SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 118
PRUEBA DE
HIPOTESIS III
ESTADISTICA
INDUSTRIAL
Ing. William León Velásquez
TEMA 03
PRUEBA DE
HIPOTESIS
PARA
MUESTRAS
PEQUEÑAS
Ing William León Velásquez 2
CONTENIDO
Distribución t de Student
Prueba de hipótesis para una
muestra pequeña
Pruebas de hipótesis de dos
muestras: muestras dependientes
Pruebas de hipótesis de dos
muestras: muestras
independientes
La distribución F
3Ing William León Velásquez
DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
Ing William León Velásquez 4
DISTRIBUCIÓN t de
Student
 La distribución t de student fue
descubierta por William S. Gosset en
1908.
 Gosset era un estadístico, empleado
por la compañía de cerveza Guinness
con quien tenía un contrato que
estipulaba que no podía usar su
nombre en sus publicaciones.
 Recurrió al sobrenombre de “Student”
que es como ahora conocemos el tipo
de estadística que desarrolló.
Ing William León Velásquez 5
Distribución t de Student
 El tamaño de la muestra sea suficientemente grande. o
 Cuando se conoce la desviación estándar de la población
 Entonces se puede calcular un valor z y emplear la
distribución normal para evaluar probabilidades sobre la
media de la muestra.
 Si los tamaños de las muestras son muy pequeños, y no se conoce
la desviación estándar de la población, se utiliza una distribución
conocida como la “t de student” cuyos valores están dados por:
Diferencia a probar
Desviación estándar de la
diferencia o Error EstándarIng William León Velásquez 6
𝑡 =
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
Según el Teorema del Límite Central, la distribución
muestral de un estadístico (como la media de la muestra)
seguirá una distribución normal, siempre y cuando:
Distribución t de Student
 Se observa que la ecuación es prácticamente
igual a la que se utiliza para la distribución
muestral de medias para muestras grandes.
 Solo se ha reemplazado la desviación
estándar de la población por la desviación
estándar de la muestra.
n
X
z



Ing William León Velásquez 7
𝑡 =
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
Distribución t de Student
 De forma similar como en la
distribución muestral de medias cuando
n > 30, en donde se usa la distribución
normal, se encontrará la distribución de
los valores t de student para aquellos
casos para cuando n < 30.
Ing William León Velásquez 8
 Existe una diferencia en
su aplicación y es que
ahora se utilizará una o
más tablas de valores t en
lugar de la tabla para valor
Z.
Diferencias de la
Distribución t y de la Z
 La varianza de t no es igual a 1 como en la de Z,
 Depende del tamaño de la de muestra y siempre es
mayor a uno.
• Solo cuando el tamaño
de la muestra tiende a
infinito las dos
distribuciones serán las
mismas.
Ing William León Velásquez 9
 La forma de la distribución t de student
depende de un parámetro llamado el número
de grados de libertad.
 El número de grados de libertad es igual al
tamaño de la muestra (número de
observaciones independientes) menos 1.
gl= df= n –1
Nota: cuando se utiliza un software es posible que el número de
grados de libertad se denomine como df o DF (“degrees of
freedom”).
Ing William León Velásquez 10
GRADOS DE LIBERTAD
GRADOS DE LIBERTAD
 El concepto de grados de libertad se
puede visualizar haciendo referencia a la
varianza muestral que es igual a:
• Esta fórmula puede verse como un promedio
de las distancias a la media sobre n-1 datos.
• La terminología de grados de libertad resulta
del hecho de que si bien s2 considera n
cantidades, sólo n –1 de ellas pueden
determinarse libremente.
𝑆2 =
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑛 − 1
Ing William León Velásquez 11
Ejemplo:
Si tenemos 4 datos (n= 4) entonces tenemos cuatro diferencias:
Se sabe que la suma de ellas es = 0,
Por lo que si se conoce 3 de las diferencias
𝑥1 − 𝑥 = 4,
𝑥2 − 𝑥 = −2,
𝑥4 − 𝑥 = 3,
La suma de las diferencias 𝑥𝑖 − 𝑥 es 4 – 2 + 3 = 5
La última diferencia queda definida por 𝑥3 − 𝑥 = −5
porque 5 – 5= 0
Por lo tanto
GRADOS DE LIBERTAD
Lo que indica que sólo 3 de las diferencias (n–1= 4 –1 = 3) son
“libres” y la otra queda definida por las demás.
Ing William León Velásquez
12
PROPIEDADES DE LA
DISTRIBUCIÓN t
• Es simétrica.
• Más plana que la normal.
• Hay una distribución t
diferente para cada tamaño
posible de muestra.
• Una distribución t es
menor en la media y mayor
en las colas que una
distribución normal.
Ing William León Velásquez 13
-
Propiedades de la distribución t
o Es unimodal, con media en 0
o Es una familia de curvas, en
función de los llamados “grados
de libertad”. Es decir, hay una
distribución t de Student con 1 gl,
una distribución t de Student con
2 gl, etc.
o A medida que aumentan los
grados de libertad, la distribución
tiende más y más a una
distribución normal
estandarizada.
Ing William León Velásquez 14
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN
t de Student
• La tabla t es más compacta y muestra áreas y
valores de t sólo para algunos porcentajes.
• La tabla de la distribución t, no se concentra en
la probabilidad de que el parámetro de la
población que se está estimando se encuentre
dentro del intervalo de confianza.
Ing William León Velásquez 15
• En lugar de ello, mide la probabilidad
de que este parámetro NO esté dentro
de nuestro intervalo de confianza
(mide la probabilidad de que esté
fuera).
• En la tabla t debemos especificar los
grados de libertad que se manejan.
df
Nivel de Significación para la prueba de una cola
df
Nivel de Significación para la prueba de una cola
0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005
Nivel de Significación para la prueba de dos colas Nivel de Significación para la prueba de dos colas
0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001
1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922
2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,599 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883
3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850
4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819
5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792
6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768
7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745
8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725
9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707
10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690
11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674
Ing William León Velásquez 16
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN
t de Student
ESQUEMA
P H MEDIA
MUETRAS
PEQUEÑAS
MUESTAS
GRANDES
1
MUESTRA
DIST RIB. T
STUDENT
2
MUESTRAS
Ing William León Velásquez 17
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA
UNA MUESTRA PEQUEÑA
Ing William León Velásquez 18
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA. INTRODUCCIÓN
 En sesiones anteriores se
utilizo la distribución z,
siempre y cuando los
tamaños de las muestras
fueran mayores o iguales
a 30 ó en muestras más
pequeñas si se conocen la
desviación estándar de la
población.
 En esta sesión se podrán utilizar muestras
pequeñas siempre y cuando la distribución de
donde proviene la muestra tenga un
comportamiento normal.
Ing William León Velásquez 19
 Si de una población Normal con media 
y desviación estándar  se extrae una
muestra de tamaño n, entonces el estadístico
es:
 Que se distribuye como una t de Student
con n-1 grados de libertad.
Ing William León Velásquez 20
𝑡 =
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA:
Calculo del valor de t de la muestra
Ing William León Velásquez 21
 Un supervisor desea probar que el promedio de
calificaciones (media: µ) en las escuelas de
ingenierías son menores a 12 pts.
 Se selecciona una muestra aleatoria de 25
escuelas y se obtiene una media muestral 𝑋 =
11,916 y una desviación estándar es de S = 1,40.
21
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
• Se asume que la
distribución de
calificaciones es
aproximadamente
normal.
• Con un α=0.05
Ing William León Velásquez 22
PROBLEMAS UTILIZANDO LA DISTRIBUCIÓN
t
Paso 1
Definir el valor supuesto que se
desea probar:
– La Hipótesis Nula (H0) y
– La hipótesis alternativa (H1).
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA:
Pasos para solucionar
Ing William León Velásquez 23
1.- Formulación de las hipótesis:
H0 : µ = 12
H1 : µ < 12
La H1 indica que se trata de una
prueba de una cola hacia la
izquierda
El promedio de calificaciones en las escuelas de
ingenierías son menores a 12 pts.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
Ing William León Velásquez 24
Paso 2:
• Seleccionar el nivel de significación α
y los grados de libertad n-1.
Luego buscar el valor de tc utilizando
estos datos:
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA:
Pasos para solucionar
Ing William León Velásquez
25
2. Si se utiliza α = 0.05 y
25 - 1 = 24 grados de libertad,
El valor crítico de t tabla para una
cola
a)Según la Tabla “Distribución t de
Student”
b)Podemos encontrar +/-1.71 para
t de una cola, va depender de la
dirección expresada en la Ha.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
Ing William León Velásquez 26
Paso 3
Calcular el estadístico t aplicando la
fórmula
𝑡 =
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA
UNA MUESTRA PEQUEÑA:
Pasos para solucionar
Ing William León Velásquez 27
3. Cálculo el estadístico t aplicando formula,
utilizar la calculadora
 Se tiene los siguientes datos:
n=25
𝑋=11.916
μ=12
S=1.40
 Reemplazando en la fórmula:
 Se obtiene
 t=-0.3
𝑡 =
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
𝑡 =
11.916 − 12
1.40
25
Ing William León Velásquez 28
Paso 4
Formular la regla de decisión y concluir
tomando y justificando la decisión:
rechazar o no rechazar la Hipótesis Nula
(H0 )
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Pasos para
solucionar
t = - 0,3Ing William León Velásquez 29
4. Como el valor calculado del estadístico t =-0.3,
es menor que el valor de t tabla t(0,05; 24) : -1.71,
Entonces no se rechaza la H0.
En otras palabras No se puede afirmar con un
nivel de significancia del 5% que la calificación
promedio de los alumnos de ingeniería sea menor
de12 puntos.
-1,71
Zona de
no
rechazo
95%
5%
 Gráficamente se observa:
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
Ing William León Velásquez 30
 Un ingeniero químico afirma que el rendimiento
medio de cierto proceso en lotes es 500 gramos
por milímetro de materia prima.
• Para verificar esta afirmación el fabricante
toma una muestra de 25 lotes cada mes.
• ¿A Qué conclusión se llegará con un nivel
de confianza del 90%; si la muestra
extraída tiene una media de 518 gramos
por milímetro y una desviación estándar
de 40 gramos?
• Suponer que la distribución de
rendimientos es aproximadamente normal.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA
PEQUEÑA: Ejemplo 02
Ing William León Velásquez 31
Solución:
1. Formulación de las hipótesis
 Ho: µ=500
 H1: µ ≠ 500
 De la hipótesis alternativa
observamos que se trata de una
prueba de dos colas
• El rendimiento medio de cierto proceso en lotes
es DIFERENTE de 500 gramos por milímetro
de materia prima.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
 Regla de decisión: el fabricante quedará satisfecho
con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde
un valor t entre –1.71 y 1.71.
Ing William León Velásquez 32
2.- Con un α=0.01
prueba de dos colas
 De la tabla de la
Distribución de t de student
encontramos que α/2=
0.05 para 24 grados de
libertad el valor de t es 1.71
 O directamente a través de
la tabla de doble entrada α
=0.01 para dos colas es es
1.71.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
Ing William León Velásquez 33
3.- Se procede a calcular el valor de t:
4.- Este valor de 2.25 es mayor de 1.711,
Entonces se rechaza la Ho
es decir se puede afirmar con un nivel de significancia
del 1% que el rendimiento medio de cierto proceso en
lotes es diferente de 500 gramos por milímetro de
materia prima
Por lo tanto el fabricante concluye que no es cierta la
afirmación del ingeniero
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
𝑡 =
518 − 500
40
25
= 2.25
Ing William León Velásquez 34
Gráficamente:
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
-1.711 1.711
90%
tc=2.25
Cae en la zona de rechazo
0.050.05
t-t
Ing William León Velásquez 35
 Para hallar la probabilidad de
obtener un valor de Tcalculado :2.25,
con 24 grados de libertad
1. Se busca en la tabla la línea del
grado de libertad: 24
2. Se ubica un valor cercano a 2.25
3. Finalmente se ubica el valor de la
probabilidad en la parte superior
de la tabla
4. Como se observa es
aproximadamente 0.02 (valor de
p).
 Como p<α (0.1)
 Se confirma el rechazo de la Ho 2.2
5
Valor de
p≈0.02
Alfa=0
.1
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA
PEQUEÑA: Ejemplo 02. Calculando el valor p
P H MEDIA
MUETRAS
PEQUEÑAS
MUESTAS
GRANDES
1
MUESTRA
DIST RIB. T
STUDENT
2
MUESTRAS
INDEPENDIENTEDISTRIB. FDEPENDIENTES
VARIANZAS
DIFERENTES
VARIANZAS
IGUALES
ESQUEMA
Ing William León Velásquez 36
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE
DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ing William León Velásquez
37
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ing William León Velásquez 38
 Esta estrategia de la investigación surge cuando
cada observación para un tratamiento está
apareada con otra observación para el otro
tratamiento.
 Este par está compuesto por las mismas unidades
experimentales observadas dos veces en distintos
momentos de la investigación, o por unidades
semejantes
Ing William León Velásquez 39
 El procedimiento consiste
en buscar pares de
unidades experimentales
con características
similares y asignar
aleatoriamente cada
unidad del par a cada uno
de los dos tratamientos
en estudio.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ing William León Velásquez 40
Ejemplo de aplicación:
 Se desea probar dos tipos
de alimentos en dos
grupos de terneros para
ello se forman pares de la
misma raza, edad, sexo,
etc. y después de un
periodo, ver si existe
diferencia significativa o
no, entre los promedios de
ganancia de peso de
ambos grupos.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ing William León Velásquez 41
Ejemplo de aplicación:
 Se desea estudiar en dos
lotes de plantas del mismo
tipo, la aplicación de dos tipos
de herbicidas, y comprobar si
existen diferencias en la
resistencia de ciertas plagas
entre los lotes de plantas).
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE
DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ing William León Velásquez 42
1.- Se plantea las hipótesis :
Ho: D=0 ó Ho: D=0 o D=0
Ha: D≠0 ó Ha: D>0 o D<0
2.- Se obtiene tT
Con el α y como se establece una hipótesis de
un único parámetro poblacional (se podría
pensar en una sola muestra) ,
Y con el número de grados de libertad (n - 1)
Se obtiene el t n-1,0.05
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ing William León Velásquez 43
3.- Se calcula el tC
Donde:
𝑡 𝑐 =
𝑑 − 𝐷
𝑆 𝑑
𝑛
𝑑 =
𝑑𝑖
𝑛𝑖
𝑆 𝑑 =
𝑑𝑖 − 𝑑
2
𝑛 − 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ing William León Velásquez 44
4.- Luego se compara el
tc con tn -1 .
Las reglas de decisión son:
No se rechaza H0 cuando -tc < t < tc
Rechazar H0 si t < -tc ó t > tc
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ing William León Velásquez 45
Ejemplo 03
 Se hizo un estudio para definirse si los ejercicios
aeróbicos reducen el ritmo cardiaco de una persona
durante el descanso, Para ello se examina a diez
voluntarias antes y después de seguir un programa de
ese tipo durante seis meses,
Volunta
ria
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes 73 77 68 62 72 80 76 64 70 72
Despu
és
68 72 64 60 71 77 74 60 64 68
• Sus pulsaciones, en latidos por
minuto, dieron los siguientes
registros:
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ing William León Velásquez 46
 Usar α= 0.05 para calcular si los ejercicios
aeróbicos reducen el ritmo cardiaco
durante el reposo.
 Calcular
– Por la región crítica y
– Por el valor de P.
SOLUCIÓN
 α= 0.05
 GL: n-1 =10-1=9
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 03
Ing William León Velásquez 47
1.- Formulación de la hipótesis:
Ho: µA-µD=0 o µA=µD
H1: µA-µD>0 o µA>µD
El ritmo cardiaco de una persona durante
el descanso antes del programa es mayor
al ritmo cardiaco después del programa
Método de la región crítica
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 03
Ing William León Velásquez 48
2.- Cálculo del tT
tT=1.833Regla de decisión:
Si tc <=1.833 No se rechaza Ho
Si tc > 1.833 se rechaza Ho
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 03
Ing William León Velásquez 49
3.- Cálculos:
Se procederá a calcular las diferencias de cada par:
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 03
𝑑 =
𝑑𝑖
𝑛𝑖
𝑆 𝑑 =
𝑑𝑖 − 𝑑
2
𝑛 − 1
Ing William León Velásquez 50
 La media muestral de las diferencias 𝑑= 3.6
 La desviación estándar muestral de la
diferencia sd = 1.58.
 Para calcular el estadístico tc
𝑡 𝑐 =
𝑑 − 𝐷
𝑆 𝑑
𝑛
𝑡 𝑐 = 3.6−0
1.58
10
=7.20
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 03
Ing William León Velásquez 51
4.- Justificación y decisión:
Como 7.20 es mayor que 1.833, se rechaza H0,
Se puede afirmar con un nivel de significancia
del 5% que el ritmo cardiaco de una persona
durante el descanso antes del programa es
mayor al ritmo cardiaco después del programa
• Y se concluye con un nivel de
significancia de 0.05 que los
datos indican que los ejercicios
aeróbicos disminuyen
significativamente el ritmo
cardiaco durante el reposo.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 03
Ing William León Velásquez 52
Método por el valor de p:
 Para calcular el valor de P se busca el 7.20 en el
renglón de 9 grados de libertad en la tabla t,
𝑡 𝑐 = 3.6−0
1.58
10
=7.20
y se observa que el valor mayor que aparece en dicha tabla es
4.781 al cual le corresponde una área a la derecha de 0.0005,
entonces se puede concluir que el valor de P es prácticamente
cero.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 03
• Se realizó un estudio de 2 dietas a 11 obrero
diabéticos insulino-dependientes de una fabrica.
• Se utilizó la glucosa sérica como variables de
respuesta.
Ing William León Velásquez 53
• La dieta consistió en alta
(AF) y baja (BF) en fibra.
• Cada obrero fue
asignado aleatoriamente
para su primera dieta
donde se mantuvo por 6
meses y luego se le
cambió a la otra dieta
por otros 6 meses.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 04
 En la tabla siguiente se resumen los resultados de
glucosa pos-tratamiento.
• ¿Las dietas propuestas ejercen algún efecto sobre el nivel
de glucosa sérica a un nivel de significación de 0,01?
Ing William León Velásquez 54
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Id
Obrero
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
AF 94 176 98 169 104 118 151 91 196 98 232
BF 93 87 99 127 99 89 154 68 119 81 173
Ejemplo 04
Ing William León Velásquez 55
1.- Formulación de la Hipótesis:
 Ho : D = 0
 H1 : D≠ 0
 el nivel de glucosa sérica con las dietas de
alta fibra es diferente al nivel obtenido con
la dieta de baja fibra
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 04
2.- Cálculo del tc
 Con α=0.01 de dos colas
 Gl=11-1=10
 ttab=3.169
Si t > 3.169 o si t <-3.169 se rechaza Ho
Ing William León Velásquez 56
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 04
3.- Se calcula el tC
Primero se calcula las diferencias y sus estadísticos
Ing William León Velásquez 57
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 04
𝑑 =
𝑑𝑖
𝑛𝑖
𝑆 𝑑 =
𝑑𝑖 − 𝑑
2
𝑛 − 1
=
30.73−0
32.26
11
=1.73
Ing William León Velásquez 58
Los resultados de la muestra fueron:
𝑑=30.727
𝑆 𝑑=32.26
n=11
Se obtiene el estadístico de la prueba:
𝑡 𝑐 =
𝑑 − 𝐷
𝑆 𝑑
𝑛
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 04
4.- Interpretación y conclusión:
Como 1.73<3.17 No Se rechaza la Ho
 No se puede afirmar con un nivel de significancia
del 1%, que no existe diferencias en las
cantidades de glucosa en los dos grupos
 Por lo tanto se pueden concluir las dietas
propuestas no ejercen algún efecto diferente
sobre el nivel de glucosa sérica a un nivel de
significación de 0,01.
Ing William León Velásquez 59
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ejemplo 04
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS INDEPENDIENTES
Ing William León Velásquez 60
Ing William León Velásquez 61
 Meta: Prueba de Hipótesis o formar un intervalo
de confianza para la diferencia entre la media de
las dos poblaciones.
1.- Dos medias poblacionales, Muestras
independientes
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
 Diferentes fuentes de datos
• No relacionados
• Independientes
– Muestra seleccionada de una
población no tiene efecto
sobre la muestra seleccionada
de otra población.
Ing William León Velásquez 62
2.- Formulación de las Hipótesis
Prueba Cola
Inferior
Ho:μ1 = μ2
Ho:μ1 < μ2
Equiv
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2<0
Prueba Cola
Superior
Ho:μ1 = μ2
Ho:μ1 > μ2
Equiv
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2>0
Prueba de dos
Colas
Ho:μ1 = μ2
Ho:μ1 ≠ μ2
Equiv
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2≠0
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Ing William León Velásquez 63
2.- Formulación de las Hipótesis
Prueba Cola
Inferior
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2<0
Prueba Cola
Superior
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2>0
Prueba de dos
Colas
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2≠0
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Rechazar Ho si tc<-tα Rechazar Ho si tc> tα
Rechazar Ho si tc> tα/2 y
tc< tα/2
Ing William León Velásquez 64
3. Para calcular el estadístico de la muestra se tiene
dos opciones.
o Prueba “t” para dos muestras suponiendo
varianzas iguales.
oEs la prueba “t” donde se compara los
promedios de dos grupos independientes,
cuyas varianzas sean iguales u
homocedásticas.
o Prueba “t” para dos muestras suponiendo
varianzas desiguales.
oEs la prueba “t” donde se compara los
promedios de dos grupos independientes,
cuyas varianzas sean desiguales o
heterocedásticas.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Ing William León Velásquez 65
• Se probará la
igualdad de
varianza
• Se usará Sp para
estimar σ
desconocidas
σ1 y σ2
desconocid
os
Se asumen
iguales
• Se probará la
igualdad de
varianza
• Se usará S1 y S2
para estimar σ1 y
σ2 desconocidas
σ1 y σ2
desconocidos
No se asumen
iguales
3. Para calcular el estadístico de la muestra
se tiene dos opciones.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS INDEPENDIENTES
SE ASUME VARIANZAS IGUALESIng William León Velásquez 66
Ing William León Velásquez 67
 Se asume:
 Las muestras son aleatorias e independientes
 Las Poblaciones son normalmente distribuidas o el
tamaño muestral de ambas muestra es por lo menos 30
 Varianzas poblacionales son asumidas iguales y
desconocidas
La varianza ponderada es: El estadístico de prueba es:
Donde t tiene d.f. = (n1 + n2 – 2)
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
𝑆2
𝑝 =
𝑛1 − 1 𝑆2
1 + (𝑛2 − 1)𝑆2
2
𝑛1 − 1 + (𝑛2 − 1)
𝑡 𝑐 =
𝑋1 − 𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝑆2
𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
Ing William León Velásquez 68
 El intervalo de confianza para μ1 – μ2 es:
Donde tα/2 tiene d f = n1 + n2 – 2
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
𝑋1 − 𝑋2 ± 𝑡 𝛼
2
𝑆2
𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
Ejemplo 5
Ing William León Velásquez 69
 Un analista financiero quiere saber si
existe una diferencia entre los dividendos
de dos depósitos tal como se muestra en la
tabla. (A y B)
 Los datos son los siguientes:
A B
Numero 21 25
Media muestral 3.27 2.53
Desv. Est. Muest. 1.30 1.16
Asumiendo que ambas poblaciones son normales
con varianzas iguales, existirá una diferencia entre
los dividendos(α = 0.05)?
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Ing William León Velásquez 70
1.- Formulación de las Hipótesis:
H0: μ1 - μ2 = 0 i.e. (μ1 = μ2)
H1: μ1 - μ2 ≠ 0 i.e. (μ1 ≠ μ2)
existe una diferencia entre los dividendos de los dos
depósitos
2.- Cálculo del estadístico
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
𝑆2
𝑝 =
𝑛1 − 1 𝑆2
1 + (𝑛2 − 1)𝑆2
2
𝑛1 − 1 + (𝑛2 − 1)
𝑆2
𝑝 =
21 − 1 1.302
+ (25 − 1)1.162
21 − 1 + (25 − 1)
= 1.5021
𝑡 𝑐 =
𝑋1 − 𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝑆2
𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝑡 𝑐 =
3.27 − 2.53 − 0
1.5021
1
21
+
1
25
= 2.040
Ejemplo 5
Ing William León Velásquez 71
3. Hallando el valor crítico:
α = 0.05
df = 21 + 25 - 2 = 44
Valores Críticos: t = ± 2.0154
Estadístico t
4.-Decisión y Conclusión:
Se puede afirmar con un nivel de significancia del 5%, que
existe una diferencia entre los dividendos de los dos
depósitos
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Ejemplo 5
𝑡 =
3.27 − 2.53
1.5021
1
21
+
1
25
= 2.040
Se Rechaza la Ho
Con Intervalo de confianza para μ1 - μ2
Ing William León Velásquez 72
Como se rechaza la H0,
Establecer un 95% de intervalo de confianza de tal
manera que μA ≠μB?
95% I.C. para μA - μB
Se observa que O está fuera del intervalo de confianza,
Por lo tanto se puede concluir con 95% que μA ≠ μB
𝑿 𝟏 − 𝑿 𝟐 =3.27 - 2.53=0.74
Tα/2 =2.0154
Error tm=0.3628
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
𝑋1 − 𝑋2 ± 𝑡 𝛼
2
𝑆2
𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
=
= 0.74 ± 2.0154 * 0.3628 = (0.009,1.471)
Ejemplo 5
Ejemplo 6 mediante el valor de p
Ing William León Velásquez 73
• Se estudia la capacidad antioxidante de la lecha
materna versus la leche de fórmula. Para ello se
selecciona un grupo de 22 niños que recibió
leche materna normal durante sus primeros 3
meses de vida. Y otro grupo de 14 niños, que no
pudieron ser amamantados por su madre, y que
recibió leche con una fórmula especial.
• A los tres meses de vida se mide la
capacidad antioxidante desarrollada en los
dos grupos de niños.
• En base a los resultados adjuntos, realice una
prueba de hipótesis comparando las medias
de la capacidad antioxidante, para revisar los
supuestos (asuma normalidad).
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Ejemplo 6 mediante el valor de p
 Los datos recopilados se
muestran en la tabla adjunta:
Ing William León Velásquez 74
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Tipo de
leche
N Medi
a
Desv
Est.
Error
Est. de
Media
Materna 22 80.3
3
8.144 1.736
Formula 14 71.8
3
9.194 2.457
Ing William León Velásquez 75
Solución:
o Nos interesa comparar las medias de
dos grupos independientes
o Primero se debe revisar los supuestos:
1.Nos dicen que asuman normalidad
2.Se asume Homogeneidad de
varianzas
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Ejemplo 6 mediante el valor de p
Ing William León Velásquez 76
1.- Formulación de la hipótesis:
 Se trata de una Prueba bilateral
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2≠0
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Ejemplo 6 mediante el valor de p
La capacidad antioxidante entre los dos grupos de niños son
diferentes
Ing William León Velásquez 77
2.- Cálculo del estadístico de la prueba:
34~2,904
927,2
50,8
927,2
71,83-80,33
11
21
21
)t(
nn
s
xx
t
c




PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Ejemplo 6 mediante el valor de p
𝑆2
𝑐 =
𝑛1 − 1 𝑆2
1 + (𝑛2 − 1)𝑆2
2
𝑛1 − 1 + (𝑛2 − 1)
=
22−1 8.1442+(14−1)9.1942
22−1 +(14−1)
=73.285
Sc=8.56
Ing William León Velásquez 78
3.- Obtención del valor de p
 El valor p se encuentra entre 0.010 y 0.005,
para hallar el valor mas aproximado , se
debe interpolar
GL: n1+n2-2 = 22 + 14 – 2 = 34
t=2.94
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Ejemplo 6 mediante el valor de p
x
Ing William León Velásquez 79
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Entonces el valor de p
es aproximadamente
0.007
Valor de p=0.007
Ejemplo 6
Como el valor de p
(0.007) es menor que alfa
(0.05) se rechaza la Ho
Ing William León Velásquez 80
4.- Conclusiones:
 Por lo tanto,
 Se puede afirmar con un nivel de significancia
del 5% que la capacidad antioxidante entre los
dos grupos de niños son diferentes
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
Ejemplo 6 mediante el valor de p
• Se concluye que la capacidad
antioxidante de la leche materna y de
la fórmula usada en este estudio, son
distintas, con un nivel de
significación del 5%.
La
distribución F
Ing William León Velásquez 81
• La distribución F es una de
las familias de
distribuciones que se utiliza
en el análisis estadístico, se
identifica por los grados de
libertad del numerador y del
denominador en relación a
sus varianzas muestrales
• Se denomina así en honor a
Sir Ronald Fisher, uno de
los fundadores de la ciencia
estadística moderna.
Ing William León Velásquez 82
Uso:
Para probar si dos muestras
provienen de poblaciones con
varianzas iguales.
Para comparar
simultáneamente varias
medias poblacionales
(ANOVA).
Para probar y comparar, las poblaciones deben
ser normales, y los datos, por lo menos deben
estar en nivel de intervalo
Ing William León Velásquez 83
Es continua
Esto significa que puede
tomar una cantidad
infinita de valores entre 0
y más infinito
Ing William León Velásquez 84
La distribución F.
Características
Es asintótica
Conforme los valores de
X aumentan, la curva de
la distribución F se
aproxima al eje X, pero
nunca lo toca. Es la
misma característica que
describe una distribución
normal.
Ing William León Velásquez 85
La distribución F.
Características
Sus valores no pueden
ser negativos
El menor valor que
puede asumir F es
cero
Ing William León Velásquez 86
La distribución F.
Características
Tiene sesgo positivo
La cola larga de la
distribución se encuentra a
la derecha. Conforme el
numero de grados de
libertad aumenta, tanto en
el numerador como en el
denominador, la
distribución se aproxima a
una distribución normal.
Ing William León Velásquez 87
La distribución F.
Características
Existe una familia de
distribuciones F
Un miembro específico
de la familia queda
determinado por dos
parámetros: los grados
de libertad en el
numerador y los grados
de libertad en el
denominador.
Ing William León Velásquez 88
La distribución F.
Características
89
Ing William León Velásquez
La distribución F. Usos
Comparación de
dos varianzas
poblacionales
• Se utiliza para probar la
hipótesis de que la varianza de
una población normal es igual a
la varianza de otra población
normal.
Prueba de
medias de mas
de dos muestras
• Análisis de la técnica de la
varianza (ANOVA), en la cual
se comparan tres o más medias
poblacionales para determinar
si pueden ser iguales.
90
 El índice de rendimiento medio de los
dos tipos de acciones comunes
puede ser el mismo, pero quizás haya
más variación en el índice de
rendimiento en un tipo que en otro.
 Una muestra de 10 acciones
relacionadas con la tecnología y 10
acciones de compañías de servicios
presentan el mismo índice de
rendimiento medio, pero es probable
que haya más variación en las
acciones vinculadas a la tecnología.
Ejemplos de aplicación:
Ing William León Velásquez
La distribución F. Comparación de
dos varianzas poblacionales
91
 Un estudio del departamento
de marketing de un periódico
importante reveló que los
hombres y las mujeres utilizan
la misma cantidad de tiempo
navegando por la Web.
 Sin embargo, en el mismo
reporte se indica que había
casi el doble de variación en el
tiempo pasado por día entre
los hombres que las mujeres.
Ejemplos de aplicación :
Ing William León Velásquez
La distribución F. Comparación de
dos varianzas poblacionales
Ing William León Velásquez 92
Para realizar la prueba, se selecciona una muestra
aleatoria de n1 observaciones de una población y
una muestra de n2 observaciones de la segunda
población.
H0: σ1
2 = σ2
2
H1: σ1
2 ≠ σ2
2
1.- Formulación de las hipótesis:
La distribución F. Procedimiento
para realizar la prueba
Ing William León Velásquez 93
2.- Cálculo del estadístico:
Para realizar la prueba, se selecciona una
muestra aleatoria de n1 observaciones de
una población y una muestra de n2
observaciones de la segunda población.
El estadístico de prueba se define como:
F0 =
𝑆2
1
𝑆2
2
La distribución F. Procedimiento
para realizar la prueba
Para fines prácticos se elige la varianza mas grande la
muestra se coloca en el numerador, de allí que la razón
de F será mayor que 1
Ing William León Velásquez 94
3.- Obtención del FT
Con los grados de libertad de las dos
muestras n1 y n2 y el nivel de significancia,
Se va a las tablas y se obtiene
𝐹(𝑛1−1,𝑛2−1)
La distribución F. Procedimiento
para realizar la prueba
Ing William León Velásquez 95
4.- Conclusión
Si F0 > Se Rechazará la Ho𝐹(𝑛1−1,𝑛2−1)
La distribución F. Procedimiento
para realizar la prueba
Ing William León Velásquez 96
 Una empresa importadora tiene dos
rutas para llegar al aeropuerto.
Si se desea estudiar el tiempo en
conducir al aeropuerto por cada ruta y
luego comparar los resultados.
Se recopiló los siguientes datos
muestrales que aparecen en la tabla,
 Mediante el nivel de significancia 0.10,
¿hay alguna diferencia en la variación
en los tiempos de manejo para las dos
rutas?
La distribución F. Ejemplo 7
Ruta
1
57 72 61 50 75 59 69
Ruta
2
64 65 66 56 61 68 62 70
97
Paso 1: Se establece la hipótesis nula
(H0) y la hipótesis alternativa H1
H0: σ1
2 = σ2
2
H1: σ1
2 ≠ σ2
2
Paso 2: Se selecciona un nivel de
significancia
α = 0.05 como se menciona en
el problema
Paso 3: Se selecciona el estadístico de
prueba .
Su usa la distribución F
Ing William León Velásquez
La distribución F. Ejemplo 7
Solo de Comparación de Varianza
Ing William León Velásquez 98
Paso 2: Se obtiene el FT.
Calculo de las varianzas de las muestras
La distribución F. Ejemplo 7
Solo de Comparación de Varianza
Como la varianza de la ruta 1 es mayor que la varianza de
la ruta 2, la ruta1 será el numerador
𝑆𝑖 =
(𝑥 − 𝑥)2
𝑛 − 1
𝑥 =
𝑥
𝑛
Ing William León Velásquez 99
Se formula la regla de decisión.
Se rechaza la H0 si F > F,v1,v2
F > F.05,7-1,8-1 F > 3.866
con α=0.05
F=3.866
Paso 2: Se obtiene el FT.
La distribución F. Ejemplo 7
Solo de Comparación de Varianza
GLR1=6
GLR2=7
1 0 0
Paso 3: Se calcula el valor de F
Ruta 1 Ruta 2
Ing William León Velásquez
La distribución F. Ejemplo 7
Solo de Comparación de Varianza
𝑆1 =
660.43
7 − 1
= 10.49 𝑆2 =
334
8 − 1
= 6.91
𝐹𝑐 =
(10.49)2
(6.91)2
= 2.30𝐹𝑐 =
𝑆2
1
𝑆2
2
Calculando el valor de Fc
1 0 1
FT=3.866
FC=2.30 La decisión es no rechazar la hipótesis nula,
debido a que el valor F calculado es mayor que el
valor crítico
No se puede afirmar con un nivel de significancia del
5%, que haya una diferencia en la variación de los
tiempos recorridos por las dos rutas.
Ing William León Velásquez
Ejemplo 7: Solo de Comparación de
Varianza
Paso 4: se toma una decisión
Ing William León Velásquez 102
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS INDEPENDIENTES
Con verificación de igualdad de varianzas
Varianzas
Poblacionales
desconocidas
Se asume
Varianzas
iguales
Se asume
Varianzas
diferentes
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
Se debe verificar si se asume que son iguales
Ing William León Velásquez 103
Ing William León Velásquez 104
Prueba de hipótesis sobre la diferencia
de medias. Muestras independientes, Varianzas
desconocidas pero se asume iguales
𝑡 =
𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑆 𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
Ho: µ1 = µ2
Ho: µ1 ≠ µ2
𝑆2
𝑝 =
𝑛1 − 1 𝑆2
1 + 𝑛2 − 1 𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
tT(𝑛1 + 𝑛2 − 2)
Para probar Ho se debe calcular el estadístico t y compararlo
con el tC
Ing William León Velásquez 105
Prueba de hipótesis sobre la diferencia de
medias. Muestras independientes, Varianzas
desconocidas pero se asume diferentes
Para probar Ho se debe calcular el estadístico t y compararlo con el
tC
𝑡 =
𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑆2
1
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
Ho: µ1 = µ2
Ho: µ1 ≠ µ2
tc(glp)
𝑔𝑙 𝑝 =
𝑆2
1
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
2
𝑆2
1
𝑛1
2
𝑛1 − 1
+
𝑆2
2
𝑛2
2
𝑛2 − 1
 La cantidad de impurezas presente en un lote de sustancia
química utilizada como materia prima es determinante para
evaluar la calidad
 Un fabricante que usa dos líneas de producción 1 y 2, hizo un
ligero ajuste a la línea 2 con la esperanza de reducir la
cantidad promedio de impurezas en la sustancia química.
Ing William León Velásquez 106
Línea n Promedio Varianza
1 16 3.2 1.04
2 16 3.0 0.51
¿Los datos aportan suficiente
evidencia para concluir que la
impurezas del proceso es menor para
la línea 2?
Muestras aleatorias en cada línea arrojaron las siguientes mediciones
Ejemplo 8
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
 Solución:
 Nos interesa comparar las medias de dos grupos
independientes
 Primero se debe revisar los supuestos:
1.Nos dicen que asuman normalidad
2.En este caso ya no se asume Homogeneidad de
varianzas, tenemos que probarla
Ing William León Velásquez 107
Ejemplo 8
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
Fase 1: de Comparación de Varianzas
1.- Formulación de las hipótesis
 Ho:𝜎1
2=𝜎2
2
La varianza de la población 1 es igual a la
varianza de la población 2
 H1:𝜎1
2
≠ 𝜎2
2
La varianza de la población 1 es diferente a la
varianza de la población 2
Ing William León Velásquez 108
Ejemplo 8
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
Ing William León Velásquez 109
Si el Fc muestral es menor que 2.4. No rechazamos la hipótesis Ho
Si el Fc muestral es mayor que 2.4. Rechazamos la hipótesis nula
Ejemplo 8
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
Como la varianza de la población 1 es mayor que la
varianza de la población 2 el numerador le
corresponde a la línea 1
Gl1=16-1=15 Gl2=16-1=15
Con un valor de α=5%
𝐹0.05,15,15 = 2.40
Línea n Promedio Varianza
1 16 3.2 1.04
2 16 3.0 0.51
Ing William León Velásquez 110
No se puede afirmar con un nivel de significancia del 10% que La varianza
de la población 1 sea diferente a la varianza de la población 2
Por lo tanto se pueden asumir que las varianzas de la población son
iguales
2.40
2. 04
Ejemplo 8
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
Los datos muestrales arrojaron la siguiente información:
𝐹 =
1.04
0.51
= 2.04
𝐹 =
𝑆2
1
𝑆2
2
No
recha
zo
Con un nivel de
significancia de 0.05,
no se rechaza Ho
Ing William León Velásquez 111
Fase 2: Prueba de Hip. Para muestras pequeñas
independientes.
Paso 1:
Para probar la disminución de impurezas se utiliza la
siguiente prueba de hipótesis:
Ho: µ1 = µ2
Ho: µ1 > µ2
La cantidad de promedio de impurezas de la línea 1
es mayor que la línea 2
Ejemplo 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
Ing William León Velásquez 112
Paso 2
El estadístico de prueba teniendo en cuenta que
mediante la prueba F, se concluyó que se asumen
varianzas iguales es:
Ejemplo 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
𝑡 =
𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑆 𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝑆2
𝑝 =
𝑛1 − 1 𝑆2
1 + 𝑛2 − 1 𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
Ing William León Velásquez 113
Paso 3
Definición de la región crítica:
Con un α=5% y con GL:30
De la tabla se tiene:
𝑡(0.05,30) = 1.6973
Si el tc muestral es menor que 1.6973. No
rechazamos la Ho
Si el tc muestral es mayor que 1.6973. Rechazamos
la Ho
Ejemplo 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
No rechazo
Ing William León Velásquez 114
Paso 4: Cálculo de t de los datos:
Cantidad de impurezas se utiliza la tabla:
Ejemplo 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
Linea n Promedio Varianza
1 16 3.2 1.04
2 16 3.0 0.51
Se calcula, primero la Desviación estándar ponderada
𝑆2
𝑝 =
𝑛1 − 1 𝑆2
1 + 𝑛2 − 1 𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
𝑆2
𝑝 =
15 1.04 + 15 0.51
30
= 0.775 Sp=0.88
Ing William León Velásquez 115
Paso 4: Cálculo de t de los datos:
Cantidad de impurezas se utiliza la tabla:
Ejemplo 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
𝑡 =
𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑆 𝑝
1
𝑛1
+
1
𝑛2
Línea n Promedio Varianza
1 16 3.2 1.04
2 16 3.0 0.51
𝑡 =
3.2−3.0
0.88
1
16
+
1
16
= 0.9
Como td (0.9) se encuentra en la región de no rechazo
entonces No se rechaza la Ho,
NO Se puede afirmar con in nivel de significancia del 5% que
la cantidad de promedio de impurezas de la línea 1 sea
mayor que de la línea 2
Lo que quiere decir que el ajuste no produjo ninguna
reducción
Ing William León Velásquez 116
Paso 5: Decisión y conclusión:
Ejemplo 1
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
Tα=1.6973
Tc=0.9No rechazo
FIN
wjleonv@yahoo.com
Ing. William León Velásquez 118

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Capitulo 4 : Pruebas de Hipótesis
Capitulo 4 : Pruebas de HipótesisCapitulo 4 : Pruebas de Hipótesis
Capitulo 4 : Pruebas de Hipótesisug-dipa
 
Problemas resueltos de distribución muestral
Problemas resueltos de distribución muestralProblemas resueltos de distribución muestral
Problemas resueltos de distribución muestralasrodriguez75
 
Prueba de hipótesis para distribuciones normal, y t student. Presentación dis...
Prueba de hipótesis para distribuciones normal, y t student. Presentación dis...Prueba de hipótesis para distribuciones normal, y t student. Presentación dis...
Prueba de hipótesis para distribuciones normal, y t student. Presentación dis...JAVIER SOLIS NOYOLA
 
50 ejercicios estadistica
50 ejercicios estadistica50 ejercicios estadistica
50 ejercicios estadisticaPAHOLA24
 
Pruebas de hipótesis para una muestra
Pruebas de hipótesis para una muestraPruebas de hipótesis para una muestra
Pruebas de hipótesis para una muestraAlejandro Ruiz
 
Uso de la tabla de distribucion de probabilidad normal estandar
Uso de la tabla de distribucion de probabilidad normal estandarUso de la tabla de distribucion de probabilidad normal estandar
Uso de la tabla de distribucion de probabilidad normal estandarAraceli Gomez
 
Ejercicios unidad 3 mata
Ejercicios unidad 3 mataEjercicios unidad 3 mata
Ejercicios unidad 3 mataKassandra Gomez
 
Ejercicios Resueltos: Probabilidades y Variables Aleatorias
Ejercicios Resueltos: Probabilidades y Variables AleatoriasEjercicios Resueltos: Probabilidades y Variables Aleatorias
Ejercicios Resueltos: Probabilidades y Variables AleatoriasJaviera Huera (Temuco)
 
Muestreo aleatorio simple
Muestreo aleatorio simpleMuestreo aleatorio simple
Muestreo aleatorio simplemilit
 
2. ejercicios de prueba de hipótesis
2. ejercicios de prueba de hipótesis2. ejercicios de prueba de hipótesis
2. ejercicios de prueba de hipótesisluiisalbertoo-laga
 
Trabajos resueltos de inferencia 2015
Trabajos resueltos de inferencia 2015Trabajos resueltos de inferencia 2015
Trabajos resueltos de inferencia 2015omarbsc
 
DISTRIBUCION T DE STUDENT
DISTRIBUCION T DE STUDENTDISTRIBUCION T DE STUDENT
DISTRIBUCION T DE STUDENTTorimat Cordova
 
Ejercicios sobre muestreo
Ejercicios sobre muestreoEjercicios sobre muestreo
Ejercicios sobre muestreo216846
 
Ensayo de estadística inferencial
Ensayo de estadística inferencialEnsayo de estadística inferencial
Ensayo de estadística inferencialthomas669
 
Cálculo del tamaño de muestra (con ejemplos)
Cálculo del tamaño de muestra  (con ejemplos)Cálculo del tamaño de muestra  (con ejemplos)
Cálculo del tamaño de muestra (con ejemplos)Filomeno Carvajal
 

La actualidad más candente (20)

Capitulo 4 : Pruebas de Hipótesis
Capitulo 4 : Pruebas de HipótesisCapitulo 4 : Pruebas de Hipótesis
Capitulo 4 : Pruebas de Hipótesis
 
Problemas resueltos de distribución muestral
Problemas resueltos de distribución muestralProblemas resueltos de distribución muestral
Problemas resueltos de distribución muestral
 
Prueba de hipótesis para distribuciones normal, y t student. Presentación dis...
Prueba de hipótesis para distribuciones normal, y t student. Presentación dis...Prueba de hipótesis para distribuciones normal, y t student. Presentación dis...
Prueba de hipótesis para distribuciones normal, y t student. Presentación dis...
 
50 ejercicios estadistica
50 ejercicios estadistica50 ejercicios estadistica
50 ejercicios estadistica
 
Pruebas de hipótesis para una muestra
Pruebas de hipótesis para una muestraPruebas de hipótesis para una muestra
Pruebas de hipótesis para una muestra
 
Uso de la tabla de distribucion de probabilidad normal estandar
Uso de la tabla de distribucion de probabilidad normal estandarUso de la tabla de distribucion de probabilidad normal estandar
Uso de la tabla de distribucion de probabilidad normal estandar
 
Ejercicios unidad 3 mata
Ejercicios unidad 3 mataEjercicios unidad 3 mata
Ejercicios unidad 3 mata
 
Análisis de Regresión Lineal
Análisis de Regresión LinealAnálisis de Regresión Lineal
Análisis de Regresión Lineal
 
Ejercicios Resueltos: Probabilidades y Variables Aleatorias
Ejercicios Resueltos: Probabilidades y Variables AleatoriasEjercicios Resueltos: Probabilidades y Variables Aleatorias
Ejercicios Resueltos: Probabilidades y Variables Aleatorias
 
Muestreo aleatorio simple
Muestreo aleatorio simpleMuestreo aleatorio simple
Muestreo aleatorio simple
 
2. ejercicios de prueba de hipótesis
2. ejercicios de prueba de hipótesis2. ejercicios de prueba de hipótesis
2. ejercicios de prueba de hipótesis
 
Prueba de hipotesis
Prueba de hipotesisPrueba de hipotesis
Prueba de hipotesis
 
Resueltos estimacion
Resueltos estimacionResueltos estimacion
Resueltos estimacion
 
Trabajos resueltos de inferencia 2015
Trabajos resueltos de inferencia 2015Trabajos resueltos de inferencia 2015
Trabajos resueltos de inferencia 2015
 
DISTRIBUCION T DE STUDENT
DISTRIBUCION T DE STUDENTDISTRIBUCION T DE STUDENT
DISTRIBUCION T DE STUDENT
 
Ejercicios sobre muestreo
Ejercicios sobre muestreoEjercicios sobre muestreo
Ejercicios sobre muestreo
 
Ensayo de estadística inferencial
Ensayo de estadística inferencialEnsayo de estadística inferencial
Ensayo de estadística inferencial
 
Estadistica practic
Estadistica practicEstadistica practic
Estadistica practic
 
Cálculo del tamaño de muestra (con ejemplos)
Cálculo del tamaño de muestra  (con ejemplos)Cálculo del tamaño de muestra  (con ejemplos)
Cálculo del tamaño de muestra (con ejemplos)
 
Análisis de la varianza
Análisis de la varianzaAnálisis de la varianza
Análisis de la varianza
 

Destacado

Ejercicios de prueba de hipotesis con 𝜎 desconocida (10)
Ejercicios de prueba de hipotesis con 𝜎 desconocida (10) Ejercicios de prueba de hipotesis con 𝜎 desconocida (10)
Ejercicios de prueba de hipotesis con 𝜎 desconocida (10) Luz Hernández
 
2 prueba z,prueba t student y prueba chi-cuadrado
2 prueba z,prueba t student y prueba chi-cuadrado2 prueba z,prueba t student y prueba chi-cuadrado
2 prueba z,prueba t student y prueba chi-cuadradoRomina Gallegos Ormeño
 
Apuntes de estadística escolarizado
Apuntes de estadística escolarizadoApuntes de estadística escolarizado
Apuntes de estadística escolarizadoUriel Moreno Avila
 
Apuntes Clase Estadistica I(Itsz)
Apuntes Clase Estadistica I(Itsz)Apuntes Clase Estadistica I(Itsz)
Apuntes Clase Estadistica I(Itsz)edgar.silva
 
control estadistico de procesos-prueba de hipotesis
control estadistico de procesos-prueba de hipotesiscontrol estadistico de procesos-prueba de hipotesis
control estadistico de procesos-prueba de hipotesisSonia Ynés Huaripaucar G
 
Prueba de Hipótesis para una media y proporción-estadistica
Prueba de Hipótesis para una media y proporción-estadisticaPrueba de Hipótesis para una media y proporción-estadistica
Prueba de Hipótesis para una media y proporción-estadisticaYanina C.J
 
T de student para dos muestras independientes
T de student para dos muestras independientesT de student para dos muestras independientes
T de student para dos muestras independientesJoseph AB
 

Destacado (9)

Prueba de Hipotesis
Prueba de HipotesisPrueba de Hipotesis
Prueba de Hipotesis
 
Prueba de Hipotesis Est ind clase01
Prueba de Hipotesis Est ind clase01Prueba de Hipotesis Est ind clase01
Prueba de Hipotesis Est ind clase01
 
Ejercicios de prueba de hipotesis con 𝜎 desconocida (10)
Ejercicios de prueba de hipotesis con 𝜎 desconocida (10) Ejercicios de prueba de hipotesis con 𝜎 desconocida (10)
Ejercicios de prueba de hipotesis con 𝜎 desconocida (10)
 
2 prueba z,prueba t student y prueba chi-cuadrado
2 prueba z,prueba t student y prueba chi-cuadrado2 prueba z,prueba t student y prueba chi-cuadrado
2 prueba z,prueba t student y prueba chi-cuadrado
 
Apuntes de estadística escolarizado
Apuntes de estadística escolarizadoApuntes de estadística escolarizado
Apuntes de estadística escolarizado
 
Apuntes Clase Estadistica I(Itsz)
Apuntes Clase Estadistica I(Itsz)Apuntes Clase Estadistica I(Itsz)
Apuntes Clase Estadistica I(Itsz)
 
control estadistico de procesos-prueba de hipotesis
control estadistico de procesos-prueba de hipotesiscontrol estadistico de procesos-prueba de hipotesis
control estadistico de procesos-prueba de hipotesis
 
Prueba de Hipótesis para una media y proporción-estadistica
Prueba de Hipótesis para una media y proporción-estadisticaPrueba de Hipótesis para una media y proporción-estadistica
Prueba de Hipótesis para una media y proporción-estadistica
 
T de student para dos muestras independientes
T de student para dos muestras independientesT de student para dos muestras independientes
T de student para dos muestras independientes
 

Similar a Prueba de Hipotesis para Muestras Pequeñas Est ind clase03

Similar a Prueba de Hipotesis para Muestras Pequeñas Est ind clase03 (20)

Distribucion T de Student
Distribucion T de StudentDistribucion T de Student
Distribucion T de Student
 
39028492 distribucion-t-de-student-scrib
39028492 distribucion-t-de-student-scrib39028492 distribucion-t-de-student-scrib
39028492 distribucion-t-de-student-scrib
 
39028492 distribucion-t-de-student-scrib
39028492 distribucion-t-de-student-scrib39028492 distribucion-t-de-student-scrib
39028492 distribucion-t-de-student-scrib
 
GRUPO D (1).pptx
GRUPO D (1).pptxGRUPO D (1).pptx
GRUPO D (1).pptx
 
t student grupo 11 (1).pptx
t student grupo 11 (1).pptxt student grupo 11 (1).pptx
t student grupo 11 (1).pptx
 
T de student
T de studentT de student
T de student
 
Hipotesis 2
Hipotesis 2Hipotesis 2
Hipotesis 2
 
U0304
U0304U0304
U0304
 
U0304
U0304U0304
U0304
 
Folleto de estadística (1)
Folleto de estadística (1)Folleto de estadística (1)
Folleto de estadística (1)
 
Trabajo hipotesis
Trabajo hipotesisTrabajo hipotesis
Trabajo hipotesis
 
Estadistica II
Estadistica IIEstadistica II
Estadistica II
 
Trabajo estadistica
Trabajo estadisticaTrabajo estadistica
Trabajo estadistica
 
Elementos del muestreo
Elementos del muestreoElementos del muestreo
Elementos del muestreo
 
Distribución Muestral
Distribución MuestralDistribución Muestral
Distribución Muestral
 
Grados de liberta
Grados de libertaGrados de liberta
Grados de liberta
 
T student 1
T student 1T student 1
T student 1
 
GRUPO 4 - Tstudent 1 (5).pptx
GRUPO 4 - Tstudent 1 (5).pptxGRUPO 4 - Tstudent 1 (5).pptx
GRUPO 4 - Tstudent 1 (5).pptx
 
T student 2
T student 2T student 2
T student 2
 
DISTRIBUCIONES MUESTRALES (1).pptx
DISTRIBUCIONES MUESTRALES (1).pptxDISTRIBUCIONES MUESTRALES (1).pptx
DISTRIBUCIONES MUESTRALES (1).pptx
 

Más de Universidad Nacional Mayor de San Marcos (14)

Clase05 eyp
Clase05 eypClase05 eyp
Clase05 eyp
 
Clase04 eyp
Clase04 eypClase04 eyp
Clase04 eyp
 
Clase03 eyp
Clase03 eypClase03 eyp
Clase03 eyp
 
Clase02 eyp
Clase02 eypClase02 eyp
Clase02 eyp
 
Clase01 eyp
Clase01 eypClase01 eyp
Clase01 eyp
 
Distribuciones muestrales
Distribuciones muestralesDistribuciones muestrales
Distribuciones muestrales
 
Distribuciones continuas
Distribuciones continuasDistribuciones continuas
Distribuciones continuas
 
Distribuciones discretas
Distribuciones discretasDistribuciones discretas
Distribuciones discretas
 
Análisis de Regresión Múltiple
Análisis de Regresión MúltipleAnálisis de Regresión Múltiple
Análisis de Regresión Múltiple
 
Análisis de Correlacion Lineal
Análisis de Correlacion LinealAnálisis de Correlacion Lineal
Análisis de Correlacion Lineal
 
Serie de tiempo
Serie de tiempoSerie de tiempo
Serie de tiempo
 
Metodos No Parametricos Parte II. Est ind clase12
Metodos No Parametricos Parte II. Est ind clase12Metodos No Parametricos Parte II. Est ind clase12
Metodos No Parametricos Parte II. Est ind clase12
 
Metodos No Parametricos Parte I. Est ind clase11
Metodos No Parametricos Parte I. Est ind clase11Metodos No Parametricos Parte I. Est ind clase11
Metodos No Parametricos Parte I. Est ind clase11
 
Analisis de la varianza Est ind clase04
Analisis de la varianza Est ind clase04Analisis de la varianza Est ind clase04
Analisis de la varianza Est ind clase04
 

Último

PRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptx
PRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptxPRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptx
PRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptxStibeCr
 
INFORME DE LA DE PROBLEMÁTICA AMBIENTAL 2 UNIDAD FINAL. PDF.pdf
INFORME DE LA DE PROBLEMÁTICA AMBIENTAL 2 UNIDAD FINAL. PDF.pdfINFORME DE LA DE PROBLEMÁTICA AMBIENTAL 2 UNIDAD FINAL. PDF.pdf
INFORME DE LA DE PROBLEMÁTICA AMBIENTAL 2 UNIDAD FINAL. PDF.pdfsolidalilaalvaradoro
 
SESION 1_SSOMA. plan de accion y desarrollo
SESION 1_SSOMA. plan de accion y desarrolloSESION 1_SSOMA. plan de accion y desarrollo
SESION 1_SSOMA. plan de accion y desarrollocchavezl3
 
Dispositivos Semiconductores de Potencia BJT, MOSFET 01.pdf
Dispositivos Semiconductores de Potencia BJT, MOSFET 01.pdfDispositivos Semiconductores de Potencia BJT, MOSFET 01.pdf
Dispositivos Semiconductores de Potencia BJT, MOSFET 01.pdfdego18
 
PROBLEMAS RELACIONADOS RESUELTOS DE GENETICA
PROBLEMAS RELACIONADOS RESUELTOS DE GENETICAPROBLEMAS RELACIONADOS RESUELTOS DE GENETICA
PROBLEMAS RELACIONADOS RESUELTOS DE GENETICAMaxiMus221
 
TR-514 (3) - DOS COLUMNAS PASCUA 2024 3.4 8.4.24.pdf
TR-514 (3) - DOS COLUMNAS PASCUA 2024 3.4 8.4.24.pdfTR-514 (3) - DOS COLUMNAS PASCUA 2024 3.4 8.4.24.pdf
TR-514 (3) - DOS COLUMNAS PASCUA 2024 3.4 8.4.24.pdfFRANCISCOJUSTOSIERRA
 
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdfSESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdfEsvinAlvares
 
DOCUMENTO DE MODELO DISEÑO DE MEZCLA 210 KG CM2
DOCUMENTO DE MODELO DISEÑO DE MEZCLA 210 KG CM2DOCUMENTO DE MODELO DISEÑO DE MEZCLA 210 KG CM2
DOCUMENTO DE MODELO DISEÑO DE MEZCLA 210 KG CM2ErnestoContreras39
 
Pueden_los_sistemas_de_informacion_ayudar_a_evitar_una_crisis_de_salud_public...
Pueden_los_sistemas_de_informacion_ayudar_a_evitar_una_crisis_de_salud_public...Pueden_los_sistemas_de_informacion_ayudar_a_evitar_una_crisis_de_salud_public...
Pueden_los_sistemas_de_informacion_ayudar_a_evitar_una_crisis_de_salud_public...jfmolina199
 
PROCESAMIENTO DE CERAMICAS. PROCESOS DE MANUFACTURA
PROCESAMIENTO DE CERAMICAS. PROCESOS DE MANUFACTURAPROCESAMIENTO DE CERAMICAS. PROCESOS DE MANUFACTURA
PROCESAMIENTO DE CERAMICAS. PROCESOS DE MANUFACTURAHeribertoTiscareo
 
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOSEJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOSLuisLopez273366
 
10 características de un establecimiento de salud.pptx
10 características de un establecimiento de salud.pptx10 características de un establecimiento de salud.pptx
10 características de un establecimiento de salud.pptxtodotemporales
 
NOJA-581-08 NOJA Power OSM15-27-38 Guia de Producto - es.pdf
NOJA-581-08 NOJA Power OSM15-27-38 Guia de Producto - es.pdfNOJA-581-08 NOJA Power OSM15-27-38 Guia de Producto - es.pdf
NOJA-581-08 NOJA Power OSM15-27-38 Guia de Producto - es.pdflinderlauradelacruz
 
Transporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMEC
Transporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMECTransporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMEC
Transporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMECamador030809
 
EXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptx
EXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptxEXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptx
EXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptxKeylaArlethTorresOrt
 
Análisis de Varianza- Anova y pruebas de estadística
Análisis de Varianza- Anova y pruebas de estadísticaAnálisis de Varianza- Anova y pruebas de estadística
Análisis de Varianza- Anova y pruebas de estadísticaJoellyAlejandraRodrg
 
Wal-Mart batalla con RFID...............
Wal-Mart batalla con RFID...............Wal-Mart batalla con RFID...............
Wal-Mart batalla con RFID...............osoriosantiago887
 
METASISTEMA-EXPOSICIONfgertertertretr.ppt
METASISTEMA-EXPOSICIONfgertertertretr.pptMETASISTEMA-EXPOSICIONfgertertertretr.ppt
METASISTEMA-EXPOSICIONfgertertertretr.pptSANTOS400018
 
ESTADISTICA RESUELTO SAN JUAN SOLUCIONARIO CORRECTO.pdf
ESTADISTICA RESUELTO SAN JUAN SOLUCIONARIO CORRECTO.pdfESTADISTICA RESUELTO SAN JUAN SOLUCIONARIO CORRECTO.pdf
ESTADISTICA RESUELTO SAN JUAN SOLUCIONARIO CORRECTO.pdffredyflores58
 
TALLER DE IPERC - CAPACITACION REALIZADA EN SAN LORENZO
TALLER DE IPERC - CAPACITACION REALIZADA EN SAN LORENZOTALLER DE IPERC - CAPACITACION REALIZADA EN SAN LORENZO
TALLER DE IPERC - CAPACITACION REALIZADA EN SAN LORENZOElvisMamani31
 

Último (20)

PRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptx
PRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptxPRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptx
PRESENTACIÓN ANALISIS ESTRUCTURAL II.pptx
 
INFORME DE LA DE PROBLEMÁTICA AMBIENTAL 2 UNIDAD FINAL. PDF.pdf
INFORME DE LA DE PROBLEMÁTICA AMBIENTAL 2 UNIDAD FINAL. PDF.pdfINFORME DE LA DE PROBLEMÁTICA AMBIENTAL 2 UNIDAD FINAL. PDF.pdf
INFORME DE LA DE PROBLEMÁTICA AMBIENTAL 2 UNIDAD FINAL. PDF.pdf
 
SESION 1_SSOMA. plan de accion y desarrollo
SESION 1_SSOMA. plan de accion y desarrolloSESION 1_SSOMA. plan de accion y desarrollo
SESION 1_SSOMA. plan de accion y desarrollo
 
Dispositivos Semiconductores de Potencia BJT, MOSFET 01.pdf
Dispositivos Semiconductores de Potencia BJT, MOSFET 01.pdfDispositivos Semiconductores de Potencia BJT, MOSFET 01.pdf
Dispositivos Semiconductores de Potencia BJT, MOSFET 01.pdf
 
PROBLEMAS RELACIONADOS RESUELTOS DE GENETICA
PROBLEMAS RELACIONADOS RESUELTOS DE GENETICAPROBLEMAS RELACIONADOS RESUELTOS DE GENETICA
PROBLEMAS RELACIONADOS RESUELTOS DE GENETICA
 
TR-514 (3) - DOS COLUMNAS PASCUA 2024 3.4 8.4.24.pdf
TR-514 (3) - DOS COLUMNAS PASCUA 2024 3.4 8.4.24.pdfTR-514 (3) - DOS COLUMNAS PASCUA 2024 3.4 8.4.24.pdf
TR-514 (3) - DOS COLUMNAS PASCUA 2024 3.4 8.4.24.pdf
 
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdfSESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
SESION 2- 2 ATOMO Y ESTRUCTURA ATÓMICA.pdf
 
DOCUMENTO DE MODELO DISEÑO DE MEZCLA 210 KG CM2
DOCUMENTO DE MODELO DISEÑO DE MEZCLA 210 KG CM2DOCUMENTO DE MODELO DISEÑO DE MEZCLA 210 KG CM2
DOCUMENTO DE MODELO DISEÑO DE MEZCLA 210 KG CM2
 
Pueden_los_sistemas_de_informacion_ayudar_a_evitar_una_crisis_de_salud_public...
Pueden_los_sistemas_de_informacion_ayudar_a_evitar_una_crisis_de_salud_public...Pueden_los_sistemas_de_informacion_ayudar_a_evitar_una_crisis_de_salud_public...
Pueden_los_sistemas_de_informacion_ayudar_a_evitar_una_crisis_de_salud_public...
 
PROCESAMIENTO DE CERAMICAS. PROCESOS DE MANUFACTURA
PROCESAMIENTO DE CERAMICAS. PROCESOS DE MANUFACTURAPROCESAMIENTO DE CERAMICAS. PROCESOS DE MANUFACTURA
PROCESAMIENTO DE CERAMICAS. PROCESOS DE MANUFACTURA
 
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOSEJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
EJERCICIOS DE PROPIEDADES INDICES DE MECÁNICA DE SUELOS
 
10 características de un establecimiento de salud.pptx
10 características de un establecimiento de salud.pptx10 características de un establecimiento de salud.pptx
10 características de un establecimiento de salud.pptx
 
NOJA-581-08 NOJA Power OSM15-27-38 Guia de Producto - es.pdf
NOJA-581-08 NOJA Power OSM15-27-38 Guia de Producto - es.pdfNOJA-581-08 NOJA Power OSM15-27-38 Guia de Producto - es.pdf
NOJA-581-08 NOJA Power OSM15-27-38 Guia de Producto - es.pdf
 
Transporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMEC
Transporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMECTransporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMEC
Transporte y Manipulación de Explosivos - SUCAMEC
 
EXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptx
EXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptxEXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptx
EXPOSICION UNIDAD 3 MANTENIMIENTOO .pptx
 
Análisis de Varianza- Anova y pruebas de estadística
Análisis de Varianza- Anova y pruebas de estadísticaAnálisis de Varianza- Anova y pruebas de estadística
Análisis de Varianza- Anova y pruebas de estadística
 
Wal-Mart batalla con RFID...............
Wal-Mart batalla con RFID...............Wal-Mart batalla con RFID...............
Wal-Mart batalla con RFID...............
 
METASISTEMA-EXPOSICIONfgertertertretr.ppt
METASISTEMA-EXPOSICIONfgertertertretr.pptMETASISTEMA-EXPOSICIONfgertertertretr.ppt
METASISTEMA-EXPOSICIONfgertertertretr.ppt
 
ESTADISTICA RESUELTO SAN JUAN SOLUCIONARIO CORRECTO.pdf
ESTADISTICA RESUELTO SAN JUAN SOLUCIONARIO CORRECTO.pdfESTADISTICA RESUELTO SAN JUAN SOLUCIONARIO CORRECTO.pdf
ESTADISTICA RESUELTO SAN JUAN SOLUCIONARIO CORRECTO.pdf
 
TALLER DE IPERC - CAPACITACION REALIZADA EN SAN LORENZO
TALLER DE IPERC - CAPACITACION REALIZADA EN SAN LORENZOTALLER DE IPERC - CAPACITACION REALIZADA EN SAN LORENZO
TALLER DE IPERC - CAPACITACION REALIZADA EN SAN LORENZO
 

Prueba de Hipotesis para Muestras Pequeñas Est ind clase03

  • 1. PRUEBA DE HIPOTESIS III ESTADISTICA INDUSTRIAL Ing. William León Velásquez TEMA 03
  • 3. CONTENIDO Distribución t de Student Prueba de hipótesis para una muestra pequeña Pruebas de hipótesis de dos muestras: muestras dependientes Pruebas de hipótesis de dos muestras: muestras independientes La distribución F 3Ing William León Velásquez
  • 4. DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT Ing William León Velásquez 4
  • 5. DISTRIBUCIÓN t de Student  La distribución t de student fue descubierta por William S. Gosset en 1908.  Gosset era un estadístico, empleado por la compañía de cerveza Guinness con quien tenía un contrato que estipulaba que no podía usar su nombre en sus publicaciones.  Recurrió al sobrenombre de “Student” que es como ahora conocemos el tipo de estadística que desarrolló. Ing William León Velásquez 5
  • 6. Distribución t de Student  El tamaño de la muestra sea suficientemente grande. o  Cuando se conoce la desviación estándar de la población  Entonces se puede calcular un valor z y emplear la distribución normal para evaluar probabilidades sobre la media de la muestra.  Si los tamaños de las muestras son muy pequeños, y no se conoce la desviación estándar de la población, se utiliza una distribución conocida como la “t de student” cuyos valores están dados por: Diferencia a probar Desviación estándar de la diferencia o Error EstándarIng William León Velásquez 6 𝑡 = 𝑋 − 𝜇 𝑆 𝑛 Según el Teorema del Límite Central, la distribución muestral de un estadístico (como la media de la muestra) seguirá una distribución normal, siempre y cuando:
  • 7. Distribución t de Student  Se observa que la ecuación es prácticamente igual a la que se utiliza para la distribución muestral de medias para muestras grandes.  Solo se ha reemplazado la desviación estándar de la población por la desviación estándar de la muestra. n X z    Ing William León Velásquez 7 𝑡 = 𝑋 − 𝜇 𝑆 𝑛
  • 8. Distribución t de Student  De forma similar como en la distribución muestral de medias cuando n > 30, en donde se usa la distribución normal, se encontrará la distribución de los valores t de student para aquellos casos para cuando n < 30. Ing William León Velásquez 8  Existe una diferencia en su aplicación y es que ahora se utilizará una o más tablas de valores t en lugar de la tabla para valor Z.
  • 9. Diferencias de la Distribución t y de la Z  La varianza de t no es igual a 1 como en la de Z,  Depende del tamaño de la de muestra y siempre es mayor a uno. • Solo cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones serán las mismas. Ing William León Velásquez 9
  • 10.  La forma de la distribución t de student depende de un parámetro llamado el número de grados de libertad.  El número de grados de libertad es igual al tamaño de la muestra (número de observaciones independientes) menos 1. gl= df= n –1 Nota: cuando se utiliza un software es posible que el número de grados de libertad se denomine como df o DF (“degrees of freedom”). Ing William León Velásquez 10 GRADOS DE LIBERTAD
  • 11. GRADOS DE LIBERTAD  El concepto de grados de libertad se puede visualizar haciendo referencia a la varianza muestral que es igual a: • Esta fórmula puede verse como un promedio de las distancias a la media sobre n-1 datos. • La terminología de grados de libertad resulta del hecho de que si bien s2 considera n cantidades, sólo n –1 de ellas pueden determinarse libremente. 𝑆2 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑛 − 1 Ing William León Velásquez 11
  • 12. Ejemplo: Si tenemos 4 datos (n= 4) entonces tenemos cuatro diferencias: Se sabe que la suma de ellas es = 0, Por lo que si se conoce 3 de las diferencias 𝑥1 − 𝑥 = 4, 𝑥2 − 𝑥 = −2, 𝑥4 − 𝑥 = 3, La suma de las diferencias 𝑥𝑖 − 𝑥 es 4 – 2 + 3 = 5 La última diferencia queda definida por 𝑥3 − 𝑥 = −5 porque 5 – 5= 0 Por lo tanto GRADOS DE LIBERTAD Lo que indica que sólo 3 de las diferencias (n–1= 4 –1 = 3) son “libres” y la otra queda definida por las demás. Ing William León Velásquez 12
  • 13. PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN t • Es simétrica. • Más plana que la normal. • Hay una distribución t diferente para cada tamaño posible de muestra. • Una distribución t es menor en la media y mayor en las colas que una distribución normal. Ing William León Velásquez 13
  • 14. - Propiedades de la distribución t o Es unimodal, con media en 0 o Es una familia de curvas, en función de los llamados “grados de libertad”. Es decir, hay una distribución t de Student con 1 gl, una distribución t de Student con 2 gl, etc. o A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución tiende más y más a una distribución normal estandarizada. Ing William León Velásquez 14
  • 15. TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN t de Student • La tabla t es más compacta y muestra áreas y valores de t sólo para algunos porcentajes. • La tabla de la distribución t, no se concentra en la probabilidad de que el parámetro de la población que se está estimando se encuentre dentro del intervalo de confianza. Ing William León Velásquez 15 • En lugar de ello, mide la probabilidad de que este parámetro NO esté dentro de nuestro intervalo de confianza (mide la probabilidad de que esté fuera). • En la tabla t debemos especificar los grados de libertad que se manejan.
  • 16. df Nivel de Significación para la prueba de una cola df Nivel de Significación para la prueba de una cola 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 Nivel de Significación para la prueba de dos colas Nivel de Significación para la prueba de dos colas 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,599 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674 Ing William León Velásquez 16 TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN t de Student
  • 17. ESQUEMA P H MEDIA MUETRAS PEQUEÑAS MUESTAS GRANDES 1 MUESTRA DIST RIB. T STUDENT 2 MUESTRAS Ing William León Velásquez 17
  • 18. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA Ing William León Velásquez 18
  • 19. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA. INTRODUCCIÓN  En sesiones anteriores se utilizo la distribución z, siempre y cuando los tamaños de las muestras fueran mayores o iguales a 30 ó en muestras más pequeñas si se conocen la desviación estándar de la población.  En esta sesión se podrán utilizar muestras pequeñas siempre y cuando la distribución de donde proviene la muestra tenga un comportamiento normal. Ing William León Velásquez 19
  • 20.  Si de una población Normal con media  y desviación estándar  se extrae una muestra de tamaño n, entonces el estadístico es:  Que se distribuye como una t de Student con n-1 grados de libertad. Ing William León Velásquez 20 𝑡 = 𝑋 − 𝜇 𝑆 𝑛 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Calculo del valor de t de la muestra
  • 21. Ing William León Velásquez 21  Un supervisor desea probar que el promedio de calificaciones (media: µ) en las escuelas de ingenierías son menores a 12 pts.  Se selecciona una muestra aleatoria de 25 escuelas y se obtiene una media muestral 𝑋 = 11,916 y una desviación estándar es de S = 1,40. 21 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01 • Se asume que la distribución de calificaciones es aproximadamente normal. • Con un α=0.05
  • 22. Ing William León Velásquez 22 PROBLEMAS UTILIZANDO LA DISTRIBUCIÓN t Paso 1 Definir el valor supuesto que se desea probar: – La Hipótesis Nula (H0) y – La hipótesis alternativa (H1). PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Pasos para solucionar
  • 23. Ing William León Velásquez 23 1.- Formulación de las hipótesis: H0 : µ = 12 H1 : µ < 12 La H1 indica que se trata de una prueba de una cola hacia la izquierda El promedio de calificaciones en las escuelas de ingenierías son menores a 12 pts. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
  • 24. Ing William León Velásquez 24 Paso 2: • Seleccionar el nivel de significación α y los grados de libertad n-1. Luego buscar el valor de tc utilizando estos datos: PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Pasos para solucionar
  • 25. Ing William León Velásquez 25 2. Si se utiliza α = 0.05 y 25 - 1 = 24 grados de libertad, El valor crítico de t tabla para una cola a)Según la Tabla “Distribución t de Student” b)Podemos encontrar +/-1.71 para t de una cola, va depender de la dirección expresada en la Ha. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
  • 26. Ing William León Velásquez 26 Paso 3 Calcular el estadístico t aplicando la fórmula 𝑡 = 𝑋 − 𝜇 𝑆 𝑛 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Pasos para solucionar
  • 27. Ing William León Velásquez 27 3. Cálculo el estadístico t aplicando formula, utilizar la calculadora  Se tiene los siguientes datos: n=25 𝑋=11.916 μ=12 S=1.40  Reemplazando en la fórmula:  Se obtiene  t=-0.3 𝑡 = 𝑋 − 𝜇 𝑆 𝑛 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01 𝑡 = 11.916 − 12 1.40 25
  • 28. Ing William León Velásquez 28 Paso 4 Formular la regla de decisión y concluir tomando y justificando la decisión: rechazar o no rechazar la Hipótesis Nula (H0 ) PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Pasos para solucionar
  • 29. t = - 0,3Ing William León Velásquez 29 4. Como el valor calculado del estadístico t =-0.3, es menor que el valor de t tabla t(0,05; 24) : -1.71, Entonces no se rechaza la H0. En otras palabras No se puede afirmar con un nivel de significancia del 5% que la calificación promedio de los alumnos de ingeniería sea menor de12 puntos. -1,71 Zona de no rechazo 95% 5%  Gráficamente se observa: PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
  • 30. Ing William León Velásquez 30  Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. • Para verificar esta afirmación el fabricante toma una muestra de 25 lotes cada mes. • ¿A Qué conclusión se llegará con un nivel de confianza del 90%; si la muestra extraída tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? • Suponer que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
  • 31. Ing William León Velásquez 31 Solución: 1. Formulación de las hipótesis  Ho: µ=500  H1: µ ≠ 500  De la hipótesis alternativa observamos que se trata de una prueba de dos colas • El rendimiento medio de cierto proceso en lotes es DIFERENTE de 500 gramos por milímetro de materia prima. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
  • 32.  Regla de decisión: el fabricante quedará satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre –1.71 y 1.71. Ing William León Velásquez 32 2.- Con un α=0.01 prueba de dos colas  De la tabla de la Distribución de t de student encontramos que α/2= 0.05 para 24 grados de libertad el valor de t es 1.71  O directamente a través de la tabla de doble entrada α =0.01 para dos colas es es 1.71. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
  • 33. Ing William León Velásquez 33 3.- Se procede a calcular el valor de t: 4.- Este valor de 2.25 es mayor de 1.711, Entonces se rechaza la Ho es decir se puede afirmar con un nivel de significancia del 1% que el rendimiento medio de cierto proceso en lotes es diferente de 500 gramos por milímetro de materia prima Por lo tanto el fabricante concluye que no es cierta la afirmación del ingeniero PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02 𝑡 = 518 − 500 40 25 = 2.25
  • 34. Ing William León Velásquez 34 Gráficamente: PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02 -1.711 1.711 90% tc=2.25 Cae en la zona de rechazo 0.050.05 t-t
  • 35. Ing William León Velásquez 35  Para hallar la probabilidad de obtener un valor de Tcalculado :2.25, con 24 grados de libertad 1. Se busca en la tabla la línea del grado de libertad: 24 2. Se ubica un valor cercano a 2.25 3. Finalmente se ubica el valor de la probabilidad en la parte superior de la tabla 4. Como se observa es aproximadamente 0.02 (valor de p).  Como p<α (0.1)  Se confirma el rechazo de la Ho 2.2 5 Valor de p≈0.02 Alfa=0 .1 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02. Calculando el valor p
  • 36. P H MEDIA MUETRAS PEQUEÑAS MUESTAS GRANDES 1 MUESTRA DIST RIB. T STUDENT 2 MUESTRAS INDEPENDIENTEDISTRIB. FDEPENDIENTES VARIANZAS DIFERENTES VARIANZAS IGUALES ESQUEMA Ing William León Velásquez 36
  • 37. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ing William León Velásquez 37
  • 38. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ing William León Velásquez 38  Esta estrategia de la investigación surge cuando cada observación para un tratamiento está apareada con otra observación para el otro tratamiento.  Este par está compuesto por las mismas unidades experimentales observadas dos veces en distintos momentos de la investigación, o por unidades semejantes
  • 39. Ing William León Velásquez 39  El procedimiento consiste en buscar pares de unidades experimentales con características similares y asignar aleatoriamente cada unidad del par a cada uno de los dos tratamientos en estudio. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES
  • 40. Ing William León Velásquez 40 Ejemplo de aplicación:  Se desea probar dos tipos de alimentos en dos grupos de terneros para ello se forman pares de la misma raza, edad, sexo, etc. y después de un periodo, ver si existe diferencia significativa o no, entre los promedios de ganancia de peso de ambos grupos. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES
  • 41. Ing William León Velásquez 41 Ejemplo de aplicación:  Se desea estudiar en dos lotes de plantas del mismo tipo, la aplicación de dos tipos de herbicidas, y comprobar si existen diferencias en la resistencia de ciertas plagas entre los lotes de plantas). PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES
  • 42. Ing William León Velásquez 42 1.- Se plantea las hipótesis : Ho: D=0 ó Ho: D=0 o D=0 Ha: D≠0 ó Ha: D>0 o D<0 2.- Se obtiene tT Con el α y como se establece una hipótesis de un único parámetro poblacional (se podría pensar en una sola muestra) , Y con el número de grados de libertad (n - 1) Se obtiene el t n-1,0.05 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES
  • 43. Ing William León Velásquez 43 3.- Se calcula el tC Donde: 𝑡 𝑐 = 𝑑 − 𝐷 𝑆 𝑑 𝑛 𝑑 = 𝑑𝑖 𝑛𝑖 𝑆 𝑑 = 𝑑𝑖 − 𝑑 2 𝑛 − 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES
  • 44. Ing William León Velásquez 44 4.- Luego se compara el tc con tn -1 . Las reglas de decisión son: No se rechaza H0 cuando -tc < t < tc Rechazar H0 si t < -tc ó t > tc PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES
  • 45. Ing William León Velásquez 45 Ejemplo 03  Se hizo un estudio para definirse si los ejercicios aeróbicos reducen el ritmo cardiaco de una persona durante el descanso, Para ello se examina a diez voluntarias antes y después de seguir un programa de ese tipo durante seis meses, Volunta ria 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes 73 77 68 62 72 80 76 64 70 72 Despu és 68 72 64 60 71 77 74 60 64 68 • Sus pulsaciones, en latidos por minuto, dieron los siguientes registros: PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES
  • 46. Ing William León Velásquez 46  Usar α= 0.05 para calcular si los ejercicios aeróbicos reducen el ritmo cardiaco durante el reposo.  Calcular – Por la región crítica y – Por el valor de P. SOLUCIÓN  α= 0.05  GL: n-1 =10-1=9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 03
  • 47. Ing William León Velásquez 47 1.- Formulación de la hipótesis: Ho: µA-µD=0 o µA=µD H1: µA-µD>0 o µA>µD El ritmo cardiaco de una persona durante el descanso antes del programa es mayor al ritmo cardiaco después del programa Método de la región crítica PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 03
  • 48. Ing William León Velásquez 48 2.- Cálculo del tT tT=1.833Regla de decisión: Si tc <=1.833 No se rechaza Ho Si tc > 1.833 se rechaza Ho PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 03
  • 49. Ing William León Velásquez 49 3.- Cálculos: Se procederá a calcular las diferencias de cada par: PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 03 𝑑 = 𝑑𝑖 𝑛𝑖 𝑆 𝑑 = 𝑑𝑖 − 𝑑 2 𝑛 − 1
  • 50. Ing William León Velásquez 50  La media muestral de las diferencias 𝑑= 3.6  La desviación estándar muestral de la diferencia sd = 1.58.  Para calcular el estadístico tc 𝑡 𝑐 = 𝑑 − 𝐷 𝑆 𝑑 𝑛 𝑡 𝑐 = 3.6−0 1.58 10 =7.20 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 03
  • 51. Ing William León Velásquez 51 4.- Justificación y decisión: Como 7.20 es mayor que 1.833, se rechaza H0, Se puede afirmar con un nivel de significancia del 5% que el ritmo cardiaco de una persona durante el descanso antes del programa es mayor al ritmo cardiaco después del programa • Y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que los datos indican que los ejercicios aeróbicos disminuyen significativamente el ritmo cardiaco durante el reposo. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 03
  • 52. Ing William León Velásquez 52 Método por el valor de p:  Para calcular el valor de P se busca el 7.20 en el renglón de 9 grados de libertad en la tabla t, 𝑡 𝑐 = 3.6−0 1.58 10 =7.20 y se observa que el valor mayor que aparece en dicha tabla es 4.781 al cual le corresponde una área a la derecha de 0.0005, entonces se puede concluir que el valor de P es prácticamente cero. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 03
  • 53. • Se realizó un estudio de 2 dietas a 11 obrero diabéticos insulino-dependientes de una fabrica. • Se utilizó la glucosa sérica como variables de respuesta. Ing William León Velásquez 53 • La dieta consistió en alta (AF) y baja (BF) en fibra. • Cada obrero fue asignado aleatoriamente para su primera dieta donde se mantuvo por 6 meses y luego se le cambió a la otra dieta por otros 6 meses. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 04
  • 54.  En la tabla siguiente se resumen los resultados de glucosa pos-tratamiento. • ¿Las dietas propuestas ejercen algún efecto sobre el nivel de glucosa sérica a un nivel de significación de 0,01? Ing William León Velásquez 54 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Id Obrero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 AF 94 176 98 169 104 118 151 91 196 98 232 BF 93 87 99 127 99 89 154 68 119 81 173 Ejemplo 04
  • 55. Ing William León Velásquez 55 1.- Formulación de la Hipótesis:  Ho : D = 0  H1 : D≠ 0  el nivel de glucosa sérica con las dietas de alta fibra es diferente al nivel obtenido con la dieta de baja fibra PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 04
  • 56. 2.- Cálculo del tc  Con α=0.01 de dos colas  Gl=11-1=10  ttab=3.169 Si t > 3.169 o si t <-3.169 se rechaza Ho Ing William León Velásquez 56 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 04
  • 57. 3.- Se calcula el tC Primero se calcula las diferencias y sus estadísticos Ing William León Velásquez 57 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 04 𝑑 = 𝑑𝑖 𝑛𝑖 𝑆 𝑑 = 𝑑𝑖 − 𝑑 2 𝑛 − 1
  • 58. = 30.73−0 32.26 11 =1.73 Ing William León Velásquez 58 Los resultados de la muestra fueron: 𝑑=30.727 𝑆 𝑑=32.26 n=11 Se obtiene el estadístico de la prueba: 𝑡 𝑐 = 𝑑 − 𝐷 𝑆 𝑑 𝑛 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 04
  • 59. 4.- Interpretación y conclusión: Como 1.73<3.17 No Se rechaza la Ho  No se puede afirmar con un nivel de significancia del 1%, que no existe diferencias en las cantidades de glucosa en los dos grupos  Por lo tanto se pueden concluir las dietas propuestas no ejercen algún efecto diferente sobre el nivel de glucosa sérica a un nivel de significación de 0,01. Ing William León Velásquez 59 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 04
  • 60. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS INDEPENDIENTES Ing William León Velásquez 60
  • 61. Ing William León Velásquez 61  Meta: Prueba de Hipótesis o formar un intervalo de confianza para la diferencia entre la media de las dos poblaciones. 1.- Dos medias poblacionales, Muestras independientes PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES.  Diferentes fuentes de datos • No relacionados • Independientes – Muestra seleccionada de una población no tiene efecto sobre la muestra seleccionada de otra población.
  • 62. Ing William León Velásquez 62 2.- Formulación de las Hipótesis Prueba Cola Inferior Ho:μ1 = μ2 Ho:μ1 < μ2 Equiv Ho: μ1 - μ2=0 H1: μ1 - μ2<0 Prueba Cola Superior Ho:μ1 = μ2 Ho:μ1 > μ2 Equiv Ho: μ1 - μ2=0 H1: μ1 - μ2>0 Prueba de dos Colas Ho:μ1 = μ2 Ho:μ1 ≠ μ2 Equiv Ho: μ1 - μ2=0 H1: μ1 - μ2≠0 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES.
  • 63. Ing William León Velásquez 63 2.- Formulación de las Hipótesis Prueba Cola Inferior Ho: μ1 - μ2=0 H1: μ1 - μ2<0 Prueba Cola Superior Ho: μ1 - μ2=0 H1: μ1 - μ2>0 Prueba de dos Colas Ho: μ1 - μ2=0 H1: μ1 - μ2≠0 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Rechazar Ho si tc<-tα Rechazar Ho si tc> tα Rechazar Ho si tc> tα/2 y tc< tα/2
  • 64. Ing William León Velásquez 64 3. Para calcular el estadístico de la muestra se tiene dos opciones. o Prueba “t” para dos muestras suponiendo varianzas iguales. oEs la prueba “t” donde se compara los promedios de dos grupos independientes, cuyas varianzas sean iguales u homocedásticas. o Prueba “t” para dos muestras suponiendo varianzas desiguales. oEs la prueba “t” donde se compara los promedios de dos grupos independientes, cuyas varianzas sean desiguales o heterocedásticas. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES.
  • 65. Ing William León Velásquez 65 • Se probará la igualdad de varianza • Se usará Sp para estimar σ desconocidas σ1 y σ2 desconocid os Se asumen iguales • Se probará la igualdad de varianza • Se usará S1 y S2 para estimar σ1 y σ2 desconocidas σ1 y σ2 desconocidos No se asumen iguales 3. Para calcular el estadístico de la muestra se tiene dos opciones. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES.
  • 66. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS INDEPENDIENTES SE ASUME VARIANZAS IGUALESIng William León Velásquez 66
  • 67. Ing William León Velásquez 67  Se asume:  Las muestras son aleatorias e independientes  Las Poblaciones son normalmente distribuidas o el tamaño muestral de ambas muestra es por lo menos 30  Varianzas poblacionales son asumidas iguales y desconocidas La varianza ponderada es: El estadístico de prueba es: Donde t tiene d.f. = (n1 + n2 – 2) PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales 𝑆2 𝑝 = 𝑛1 − 1 𝑆2 1 + (𝑛2 − 1)𝑆2 2 𝑛1 − 1 + (𝑛2 − 1) 𝑡 𝑐 = 𝑋1 − 𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2) 𝑆2 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2
  • 68. Ing William León Velásquez 68  El intervalo de confianza para μ1 – μ2 es: Donde tα/2 tiene d f = n1 + n2 – 2 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales 𝑋1 − 𝑋2 ± 𝑡 𝛼 2 𝑆2 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2
  • 69. Ejemplo 5 Ing William León Velásquez 69  Un analista financiero quiere saber si existe una diferencia entre los dividendos de dos depósitos tal como se muestra en la tabla. (A y B)  Los datos son los siguientes: A B Numero 21 25 Media muestral 3.27 2.53 Desv. Est. Muest. 1.30 1.16 Asumiendo que ambas poblaciones son normales con varianzas iguales, existirá una diferencia entre los dividendos(α = 0.05)? PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
  • 70. Ing William León Velásquez 70 1.- Formulación de las Hipótesis: H0: μ1 - μ2 = 0 i.e. (μ1 = μ2) H1: μ1 - μ2 ≠ 0 i.e. (μ1 ≠ μ2) existe una diferencia entre los dividendos de los dos depósitos 2.- Cálculo del estadístico PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales 𝑆2 𝑝 = 𝑛1 − 1 𝑆2 1 + (𝑛2 − 1)𝑆2 2 𝑛1 − 1 + (𝑛2 − 1) 𝑆2 𝑝 = 21 − 1 1.302 + (25 − 1)1.162 21 − 1 + (25 − 1) = 1.5021 𝑡 𝑐 = 𝑋1 − 𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2) 𝑆2 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2 𝑡 𝑐 = 3.27 − 2.53 − 0 1.5021 1 21 + 1 25 = 2.040 Ejemplo 5
  • 71. Ing William León Velásquez 71 3. Hallando el valor crítico: α = 0.05 df = 21 + 25 - 2 = 44 Valores Críticos: t = ± 2.0154 Estadístico t 4.-Decisión y Conclusión: Se puede afirmar con un nivel de significancia del 5%, que existe una diferencia entre los dividendos de los dos depósitos PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Ejemplo 5 𝑡 = 3.27 − 2.53 1.5021 1 21 + 1 25 = 2.040 Se Rechaza la Ho
  • 72. Con Intervalo de confianza para μ1 - μ2 Ing William León Velásquez 72 Como se rechaza la H0, Establecer un 95% de intervalo de confianza de tal manera que μA ≠μB? 95% I.C. para μA - μB Se observa que O está fuera del intervalo de confianza, Por lo tanto se puede concluir con 95% que μA ≠ μB 𝑿 𝟏 − 𝑿 𝟐 =3.27 - 2.53=0.74 Tα/2 =2.0154 Error tm=0.3628 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales 𝑋1 − 𝑋2 ± 𝑡 𝛼 2 𝑆2 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2 = = 0.74 ± 2.0154 * 0.3628 = (0.009,1.471) Ejemplo 5
  • 73. Ejemplo 6 mediante el valor de p Ing William León Velásquez 73 • Se estudia la capacidad antioxidante de la lecha materna versus la leche de fórmula. Para ello se selecciona un grupo de 22 niños que recibió leche materna normal durante sus primeros 3 meses de vida. Y otro grupo de 14 niños, que no pudieron ser amamantados por su madre, y que recibió leche con una fórmula especial. • A los tres meses de vida se mide la capacidad antioxidante desarrollada en los dos grupos de niños. • En base a los resultados adjuntos, realice una prueba de hipótesis comparando las medias de la capacidad antioxidante, para revisar los supuestos (asuma normalidad). PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
  • 74. Ejemplo 6 mediante el valor de p  Los datos recopilados se muestran en la tabla adjunta: Ing William León Velásquez 74 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Tipo de leche N Medi a Desv Est. Error Est. de Media Materna 22 80.3 3 8.144 1.736 Formula 14 71.8 3 9.194 2.457
  • 75. Ing William León Velásquez 75 Solución: o Nos interesa comparar las medias de dos grupos independientes o Primero se debe revisar los supuestos: 1.Nos dicen que asuman normalidad 2.Se asume Homogeneidad de varianzas PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Ejemplo 6 mediante el valor de p
  • 76. Ing William León Velásquez 76 1.- Formulación de la hipótesis:  Se trata de una Prueba bilateral Ho: μ1 - μ2=0 H1: μ1 - μ2≠0 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Ejemplo 6 mediante el valor de p La capacidad antioxidante entre los dos grupos de niños son diferentes
  • 77. Ing William León Velásquez 77 2.- Cálculo del estadístico de la prueba: 34~2,904 927,2 50,8 927,2 71,83-80,33 11 21 21 )t( nn s xx t c     PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Ejemplo 6 mediante el valor de p 𝑆2 𝑐 = 𝑛1 − 1 𝑆2 1 + (𝑛2 − 1)𝑆2 2 𝑛1 − 1 + (𝑛2 − 1) = 22−1 8.1442+(14−1)9.1942 22−1 +(14−1) =73.285 Sc=8.56
  • 78. Ing William León Velásquez 78 3.- Obtención del valor de p  El valor p se encuentra entre 0.010 y 0.005, para hallar el valor mas aproximado , se debe interpolar GL: n1+n2-2 = 22 + 14 – 2 = 34 t=2.94 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Ejemplo 6 mediante el valor de p x
  • 79. Ing William León Velásquez 79 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Entonces el valor de p es aproximadamente 0.007 Valor de p=0.007 Ejemplo 6 Como el valor de p (0.007) es menor que alfa (0.05) se rechaza la Ho
  • 80. Ing William León Velásquez 80 4.- Conclusiones:  Por lo tanto,  Se puede afirmar con un nivel de significancia del 5% que la capacidad antioxidante entre los dos grupos de niños son diferentes PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Ejemplo 6 mediante el valor de p • Se concluye que la capacidad antioxidante de la leche materna y de la fórmula usada en este estudio, son distintas, con un nivel de significación del 5%.
  • 81. La distribución F Ing William León Velásquez 81
  • 82. • La distribución F es una de las familias de distribuciones que se utiliza en el análisis estadístico, se identifica por los grados de libertad del numerador y del denominador en relación a sus varianzas muestrales • Se denomina así en honor a Sir Ronald Fisher, uno de los fundadores de la ciencia estadística moderna. Ing William León Velásquez 82
  • 83. Uso: Para probar si dos muestras provienen de poblaciones con varianzas iguales. Para comparar simultáneamente varias medias poblacionales (ANOVA). Para probar y comparar, las poblaciones deben ser normales, y los datos, por lo menos deben estar en nivel de intervalo Ing William León Velásquez 83
  • 84. Es continua Esto significa que puede tomar una cantidad infinita de valores entre 0 y más infinito Ing William León Velásquez 84 La distribución F. Características
  • 85. Es asintótica Conforme los valores de X aumentan, la curva de la distribución F se aproxima al eje X, pero nunca lo toca. Es la misma característica que describe una distribución normal. Ing William León Velásquez 85 La distribución F. Características
  • 86. Sus valores no pueden ser negativos El menor valor que puede asumir F es cero Ing William León Velásquez 86 La distribución F. Características
  • 87. Tiene sesgo positivo La cola larga de la distribución se encuentra a la derecha. Conforme el numero de grados de libertad aumenta, tanto en el numerador como en el denominador, la distribución se aproxima a una distribución normal. Ing William León Velásquez 87 La distribución F. Características
  • 88. Existe una familia de distribuciones F Un miembro específico de la familia queda determinado por dos parámetros: los grados de libertad en el numerador y los grados de libertad en el denominador. Ing William León Velásquez 88 La distribución F. Características
  • 89. 89 Ing William León Velásquez La distribución F. Usos Comparación de dos varianzas poblacionales • Se utiliza para probar la hipótesis de que la varianza de una población normal es igual a la varianza de otra población normal. Prueba de medias de mas de dos muestras • Análisis de la técnica de la varianza (ANOVA), en la cual se comparan tres o más medias poblacionales para determinar si pueden ser iguales.
  • 90. 90  El índice de rendimiento medio de los dos tipos de acciones comunes puede ser el mismo, pero quizás haya más variación en el índice de rendimiento en un tipo que en otro.  Una muestra de 10 acciones relacionadas con la tecnología y 10 acciones de compañías de servicios presentan el mismo índice de rendimiento medio, pero es probable que haya más variación en las acciones vinculadas a la tecnología. Ejemplos de aplicación: Ing William León Velásquez La distribución F. Comparación de dos varianzas poblacionales
  • 91. 91  Un estudio del departamento de marketing de un periódico importante reveló que los hombres y las mujeres utilizan la misma cantidad de tiempo navegando por la Web.  Sin embargo, en el mismo reporte se indica que había casi el doble de variación en el tiempo pasado por día entre los hombres que las mujeres. Ejemplos de aplicación : Ing William León Velásquez La distribución F. Comparación de dos varianzas poblacionales
  • 92. Ing William León Velásquez 92 Para realizar la prueba, se selecciona una muestra aleatoria de n1 observaciones de una población y una muestra de n2 observaciones de la segunda población. H0: σ1 2 = σ2 2 H1: σ1 2 ≠ σ2 2 1.- Formulación de las hipótesis: La distribución F. Procedimiento para realizar la prueba
  • 93. Ing William León Velásquez 93 2.- Cálculo del estadístico: Para realizar la prueba, se selecciona una muestra aleatoria de n1 observaciones de una población y una muestra de n2 observaciones de la segunda población. El estadístico de prueba se define como: F0 = 𝑆2 1 𝑆2 2 La distribución F. Procedimiento para realizar la prueba Para fines prácticos se elige la varianza mas grande la muestra se coloca en el numerador, de allí que la razón de F será mayor que 1
  • 94. Ing William León Velásquez 94 3.- Obtención del FT Con los grados de libertad de las dos muestras n1 y n2 y el nivel de significancia, Se va a las tablas y se obtiene 𝐹(𝑛1−1,𝑛2−1) La distribución F. Procedimiento para realizar la prueba
  • 95. Ing William León Velásquez 95 4.- Conclusión Si F0 > Se Rechazará la Ho𝐹(𝑛1−1,𝑛2−1) La distribución F. Procedimiento para realizar la prueba
  • 96. Ing William León Velásquez 96  Una empresa importadora tiene dos rutas para llegar al aeropuerto. Si se desea estudiar el tiempo en conducir al aeropuerto por cada ruta y luego comparar los resultados. Se recopiló los siguientes datos muestrales que aparecen en la tabla,  Mediante el nivel de significancia 0.10, ¿hay alguna diferencia en la variación en los tiempos de manejo para las dos rutas? La distribución F. Ejemplo 7 Ruta 1 57 72 61 50 75 59 69 Ruta 2 64 65 66 56 61 68 62 70
  • 97. 97 Paso 1: Se establece la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternativa H1 H0: σ1 2 = σ2 2 H1: σ1 2 ≠ σ2 2 Paso 2: Se selecciona un nivel de significancia α = 0.05 como se menciona en el problema Paso 3: Se selecciona el estadístico de prueba . Su usa la distribución F Ing William León Velásquez La distribución F. Ejemplo 7 Solo de Comparación de Varianza
  • 98. Ing William León Velásquez 98 Paso 2: Se obtiene el FT. Calculo de las varianzas de las muestras La distribución F. Ejemplo 7 Solo de Comparación de Varianza Como la varianza de la ruta 1 es mayor que la varianza de la ruta 2, la ruta1 será el numerador 𝑆𝑖 = (𝑥 − 𝑥)2 𝑛 − 1 𝑥 = 𝑥 𝑛
  • 99. Ing William León Velásquez 99 Se formula la regla de decisión. Se rechaza la H0 si F > F,v1,v2 F > F.05,7-1,8-1 F > 3.866 con α=0.05 F=3.866 Paso 2: Se obtiene el FT. La distribución F. Ejemplo 7 Solo de Comparación de Varianza GLR1=6 GLR2=7
  • 100. 1 0 0 Paso 3: Se calcula el valor de F Ruta 1 Ruta 2 Ing William León Velásquez La distribución F. Ejemplo 7 Solo de Comparación de Varianza 𝑆1 = 660.43 7 − 1 = 10.49 𝑆2 = 334 8 − 1 = 6.91 𝐹𝑐 = (10.49)2 (6.91)2 = 2.30𝐹𝑐 = 𝑆2 1 𝑆2 2 Calculando el valor de Fc
  • 101. 1 0 1 FT=3.866 FC=2.30 La decisión es no rechazar la hipótesis nula, debido a que el valor F calculado es mayor que el valor crítico No se puede afirmar con un nivel de significancia del 5%, que haya una diferencia en la variación de los tiempos recorridos por las dos rutas. Ing William León Velásquez Ejemplo 7: Solo de Comparación de Varianza Paso 4: se toma una decisión
  • 102. Ing William León Velásquez 102 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS INDEPENDIENTES Con verificación de igualdad de varianzas
  • 103. Varianzas Poblacionales desconocidas Se asume Varianzas iguales Se asume Varianzas diferentes PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación Se debe verificar si se asume que son iguales Ing William León Velásquez 103
  • 104. Ing William León Velásquez 104 Prueba de hipótesis sobre la diferencia de medias. Muestras independientes, Varianzas desconocidas pero se asume iguales 𝑡 = 𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2 𝑆 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2 Ho: µ1 = µ2 Ho: µ1 ≠ µ2 𝑆2 𝑝 = 𝑛1 − 1 𝑆2 1 + 𝑛2 − 1 𝑆2 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2 tT(𝑛1 + 𝑛2 − 2) Para probar Ho se debe calcular el estadístico t y compararlo con el tC
  • 105. Ing William León Velásquez 105 Prueba de hipótesis sobre la diferencia de medias. Muestras independientes, Varianzas desconocidas pero se asume diferentes Para probar Ho se debe calcular el estadístico t y compararlo con el tC 𝑡 = 𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2 𝑆2 1 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2 Ho: µ1 = µ2 Ho: µ1 ≠ µ2 tc(glp) 𝑔𝑙 𝑝 = 𝑆2 1 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2 2 𝑆2 1 𝑛1 2 𝑛1 − 1 + 𝑆2 2 𝑛2 2 𝑛2 − 1
  • 106.  La cantidad de impurezas presente en un lote de sustancia química utilizada como materia prima es determinante para evaluar la calidad  Un fabricante que usa dos líneas de producción 1 y 2, hizo un ligero ajuste a la línea 2 con la esperanza de reducir la cantidad promedio de impurezas en la sustancia química. Ing William León Velásquez 106 Línea n Promedio Varianza 1 16 3.2 1.04 2 16 3.0 0.51 ¿Los datos aportan suficiente evidencia para concluir que la impurezas del proceso es menor para la línea 2? Muestras aleatorias en cada línea arrojaron las siguientes mediciones Ejemplo 8 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
  • 107.  Solución:  Nos interesa comparar las medias de dos grupos independientes  Primero se debe revisar los supuestos: 1.Nos dicen que asuman normalidad 2.En este caso ya no se asume Homogeneidad de varianzas, tenemos que probarla Ing William León Velásquez 107 Ejemplo 8 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
  • 108. Fase 1: de Comparación de Varianzas 1.- Formulación de las hipótesis  Ho:𝜎1 2=𝜎2 2 La varianza de la población 1 es igual a la varianza de la población 2  H1:𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2 La varianza de la población 1 es diferente a la varianza de la población 2 Ing William León Velásquez 108 Ejemplo 8 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
  • 109. Ing William León Velásquez 109 Si el Fc muestral es menor que 2.4. No rechazamos la hipótesis Ho Si el Fc muestral es mayor que 2.4. Rechazamos la hipótesis nula Ejemplo 8 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación Como la varianza de la población 1 es mayor que la varianza de la población 2 el numerador le corresponde a la línea 1 Gl1=16-1=15 Gl2=16-1=15 Con un valor de α=5% 𝐹0.05,15,15 = 2.40 Línea n Promedio Varianza 1 16 3.2 1.04 2 16 3.0 0.51
  • 110. Ing William León Velásquez 110 No se puede afirmar con un nivel de significancia del 10% que La varianza de la población 1 sea diferente a la varianza de la población 2 Por lo tanto se pueden asumir que las varianzas de la población son iguales 2.40 2. 04 Ejemplo 8 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación Los datos muestrales arrojaron la siguiente información: 𝐹 = 1.04 0.51 = 2.04 𝐹 = 𝑆2 1 𝑆2 2 No recha zo Con un nivel de significancia de 0.05, no se rechaza Ho
  • 111. Ing William León Velásquez 111 Fase 2: Prueba de Hip. Para muestras pequeñas independientes. Paso 1: Para probar la disminución de impurezas se utiliza la siguiente prueba de hipótesis: Ho: µ1 = µ2 Ho: µ1 > µ2 La cantidad de promedio de impurezas de la línea 1 es mayor que la línea 2 Ejemplo 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
  • 112. Ing William León Velásquez 112 Paso 2 El estadístico de prueba teniendo en cuenta que mediante la prueba F, se concluyó que se asumen varianzas iguales es: Ejemplo 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación 𝑡 = 𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2 𝑆 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2 𝑆2 𝑝 = 𝑛1 − 1 𝑆2 1 + 𝑛2 − 1 𝑆2 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2
  • 113. Ing William León Velásquez 113 Paso 3 Definición de la región crítica: Con un α=5% y con GL:30 De la tabla se tiene: 𝑡(0.05,30) = 1.6973 Si el tc muestral es menor que 1.6973. No rechazamos la Ho Si el tc muestral es mayor que 1.6973. Rechazamos la Ho Ejemplo 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación No rechazo
  • 114. Ing William León Velásquez 114 Paso 4: Cálculo de t de los datos: Cantidad de impurezas se utiliza la tabla: Ejemplo 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación Linea n Promedio Varianza 1 16 3.2 1.04 2 16 3.0 0.51 Se calcula, primero la Desviación estándar ponderada 𝑆2 𝑝 = 𝑛1 − 1 𝑆2 1 + 𝑛2 − 1 𝑆2 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑆2 𝑝 = 15 1.04 + 15 0.51 30 = 0.775 Sp=0.88
  • 115. Ing William León Velásquez 115 Paso 4: Cálculo de t de los datos: Cantidad de impurezas se utiliza la tabla: Ejemplo 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación 𝑡 = 𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2 𝑆 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2 Línea n Promedio Varianza 1 16 3.2 1.04 2 16 3.0 0.51 𝑡 = 3.2−3.0 0.88 1 16 + 1 16 = 0.9
  • 116. Como td (0.9) se encuentra en la región de no rechazo entonces No se rechaza la Ho, NO Se puede afirmar con in nivel de significancia del 5% que la cantidad de promedio de impurezas de la línea 1 sea mayor que de la línea 2 Lo que quiere decir que el ajuste no produjo ninguna reducción Ing William León Velásquez 116 Paso 5: Decisión y conclusión: Ejemplo 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación Tα=1.6973 Tc=0.9No rechazo
  • 118. Ing. William León Velásquez 118