidad del SUEU es el slug-ft cuadrado. Utilizando esta definición, podemos expresar la energía cinética rotacional de un cuerpo en términos de su momento de inercia y de su velocidad angular. 2 2 1 IEk  Note la similitud entre los términos m para el movimiento lineal e I para el movimiento rotacional. Ejercicio Calcule el momento de inercia para el sistema de la siguiente figura. El peso de las barras que unen las masas es despreciable y el sistema gira con una velocidad angular de 6 rad/s. ¿Cuál es la energía cinética rotacional?(Considere que las masas están concentradas en un punto
  • 12. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 12 LA SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO EN LA ROTACION Suponga que analizamos el movimiento de rotación de un cuerpo rígido de la figura anterior. Considere a una fuerza ( F ) que actúa sobre la pequeña masa ( m ), indica por la porción sombreada del objeto, a una distancia ( r ) del eje de rotación.
  • 13. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 13 La fuerza ( F ) aplicada en forma perpendicular a r hace que el cuerpo gire con una aceleración tangencial: aT=αr donde α es la aceleración angular. Partiendo de la segunda ley de Newton del movimiento, F=maT=mαr Multiplicando ambos lados de esta relación por r queda Fr=(mr2 )α La cantidad Fr se reconoce como el momento de torsión producido por la fuerza ( F ) con respecto al eje de rotación. Por lo tanto, para la masa (m) escribimos τ = (mr2 )α Se puede derivar una ecuación similar para todas las demás porciones del objeto que gira. Sin embargo, la aceleración angular será constante para cada porción independientemente de su masa o de su distancia con respecto al eje. Por consiguiente, el momento de torsión resultante en todo el cuerpo es: τ = (Σmr2 )α o bien, τ = Iα Momento de torsión = momento de inercia X aceleración angular
  • 14. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 14 La ley del movimiento rotacional de Newton se enuncia como sigue: Un momento de torsión resultante aplicado a un cuerpo rígido siempre genera una aceleración angular que es directamente proporcional al momento de torsión aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo. Ejercicio en clase 1. Un disco de esmeril de radio 0.6 m y 90 kg de masa gira a 460 rpm. ¿Qué fuerza de fricción, aplicada en forma tangencial al borde, hará que el disco se detenga en 20 s?
  • 15. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 15 TRABAJO Y POTENCIA ROTACIONALES El trabajo como el producto de un desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. Ahora consideremos el trabajo realizado en el desplazamiento rotacional bajo influencia de un momento de torsión resultante. Considere la fuerza F que actúa al borde de una polea de radio ( r ) , como se muestra en la siguiente figura. El efecto de dicha fuerza es hacer girar la polea a través de un ángulo ( ϴ ) mientras el punto en el que se aplica la fuerza se mueve una distancia ( S ). La distancia del arco ( S ) se relaciona con ϴ mediante S = rϴ Así, el trabajo de la fuerza ( F ) es por definición Trabajo = FS = Frϴ Pero Fr es el momento de torsión debido a la fuerza, por lo tanto Trabajo = τϴ El ángulo ( ϴ ) debe expresarse en radianes en cualquier sistema de unidades de modo que el trabajo pueda expresarse en libras-pie o joules. La energía mecánica generalmente se transmite en la forma de trabajo rotacional. Cuando hablamos de la potencia de salida que desarrollan las maquinas, lo que nos interesa es la rapidez con que se realiza el trabajo rotacional.
  • 16. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 16 Por lo tanto, la potencia rotacional puede determinarse tt trabajo Potencia   Puesto que ϴ/t representa la velocidad angular media ϖ, escribimos Potencia = ϖτ Observe la similitud entre esta relación y su análoga, P=Fv, obtenida anteriormente para el movimiento lineal. Ambas medidas son una potencia media. EJERCICIO EN CLASE 1. Una cuerda de 60 cm de radio tiene un momento de inercia de 5 kg X m2 . Se aplica una fuerza constante de 60 N al borde de ella. (a) Suponiendo que parte del reposo, ¿Qué trabajo se realiza en 4 s?, (b) ¿Qué potencia se desarrolla?
  • 17. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 17 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Considere una partícula de masa ( m ) que se mueve en un circulo de radio ( r ), como se muestra en la siguiente figura (a). Si su velocidad lineal es v, tendrá una cantidad de movimiento lineal p=mv. Con respecto al eje de rotación fijado, definimos la cantidad de movimiento angular (L) de la partícula como el producto de su cantidad de movimiento lineal por la distancia perpendicular que va del eje a la partícula que gira. L(partícula) = mvr Ahora consederemos la definición de la cantidad de movimiento angular cuando esta se aplica a un cuerpo rígido extenso. La figura (b) describe este tipo de cuerpo, el cual gira alrededor de su eje 0. Cada partícula del cuerpo tiene una cantidad de movimiento angular. Sustituyendo v=ωr, cada partícula tiene una cantidad de movimiento angular dada por: mvr = mωr2 = ( mr2 )ω Puesto que el cuerpo es rígido, todas las partículas que lo forman tienen la misma velocidad angular, y la cantidad de movimiento angular del cuerpo es L = (Σmr2 )ω Por lo tanto, la cantidad de movimiento angular total es igual al producto de la velocidad angular del cuerpo por su momento de inercia: L = Iω Observe que la unidad del SI de la cantidad de movimiento angular es kg X m2 /s. La unidad del SUEU es slug X ft2 /s.
  • 18. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 18 EJERCICIO EN CLASE 1. Una barra uniforme delgada de 1 m de largo tiene una masa de 6 kg. Si la barra se apoya sobre su centro y gira con una velocidad de 16 rad/s, calcule su cantidad de movimiento angular. CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Podemos entender mejor la definición de cantidad de movimiento angular si consultamos de nuevo la ecuación fundamental del movimiento angular, τ = Iα. Recordando la ecuación que define la aceleración angular, t of     Podemos escribir la segunda ley de Newton como t I of     of IIt   Impulso angular = cambio en cantidad de movimiento angular El producto τt se define como impulso angular. Si no se aplica ningún momento de torsión al cuerpo que gira, podemos establecer que τ = 0, quedando 0 = Iωf – Iωo Iωf = Iωo Cantidad de movimiento angular final = cantidad de movimiento angular incial
  • 19. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 19 La conservación de la cantidad de movimiento angular se enuncia: Si la suma de los momentos de torsión externos que actúan sobre un cuerpo o sistema de cuerpos es igual a cero, la cantidad de movimiento angular permanece inalterado. Este enunciado resulta verdadero aun en el caso de que el cuerpo que gira no sea rigido, sino que pueda cambiar su forma de tal modo que su momento de inercia cambie. En este caso, la velocidad angular también cambia de tal modo que el producto Iω siempre es constante. Los patinadores, clavadistas y acróbatas controlan la rapidez con que giran sus cuerpos extendiendo o encogiendo sus extremidades para aumentar o disminuir su velocidad angular. Ejercicio en clase Suponga que la mujer que sostiene las pesas con los brazos extendidos en la sig. Figura tiene una inercia rotacional de 6 kg x m2 y que la inercia rotacional disminuye a 2 kg x m2 cuando las pesas junto a su cuerpo. Con las pesas en la posición extendida, ella empieza a girar a 1.4 rev/s. ¿Cuál será su rapidez de rotación cuando ella acerca las pesas junto a su cuerpo?
  • 20. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 20 UNIDAD IV MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE OBJETIVOS  Describirá y aplicara la relación entre la fuerza y el desplazamiento en el movimiento armónico simple.  Usara el círculo de referencia para describir la variación de la magnitud, la dirección del desplazamiento, la velocidad y la aceleración en el movimiento armónico simple.  Escribirá y aplicara formulas para la determinación del desplazamiento x, la velocidad v, o la aceleración a en términos de tiempo, frecuencia y amplitud.  Escribirá y aplicara la relación entre la frecuencia del movimiento y la masa de un objeto que vibra, cuando se conoce la constante del resorte.  Calculara la frecuencia o periodo en el movimiento armónico simple cuando se conocen la posición y la aceleración.  Describirá el movimiento de un péndulo simple y calculara la longitud necesaria para producir una determinada frecuencia. MOVIMIENTO PERIÓDICO Movimiento periódico: es aquel en el cual un cuerpo se mueve de un lado a otro, sobre una trayectoria fija, regresando a cada posición y velocidad después de un inte valo de tiempo definido. Movimiento armónico simple: es un movimiento periódico que tiene lugar en ausencia de fricción y es producido por una fuerza de restitución que es directamente proporcional al desplazamiento y tiene una dirección opuesta a este.
  • 21. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 21 Periodo ( T ) : se define como el tiempo para realizar un recorrido completo, u oscilación. Frecuencia ( f ) : es el numero de oscilaciones completas por unidad de tiempo. T f 1  EL CIRCULO DE REFERENCIA F=-KX es una relación empírica conocida como la Ley de Hooke. Aplicamos la segunda ley de newton en la ecuación anterior donde se verá que la aceleración también es proporcional al desplazamiento: F = ma = -KX tenemos X m K a  Donde: m=masa K=constante X= desplazamiento a=aceleración NOTA: Se usa el signo menos porque la aceleración siempre se dirige hacia el centro de la oscilación.
  • 22. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 22 Donde : P=Punto de referencia (posición) Q=proyección A= amplitud ϴ =ángulo R=radio X= desplazamiento Vt=velocidad lineal B y C = puntos de referencia ω = Velocidad angular El desplazamiento x de la proyección: X = A cos ϴ Angulo ϴ = ωt por lo tanto el desplazamiento como una función de la velocidad angular del punto de referencia: X = Acosϴ = A cos ωt La velocidad angular(ω) se relaciona con la referencia de revolución. ω = 2πf donde: ω = Se expresa en radianes por segundo f=Es el numero de revoluciones por segundo (rev/s) Sustituyendo ω en la ecuación anterior X = A cos 2 π f t Nota: X siempre se mide a partir del centro de la oscilación.
  • 23. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 23 EJERCICIOS EN CLASE MOVIMIENTO PERIODICO Y EL CIRCULO DE REFERENCIA 1. Una pelota de hule se mueve en un círculo horizontal de 200 cm de diámetro, a 20 rev en 1 min. La sombra de la pelota se proyecta sobre una pared por medio de una luz distante. ¿Cual es la amplitud del movimiento de la sombra?¿Cual es la frecuencia?, ¿Cuál es el periodo? 2. Una masa oscila con movimiento armónico simple de frecuencia de 3 hz y amplitud de 6 cm. ¿Cuáles son sus posiciones cuando el tiempo t=0 y t=2.4s? 3. Una pesa de 10lb estira 8 plg un resorte antes de alcanzar la posición de equilibrio. A)¿Cuál es la constante del resorte?, b) si la pesa se desplaza otros 6 plg y se suelta, c) ¿Cuál es la fuerza de restitución máxima? 4. Un resorte realiza 12 oscilaciones en 40 s. Calcular el periodo y la frecuencia de oscilación.
  • 24. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 24 VELOCIDAD EN EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE V=-VTSen ϴ=-VTSen ωt VT = ωA = 2πfA Sustituyendo en la ecuación anterior V=-2πfASen 2πft Nota: El signo negativo en virtud de que la dirección de la velocidad es hacia la izquierda.
  • 25. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 25 EJERCICIOS EN CLASE VELOCIDAD Y MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE 1. Un deslizador unido a un resorte se tira hacia la derecha una distancia de 4 cm y luego se suelta. En 3 s regresa al punto donde se soltó y continúa con MÁS. A) ¿Cuál es la velocidad máxima?, b)¿Cuál es la posición y la velocidad después de 2.55 s? 2. Una masa vibra a una frecuencia de 0.5 hz y tiene una velocidad de 5 cm/s al pasar por el centro de la oscilación. ¿Cuál es la amplitud y cuál es el tiempo correspondiente a una vibración? 3. Un deslizador unido a un resorte, es apartado hacia la derecha hasta una distancia de 6 cm y luego se suelta. A) Si regresa al punto desde donde se soltó en 2 s y continua vibrando con MAS, calcule su posición y su velocidad después de 5.2 s. b) ¿Cuál es su velocidad máxima?
  • 26. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 26 ACELERACION EN EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE La velocidad de un cuerpo que vibra jamás es constante. En posición del desplazamiento máximo, la velocidad de un objeto que vibra es igual a cero. En ese instante cuando el cuerpo está sometido a la máxima fuerza de recuperación. Por lo tanto, la aceleración del cuerpo es máxima cuando su velocidad es cero. Cuando el objeto se aproxima a su posición de equilibrio, la fuerza de recuperación (y por lo tanto la aceleración) se reduce hasta llegar a cero en el centro de la oscilación. En la posición de equilibrio, la aceleración es cero y la velocidad alcanza su valor máximo.
  • 27. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 27 A partir de la figura: a= accosϴ = - accos NOTA: El signo menos indica que la aceleración está dirigida hacia la izquierda. Recordando que ac=ω2 R y que R=A podemos reescribir la ecuación como: a=-ω2 Acosωt Sustituyendo ω=2πf, como en la sección anterior previa, obtenemos a= -4π2 f2 Acos2πft La ecuación puede simplificar observando en la ecuación que Cos ϴ = Cos 2πft = A X Sustituyendo este resultado en la ecuación, tenemos a= -4π2 f2 A A X o bien, a= -4π2 f2 X Por lo tanto, la aceleración es directamente proporcional al desplazamiento y opuesto a la dirección de este.
  • 28. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 28 EJERCICIOS EN CLASE ACELERACION Y MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE 1. Un cuerpo realiza una vibración completa en 0.5 s. ¿Cuál es la aceleración cuando se ha desplazado 2 cm a partir de su posición de equilibrio? 2. Un objeto se mueve con un MAS de 16 cm de amplitud y una frecuencia de 2 hz. A) ¿Cuál es la velocidad máxima y la aceleración máxima?, b) Que velocidad y que aceleración tiene después de 3.2 s? 3. Una masa de 200 g se encuentra suspendida de un largo resorte en espiral. Cuando se desplaza 10 cm, la masa vibra con un periodo de 2s. a) ¿Cuál es la constante del resorte?, b) ¿Cuál son su velocidad y su aceleración cuando se mueve hacia arriba hasta un punto que se encuentra a 5 cm sobre su posición de equilibrio?
  • 29. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 29 PERIODO Y FRECUENCIA FRECUENCIA PERIODO X a f  2 1 a X T  2 Puesto que el desplazamiento X y la aceleración son siempre de signo opuesto, el término X a  Siempre es positivo. Cuando se analiza el movimiento de cuerpos bajo la influencia de una fuerza de recuperación elástica, es más conveniente expresar el periodo como función de la constante del resorte y de la masa del cuerpo que vibra. Esto se puede lograr comparando: X m K a  Xfa 22 4 Combinando estas relaciones obtenemos: m K f 22 4 De donde resulta que la frecuencia es m K f 2 1  Finalmente, el periodo (T) está dado por el reciproco de la frecuencia K m f 2 Nota: Ni el periodo ni la frecuencia dependen de la amplitud (desplazamiento máximo) del cuerpo que vibra. Dependen únicamente de la constante del resorte y de la masa del cuerpo que vibra.
  • 30. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 30 EJERCICIO EN CLASE 1. Una bola de acero de 2 kg esta unida al extremo de una tira plana de metal que está sujeta en su base. a) Si se requiere una fuerza de 5 N para desplazar la bola 16 cm, ¿Cuál será su periodo de vibración después de soltarla? b) ¿Cuál es su aceleración máxima?
  • 31. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 31 EL PENDULO SIMPLE Cuando la lenteja de un péndulo oscila unida al extremo de una cuerda o varilla ligera, como se muestra en la figura anterior, se trata aproximadamente de un movimiento armónico simple. Si suponemos que toda la masa se concentra en el centro de gravedad de la lenteja y que la fuerza de recuperación actúa en un solo punto, nos referimos a este como péndulo. Aunque esta suposición no es estrictamente cierta, se obtiene una aproximación haciendo que la masa de la cuerda o varilla de sostén sea pequeña en comparación con la lenteja del péndulo. X = lϴ Si el movimiento de la lenteja corresponde al MAS, la fuerza de recuperación debe estar dada por: F = -KX = -Klϴ Lo que significa que la fuerza de recuperación debería ser proporcional a ϴ, puesto que la longitud es constante. Podemos escribir: F = -mgsenϴ Por consiguiente que la fuerza de recuperación es proporcional a senϴ y no ϴ. La conclusión es que la lenteja no oscila con MAS. Sin embargo, si estipulamos que el ángulo (ϴ) es pequeño, sen ϴ será aproximadamente igual al ángulo en radianes. Donde: X=desplazamiento l=longitud ϴ=ángulo
  • 32. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 32 Verificar esta aproximación considerando varios ángulos pequeños: Sen ϴ ϴ (rad) Sen 6° = 0.1045 6° = 0.1047 Sen 12° = 0.208 12° = 0.209 Sen 27° = 0.454 27° = 0.471 Cuando se utiliza la aproximación sen ϴ≈ϴ, la ecuación se vuelve F = -mgsen ϴ = -mgϴ Comparando esta relación con la ecuación F = -KX = -Klϴ obtenemos F = -mgsen ϴ = -mgϴ Comparando esta relación con la ecuación F = -Klϴ , obtenemos F = -Klϴ = - mgϴ De donde g l k m  Sustituyendo esta proporción en la ecuación k m T 2 Se obtiene una expresión para el periodo de un péndulo simple. g l T 2 Obsérvese que para amplitudes pequeñas el periodo del péndulo simple no es función ni de la masa de la lenteja, ni de la amplitud de la vibración. En realidad, puesto que la aceleración de la gravedad es constante, el periodo depende exclusivamente de la longitud de la cuerda o varilla.
  • 33. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 33 EJERCICIOS EN CLASE 1. En un experimento de laboratorio un estudiante recibe un cronometro, una lenteja de madera y un trozo de cuerda. Se le pide que determine el valor de la aceleración de la gravedad ( g ) . Si el estudiante constituye un péndulo simple de 1m de longitud y al medir el periodo, este es de 2 s, ¿Qué valor tendrá para g?.
  • 34. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 34 EL PENDULO DE TORSION El péndulo de torsión, consiste en un disco o cilindro solido apoyado en el extremo de una barra delgada. Si el disco se hace girar recorriendo un ángulo, el momento de torsión τ es directamente proporcional al desplazamiento angular. Por lo tanto, τ = - k’ϴ donde k’ es una constante que depende del material de que está hecha la varilla. Cuando el disco se suelta, el par de recuperación produce una aceleración angular que es directamente proporcional al desplazamiento angular. El periodo del movimiento armónico simple angular producido en esta forma esta dado por: ' 2 k I T  Donde I es el momento de inercia del sistema que vibra y k’ es la constante de torsión. Péndulo de torsión
  • 35. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 35 EJERCICIOS EN CLASE 1. Un disco solido cuya masa es de 0.16 kg y su radio es de 0.12 m se gira un ángulo de 1 rad y luego se suelta. (a) si la constante de torsión del alambre del que cuelga del disco es de 0.025 Nm/rad, calcule la máxima aceleración angular. (b) ¿Cuál es el periodo de oscilación?
  • 36. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 36 UNIDAD V MOVIMIENTO ONDULATORIO OBJETIVOS  Demostrara por medio de definiciones y ejemplos comprendido el movimiento ondulatorio transversal y longitudinal.  Definira, relacionara y aplicara el significado de los términos frecuencia, longitud de onda y velocidad para el movimiento ondulatorio.  Resolvera problemas en los que intervengan la masa, la longitud, la tensión y la velocidad de onda, en caso de ondas transversales en una cuerda.  Escribira y aplicara una expresión para determinar las frecuencias características en el caso de una cuerda vibrante cuyos extremos están fijos. La energía se puede transferir de un lugar a otro por diversos medios. Al golpear un clavo, la energía cinetica del martillo se convierte en trabajo útil sobre el clavo. El viento, los proyectiles y la mayoría de las maquinas simples también realizan trabajo a expensas del movimiento de la materia. Incluso la conducción de calor y la electricidad implican el movimiento de partículas elementales llamadas electrones. ONDAS MECANICAS Cuando se deja caer una piedra en un estanque de agua, se origina una perturbación que se propaga en círculos concetricos, que al cabo del tiempo se extienden a todas las partes del estanque. Un corcho pequeño, que flota sobre la superficie del agua, se mueve hacia arriba y hacia abajo a medida que se propaga la perturbación. En realidad, se ha transferido energía a través de una cierta distancia, desde el punto del impacto de la piedra en el agua hasta el lugar donde se encuentra el trozo de corcho. Esta energía se transmite mediante la agitación de las partículas de agua que colindan entre si. Unicamente la perturbación se mueve a través del agua. El movimiento real de cualquier particula de agua individual es comparativamente pequeño. A la propagación de la energía por medio de una perturbación en un medio, y no por el movimiento del medio mismo, se le llama movimiento ondulatorio. Una onda mecánica es una perturbación física en un medio elástico. Es importante notar que no todas las perturbaciones son necesariamente mecanicas. Por ejemplo, las ondas luminosas, las ondas de radio y la radiación térmica propagan su energía por medio de perturbaciones eléctricas y magneticas. De hecho, no hace falta ningún medio físico para la transmisión de las ondas electromagnéticas. Sin embargo, muchas de las ideas básicas que se presentan para las ondas mecanicas también se aplican a las ondas electromagnéticas.
  • 37. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 37 TIPOS DE ONDAS Las ondas se clasifican de acuerdo con el tipo de movimiento que generan en una parte determinada del medio en el cual se producen, con respecto a la dirección en la que se propaga la onda. Es una onda transversal, la vibración de las partículas individuales del medio es perpendicular a la dirección de la propagación de la onda. Scanear fig 21.1 pag 469 Es una onda longitudinal, la vibración de las partículas individuales es paralela a la dirección de la propagación de la onda. Scanear fig 21-2 y 21-3 pag 470 CALCULO DE LA VELOCIDAD DE ONDA La velocidad a la cual se mueve un pulso a través de un medio depende de la elasticidad del medio y de la inercia de las partículas del mismo. Los materiales mas elásticos producen mayores fuerzas de restitución cuando son distorcionados. Los materiales menos densos se resisten menos a moverse. En ambos casos, la capacidad de las partículas para propagar una perturbación a las partículas vecinas es mejor, y el pulso viajara en ese caso a mayor velocidad. Consideremos el movimiento de un pulso transversal a través de una cuerda según la siguiente figura. Scanear fig 21-4 pag 471 La masa( m ) de la cuerda y su longitud ( l ) se mantienen bajo una tensión constante F por medio de la pesa suspendida. Cuando se da un solo movimiento a la cuerda en su extremo izquierdo, se propaga un pulso transversal a lo largo de la misma. La elasticidad de la cuerda se mide por la tensión F. La inercia de las partículas individuales se determina mediante la masa por unidad de longitud µ de la cuerda. Se puede demostrar que la velocidad del pulso transversal en una cuerda esta dad por: lm FF v /   La masa por unidad de longitud µ se conoce generalmente como la densidad lineal de la cuerda. Si F se expresa en newtons y µ en kilogramos por metro, la velocidad estará expresada en metros por segundo.
  • 38. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 38 EJERCICIO EN CLASE 1. La longitud del cordel de la fig anterior es de 2 m, y su masa es de 0.3 g. Calcule la velocidad del pulso transversal en el cordel si este se encuentra bajo una tensión de 20 N.
  • 39. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 39 MOVIMIENTO ONDULAROTORIO PERIODICO SCANEAR FIG 21-5 PAG 472
  • 40. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 40 .
  • 41. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 41
  • 42. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA ESC. DE SISTEMAS “PROF. MARCIAL RUIZ VARGAS” FISICA II 42 F