PRUEBA DE
HIPOTESIS III
ESTADISTICA
INDUSTRIAL
Ing. William León Velásquez
TEMA 03
PRUEBA DE
HIPOTESIS
PARA
MUESTRAS
PEQUEÑAS
Ing William León Velásquez 2
CONTENIDO
Distribución t de Student
Prueba de hipótesis para una
muestra pequeña
Pruebas de hipótesis de dos
muestras: ...
DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
Ing William León Velásquez 4
DISTRIBUCIÓN t de
Student
 La distribución t de student fue
descubierta por William S. Gosset en
1908.
 Gosset era un es...
Distribución t de Student
 El tamaño de la muestra sea suficientemente grande. o
 Cuando se conoce la desviación estánda...
Distribución t de Student
 Se observa que la ecuación es prácticamente
igual a la que se utiliza para la distribución
mue...
Distribución t de Student
 De forma similar como en la
distribución muestral de medias cuando
n > 30, en donde se usa la ...
Diferencias de la
Distribución t y de la Z
 La varianza de t no es igual a 1 como en la de Z,
 Depende del tamaño de la ...
 La forma de la distribución t de student
depende de un parámetro llamado el número
de grados de libertad.
 El número de...
GRADOS DE LIBERTAD
 El concepto de grados de libertad se
puede visualizar haciendo referencia a la
varianza muestral que ...
Ejemplo:
Si tenemos 4 datos (n= 4) entonces tenemos cuatro diferencias:
Se sabe que la suma de ellas es = 0,
Por lo que si...
PROPIEDADES DE LA
DISTRIBUCIÓN t
• Es simétrica.
• Más plana que la normal.
• Hay una distribución t
diferente para cada t...
-
Propiedades de la distribución t
o Es unimodal, con media en 0
o Es una familia de curvas, en
función de los llamados “g...
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN
t de Student
• La tabla t es más compacta y muestra áreas y
valores de t sólo para algunos porcen...
df
Nivel de Significación para la prueba de una cola
df
Nivel de Significación para la prueba de una cola
0,10 0,05 0,025 ...
ESQUEMA
P H MEDIA
MUETRAS
PEQUEÑAS
MUESTAS
GRANDES
1
MUESTRA
DIST RIB. T
STUDENT
2
MUESTRAS
Ing William León Velásquez 17
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA
UNA MUESTRA PEQUEÑA
Ing William León Velásquez 18
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA. INTRODUCCIÓN
 En sesiones anteriores se
utilizo la distribución z,
siempre ...
 Si de una población Normal con media 
y desviación estándar  se extrae una
muestra de tamaño n, entonces el estadístic...
Ing William León Velásquez 21
 Un supervisor desea probar que el promedio de
calificaciones (media: µ) en las escuelas de...
Ing William León Velásquez 22
PROBLEMAS UTILIZANDO LA DISTRIBUCIÓN
t
Paso 1
Definir el valor supuesto que se
desea probar...
Ing William León Velásquez 23
1.- Formulación de las hipótesis:
H0 : µ = 12
H1 : µ < 12
La H1 indica que se trata de una
p...
Ing William León Velásquez 24
Paso 2:
• Seleccionar el nivel de significación α
y los grados de libertad n-1.
Luego buscar...
Ing William León Velásquez
25
2. Si se utiliza α = 0.05 y
25 - 1 = 24 grados de libertad,
El valor crítico de t tabla para...
Ing William León Velásquez 26
Paso 3
Calcular el estadístico t aplicando la
fórmula
𝑡 =
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
PRUEBA DE HIPÓTESIS PAR...
Ing William León Velásquez 27
3. Cálculo el estadístico t aplicando formula,
utilizar la calculadora
 Se tiene los siguie...
Ing William León Velásquez 28
Paso 4
Formular la regla de decisión y concluir
tomando y justificando la decisión:
rechaza...
t = - 0,3Ing William León Velásquez 29
4. Como el valor calculado del estadístico t =-0.3,
es menor que el valor de t tabl...
Ing William León Velásquez 30
 Un ingeniero químico afirma que el rendimiento
medio de cierto proceso en lotes es 500 gra...
Ing William León Velásquez 31
Solución:
1. Formulación de las hipótesis
 Ho: µ=500
 H1: µ ≠ 500
 De la hipótesis altern...
 Regla de decisión: el fabricante quedará satisfecho
con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde
un valor t entr...
Ing William León Velásquez 33
3.- Se procede a calcular el valor de t:
4.- Este valor de 2.25 es mayor de 1.711,
Entonces ...
Ing William León Velásquez 34
Gráficamente:
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA
MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
-1.711 1.711
90%
tc=...
Ing William León Velásquez 35
 Para hallar la probabilidad de
obtener un valor de Tcalculado :2.25,
con 24 grados de libe...
P H MEDIA
MUETRAS
PEQUEÑAS
MUESTAS
GRANDES
1
MUESTRA
DIST RIB. T
STUDENT
2
MUESTRAS
INDEPENDIENTEDISTRIB. FDEPENDIENTES
VA...
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE
DOS MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ing William León Velásquez
37
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
Ing William León Velásquez 38
 Esta estrategia de la investig...
Ing William León Velásquez 39
 El procedimiento consiste
en buscar pares de
unidades experimentales
con características
s...
Ing William León Velásquez 40
Ejemplo de aplicación:
 Se desea probar dos tipos
de alimentos en dos
grupos de terneros pa...
Ing William León Velásquez 41
Ejemplo de aplicación:
 Se desea estudiar en dos
lotes de plantas del mismo
tipo, la aplica...
Ing William León Velásquez 42
1.- Se plantea las hipótesis :
Ho: D=0 ó Ho: D=0 o D=0
Ha: D≠0 ó Ha: D>0 o D<0
2.- Se obtien...
Ing William León Velásquez 43
3.- Se calcula el tC
Donde:
𝑡 𝑐 =
𝑑 − 𝐷
𝑆 𝑑
𝑛
𝑑 =
𝑑𝑖
𝑛𝑖
𝑆 𝑑 =
𝑑𝑖 − 𝑑
2
𝑛 − 1
PRUEBAS DE HIPÓ...
Ing William León Velásquez 44
4.- Luego se compara el
tc con tn -1 .
Las reglas de decisión son:
No se rechaza H0 cuando ...
Ing William León Velásquez 45
Ejemplo 03
 Se hizo un estudio para definirse si los ejercicios
aeróbicos reducen el ritmo ...
Ing William León Velásquez 46
 Usar α= 0.05 para calcular si los ejercicios
aeróbicos reducen el ritmo cardiaco
durante e...
Ing William León Velásquez 47
1.- Formulación de la hipótesis:
Ho: µA-µD=0 o µA=µD
H1: µA-µD>0 o µA>µD
El ritmo cardiaco d...
Ing William León Velásquez 48
2.- Cálculo del tT
tT=1.833Regla de decisión:
Si tc <=1.833 No se rechaza Ho
Si tc > 1.833 s...
Ing William León Velásquez 49
3.- Cálculos:
Se procederá a calcular las diferencias de cada par:
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE D...
Ing William León Velásquez 50
 La media muestral de las diferencias 𝑑= 3.6
 La desviación estándar muestral de la
difere...
Ing William León Velásquez 51
4.- Justificación y decisión:
Como 7.20 es mayor que 1.833, se rechaza H0,
Se puede afirmar ...
Ing William León Velásquez 52
Método por el valor de p:
 Para calcular el valor de P se busca el 7.20 en el
renglón de 9 ...
• Se realizó un estudio de 2 dietas a 11 obrero
diabéticos insulino-dependientes de una fabrica.
• Se utilizó la glucosa s...
 En la tabla siguiente se resumen los resultados de
glucosa pos-tratamiento.
• ¿Las dietas propuestas ejercen algún efect...
Ing William León Velásquez 55
1.- Formulación de la Hipótesis:
 Ho : D = 0
 H1 : D≠ 0
 el nivel de glucosa sérica con l...
2.- Cálculo del tc
 Con α=0.01 de dos colas
 Gl=11-1=10
 ttab=3.169
Si t > 3.169 o si t <-3.169 se rechaza Ho
Ing Willi...
3.- Se calcula el tC
Primero se calcula las diferencias y sus estadísticos
Ing William León Velásquez 57
PRUEBAS DE HIPÓTE...
=
30.73−0
32.26
11
=1.73
Ing William León Velásquez 58
Los resultados de la muestra fueron:
𝑑=30.727
𝑆 𝑑=32.26
n=11
Se obt...
4.- Interpretación y conclusión:
Como 1.73<3.17 No Se rechaza la Ho
 No se puede afirmar con un nivel de significancia
de...
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS INDEPENDIENTES
Ing William León Velásquez 60
Ing William León Velásquez 61
 Meta: Prueba de Hipótesis o formar un intervalo
de confianza para la diferencia entre la m...
Ing William León Velásquez 62
2.- Formulación de las Hipótesis
Prueba Cola
Inferior
Ho:μ1 = μ2
Ho:μ1 < μ2
Equiv
Ho: μ1 - μ...
Ing William León Velásquez 63
2.- Formulación de las Hipótesis
Prueba Cola
Inferior
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ2<0
Prueba Col...
Ing William León Velásquez 64
3. Para calcular el estadístico de la muestra se tiene
dos opciones.
o Prueba “t” para dos m...
Ing William León Velásquez 65
• Se probará la
igualdad de
varianza
• Se usará Sp para
estimar σ
desconocidas
σ1 y σ2
desco...
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS INDEPENDIENTES
SE ASUME VARIANZAS IGUALESIng William León Velásquez 66
Ing William León Velásquez 67
 Se asume:
 Las muestras son aleatorias e independientes
 Las Poblaciones son normalmente...
Ing William León Velásquez 68
 El intervalo de confianza para μ1 – μ2 es:
Donde tα/2 tiene d f = n1 + n2 – 2
PRUEBAS DE H...
Ejemplo 5
Ing William León Velásquez 69
 Un analista financiero quiere saber si
existe una diferencia entre los dividendo...
Ing William León Velásquez 70
1.- Formulación de las Hipótesis:
H0: μ1 - μ2 = 0 i.e. (μ1 = μ2)
H1: μ1 - μ2 ≠ 0 i.e. (μ1 ≠ ...
Ing William León Velásquez 71
3. Hallando el valor crítico:
α = 0.05
df = 21 + 25 - 2 = 44
Valores Críticos: t = ± 2.0154
...
Con Intervalo de confianza para μ1 - μ2
Ing William León Velásquez 72
Como se rechaza la H0,
Establecer un 95% de interval...
Ejemplo 6 mediante el valor de p
Ing William León Velásquez 73
• Se estudia la capacidad antioxidante de la lecha
materna ...
Ejemplo 6 mediante el valor de p
 Los datos recopilados se
muestran en la tabla adjunta:
Ing William León Velásquez 74
PR...
Ing William León Velásquez 75
Solución:
o Nos interesa comparar las medias de
dos grupos independientes
o Primero se debe ...
Ing William León Velásquez 76
1.- Formulación de la hipótesis:
 Se trata de una Prueba bilateral
Ho: μ1 - μ2=0
H1: μ1 - μ...
Ing William León Velásquez 77
2.- Cálculo del estadístico de la prueba:
34~2,904
927,2
50,8
927,2
71,83-80,33
11
21
21
)t(...
Ing William León Velásquez 78
3.- Obtención del valor de p
 El valor p se encuentra entre 0.010 y 0.005,
para hallar el v...
Ing William León Velásquez 79
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS
MUESTRAS INDEPENDIENTES.
Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas i...
Ing William León Velásquez 80
4.- Conclusiones:
 Por lo tanto,
 Se puede afirmar con un nivel de significancia
del 5% qu...
La
distribución F
Ing William León Velásquez 81
• La distribución F es una de
las familias de
distribuciones que se utiliza
en el análisis estadístico, se
identifica por ...
Uso:
Para probar si dos muestras
provienen de poblaciones con
varianzas iguales.
Para comparar
simultáneamente varias
me...
Es continua
Esto significa que puede
tomar una cantidad
infinita de valores entre 0
y más infinito
Ing William León Velás...
Es asintótica
Conforme los valores de
X aumentan, la curva de
la distribución F se
aproxima al eje X, pero
nunca lo toca....
Sus valores no pueden
ser negativos
El menor valor que
puede asumir F es
cero
Ing William León Velásquez 86
La distribuci...
Tiene sesgo positivo
La cola larga de la
distribución se encuentra a
la derecha. Conforme el
numero de grados de
libertad...
Existe una familia de
distribuciones F
Un miembro específico
de la familia queda
determinado por dos
parámetros: los grad...
89
Ing William León Velásquez
La distribución F. Usos
Comparación de
dos varianzas
poblacionales
• Se utiliza para probar ...
90
 El índice de rendimiento medio de los
dos tipos de acciones comunes
puede ser el mismo, pero quizás haya
más variació...
91
 Un estudio del departamento
de marketing de un periódico
importante reveló que los
hombres y las mujeres utilizan
la ...
Ing William León Velásquez 92
Para realizar la prueba, se selecciona una muestra
aleatoria de n1 observaciones de una pobl...
Ing William León Velásquez 93
2.- Cálculo del estadístico:
Para realizar la prueba, se selecciona una
muestra aleatoria de...
Ing William León Velásquez 94
3.- Obtención del FT
Con los grados de libertad de las dos
muestras n1 y n2 y el nivel de si...
Ing William León Velásquez 95
4.- Conclusión
Si F0 > Se Rechazará la Ho𝐹(𝑛1−1,𝑛2−1)
La distribución F. Procedimiento
para ...
Ing William León Velásquez 96
 Una empresa importadora tiene dos
rutas para llegar al aeropuerto.
Si se desea estudiar el...
97
Paso 1: Se establece la hipótesis nula
(H0) y la hipótesis alternativa H1
H0: σ1
2 = σ2
2
H1: σ1
2 ≠ σ2
2
Paso 2: Se se...
Ing William León Velásquez 98
Paso 2: Se obtiene el FT.
Calculo de las varianzas de las muestras
La distribución F. Ejempl...
Ing William León Velásquez 99
Se formula la regla de decisión.
Se rechaza la H0 si F > F,v1,v2
F > F.05,7-1,8-1 F > 3.866...
1 0 0
Paso 3: Se calcula el valor de F
Ruta 1 Ruta 2
Ing William León Velásquez
La distribución F. Ejemplo 7
Solo de Compa...
1 0 1
FT=3.866
FC=2.30 La decisión es no rechazar la hipótesis nula,
debido a que el valor F calculado es mayor que el
val...
Ing William León Velásquez 102
PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS
MUESTRAS:
MUESTRAS INDEPENDIENTES
Con verificación de igualdad ...
Varianzas
Poblacionales
desconocidas
Se asume
Varianzas
iguales
Se asume
Varianzas
diferentes
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DO...
Ing William León Velásquez 104
Prueba de hipótesis sobre la diferencia
de medias. Muestras independientes, Varianzas
desco...
Ing William León Velásquez 105
Prueba de hipótesis sobre la diferencia de
medias. Muestras independientes, Varianzas
desco...
 La cantidad de impurezas presente en un lote de sustancia
química utilizada como materia prima es determinante para
eval...
 Solución:
 Nos interesa comparar las medias de dos grupos
independientes
 Primero se debe revisar los supuestos:
1.Nos...
Fase 1: de Comparación de Varianzas
1.- Formulación de las hipótesis
 Ho:𝜎1
2=𝜎2
2
La varianza de la población 1 es igual...
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Si el Fc muestral es menor que 2.4. No rechazamos la hipótesis Ho
Si el Fc muestral es mayo...
Ing William León Velásquez 110
No se puede afirmar con un nivel de significancia del 10% que La varianza
de la población 1...
Ing William León Velásquez 111
Fase 2: Prueba de Hip. Para muestras pequeñas
independientes.
Paso 1:
Para probar la dismin...
Ing William León Velásquez 112
Paso 2
El estadístico de prueba teniendo en cuenta que
mediante la prueba F, se concluyó qu...
Ing William León Velásquez 113
Paso 3
Definición de la región crítica:
Con un α=5% y con GL:30
De la tabla se tiene:
𝑡(0.0...
Ing William León Velásquez 114
Paso 4: Cálculo de t de los datos:
Cantidad de impurezas se utiliza la tabla:
Ejemplo 1
PRU...
Ing William León Velásquez 115
Paso 4: Cálculo de t de los datos:
Cantidad de impurezas se utiliza la tabla:
Ejemplo 1
PRU...
Como td (0.9) se encuentra en la región de no rechazo
entonces No se rechaza la Ho,
NO Se puede afirmar con in nivel de si...
FIN
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Prueba de Hipotesis para Muestras Pequeñas Est ind clase03

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Prueba de Hipotesis para Muestras Pequeñas Est ind clase03

  1. 1. PRUEBA DE HIPOTESIS III ESTADISTICA INDUSTRIAL Ing. William León Velásquez TEMA 03
  2. 2. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA MUESTRAS PEQUEÑAS Ing William León Velásquez 2
  3. 3. CONTENIDO Distribución t de Student Prueba de hipótesis para una muestra pequeña Pruebas de hipótesis de dos muestras: muestras dependientes Pruebas de hipótesis de dos muestras: muestras independientes La distribución F 3Ing William León Velásquez
  4. 4. DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT Ing William León Velásquez 4
  5. 5. DISTRIBUCIÓN t de Student  La distribución t de student fue descubierta por William S. Gosset en 1908.  Gosset era un estadístico, empleado por la compañía de cerveza Guinness con quien tenía un contrato que estipulaba que no podía usar su nombre en sus publicaciones.  Recurrió al sobrenombre de “Student” que es como ahora conocemos el tipo de estadística que desarrolló. Ing William León Velásquez 5
  6. 6. Distribución t de Student  El tamaño de la muestra sea suficientemente grande. o  Cuando se conoce la desviación estándar de la población  Entonces se puede calcular un valor z y emplear la distribución normal para evaluar probabilidades sobre la media de la muestra.  Si los tamaños de las muestras son muy pequeños, y no se conoce la desviación estándar de la población, se utiliza una distribución conocida como la “t de student” cuyos valores están dados por: Diferencia a probar Desviación estándar de la diferencia o Error EstándarIng William León Velásquez 6 𝑡 = 𝑋 − 𝜇 𝑆 𝑛 Según el Teorema del Límite Central, la distribución muestral de un estadístico (como la media de la muestra) seguirá una distribución normal, siempre y cuando:
  7. 7. Distribución t de Student  Se observa que la ecuación es prácticamente igual a la que se utiliza para la distribución muestral de medias para muestras grandes.  Solo se ha reemplazado la desviación estándar de la población por la desviación estándar de la muestra. n X z    Ing William León Velásquez 7 𝑡 = 𝑋 − 𝜇 𝑆 𝑛
  8. 8. Distribución t de Student  De forma similar como en la distribución muestral de medias cuando n > 30, en donde se usa la distribución normal, se encontrará la distribución de los valores t de student para aquellos casos para cuando n < 30. Ing William León Velásquez 8  Existe una diferencia en su aplicación y es que ahora se utilizará una o más tablas de valores t en lugar de la tabla para valor Z.
  9. 9. Diferencias de la Distribución t y de la Z  La varianza de t no es igual a 1 como en la de Z,  Depende del tamaño de la de muestra y siempre es mayor a uno. • Solo cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones serán las mismas. Ing William León Velásquez 9
  10. 10.  La forma de la distribución t de student depende de un parámetro llamado el número de grados de libertad.  El número de grados de libertad es igual al tamaño de la muestra (número de observaciones independientes) menos 1. gl= df= n –1 Nota: cuando se utiliza un software es posible que el número de grados de libertad se denomine como df o DF (“degrees of freedom”). Ing William León Velásquez 10 GRADOS DE LIBERTAD
  11. 11. GRADOS DE LIBERTAD  El concepto de grados de libertad se puede visualizar haciendo referencia a la varianza muestral que es igual a: • Esta fórmula puede verse como un promedio de las distancias a la media sobre n-1 datos. • La terminología de grados de libertad resulta del hecho de que si bien s2 considera n cantidades, sólo n –1 de ellas pueden determinarse libremente. 𝑆2 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑛 − 1 Ing William León Velásquez 11
  12. 12. Ejemplo: Si tenemos 4 datos (n= 4) entonces tenemos cuatro diferencias: Se sabe que la suma de ellas es = 0, Por lo que si se conoce 3 de las diferencias 𝑥1 − 𝑥 = 4, 𝑥2 − 𝑥 = −2, 𝑥4 − 𝑥 = 3, La suma de las diferencias 𝑥𝑖 − 𝑥 es 4 – 2 + 3 = 5 La última diferencia queda definida por 𝑥3 − 𝑥 = −5 porque 5 – 5= 0 Por lo tanto GRADOS DE LIBERTAD Lo que indica que sólo 3 de las diferencias (n–1= 4 –1 = 3) son “libres” y la otra queda definida por las demás. Ing William León Velásquez 12
  13. 13. PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN t • Es simétrica. • Más plana que la normal. • Hay una distribución t diferente para cada tamaño posible de muestra. • Una distribución t es menor en la media y mayor en las colas que una distribución normal. Ing William León Velásquez 13
  14. 14. - Propiedades de la distribución t o Es unimodal, con media en 0 o Es una familia de curvas, en función de los llamados “grados de libertad”. Es decir, hay una distribución t de Student con 1 gl, una distribución t de Student con 2 gl, etc. o A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución tiende más y más a una distribución normal estandarizada. Ing William León Velásquez 14
  15. 15. TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN t de Student • La tabla t es más compacta y muestra áreas y valores de t sólo para algunos porcentajes. • La tabla de la distribución t, no se concentra en la probabilidad de que el parámetro de la población que se está estimando se encuentre dentro del intervalo de confianza. Ing William León Velásquez 15 • En lugar de ello, mide la probabilidad de que este parámetro NO esté dentro de nuestro intervalo de confianza (mide la probabilidad de que esté fuera). • En la tabla t debemos especificar los grados de libertad que se manejan.
  16. 16. df Nivel de Significación para la prueba de una cola df Nivel de Significación para la prueba de una cola 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 Nivel de Significación para la prueba de dos colas Nivel de Significación para la prueba de dos colas 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,599 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674 Ing William León Velásquez 16 TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN t de Student
  17. 17. ESQUEMA P H MEDIA MUETRAS PEQUEÑAS MUESTAS GRANDES 1 MUESTRA DIST RIB. T STUDENT 2 MUESTRAS Ing William León Velásquez 17
  18. 18. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA Ing William León Velásquez 18
  19. 19. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA. INTRODUCCIÓN  En sesiones anteriores se utilizo la distribución z, siempre y cuando los tamaños de las muestras fueran mayores o iguales a 30 ó en muestras más pequeñas si se conocen la desviación estándar de la población.  En esta sesión se podrán utilizar muestras pequeñas siempre y cuando la distribución de donde proviene la muestra tenga un comportamiento normal. Ing William León Velásquez 19
  20. 20.  Si de una población Normal con media  y desviación estándar  se extrae una muestra de tamaño n, entonces el estadístico es:  Que se distribuye como una t de Student con n-1 grados de libertad. Ing William León Velásquez 20 𝑡 = 𝑋 − 𝜇 𝑆 𝑛 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Calculo del valor de t de la muestra
  21. 21. Ing William León Velásquez 21  Un supervisor desea probar que el promedio de calificaciones (media: µ) en las escuelas de ingenierías son menores a 12 pts.  Se selecciona una muestra aleatoria de 25 escuelas y se obtiene una media muestral 𝑋 = 11,916 y una desviación estándar es de S = 1,40. 21 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01 • Se asume que la distribución de calificaciones es aproximadamente normal. • Con un α=0.05
  22. 22. Ing William León Velásquez 22 PROBLEMAS UTILIZANDO LA DISTRIBUCIÓN t Paso 1 Definir el valor supuesto que se desea probar: – La Hipótesis Nula (H0) y – La hipótesis alternativa (H1). PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Pasos para solucionar
  23. 23. Ing William León Velásquez 23 1.- Formulación de las hipótesis: H0 : µ = 12 H1 : µ < 12 La H1 indica que se trata de una prueba de una cola hacia la izquierda El promedio de calificaciones en las escuelas de ingenierías son menores a 12 pts. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
  24. 24. Ing William León Velásquez 24 Paso 2: • Seleccionar el nivel de significación α y los grados de libertad n-1. Luego buscar el valor de tc utilizando estos datos: PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Pasos para solucionar
  25. 25. Ing William León Velásquez 25 2. Si se utiliza α = 0.05 y 25 - 1 = 24 grados de libertad, El valor crítico de t tabla para una cola a)Según la Tabla “Distribución t de Student” b)Podemos encontrar +/-1.71 para t de una cola, va depender de la dirección expresada en la Ha. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
  26. 26. Ing William León Velásquez 26 Paso 3 Calcular el estadístico t aplicando la fórmula 𝑡 = 𝑋 − 𝜇 𝑆 𝑛 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Pasos para solucionar
  27. 27. Ing William León Velásquez 27 3. Cálculo el estadístico t aplicando formula, utilizar la calculadora  Se tiene los siguientes datos: n=25 𝑋=11.916 μ=12 S=1.40  Reemplazando en la fórmula:  Se obtiene  t=-0.3 𝑡 = 𝑋 − 𝜇 𝑆 𝑛 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01 𝑡 = 11.916 − 12 1.40 25
  28. 28. Ing William León Velásquez 28 Paso 4 Formular la regla de decisión y concluir tomando y justificando la decisión: rechazar o no rechazar la Hipótesis Nula (H0 ) PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Pasos para solucionar
  29. 29. t = - 0,3Ing William León Velásquez 29 4. Como el valor calculado del estadístico t =-0.3, es menor que el valor de t tabla t(0,05; 24) : -1.71, Entonces no se rechaza la H0. En otras palabras No se puede afirmar con un nivel de significancia del 5% que la calificación promedio de los alumnos de ingeniería sea menor de12 puntos. -1,71 Zona de no rechazo 95% 5%  Gráficamente se observa: PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 01
  30. 30. Ing William León Velásquez 30  Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. • Para verificar esta afirmación el fabricante toma una muestra de 25 lotes cada mes. • ¿A Qué conclusión se llegará con un nivel de confianza del 90%; si la muestra extraída tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? • Suponer que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
  31. 31. Ing William León Velásquez 31 Solución: 1. Formulación de las hipótesis  Ho: µ=500  H1: µ ≠ 500  De la hipótesis alternativa observamos que se trata de una prueba de dos colas • El rendimiento medio de cierto proceso en lotes es DIFERENTE de 500 gramos por milímetro de materia prima. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
  32. 32.  Regla de decisión: el fabricante quedará satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre –1.71 y 1.71. Ing William León Velásquez 32 2.- Con un α=0.01 prueba de dos colas  De la tabla de la Distribución de t de student encontramos que α/2= 0.05 para 24 grados de libertad el valor de t es 1.71  O directamente a través de la tabla de doble entrada α =0.01 para dos colas es es 1.71. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02
  33. 33. Ing William León Velásquez 33 3.- Se procede a calcular el valor de t: 4.- Este valor de 2.25 es mayor de 1.711, Entonces se rechaza la Ho es decir se puede afirmar con un nivel de significancia del 1% que el rendimiento medio de cierto proceso en lotes es diferente de 500 gramos por milímetro de materia prima Por lo tanto el fabricante concluye que no es cierta la afirmación del ingeniero PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02 𝑡 = 518 − 500 40 25 = 2.25
  34. 34. Ing William León Velásquez 34 Gráficamente: PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02 -1.711 1.711 90% tc=2.25 Cae en la zona de rechazo 0.050.05 t-t
  35. 35. Ing William León Velásquez 35  Para hallar la probabilidad de obtener un valor de Tcalculado :2.25, con 24 grados de libertad 1. Se busca en la tabla la línea del grado de libertad: 24 2. Se ubica un valor cercano a 2.25 3. Finalmente se ubica el valor de la probabilidad en la parte superior de la tabla 4. Como se observa es aproximadamente 0.02 (valor de p).  Como p<α (0.1)  Se confirma el rechazo de la Ho 2.2 5 Valor de p≈0.02 Alfa=0 .1 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA PEQUEÑA: Ejemplo 02. Calculando el valor p
  36. 36. P H MEDIA MUETRAS PEQUEÑAS MUESTAS GRANDES 1 MUESTRA DIST RIB. T STUDENT 2 MUESTRAS INDEPENDIENTEDISTRIB. FDEPENDIENTES VARIANZAS DIFERENTES VARIANZAS IGUALES ESQUEMA Ing William León Velásquez 36
  37. 37. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ing William León Velásquez 37
  38. 38. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ing William León Velásquez 38  Esta estrategia de la investigación surge cuando cada observación para un tratamiento está apareada con otra observación para el otro tratamiento.  Este par está compuesto por las mismas unidades experimentales observadas dos veces en distintos momentos de la investigación, o por unidades semejantes
  39. 39. Ing William León Velásquez 39  El procedimiento consiste en buscar pares de unidades experimentales con características similares y asignar aleatoriamente cada unidad del par a cada uno de los dos tratamientos en estudio. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES
  40. 40. Ing William León Velásquez 40 Ejemplo de aplicación:  Se desea probar dos tipos de alimentos en dos grupos de terneros para ello se forman pares de la misma raza, edad, sexo, etc. y después de un periodo, ver si existe diferencia significativa o no, entre los promedios de ganancia de peso de ambos grupos. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES
  41. 41. Ing William León Velásquez 41 Ejemplo de aplicación:  Se desea estudiar en dos lotes de plantas del mismo tipo, la aplicación de dos tipos de herbicidas, y comprobar si existen diferencias en la resistencia de ciertas plagas entre los lotes de plantas). PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES
  42. 42. Ing William León Velásquez 42 1.- Se plantea las hipótesis : Ho: D=0 ó Ho: D=0 o D=0 Ha: D≠0 ó Ha: D>0 o D<0 2.- Se obtiene tT Con el α y como se establece una hipótesis de un único parámetro poblacional (se podría pensar en una sola muestra) , Y con el número de grados de libertad (n - 1) Se obtiene el t n-1,0.05 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES
  43. 43. Ing William León Velásquez 43 3.- Se calcula el tC Donde: 𝑡 𝑐 = 𝑑 − 𝐷 𝑆 𝑑 𝑛 𝑑 = 𝑑𝑖 𝑛𝑖 𝑆 𝑑 = 𝑑𝑖 − 𝑑 2 𝑛 − 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES
  44. 44. Ing William León Velásquez 44 4.- Luego se compara el tc con tn -1 . Las reglas de decisión son: No se rechaza H0 cuando -tc < t < tc Rechazar H0 si t < -tc ó t > tc PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES
  45. 45. Ing William León Velásquez 45 Ejemplo 03  Se hizo un estudio para definirse si los ejercicios aeróbicos reducen el ritmo cardiaco de una persona durante el descanso, Para ello se examina a diez voluntarias antes y después de seguir un programa de ese tipo durante seis meses, Volunta ria 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes 73 77 68 62 72 80 76 64 70 72 Despu és 68 72 64 60 71 77 74 60 64 68 • Sus pulsaciones, en latidos por minuto, dieron los siguientes registros: PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES
  46. 46. Ing William León Velásquez 46  Usar α= 0.05 para calcular si los ejercicios aeróbicos reducen el ritmo cardiaco durante el reposo.  Calcular – Por la región crítica y – Por el valor de P. SOLUCIÓN  α= 0.05  GL: n-1 =10-1=9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 03
  47. 47. Ing William León Velásquez 47 1.- Formulación de la hipótesis: Ho: µA-µD=0 o µA=µD H1: µA-µD>0 o µA>µD El ritmo cardiaco de una persona durante el descanso antes del programa es mayor al ritmo cardiaco después del programa Método de la región crítica PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 03
  48. 48. Ing William León Velásquez 48 2.- Cálculo del tT tT=1.833Regla de decisión: Si tc <=1.833 No se rechaza Ho Si tc > 1.833 se rechaza Ho PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 03
  49. 49. Ing William León Velásquez 49 3.- Cálculos: Se procederá a calcular las diferencias de cada par: PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 03 𝑑 = 𝑑𝑖 𝑛𝑖 𝑆 𝑑 = 𝑑𝑖 − 𝑑 2 𝑛 − 1
  50. 50. Ing William León Velásquez 50  La media muestral de las diferencias 𝑑= 3.6  La desviación estándar muestral de la diferencia sd = 1.58.  Para calcular el estadístico tc 𝑡 𝑐 = 𝑑 − 𝐷 𝑆 𝑑 𝑛 𝑡 𝑐 = 3.6−0 1.58 10 =7.20 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 03
  51. 51. Ing William León Velásquez 51 4.- Justificación y decisión: Como 7.20 es mayor que 1.833, se rechaza H0, Se puede afirmar con un nivel de significancia del 5% que el ritmo cardiaco de una persona durante el descanso antes del programa es mayor al ritmo cardiaco después del programa • Y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que los datos indican que los ejercicios aeróbicos disminuyen significativamente el ritmo cardiaco durante el reposo. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 03
  52. 52. Ing William León Velásquez 52 Método por el valor de p:  Para calcular el valor de P se busca el 7.20 en el renglón de 9 grados de libertad en la tabla t, 𝑡 𝑐 = 3.6−0 1.58 10 =7.20 y se observa que el valor mayor que aparece en dicha tabla es 4.781 al cual le corresponde una área a la derecha de 0.0005, entonces se puede concluir que el valor de P es prácticamente cero. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 03
  53. 53. • Se realizó un estudio de 2 dietas a 11 obrero diabéticos insulino-dependientes de una fabrica. • Se utilizó la glucosa sérica como variables de respuesta. Ing William León Velásquez 53 • La dieta consistió en alta (AF) y baja (BF) en fibra. • Cada obrero fue asignado aleatoriamente para su primera dieta donde se mantuvo por 6 meses y luego se le cambió a la otra dieta por otros 6 meses. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 04
  54. 54.  En la tabla siguiente se resumen los resultados de glucosa pos-tratamiento. • ¿Las dietas propuestas ejercen algún efecto sobre el nivel de glucosa sérica a un nivel de significación de 0,01? Ing William León Velásquez 54 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Id Obrero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 AF 94 176 98 169 104 118 151 91 196 98 232 BF 93 87 99 127 99 89 154 68 119 81 173 Ejemplo 04
  55. 55. Ing William León Velásquez 55 1.- Formulación de la Hipótesis:  Ho : D = 0  H1 : D≠ 0  el nivel de glucosa sérica con las dietas de alta fibra es diferente al nivel obtenido con la dieta de baja fibra PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 04
  56. 56. 2.- Cálculo del tc  Con α=0.01 de dos colas  Gl=11-1=10  ttab=3.169 Si t > 3.169 o si t <-3.169 se rechaza Ho Ing William León Velásquez 56 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 04
  57. 57. 3.- Se calcula el tC Primero se calcula las diferencias y sus estadísticos Ing William León Velásquez 57 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 04 𝑑 = 𝑑𝑖 𝑛𝑖 𝑆 𝑑 = 𝑑𝑖 − 𝑑 2 𝑛 − 1
  58. 58. = 30.73−0 32.26 11 =1.73 Ing William León Velásquez 58 Los resultados de la muestra fueron: 𝑑=30.727 𝑆 𝑑=32.26 n=11 Se obtiene el estadístico de la prueba: 𝑡 𝑐 = 𝑑 − 𝐷 𝑆 𝑑 𝑛 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 04
  59. 59. 4.- Interpretación y conclusión: Como 1.73<3.17 No Se rechaza la Ho  No se puede afirmar con un nivel de significancia del 1%, que no existe diferencias en las cantidades de glucosa en los dos grupos  Por lo tanto se pueden concluir las dietas propuestas no ejercen algún efecto diferente sobre el nivel de glucosa sérica a un nivel de significación de 0,01. Ing William León Velásquez 59 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS DEPENDIENTES Ejemplo 04
  60. 60. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS INDEPENDIENTES Ing William León Velásquez 60
  61. 61. Ing William León Velásquez 61  Meta: Prueba de Hipótesis o formar un intervalo de confianza para la diferencia entre la media de las dos poblaciones. 1.- Dos medias poblacionales, Muestras independientes PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES.  Diferentes fuentes de datos • No relacionados • Independientes – Muestra seleccionada de una población no tiene efecto sobre la muestra seleccionada de otra población.
  62. 62. Ing William León Velásquez 62 2.- Formulación de las Hipótesis Prueba Cola Inferior Ho:μ1 = μ2 Ho:μ1 < μ2 Equiv Ho: μ1 - μ2=0 H1: μ1 - μ2<0 Prueba Cola Superior Ho:μ1 = μ2 Ho:μ1 > μ2 Equiv Ho: μ1 - μ2=0 H1: μ1 - μ2>0 Prueba de dos Colas Ho:μ1 = μ2 Ho:μ1 ≠ μ2 Equiv Ho: μ1 - μ2=0 H1: μ1 - μ2≠0 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES.
  63. 63. Ing William León Velásquez 63 2.- Formulación de las Hipótesis Prueba Cola Inferior Ho: μ1 - μ2=0 H1: μ1 - μ2<0 Prueba Cola Superior Ho: μ1 - μ2=0 H1: μ1 - μ2>0 Prueba de dos Colas Ho: μ1 - μ2=0 H1: μ1 - μ2≠0 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Rechazar Ho si tc<-tα Rechazar Ho si tc> tα Rechazar Ho si tc> tα/2 y tc< tα/2
  64. 64. Ing William León Velásquez 64 3. Para calcular el estadístico de la muestra se tiene dos opciones. o Prueba “t” para dos muestras suponiendo varianzas iguales. oEs la prueba “t” donde se compara los promedios de dos grupos independientes, cuyas varianzas sean iguales u homocedásticas. o Prueba “t” para dos muestras suponiendo varianzas desiguales. oEs la prueba “t” donde se compara los promedios de dos grupos independientes, cuyas varianzas sean desiguales o heterocedásticas. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES.
  65. 65. Ing William León Velásquez 65 • Se probará la igualdad de varianza • Se usará Sp para estimar σ desconocidas σ1 y σ2 desconocid os Se asumen iguales • Se probará la igualdad de varianza • Se usará S1 y S2 para estimar σ1 y σ2 desconocidas σ1 y σ2 desconocidos No se asumen iguales 3. Para calcular el estadístico de la muestra se tiene dos opciones. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES.
  66. 66. PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS INDEPENDIENTES SE ASUME VARIANZAS IGUALESIng William León Velásquez 66
  67. 67. Ing William León Velásquez 67  Se asume:  Las muestras son aleatorias e independientes  Las Poblaciones son normalmente distribuidas o el tamaño muestral de ambas muestra es por lo menos 30  Varianzas poblacionales son asumidas iguales y desconocidas La varianza ponderada es: El estadístico de prueba es: Donde t tiene d.f. = (n1 + n2 – 2) PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales 𝑆2 𝑝 = 𝑛1 − 1 𝑆2 1 + (𝑛2 − 1)𝑆2 2 𝑛1 − 1 + (𝑛2 − 1) 𝑡 𝑐 = 𝑋1 − 𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2) 𝑆2 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2
  68. 68. Ing William León Velásquez 68  El intervalo de confianza para μ1 – μ2 es: Donde tα/2 tiene d f = n1 + n2 – 2 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales 𝑋1 − 𝑋2 ± 𝑡 𝛼 2 𝑆2 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2
  69. 69. Ejemplo 5 Ing William León Velásquez 69  Un analista financiero quiere saber si existe una diferencia entre los dividendos de dos depósitos tal como se muestra en la tabla. (A y B)  Los datos son los siguientes: A B Numero 21 25 Media muestral 3.27 2.53 Desv. Est. Muest. 1.30 1.16 Asumiendo que ambas poblaciones son normales con varianzas iguales, existirá una diferencia entre los dividendos(α = 0.05)? PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
  70. 70. Ing William León Velásquez 70 1.- Formulación de las Hipótesis: H0: μ1 - μ2 = 0 i.e. (μ1 = μ2) H1: μ1 - μ2 ≠ 0 i.e. (μ1 ≠ μ2) existe una diferencia entre los dividendos de los dos depósitos 2.- Cálculo del estadístico PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales 𝑆2 𝑝 = 𝑛1 − 1 𝑆2 1 + (𝑛2 − 1)𝑆2 2 𝑛1 − 1 + (𝑛2 − 1) 𝑆2 𝑝 = 21 − 1 1.302 + (25 − 1)1.162 21 − 1 + (25 − 1) = 1.5021 𝑡 𝑐 = 𝑋1 − 𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2) 𝑆2 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2 𝑡 𝑐 = 3.27 − 2.53 − 0 1.5021 1 21 + 1 25 = 2.040 Ejemplo 5
  71. 71. Ing William León Velásquez 71 3. Hallando el valor crítico: α = 0.05 df = 21 + 25 - 2 = 44 Valores Críticos: t = ± 2.0154 Estadístico t 4.-Decisión y Conclusión: Se puede afirmar con un nivel de significancia del 5%, que existe una diferencia entre los dividendos de los dos depósitos PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Ejemplo 5 𝑡 = 3.27 − 2.53 1.5021 1 21 + 1 25 = 2.040 Se Rechaza la Ho
  72. 72. Con Intervalo de confianza para μ1 - μ2 Ing William León Velásquez 72 Como se rechaza la H0, Establecer un 95% de intervalo de confianza de tal manera que μA ≠μB? 95% I.C. para μA - μB Se observa que O está fuera del intervalo de confianza, Por lo tanto se puede concluir con 95% que μA ≠ μB 𝑿 𝟏 − 𝑿 𝟐 =3.27 - 2.53=0.74 Tα/2 =2.0154 Error tm=0.3628 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales 𝑋1 − 𝑋2 ± 𝑡 𝛼 2 𝑆2 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2 = = 0.74 ± 2.0154 * 0.3628 = (0.009,1.471) Ejemplo 5
  73. 73. Ejemplo 6 mediante el valor de p Ing William León Velásquez 73 • Se estudia la capacidad antioxidante de la lecha materna versus la leche de fórmula. Para ello se selecciona un grupo de 22 niños que recibió leche materna normal durante sus primeros 3 meses de vida. Y otro grupo de 14 niños, que no pudieron ser amamantados por su madre, y que recibió leche con una fórmula especial. • A los tres meses de vida se mide la capacidad antioxidante desarrollada en los dos grupos de niños. • En base a los resultados adjuntos, realice una prueba de hipótesis comparando las medias de la capacidad antioxidante, para revisar los supuestos (asuma normalidad). PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales
  74. 74. Ejemplo 6 mediante el valor de p  Los datos recopilados se muestran en la tabla adjunta: Ing William León Velásquez 74 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Tipo de leche N Medi a Desv Est. Error Est. de Media Materna 22 80.3 3 8.144 1.736 Formula 14 71.8 3 9.194 2.457
  75. 75. Ing William León Velásquez 75 Solución: o Nos interesa comparar las medias de dos grupos independientes o Primero se debe revisar los supuestos: 1.Nos dicen que asuman normalidad 2.Se asume Homogeneidad de varianzas PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Ejemplo 6 mediante el valor de p
  76. 76. Ing William León Velásquez 76 1.- Formulación de la hipótesis:  Se trata de una Prueba bilateral Ho: μ1 - μ2=0 H1: μ1 - μ2≠0 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Ejemplo 6 mediante el valor de p La capacidad antioxidante entre los dos grupos de niños son diferentes
  77. 77. Ing William León Velásquez 77 2.- Cálculo del estadístico de la prueba: 34~2,904 927,2 50,8 927,2 71,83-80,33 11 21 21 )t( nn s xx t c     PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Ejemplo 6 mediante el valor de p 𝑆2 𝑐 = 𝑛1 − 1 𝑆2 1 + (𝑛2 − 1)𝑆2 2 𝑛1 − 1 + (𝑛2 − 1) = 22−1 8.1442+(14−1)9.1942 22−1 +(14−1) =73.285 Sc=8.56
  78. 78. Ing William León Velásquez 78 3.- Obtención del valor de p  El valor p se encuentra entre 0.010 y 0.005, para hallar el valor mas aproximado , se debe interpolar GL: n1+n2-2 = 22 + 14 – 2 = 34 t=2.94 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Ejemplo 6 mediante el valor de p x
  79. 79. Ing William León Velásquez 79 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Entonces el valor de p es aproximadamente 0.007 Valor de p=0.007 Ejemplo 6 Como el valor de p (0.007) es menor que alfa (0.05) se rechaza la Ho
  80. 80. Ing William León Velásquez 80 4.- Conclusiones:  Por lo tanto,  Se puede afirmar con un nivel de significancia del 5% que la capacidad antioxidante entre los dos grupos de niños son diferentes PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y asumidas iguales Ejemplo 6 mediante el valor de p • Se concluye que la capacidad antioxidante de la leche materna y de la fórmula usada en este estudio, son distintas, con un nivel de significación del 5%.
  81. 81. La distribución F Ing William León Velásquez 81
  82. 82. • La distribución F es una de las familias de distribuciones que se utiliza en el análisis estadístico, se identifica por los grados de libertad del numerador y del denominador en relación a sus varianzas muestrales • Se denomina así en honor a Sir Ronald Fisher, uno de los fundadores de la ciencia estadística moderna. Ing William León Velásquez 82
  83. 83. Uso: Para probar si dos muestras provienen de poblaciones con varianzas iguales. Para comparar simultáneamente varias medias poblacionales (ANOVA). Para probar y comparar, las poblaciones deben ser normales, y los datos, por lo menos deben estar en nivel de intervalo Ing William León Velásquez 83
  84. 84. Es continua Esto significa que puede tomar una cantidad infinita de valores entre 0 y más infinito Ing William León Velásquez 84 La distribución F. Características
  85. 85. Es asintótica Conforme los valores de X aumentan, la curva de la distribución F se aproxima al eje X, pero nunca lo toca. Es la misma característica que describe una distribución normal. Ing William León Velásquez 85 La distribución F. Características
  86. 86. Sus valores no pueden ser negativos El menor valor que puede asumir F es cero Ing William León Velásquez 86 La distribución F. Características
  87. 87. Tiene sesgo positivo La cola larga de la distribución se encuentra a la derecha. Conforme el numero de grados de libertad aumenta, tanto en el numerador como en el denominador, la distribución se aproxima a una distribución normal. Ing William León Velásquez 87 La distribución F. Características
  88. 88. Existe una familia de distribuciones F Un miembro específico de la familia queda determinado por dos parámetros: los grados de libertad en el numerador y los grados de libertad en el denominador. Ing William León Velásquez 88 La distribución F. Características
  89. 89. 89 Ing William León Velásquez La distribución F. Usos Comparación de dos varianzas poblacionales • Se utiliza para probar la hipótesis de que la varianza de una población normal es igual a la varianza de otra población normal. Prueba de medias de mas de dos muestras • Análisis de la técnica de la varianza (ANOVA), en la cual se comparan tres o más medias poblacionales para determinar si pueden ser iguales.
  90. 90. 90  El índice de rendimiento medio de los dos tipos de acciones comunes puede ser el mismo, pero quizás haya más variación en el índice de rendimiento en un tipo que en otro.  Una muestra de 10 acciones relacionadas con la tecnología y 10 acciones de compañías de servicios presentan el mismo índice de rendimiento medio, pero es probable que haya más variación en las acciones vinculadas a la tecnología. Ejemplos de aplicación: Ing William León Velásquez La distribución F. Comparación de dos varianzas poblacionales
  91. 91. 91  Un estudio del departamento de marketing de un periódico importante reveló que los hombres y las mujeres utilizan la misma cantidad de tiempo navegando por la Web.  Sin embargo, en el mismo reporte se indica que había casi el doble de variación en el tiempo pasado por día entre los hombres que las mujeres. Ejemplos de aplicación : Ing William León Velásquez La distribución F. Comparación de dos varianzas poblacionales
  92. 92. Ing William León Velásquez 92 Para realizar la prueba, se selecciona una muestra aleatoria de n1 observaciones de una población y una muestra de n2 observaciones de la segunda población. H0: σ1 2 = σ2 2 H1: σ1 2 ≠ σ2 2 1.- Formulación de las hipótesis: La distribución F. Procedimiento para realizar la prueba
  93. 93. Ing William León Velásquez 93 2.- Cálculo del estadístico: Para realizar la prueba, se selecciona una muestra aleatoria de n1 observaciones de una población y una muestra de n2 observaciones de la segunda población. El estadístico de prueba se define como: F0 = 𝑆2 1 𝑆2 2 La distribución F. Procedimiento para realizar la prueba Para fines prácticos se elige la varianza mas grande la muestra se coloca en el numerador, de allí que la razón de F será mayor que 1
  94. 94. Ing William León Velásquez 94 3.- Obtención del FT Con los grados de libertad de las dos muestras n1 y n2 y el nivel de significancia, Se va a las tablas y se obtiene 𝐹(𝑛1−1,𝑛2−1) La distribución F. Procedimiento para realizar la prueba
  95. 95. Ing William León Velásquez 95 4.- Conclusión Si F0 > Se Rechazará la Ho𝐹(𝑛1−1,𝑛2−1) La distribución F. Procedimiento para realizar la prueba
  96. 96. Ing William León Velásquez 96  Una empresa importadora tiene dos rutas para llegar al aeropuerto. Si se desea estudiar el tiempo en conducir al aeropuerto por cada ruta y luego comparar los resultados. Se recopiló los siguientes datos muestrales que aparecen en la tabla,  Mediante el nivel de significancia 0.10, ¿hay alguna diferencia en la variación en los tiempos de manejo para las dos rutas? La distribución F. Ejemplo 7 Ruta 1 57 72 61 50 75 59 69 Ruta 2 64 65 66 56 61 68 62 70
  97. 97. 97 Paso 1: Se establece la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternativa H1 H0: σ1 2 = σ2 2 H1: σ1 2 ≠ σ2 2 Paso 2: Se selecciona un nivel de significancia α = 0.05 como se menciona en el problema Paso 3: Se selecciona el estadístico de prueba . Su usa la distribución F Ing William León Velásquez La distribución F. Ejemplo 7 Solo de Comparación de Varianza
  98. 98. Ing William León Velásquez 98 Paso 2: Se obtiene el FT. Calculo de las varianzas de las muestras La distribución F. Ejemplo 7 Solo de Comparación de Varianza Como la varianza de la ruta 1 es mayor que la varianza de la ruta 2, la ruta1 será el numerador 𝑆𝑖 = (𝑥 − 𝑥)2 𝑛 − 1 𝑥 = 𝑥 𝑛
  99. 99. Ing William León Velásquez 99 Se formula la regla de decisión. Se rechaza la H0 si F > F,v1,v2 F > F.05,7-1,8-1 F > 3.866 con α=0.05 F=3.866 Paso 2: Se obtiene el FT. La distribución F. Ejemplo 7 Solo de Comparación de Varianza GLR1=6 GLR2=7
  100. 100. 1 0 0 Paso 3: Se calcula el valor de F Ruta 1 Ruta 2 Ing William León Velásquez La distribución F. Ejemplo 7 Solo de Comparación de Varianza 𝑆1 = 660.43 7 − 1 = 10.49 𝑆2 = 334 8 − 1 = 6.91 𝐹𝑐 = (10.49)2 (6.91)2 = 2.30𝐹𝑐 = 𝑆2 1 𝑆2 2 Calculando el valor de Fc
  101. 101. 1 0 1 FT=3.866 FC=2.30 La decisión es no rechazar la hipótesis nula, debido a que el valor F calculado es mayor que el valor crítico No se puede afirmar con un nivel de significancia del 5%, que haya una diferencia en la variación de los tiempos recorridos por las dos rutas. Ing William León Velásquez Ejemplo 7: Solo de Comparación de Varianza Paso 4: se toma una decisión
  102. 102. Ing William León Velásquez 102 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE DOS MUESTRAS: MUESTRAS INDEPENDIENTES Con verificación de igualdad de varianzas
  103. 103. Varianzas Poblacionales desconocidas Se asume Varianzas iguales Se asume Varianzas diferentes PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación Se debe verificar si se asume que son iguales Ing William León Velásquez 103
  104. 104. Ing William León Velásquez 104 Prueba de hipótesis sobre la diferencia de medias. Muestras independientes, Varianzas desconocidas pero se asume iguales 𝑡 = 𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2 𝑆 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2 Ho: µ1 = µ2 Ho: µ1 ≠ µ2 𝑆2 𝑝 = 𝑛1 − 1 𝑆2 1 + 𝑛2 − 1 𝑆2 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2 tT(𝑛1 + 𝑛2 − 2) Para probar Ho se debe calcular el estadístico t y compararlo con el tC
  105. 105. Ing William León Velásquez 105 Prueba de hipótesis sobre la diferencia de medias. Muestras independientes, Varianzas desconocidas pero se asume diferentes Para probar Ho se debe calcular el estadístico t y compararlo con el tC 𝑡 = 𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2 𝑆2 1 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2 Ho: µ1 = µ2 Ho: µ1 ≠ µ2 tc(glp) 𝑔𝑙 𝑝 = 𝑆2 1 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2 2 𝑆2 1 𝑛1 2 𝑛1 − 1 + 𝑆2 2 𝑛2 2 𝑛2 − 1
  106. 106.  La cantidad de impurezas presente en un lote de sustancia química utilizada como materia prima es determinante para evaluar la calidad  Un fabricante que usa dos líneas de producción 1 y 2, hizo un ligero ajuste a la línea 2 con la esperanza de reducir la cantidad promedio de impurezas en la sustancia química. Ing William León Velásquez 106 Línea n Promedio Varianza 1 16 3.2 1.04 2 16 3.0 0.51 ¿Los datos aportan suficiente evidencia para concluir que la impurezas del proceso es menor para la línea 2? Muestras aleatorias en cada línea arrojaron las siguientes mediciones Ejemplo 8 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
  107. 107.  Solución:  Nos interesa comparar las medias de dos grupos independientes  Primero se debe revisar los supuestos: 1.Nos dicen que asuman normalidad 2.En este caso ya no se asume Homogeneidad de varianzas, tenemos que probarla Ing William León Velásquez 107 Ejemplo 8 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
  108. 108. Fase 1: de Comparación de Varianzas 1.- Formulación de las hipótesis  Ho:𝜎1 2=𝜎2 2 La varianza de la población 1 es igual a la varianza de la población 2  H1:𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2 La varianza de la población 1 es diferente a la varianza de la población 2 Ing William León Velásquez 108 Ejemplo 8 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
  109. 109. Ing William León Velásquez 109 Si el Fc muestral es menor que 2.4. No rechazamos la hipótesis Ho Si el Fc muestral es mayor que 2.4. Rechazamos la hipótesis nula Ejemplo 8 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación Como la varianza de la población 1 es mayor que la varianza de la población 2 el numerador le corresponde a la línea 1 Gl1=16-1=15 Gl2=16-1=15 Con un valor de α=5% 𝐹0.05,15,15 = 2.40 Línea n Promedio Varianza 1 16 3.2 1.04 2 16 3.0 0.51
  110. 110. Ing William León Velásquez 110 No se puede afirmar con un nivel de significancia del 10% que La varianza de la población 1 sea diferente a la varianza de la población 2 Por lo tanto se pueden asumir que las varianzas de la población son iguales 2.40 2. 04 Ejemplo 8 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación Los datos muestrales arrojaron la siguiente información: 𝐹 = 1.04 0.51 = 2.04 𝐹 = 𝑆2 1 𝑆2 2 No recha zo Con un nivel de significancia de 0.05, no se rechaza Ho
  111. 111. Ing William León Velásquez 111 Fase 2: Prueba de Hip. Para muestras pequeñas independientes. Paso 1: Para probar la disminución de impurezas se utiliza la siguiente prueba de hipótesis: Ho: µ1 = µ2 Ho: µ1 > µ2 La cantidad de promedio de impurezas de la línea 1 es mayor que la línea 2 Ejemplo 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación
  112. 112. Ing William León Velásquez 112 Paso 2 El estadístico de prueba teniendo en cuenta que mediante la prueba F, se concluyó que se asumen varianzas iguales es: Ejemplo 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación 𝑡 = 𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2 𝑆 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2 𝑆2 𝑝 = 𝑛1 − 1 𝑆2 1 + 𝑛2 − 1 𝑆2 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2
  113. 113. Ing William León Velásquez 113 Paso 3 Definición de la región crítica: Con un α=5% y con GL:30 De la tabla se tiene: 𝑡(0.05,30) = 1.6973 Si el tc muestral es menor que 1.6973. No rechazamos la Ho Si el tc muestral es mayor que 1.6973. Rechazamos la Ho Ejemplo 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación No rechazo
  114. 114. Ing William León Velásquez 114 Paso 4: Cálculo de t de los datos: Cantidad de impurezas se utiliza la tabla: Ejemplo 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación Linea n Promedio Varianza 1 16 3.2 1.04 2 16 3.0 0.51 Se calcula, primero la Desviación estándar ponderada 𝑆2 𝑝 = 𝑛1 − 1 𝑆2 1 + 𝑛2 − 1 𝑆2 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑆2 𝑝 = 15 1.04 + 15 0.51 30 = 0.775 Sp=0.88
  115. 115. Ing William León Velásquez 115 Paso 4: Cálculo de t de los datos: Cantidad de impurezas se utiliza la tabla: Ejemplo 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación 𝑡 = 𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2 𝑆 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2 Línea n Promedio Varianza 1 16 3.2 1.04 2 16 3.0 0.51 𝑡 = 3.2−3.0 0.88 1 16 + 1 16 = 0.9
  116. 116. Como td (0.9) se encuentra en la región de no rechazo entonces No se rechaza la Ho, NO Se puede afirmar con in nivel de significancia del 5% que la cantidad de promedio de impurezas de la línea 1 sea mayor que de la línea 2 Lo que quiere decir que el ajuste no produjo ninguna reducción Ing William León Velásquez 116 Paso 5: Decisión y conclusión: Ejemplo 1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES. Con σ1 y σ2 desconocidas y con verificación Tα=1.6973 Tc=0.9No rechazo
  117. 117. FIN wjleonv@yahoo.com
  118. 118. Ing. William León Velásquez 118

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