Fundamentos de telecomunicaciones
Clasificación de los sistemas de             telecomunicaciones                                        La energía         ...
Diagrama de un sistema detelecomunicaciones
Historia de las telecomunicaciones• Comenzó a mediados del siglo XIX con el físico  Ingles James Maxwell, donde la electri...
Historia de las telecomunicaciones• El primer sistema de telecomunicaciones fue creado  por Samuel Morse en 1837 ( Telégra...
Historia de las telecomunicaciones• En 1902 se logro las comunicaciones trasatlántica.• En 1908 se crea la válvula de vaci...
Historia de las telecomunicaciones• En 1936 la emisión comercial de FM.• En 1948 se invento el transistor en los laborator...
Modulación y demodulación• En las comunicaciones de radio modulación es  mezclar dos señales….• Sencillamente modular sign...
Modulación y demodulación
Modulación y demodulación
Modulación y demodulación Es necesario modular?• 1) Si todos los usuarios transmiten a la frecuencia  de la señal original...
Modulacion y demodulación• 3) Se aprovecha mejor el espectro  electromagnético, ya que permite la  multiplexación por frec...
Modulacion y demodulación• Resumen:• La modulación permite aprovechar mejor el canal  de comunicación ya que posibilita tr...
Modulacion y demodulación
Diagrama en bloque de un sistema de       telecomunicaciones
Espectro Electromagnético.         400       600      800    1000 1200          1400   1600     1800       2000           ...
Designación de Bandas
Ancho de Banda y Capacidad deInformación• Las dos limitaciones en un sistemas de  telecomunicaciones son el ruido y ancho ...
Ancho de banda y Capacidad deinformaciónLa capacidad de información de un sistema detelecomunicaciones es una medida de cu...
Ancho de banda y Capacidad deinformación• La relación entre el ancho de banda, tiempo de  transmisión y capacidad de infor...
Ancho de banda y Capacidad deinformación• Ley de Shannon:                    Donde:                    I=Capacidad de Info...
Modos de Transmisión• Simplex(Sx): Ocurren en una sola dirección.   Ejemplo: TV y radio comercial
Modos de Transmisión• Half Duplex(HDX): Las transmisiones ocurren  pero al mismo tiempo.
Modos de Transmisión• Full Duplex(FDX):Transmisiones en ambas  direcciones al mismo tiempo.
Modo de Transmisión• Full/Full Duplex(F/FDX): Es posible transmitir y  recibir simultáneamente, pero no necesariamente  en...
Configuración de circuitos• Los circuitos de comunicaciones se pueden  configurar de varias formas distintas. Dichas  conf...
Transmisión a dos hilos• La transmisión a dos hilos utiliza dos conductores,  uno para la señal y el otro para la  referen...
Transmisión a dos hilosCircuitos a dos hilos Pasivos
Transmisión a dos hilosCircuitos a dos hilos activos
Transmisión a cuatro hilos
Ventajas de los circuitos a cuatro hilos• Son menos ruidosos.• Mas aislamientos entre las dos direcciones de  transmisión ...
Hibrida y supresores de eco
Supresores de eco
Análisis de señalesDonde V(t) = Voltaje de la onda senoidal, variable respecto al tiempo t.      I(t) = Corriente de la on...
Análisis de señalesLas ecuaciones anteriores son para ondas repetitivas, de una solafrecuencia. A esa forma de onda se le ...
Dominio del tiempo
Dominio de la frecuencia
Series de FourierAlgunas funciones periódicas f(t) de periodo T puedenexpresarse por la siguiente serie, llamada SerieTrig...
Series de FourierEs posible escribir de una manera ligeramentediferente la Serie de Fourier, si observamos que eltérmino a...
Series de Fourier                                       an           Cn   a   2                        b   2              ...
Series de Fourier• Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourier se  puede escribir como          f (t)   C0           ...
Componentes y armónicosAsí, una función periódica f(t) se puede escribir como lasuma de componentes sinusoidales de difere...
Componentes y armónicosA la componente de frecuencia cero C0, se le llamacomponente de corriente directa (cd) ycorresponde...
Componentes y ArmónicosIdentidades trigonométricas:       cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]      sen A sen B = ½[-cos(A+B...
Calculo de los coeficientes de la serieDada una función periódica f(t) ¿cómo se obtienesu serie de Fourier?               ...
Calculo de los coeficientes de la serieMultiplicando ambos miembros por cos(n                       0t)   eintegrando de –...
Funciones Pares E ImparesUna función (periódica o no) se dice función par (ocon simetría par) si su gráfica es simétrica r...
Función Par e ImparEn forma similar, una función f(t) se dice funciónimpar o con simetría impar, si su gráfica es simétric...
Función Par e ImparComo la función sen(n 0t) es una función impar para todo n 0 y la función cos(n 0t) es una función par ...
Función Par e Impar Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:                               f(t) ...
Simetría y Coeficientes de Fourier
Simetría y Coeficientes de Fourier
Fenómeno de GibbsSi la serie de Fourier para una función f(t) se truncapara lograr una aproximación en suma finita de seno...
Fenómeno de Gibbs1.5     Serie con 1 armónico  10.5                 1.5     Serie con 1 armónico                   1      ...
Fenómeno de Gibbs1.5     Serie con 3 armónicos  10.5  0-0.5 -1-1.5   -1    -0.5     0     0.5     1
Fenómeno de Gibbs1.5     Serie con 5 armónicos  10.5  0-0.5 -1-1.5   -1    -0.5     0     0.5     1
Fenómeno de Gibbs1.5     Serie con 7 armónicos  10.5  0-0.5 -1-1.5   -1    -0.5     0     0.5     1
Fenómeno de Gibbs1.5     Serie con 13 armónicos  10.5  0-0.5 -1-1.5   -1     -0.5    0      0.5     1
Fenómeno de Gibbs1.5      Serie con 50 armónicos  10.5  0-0.5 -1-1.5   -1      -0.5    0      0.5     1
Fenómeno de Gibbs1.5     Serie con 100 armónicos  10.5  0-0.5 -1-1.5   -1      -0.5    0     0.5      1
Forma compleja de la serie de FourierConsideremos la serie de Fourier para una funciónperiódica f(t), con periodo T=2 / 0....
Forma compleja de la serie de FourierSustituyendof (t)    1         2   a0             [a n 1 (e j n                      ...
Forma compleja de la serie de FourierLa serie se puede escribir como          f (t)      c0             (c n e j n     0t ...
Forma compleja de la serie de FourierA la expresión obtenida                                                      jn   0t ...
Forma compleja de la serie de FourierLos coeficientes cn son números complejos, ytambién se pueden escribir en forma polar...
Espectro de Frecuencia DiscretoA la gráfica de la magnitud de los coeficientes cncontra la frecuencia angular de la compon...
Espectro de Frecuencia Discreto  Ejemplo. Para la función ya analizada                              f(t)                  ...
El espectro de amplitud se muestra acontinuación:                        Espectro de Amplitud de f(t)       0.7       0.6 ...
Potencia y Teorema de ParsevalEl promedio o valor medio de una señal cualquieraf(t) en un periodo dado (T) se puede calcul...
Potencia y Teorema de ParsevalDe acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t)representa una señal de voltaje o corr...
Potencia y Teorema de ParsevalEl teorema de Parseval nos permite calcular laintegral de [f(t)]2 mediante los coeficientesc...
Potencia y Teorema de ParsevalUna consecuencia importante del teorema deParseval es el siguiente resultado:El valor cuadrá...
Potencia y Teorema de ParsevalPara aclarar el resultado anterior es convenienteencontrar la relación entre los coeficiente...
Potencia y Teorema de ParsevalPor un lado     Cn         a   2                               n   b , 2                    ...
De la serie a la transformada de Fourier La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la fr...
De la serie a la transformada de FourierTren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:                                ...
De la serie a la transformada de Fourier Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier en este caso resultan puramente ...
De la serie a la transformada de FourierEspectro del tren de pulsos para p=1, T=2      0.6      0.4   n  c      0.2       ...
De la serie a la transformada de FourierSi el periodo del tren de pulsos aumenta:         1.5                             ...
De la serie a la transformada de Fourier     En el límite cuando T        , la función deja de     ser periódica:         ...
De la serie a la transformada de Fourier         0.6                          p=1, T=2               cn         0.4       ...
De la serie a la transformada de Fourier Si hace T muy grande (T   ): El espectro se vuelve ¡continuo!
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Fundamentos de telecomunicaciones_conferencia_1_

  1. 1. Fundamentos de telecomunicaciones
  2. 2. Clasificación de los sistemas de telecomunicaciones La energía Sistemas de electromagnética se Comunicaciones transmite y se recibe en analógicos forma de onda continua• Sistema de telecomunicaciones La energía Sistemas de electromagnética se Comunicaciones transmite y se recibe en digitales forma, donde los valores son discretos
  3. 3. Diagrama de un sistema detelecomunicaciones
  4. 4. Historia de las telecomunicaciones• Comenzó a mediados del siglo XIX con el físico Ingles James Maxwell, donde la electricidad y la luz viajan en forma electromagnética predijo que era posible que era posible propagar ondas electromagnéticas por el espacio libre.• En 1888 Henry Hertz logro esa propagación de la onda, y lo hizo atraves de un oscilador (Transmisor) entre las bandas de frecuencias entre 31KHz- 1.5GHz, también Hertz desarrollo la primera antena
  5. 5. Historia de las telecomunicaciones• El primer sistema de telecomunicaciones fue creado por Samuel Morse en 1837 ( Telégrafo).• En 1876 Alexander Graham Bell y su asistente Thomas Watson un inventor muy reconocido transmitieron una conversación humana atraves de pares de cable.• En 1894 Marconi un científico italiano logro las primeras comunicaciones inalámbricas.
  6. 6. Historia de las telecomunicaciones• En 1902 se logro las comunicaciones trasatlántica.• En 1908 se crea la válvula de vacio(Triodo) lográndose la primera amplificación practicas de señales electrónicas.• En 1920 la emisión regular de las comunicaciones en AM en sistemas comerciales en lugares como Detroit, Michigan, Pensylvania.• En 1933 el mayor Edwing Howard Armstrong invento FM.
  7. 7. Historia de las telecomunicaciones• En 1936 la emisión comercial de FM.• En 1948 se invento el transistor en los laboratorios Bell por William Shockley, Walter Brattain, John Bardeen.• Los conceptos de telecomunicaciones no han cambiado…..
  8. 8. Modulación y demodulación• En las comunicaciones de radio modulación es mezclar dos señales….• Sencillamente modular significa cambiar, variar o regular, por lo tanto la frecuencia relativamente baja se llama señal de modulación.• La señal de alta se llama portadora.• La señal resultante se llama onda Modulada
  9. 9. Modulación y demodulación
  10. 10. Modulación y demodulación
  11. 11. Modulación y demodulación Es necesario modular?• 1) Si todos los usuarios transmiten a la frecuencia de la señal original o moduladora, no será posible reconocer la información inteligente contenida en dicha señal, debido a la interferencia entre las señales transmitidas por diferentes usuarios.• 2) A altas frecuencias se tiene mayor eficiencia en la transmisión, de acuerdo al medio que se emplee.
  12. 12. Modulacion y demodulación• 3) Se aprovecha mejor el espectro electromagnético, ya que permite la multiplexación por frecuencias.• 4) En caso de transmisión inalámbrica, las antenas tienen medidas más razonables.
  13. 13. Modulacion y demodulación• Resumen:• La modulación permite aprovechar mejor el canal de comunicación ya que posibilita transmitir más información en forma simultánea por un mismo canal y/o proteger la información de posibles interferencias y ruidos
  14. 14. Modulacion y demodulación
  15. 15. Diagrama en bloque de un sistema de telecomunicaciones
  16. 16. Espectro Electromagnético. 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 ( nm ) RAYOS X UV IR SHF UHF VHF HF MF LF VLF AUDIO10 21 10 20 10 19 10 18 10 17 10 16 10 15 10 14 10 13 10 12 10 11 10 10 10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 Hz 10-12 10-11 10-10 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 m MICROONDA VHF TV RADIO AM TELEFONO FM TELEGRAFO =C/f 440 470 500 540 590 620 660 ( nm ) Luz visible : 750 nm (rojo fuerte) a 380 nm (Violenta fuerte). Equivale en frecuencia al rango de 400 a 800 THz.
  17. 17. Designación de Bandas
  18. 18. Ancho de Banda y Capacidad deInformación• Las dos limitaciones en un sistemas de telecomunicaciones son el ruido y ancho de banda.• El ancho de banda de un sistema de comunicaciones es la banda de paso mínima(Rango de frecuencia) requerida para propagar la información.• El ancho de banda debe ser lo suficientemente grande(ancho)…….
  19. 19. Ancho de banda y Capacidad deinformaciónLa capacidad de información de un sistema detelecomunicaciones es una medida de cuantainformación de la fuente puede transportarse porel sistema, en periodo dado de tiempo.La capacidad de información que puede propagarseen un sistema de telecomunicaciones es funcióndel ancho de banda y el tiempo de transmisión.
  20. 20. Ancho de banda y Capacidad deinformación• La relación entre el ancho de banda, tiempo de transmisión y capacidad de información.
  21. 21. Ancho de banda y Capacidad deinformación• Ley de Shannon: Donde: I=Capacidad de Información. B= Ancho de Banda. S/N= Relación señal a ruido
  22. 22. Modos de Transmisión• Simplex(Sx): Ocurren en una sola dirección. Ejemplo: TV y radio comercial
  23. 23. Modos de Transmisión• Half Duplex(HDX): Las transmisiones ocurren pero al mismo tiempo.
  24. 24. Modos de Transmisión• Full Duplex(FDX):Transmisiones en ambas direcciones al mismo tiempo.
  25. 25. Modo de Transmisión• Full/Full Duplex(F/FDX): Es posible transmitir y recibir simultáneamente, pero no necesariamente entre las mismas dos ubicaciones( es decir, una estación puede transmitir a una segunda estación y recibir de una tercera estacional mismo tiempo. Ejemplo: Circuito de comunicación de datos
  26. 26. Configuración de circuitos• Los circuitos de comunicaciones se pueden configurar de varias formas distintas. Dichas configuraciones se llaman Arreglos de circuitos, y pueden abarcar la transmisión a dos hilos y a cuatro hilos.
  27. 27. Transmisión a dos hilos• La transmisión a dos hilos utiliza dos conductores, uno para la señal y el otro para la referencia(Tierra).• Los circuitos a dos hilos se adaptan a transmisión Simplex, aunque se pueden usar en transmisiones dúplex y semiduplex.Ejm: La línea telefónica entre la central y los hogaresSon circuitos a dos hilos
  28. 28. Transmisión a dos hilosCircuitos a dos hilos Pasivos
  29. 29. Transmisión a dos hilosCircuitos a dos hilos activos
  30. 30. Transmisión a cuatro hilos
  31. 31. Ventajas de los circuitos a cuatro hilos• Son menos ruidosos.• Mas aislamientos entre las dos direcciones de transmisión cuando operan en dúplex y semiduplex.
  32. 32. Hibrida y supresores de eco
  33. 33. Supresores de eco
  34. 34. Análisis de señalesDonde V(t) = Voltaje de la onda senoidal, variable respecto al tiempo t. I(t) = Corriente de la onda senoidal, variable respecto al tiempo t. V = Voltaje máximo(Volts) f = Frecuencia(Hertz). = Desplazamiento de fase(en radianes). I = Corriente máxima (Amperes) = W velocidad angular(radianes por segundos)
  35. 35. Análisis de señalesLas ecuaciones anteriores son para ondas repetitivas, de una solafrecuencia. A esa forma de onda se le llama onda periódica ya que serepite con rapidez uniforme. Es decir, cada ciclo sucesivo de la señaltarda el mismo tiempo y tiene exactamente la misma variaciones deamplitud que cualquier otro ciclo; cada ciclo tiene exactamente lamisma forma de onda. Ejemplo de Ondas Periódicas: Ondas senos Ondas Cosenos Ondas Cuadradas
  36. 36. Dominio del tiempo
  37. 37. Dominio de la frecuencia
  38. 38. Series de FourierAlgunas funciones periódicas f(t) de periodo T puedenexpresarse por la siguiente serie, llamada SerieTrigonométrica de Fourier f(t) = ½ a0 + a1cos( 0t)+a2cos(2 0t)+... + b1sen( 0t)+b2sen(2 0t)+...Donde 0=2 /T.Es decir, 1 f (t) a 2 0 [a n cos(n 0t) bnsen(n 0 t )] n 1
  39. 39. Series de FourierEs posible escribir de una manera ligeramentediferente la Serie de Fourier, si observamos que eltérmino ancos(n 0t)+bnsen(n 0t) se puede escribircomo: an bn a2 n b2 n cos(n 0t) sen (n 0t) a2 n b2 n a2 n b2 nPodemos encontrar una manera más compacta paraexpresar estos coeficientes pensando en un triángulorectángulo:
  40. 40. Series de Fourier an Cn a 2 b 2 cos n a2 b2 n n bn n n n bn sen n an a2 n b2 nCon lo cual la expresión queda C n cos n cos(n 0 t ) sen n sen(n 0 t) C n cos(n 0 t n )
  41. 41. Series de Fourier• Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como f (t) C0 C n cos(n 0 t n ) n 1 Así, Cn a 2 b 2 n n 1 bn y n tan an
  42. 42. Componentes y armónicosAsí, una función periódica f(t) se puede escribir como lasuma de componentes sinusoidales de diferentesfrecuencias n=n 0.A la componente sinusoidal de frecuencia n 0:Cncos(n 0t+ n) se le llama la enésima armónica de f(t).A la primera armónica (n=1) se le llama la componentefundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)A la frecuencia 0=2 f0=2 /T se le llama frecuenciaangular fundamental.
  43. 43. Componentes y armónicosA la componente de frecuencia cero C0, se le llamacomponente de corriente directa (cd) ycorresponde al valor promedio de f(t) en cadaperiodo.Los coeficientes Cn y los ángulos n son respectiva-mente las amplitudes y los ángulos de fase de lasarmónicas.
  44. 44. Componentes y ArmónicosIdentidades trigonométricas: cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)] sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)] Además: sen2 = ½ (1-cos2 ) cos2 = ½ (1+cos2 )
  45. 45. Calculo de los coeficientes de la serieDada una función periódica f(t) ¿cómo se obtienesu serie de Fourier? 1 f (t) a 2 0 [a n cos(n 0t) bnsen(n 0 t )] n 1Obviamente, el problema se resuelve si sabemoscomo calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...Esto se puede resolver considerando laortogonalidad de las funciones seno y cosenocomentada anteriormente.
  46. 46. Calculo de los coeficientes de la serieMultiplicando ambos miembros por cos(n 0t) eintegrando de –T/2 a T/2, obtenemos: T/2 2 an T f ( t ) cos(n 0 t )dt n 0,1,2,3,... T/2Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) eintegrando de –T/2 a T/2, obtenemos: T/2 2 bn T f ( t )sen (n 0 t )dt n 1,2,3,... T/2 T/2 Similarmente, integrando a 2 f ( t )dt 0 T de –T/2 a T/2, obtenemos: T/2
  47. 47. Funciones Pares E ImparesUna función (periódica o no) se dice función par (ocon simetría par) si su gráfica es simétrica respectoal eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t)
  48. 48. Función Par e ImparEn forma similar, una función f(t) se dice funciónimpar o con simetría impar, si su gráfica es simétricarespecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)
  49. 49. Función Par e ImparComo la función sen(n 0t) es una función impar para todo n 0 y la función cos(n 0t) es una función par para todo n, es de esperar que:• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n
  50. 50. Función Par e Impar Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo: f(t) 1 ... -T/ 0 T/ T ... t 2 2 -1Es una función impar, por ello su serie de Fourier nocontiene términos coseno: 4 1 1 f (t) sen( 0t) 3 sen(3 0 t ) 5 sen(5 0 t ) ...
  51. 51. Simetría y Coeficientes de Fourier
  52. 52. Simetría y Coeficientes de Fourier
  53. 53. Fenómeno de GibbsSi la serie de Fourier para una función f(t) se truncapara lograr una aproximación en suma finita de senosy cosenos, es natural pensar que a medida queagreguemos más armónicos, la sumatoria seaproximará más a f(t).Esto se cumple excepto en las discontinuidades def(t), en donde el error de la suma finita no tiende acero a medida que agregamos armónicos.
  54. 54. Fenómeno de Gibbs1.5 Serie con 1 armónico 10.5 1.5 Serie con 1 armónico 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 0-0.5 -1-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
  55. 55. Fenómeno de Gibbs1.5 Serie con 3 armónicos 10.5 0-0.5 -1-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
  56. 56. Fenómeno de Gibbs1.5 Serie con 5 armónicos 10.5 0-0.5 -1-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
  57. 57. Fenómeno de Gibbs1.5 Serie con 7 armónicos 10.5 0-0.5 -1-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
  58. 58. Fenómeno de Gibbs1.5 Serie con 13 armónicos 10.5 0-0.5 -1-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
  59. 59. Fenómeno de Gibbs1.5 Serie con 50 armónicos 10.5 0-0.5 -1-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
  60. 60. Fenómeno de Gibbs1.5 Serie con 100 armónicos 10.5 0-0.5 -1-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
  61. 61. Forma compleja de la serie de FourierConsideremos la serie de Fourier para una funciónperiódica f(t), con periodo T=2 / 0. 1 f (t) a 2 0 [a n cos(n 0t) bnsen(n 0 t )] n 1Es posible obtener una forma alternativa usando lasfórmulas de Euler: cos(n 0 t) 1 2 (e jn 0t e jn 0t ) sen(n 0t) 1 2j (e jn 0t e jn 0t ) Donde j 1
  62. 62. Forma compleja de la serie de FourierSustituyendof (t) 1 2 a0 [a n 1 (e j n 2 0t e jn 0t ) bn 1 2j (e j n 0t e jn 0t )] n 1Y usando el hecho de que 1/j=-jf (t) 1 2 a0 [ 1 (a n 2 jb n )e j n 0t 1 2 (a n jb n )e jn 0t ] n 1Y definiendo: 1 1 1c0 a , cn 2 0 2 (a n jb n ), c n 2 (a n jb n ) Lo cual es congruente con la fórmula para bn, ya que b-n=-bn, ya que la función seno es impar.
  63. 63. Forma compleja de la serie de FourierLa serie se puede escribir como f (t) c0 (c n e j n 0t c ne jn 0t ) n 1O bien, f (t) c0 cn e jn 0t cne jn 0t n 1 n 1 Es decir, jn 0t f (t) cne n
  64. 64. Forma compleja de la serie de FourierA la expresión obtenida jn 0t f (t) cne nSe le llama forma compleja de la serie de Fourier ysus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de loscoeficientes an, bn como ya se dijo, o bien: T 1 jn 0t cn T f ( t )e dt 0 Para n=0, 1, 2, 3, ...
  65. 65. Forma compleja de la serie de FourierLos coeficientes cn son números complejos, ytambién se pueden escribir en forma polar: j cn cn e nObviamente, * j c n c n cn e n Donde 1 2 2 bn cn 2 a n b n n arctan( ) an Para todo n 0, 1 Para n=0, c0 es un número real: c0 2 a0
  66. 66. Espectro de Frecuencia DiscretoA la gráfica de la magnitud de los coeficientes cncontra la frecuencia angular de la componentecorrespondiente se le llama el espectro deamplitud de f(t).A la gráfica del ángulo de fase n de los coeficientescn contra , se le llama el espectro de fase de f(t).Como n sólo toma valores enteros, la frecuenciaangular =n 0 es una variable discreta y losespectros mencionados son gráficas discretas.
  67. 67. Espectro de Frecuencia Discreto Ejemplo. Para la función ya analizada f(t) 1 t ... -T/ 0 T/ T ... 2 2 -1Se encontró que cn j n1 [1 ( 1) n ]Por lo tanto cn 1 [1 ( 1) n ] n
  68. 68. El espectro de amplitud se muestra acontinuación: Espectro de Amplitud de f(t) 0.7 0.6 0.5 Cn 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -30 -20 -10 0 n 10 20 30 Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n=número de armónico = múltiplo de 0).
  69. 69. Potencia y Teorema de ParsevalEl promedio o valor medio de una señal cualquieraf(t) en un periodo dado (T) se puede calcular comola altura de un rectángulo que tenga la misma áreaque el área bajo la curva de f(t)
  70. 70. Potencia y Teorema de ParsevalDe acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t)representa una señal de voltaje o corriente, lapotencia promedio entregada a una carga resistivade 1 ohm en un periodo está dada por: T/2 1 T [f ( t )]2 dt T/2Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y elpromedio en un periodo será el promedio encualquier otro periodo.
  71. 71. Potencia y Teorema de ParsevalEl teorema de Parseval nos permite calcular laintegral de [f(t)]2 mediante los coeficientescomplejos cn de Fourier de la función periódica f(t): T/2 1 2 2 T [f ( t )] dt cn T/2 nO bien, en términos de los coeficientes an, bn: T/2 1 T [f ( t )]2 dt 1 4 2 a0 1 2 (a 2 n b2 ) n T/2 n 1
  72. 72. Potencia y Teorema de ParsevalUna consecuencia importante del teorema deParseval es el siguiente resultado:El valor cuadrático medio de una función periódicaf(t) es igual a la suma de los valores cuadráticosmedios de sus armónicos, es decir, T/2 2 1 2 2 Cn T [f ( t )] dt C 0 T/2 n 1 2Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimoy C0 es la componente de directa.
  73. 73. Potencia y Teorema de ParsevalPara aclarar el resultado anterior es convenienteencontrar la relación entre los coeficientescomplejos cn de la serie jn 0t f (t) cne nY los coeficientes reales Cn de la serie f (t) C0 C n cos(n 0 t n ) n 1Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimoy C0 es la componente de directa.
  74. 74. Potencia y Teorema de ParsevalPor un lado Cn a 2 n b , 2 n 1 2 2Mientras que cn 2 a n b n 2 2Entonces, cn 1 2 Cn Por lo tanto, c n 1 4 C nAdemás, para el armónico f n ( t ) C n cos(n 0 t n )Su valor rms es C n / 2 , por lo tanto su valorcuadrático medio es C 2 / 2 nPara la componente de directa C0, su valor rms es C0 ,por lo tanto su valor cuadrático medio será C0 2.
  75. 75. De la serie a la transformada de Fourier La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia para funciones periódicas f(t). Consideremos la siguiente función periódica de periodo T
  76. 76. De la serie a la transformada de FourierTren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T: f(t) 1 p ... -T -T/ 0 T/ T ... 2 2 -p/ p/ t 2 2 T p 0 2 t 2 p p f (t) 1 2 t 2 p T 0 2 t 2
  77. 77. De la serie a la transformada de Fourier Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales: p p sen(n ) 0 2 cn ( ) T p (n ) 0 2 El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra =n 0.
  78. 78. De la serie a la transformada de FourierEspectro del tren de pulsos para p=1, T=2 0.6 0.4 n c 0.2 0 -0.2 -60 -40 -20 0 20 40 60 w=nw 0
  79. 79. De la serie a la transformada de FourierSi el periodo del tren de pulsos aumenta: 1.5 p=1, T=2 1f(t) 0.5 0 1.5 -20 -10 0 t 10 20 p=1, T=5 1f(t) 0.5 0 1.5 -20 -10 0 10 20 p=1, T=10 1f(t) 0.5 0 -20 -10 0 t 10 20 1.5 p=1, T=20 1f(t) 0.5 0 -20 -10 0 t 10 20
  80. 80. De la serie a la transformada de Fourier En el límite cuando T , la función deja de ser periódica: 1.5 p=1, T= 1 f(t) 0.5 0 -20 -10 0 t 10 20 ¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?
  81. 81. De la serie a la transformada de Fourier 0.6 p=1, T=2 cn 0.4 0.2 0 -0.2 =n 0 0.3 0.2 p=1, T=5 0.1 0 -0.1 -50 0 50 0.15 0.1 p=1, T=10 0.05 0-0.05
  82. 82. De la serie a la transformada de Fourier Si hace T muy grande (T ): El espectro se vuelve ¡continuo!

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