O documento define linear independência em um espaço vetorial V sobre um corpo K, onde um subconjunto S de V é linearmente independente se a única combinação linear dos vetores em S que resulta no vetor nulo requer que todos os escalares sejam nulos. O documento fornece um exemplo onde um subconjunto S de C2 é linearmente dependente sobre C, mas independente sobre R. Ele também define base de um espaço vetorial V como um conjunto linearmente independente B que gera V.

1. Defini¸˜o
ca
Seja V um espa¸o vetorial sobre um corpo K . Um subconjunto S ⊂ V ´
c e
dito ser linearmente independente se existem, para escalares
α1 , α2 , . . . , αn ∈ K e vetores v1 , v2 , . . . , vn ∈ S, a combina¸˜o linear
ca
α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0
implica que α1 = α2 = · · · = αn = 0.
se S n˜o ´ linearment independente, dizemos que ele ´ linearmente
a e e
dependente.
Willian Vieira de Paula () Aula 4 - Base e dimens˜o
a 21 de mar¸o de 2012
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2. Exemplo
Seja S = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} ⊂ C2 .
Se considerarmos C2 como espa¸o vetorial sobre C, ent˜o S ´ linearmente
c a e
dependente, pois (0, 0) = 1 · (1, 0) + i · (i, 0) + 0 · (0, 1) + 0 · (0, i).
No entanto, S ´ linearmente independente se considerarmos C2 como
e
espa¸o vetorial sobre R.
c
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a 21 de mar¸o de 2012
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3. Defini¸˜o
ca
Seja V um espa¸o vetorial. Um subconjunto B ⊂ V ´ base de V se:
c e
1 B ´ um conjunto linearmente independente;
e
2 V = [B].
Teorema
Seja V um espa¸o vetorial gerato por um conjunto finito de vetores
c
v1 , v2 , . . . , vn . Ent˜o qualquer conjunto linearmente independente de
a
vetores em V n˜o pode conter mais do que n vetores.
a
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