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Programaci n lineal_m_todo_gr_fico

1) Un modelo de programación lineal es un tipo de modelo matemático donde las restricciones y función objetivo son lineales y esta última es maximizada o minimizada. 2) El modelo involucra variables de decisión no negativas y traduce un problema de negocios a términos de variables, función objetivo y restricciones expresadas como igualdades o desigualdades. 3) Se presenta un caso de maximización donde una fábrica produce dos productos y busca determinar las cantidades óptimas a producir para maximizar las ganancias.

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PROGRAMACIÓN LINEAL

Un modelo de programación lineal, es un tipo particular de modelo matemático, en el cual las restricciones
que involucran las variables son lineales y hay una medida de desempeño o función objetiva lineal que será
maximizada o minimizada.

Todas las variables de decisión son no negativas. Formular un modelo de programación lineal significa
traducir un problema de decisión de negocios en uno de programación lineal, mediante la definición de
variables, la especificación de una función objetivo y la expresión de todas las restricciones como igualdades
o desigualdades.

CARACTERÍSTICAS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL.

1.- Linealidad: Todas las condiciones que se den estarán expresadas en términos de ecuaciones o
inecuaciones de primer grado, es decir que el máximo exponente de as variables es 1.

2.- Análisis de las funciones: La linealidad está representada por los signos: igual, menor que, mayor que,
menor o igual que, mayor o igual que por tanto:

= representa el límite entre dos áreas.

> representa el área sobre el límite o sobre la recta, se utiliza para minimización.

< representa el área bajo el límite o bajo la recta, se utiliza en maximización.

> representa el límite más el área que esta sobre la recta.

< representa el límite más el área que esta bajo la recta.

3.- Divisibilidad.- Un proceso de maximización, minimización o combinado puede subdividirse en etapas de
tipo sistemático es decir que hay una interdependencia entre elementos, esto significa que si falla un
elemento fallará todo el proceso.

4.- Finitud.- Significa que en Investigación Operativa los datos son reales y alcanzables por lo tanto las
soluciones también lo serán, finitud da un significado de términos prácticos y de factibilidad real es decir que
el número de procesos como los recursos disponibles deberán corresponder a cantidades finitas, esto es
conocidas y cuantificadas en forma determinística.

5.- No negatividad.- Al analizar un problema en Investigación Operativa los términos negativos no tienen
sentido por tanto solamente se considerarán valores positivos.

Si en un proceso aparecen cantidades negativas se considerarán variables auxiliares que durante el proceso
tendrán que eliminarse hasta obtener la respuesta en términos reales y positivos.

6.- Algoritmo.- Se refiere a todos los procedimientos que se utilizan en la Investigación operativa y estos
pueden ser de tipo mecánico, matemático, práctico, funcional.

Ejemplo: Graficación de una condición.

SOLUCIÓN GRÁFICA PARA PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Las soluciones óptimas de los problemas de programación lineal siempre se encuentran en un vértice de la
región básica factible. Pueden existir varias soluciones óptimas, las cuales presentan el mismo número de
vértices (o puntos críticos en las líneas que se conectan).
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LAS RESTRICCIONES.

Es importante para el gerente entender que tan sensible es la solución ante los cambios en los supuestos y
en los factores exógenos.

En la programación lineal una de las mejores características es que gran parte de este análisis de sensibilidad
procede directamente de la solución; estas afirmaciones se las aplicará de manera gráfica.

PRECIOS SOMBRA.

Un precio sombra o dual representa el valor marginal asociado con el cambio de una unidad en el lado
derecho de una restricción.

COSTO REDUCIDO

De manera similar, un costo reducido representa el valor marginal de incluir una unidad en una variable de
decisión en la solución. Los costos reducidos pueden considerarse como precios sombra de las restricciones
no negativas. Si una restricción no es obligatoria su precio sombra es cero.

EVALUACIÓN DE UN NUEVO PRODUCTO.

El costo de oportunidad para un nuevo producto se calcula como la suma de: (precio sombra) * (unidades
requeridas) para todas las restricciones afectadas. Si el costo de oportunidad es menor que la utilidad de una
unidad para el nuevo producto, entonces es rentable y por tanto debe incluirse alguna cantidad en la solución
óptima. Si el costo de oportunidad es mayor que la utilidad por unidad, entonces no debe fabricarse el
producto.

COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO.

Los rangos de los coeficientes del lado derecho y de la función objetivo tienen gran importancia para
interpretar la solución de programación lineal. Los rangos del lado derecho determinan los límites dentro de
los cuales se mantiene el precio sombra de cada restricción. Los rangos del coeficiente de la función objetivo
determinan los límites dentro de los cuales la solución sigue siendo la misma.

CASO DE MAXIMIZACIÓN.

Una fábrica produce dos tipos de chaquetas A y B. Las chaquetas tipo requieren 5 minutos para cortarlas y 10
minutos para confeccionarlas, las de tipo 9 requieren de 8 minutos para cortarlas y 8 minutos para
confeccionarlas. Se necesita 3 horas y 20 minutos para corte y 4 horas para confección. El beneficio es de $
50 por cada chaqueta tipo A y $ 60 por cada chaqueta tipo B.

Si el objetivo es maximizar la utilidad.

1.- ¿Cuántas unidades del producto A y cuántas del producto B podrían elaborarse para obtener la
máxima ganancia?

Paso 1.- Identificación de las variables de decisión:

La fábrica puede manufacturar dos tipos de chaquetas A y B. Estas representan las variables de decisión que
las representaremos por:

PRODUCTOS         NÚMERO PRODUCIDO

Chaquetas tipo A X1
Chaquetas tipo 9 X2

Paso 2.- Identificar la función objetivo:

                 Z(MAX) = 5OX1 + 60X2

Paso 3.- Identificar las restricciones de recursos:



RECURSO                            UTILIZACIÓN DE                   DISPONIBILIDAD

(TIEMPO)                           RECURSOS                         DE RECURSOS



Corte                                       5 X1 + 8X2                     200

Confección                              10 X1 + 8 X2                       240



                                            X1; X2> O

Paso 4.- Realizar la gráfica con todas las restricciones.

        5 X1 + 8 X2                                         10 X1 + 8 X2
Paso 5.- Determinación de los valores de los puntos críticos:

Cálculo del punto B

Para calcular las coordenadas de este punto se forma un sistema de ecuaciones entre la ecuación 1 y 2



5X1 + 8X2 = 200 / (-1)                              - 5 X – 8 X2 = -200

1OX1 + 8 X2 = 240 / (1)                              10 X + 8 X2 = 240



                                                               5X1 = 40

                                                                     X1 = 40/ 5

                                                                     X1 =      8


Reemplazo el valor de X1 en la Ecuación 1



5X1 + 8X2 = 200

5(8) + 8x2 = 200

 40 + 8X2 = 200

X2 = 16 / 8

X2 = 20



B (8; 20)

Los puntos A y C no se los toma en cuenta porque si se tomara uno de esto no se cumpliría con el objetivo de
la empresa que es producir los dos productos ya que en estos puntos uno de ellos no se produce.

Paso 6.- Determinar la solución óptima.

Para determinar la solución óptima reemplazamos los valores del punto B en la función objetivo.

Z (MAX) = 50X1 + 60X2



B (8; 20)                                           Z (MAX) = 5O (8) + 60 (20) = 1600

Paso 7.- Interpretación de la solución

La máxima utilidad se presenta cuando X1 = 8 y X2 = 20 es decir cuando se manufactura 8 chaquetas tipo A y
20 chaquetas tipo B.
2.- El gerente de la fábrica desea saber cual es la máxima utilidad que se puede obtener si el mercado
limita a 24 unidades la cantidad que se puede vender del producto B.

La formulación del problema ahora se convierte en: Z (MAX) = 5OX1 + 60X2



Sujeta a:             5X1 + 8X2 < 200

                      1OX1+ 8X2<240

                             X2         24

                             X1; X2 O




CÁLCULO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS



CÁLCULO DEL PUNTO B



5X1 + 8X2 = 200

            X2 = 24



5X1 + 8(24) = 200

        Xl=l, 6              B (1,6; 24)
CÁLCULO DEL PUNTO C



5X1 + 8X2 = 200/-1

1OX1 + 8X2 = 240/ 1



 -5X1 - 8X2 = -200

1OX1 + 8X2= 240

5X1           = 40

              X2 = 40 /5



              X2 = 8



Reemplazo el valor de X1 en la Ecuación 1

5X1 + 8X2 = 200

5(8) + 8x2 = 200

 40 + 8X2 = 200

X2 = 160/8

X2 = 20



C (8; 20)




Cálculo de la utilidad.



Z (MAX) = 50X1 + 60X2



B (1,6; 24)                      Z (MAX)=50(1,6) +60(24)= 1520

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  • 1. PROGRAMACIÓN LINEAL Un modelo de programación lineal, es un tipo particular de modelo matemático, en el cual las restricciones que involucran las variables son lineales y hay una medida de desempeño o función objetiva lineal que será maximizada o minimizada. Todas las variables de decisión son no negativas. Formular un modelo de programación lineal significa traducir un problema de decisión de negocios en uno de programación lineal, mediante la definición de variables, la especificación de una función objetivo y la expresión de todas las restricciones como igualdades o desigualdades. CARACTERÍSTICAS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL. 1.- Linealidad: Todas las condiciones que se den estarán expresadas en términos de ecuaciones o inecuaciones de primer grado, es decir que el máximo exponente de as variables es 1. 2.- Análisis de las funciones: La linealidad está representada por los signos: igual, menor que, mayor que, menor o igual que, mayor o igual que por tanto: = representa el límite entre dos áreas. > representa el área sobre el límite o sobre la recta, se utiliza para minimización. < representa el área bajo el límite o bajo la recta, se utiliza en maximización. > representa el límite más el área que esta sobre la recta. < representa el límite más el área que esta bajo la recta. 3.- Divisibilidad.- Un proceso de maximización, minimización o combinado puede subdividirse en etapas de tipo sistemático es decir que hay una interdependencia entre elementos, esto significa que si falla un elemento fallará todo el proceso. 4.- Finitud.- Significa que en Investigación Operativa los datos son reales y alcanzables por lo tanto las soluciones también lo serán, finitud da un significado de términos prácticos y de factibilidad real es decir que el número de procesos como los recursos disponibles deberán corresponder a cantidades finitas, esto es conocidas y cuantificadas en forma determinística. 5.- No negatividad.- Al analizar un problema en Investigación Operativa los términos negativos no tienen sentido por tanto solamente se considerarán valores positivos. Si en un proceso aparecen cantidades negativas se considerarán variables auxiliares que durante el proceso tendrán que eliminarse hasta obtener la respuesta en términos reales y positivos. 6.- Algoritmo.- Se refiere a todos los procedimientos que se utilizan en la Investigación operativa y estos pueden ser de tipo mecánico, matemático, práctico, funcional. Ejemplo: Graficación de una condición. SOLUCIÓN GRÁFICA PARA PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Las soluciones óptimas de los problemas de programación lineal siempre se encuentran en un vértice de la región básica factible. Pueden existir varias soluciones óptimas, las cuales presentan el mismo número de vértices (o puntos críticos en las líneas que se conectan).
  • 2. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LAS RESTRICCIONES. Es importante para el gerente entender que tan sensible es la solución ante los cambios en los supuestos y en los factores exógenos. En la programación lineal una de las mejores características es que gran parte de este análisis de sensibilidad procede directamente de la solución; estas afirmaciones se las aplicará de manera gráfica. PRECIOS SOMBRA. Un precio sombra o dual representa el valor marginal asociado con el cambio de una unidad en el lado derecho de una restricción. COSTO REDUCIDO De manera similar, un costo reducido representa el valor marginal de incluir una unidad en una variable de decisión en la solución. Los costos reducidos pueden considerarse como precios sombra de las restricciones no negativas. Si una restricción no es obligatoria su precio sombra es cero. EVALUACIÓN DE UN NUEVO PRODUCTO. El costo de oportunidad para un nuevo producto se calcula como la suma de: (precio sombra) * (unidades requeridas) para todas las restricciones afectadas. Si el costo de oportunidad es menor que la utilidad de una unidad para el nuevo producto, entonces es rentable y por tanto debe incluirse alguna cantidad en la solución óptima. Si el costo de oportunidad es mayor que la utilidad por unidad, entonces no debe fabricarse el producto. COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO. Los rangos de los coeficientes del lado derecho y de la función objetivo tienen gran importancia para interpretar la solución de programación lineal. Los rangos del lado derecho determinan los límites dentro de los cuales se mantiene el precio sombra de cada restricción. Los rangos del coeficiente de la función objetivo determinan los límites dentro de los cuales la solución sigue siendo la misma. CASO DE MAXIMIZACIÓN. Una fábrica produce dos tipos de chaquetas A y B. Las chaquetas tipo requieren 5 minutos para cortarlas y 10 minutos para confeccionarlas, las de tipo 9 requieren de 8 minutos para cortarlas y 8 minutos para confeccionarlas. Se necesita 3 horas y 20 minutos para corte y 4 horas para confección. El beneficio es de $ 50 por cada chaqueta tipo A y $ 60 por cada chaqueta tipo B. Si el objetivo es maximizar la utilidad. 1.- ¿Cuántas unidades del producto A y cuántas del producto B podrían elaborarse para obtener la máxima ganancia? Paso 1.- Identificación de las variables de decisión: La fábrica puede manufacturar dos tipos de chaquetas A y B. Estas representan las variables de decisión que las representaremos por: PRODUCTOS NÚMERO PRODUCIDO Chaquetas tipo A X1
  • 3. Chaquetas tipo 9 X2 Paso 2.- Identificar la función objetivo: Z(MAX) = 5OX1 + 60X2 Paso 3.- Identificar las restricciones de recursos: RECURSO UTILIZACIÓN DE DISPONIBILIDAD (TIEMPO) RECURSOS DE RECURSOS Corte 5 X1 + 8X2 200 Confección 10 X1 + 8 X2 240 X1; X2> O Paso 4.- Realizar la gráfica con todas las restricciones. 5 X1 + 8 X2 10 X1 + 8 X2
  • 4. Paso 5.- Determinación de los valores de los puntos críticos: Cálculo del punto B Para calcular las coordenadas de este punto se forma un sistema de ecuaciones entre la ecuación 1 y 2 5X1 + 8X2 = 200 / (-1) - 5 X – 8 X2 = -200 1OX1 + 8 X2 = 240 / (1) 10 X + 8 X2 = 240 5X1 = 40 X1 = 40/ 5 X1 = 8 Reemplazo el valor de X1 en la Ecuación 1 5X1 + 8X2 = 200 5(8) + 8x2 = 200 40 + 8X2 = 200 X2 = 16 / 8 X2 = 20 B (8; 20) Los puntos A y C no se los toma en cuenta porque si se tomara uno de esto no se cumpliría con el objetivo de la empresa que es producir los dos productos ya que en estos puntos uno de ellos no se produce. Paso 6.- Determinar la solución óptima. Para determinar la solución óptima reemplazamos los valores del punto B en la función objetivo. Z (MAX) = 50X1 + 60X2 B (8; 20) Z (MAX) = 5O (8) + 60 (20) = 1600 Paso 7.- Interpretación de la solución La máxima utilidad se presenta cuando X1 = 8 y X2 = 20 es decir cuando se manufactura 8 chaquetas tipo A y 20 chaquetas tipo B.
  • 5. 2.- El gerente de la fábrica desea saber cual es la máxima utilidad que se puede obtener si el mercado limita a 24 unidades la cantidad que se puede vender del producto B. La formulación del problema ahora se convierte en: Z (MAX) = 5OX1 + 60X2 Sujeta a: 5X1 + 8X2 < 200 1OX1+ 8X2<240 X2 24 X1; X2 O CÁLCULO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS CÁLCULO DEL PUNTO B 5X1 + 8X2 = 200 X2 = 24 5X1 + 8(24) = 200 Xl=l, 6 B (1,6; 24)
  • 6. CÁLCULO DEL PUNTO C 5X1 + 8X2 = 200/-1 1OX1 + 8X2 = 240/ 1 -5X1 - 8X2 = -200 1OX1 + 8X2= 240 5X1 = 40 X2 = 40 /5 X2 = 8 Reemplazo el valor de X1 en la Ecuación 1 5X1 + 8X2 = 200 5(8) + 8x2 = 200 40 + 8X2 = 200 X2 = 160/8 X2 = 20 C (8; 20) Cálculo de la utilidad. Z (MAX) = 50X1 + 60X2 B (1,6; 24) Z (MAX)=50(1,6) +60(24)= 1520
  • 7. C (8; 20) Z (MAX) = 50 (8) + 60 (20) = 1600 Punto óptimo. Los puntos A y D no se los toma en cuenta porque sí se tomara uno de estos no se cumpliría con el objetivo de la empresa que es producir los dos productos ya que en estos puntos uno de ellos no se produce. 3.- Suponga que se puede disponer de 10 minutos extras de modo que la restricción del departamento de confección se convierta en: 1OXI + 8X2 < 250. Encuentre el precio sombra y muestre que sucede con la solución. Con este cambio el gráfico queda de la siguiente manera: CÁLCULO DEL PUNTO C 5X1 + 8X2 = 200/-1 1OX1 + 8X2 = 250/ 1 -5X1 - 8X2 = -200 1OX1 + 8X2 = 250 5X1 = 50 X2 = 50 / 5
  • 8. X2 = 10 Reemplazo el valor de X1 en la Ecuación 1 5X1 + 8X2 = 200 5(10) + 8X2 = 200 50 + 8X2 = 200 X2= 150/8 C (8; 18,75) El punto de la nueva solución óptima tiene coordenadas X1= 10 y X2=18,75. Como el punto de la solución óptima anterior indicaba X1=8 y X2=20; 10 minutos adicionales en el departamento de confección lleva a un aumento de 2 unidades del artículo A y a una disminución de 125 unidades en el artículo B. Por consiguiente el cambio neto en la función objetivo es: Z (MAX) = (2*50) + (-1,25 * 60) = 25 Es decir un incremento de $ 25 en la utilidad. A este incremento se le denomina precio sombra, precio dual o valor marginal. 4 Suponga que puede disminuir 10 minutos en el departamento de confección de modo que la restricción se convierta en: 1OX1 + 8X2 < 230. CÁLCULO DEL PUNTO C Reemplazo el valor de X1 en la Ecuación 1 5X1 + 8X2 = 200 / -1 5X1 + 8X2 = 200 1OX1 + 8X2 = 230 / 1 5(6) + 8X2 = 200
  • 9. -5X1 - 8X2 = -200 30 + 8X2 = 200 1OX1 + 8X2 = 230 X2 = 170 / 8 5X1 = 30 X2 = 30 / 5 X2 = 21,25 C (6; 21,25) X2 = 6 Cálculo de la utilidad con el cambio sugerido. Z (MAX) = 50X1 + 60X2 C (6; 21,25) Z (MAX) = 50(6) + 60(21,25) = 1575 El punto de la nueva solución óptima tiene coordenadas X1= 6 y X2=21,25. Como el punto de la solución óptima anterior indicaba X1=8 y X2=20, la disminución de 10 minutos en el departamento de confección lleva a una disminución de 2 unidades del artículo A y a un aumento de 1 25 unidades en el artículo B. Por consiguiente el cambio neto en la función objetivo es: Z (MAX) = (-2*50) + (1,25 * 60) = 25 Es decir una disminución de $ 25 en la utilidad. Nota. - Por tanto el precio sombra, precio dual o valor marginal representa el aumento incremental en la utilidad cuando una restricción se amplia en una unidad, y una disminución en la utilidad cuando se contrae en una unidad. 5.- Suponga que la restricción X2 < 24 aumenta y disminuye de la siguiente manera: X2 < 21 y X2 < 27. ¿Qué sucedería con la solución? Con la disminución el gráfico queda de a siguiente manera:
  • 10. Con el aumento el gráfico queda de la siguiente manera: En los gráficos se observa que ningún cambio en esta restricción afecta a la solución del todo porque la restricción X2 < 24 no es obligatoria. La solución óptima solo necesita 20 unidades de B y de ese modo el límite de 24 unidades del mercado no importa. Por consiguiente el precio sombra es cero. 6.- Que sucedería con la solución óptima si la restricción que corresponde al departamento de corte se presenta de la siguiente manera: 5X1 + 8X2 < 210. Además calcule el precio sombra con el cambio en esta restricción.
  • 11. CÁLCULO DEL PUNTO C CON EL AUMENTO SUGERIDO EN LA RESTRICCIÓN CORRESPONDIENTE AL DEPARTAMENTO DE CORTE. 5X1 + 8X2 = 210 / -1 Reemplazo el valor de X1 en la Ecuación 1 1 OX1 + 8X2 = 240 / 1 5X1 + 8X2 = 210 5(6) + 8x2 = 210 30 + 8X2 = 210 -5X1 - 8X2 = -210 X2 = 190 /8 1OX1 + 8X2 = 240 5X1 = 30 X2 = 22,5 C (6; 22,5) X1 = 30/5 X1 = 6 Cálculo de la utilidad con el cambio sugerido. Z (MAX) = 50X1 + 60X2 C (6; 22,5) Z (MAX) = 50(6) + 60(22,5) = 1650 El punto de la nueva solución óptima tiene coordenadas X1= 6 y X2=22,55. Como el punto de la solución óptima de los datos originales indicaba X1=8 y X2=20; el aumento de 10 minutos en el departamento de corte lleva a una disminución de 2 unidades del artículo A y a un aumento de 2,2 unidades en el artículo B.
  • 12. Por consiguiente el cambio neto en la función objetivo es: Z (MAX) = (-2*50) + (2,5 * 60) = 50 7.- Que sucedería con la solución óptima si la restricción que corresponde al departamento de corte se presenta de la siguiente manera: 5X1 + 8X2 < 190. Además calcule el precio sombra con el cambio en esta restricción CÁLCULO DEL PUNTO ÓPTIMO CON LA DISMINUCIÓN SUGERIDO EN LA RESTRICCIÓN CORRESPONDIENTE AL DEPARTAMENTO DE CORTE. 5X1 + 8X2 = 190/-1 1OX1 + 8X2 = 240/ 1 -5X1 - 8X2 = -190 IOX1 + 8X2 = 240 5X1 = 50 X2 = 50 / 5 X2 = 10 Reemplazo el valor de X1 en la Ecuación 1 5X1 + 8X2 =190 5(10) + 8X2 = 190 50 + 8X2 = 190 X2 = 140 / 8 X2 = 17,5 C (10; 17,5) Cálculo de la utilidad con el cambio sugerido. Z (MAX) = 50X1 + 60X2 C (10; 17,5) Z (MAX) = 50(10) + 60(1 7,5) = 1550
  • 13. El punto de la nueva solución óptima tiene coordenadas X1= 10 y X2=17,5. Como el punto de la solución óptima de los datos originales indicaba Xl =8 y X2=20; el aumento de 10 minutos en el departamento de corte lleva a un aumento de 2 unidades del artículo A y a una disminución de 2,5 unidades en el artículo B. Por consiguiente el cambio neto en la función objetivo es; Z (MAX) = (2*50) + (-2,5 * 60) = -50 Es decir una disminución en la utilidad de $ 50. 8.- ¿Calcule el precio sombra de las restricciones no negativas? Es posible determinar los valores marginales asociados con incluir por lo menos una unidad de una variable de decisión en la solución. Sin olvidar que las restricciones no negativas son X1>0 y X2>0 lo que lleva a considerar que una unidad de la solución cambia una restricción no negativa a X1>1 y X2>1. Los valores para hacerlos se llaman costos reducidos. Considerando el problema básico la solución óptima tiene X1=8 y X2=20. Ambos valores son positivos y por eso ninguna de las restricciones no negativas es obligatoria (es decir el costo reducido) asociado con cambios es cero al igual que para otras restricciones no obligatorias. Sin embargo a manera de ejemplo si la función objetivo fuera: Z (MAX)= 90X1 + 20X2 como aparece en la siguiente figura. El punto D sería la solución óptima con coordenadas X1=24 y X2=0 que produce una utilidad de 1680 (aquí X2=0); es decir que la restricción X2>O es obligatoria. Ahora si se tuviera que producir por lo menos una unidad del producto B debido a un compromiso con un cliente habitual, la restricción se convertiría en X2>1. Lo que ocasionaría que la solución óptima del problema cambie al punto de coordenadas Xl =23,2 y X2=1 como se muestra en el gráfico siguiente:
  • 14. Calculo de la utilidad Z (MAX)= 90X1 + 20X2 Z (MAX)= 90(23,2) + 20(1) = 2108 Con este punto se obtiene una disminución de $ 52 con respecto a la utilidad anterior, por consiguiente en este caso el costo reducido asociado con la restricción no negativa es de $ 52, el costo de mantener la opinión favorable del cliente o goodwill. 9.- Considerar de nuevo la restricción correspondiente al departamento de corte que tiene una disponibilidad de 200 minutos. El siguiente gráfico muestra lo que sucede cuando se dispone de horas adicionales sin olvidar que en el análisis inicial de los precios sombra se indicó que cada 10 minutos adicionales lleva a una disminución de 2 unidades del producto A y a un aumento de 2,5 unidades del producto B. El precio sombra de cada 10 minutos incrementales fue de $ 50. Con el siguiente gráfico se va ha determinar cual es el aumento permitido en la restricción del departamento de corte. Con 216 minutos disponibles el punto óptimo de la solución tiene coordenadas X1=4,8 y X2=24. Más halla de este punto los minutos adicionales del departamento de corte no tiene efecto ya que la restricción X2>24 ahora es obligatoria. Dadas las otras restricciones del problema 216 minutos en el departamento de corte es lo máximo que se puede utilizar. Por tanto este aumento de 16 minutos para llegar a 216 disponibles representa el límite superior en el rango sobre el cual el precio sombra o dual de $ 50 es válido. Para la restricción correspondiente al departamento de confección se puede hacer el mismo análisis. Lo cual se lo deja para que el lector lo demuestre con la respuesta que se da a continuación.
  • 15. 10.- Suponga que se desea producir alguna cantidad de un tipo de chaqueta nueva (C) y que se requiere para producirla de 1 minuto en el departamento de corte y 2 minutos en el departamento de confección. Este producto es muy rentable y tiene una utilidad de $ 90. Calcule el costo de oportunidad del nuevo producto. El costo de oportunidad del producto nuevo es: (Precio sombra en el departamento de corte) * (Minutos requeridos en el departamento de corte) + (Precio sombra en el departamento de confección) * (minutos requeridos en el departamento de confección). (50 *1) + (25 *2) = 100 Como la utilidad por unidad es solo $ 90 no debe producirse el producto C ya que el costo de oportunidad excede a la utilidad unitaria. Otro ejemplo: La misma fábrica tiene la opción de elaborar otro producto D el cual puede utilizar 1 minuto en el departamento de corte y 1 minuto en el departamento de confección; el mismo que deja una utilidad de $ 80 dólares. ¿Debe fabricarse el producto? (50 * 1) + (25 * 1)= 75 Como la utilidad de $ 80 por unidad excede el costo de oportunidad de $ 50 si debe fabricarse alguna cantidad del producto D. Este análisis no dice exactamente cuantas unidades fabricar del producto D, sino solo que debe incluirse en el proceso de producción. El líder debe replantear los datos del problema de programación lineal para incluir una nueva variable de decisión para el producto D y volver a solucionar el problema. 11.- Suponga que la utilidad del producto A se fija en $ 50, pero que el producto B que se espera sea de $ 60, puede cambiar a $ 70, $ 80, $ 90. ¿Que sucederá con la solución óptima del problema; grafique en cada caso? Para un nivel de $ 70 de utilidad la función objetivo es: Z (MAX) = 50X1 + 70X2 y su gráfico el siguiente:
  • 16. Para un nivel de $ 80 de utilidad la función es: Z (MAX) = 50X1 + 80X2 Para un nivel de $ 90 de utilidad la función objetivo es: Z (MAX) = 50X1 + 90X2.
  • 17. Si el coeficiente de la utilidad del producto B disminuye a $ 50, $ 40, $30. ¿Que sucedería con el punto óptimo? Para un nivel de $ 50 de utilidad la función objetivo es: Z (MAX) = 50X1 + 70X2 Para un nivel de $ 40 de utilidad a función objetivo es: Z (MAX) = 50X1 + 40X2 Para un nivel de $ 50 de utilidad la función objetivo es: Z (MAX) = 50X1 + 50X2.
  • 18. El mismo análisis se puede realizar con el producto A, lo cual el lector deberá realizarlo para fundamentar más sus conocimientos adquiridos en este proceso. RANGOS DEL COEFICIENTE DE LA FUNCIÓN OBJETIVO SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL EN COMPUTADORA. El procedimiento gráfico utilizado en el capítulo se usa principalmente para visualizar algunas de las propiedades fundamentales de la solución de casos de programación lineal. En al práctica, donde los modelos normales de programación lineal implican miles de variables y de restricciones, la única forma posible de resolver esos modelos es usar computadora. En esta sección se describen cuatro paquetes de cómputo para resolver casos de programación lineal: TORA, EXCEL SOLVER, AMPL y LINGO. Los programas TORA y EXCEL SOLVER sólo son útiles en la solución de problemas de tamaño moderado. Para los muy grandes, con cientos (o miles) de restricciones y variables, es necesario tener un paquete comercial, como AMPL y LINGO, para resolver la tarea. SOLUCIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON TORA (MAXIMIZACIÓN) El ingreso de datos en TORA es directo, y no requiere de instrucciones especiales. Por esta razón, en este capítulo nos concentraremos en la interpretación del resultado de TORA. Esta información se usará para analizar e interpretar las soluciones de algunas aplicaciones seleccionadas en el ámbito de la administración de empresas.
  • 20. CASOS DE MINIMIZACIÓN Un agricultor compra fertilizantes que contienen tres nutrientes, A, B, C. Las necesidades mínimas son: 160 unidades de A, 200 de B y 80 de C. En el mercado existen dos marcas populares de fertilizantes 1, con un costo de $ 4 por bolsa con 3 unidades de A, 5 de B y 1 unidad de 0. 2, con un costo de $ 3 por bolsa con dos unidades de cada nutriente. Si el agricultor desea minimizar el costo mientras se mantenga el requerimiento del nutriente. ¿Cuántas bolsas de cada marca debe comprar? ALGORITMO PARA LA SOLUCIÓN DE CASOS DE MINIMIZACIÓN. Paso 1.- Identificación de las variables de decisión: El agricultor puede comprar dos tipos de fertilizantes 1 y 2. Estos representan las variables de decisión que las representaremos por: PRODUCTOS NÚMERO PRODUCIDO FERTILIZANTE 1 X1 FERTILIZANTE 2 X2 Paso 2.- Identificar la función objetivo: Z (MIN) = 4X1 + 3X2 Paso 3.- Identificar las restricciones de recursos: RECURSO UTILIZACIÓN DE NECESIDAD RECURSOS EN DE RECURSOS FERTILIZANTES 1 2 Nutriente A 3X1 + 2X2 > 160 Nutriente B 5X1 + 2X2 > 200 Nutriente O 1X1 + 2X2 > 80 X1; X2 < 0 Paso 4.- Realizar la gráfica con todas las restricciones.
  • 21. Paso 5.- Determinación de los valores de los puntos críticos: Cálculo del punto B Para calcular las coordenadas de este punto se forma un sistema de ecuaciones entre la ecuación 1 y 2 3Xi + 2X2 160 / (-1) -3 X1 - 2X2 = -160 5Xi + 2X2 200 / (1) 5X1 + 2X2 = 200 2X1 = 40 X1 = 40/2 X1 = 20 Reemplazo el valor de X2 en la Ecuación 1 3X1 + 2X2 =160 3(20) + 2X2 = 160 60 + 2X2 = 160
  • 22. X2 = 100/2 X2 = 50 B (20; 50) Cálculo del punto C Para calcular las coordenadas de este punto se forma un sistema de ecuaciones entre la ecuación 1 y 3. 3X1 + 2X2 = 160 / (-1) -3 X1 - 2X2 = -160 X1 + 2X2= 80/(1) X1 + 2X2 = 80 2X1 = 80 X1 = 80/2 X1 = 40 Reemplazo el valor de X1 en la Ecuación 1 3X1+ 2X2 = 160 3(40) + 2x2 = 160 120 + 2X2 = 160 X2 = 40 / 2 X2 =20 C (40; 20) Los puntos A y D se distinguen claramente en las intersecciones con los ejes y no necesita de cálculos para identificar sus coordenadas. A (0; 100) D (80; 0) 36
  • 23. Paso 6.- Determinar la solución óptima. Para determinar la solución óptima reemplazamos los valores del punto A, B, C y del punto D en la función objetivo. Z (MAX) = 50X1 + 60X2 A (0; 100) Z (MIN) = 4(0) + 3(100) = 300 B (40; 20) Z (MIN) = 4(0) + 3(20) = 220 Punto óptimo C (20; 50) Z (MIN) = 4(20) + 3(50) = 230 D (80; 0) Z (MIN) = 4(80) + 3(0) = 320 Paso 7.- Interpretación de la solución El costo mínimo se presenta cuando X1 = 40 y X2 = 20 es decir cuando el agricultor compra 40 bolsas de 1 y 20 bolsas de 2. SOLUCIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON TORA (MAXIMIZACIÓN)
  • 24. CASO COMBINADO EJERCICIO N° 6 Un taller de calzado confecciona zapatos para hombre y mujer. El producir un par de zapatos de hombre requiere el doble de tiempo que para producir que para producir un par de zapato para mujer. El taller está en capacidad de producir al menos 10 pares de zapatos, en el mercado solo se puede conseguir diariamente la cantidad de cuero y suela solo para nueve pares de zapatos. Los zapatos de mujer requieren de una fibra la cual solo existe para 6 pares de zapatos diariamente, para la confección de zapatos de hombre solamente se puede conseguir diariamente 5 pares de taco de caucho. ¿Qué cantidad de zapatos de hombre y de mujer debe producir diariamente para maximizar el beneficio? Si se sabe que al vender un par de zapatos de hombre se obtiene $ 35 de utilidad y $ 30 por cada par de zapatos de mujer. ALGORITMO PARA LA SOLUCIÓN DE CASOS COMBINADOS. Paso 1.- Identificación de las variables de decisión: El taller puede confeccionar dos tipos de calzados para hombre y mujer. Estos representan las variables de decisión que las representaremos por: PRODUCTOS NÚMERO PRODUCIDO Calzado para hombre X1 Calzado para mujer X2
  • 25. Paso 2.- Identificar la función objetivo: Z (MAX) = 35X1 + 30X2 Paso 3.- Identificar las restricciones de recursos: RECURSO UTILIZACIÓN DE LOS DISPONIBILIDAD RECURSOS EN: DE RECURSOS CALZADO CALZADO HOMBRE MUJER PRODUCCIÓN 2X1 + 1X2 > 10 Cuero y suela 1X1 + 1X2 < 9 Fibra 1X2 < 6 Tacos de caucho 1X1 < 5 X1; X2 > 0 Paso 4.- Realizar la gráfica con todas las restricciones. X2 = 6 Para todo valor de X1 X2 = 5 Para todo valor de X2
  • 26. Paso 5.- Determinación de los valores de los puntos críticos Cálculo del punto A Para calcular las coordenadas de este punto se forma un sistema de ecuaciones entre la ecuación 1 y 3. 2X1+ X2 = 10 X2 = 6 Reemplazo el valor de X2 en la Ecuación 1 2X1 + X2= 10 2X1 + (6) = 10 2X1 = 4 X1 = 4/2 X1 = 2 A (2; 6)
  • 27. Cálculo del punto B Para calcular las coordenadas de este punto se forma un sistema de ecuaciones entre la ecuación 2 y 3. X1 + X2 = 9 X2 = 6 Reemplazo el valor de X2 en la Ecuación 1 X1 + X2 = 9 X1 + 6 = 9 X1 = 3 B (3; 6) Cálculo del punto C Para calcular las coordenadas de este punto se forma un sistema de ecuaciones entre la ecuación 2 y 4. X1 + X2 = 9 X1 =5 Reemplazo el valor de X1 en la Ecuación 1 X1 + X2 = 9 5 + X2 = 9 X2 = 4 C (5; 4) Los puntos D se distinguen claramente en las intersecciones con los ejes y no necesita de cálculos para identificar sus coordenadas. D (5; 0) Paso 6.- Determinar la solución óptima Para determinar la solución óptima reemplazamos los valores del punto A, B, C y del punto D en la función objetivo. Z (MAX)=35X1 + 30X2
  • 28. A (2; 6) Z (MAX) = 35 (2) +30 (6) = 250 B (3; 6) Z (MAX) = 35 (3) +30 (6) = 285 C (5; 4) Z (MAX) = 35(5) +300(4) = 295 Punto óptimo. D (5; 0) Z (MAX) = 35 (5) + 300 (0) = 175 Paso 7.- Interpretación de la solución La máxima utilidad se presenta cuando X1 = 5 y X = 4 es decir cuando el taller fabrica 5 pares de zapatos de hombre y 4 pares de zapatos de mujer.